2020届江苏省苏州市高三数学过关题8 解析几何(学生版)
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
2020届江苏省苏州市高三数学过关题8 解析几何(学生版)
2020届苏州市高三数学过关题8 解析几何一．填空题1.抛物线y 2＝6x 的准线方程为________． 2.双曲线2214x y -=的渐近线方程是________． 3.(课本题)过点B (3，0)，且与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线的方程为________.4.经过点P (－2，4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________.5.(2018全国III 改编)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) 6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ． 8.设m R ∈，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是 ．9.在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA =，则实数m 的取值范围是 ．10.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．11.已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ．12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos(α－β)cos(α＋β)＝________． 13.（2018 苏锡常镇一模）已知直线:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆22:(2)2C x y -+= 上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合 为____________．14.已知直线l 经过椭圆22:12x C y +=的左焦点F ，且交椭圆于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，且满足PA AF =uu r uu u r λ，PB BF =uur uu u r μ，则λμ+= ．二、解答题15.过椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左顶点A 作直线l 分别与y 轴，椭圆C 分别相交于M ，N ，且AN →＝λAM →，其中λ为实数.(1)若b ＝3，λ＝32，求直线l 的斜率； (2)已知直线l 的倾斜角为π3，若λ∈[23，32]，求椭圆离心率的取值范围.16.已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2，0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1，1)在边AD 所在的直线上.(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.17.已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l 30x y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．(1)若a ＝8，切点(3,1)T -，求直线AP 的方程；(2)若PA =2PT ，求实数a 的取值范围．18.如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上．(1)求直线AB 的方程；(2)若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝4和圆C2：(x－5)2＋(y－2)2＝16.(1)若过原点的直线l与圆C1相切，求切点的坐标；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的一半，试求所有满足条件的点P的坐标.20.如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>经过点(0,1)A-，右准线:2l x=，设O为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），直线AP交l于M（点M在x轴下方）．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过右焦点F作OM的垂线与以OM为直径的圆H交于,C D两点，若CDH的方程；(3)若直线AP与AQ的斜率之和为2，证明：直线PQ过定点，并求出该定点．。
2020版江苏省高考文科数学三轮复习 解析几何、立体几何精选试题(6页)
小题专题练(四)解析几何、立体几何(建议用时：50分钟)1．抛物线y2＝4x的准线方程为________．2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.3．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．4．(2019·连云港调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2P A→＝PB→，则直线l的斜率k＝________．5．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为________．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．7．(2019·徐州调研)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，则此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________．8.已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝855，则抛物线C2的方程为____________．9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)上的点P (1，0)作两条渐近线的平行线，分别交两渐近线于A ，B 两点，若平行四边形OBP A 的面积为1，则双曲线的离心率为________．11．(2019·盐城模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)、B (m ，0)(m >0)，若圆上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最小值为________．12．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．13．(2019·宿迁质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．14.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋4，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若|PF 1|·|PF 2|＝6，则|PM |·|PN |的值为________．小题专题练(四)1．解析：易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p 2＝－1.答案：x ＝－12．解析：因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a ＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 答案：1 3．解析：设该六棱锥的高是h .根据体积公式得，V ＝13×12×2×3×6×h＝23，解得h ＝1，则侧面三角形的高为1＋（3）2＝2，所以侧面积S ＝12×2×2×6＝12.答案：124．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±25．解析：因为60°的二面角的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，所以CD→＝CA →＋AB →＋BD →，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， 因为AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，所以|AB→|＝4，|AC →|＝6，|BD →|＝8， 所以CD→2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD → ＝36＋16＋64＋2×6×8×cos 120°＝68，所以CD 的长为217.答案：2176．解析：圆C 1关于x 轴对称的圆C ′1的圆心为C ′1(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3，4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C ′1和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：52－47.解析：补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A 1到平面BCC 1B 1的距离为d ，则d ＝2.则V 三棱柱＝12V 四棱柱＝12S 四边形BCC 1B 1·d ＝12×4×2＝4.答案：48．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎨⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x9.解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④10．解析：依题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则过点P 且与渐近线平行的直线方程为y ＝±b (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx y ＝－b （x －1）得|y |＝b 2，所以平行四边形OBP A 的面积S ▱OBP A ＝2S △OBP ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×|y |＝b 2＝1，所以b ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋221＝ 5.答案： 511．解析：显然AB ＝2m ，因为∠APB ＝90°，所以OP ＝12AB ＝m ，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为OC ＝5，所以OP min ＝OC －r ＝4，即m 的最小值为4.答案：412.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋（1－r 2）2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝423. 答案：42313．解析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称．不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1＝F 1F 2＝2c 时，PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c ，即2c ＞2a －2c ，解得e ＝c a >12，又因为e ＜1，所以 12<e <1；当PF 2＝F 1F 2＝2c 时，PF 1＝2a －PF 2＝2a －2c ，即2a－2c ＞2c 且2c ＞a －c ，解得13<e <12，综上可得13<e <12或12<e <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 14．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：6。
2020届江苏省普通高中高三下学期高考全真模拟卷(八)数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省普通高中2020届高三下学期高考全真模拟卷(八)(南通密卷)数学试题(解析版)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共2页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}1A x x =>-，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =________.【答案】{}0,1,2,3【解析】【分析】根据交集的定义可求得集合A B . 【详解】{}1A x x =>-,{}2,1,0,1,2,3B =--,因此,{}0,1,2,3A B =.故答案为：{}0,1,2,3.【点睛】本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题.2. 已知复数2z ai =+的模为5,其中0a >,i 为虚数单位,则实数a 的值是________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值.【详解】2z ai =+,则2225z a =+=,解得1a =±,0a >,因此,1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数,考查计算能力,属于基础题.3. 执行如图所示的伪代码,则输出的n 的值为________.【答案】6 【解析】 【分析】。
江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷(学生版)
