石家庄市高二下学期期中数学试卷(理科)D卷(模拟)
河北省石家庄市高二数学下学期期中试题 理
2016—2017学年度第二学期期中考试高二年级数学理试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3A x x =<，{}2log 1B x x =>，则AB =A ． ∅B ．{}03x x <<C ．{}13x x <<D ．{}23x x <<2．已知函数()2sin y x ωϕ=+()0ω>在区间[0，2π]的图像如图：那么ω= A ．1B ．2C ．12D ．133．双曲线221102x y -=的焦距为 A．．．．4．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2 B. 4C.152 D. 1725．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点10A ．C 6．若b c a >∈,RA.b a 11<B. 22b a >C. 1122+>+c b c a D. ||||c b c a > 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.54 B.60 C.66 D.728．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为A ．85-B．81 C ．41D ．8119．阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为正视图侧视图俯视图A ．2*S i =B ．2*1S i =-C ．2*2S i =-D ．2*4S i =+10．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，－1]D ．[1，2]11．已知函数21||,1()(1),1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩,函数4()(1)5g x f x =--,则函数()()y f x g x =-的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 12．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是 A ．AB m ∥B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥第II 卷（非选择题，共90分）二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = .14．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .15．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 面积的最小值为 . 16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ,112,2(*)n n a a S n +==+∈N ． （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）某校随机调查了110名不同性别的学生每天在校的消费情况，规定：50元以下为正常消费，大于或等于50元为非正常．统计后，得到如下的22⨯列联表,已知在调查对象中随机抽取1人为非正常的概率为311．（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为消费情况与性别有关系？ 附临界值表及参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为平行四边形，60DAB ∠=︒,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD . （Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知2249:(1)4M x y ++=的圆心为M ，221:(1)4N x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆M 内切，与圆N 外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线l 与曲线P 交于,A B 两点. 若2OA OB =-, 求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）函数21()()xf x x a e-=-,a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有11211()[()(1)]x x f x f x a e λ-'≤-+（其中()f x '为()f x 的导函数），求实数λ的值．请考生在第22、23题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．已知函数()|3||4|f x x x =-++． （Ⅰ）求()11f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()(3)g x k x =-，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围．2016—2017学年度第二学期期中考试高二年级数学理一、选择题： DBDCACBBAACD二、非选择题： 13． -1 ．14． 1516 .15． 14．16．．三、解答题：17． 1111111111222222(2)24,2,1,2,(2)(2), 2.n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n a S S S S S S S S S S n a S S n +++++++-=+⇒-=+⇒=+⇒+=+⇒+=∴==⎧⇒-=⎨-=---=>⎩解法一：数列{S +2}是以2为首项以2为公比的等比数列,S +2=2S =22222n n a =.12121122,2,2,24,2.n n n n n n n n n a S a a a S a a a a +++++=+⎧=⎨=+⎩=⇒=∴=解法二：由已知可知两式相减得由数列{}是以2为首项，以2为公比的等比数列， （Ⅱ）解法一：()2342345123411111122232422,12122232422,(2)(1)(2),12222222(12)2222,12(1)2 2.n n n n n n n n n n n n n T n T n T n n n T n ++++++=⨯+⨯+⨯+⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯++-=⨯+++++--=-=-+--=-+得-解法二：设数列{}n x 是等差数列，首项为1x ，公差为0d 且满足1111010100001101[(1)]2()22(1)1,(1)0(1)21,n n n n n n n n n na x a x a x n d x nd n x n d n d d n d x x x n d n x +++=-=+--+=⇒--+==-⎧+++=⇒⇒=+-=-+⎨=⎩即234112222333344111111111222324222(1)2(1)2 2.nn n n n n n n n n T n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a n n ++++++∴=⨯+⨯+⨯+⨯++=-+-+-++-=-=--+=--上面我们分析得到：此题是一道容易题，可是根据学生的得分情况来看却成为了一道难题，问题到底出现在什么地方？我想：问题应该在于学生遇到的等式12(*)n n a S n +=+∈N 是一个既含有n S 又含有n a 的等式，从而不知道利用n S 与n a 的关系，实现转化，从而第一问就没能够正确进行解答. 18．（本小题满分12分） 【解析】：（I ）；非正常………6分（Ⅱ）假设消费情况与性别无关，根据列联表中的数据，得到2110(10305020)k 7.487 6.63560508030⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯因此按%99的可靠性要求，能认为“消费情况与性别有关系”． …………12分． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则()1,0,0A ,()0B,()C -,()0,0,1P 。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。
河北省石家庄市高二下学期期中数学试卷(理科)
河北省石家庄市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .2. （2分）已知，则（）A .B .C .D .3. （2分）“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是（）A . 实数分为有理数和无理数B . π不是有理数C . 无理数都是无限不循环小数D . 有理数都是有限循环小数4. （2分）已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，g'（x）是函数g（x）的导函数，g （x）= x3b﹣ x2b2 ，对于任意的负数a，b，若a≠b，则f'（a）与g'（a）的大小关系（）A . f'（a）＞g'（a）B . f'（a）＜g'（a）C . f'（a）=g'（a）D . 不能确定5. （2分）要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分） (2020高二下·广东月考) 设随机变量，且，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）展开式中x的系数为（）A . －150B . 150C . 300D . －3008. （2分）现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（）A . 27B . 54C . 108D . 1449. （2分） (2017高二下·曲周期中) 在（1+x）5﹣（1+x）6的展开式中，含x3的项的系数是（）A . ﹣5B . 6C . ﹣10D . 1010. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 已知随机变量服从正态分布，，则（）A . 0.16B . 0.32C . 0.68D . 0.8411. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ， B ， C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ①③②C . ②③①D . ③①②12. （2分） (2017高二下·太原期中) 我们知道，在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足4R2=a2+b2 ，类比上述结论，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是（）A . 4R2=a3+b3+c3B . 8R2=a2+b2+c2C . 8R3=a3+b3+c3D . 4R2=a2+b2+c2二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）等于________．14. （1分） (2020高二下·唐山期中) 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．15. （1分）(2014·上海理) 某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为________．16. （2分） (2019高二上·苏州期中) 已知，为正实数，定义 .对于正实数，，若，则 ________；当取最小值时， ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2018·长宁模拟) 已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上的对应点分别为，，，求△ 的面积．18. （5分） (2016高二下·民勤期中) 用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的6位奇数？19. （10分） (2017高二下·中山期末) 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn= （an+ ），（1）求a1 ， a2 ， a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20. （10分）(2020·抚州模拟) 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821销量（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56附：（1）（2） .（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，， .两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为X，求X的分布列与数学期望.21. （10分）(2016·上饶模拟) 某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者对学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如表：喜爱不喜爱总计男学生6080女学生总计7030附：K2=P（K2≥k0）0.1000.0500.010k0 2.7063.8416.635（1）完成如表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有X个男生去观看演出的分布列及期望．22. （10分） (2020高三上·永州月考) 某市为了在全市营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度，市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查，其中男士与女士的人数之比为，男士中有10人表示政策无效，女士中有25人表示政策有效.参考公式： .0.150.1.0.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828（1）根据下列列联表写出和的值，并判断能否有的把握认为“政策是否有效与性别有关”；政策有效政策无效总计男生10女生25合计100（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取名市民，再从这名市民中任意抽取名，对政策的有效性进行调研分析，设随机变量表示抽取到的名市民中女士的人数，求的分布列及数学期望.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
河北省高二下学期期中数学试卷(理科)D卷(考试)
