广东省梅州市2015届高三5月总复习质检(文科,含答案)

广东省梅州市2015届高三5月总复习质检（二模）
数学文试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、已知复数2
z 1i
=
-+，则 A. ｜z ｜＝ 2 B.z 的实部为1 C.z 的虚部为一1 D.z 的共轭复数为1＋i 2.己知集合A ＝｛2|20x x x ->}, B ＝{|||5x x <}，则 A. A B ＝R B 、A B =∅ C. A ⊇B D. A ⊆B 3.下列函数中，定义域为R 且为增函数的是
A 、x y e -=
B 、3y x =
C 、ln y x =
D 、||y x = 4、己知向量(1,1),(3,),()a b m a a b =-=+，则m ＝
A. 2
B. －2 C 、3 D 、－3
5.己知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题： ①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；
③若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β；④若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n ， 其中不正确的命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
6、已知圆22
220x y x y a ++-+=截直线x y +＋2＝0所得弦的长度为4，则a 的值为
A 、－8
B 、－6
C 、－4
D 、－2 7、阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝6，则输出的值S 是
A 、63
B 、64
C 、127
D 、128
8．设函数()sin()cos()(0,||)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><是最小正周期为π的偶函数，
则
A ．f （x ）在（0，
2
π
）上单调递减 B ．f （x ）在（3,44ππ）上单调递减
C 、f （x ）在（0，2
π
）上单调递增 D. f （x ）在（3,44ππ）上单调递增
9、已知平面区域D ：1
1
,(,)5x y a b D x y ≥⎧⎪
≥∀∈⎨⎪+≤⎩
，则20a b -≥的概率是 A 、
13 B 、16 C 、427 D 、2327
10、定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数f （x ）的“驻点”， 如果函数g （x ）=x ，h （x ）=ln （x ），φ（x ）=cosx （x ∈(2
π
， π)）的“驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是
A 、α＜β＜γ
B 、β＜α＜γ
C 、γ＜α＜β
D 、α＜γ＜β
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9-13题） 11·已知4sin 5x =
，(,)2x ππ∈，则tan()4
x π
-＝ · 12.右图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一
个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ；方差为
13、若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的左焦点重合，则p 的值为
（二）选做题(14--15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为4x t
y t
=⎧⎨
=+⎩（t
为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
42sin()4
π
ρθ=+ 则直线l 和曲线C 的公共点有 个．
15.（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D ，使BC=CD,，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB ＝6, ED ＝2，则BC= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分805.解答须写出文字说明、证明过穆和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
己知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，A,B,C成等差数列．
（1）若a＝1，b＝3，求sin C;
(2)若a, b, c成:差数列，求证：△ABC是等边二角形．
17．（本小题满分12分）
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
己知在全部50人中随机抽取1人抽到不喜爱打篮球的学生的概率为2
5
．
（1)请将上面的列联表补充完整；
(2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由：
(3）己知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3还喜欢打乒乓球，B1，B2，B3还喜欢打羽毛球，C1，C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．（下面的临界值表供参考）
在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是-AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE: EB ＝ CF ：FA ＝CP ：PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角 A 1 -EF-B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）
（1）求证：FP ∥平面A 1EB （2）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（3）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小．
19.（本小题满分14分）
设数列{n a }，其前n 项和23n S n =-，{n b }为单调递增的等比数列，123b b b ＝512，
1133a b a b +=+。

（1）求数列{n a }， {n b }的通项； （2）若
，数列
的前n 项和Tn ，求证：
20.（本小题满分14分）
已知直线y x =-＋1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A ，B 两点．
(1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求椭圆的标准方程； (2)若OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率12
[,]22
e ∈时，求椭圆长轴长 的最大值．
已知函数f （x ）的图象在［a ，b ］上连续不断，定义
f 1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x ∈[a ，b])， f 2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x ∈[a ，b])，
其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值，max{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。