高三数学第 页(共6页)1 苏州市2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 2022．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2≤4x }，B ＝{x |3x －4＞0}，则A ∩B ＝A ．[0，＋∞)B ．[0，43)C ．(43，＋ ) D ．(－∞，0) 2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝A ．12B ．22 C ． 2 D ．2 3．在△ABC 中，点N 满足→AN ＝2→NC ，→BN ＝→a ，→NC ＝→b ，那么→BA ＝A ．→a －2→bB ．→a ＋2→bC ．→a －→bD ．→a ＋→b 4．“sin α＋cos α＝1”是“sin2α＝0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．奇函数f (x )在R 上单调递增，若正数m ，n 满足f (2m )＋f (1n －1)＝0，则1m ＋n 的最小值为A ．3B ．4 2C ．2＋2 2D ．3＋2 2 6．已知函数f (x )＝3cos ωx －sin ωx (ω＞0)的周期为2π，那么当x ∈[0，2π3]时，ωf (x高三数学第 页(共6页)2 )的取值范围是A ．[－32，32]B ．[－3，3]C ．[－32，1] D ．[－1，2] 7．古时候，为了防盗、防火的需要，在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备．如图，梯子的长度为a ，梯脚落在巷中的M 点，当梯子的顶端放到右边墙上的N 点时，距地面的高度是h ，梯子的倾斜角正好是45°，当梯子顶端放到左边墙上的P 点时，距地面的高度为6尺(1米＝3尺)，此时梯子的倾斜角是75°．则小巷的宽度AB 等于A ．6尺B ．a 尺C ．(h ＋2)尺D ．h ＋a2尺 8．已知实数a ＝log 23，b ＝2cos36°，c ＝2，那么实数a ，b ，c 的大小关系是A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 二、多项选择题：本大题共45分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．己知非零实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式一定正确的有A ．c a ＞c bB ．c a ＋a c ≤－2C ．(a －b )a ＞(b －c )aD ．c a ∈(－2，－12) 10．已知函数f (x )＝cos2x －2cos x cos3x ，则A ．f (x )的最大值为1B ．f (π6)＝f (－π3)C ．f (x )在(－π12，π6)上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称11．在棱长为2的正方体中，M ，N 分别是棱AB ，AD 的中点，线段MN 上有动点P ，棱CC 1上点E 满足C 1C ＝3C1E ．以下说法中正确的有高三数学第 页(共6页)3A ．直线C 1P 与BE 是异面直线B ．直线C 1P ∥平面BDE C ． 三棱锥C －C 1MN 的体积是1D ．三棱锥C －C 1MN 的体积是3 12．已知函数f (x )＝(x 2－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝2对称，则A ．a ＋b ＝5B ．f (x )的最小值是－3516C ．f (x )图象与直线2x ＋y －8＝0相切D ．f (x )图象与直线12x －y －48＝0相切 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋2≤0，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则函数g (x )＝2－f [f (x )]的所有零点之积等于 ．15．在△ABC 中，已知B ＞C ，A ＝3132，cos(B －C )＝18，那么tan B ＝ ． 16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过2．(本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477)．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b sin A－3a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cos A cos B cos C的取值范围．18．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，已知点E(cosα，sinα)(其中0≤α≤π)，将向量→OE逆时针方向旋转90°，得到向量→OF，记A(1，0)，B(0，－1)．(1)求|→AE＋→AF|的最大值：(2)试判断两向量→AE与→BF的位置关系．高三数学第页(共6页)4高三数学第 页(共6页)519．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，∠ACB ＝90°，P A ⊥底面ABC ． (1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AC ＝BC ＝P A ，M 是PB 的中点，记AM 与底面ABC 所成角为α，AM 与平面PBC 所成角为β，试研究α与β的等量关系．20．(本小题满分12分)已知首项a 1＝4的数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有a n S n＝n ＋12n ．(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记c n ＝a n 2n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，有A ≤1T 1＋1T 2＋…＋1T n≤B 恒成立，求B －A 的最小值．21．(本小题满分12分)给定函数f(x)＝(x＋1)e x．(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－(ln a) x(实数a＞0)．(1)若实数a∈N*，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0恒成立，求实数a的最小值；(2)证明：(1＋1n)n＜3．高三数学第页(共6页)6。
高三数学解析几何习题及答案
数学试卷〔解析几何综合卷〕时间：90分钟，满分：120分一、选择题〔共60分，每小题5分，说明：选做题3选2〕1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n,则能组成落在矩形区域{(,)|||11,||9}B x y x y =<<且内的椭圆个数为A.43B. 72C. 86D. 902. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．43. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为〕A ．3B ．6C ．12D ．244. 以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是A ．4)2(22=+-y xB ．2)2(22=-+y xC ．2)2(22=+-y xD ．4)2(22=-+y x5. 抛物线241x y =的焦点坐标是 A ．〔161，0〕B ．〔0，161〕C ．〔0，1〕D ．〔1，0〕6. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值X 围是A ．)2,1(B ．)2,2(C ．〔1，2〕D ．)2,1(7.〔选作〕设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点．若点P 在双曲线上,且021=•PF PF =+A ．10B ．102C ．5D ．528. 已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－29. 直角坐标平面内，过点P 〔2，1〕且与圆 224x y +=相切的直线 A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定10. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为A ．23B ．2C ．3D ．111. 〔选作〕点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点〞，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点〞 B ．直线l 上仅有有限个点是“点〞 C ．直线l 上的所有点都不是“点〞D ．直线l 上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是“点〞12. 6A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -= 13. 经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+=B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=二、填空题〔共30分，每小题5分，说明：选作题4选2，注明所选题号。
2020届江苏省高三高考全真模拟(八)数学试题(解析版)
2020届江苏省高三高考全真模拟（八）数学试题一、填空题1．已知集合{}1A x x =>-，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I ________. 【答案】{}0,1,2,3【解析】根据交集的定义可求得集合A B I . 【详解】{}1A x x =>-Q ，{}2,1,0,1,2,3B =--，因此，{}0,1,2,3A B =I .故答案为：{}0,1,2,3. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数2z ai =+的模为5，其中0a >，i 为虚数单位，则实数a 的值是________. 【答案】1【解析】根据复数的模长公式结合实数a 的取值范围可求得实数a 的值. 【详解】2z ai =+Q ，则2225z a =+=，解得1a =±，0a >Q ，因此，1a =.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．执行如图所示的伪代码，则输出的n 的值为________.【答案】6【解析】根据程序语句列举出算法的每一步，由此可得出输出的n 的值. 【详解】0S =，1n =，031S =≤成立，1022S =+=，112n =+=；231S =≤成立，2226S =+=，213n =+=； 631S =≤成立，36214S =+=，314n =+=； 1431S =≤成立，414230S =+=，415n =+=； 3031S =≤成立，530262S =+=，516n =+=； 6231S =≤不成立，结束循环，因此，输出的n 的值为6.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用算法程序计算输出结果，一般列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.4．如图，这是某班8位学生参加歌唱比赛所得成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩的平均分为________.76898046936【答案】84【解析】根据茎叶图得出这8位学生的成绩，利用平均数公式可求得这8位学生成绩的平均分. 【详解】由茎叶图可知，这8位学生成绩分别为76、78、79、80、84、86、93、96， 平均分为7678798084869396848+++++++=.故答案为：84. 【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.5．某小组有男生3名，女生2名，任选2名同学值日，则选出的2名同学中至少有1名男生的概率是________. 【答案】910【解析】3名男生分别记为A 、B 、C ，2名女生记为a 、b ，列举出所有的基本事件，率公式可求得结果. 【详解】3名男生分别记为A 、B 、C ，2名女生记为a 、b ，从这5名学生中任选2名同学值日，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A a 、(),A b 、(),B C 、(),B a 、(),B b 、(),C a 、(),C b 、(),a b ，共10种，其中，事件“选出的2名同学中至少有1名男生”包含的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A a 、(),A b 、(),B C 、(),B a 、(),B b 、(),C a 、(),C b ，共9种，因此，选出的2名同学中至少有1名男生的概率是910. 故答案为：910. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般要求列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.6．函数y =________. 【答案】[)25,+∞【解析】根据二次根式被开方数非负得出()3log 230x +-≥，结合对数函数的单调性求得x 的取值范围，即为所求的函数的定义域. 【详解】由题意可得()3log 230x +-≥，即()3log 23x +≥，32327x ∴+≥=，解得25x ≥.因此，函数y =[)25,+∞. 故答案为：[)25,+∞. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22104x y m m m -=>+，则实数m 的值是________. 【答案】4【解析】根据双曲线的离心率公式可得出关于m 的方程，进而可求得实数m 的值.由题意得2a m =，24b m =+，所以224c m =+，故243c m e a m+===，解得4m =.故答案为：4. 