河北省高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·平遥月考) 设集合，，，则（）.A .B .C .D .2. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·台州期末) 函数f（x）=ln（﹣x）的图象大致为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·南阳月考) “ ”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A . 充分不必要条件B . 充要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为（）A . 0.25B . 0.5C . 0.6D . 0.757. （2分） (2016高二上·温州期中) 设实数x，y满足约束条件，则z= 的最大值为（）A .B .C .D . 38. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入x=-2，则输出y的值为（）A . 5B . 9C . 14D . -229. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（）81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A . 12B . 33C . 0610. （2分）已知函数f（x）=sin（x+ ），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则cosα的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·威海期末) 已知向量和在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ ，则λ﹣μ=（）A .B . -C .D . -12. （2分）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N*），且a1=1，a2= ，则a99=（）A . 49C . 51D . 52二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）定义四个数a，b，c，d的二阶积和式．九个数的三阶积和式可用如下方式化为二阶积和式进行计算：．已知函数f（n）=（n∈N*），则f（n）的最小值为________．14. （1分） (2017高二下·福州期中) 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则b=________．15. （2分）(2017·温州模拟) 已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为________，表面积为________．16. （1分） (2016高一下·衡阳期末) 已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2019高二上·郑州期中) 已知， .设：函数在上单调递减；：关于的不等式的解集为 .如果“ ”为真，“ ”为假，求的取值范围.18. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知函数，（其中）且函数的图像与轴的交点中，相邻两交点之间的距离为，图像上一个最低点为，（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像沿轴向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在时的值域．19. （5分）(2019高一下·丽水期末) 在数列，中，已知，且.(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和 .20. （10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，A1O⊥底面ABC，AA1与底面ABC 所成的角为，点D在棱AA1上，且AD= ，AB=4．（1）求证：OD⊥平面BB1C1C；（2）求二面角B﹣B1C﹣A1的平面角的余弦值．21. （5分） (2017高二上·荆门期末) 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．参考公式：K2= （n=a+b+c+d）．参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82822. （15分） (2016高一上·沈阳期中) 设f（x）=log 为奇函数，a为常数，（1）求a的值；（2）证明f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；（3）若x∈[3，4]，不等式f（x）＞（）x+m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年河北省石家庄市高二下册期中数学质量检测试题一、单选题1．()()1231234a a a b b b b +++++展开后，共有多少项？（）A ．3B ．4C ．7D ．12【正确答案】D【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，第一步，在第一个因式中选一项，有13C 3=种方法；第二步，在第二个因式中选一项，有14C 4=种方法；根据乘法分步原理可得，展开后共有3412⨯=项，故选.D2．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数是（）A ．20-B ．15-C ．20D ．15【正确答案】D【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由题意()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫⋅⋅⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭，令3664r r -=⇒=，则系数为()446115C -⋅=.故选：D3．若函数()3f x ax bx =-在1x =处有极值为2，则a 、b 的值分别为（）A ．13a b =⎧⎨=-⎩B ．13a b =⎧⎨=⎩C ．13a b =-⎧⎨=⎩D ．13a b =-⎧⎨=-⎩【正确答案】D【分析】由已知可得出()()1012f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，可求得a 、b 的值，再结合极值点的定义检验即可.【详解】因为()3f x ax bx =-，则()23f x ax b '=-，因为函数()3f x ax bx =-在1x =处有极值为2，则()()13012f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩，此时，()233'=-+f x x ，由()0f x ¢>可得11x -<<，由()0f x '<可得1x <-或1x >，所以，函数()f x 在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得极大值，合乎题意.故选：D.4．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，则不同的安排方式共有（）A ．36种B ．24种C ．18种D ．12种【正确答案】A【分析】应用分步计数乘法原理，再结合排列组合数即可求出不同的分配方案的种数.【详解】由题意可得，一天完成两项工作，其余两天每天完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选：A ．5．函数()πcos 6f x x f x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．π33-B ．π13-C D ．π3【正确答案】A【分析】求出函数的导函数，再令π6x =求出π6⎛⎫' ⎪⎝⎭f ，即可得到函数解析式，再代入计算可得.【详解】因为()πcos 6f x x f x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以()π1sin 6f x f x ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，所以π1π1626f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'，所以π26f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以函数()2cos f x x x =-，ππππ32cos 3333f -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选：A6．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A 为“第一次记下的数字为奇数”，事件B 为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（）A ．()13P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．()14P B A =D ．事件A 与事件B 相互独立【正确答案】C【分析】分别求出()P A ，()P B ，()P AB ，()P B A 进行判断即可.【详解】由题意得()2142P A ==，()334416P B ==⨯，()21448P AB ==⨯，∵()()()P AB P A P B ≠⋅，∴事件A 和事件B 不相互独立，()()()14P AB P B A P A ==．故选：C ．7．若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(),2(2,)-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,【正确答案】B【分析】求出函数的导函数()f x '，由分析可得()2220y x a x a =++++<有解，利用0∆>即可求得实数a 的取值范围.【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅，可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 既有极大值也有极小值，则()2220y x a x a =++++<有解，所以()()22420a a ∆=+-+>，解得2a <-或2a >.故选：B8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0xf x f x '+>，若()1a f =，3311log log 99b f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11ln ln 22c f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b<<D ．a b c<<【正确答案】C【分析】根据()()0xf x f x '+>构造函数()()g x xf x =，利用函数()g x 的奇偶性、单调性比较大小．【详解】令函数()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x +''=，因为定义域为R 的()y f x =是奇函数，()()f x f x -=-，函数()g x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，所以()()()()g x x f x g x -=--=，所以函数()g x 为偶函数；当0x >时，因为()()0xf x f x '+>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上为单调递增，()()11a f g ==，()()333111log log log 22999b fg g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()111ln ln ln ln2ln2222c f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0ln1ln2ln e 1=<<=，所以ln 212<<，根据()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()()ln 212g g g <<．即c a b <<．故选：C ．二、多选题9．下列式子正确的有（）A ．()23e 3e '=B ．2sin cos 1x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．('=D ．()()1ln mx x'=，()0m >【正确答案】CD【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算法则，逐一对各选项进行求导判断即可得出结论.【详解】对于选项A ，()3e 0'=，所以选项A 错误；对于选项B ，2sin cos sin '-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x x xx x ，所以选项B 错误.对于选项C ，(312232x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭C 正确；对于选项D ，()()()11ln ln ln 0mx m x x x''=+=+=，所以选项D 正确；10．如图所示是()y f x =的导数()y f x ='的图象，下列结论中正确的有（）A ．()f x 在区间()31-，上是增函数B ．=1x -是()f x 的极小值点C ．()f x 在区间()24，上是减函数，在区间()12-，上是增函数D ．2x =是()f x 的极小值点【正确答案】BC【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.【详解】根据图象知当()(),,x ∈-+∞124 时，()0f x '>，函数单调递增；当()(),,x ∈--3124 时，()0f x '<，函数单调递减.故A 错误，故C 正确；当=1x -时，()f x 取得极小值，=1x -是()f x 的极小值点，故B 正确；当2x =时，()f x 取得是极大值，2x =不是()f x 的极小值点，故D 错误.故选：BC.11．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成两排，且甲乙不在同一排，则不同的站法种数为432C ．6名同学分配到,,A B C 工厂参加实践活动，每个工厂2人，则有90种不同的安排方法D ．6名同学分别去三个展馆参观，则不同的方法有36种【正确答案】ABC【分析】A 选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B 选项，利用倍缩法求解；C 选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D 选项，分步乘法计数原理.【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A 24=再将甲、乙两人插空，有25A 20=种排法，则共有2420480⨯=种不同的排法，故A 正确；B 选项，甲、乙在前、后排各有13C 种方法，其余4人全排列，1143342C C A 432=，故B 正确；C 选项，6名同学平均分成三组到,,A B C 工厂参观（每个工厂都有人），则有2223642333C C C A 90A =种不同的安排方法，故C 正确；D 选项，6名同学分别去3个展馆参观，分6步，每步3种不同方法，共有63种方法，故D 不正确.故选：ABC.12．15(12)x +展开式中，下列说法正确的有（）A ．偶数项二项式系数和为152B ．奇数项的系数和为15312-C ．第8项与第9项的二项式系数相等D ．第9项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AC ，通过赋值法奇数项的系数和判断B ，列不等式求最大项的系数，判断D.【详解】对于A ：展开式奇数项二项式系数之和142，故A 错误；对于B ：设1521501215(12)x a a x a x a x +=++++ ，令1x =得15012153a a a a ++++= ，令=1x -得012151a a a a -+--=- ，两式相加得150214312a a a -+++= ，故B 正确；对于C ：第8项二项式系数为715C ，第9项二项式系数为815C ，781515C C =，故C 正确；D ：二项展开式的通项为115C 2r r rr T x +=⋅⋅，由111515111515C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，即215!15!!