若存在最小正整数k ，使得f 2(x)-f 1(x)≤k(x -a)对任意的x ∈[a ，b]成立，则称函数f(x)为[a ，6]上的“k 阶收缩函数”。

(Ⅰ)若f(x)=cosx ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x)，f 2(x)的表达式；
(Ⅱ)已知函数f(x)=x 2，x ∈[-1，4]，试判断f(x)是否为[-1，4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；
(Ⅲ)已知b ＞0，函数f(x)=-x 3+3x 2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．
梅州市高三总复习质检试卷（2015.05）
数学（文科）参考答案与评分意见
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
CABDB ，CAACA 二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．7 12. 85(3分), 58
(2分) 13.-4
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.1 15. 32.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
解:(1)由.
3,2,π
π=
+==++B C A B C B A 得 ………………………2分
.
21
sin ,233
sin 1
,sin sin ===A A
B b A a 得得由
(4)
分
.2
63,6,0πππππ=--=∴=
∴<<C A B A 又
.1sin =∴C
………………………6分
.,:)2(2
ac b =依题意得证明
.222ac c a b -+=又 ………………………8分
.,0)(,
222c a c a ac ac c a =∴=-=-+得得 ………………………10分
.3
,32,ππ===∴=
+=∴B C A C A C A 又 所以△ABC 是等边三角形. ………………………12分
17．（本小题满分12分） 解：表格填空如下：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计
30
20
50
………………………2分
（2）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. ………………………4分
∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.
………………………6分
(3)从喜欢打乒乓球、喜欢打羽毛球、喜欢踢足球的8位女生中各选1名，其一切可能
的结果组成的基本事件如下：
111112121122131132211212221222231232311312321322331332(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),
A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C
………………………8分
基本事件的总数为18,用M 表示“1B ，1C 不全被选中”这一事件， 则其对立事件M 表示“1B ，1C 全被选中”这一事件，
由于M 由111211311(,,),(,,),(,,)A B C A B C A B C ,3个基本事件组成，
…………10分
所以31
()186P M =
= . ………………………11分
由对立事件的概率公式得15()1()166P M P M =-=-
=.
(12)
分
18．（本小题满分14分）
(1)证明: ∵CP :PB=CF :FA,
∴FP ∥BE. …………1分 ∵BE ⊂平面A 1EB , ……2分 FP ⊄平面A 1EB , ………3分 ∴FP ∥平面A 1EB. ………4分
解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 . (2) 在图1中，取BE 的中点D ，连结DF. ∵AE :EB=CF :FA=1:2，
∴AF=AD=2. …………5分 而∠A=
60,∴△ADF 是正三角形.
又AE=DE=1，∴EF⊥AD . …………6分 在图2中，A 1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角. …………7分 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E⊥BE. 又BE 、EF ⊂平面BEF ， BE∩EF=E，
∴A 1E⊥平面BEF ，即A 1E⊥平面BEP. …………8分 (3)在图2中，∵A 1E⊥平面BEP, ∴A 1E⊥BP,
设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q ，且A 1Q 交BP 于点Q ， 则可得BP⊥平面A 1EQ ， ∴ BP⊥A 1Q.
则∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角， …………………10分 在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=
60， ∴△EBP 是等边三角形，∴BE=EP.
又A 1E⊥平面BEP ，∴A 1B=A 1P ，∴Q 为BP 的中点，且EQ=3. …………………12分 又A 1E=1,在Rt△A 1EQ ,tan∠EA 1Q=
31=E
A EQ
, ∴∠EA 1Q= 60. 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为
60.
…………………14分
19.（本小题满分14分）
解：（1）当1n =时，.
311-==S a
…………1分
当2n ≥时，22
133(1)63
n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦.
…………2分
当1n =时，也满足63n a n =-+. …………3分
∴63n a n =-+. …………4分
因为{}n b 是等比数列，所以2132b b b =，
则3
1232512bb b b ==，解得28b =. …………5分
又
1133a b a b +=+，∴8
3158q q
-+
=-+， …………6分 解得2q =或12
q =-（舍去）. …………7分
∴2122n n n b b q -+== . …………8分
（2）由（1）可得
11111
2211
,(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------
…………10分 ∴123n n T c c c c =+++
+2231111111
(
)()(
)21212121
2121
n n +=-+-+------- 111121
n +=-
<-. …………12分
显然数列{}n T 是递增数列，所以123n T T ≥=
.
即
2
13n T ≤≤.
…………14分
20.（本小题满分14分）
解: .33,33)1(==
a c e 即 ………………………1分
.1,3,22===c a c 解得又
………………………2分
.222=-=
c a b 得
………………………3分
.1232
2=+
∴y x 椭圆的标准方程为 ………………………4分
（2）22
22
2222221,1,()2(1)0,
x y a b y x y a b x a x a b ⎧+
=⎪⎨⎪=-+⎩+⋅-+⋅-=由消去得 …………………5分
22222222
(2)4()(1)0, 1.a a a b b a b ∆=--+->+>由整理得
………………6分
222112212122222
2(1)
(,,),(,),,.a a b A x y B x y x x x x a b a b -+==++设则 ………7分
.
1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y …………………8分
12121212(),0,
2()10.
OA OB O x x y y x x x x ⊥∴+=-++=其中为坐标原点即
………………………9分
.02.012)1(222222
222222=-+=++-+-∴b a b a b a a b a b a 整理得
………………10分
2
222222211
12,e
a e a a c a
b -+
=-=-=代入上式得 ，
).111(2122e a -+=
∴ ………………………11分
,311
137],22,21[2≤-+≤∴∈e e
………………………12分
.1.23
67222>+≤≤∴b a a 满足条件 ………………………13分
由此得
.2
6
642≤≤a .6,62342
故长轴长的最大值为≤≤∴a
………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由题意可得:
1()cos ,[0,]f x x x π=∈ , …………1分 2()1,[0,]f x x π=∈ .
…………2分 （2）21,[1,0)
()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩.
…………3分
22
1,[1,1)
(),[1,4]
x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩ . …………4分
2212
1,[1,0)()()1,[0,1)
,[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪
-=∈⎨⎪∈⎩.
…………5分
当)0,1[-∈x 时，21(1)x k x -≤+,1k x ∴≥-,2k ≥; 当)1,0[∈x 时，1(1)k x ≤+,1
1k x ∴≥
+,
1k ∴≥; 当[1,4]x ∈时，2
(1)x k x ≤+,21x k x ∴≥+,
16
5k ∴≥.
综上所述，16
5
k ∴≥
. …………6分 即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数. …………7分
（3）()2()3632f x x x x x '=-+=--,令'()0f x =,得0x =或2x =.
函数()f x 的变化情况如下：
令()0f x =，解得0x =或3.
…………8分
ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，
因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==. 因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；
②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立.
……………9分
①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立， 由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，
要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤ . …………10分
②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立.
由()2310x x x -+<得：0x <或
353522x -+<<， 所以，需且只需352b ->
. 综合①②可得：3512
b -<≤. …………11分 ⅱ）当2b >时，显然有3[0,]2
b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得： 2327()28
f =，13()02f =， 可得 2133273()232282f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭，
此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立. …………… 13分 综合ⅰ）ⅱ）可得：3512
b -<≤. ……………14分 注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用
32只是因为简单而已.。