【点睛】本题考查利用双曲线的离心率求参数，考查计算能力，属于基础题.8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若21a =，77S =-，则8a 的值是________. 【答案】5-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意求出d 的值，然后由826a a d =+可求得8a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为()()1726777722a a a a S ++===-，21a =，所以63a =-.又因为624a a d =+，所以6214a a d -==-，所以8265a a d =+=-. 故答案为：5-. 【点睛】本题等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体P ABC -为鱉臑，PA ⊥平面ABC ，ABC ∠为直角，且2PA AB BC ===，则P ABC -的体积为________.【答案】43【解析】计算出ABC V 的面积，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥P ABC -的体积.由题意知PA ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，2PA AB BC ===，所以ABC V 的面积为122ABC S AB BC =⋅=△，因此，11422333P ABC ABC V S PA -=⋅=⨯⨯=V .故答案为：43. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．已知实数x 、y 满足1x y +=，若不等式()4422xyxyk +≥+恒成立，则实数k的取值范围是________.【答案】(-∞ 【解析】由()244224x y x y+=+-，再利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数k 的取值范围.【详解】因为()()()2244222222422x y x yx y x y x y k ++=+-⋅=+-≥+，令22x y t =+≥=240t kt --≥，t ≥恒成立，所以244t k t t t-≤=-，函数()4f t t t =-在区间)⎡+∞⎣上单调递增，则()(min f t f ==.k ∴≤k 的取值范围是(-∞.故答案为：(-∞. 【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查了参变量分离法与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知()3cos 22cos 0αβα++=，则()tan tan αββ+的值是________. 【答案】5【解析】由()2αβαββ+=++、()ααββ=+-代入等式()3cos 22cos 0αβα++=，结合两角和与差的余弦公式，化简计算可得()tan tan αββ+的值.【详解】因为()3cos 22cos 0αβα++=，所以()()3cos 2cos 0αββαββ++++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()()()3cos cos 3sin sin 2cos cos 2sin sin 0αββαββαββαββ+-+++++=，即()()5cos cos sin sin 0αββαββ+-+=，因此，()tan tan 5αββ+=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查利用两角和与差的余弦公式求值，解题时要注意角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.12．如图在ABC V 中，已知3BAC π∠=，2AB =，3AC =，3BC BD =u u u r u u u r，边AC 上的中线BE 交AD 于点F ，则BF CF ⋅u u u r u u u r的值是________.【答案】1916- 【解析】用AB u u u r 、AC u u u r 表示向量BE u u u r 、CF uuur ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得结果. 【详解】因为E 为AC 的中点，所以1122BE BA BC =+u u u r u u u r u u u r.设1132222k k BF k BE k BA BC BA BD ⎛⎫==+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r ， 因为A 、D 、F 三点共线，所以3122k k +=，解得12k =，则12BF BE =u u u r u u u r ， 从而()()()1124CF CB BF AB AC BE AB AC BA BC=+=-+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()1132424AB AC AC AB AB AC =-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，()()11244BF BA BC AC AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因此，()()()22112238431616BF CF AC AB AB AC AB AC AB AC⋅=-⋅-=⋅--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221119823423316216⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1916-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.13．在平画直角坐标系xOy 中，直线():220l mx y m m R ---=∈交圆221:8C x y +=所得弦的中点为M ，N 为圆()()222:431C x y -+-=上任意一点，则||MN 长的取值范围是________.【答案】4⎡-+⎣【解析】求出点M 的轨迹方程，然后利用圆的几何性质可求得MN 长的取值范围. 【详解】直线l 的方程为()()220m x y --+=，可知直线l 过定点()2,2-，()22228+-=Q ，点()2,2E -在圆1C 上，设点(),M x y 、()11,F x y ，设点M 为线段EF 的中点，则112222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得112222x x y y =-⎧⎨=+⎩，因为点F 在圆1C 上，所以有()()2222228x y -++=，即点M 的轨迹为圆()()223:112C x y -++=，去掉定点()2,2-，而23||5C C ==，所以2323|1|||1||C C MN C C ≤≤，则4||6MN ≤≤因此，||MN的取值范围是4⎡-+⎣.故答案为：4⎡⎣.【点睛】本题考查线段长的取值范围的计算，涉及圆的几何性质的应用，求出动点M 的轨迹方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.14．已知函数()()223221,0152,0k x kx x f x x k k x x x ⎧++≥⎪=⎨--++-<⎪⎩，()0k ≠，在函数()f x 的图象上，对任意一点()11,A x y ，均存在唯一的点()22,B x y （12x x ≠且1x 、2x 均不为0），使得A 、B 两点处的切线斜率相等，则实数k 的取值构成的集合是________.【答案】{}5【解析】求出函数()y f x =的导函数()y f x '=，根据题意得出()()12f x f x ''=，并作出函数()y f x '=的图象，由此可得出关于k 的等式，进而可求得实数k 的值. 【详解】由题意得()()12f x f x ''=.当0x ≥时，()22f x k x k '=+；当0x <时，()22()3215f x x k k x '=--++，其图象的对称轴为直线213k k x -+=. 因为22131024k k k ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2103k k x -+=>，所以，函数()y f x '=的图象如下：因为对任意的1x ，均存在2x ，且120x x ≠≠，使得()()12f x f x ''=， 所以5k =，即实数k 的取值构成的集合为{}5. 故答案为：{}5. 【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin2sin c B b C =. （1）若23b =2a =，求c ； （2）若13cos A ，求tan C 的值. 【答案】（1）4；（233【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想结合二倍角的正弦公式可求得cos B 的值，可求得角B 的值，再利用余弦定理可得出关于c 的方程，即可解得c 的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出tan A 的值，然后利用诱导公式和两角和的正切公式可求得tan C 的值. 【详解】（1）因为sin2sin c B b C =，由正弦定理得2sin sin cos sin sin C B B B C =. 在ABC V 中，B 、()0,C π∈，所以sin 0B >，sin 0C >， 所以1cos 2B =，所以3B π=，又因为23b =2a =，由余弦定理得2222cos b c a ca B =+-， 即21242c c =+-，即2280c c --=，解得4c =，2c =-（舍去）； （2）由13cos A =，得02A π<<.因为22sin cos 1A A +=，所以2239sin 1cos 13A A =-=，故sin tan 23cos A A A ==.由（1）知3B π=，所以()()tan tan 23333tan tan tan 1tan tan 51233A B C A B A B A B π++=-+=-+=-=-=⎡⎤⎣⎦--⨯. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用以及两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.二、解答题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连接1A C 交1AC 于点E ，连接DE ，可知点E 为1A C 的中点，由中位线的性质可得1//DE A B ，再利用线面平行的判定定理可证得1//A B 平面1ADC ； （2）利用等腰三角形三线合一的性质得出AD BC ⊥，由1BB ⊥平面ABC 得出1AD BB ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面11BCC B ，进而利用面面垂直的判定定理可得出平面1ADC ⊥平面11BCC B . 【详解】（1）连接1A C 交1AC 于点E ，连接DE ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形. 因为E 为对角线1A C 与1AC 的交点，所以E 为1A C 的中点. 又因为D 为BC 的中点，所以1//DE A B .又因为DE ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ； （2）因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥. 因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC . 又因为AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥.又因为1BC BB B =I ，BC 、1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ， 又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B . 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点为)2,0F，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于点M 、N ，直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q . （1）若3AP AM =，求点M 的横坐标；（2）设直线PF 、QF 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k ⋅的值.【答案】（1）43-；（2）1-. 【解析】（1）由题意可得出a 、c 的值，进一步求出b 的值，可求出椭圆C 的方程，由3AP AM =可得出3AP AM =u u u r u u u u r，由点A 、P 的横坐标结合向量坐标运算可求得点M 的横坐标；（2）设点()11,M x y ，可得点()11,N x y --，求出直线AM 、AN 的方程，可求得点P 、Q 的坐标，利用斜率公式可求得12k k 的值.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ， 由题意得2a =，c =222a b c =+，0b >，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.因为3AP AM =，所以3AP AM =u u u r u u u u r，所以()3PA M A x x x x -=-.又因为0Px =，2A x =-，所以2433MA x x ==-，即点M 的横坐标为43-； （2）因为直线MN 过原点O ，由对称性可设()11,M x y 、()11,N x y --， 所以直线()11:22y AM y x x =++，令0x =，得1122y y x =+，所以1120,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线11:(2)2y AN y x x -=+-+，令0x =，得1122y y x =-，所以1120,2y Q x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.