(15)!(1)!(151)!15!215!!(15)!(1)!(151)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪⨯--⨯-+⎪⎨⨯⎪≥⎪⨯-+⨯--⎩，即2(151)12(15)r r r r ⨯-+≥⎧⎨+≥⨯-⎩，得293233r ≤≤，所以r ＝10，即第11项系数最大，故D 错误.故选：BC.13．在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）【正确答案】240【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果.【详解】由分步乘法计数原理得5434240⨯⨯⨯=种,故240.14．621(2)x x++展开式中2x 的系数为________【正确答案】45【分析】利用组合数和二项展开式的通项公式即可求出结果.【详解】621(2)(1)x x++展开式中：若21(2)x+提供常数项2，则6(1)x +提供含有2x 的项，可得展开式中2x 的系数，若（221x+）提供2x -项，则6(1)x +提供含有4x 的项，可得展开式中2x 的系数，由6(1)x +通项公式61C =r rr T x +，可知当2r =时，可得展开式中2x 的系数为262C 30=，当4r =时，可得展开式中2x 的系数为46C 15=，621(2)(1)x x++展开式中2x 的系数为：30+15＝45．故45.15．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=_____【正确答案】0.3##310【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m ，再利用互斥事件的概率公式计算作答.【详解】由分布列的性质得，0.10.321m m +++=，解得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ≤==+==+=.故0.316．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和．现从0,1,2,3,4,5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为__________．【正确答案】215【分析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后在05 一共6个数字中任选两个共有26C 种，和为4的只有()()0,4,1,3两种情况，由此得出该图形为“和谐图形”的概率.【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：2665C 1521⨯==⨯共15种，其中和为36324-=的有()()0,4,1,3共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故215四、解答题17．现有0，1，2，3，4，5六个数字(1)可组成多少个没有重复数字的偶数；(2)组成没有重复数字的五位数，从小到大排列21350是第多少个数字？【正确答案】(1)848(2)155【分析】（1）先对组成几位数讨论，再对末位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果；（2）通过对万位、千位、百位、十位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果；【详解】（1）当组成的数是一位数时，一位偶数有13C 3=个；当组成的数是二位数时，可分两类：末位是0时有15A 5=个，末位是2或4时有1124C A 8=个，二位偶数共有13个；当组成的数是三位数时，可分两类：末位是0时有25A 20=个，末位是2或4时有111244C C A 32=个，三位偶数共有52个；当组成的数是四位数时，可分两类：末位是0时有35A 60=个，末位是2或4时有112244C C A 96=个，四位偶数共有156个；当组成的数是五位数时，可分两类：末位是0时有45A 120=个，末位是2或4时有113244C C A 192=个，五位偶数共有312个；当组成的数是六位数时，可分两类：末位是0时有55A 120=个，末位是2或4时有114244C C A 192=个，六位偶数共有312个；综上，组成的没有重复数字的偶数的个数为31352156312312848+++++=.（2）万位是1的五位数有45A 120=个,万位是2、千位为0的五位数有34A 24=个,万位是2、千位为1、百位为0的五位数有23A 6=个,万位是2、千位为1、百位为3、十位为0或4的五位数有122A 4=个,因此，在21350的前面共有154个数字，所以21350是第155个数.18．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【正确答案】（1）310；（2）12.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()131535C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11321154310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.19．对于1nx ⎛ ⎝-的展开式，若所有二项式系数的和为512(1)求n ；(2)展开式的常数项是第几项；(3)求展开式有多少个有理项？并写出x 升幂排列的第二个有理项.【正确答案】(1)9(2)第7项(3)5个，226396144(2)C T x x -=-=【分析】（1）直接利用二项展开式的二项系数和即可求得结果；（2）利用二项展开式通项公式392192C r rrr Tx-+=-（），即可求出常数项为第七项；（3）先利用二项展开式通项公式392192C r rrr Tx-+=-（），再由2(08,N)r k k k =≤≤∈，得出结果.【详解】（1）由已知得2512n =，所以9n =.（2）因为91x ⎛- ⎝的展开式的通项为：(()93921991C 2C rr rrr rr T xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其中09,N r r ∈≤≤，由3902r-=，得6r =，即6r =时为常数项，常数项为第7项.（3）由二项展开式的通项公式392192C r rrr Tx-+=-（），当0r =或2或4或6或8时，展开式的项为有理项，共5个，x 升幂排列的第二个有理项为226396144(2)C T x x -=-=.20．若直线1ln 2y kx =+-是曲线l (2)n f x x =+的切线，(1)求k ；(2)当14x ∈[,2]，求22()y x f x =+-的最大值与最小值.【正确答案】(1)2；(2)最大值为4ln 2-，最小值为1ln 2+.【分析】（1）设切点为00(,)P x y ，求得001()f x x '=且00ln )2(f x x =+，写出切线方程，结合题意列出方程组，即可求解；（2）由题意得到()2ln g x x x =-，求得()21x g x x-'=，得出函数()g x 的单调性和最小值，结合1(2)(4g g >，再求得()g x 最大值，即可求解.【详解】（1）由函数l (2)n f x x =+，可得1()f x x'=，设切点为00(,)P x y ，可得001()f x x '=且00ln )2(f x x =+，所以曲线l (2)n f x x =+在点P 的处的切线方程为0000011()ln 2ln 1y x x x x x x x =-++=++，又因为1ln 2y kx =+-是曲线l (2)n f x x =+的切线，可得001ln 11ln 2k x x ⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得2k =；（2）因为()22()2ln g x x f x x x =+-=-，所以()1212x g x x x='-=-，令()0g x '<，解得102x <<；令()0g x '>，解得12x >，又因为14x ∈[,2]，所以函数()g x 在11[,42上单调递减，在1[,2]2上单调递增，所以()g x 最小值为1()1ln 22g =+，又由11()ln 442g =+，(2)4ln 2g =-，可得1(2)(4g g >，所以()g x 最大值为4ln 2-，故()g x 最大值为4ln 2-，最小值为1ln 2+.21．某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n16171819202122频数10201616151310①若花店一天购进18枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．【正确答案】(1)()1090,18,N 90,18n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩(2)①数学期望86；方差3083；②花店一天应购进19枝玫瑰花【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；（2）①分别求出16n =，17n =，18n ≥时，X 的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.【详解】（1）当天需求量18n ≥时，利润90y =，当天需求量18n <时，利润1090y n =-，所以当天的利润y 关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式为：()1090,18,N 90,18n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩.（2）①16n =时，10169070X =⨯-=，()700.1P X ==；17n =时，10179080X =⨯-=，()800.2P X ==；18n ≥时，90X =，()900.160.160.150.130.10.7P X ==++++=；所以X 的分布列为：X708090P 0.10.20.7所以期望()700.1800.2900.786E X =⨯+⨯+⨯=，所以方差；()()()2222130870868086908633s ⎡⎤=⨯-+-+-=⎣⎦②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为()86E X =，设当一天购进19枝玫瑰花时，Y 表示当天的利润，16n =时，10169565Y =⨯-=，()650.1P Y ==；17n =时，10179575Y =⨯-=，()750.2P Y ==；18n =时，10189585Y =⨯-=，()850.16P Y ==；19n ≥时，95Y =，()950.160.150.130.10.54P Y ==+++=；所以()650.1750.2850.16950.5486.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以()()E X E Y <，所以花店一天应购进19枝玫瑰花.关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.22．已知函数()()e 2x f x a x =-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析；(2)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图像的单调性及极值，最值情况，求出a 的取值范围.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，()e x f x a '=-，所以，当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()e 0x f x a ='-=得ln x a =，故当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.（2）解：()()e 2x f x a x =-+定义域为R ，()()e 2x f x a x =-+有两个零点，即()e 2x a x =+有两个实数解当2x =-时，2e 0-=不成立，故2x =-不是零点，当2x ≠-时，e 2x a x =+，设()e 2xh x x =+，2x ≠-，则()()()2e 12x x h x x '+=+，当<2x -或2<<1x --时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>所以()e 2xh x x =+在()(),2,2,1-∞---上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，当<2x -时，()e 02x h x x =<+恒成立，=1x -是()e 2xh x x =+的极小值点，()11e h -=画出函数()e 2xh x x =+的图像如下：因为要使()e 2xa x =+有两个实数解，则()e 2x h x x =+与y a =图像有两个交点，所以，当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a 时，()e 2x h x x =+与y a =图像有两个交点综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭思路点睛：已知函数有零点或零点个数，求解参数取值范围问题，通常思路，一是参变分离，构造函数，研究其单调性及极值，最值情况，求出参数的取值范围；二是整体求导，再对参数进行分类讨论，结合零点存在性定理进行求解参数的取值范围.。
河北省石家庄市第一高二数学下学期期中试题理
河北省石家庄市第一中学 高二数学下学期期中试题 理选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.设复数21z i =+(其中为虚数单位)，则23z z +的虚部为A ．2iB ．0C ．10-D ．22．已知R 为全集,}2)3(log |{21-≥-=x x A ,}125|{≥+=x x B ,则()A RðB I 是 A. {}213x x x -<≤-=或 B. {}213x x x -<<-=或 C.{}132x x x -<<=-或 D. {}132x x x -<≤=-或3. 已知两条不同的直线,m n 和两不同的平面α，β，以下四个命题正确的个数为 ①若m //α，n //β，且α//β，则m //n ②若m //α，n ⊥β，且α⊥β，则m //n ③若m ⊥α，n //β，且α//β，则m ⊥n ④若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩 几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.9 B.10C.11D.2325．已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -等于 A ．1B ．34C ．12D ．386．已知实数[0,8]x ∈，执行如下图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为A ．14B ．12C ．34D ．547.平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD A ==∠=︒，点M 在 AB 边上，且AB AM 31=，则DM ⋅等于A. ―33B. 33 C. ―1D.18. 集合222{(,)|0,},{(,)|,0}A x y x y m m B x y x y n n =-+=∈=+≤>R 则22"2"m n <是“A B ≠∅I ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后所得图象解析式为A.y=sin2xB.y=cos2xC. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x-π6)10. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点垂直于x 轴的弦长为a 21，则双曲线12222=-b y ax 的离心率e 的值是A ．45B ．25C ．23D ．4511．若函数)10()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 且在R 上既是奇函数，又是减函数，则函数)(log )(k x x g a +=的图象是12. 已知()y f x =是偶函数，而(1)y f x =+是奇函数，且对任意01x ≤≤，()f x 递减，都有51()0,(2010),(),()42f x a f b f c f ≥===-则的大小关系是 A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意：把填空题和解答题的答案写到答题纸上。