所以112y k =122y k =212211122144224y x y k k x -==-. 又因为221124x y +=，所以()21211224412x x k k --⋅==-.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆中利用共线向量的坐标运算求点的坐标，同时也考查了直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.18．如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2m 的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20m 的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P 的移动速度为1.5/m s ，仪器Q 的移动速度为1/m s .若仪器P 与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.（1）如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 在点A 处，仪器Q 在BC 上距离点C 4m 处，试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中，并说明理由； （2）如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 从点A 出发向点D 移动，同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动，在这个移动过程中，仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为多少？【答案】（1）是，理由见解析；（2）8s .【解析】（1）建立平面直角坐标系，求得点P 、Q 的坐标，进而可得出直线PQ 的方程，求出原点O 到直线PQ 的距离，判断直线PQ 与花柱所在圆的位置关系，由此可得出结论；（2）建立平面直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 的坐标，假设仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为ts ，用t 表示点P 、Q 的坐标，并求出直线PQ 的方程，利用圆心O 到直线PQ 的距离2≤d 可得出关于t 的不等式，求出t 的取值范围，由此可得出结果. 【详解】（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，则()10,6Q ，()10,10P --，所以45PQ k =， 所以直线PQ 的方程是4205x y --=，即45100x y --=， 故圆心O 到直线PQ 的距离104124141d ==<，所以圆O 与直线PQ 相交，故仪器Q 在仪器P 的“盲区”中；（2）建立如图2所示的平面直角坐标系，则(10,10)A --，()10,10B -，()10,10C ，()10,10D -. 依题意知起始时刻仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.假设仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为ts ，则310,102P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()10,10Q t -，所以直线PQ 的斜率3101020 2.5821010208PQt tt t k --+--===--， 故直线PQ 的方程是()()810108ty t x ---=-，即()8820t x y t -+-=， 从而点O 到直线PQ 的距离2d ==≤，整理得2216128t t t -+≤，解得8t ≤，结合时间0t ≥，得08t ≤≤. 答：仪器Q 在仪器P 的“盲区”中的时长为8s . 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，将实际问题转化为数学问题是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．已知函数()1ln xf x x+=. （1）求函数()f x 的图象在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的x D ∈，均有()()m x n x ≤，则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数，()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数.①若()1xe g x x =+，求证：()g x 为()f x 在()0,∞+上的上界函数；②若()1kg x x =+，()g x 为()f x 在[)1,+∞上的下界函数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）213y x e e=-+；（2）①证明见解析；②(],2-∞. 【解析】（1）求出()f e 和()f e '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程； （2）①利用导数得出()1f x ≤，()1g x >，可得出()()g x f x ≥，结合题中定义可得出结论；②由题意得出()()g x f x ≤对任意的[)1,x ∈+∞恒成立，利用参变量分离法得出ln ln 11x x x k x++≤+，设()()ln ln 111x x x h x x x ++=+≥，利用导数求出函数()y h x =在[)1,+∞上的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.【详解】（1）因为()1ln x f x x+=，所以()()2211ln ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 所以函数()y f x =的图象在x e =处的切线斜率21k e=-. 又因为()2f e e=，所以函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程为213y x e e =-+；（2）①由题意得函数()y f x =的定义域为()0,∞+. 令()0f x '=，得1x =.所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 故函数()y f x =在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 所以()()max 11f x f ==.因为()1xe g x x =+，所以()()21x xe g x x '=+，故当0x >时，()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()y g x =在()0,∞+上单调递增， 从而()()01g x g >=，所以()()0g x f x -≥，即()()g x f x ≥， 所以函数()y g x =为()y f x =在()0,∞+上的上界函数； ②因为函数()y g x =为()y f x =在[)1,+∞上的下界函数， 所以()()g x f x ≤，即1ln 1k x x x+≤+. 因为[)1,x ∈+∞，所以10x +>，故()()1ln 1ln ln 11x x x x x k xx++++≤=+.令()ln ln 11x x x h x x ++=+，1x ≥，则()2ln x x h x x-'=. 设()ln v x x x =-，1x ≥，则()111x v x x x-'=-=， 所以当1x ≥时，()0v x '≥，从而函数()y v x =在[)1,+∞上单调递增，所以()()11v x v ≥=，故()0h x '>在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y h x =在[)1,+∞上单调递增， 从而()()12h x h ≥=.因为()()g x f x ≤在[)1,+∞上恒成立，所以()k h x ≤在[)1,+∞上恒成立， 故k 2≤，即实数k 的取值范围为(],2-∞. 【点睛】本题考查函数的新定义，考查利用导数求解函数的切线方程，利用导数证明不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()4210n n S n a λλ=++≠. （1）求证：数列{}n a 等差数列；（2）当1λ=时，记212310n n a nb +⋅=，是否存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b 、p b 、q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对(),p q ；若不存在，请说明理由；（3）若数列1k a 、2k a 、3k a 、L 、n k a 、()11k =L 是公比为3的等比数列，求最小正整数m ，使得当n m ≥时，32n n k >. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，有且只有一个为()2,3；（3）6.【解析】（1）由()421n n S n a λ=++得出()11423n n S n a λ++=++，两式相减，推导出()1122n n n a a a n -++=≥，利用等差中项法可证得数列{}n a 是等差数列；（2）由1λ=，得出()4211n n S n a =++，求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，进而可得出310n nnb =，假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得21p q b bb =，化简得出21333qp p q =+，变形得出21333q p p q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对p 的取值进行分类讨论，结合数列的单调性的p 、q 的值；（3）求出1a 、2a ，可求出等差数列{}n a 的通项公式，由题意得出n k a 的表达式，进而可得出1312n n k -+=，设3313112632n n n n n n c k -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，计算得出10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，60c >，设()31163n n n P n -=-≥，利用定义证明数列{}n P 的单调性，由此可证得当6n ≥时，0n c >，进而可证得结论成立. 【详解】 （1）由题意得()()11423421n n nn S n a S n a λλ++⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相减得()()()121212n n n a n a n +-=+≥，则有()()()123212n n n a n a n --=-≥，所以()()()()114221212n n n n a n a n a n -+-=-+-≥.因为210n ->，所以()1122n n n a a a n -++=≥，故数列{}n a 为等差数列； （2）因为1λ=，()4211n n S n a ∴=++， 所以11431S a =+，解得11a =；22451S a =+，即224451a a +=+，解得23a =.所以数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，故310n nnb =.假设存在正整数p 、()1q p q <<，使得1b ，p b ，q b 成等比数列，则21333101010pqp q ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 于是21333q p p q =+（），所以21333q p p q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当2p =时，21339qq q -=⋅=，则3q =，所以23p q =⎧⎨=⎩是方程（）的一组解； 当3p ≥且*∈p N 时，因为()11212240333p p p p p p+++--=<，所以，数列23p p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在{}3,p p p N *≥∈上单调递减， 所以32123103333p p ⨯-≤-<，此时方程（）无正整数解. 综上，满足题设的数对(),p q 有且只有一个，为()2,3；（3）由题意得11224345S a S a λλ=+⎧⎨=+⎩，解得123a a λλ=⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的公差212d a a λ=-=，所以()()1121n a a n d n λ=+-=-，故11k a a λ==，所以11133nn n k k a a λ--=⋅=.又因为()21nk n a k λ=-，所以1213n n k --=，即1312n n k -+=. 记313313*********n n n n n n n n c k --⎛⎫-+=-==-+ ⎪⎝⎭， 则10c >，20c <，30c <，40c <，50c <，61(2432161)02c =-+>， 猜想：当6n ≥时，0n c >.验证如下：记()31163n n n P n -=-≥，则()()()()33323221111123312523213333n n n n nn n n P P n n n n n n n +-+⎡⎤-=-=---=-+--+⎣⎦()()()2125221103n n n n n ⎡⎤=-+-++>⎣⎦， 所以数列{}n P 单调递增，故621610243n P P ≥=->， 所以0n c >，故最小正整数m 的值为6. 