河北省高二下学期期中数学试卷(理科)D卷(模拟)
河北省高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·长春模拟) i为虚数单位，则i+i2+i3+i4=（）A . 0B . iC . 2iD . ﹣i2. （2分）观察下列各式：则则的末两位数字为（）A . 01B . 43C . 07D . 493. （2分）设函数，其中，，则的展开式中的系数为（）A . -360B . 360C . -60D . 604. （2分）复数，在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分）(2017·武邑模拟) 等差数列{an}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A .B . 4C .D .6. （2分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形，△A2B2C2一定是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定7. （2分）已知曲线经过点，则曲线在该点处的切线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上是增函数，y=（）x是指数函数，所以y=（）x在（0，+∞）上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 以上都可能9. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．A . 6038B . 6587C . 7028D . 753910. （2分）设复数,，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限11. （2分） (2016高二下·漯河期末) 二次函数f（x）的图象经过点（0，），且f′（x）=﹣x﹣1，则不等式f（10x）＞0的解集为（）A . （﹣3，1）B . （﹣lg3，0）C . （，1）D . （﹣∞，0）12. （2分）等差数列中的 a1 ， a4027 是函数的极值点，则（）A . 3B . 2C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）已知z∈C，且|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为________，最小值为________．14. （1分） (2018高二下·黑龙江期中) 若，则等于________．15. （1分）若数列{an}（n∈N*）是等差数列，则有数列（n∈N*）也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0，则有数列dn=________ （n∈N*）也是等比数列．16. （1分） (2017高二下·徐州期末) 函数y=3x﹣x3的单调递增区间为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，（1）求z1；（2）若复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求复数z2 ．18. （10分） (2018高二下·柳州月考) 已知函数在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）若，且存在，使得成立，求的最小值．19. （10分）(2019·厦门模拟) 已知函数 .（1）若，求的单调区间；（2）若，，求证： .20. （10分） (2016高二下·玉溪期中) 已知数列{an}满足a1=a，an+1= （n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．21. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=4，且 2bn=an+an+1 ，an+12=bnbn+1 ．（Ⅰ）求 a 2 ， a3 ， a4 及b2 ， b3 ， b4；（Ⅱ）猜想{an}，{bn};的通项公式，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：对所有的n∈N* ，• •…• ＜＜ sin ．22. （10分） (2017高二下·黑龙江期末) 设函数（为常数，e=2.71828……是自然对数的底数）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．23. （15分） (2018高二下·湖南期末) 设 ,函数 . （1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数单调区间（3）若有两个零点 ,求证: .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
石家庄市高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
石家庄市高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合(i为虚数单位)，则下面属于M的元素是（）A .B .C .D .2. （2分）有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误3. （2分） (2019高三上·东湖期中) 函数，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·曲周期中) 设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn ，则x1•x2•…•xn的值为（）A .B .C .D . 15. （2分）已知：函数f（x）=sinx﹣cosx，且f'（x）=2f（x），则 =（）A .B .C .D .6. （2分）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,……这些数叫做三角形数．则第n个三角形数为（）A .B .C .D .7. （2分）函数y=loga（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-29. （2分）如图，是函数的导函数图象，则下面判断正确的是（）A . 在区间（-2,1）上f(x)是增函数；B . 在区间（1,2）上f(x)是减函数；C . f(x)有一个极大值，两个极小值D . 当x=1时，f(x)取极大值，x=3，f(x)取极小值.10. （2分） (2019高二上·湖南期中) 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二下·哈密期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数的部分图象如图所示，则点P的坐标为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共8分)13. （1分）设复数的模为，则________ 。
河北省高二下学期期中数学试卷(理科)D卷精编
河北省高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·承德月考) 已知集合，集合，求（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数，则的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 执行如下程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A .B .C .D .4. （2分）（）A . 0B . πC . －πD . 2π5. （2分） (2017高二下·长春期中) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种6. （2分）当时，复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分） (2019高一上·青冈期中) 下列函数为奇函数的是（）A .B .C .D .8. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·长春期中) 在等比数列{an}中，若a1=2，a2+a5=0，{an}的前n项和为Sn ，则S2016+S2017=（）A . 4034B . 2C . ﹣2D . ﹣403210. （2分） (2017高二下·汉中期中) 若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A . ﹣4B . ﹣2C . 2D . 411. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 函数有极值点，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数f（x）=xα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A . 2x+y=0B . 2x﹣y=0C . 4x﹣4y+1=0D . 4x+4y+1=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·深圳月考) 设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和 =________．14. （1分）设曲线x2=ay在x=2处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=________．15. （1分） (2018高二下·聊城期中) 2018年3月22 日,中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛,小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛,赛场-排有个位置,若这人并排而坐,则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有________种．16. （1分） (2016高三上·绍兴期末) 设f（x）= ，若x满足f（x）≥3，则log2（）的最大值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (共6题；共60分)17. （10分）计算题。
2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省石家庄市高二下册期中数学模拟试题一、单选题1．下列式子求导正确的是（）A ．()2cos 2sin x x x x'-=-B ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()e (1)e x xx x '--=-D ．1(ln 2)2'=【正确答案】C【分析】利用导数的运算公式分别求导数即可，注意A 中的余弦函数的导数公式，B 中的分式求导可转化为幂函数求导，C 中注意e x -求导要用到复合函数的求导法则，D 中的ln 2是常数，求导为零，不同于ln x 在2x =时导数值.【详解】∵()cos sin x x '=-，∴()()2cos 2sin 2sin x x x x x x '-=--=+，由()1xxααα-'=，可得()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，()e e (e )e (e )(1)e x x x x x x x x x x x '------''=+=+-=-，∵ln 2是常数，而常数的导数为0，∴(ln 2)0'=，故选：C2．已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim 2x f x f x∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【正确答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim 3ΔΔx x f x f f x f f x x→→----=--'=-，所以()32f '=-.故选：D.3．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是（）A．B．C ．D．【正确答案】D【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号，据此可判断()f x '的图象.【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0∞-上为单调递减函数，故(),0x ∈-∞时，()0f x '<，故排除A ，C ；当()0,x ∈+∞时，函数()f x 的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以()f x '的值是先正，再负，最后是正，因此排除B ，故选：D.4．函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()2-∞-，B ．18⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，C ．()8-+∞，D ．()2-+∞，【正确答案】C【分析】通过题意将问题转化为存在1,24x ⎛∈⎫⎪⎝⎭使得()120f x ax x '=+>成立，通过参变分离手段求解即可.【详解】由题意得，()12f x ax x'=+，因为函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以存在1,24x ⎛∈⎫⎪⎝⎭使得()120f x ax x '=+>成立，即2min 182a x ⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭.故选:C5．如图，一圆形信号灯分成,,,A B C D 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A ．18B ．24C ．30D ．42【正确答案】A【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么,A C ，要么,B D 相同，有2种方案，则不同的信号数为332A 12=；若只用2种不同的颜色灯带，则,A C 颜色相同，,B D 颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为2232C A 6=；则不同的信号总数为12618+=.故选：A ．6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A ．0.78B ．0.64C ．0.58D ．0.48【正确答案】A【分析】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设B =“任取一块芯片是正品”，()1,2,3i A i =分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶12351010()0.2,()0.4,()0.4252525P A P A P A ======，123(10.10.9,(10.20.8,()10.30|)|).7|P B A P B A P B A =-==-==-=，由全概率公式可得∶112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.90.40.80.40.70.78=⨯+⨯+⨯=.故选：A7．设2020220200122020(1)ax a a x a x a x -=++++ ，若12320202320202020(0)a a a a a a ++++=≠ ，则实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．1-【正确答案】A【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令1x =，建立方程即可求解.【详解】对已知关系式两边同时求导可得：()()201922019123202020201232020ax a a a x a x a x -⨯-=+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅，令1x =，则()()2019123202023202020201a a a a a a ++++=⨯-⨯- ，()()20191a a a ∴-⨯-=，即()201911a -=-，解得.2a =故选：A.8．f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0且f （﹣1）＝0则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集为A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【正确答案】A【分析】构造函数h （x ）＝f （x ）g （x ），由已知得当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，得到f （x ）g （x ）＜0不等式的解集．【详解】设h （x ）＝f （x ）g （x ），因为当x ＜0时，f '（x ）g （x ）+f （x ）g '（x ）＜0，所以当x ＜0时，h '（x ）＜0，所以函数y ＝h （x ）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以函数y ＝h （x ）为R 上的奇函数，所以函数y ＝h （x ）在（0，+∞）单调递减，因为f （﹣1）＝0，所以函数y ＝h （x ）的大致图象如下：所以等式f （x ）g （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A ．本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题．二、多选题9．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A ．若A ，B 不相邻，有72种排法B ．若A 在正中间，有24种排法C ．若A 在B 左边，有24种排法D ．若A ，B 相邻，有24种排法【正确答案】AB【分析】A.利用插空法求得选项A 正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B 正确；C.利用缩倍法求得选项C 不正确；D.利用捆绑法求得选项D 不正确.【详解】A.若A 、B 不相邻，利用插空法得共有3234A A 72⋅=种方法，故A 正确；B.若A 站在最中间，有2242A A 24=种方法，故B 正确；C.若A 在B 左边，利用缩倍法共有5522A 60A =种方法，故C 不正确；D.若A 、B 两人相邻站在一起，利用捆绑法共有4242A A 48=，故D 不正确.故选：AB10．已知曲线()1f x x=，则过点()1,3-，且与曲线()y f x =相切的直线方程可能为（）A ．2y x =-+B ．96y x =--C ．85y x =--D ．74y x =--【正确答案】AB【分析】设出切点坐标001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，求出函数()f x 的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点()1,3-的直线与曲线()y f x =相切的切点为001(,)x x ，由()1f x x =求导得()21f x x'=-，于是得切线方程为020011()y x x x x -=--，即20012y x x x =-+，则200123x x =+，解得01x =或013x =-，因此得切线方程为2y x =-+或96y x =--，所以所求切线的方程是2y x =-+或96y x =--.故选：AB11．在()(13)N n x n *-∈的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（）A ．8n =B ．展开式中各项系数和为256C ．第4项的二项式系数最大D ．展开式中所有系数的绝对值的和为4【正确答案】AB【分析】根据二项式定理及其性质计算逐一分析判断即可.【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为2256n =，解得8n =，A 选项正确；令1x =，得()()88132256-=-=，B 选项正确；8n =时，()13n x -的展开式共9项，二项式系数最大的项为第5项，C 选项错误；设()828012813x a a x a x a x -=+++ ，则1a ，3a ，5a ，7a 为负数，0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为018012345678a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-+ ，令=1x -，得()88018134a a a +++=+= ，D 选项错误.故选：AB.12．对于函数ln ()xf x x=，下列说法正确的有（）．A ．()f x 在x e =处取得极大值1eB ．()f x 有两不同零点C ．(2)()(3)f f f π<<D ．若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则1k >【正确答案】ACD【分析】对于A ，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B ，令()0f x =，则可得函数的零点；对于C ，由选项A 的解答过程可知，当>x e 时，函数()f x 为减函数，所以()()()34f f f π>>，而(2)(4)f f =，从而可得结果；对于D ，由1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，得ln 1x k x x >+，令ln 1()x h x x x=+，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数'21ln ()xf x x -=，(0)x >，令()0f x '=得x e =，则当0<<x e 时，()0f x '>，函数为增函数，当>x e 时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当x e =时，函数取得极大值，极大值为()1f e e=，故A 正确，由()0f x =，得ln 0x =，得1x =，即函数()f x 只有一个零点，故B 错误，()()ln 42ln 2ln 224442f f ====Q ，由>x e 时，函数()f x 为减函数知()()()34f f f π>>，故()()()23f f f π<<成立，故C 正确，若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则ln 1x k x x>+，设ln 1()x h x x x=+，(0)x >，则2ln ()xh x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当1x =时，函数()h x 取得极大值同时也是最大值()11h =，1k ∴>成立，故D 正确.故选：ACD ．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．三、填空题13．函数()sin f x x x =-，()0,x π∈的单调递减区间为______．【正确答案】()0,π【分析】根据导数的符号求解即可.【详解】当0πx <<时，()cos 1'=-f x x 0<，所以()f x 的单调递减区间为(0,)π.故()0,π14．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长．协助老师了解学情，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则()P A B =__________．【正确答案】35/0.6【分析】可以利用()()()|n AB P A B n B =或()()()|P AB P A B P B =计算，注意本题中两个事件具有包含关系，即AB A =.【详解】[解法一]抽到的2名成员都是女生的取法有2615C =种，抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，有2264151025C C +=+=种，所以()15n A =,()25n B =.因为A B ⊆，所以()()n A n AB =，所以()()()153|255n AB P A B n B ===.[解法二]10名成员中任选2人，有210C 种不同的取法，每种取法都是等可能的.抽到的2名成员都是女生的取法有2615C =种，抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，有2264151025C C +=+=种，所以()15n A =,()25n B =.由于A B ⊆，所以()()n A n AB =，所以()()151453P AB P A ===,()255459P B ==,所以()()()133|559P AB P A B P B ===.15．411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数是______（用数字作答）.【正确答案】5【分析】求得4(1)x +的展开式的通项为14r rr T C x +=⋅，进而得出展开式中含有3x 的项，即可求解.【详解】由4(1)x +的展开式的通项为41441rrr rr r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，则411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含有3x 的项为3344333441145C x C x x x x x ⋅⋅+⋅⋅=+=，所以411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数是5.故答案为.516．已知函数3()3f x x x =-对区间[3,2]-上任意的1,x 2x 都有()()12f x f x m -≤，则实数m 的最小值是________.【正确答案】20【分析】求出()f x 在[3,2]-上的最大值和最小值后由两者差可得m 的范围，即得m 的最小值、【详解】3()3f x x x =-，则2()33f x x '=-＝0，1x =±，当31x -≤<-或12x <≤时，()0f x '>，()f x 递增，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 递减．所以()(1)2f x f =-=极大值，()2f x =-极小值，又(3)18f -=-，(2)2f =，所以在[3,2]-上，()2,()18f x f x ==-最大值最小值，所以12()()f x f x -的最大值为2(18)20--=，即20m ≥，所以m 的最小值为20．故20．本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间[3,2]-上任意的1,x 2x 都有()()12f x f x m -≤，转化继12()()()()f x f x f x f x -≤-最大值最小值．四、解答题17．已知二项式3nx⎛ ⎝的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：(1)n 的值；(2)展开式中x 项的系数；(3)展开式中所有含x 的有理项．【正确答案】(1)4(2)54(3)第1项481x ，第3项54x ，第5项2x -【分析】（1）由题可得22404n n +=，解方程即得；（2）利用二项展开式的通项公式，即得；（3）利用二项展开式的通项公式，令34Z 2r -∈，即求．【详解】（1）由已知，得22404n n +=，即()2222400n n --=，所以216n =或215n =-（舍），∴4n =．（2）设展开式的第1r +项为34442144C (3)3C rr r rr r r T x x---+=⋅=．令3412r -=，得2r =，则含x 项的系数为2243C 54⋅=．（3）由（2）可知，令34Z 2r -∈，则有0r =，2，4，所以含x 的有理项为第1项481x ，第3项54x ，第5项2x -．18．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【正确答案】(1)0.0345(2)此次品由甲车间生产的概率为：2569，由乙车间生产的概率为：2869，由丙车间生产的概率为：1669【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】（1）取到次品的概率为0.250.050.350.040.40.020.0345⨯+⨯+⨯=（2）若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为.0.250.050.0125250.03450.034569⨯==此次品由乙车间生产的概率为.0.350.040.014280.03450.034569⨯==此次品由丙车间生产的概率为.0.40.020.008160.03450.034569⨯==19．已知()1x f x e ax =--．(1)当2a =时，讨论()f x 的单调区间；(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．【正确答案】(1)单调增区间是(ln2,)+∞，单调递减区间为(,ln2)-∞.(2)(,0]-∞．【分析】（1）对()f x 求导，利用导函数的正负讨论单调区间；（2）()f x 在定义域R 内单调递增，即导函数()0x f x e a '=-≥恒成立，解a 的取值范围即可.【详解】（1）当2a =时，()21x f x e x =--，定义域x ∈R .()2x f x e '∴=-.令()0f x '>，即20x e ->解得：ln 2x >；令()0f x '<，即20x e -<解得：ln 2x <；∴当2a =时，函数()f x 的单调增区间是(ln2,)+∞，递减区间为(,ln2)-∞.（2）∵()1x f x e ax =--，x ∈R ∴()x f x e a'=-∵()f x 在R 上单调递增，即()0x f x e a '=-≥恒成立，∵x ∈R 时(0,)x e ∈+∞∴0a ≤，即a 的取值范围为(,0]-∞．20．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【正确答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．21．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数．(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(]0,e 上的最大值为－3，求a 的值．【正确答案】(1)1-(2)2e a =-【分析】（1）求出()f x '，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；（2）求出()f x '，分1e a ≥-和1e a <-两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解a 的值即可.