【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列中的探索性问题与数列单调性的问题，考查了等比中项性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.21．已知矩阵301A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵110323A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 、b 的值；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点()3,1P '，求点P 的坐标.【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）()1,1-.【解析】（1）根据11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得出关于a 、b 的方程组，进而可解出a 、b 的值； （2）设点P 的坐标为(),x y ，根据矩阵变换可得出关于x 、y 的方程组，解出x 、y 的值，由此可得出点P 的坐标. 【详解】（1）因为1110030103121201333b b AA a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 所以120331a b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩； （2）由（1）知3021A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 设点(),P x y ，由题意得30332121x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以3321x x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为()1,1-.【点睛】本题考查利用矩阵的乘法求参数，同时也考查了利用矩阵变换求点的坐标，考查方程思想的应用，属于基础题.22．在极坐标系中，圆1C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x r y r θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）.若圆1C 与圆2C 相切，求正数r 的值.【答案】r =r =【解析】将圆1C 的极坐标方程化为普通方程，确定圆1C 的圆心坐标和半径，根据圆2C 的参数方程确定圆2C 的圆心坐标和半径，然后分两圆内切和外切两种情况讨论，可得出关于r 的等式，进而可求得r 的值. 【详解】圆1C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，即24cos 4sin ρρθρθ=+，化为普通方程为2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，圆心()12,2C，半径1r =圆2C 的参数方程为1cos 1sin x r y r θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），圆心()21,1C --，半径为r .所以圆心距1232C C =，则圆心2C 在圆1C 外.故当两圆外切时，1212232C C r r r =+=+=，解得2r =；当两圆内切时，122232C C r =-=，解得52r =. 综上，2r =或52r =.【点睛】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用圆与圆的位置关系求出参数值，考查计算能力，属于中等题.23．已知正数a 、b 、c 、d 满足1a b cd +==，求证：()()1ac bd ad bc ++≥. 【答案】证明见解析【解析】将所证不等式的左边展开，利用基本不等式222a b ab +≥结合1a b cd +==可证得结论成立. 【详解】a Q 、b 、c 、d 均为正数，由基本不等式可得222a b ab +≥，()()()()()()22222222ac bd ad bc a b cd ab c d a b cd abcd a b cd++=+++≥++=+.1a b cd +==Q ，()()1ac bd ad bc ∴++≥.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式化简变形，考查推理能力，属于中等题.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，AP 、AB 、AD 两两垂直，4AD AP ==，2AB BC ==，//AD BC ，M 为线段PC 上一点（端点除外）.（1）若异面直线BM 、AP 6，求PM 的长； （2）求二面角B PC D --的平面角的余弦值.【答案】（1）6；（2）155-. 【解析】（1）以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PM PC λ=u u u u r u u u r，()0,1λ∈，利用空间向量法结合异面直线BM 、AP 所成角的余弦值为6可得出关于λ的方程，解出λ的值，即可求得PM 的长； （2）求出平面PBC 和平面PCD 的法向量，利用空间向量法可求得二面角B PC D --的平面角的余弦值. 【详解】（1）因为AP 、AB 、AD 两两垂直，所以以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由4AD AP ==，2AB BC ==，得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P .设()2,2,4PM PC λλλλ==-u u u u r u u u r，其中(0,1)λ∈，所以()()()2,0,42,2,422,2,44BM BP PM λλλλλλ=+=-+-=--u u u u r u u u r u u u u r，因为直线BM 、AP 6， 所以()()()2224446cos ,222444BM AP BM AP BM APλλλ⋅⨯-<>===⋅-++-⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u ur u u u r ， 解得12λ=，所以()1,1,2PM =-u u u u r ，故PM 6；（2）由（1）知()2,0,4BP =-u u u r ，()0,2,0BC =uu u r，()0,4,4DP =-u u u r ，()2,2,0DC =-u u u r .设平面BPC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r .由1100BP n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u vu u u v u v ，得11124020x z y -+=⎧⎨=⎩. 取11z =，则12x =，所以平面BPC 的一个法向量为()12,0,1n =u r.设平面DPC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r ，由2200DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u vu u u v u u v ，得2222440220y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取21y =，则21x =，21z =，所以平面DPC 的一个法向量为()21,1,1=u u rn .因为121212cos ,5n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 由图形可知，二面角B PC D --的平面角为钝角，其余弦值为【点睛】本题考查利用异面直线所成角的余弦值求线段长度，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题. 25．已知函数()()()()111211n n m n f x x x m x ++-=++++++L ，其中m 、*n N ∈，m n <.（1）求函数()f x 中含n x 项的系数；（2）求证：11211232n n n nn n n n n m n m mn n C C C mC C n ++++-+++++++=+L .【答案】（1）12123nnnnn n n n m C C C mC +++-++++L ；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据二项式定理可求得函数()y f x =中含n x 项的系数；（2）利用错位相减法化简函数()y f x =的解析式，根据化简后的函数()y f x =的解析式求出含n x 项的系数，由此可证得结论. 【详解】（1）由二项式定理知，函数()y f x =中含有n x 项的系数为12123n n n n n n n n m C C C mC +++-++++L ；（2）因为函数()()()()111211n n m n f x x x m x ++-=++++++L ，①则函数()y f x =中含有n x 项的系数为12123nnnnn n n n m C C C mC +++-++++L .又因为()()()()()()()1211121111n n n m n mx f x x x m x m x +++-++=+++++-+++L ，② ①-②得()()()()()111111n n n m m nxf x x x x m x ++-+-=++++++-+L ()()()()()()()111111111nm m n n m n x x mx x x m x x x++⎡⎤+-+-+++⎣⎦=-+=-+-， 即()()()()2111m nnmx x x f x x+-+++=，函数()y f x =中含n x 项的系数即为多项式()()()111m mnmx x x +-+++中含2n x +项的系数，为12n n m n m n mC C ++++- 故()()()121121!232!2!n n n n n n n n n n n m m n m n m n m n C C C mC mC C mC m n ++++++-++++++++=-=--+L ()()()1111!11121!1!22n n n n m nm n m n m n m n m m m mCmC C m C n m n n n +++++++++---⎛⎫=-⋅=-=- ⎪+-+++⎝⎭112n m n mn m C n ++++=+.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用母函数法证明组合恒等式成立，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
江苏省2020届高三数学上学期八校联考试题(含解析)
江苏省2020届高三数学上学期八校联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B ＝ ． 答案：{1，5} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，所以A U B ＝{1，5}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：11考点：算法初步（伪代码） 解析：第一步：S ＝1＋1＝2 第二步：S ＝2＋2＝4第三步：S ＝4＋3＝7 第四步：S ＝7＋4＝114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：1000考点：频率分布直方图解析：100÷(0.004×25)＝10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：14考点：古典概型解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝14． 6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x ，5)，得22cos 35x α==-+，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．7．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y ＝1sin()23y x π=-，将所得的图像向左平移3π个单位得11sin[()]sin(2332y x x ππ=+-=)6π-．8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：7考点：指对数函数解析：当a ＞3时，2log (1)3a +=，得a ＝7；当a ≤3时，3213a -+=，解得a ＝4＞3（舍）；所以a 的值为7．9．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ． 答案：3考点：基本不等式解析：由224549a ab b -+=得24()913a b ab +-=，由基本不等式得2()2a b ab +≤，则可发现224()9()132a b a b +-+≤，解得a b +≤a ＋b最大值为 10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．考点：三角恒等变换解析：因为θ∈[0，4π]，所以2θ∈[0，2π]，所以sin20θ≥，因为1cos43θ=-，即2112sin 23θ-=-，所以sin 2θ=442222sin ()sin ()[sin ()sin ()][sin ()sin ()]444444ππππππθθθθθθ+--=++-+--＝1cos(2)1cos(2)1cos(2)1cos(2)2222[][]2222ππππθθθθ-+---+--+-＝1sin 21sin 21sin 21sin 2()()sin 222223θθθθθ+-+-+-==． 11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB⋅u u u r u u u r＝ ．