【详解】（1）解：函数()ln f x ax x =+的定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，则11()1x f x x x-'=-+=，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上为单调递增函数，在(1,)+∞上为单调递减函数，所以()()max 11f x f ==-，所以当1a =-时，求()f x 的最大值为1-；（2）解：函数()ln f x ax x =+，则1()f x a x '=+，(]0,e x ∈，11,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，①若1e a ≥-，则()0f x '≥，所以()f x 在(]0,e 上单调递增，故()max ()e e 10f x f a ==+≥，不符合题意；②若1ea <-，当10x a<<-时，()0f x '>，当1e x a -<≤时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在1,e a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为单调递减函数，则max 11()1ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11ln 3a ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，可得1ln 2a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得2e a =-，因为21e e -<-，所以2e a =-符合题意，综上所述2e a =-.22．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()()1f x k x >+恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)2a =-(2)1k <-【分析】（1）由已知得出()e 0f '=，可求得实数a 的值；（2）由参变量分离法可得出ln 21x x x k x -<+对任意的0x >，利用导数求出函数()ln 21x x x g x x -=+在其定义域上的最小值，可得出实数k 的取值范围.【详解】（1）解：因为()ln f x ax x x =+，则()()1ln f x a x '=++，由已知可得()e 20f a '=+=，解得2a =-.此时，()ln 1f x x '=-，当0e x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当e x >时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，故函数()f x 在e x =处取得极小值，合乎题意.因此，2a =-.（2）解：由（1）可得()ln 2f x x x x =-，该函数的定义域为()0,∞+，由()()1f x k x >+可得ln 21x x x k x -<+，令()ln 21x x x g x x -=+，其中0x >，则()()()()()()22ln 11ln 2ln 111x x x x x x x g x x x -+--+-'==++.，设()()ln 10h x x x x =+->，则()110h x x+'=>，所以，()h x 在()0,∞+上是增函数，又因为()10h =，当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()min 11g x g ==-，故1k <-.。
2022-2023学年河北省石家庄市部分学校高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省石家庄市部分学校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某体育用品店有5款不同的篮球、4款不同的排球，某人要买一个篮球和一个排球，不同的选法有（ ） A ．9种B ．10种C ．20种D ．36种2．设两个正态分布N （μ1，σ12）（σ1＞0）和N （μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（ ）A ．μ1＜μ2，σ1＞σ2B ．μ1＜μ2，σ1＜σ2C ．μ1＞μ2，σ1＞σ2D ．μ1＞μ2，σ1＜σ23．某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A ．0.12B ．0.16C ．0.2D ．0.324．编钟是中国古代重要的打击乐器，是钟的一种．编钟兴起于周朝，盛于春秋战国直至秦汉．如图，某仿古双层编钟模型摆件由12枚大小不同的编钟组成，若将这12枚编钟重新悬挂，上层5枚，下层7枚，且要求每层的编钟左边都比右边的大，则不同的悬挂方法有（ ）A ．672种B ．728种C ．792种D ．800种5．已知某同学投篮一次的命中率为910，连续两次均投中的概率是12，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．596．如图，在墙角有一根长1米的直木棒AB 紧贴墙面，墙面与底面垂直．在t ＝0s 时，木棒的端点A 以0.1m /s 的速度竖直向下匀速运动，端点B 向右沿直线运动，则端点B 在t ＝5s 这一时刻的瞬时速度为（ ）A ．√330m/s B ．√530m/s C ．√310m/s D ．√510m/s 7．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同．若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）A ．600种B ．1080种C ．1200种D ．1560种8．如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成．已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．623D ．643二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．由数字1，2，3，5组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ） A ．可以组成24个数B ．可以组成18个奇数C ．可以组成10个偶数D ．可以组成18个比2000大的数10．已知随机变量X 的分布列为：若E （X ）=115，则（ ） A ．x =15B ．y =25C ．P （X ≤2）=35D ．D （X ）=142511．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），若xf '（x ）+x 2＜f （x ）对x ∈（0，+∞）恒成立，则（ ）A ．2f （1）＞f （2）+2B ．2f （1）＜f （2）+2C ．3f （1）＞f （3）+3D ．3f （1）＜f （3）+312．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ＞0时，f （x ）＝lnx +ax ．若存在等差数列x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），其中x 1+x 4＝0，使得f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）成等比数列，则a 的取值可能为（ ） A ．√32eB ．ln(1+34e) C ．34eD ．1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．在(x +1x)6的展开式中，x 4的系数为 ．14．已知三次函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝x •f '（x ）的图象如图所示，则f （x ）在x ＝ 处取得极大值，在x ＝ 处取得极小值．15．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n 次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次．（参考数据：lg 2≈0.3）16．已知关于x 的不等式（e x +1）x ＞（lnx ﹣ln λ）（xλ+1）恒成立，则λ的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布N （85，σ2），且P （80≤ξ≤85）＝0.4． （1）估计成绩在90分以上的学生人数；（2）若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为X ，求X 的期望． 18．（12分）A ，B ，C ，D ，E 这5个家庭的子女人数如下表所示：（1）若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E 家庭的概率；（2）若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X ，求X 的分布列及期望． 19．（12分）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人．（1）若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？ 20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣2lnx +2． （1）若f （x ）在x ＝1处取得极值，求a 的值； （2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．（12分）某商场为了吸引顾客，举办了投篮得优惠券活动，规则如下：若顾客连续投中三次，游戏过关，停止游戏，获得9元优惠券；若连续未投中两次，游戏失败，停止游戏，获得3元优惠券；若投篮六次仍未分出游戏过关或失败，也停止游戏，获得6元优惠券．顾客小明准备参与该活动，已知小明的投篮命中率为23．（1）求小明投篮五次结束游戏的概率；（2）记小明获得的优惠券金额为X ，求X 的分布列及期望．22．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x +1）+ax （a ∈R ），g （x ）＝x 3+sin x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若a ＝0，证明：f （x ）≤g （x ）．2022-2023学年河北省石家庄市部分学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某体育用品店有5款不同的篮球、4款不同的排球，某人要买一个篮球和一个排球，不同的选法有（ ） A ．9种B ．10种C ．20种D ．36种解：由题意可知，不同的选法有5×4＝20． 故选：C ．2．设两个正态分布N （μ1，σ12）（σ1＞0）和N （μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（ ）A ．μ1＜μ2，σ1＞σ2B ．μ1＜μ2，σ1＜σ2C ．μ1＞μ2，σ1＞σ2D ．μ1＞μ2，σ1＜σ2解：从正态曲线的对称轴的位置看：μ1＜μ2，由标准差的意义得：正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小．∴σ1＞σ2 故选：A ．3．某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A ．0.12B ．0.16C ．0.2D ．0.32解：某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%，从该厂生产的口罩中任选一个， 则由全概率公式得到选到绑带式口罩的概率为：P ＝0.8×0.1+0.2×0.2＝0.12． 故选：A ．4．编钟是中国古代重要的打击乐器，是钟的一种．编钟兴起于周朝，盛于春秋战国直至秦汉．如图，某仿古双层编钟模型摆件由12枚大小不同的编钟组成，若将这12枚编钟重新悬挂，上层5枚，下层7枚，且要求每层的编钟左边都比右边的大，则不同的悬挂方法有（ ）A ．672种B ．728种C ．792种D ．800种解：由题意可知，不同的悬挂方法有C 125=792种．故选：C ．5．已知某同学投篮一次的命中率为910，连续两次均投中的概率是12，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．59解：根据题意，设A ＝“该同学某次投篮命中”，事件B ＝“随后一次也名中”，则P （A ）=910，P （AB ）=12，故P （B |A ）=P(AB)P(A)=12910=59．故选：D ．6．如图，在墙角有一根长1米的直木棒AB 紧贴墙面，墙面与底面垂直．在t ＝0s 时，木棒的端点A 以0.1m /s 的速度竖直向下匀速运动，端点B 向右沿直线运动，则端点B 在t ＝5s 这一时刻的瞬时速度为（ ）A ．√330m/s B ．√530m/s C ．√310m/s D ．√510m/s 解：根据题意，设B 运动的路程为s ，则s 2+（1﹣0.1t ）2＝1， 可得s =√1−(1−0.1t)2=√−0.01t 2+0.2t ， 其导数s ′=1−0.1t√20t−t ，则有s ′|x ＝5=√330，即端点B 在t ＝5s 这一时刻的瞬时速度为√330． 故选：A ．7．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同．若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）A ．600种B ．1080种C ．1200种D ．1560种解：根据题意，先涂面P AB ，有6种选择；再涂面PBC ，有5种选择；再涂面ABCD ，有4种选择， 若面P AD 与面PBC 所涂颜色不同，则面P AD 有3种选择，面PCD 有3种选择． 若面P AD 与面PBC 所涂颜色相同，则面PCD 有4种选择． 故不同的涂色方法有6×5×4×（3×3+4）＝1560种． 故选：D ．8．如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成．已知正四棱锥的侧棱长为3，正四棱柱的高为1，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．623D ．643解：设正四棱锥的高为h，（0＜h＜3），底面积为S，所以S＝2×（9﹣h2），所以几何体的体积V=13Sℎ+S⋅1=2×(9−ℎ2)(13ℎ+1)，设f(ℎ)=2×(9−ℎ2)(13ℎ+1)，故f′（h）＝﹣2（h2+2h﹣3），令f′（h）＝0，解得h＝﹣3或1，当0＜h＜1时，f′（h）＞0，当1＜h＜3时，f′（h）＜0，故函数在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f(ℎ)man=f(1)=643，即组合的最大体积为643．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．由数字1，2，3，5组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）A．可以组成24个数B．可以组成18个奇数C．可以组成10个偶数D．可以组成18个比2000大的数解：根据题意，依次分析选项：对于A，可以组成A44=24个四位数，A正确；对于B，若组成奇数，其个位数字有3种情况，剩下的位置任意排列，有3A33=18个奇数，B正确；对于C，若组成奇数，其个位数字有1种情况，剩下的位置任意排列，有A33=6个偶数，C错误；对于D，要求四位数比2000大，其千位数字可以为2、3、4，有3种情况，剩下的位置任意排列，有3A33=18个符合题意的四位数，D正确．故选：ABD．10．已知随机变量X的分布列为：若E（X）=115，则（）A．x=15B．y=25C．P（X≤2）=35D．D（X）=1425解：根据分布列：{15+x+y=11 5×1+2x+3y=115，解得{x=25y=25．