答案：14考点：平面向量数量积解析：以O 为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，，C(6，0)，D(3，，E(1，所以AE =u u u r (1)，EB =u u ur (﹣1，)，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝﹣1＋15＝14．12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ．答案：211考点：函数奇偶性与周期性解析：根据(1)(1)f x f x -=+，()f x 是奇函数，可得()f x 是周期为4的函数，所以 (2019)(50541)(1)(1)(1)f a f a f a f a f a -=⨯--=--=-+=-- 因为0＜a ＜1，所以0＜1﹣a ＜1，所以2(1)lg1af a a ---=-=-，解得211a =． 13．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e考点：导数的几何意义，导数与切线解析：因为()x f x ae =，()ln g x ea x b =+，所以()x f x ae '=，()ea g x x'=， 设曲线()y f x =和()y g x =的切点坐标分别为(1x ，1xae )，(2x ，2ln ea x b +)，则112122(ln )x x ae ea x b eaae x x x -+==-，可得122ln 1ln e x x x ==-，代入上式可得：222(1)ln e x x be a x -=-，构造函数2222(1)ln ()e x x h x x -=，求得最小 值为0，所以222(1)ln e x x be a x -=-的最大值为e ． 14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．答案：0a <或1a = 考点：函数与方程解析：原方程可转化为2(2)2(2)0x x x e a x e a ⎡⎤---+=⎣⎦，令(2)xt x e =-，当方程220t at a -+=有且只有一个根时，0a =或1a =，发现1a =符合题意， 当方程220t at a -+=有且只有两个根时，此时1a >或0a <，且两根1t ∈(0，e )，2t ∈(-∞，0)，此时2020a e ae a <⎧⎨-+>⎩，解得0a <，综上实数a 的取值范围是0a <或1a =．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．e证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C ＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． (6)分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设，-------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。
精品解析：2020年江苏省高考数学试卷(解析版)
2020年高三全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、耐心填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，( f 的值是____.【答案】4-【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅= 所求几何体体积为1232π-故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{n a 1q ≠.等差数列{}n a 的前n 等比数列{}n b 的前n 项和公式为依题意n n n S P Q =+，即通过对比系数可知111212211d d a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______． 【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215yxy-=，可得4222222114+555y yx y yy y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y+=∴0y ≠且42215yxy-=∴422222222114144+2555555y y yx y yy y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455yy=，即2231,102x y==时取等号.∴22x y+的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.在△ABC中，43=90AB AC BAC==︒，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若3()2PA mPB m PC=+-（m为常数），则CD的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PDλλ=>，结合32PA mPB m PC⎛⎫=+-⎪⎝⎭与,,B D C三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P三点共线，∴可设()0PA PDλλ=>，∵32PA mPB m PC⎛⎫=+-⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PCλ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，即32mmPD PB PCλλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=， ∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 5当m =32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y+-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以2221236(1)(36)(1)2PAB S d d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S取最大值为105，故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、精心解答题：(本大题共6小题，共计90分，)15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=. 【解析】【分析】 （1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.2020年高考（江苏卷） 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-=.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x 时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2，根据题意可得01x ≠.∵点A 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴A ⎛ ⎝∴(Q Q ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据2S =是解答本题的关键. 19.(),()f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R()f x ．（1()22()g x x x D =-+=∞-∞+，，，求h (x )的表达式；（2 ln ,()()(0) g k x h kx k D x x ==-=+∞，，，，求（3()2242() (48 () 4 3 2g x x h x t t x t t =-=--+， ，求证：n m -【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10F x F ≥=，即(h ，符合题意. 由(()1f x kx k +--()()2110x k x k =-+++≥当x =1<-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为10+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意. 当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410kk ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t tx -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x tt x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立 令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<， 当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=[])51,2∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以λλ递减，()()max 17P P λ==. 所以(【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩（3）01λ<<【解析】 【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1()3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ； （3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222)n n S S -(n n S S ∴1124n n n n S S S -∴∴= 11S a ==4n -1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n nS S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n SS S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n S S S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n nS S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01λ<<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1m n Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得251515m n c ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪∴1M -【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】 【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为3y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=， 当4πθ=时ρ= 当5πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C ．[：不等式选讲]23.设x 2|1|||4x x ++≤． 【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD=5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）15（2）239 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.详解】（1）连,COBC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==-2020年高考（江苏卷）从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=-设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-cos ∴因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯，2020年高考（江苏卷）211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯. （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+， 从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-， 即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+. 又n X 的分布列为。
2020届江苏高考数学：解析几何试题解析
4k 4k
2
，x1
x2
3
1 4k2
，
N E
O
x
非对称式 消元
y 4k1 x2x 3x1 x2 （*） 消去x2 3x1 x2
M B1
y 4kx1 x2 x1 x2 4x1
2x1 (x1 x2 )
4k 3 1 4k 2
4k 1 4k
设直线
M
N：y
kx
1 2
写直线 B2M 求点 T
写直线 B1N
(用 x1，y1，x2，y2 表示)
得x1 x2
1
4k 4k
2
，x1 x2
3
1 4k 2
求点 T 轨迹方程
02 解法赏析
【运算过程
2】由
x2 4
y
y2 kx
1
1 2
得：
x
1 ②，
由①②联立，求得 y 2 ，所以点T 在直线 y 2 上．
02 解法赏析
【构图方式 2】过点 E 的直线 MN 与椭圆交于 M，N，连结 B2M 与 B1N 并延长交于点 T．
y T
【运算路径 2】两点均未知——“设而不求”
B2 N
E
O
x
M B1
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)
为8 3
3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知
B2，B1
分别是椭圆的上、下顶点，过点
E(0，
1 2
)的直线
l
与
椭圆交于 M，N 两点，直线 MB2 与直线 NB1 交于点 T．
y T
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷08(解析版)
2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷08数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，4}，则∁U A ＝________． 答案：{3，5}解析：本题考查集合的补集运算2. 若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－3解析：z ＝(3－ai)＋3i －ai 2＝(3＋a)＋(3－a)i ，∴ a ＋3＝0，a ＝－3. 3. 命题：“∃x ∈R ，|x|≤0”的否定是__________________． 答案：∀x ∈R ，|x|＞0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p.4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为______________． 答案：3解析：由定义可知距离1＋p2＝1＋2＝3.5. 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是________．答案：－32解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环体对y ＝12×2－1＝0，|y －x|＝2≥1，x ＝0；第2次循环体对y ＝0－1＝－1，|y －x|≥1，x ＝－1； 第3次循环体对y ＝－32，|y －x|＜1，停止，输出y ＝－32.7. 抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”)． 答案：乙解析：由题设可知甲的数据波动较大，乙的数据波动较小，由观察法知乙方差较小．．8. 在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为______________．(第8题)答案：33解析： V PBCE ＝13S △BCE ·PA ＝13×12×1×2×sin120°×2＝33.9. 将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 答案：π3解析：向右平移π6后，解析式f(x)＝sin(2x ＋φ－π3)为奇函数，从而φ－π3＝kπ.又0＜φ＜π，从而φ＝π3.10. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n .若log 3⎣⎡⎦⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，则1n ＋4m 的最小值是________． 答案：52解析：由题设a n ＝2×3n －1，S 4m ＋1＝2（1－34m ）1－3＋1＝34m ，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝34m ＋n －1.又log 3[12a n (S 4m ＋1)]＝9，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝39，即4m ＋n －1＝9，∴ 4m ＋n ＝10.又1n ＋4m ＝110⎝⎛⎭⎫1n ＋4m (4m ＋n)＝110·(17＋4n m ＋4m n )≥52，当且仅当4n m ＝4mn，即m ＝n ＝2时，“＝”成立．11. 若向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案：1解析：由题意知a·b ＞0，且a 2＋2ab ＋b 2≤4|a ·b|2，即2＋2ab≤4|a·b|2，从而有2(|a·b|2)－a·b －1≥0，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，∴ a ·b ≥1，即|a||b|cos(α－β)≥1，∴ cos(α－β)≥1.又cos(α－β)≤1，∴ cos(α－β)＝1.12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝alnx 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值是______________． 答案：－1解析：不妨设切点P(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝ax 0＝1，∴ x 0＝a ，从而y 0＝a ＋b ，y 0＝alna ，即有b ＝alna －a ，a>0.又令b′(a)＝lna ＝0，解得a ＝1，∴ 当a ＝1时，b 取得最小值－113. 已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________． 答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥PB 2知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下图，则S M∩N ＝S △ABN ＋2S 扇BNF .又N(3，0)到AB 距离d ＝2，从而△ABN 为等边三角形，∴ S △ABN ＝34(22)2＝23，2S 扇BNF ＝2×12l·r ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M∩N 的图形面积为23＋83π.14. 若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a>0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________． 答案：8解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋10a 2＋14－100a (a ＞0)，由题设知原题可以等价于对任意区间[x 1，x 2]，x 2－x 1＝2，函数f(x)在[x 1，x 2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g(x)＝ax 2＋14－100a ，则原题可转化成对任意t ∈R ，g(x)在[t ，t ＋2]上最大值与最小值之差大于等于8， ① 当t≥0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递增，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(t)＝a[(t ＋2)2－t 2]≥8，即a(4t ＋4)≥8对t≥0恒成立，从而4a≥8a≥2； ② 当t ＋2≤0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递减，从而g max (x)－g min (x)＝g(t)－g(t ＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t －4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8a≥2；③ 当t ＋1≤0时，g(x)在[t ，0]上递减，在[0，t ＋2]上递增，且g(t ＋2)≥g(t)，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(0)＝a(t ＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8； ④ 同理t ＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB.求证： (1) AB ∥平面D 1DCC 1； (2) AB 1⊥平面A 1BC.证明：(1) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB Ë平面D 1DCC 1，CD Ì平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(6分)(2) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.(9分)又AB 1⊥BC ，而A 1B∩BC ＝B ，A 1B 、BC Ì平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC.(14分) 16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分)因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233，S ＝12·absinC ＝23 3.(10分)当cosA≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x 2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x>0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可． f′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.(2分)② 当a≤0时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，0)上是单调递增．(4分)② 当a>0时，x ∈(－∞，－a)，f ′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上是单调递增；x ∈(－a ，0)，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－a ，0)上是单调递减．(6分)综上所述，当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a>0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(7分)(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－⎝⎛⎭⎫－2x －a 3x 2＋1＝2x ＋a3x2－1.(9分) ① 当a<0时，要使f(x)≥a －1对一切x>0成立，即2x ＋a 3x 2≥a 对一切x>0成立．而当x ＝－a2>0时，有－a ＋4a≥a ，所以a≥0，这与a<0矛盾．所以a<0不成立．(11分)② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1>－1＝a －1对一切x>0成立，故a ＝0满足题设要求．(12分)③ 当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．所以f min (x)＝f(a)＝3a －1>a －1，所以a>0时也满足题设要求．(13分) 综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．(14分) 18.(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD ∥EF ，且点A 、D 在EF ︵上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cosθ的值．解：(1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图①)，AB ＝4cosθ＋2，AD ＝2×4sinθ，S ＝AB×AD ＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分) 当π3≤θ＜π2(如图②)，AB ＝2×4cosθ，AD ＝2×4sinθ， 故S ＝AB×AD ＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎨⎧16sinθ（2cosθ＋1），0<θ<π3，32sin2θ，π3≤θ<π2.(7分)(2) 当0<θ<π3时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos 2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝33－18.(10分) 记区间⎝⎛⎭⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表： 又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin2θ在⎣⎡⎭⎫π3，π2上为单调减函数， 所以当θ＝θ0即cosθ＝33－18时，矩形的面积最大．(16分)19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3) 记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1) 由题意，得 2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4， 即a ＝2.(2分) 又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P(－85，－335)．又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3， 即3x ＋4y ＋43＝0.(10分)(3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k.(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)20(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n.解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有P n ＝n 2（n 2＋1）2＋2n 2＋n ＋1－2.