故A错误，B正确；对于C：P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=15+25=35，故C正确；对于D ：D(X)=(1−115)2×15+(2−115)2×25+(3−115)2×25=1425，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），若xf '（x ）+x 2＜f （x ）对x ∈（0，+∞）恒成立，则（ ） A ．2f （1）＞f （2）+2 B ．2f （1）＜f （2）+2C ．3f （1）＞f （3）+3D ．3f （1）＜f （3）+3解：设g （x ）=f(x)+x 2x ，则g ′（x ）=xf′(x)−f(x)+x 2x 2＜0， 所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以g （1）＞g （2）＞g （3）， 即f(1)+11＞f(2)+222＞f(3)+323，2f （1）＞f （2）+2，3f （1）＞f （3）+6＞f （3）+3．故选：AC ．12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ＞0时，f （x ）＝lnx +ax ．若存在等差数列x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），其中x 1+x 4＝0，使得f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）成等比数列，则a 的取值可能为（ ） A ．√32eB ．ln(1+34e) C ．34eD ．1e解：因为x 1+x 4＝x 2+x 3＝0，2x 3＝x 2+x 4，所以x 4＝3x 3， 因为f （x 1），f （x 2），f （x 3），f （x 4）成等比数列，所以f(x 4)f(x 3)=f(x 3)f(x 2)=−1，则f （x 3）+f （x 4）＝0，即f （x 3）+f （3x 3）＝0（x 3＞0）， 所以方程f （x ）+f （3x ）＝lnx +ax+ln （3x ）+a3x=0有正实数解，整理得﹣4a ＝3xln （3x 2）， 设g （x ）＝3xln （3x 2），则g ′（x ）＝3ln （3x 2）+6， 当x ＞√33e 时，g ′（x ）＞0，当0＜x ＜√33e 时，g ′（x ）＜0， 所以g （x ）在（√33e ，+∞）上单调递增，在（0，√33e）上单调递减， 所以g （x ）min ＝g （√33e）=−2√3e ，所以﹣4a ≥−2√3e ，解得a ≤√32e ，故A 正确；设h （x ）＝ln （1+x ）﹣x ，h ′（x ）=11+x −1=−x1+x ， 当x ∈（0，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 所以h （34e）＝ln （1+34e ）−34e ＜h （0）＝0，则ln （1+34e ）＜34e ＜√32e ，故B ，C 正确；1e＞√32e，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．在(x +1x )6的展开式中，x 4的系数为 6 ．解：在(x +1x)6的展开式中，通项公式为T r +1=C 6r •x 6﹣2r，令6﹣2r ＝4，可得r ＝1，故x 4的系数为C 61=6．故答案为：6．14．已知三次函数f （x ）的导函数为f '（x ），函数y ＝x •f '（x ）的图象如图所示，则f （x ）在x ＝ 5 处取得极大值，在x ＝ ﹣5 处取得极小值．解：当﹣5＜x ＜0时，y ＝xf ′（x ）＜0，可得f ′（x ）＞0， x ＜﹣5时，y ＝xf ′（x ）＞0，可得f ′（x ）＜0， 0＜x ＜5时，y ＝xf ′（x ）＞0，可得f ′（x ）＞0， x ＞5时，y ＝xf ′（x ）＜0，可得f ′（x ）＜0，所以，f （x ）在（﹣∞，﹣5）递减，在（﹣5，0）递增，在（0，5）递增，在（5，+∞）递减， 所以f （x ）在x ＝﹣5处取得极小值，在x ＝5处取得极大值． 故答案为：5，﹣5．15．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n 次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 3 次．（参考数据：lg 2≈0.3）解：甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n 次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%， 所以中靶0次的概率为（1﹣0.6）n ， 所以1﹣（1﹣0.6）n ＞0.9， 两边取对数，nlg 0.4＜lg 0.1， 故n ＞lg0.1lg0.4=11−2lg2≈2.5， 由于n ∈N +，故至少投掷3次． 故答案为：3．16．已知关于x 的不等式（e x +1）x ＞（lnx ﹣ln λ）（xλ+1）恒成立，则λ的取值范围为 (1e ，+∞) ．解：（e x +1）x ＝（e x +1）lne x ＞（lnx ﹣ln λ）（xλ+1）=(xλ+1)ln x λ（x ＞0，λ＞0），设函数f （x ）＝（x +1）lnx ，x ＞0，则f(e x )＞f(xλ)， f '（x ）＝lnx +1x +1，令函数g （x ）＝lnx +1x +1，则g '（x ）=x−1x 2， 当x ＞1时，g '（x ）＞0，当0＜x ＜1时，g '（x ）＜0， 故g （x ）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， g （x ）min ＝g （1）＝2，则f '（x ）≥2，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以e x ＞x λ，即λ＞x e x， 设函数h （x ）=x e x (x ＞0)，则h '（x ）=1−xe x ，当0＜x ＜1时，h '（x ）＞0，g （x ）单调递增，当x ＞1时，h '（x ）＜0， 故ℎ(x)max =ℎ(1)=1e，所以λ的取值范围为(1e，+∞)． 故答案为：(1e，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布N （85，σ2），且P （80≤ξ≤85）＝0.4． （1）估计成绩在90分以上的学生人数；（2）若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为X ，求X 的期望． 解：（1）因为ξ～N （85，σ2），P （80≤ξ≤85）＝0.4， 所以P （ξ≥85）＝0.5，P （85≤ξ≤90）＝0.4， 所以P （ξ＞90）＝0.1，即抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的概率为0.1，所以抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的人数为100×0.1＝10； （2）由（1）P （ξ≥80）＝P （80≤ξ≤85）+P （ξ＞85）＝0.9， 所以任意抽取一学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为0.9， 由已知X ～B （10，0.9），所以X 的分布列为：P(x =k)=C 10k(0.9)k (0.1)10−k ，k =0，1，2，3，⋯，10，所以E （X ）＝10×0.9＝9．18．（12分）A ，B ，C ，D ，E 这5个家庭的子女人数如下表所示：（1）若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E 家庭的概率； （2）若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X ，求X 的分布列及期望． 解：（1）由题设，M 表示选到女孩，N i （i ＝A ，B ，C ，D ，E ）表示选到对应家庭的孩子， 所以P(M)=47，P(M|N E )=23，P(N E )=37，由P （M |N E ）P （N E ）＝P （N E |M ）P （M ），则P(N E |M)=P(M|N E )P(N E )P(M)=12，所以选到的是女孩，该女孩来自E 家庭的概率为12；（2）由题意，5个家庭中任选3个家庭有{ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE }，对应女孩比男孩多的家庭数为{1，0，1，1，2，1，1，2，1，2}， 所以X 取值可能为{0，1，2}，且P(X =0)=110，P(X =1)=35，P(X =2)=310， 故X 的分布列为：所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65．19．（12分）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人．（1）若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？ 解：（1）根据题意，分2步进分析：①将7本书分为1﹣2﹣4的三组，有C 71C 62C 44=105种分组方法，②将分好的3组分给甲、乙、丙三人，有A 33=6种情况， 则有105×6＝630种分配方法； （2）根据题意，分2步进分析： ①将7本书分为2﹣2﹣3的三组，有C 72C 52C 33A 22=105种分组方法，②将分好的3组分给甲、乙、丙三人，有A 33=6种情况， 则有105×6＝630种分配方法．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣2lnx +2． （1）若f （x ）在x ＝1处取得极值，求a 的值； （2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝ax ﹣2lnx +2，则f '（x ）＝a −2x， ∵f （x ）在x ＝1处取得极值， ∴f '（1）＝a ﹣2＝0，解得a ＝2， 经检验，a ＝2符合题意， 故a ＝2；（2）f （x ）＝ax ﹣2lnx +2，则a =2lnx−2x， 令函数F （x ）=2lnx−2x， 求导可得，F '（x ）=2(2−lnx)x 2， 当x ∈（0，e 2）时，F '（x ）＞0，当x ∈（e 2，+∞）时，F '（x ）＜0， F （x ）在∈（0，e 2）上单调递增，在（e 2，+∞）上单调递减， 则F(x)max =F(e 2)=2e 2， 当x →+∞时，f （x ）→0，当x →0时，f （x ）→﹣∞， f （x ）有两个零点， 则0＜a ＜2e 2， 故a 的取值范围为（0，2e 2）．21．（12分）某商场为了吸引顾客，举办了投篮得优惠券活动，规则如下：若顾客连续投中三次，游戏过关，停止游戏，获得9元优惠券；若连续未投中两次，游戏失败，停止游戏，获得3元优惠券；若投篮六次仍未分出游戏过关或失败，也停止游戏，获得6元优惠券．顾客小明准备参与该活动，已知小明的投篮命中率为23．（1）求小明投篮五次结束游戏的概率；（2）记小明获得的优惠券金额为X ，求X 的分布列及期望． 解：（1）若小明投篮五次后，游戏过关，则五次投篮的情况依次为：投中，未投中，投中，投中，投中；若小明投篮五次后，游戏失败，则五次投篮的情况依次为：投中，未投中，投中，未投中，未投中，或未投中，投中，投中，未投中，未投中，故所求概率为(23)2×(13)3×2+(23)4×13=881；（2）根据活动规则，游戏过关的情况有4种，分别如下：①连续投中三次；②第一次未投中，之后连续投中三次；③第一次投中，第二次未投中，之后连续投中三次；④第一次投中或未投中，第二次投中，第三次未投中，之后连续投中三次；其概率为(23)3+(23)3×13+(23)4×13×2=128243；游戏失败的情况有7种，分别如下：①连续未投中两次；②第一次投中，之后连续未投中两次；③第一次投中或未投中，第二次投中，之后连续未投中两次；④第一次未投中，第二次及第三次投中，之后连续未投中两次；⑤第一次投中，第二次未投中，第三次投中，之后连续未投中两次；⑥第一次投中或未投中，第二次投中，第三次未投中，第四次投中，之后连续未投中两次；⑦第一次投中，第二次未投中，第三次及第四次投中，之后连续未投中两次．其概率为(13)2+(13)2×23×2+(13)3×(23)2×3+(13)3×(23)3=233729，投篮六次仍未分出游戏过关或失败的概率为1−128243−233729=112729，故所求X分布列为：E(X)=233729×3+112729×6+128243×9=1609243．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1）+ax（a∈R），g（x）＝x3+sin x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a＝0，证明：f（x）≤g（x）．解：（1）f′（x）=ax+a+1x+1=1x+1+a，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a ＜0时，令ax+a+1x+1=0，得x =−1a −1＞﹣1，当﹣1＜x ＜−1a −1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当−1a−1＜x 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上所述，当a ≥0时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣1，−1a−1）上单调递增，在（−1a−1，+∞）上单调递减． （2）证明：令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝lnx ﹣x 3﹣sin x ，h ′（x ）=−3x 3−3x 2+1x+1−cos x ， 令u （x ）=−3x 3−3x 2+1x+1−cos x ，u ′（x ）=6x 3+12x 2+6x+1(x+1)2+sin x ＝﹣6x −1(x+1)2+sin x ， 当﹣1＜x ≤0时，令t （x ）＝6x 3+12x 2+6x +1， t ′（x ）＝6（3x 2+4x +1），当﹣1＜x ≤−13时，t ′（x ）≤0，t （x ）上单调性递减， 当−13＜x ≤0时，t ′（x ）≥0，t （x ）上单调递增， 所以t （x ）≥t （−13）=19＞0， 所以6x 3+12x 2+6x+1(x+1)2＞0，又因为sin x ≤0，所以u ′（x ）＜0， 当x ＞0时，令v （x ）＝6x +1(x+1)2，v ′（x ）＝6−2(x+1)2＞0，所以函数v （x ）在（0，+∞）上单调递增， v （x ）＞v （0）＝1，即6x +1(x+1)2＞1，又因为sin x ≤1， 所以u ′（x ）＜0，所以当x ＞﹣1时，u ′（x ）＜0，u （x ）在（﹣1，+∞）上单调递减， 又因为u （0）＝0，所以当﹣1＜x ＜0时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 当x ＞0时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）≤h （0）＝0， 即f （x ）≤g （x ）．。
河北省石家庄2023-2024学年高二下学期期中数学试题
与曲线 y = - ln(-x) 的切点为 ( x2, - ln (-x2 )) 且 x2 < 0 ，
又
y¢
=
(ln
x )¢
=
1 x
，
y¢
=
[-
ln(- x) ]
=
-
1 x
，
则直线
y
=
kx +
b 与曲线
y
=
ln
x
的切线方程为
y
- ln
x1
=
1 x1
(x-
x1 ) ，即
y
=
1 x1
x + ln
x1
-1，
直线
y
=
kx
+
b
与曲线
y
=
-
ln(- x)
的切线方程为
y
+
ln
(-
x2
)
=
-
1 x2
(
x
-
x2
)
，即
y
=
-
1 x2
x
+1-
ln (-x2
)
，
ì1
则
ï í
x1
=
-
1 x2
，解得
ì í î
x1 x2
=e = -e
，故 k
=
1 x1
=
1 e
,b
=
ln
x1
-1 =
0
，
ïîln x1 -1 = 1- ln (-x2 )
(a =1
> 0, b
> 0) 的渐近线方程为
y
=
2023-2024学年河北省石家庄正中实验中学高二下学期期中数学试题
2023-2024学年河北省石家庄正中实验中学高二下学期期中数学试题1.已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，表示抽到的次品的件数，则（）A．9.5B．10.5C．11.5D．12.52.已知随机变量，且，则（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83.的展开式中含项的二项式系数为（）A．－10B．10C．－5D．54.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（）A．B．C．D．5.学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（）A．18种B．24种C．30种D．32种6.若随机变量的分布列如下表所示，则（）01A．B．2C．D．7.已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作：，若，，则b的值可以是（）A．2024B．2022C．2029D．20889.（多选题）下列说法正确的是（）A．已知随机变量，若，则B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C．已知，则D．从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为10.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（）A．B．C．D．11.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（）A．直接挑战第2关并过关的概率为B．连续挑战前两关并过关的概率为C．若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则D．若直接挑战第4关，则过关的概率是12.2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为________．13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．14.在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．________；若存在实数a，b，c，对任意的不小手4的正整数n，都有，则________．15.现有2位男生，3位女生去参加一个联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.（Ⅰ）为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.求这5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率；（Ⅱ）若从这5人中随机选派3人去参加甲项目联欢，设表示这3个人中女生的人数，求随机变量的分布列与数学期望.16.设a为实数，函数．(1)求的极值；(2)对于，都有，试求实数a 的取值范围．17.为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.(2)若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，，.18.某企业在十一黄金周期间进行促销活动，为了激励员工的积极性，企业决定对员工进行额外的奖励，公司根据以往产品的销售记录，绘制如图所示的日销量的频率分布直方图，其具体奖励规定如表所示：销售量X 个奖励金额（元）50100150(1)求日销售量的平均数；(2)求未来连续三天里，员工甲共获得奖励150元的概率；(3)未来连续2天，员工乙共获得奖励X元，求随机变量X的分布列和数学期望．19.已知函数.(1)讨论函数的单调区间；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.。
河北省石家庄市数学高二下学期理数期中考试试卷
河北省石家庄市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共13题；共13分)1. （1分）化简：C +C +C =________．（用组合数回答）2. （1分） (2016高二下·东莞期中) 下列四个命题中正确的有________（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx④定积分 dx= ．3. （1分）(2018·河北模拟) 3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：(1)抽签确定各人序号：1，2，3；(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；（4）最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为________ ．4. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我没去过城市；乙说：我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断甲去过的城市为________5. （1分） (2015高二上·和平期末) 已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且，则点C的坐标为________．6. （1分） (2018高二下·长春月考) 用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是________.7. （1分）用数学归纳法证明“ 对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取________．8. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 已知向量 =（2，1）， =（﹣3，k），•（2 ﹣）=0，则实数k的值为________．9. （1分） (2018高二下·邗江期中) 设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥ ，则的值为________10. （1分） (2016高二下·东莞期中) 从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为________．（用数字作答）11. （1分）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为________.12. （1分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3 ，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1 ， k2 ，k3 ，那么k1：k2：k3=________．13. （1分） (2018高二下·河池月考) 已知，，且 .现给出如下结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是________．二、解答题 (共7题；共70分)14. （5分） 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中间；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何两个女生都不得相邻；（7）男生甲、乙、丙顺序一定．15. （10分）已知复数．（1）若a=2，求；（2）若是纯虚数，求a的值．16. （10分） (2018高二下·河池月考) 若，， .（1）用反证法证明：；（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；并用数学归纳法证明你的结论正确.17. （5分）(2017高三上·湖南月考) 已知直角梯形中，，，，、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．18. （5分）(2017·宝鸡模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．19. （15分） (2020高三上·静安期末) 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减（3）设定义域为的“关于的偶型函数” 是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论20. （20分） (2018高二下·邗江期中) 观察如图：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15……问：（1）此表第行的最后一个数是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3） 2018是第几行的第几个数？（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 (共13题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、解答题 (共7题；共70分)14-1、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、20-4、第11 页共11 页。
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石家庄市高二下学期期中数学试卷（理科）D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）在复平面上，点对应的复数是，线段的中点对应的复数是，则点对应的复数是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2017·河南模拟) 已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）
A . 12
B . 8
C . 0
D . 4
3. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）复数z1 ， z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）
A . 12+13i
B . 13+12i
C . ﹣13i
D . 13i
5. （2分）若a ， b ， c是常数，则“ a>0 ，且b2-4ac<0 ”是“对任意，有ax2+bx+c>0 ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x ＞0）的零点个数为（）
A . 0
B . 1
C . 0或1
D . 无数个
7. （2分）设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）
A . ②③
B . ①②③
C . ③
D . ③④⑤
8. （2分） (2016高二下·清流期中) 已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）
A . 8
B . 24
C . 36
D . 12
9. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 若曲线在点处的切线过点，则函数
的单调递增区间为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2017高二下·定西期中) 在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f（n）=1+ + +…+ 增加的项数是（）
A . 1
B . 2k+1
C . 2k﹣1
D . 2k
11. （2分）函数y=f（x）的图象如图所示，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1），f′（2），f（2）﹣f（1）的大小关系是（）
A . f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）
B . f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）
C . f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）
D . f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2）
12. （2分）函数在[-1,5]上（）
A . 有最大值，无最小值
B . 有最大值和最小值
C . 有最小值，无最大值
D . 无最小值
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）以1，2，3…9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有________种不同取法．
14. （1分） (2017高二下·海淀期中) 在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
15. （1分） (2017高三上·济宁期末) 根据下面一组等式：
S1=1
S2=2+3=5
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34
S5=11+12+13+14+15=65
S6=16+17+18+19+20+21=111
S7=22+23+24+25+26+27+28=175
…
可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=________．
16. （1分） (2019高二上·惠州期末) 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围________．
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （15分） (2016高二下·东莞期中) 已知函数f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（3）设a＞1，b＞0，求证：．
18. （10分） (2017高一下·苏州期末) 某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），
（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．
19. （10分）综合题。
（1）已知Z是复数，Z+2i，均为实数，且复数（Z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
（2）已知两个向量，对应的复数是z1=3和z2=﹣5+5i，求向量与的夹角．
20. （10分）(2018·海南模拟) 已知函数 .
（1）证明：直线与曲线相切；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
21. （5分） (2015高二下·和平期中) 用数学归纳法证明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1
．
22. （15分） (2019高二下·上饶月考) 已知函数 (为实常数) ．
（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；
（2）当时，讨论方程根的个数．
（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共65分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、18-2、19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、22-1、
22-2、22-3、。