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－2 1 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1. 解：(1) 由题意得：A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cosθ，y ＝72＋2sinθ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆． (1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．(1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)，设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n24，n ， k AT ＝kA 1T44－t ＝mm24－t m 2－4t ＝4m －tm m(m －4)＝t(4－m)m ＝－t A 1⎝⎛⎭⎫t24，－t ， 同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分)(2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t (x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)，S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B＝2S 2＝12S 1， S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1， S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1，S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列， ∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)， CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)， CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1取法向量n 1＝(1，1，0)， ∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4.设TA 1与平面ABC 1所成的角为 αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分)(2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)． 由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)．由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得 cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32，∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)。
2020届江苏省苏州市高三数学过关题5 数列2(学生版)
2020届苏州市高三数学过关题5 数列（2）一、填空题：1．(2019•全国)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10a ≠，213a a =，则105S S = ． 2．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若124a a +=，47a =，则10S 的值是 ．3．(2019•全国)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5=S ． 4．已知首项为4，公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若544k k S a +-=()k *∈N ， 则k 的值为 ．5．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=⋅⋅⋅，且25252(3)n n a a n -=≥，则当n ≥１时， 2123221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+= ．6．递减等比数列{}n a 满足12,183241=+=+a a a a ，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为 ．8．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+()n *∈N ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前10项和为 ．9．设数列{}n a 的前n 项和12-=n n S ，记数列1{}na 的前n 项和n T ，则求使 10012<-n T 成立的n 的最小值 ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且33=a ,287=S ，设122-+=n b n a n ，求数列{}n b 的前n 项和=n T ．12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n a b 为 整数的正整数n 的个数是 ．15．等差数列{}n a 中，24,a =4715a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，数列{}n b 的前n 和为n T ，求使2019n T >成立的n 的最小值．16． （2019•天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n n a c a c a c n N +++∈L ．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23032++=+n n S a n n *()n N ∈． （1）求证{}n a n -为等比数列；（2）若不等式n a <λ对任意*N n ∈恒成立，求λ的取值范围．18．已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且12+a 是1a ，3a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若,,p q r 是三个互不相等的正整数，且,,p q r 成等差数列，试判断1,1,1p q r a a a ---是否成等比数列？并说明理由．19．（2019•浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每 12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+n C C C n *++<∈N L ．20．给定数列12,,,n a a a L ，对1,2,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项 12,,,i i n a a a ++L 的最小值记为i B ，i i i d A B =-．（1）设数列{}n a 为3，4，7，5，2，写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（2）设()12,,,4n a a a n ⋯≥是10a >，公比1q >的等比数列，证明：121,,n d d d -⋯成等比数列．。
2020届江苏省苏州市高三数学过关题6 三角函数(学生版)
2020届苏州市高三数学过关题6 三角函数一、 填空题1．已知角(02)αα<π≤的终边过点22(sin ,cos )33P ππ，则α= ． 2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角为 弧度时，该扇形的面积最大．3，则tan2α= ． 4．已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ__________．5． 已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ． 6．若1(0,),sin cos 2α∈πα+α=，则1tan tan αα-＝ ．7．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知060,3C b c ===，则角 A ＝ ． 8．（2019·全国卷Ⅱ） 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=________．9． 在ABC V 中，已知0120,sin 2sin C B A ==，且ABC V 的面积为，则AB 的长为________．10．（2019·天津卷）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 11． 设函数()sin 3f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，其中0w >．若函数()f x 在[]0,2p 上恰有2个零点，则w 的取值范围是________．12．（2019·江苏卷）已知tan 2=3tan +4a p a -骣÷ç÷ç÷ç桫，则sin 24p a 骣÷ç+÷ç÷ç桫的值是________． 13．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_______．14．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,120,a b c ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．二、 解答题15．（2019·江苏卷）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角a ，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角b ，其终边与单位圆交于点B ，25AB =． （1）求cos b 的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．17．（2019·全国卷III ）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ．已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．18．已知ABC ∆中，a b c ,,分别为三个内角A B C ,,sin cos C c B c =+． （1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值．19．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，6,3,2AD BD DC ===．（1）如图①，若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小；（2）如图②，若4ABC π∠=，求ADC ∆的面积．20．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP ∆，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP ∆的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。
2020届江苏省苏州市高三数学过关题7 平面向量(学生版)
2020届苏州市高三数学过关题7 平面向量一、填空题1.已知向量()4,2a =r ，向量(),3b x =r ，且a r //b r ,则x = ．2.已知点,,C D E 是线段AB 的四等分点，O 为直线AB 外的任意一点，若()OC OD OE m OA OB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数 m 的值为 ．3．设1e u r 与2e u u r 是两个不共线向量，1232AB e e =+u u u r u r u u r ，12CB ke e =+u u u r u r u u r ，1232CD e ke =-u u u r u r u u r ， 若,,A B D 三点共线，则=k ．4．在矩形ABCD 中， 4,2,AB AD ==u u u r u u u r 则BA BD BC ++=u u u r u u u r u u u r ．5．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(→AB ＋→DC )·(→AC ＋→BD )＝ ．6.向量a r 、b r 满足1,4,a b ==r r 且2a b =r r g，则a r 与b r 的夹角为 ． 7.在平行四边形ABCD 中，3AC AD AC BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则线段AC 的长为 ．8.已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若a b a b +=-r r r r，则实数λ的值为 ．9.在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =u u u r u u u r ，CA CE λ=u u u r u u u r ，若14AD BE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 ．10.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，ADF E B C且2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，点F 为DE 中点，则BF DE u u u r u u u r g 的值为 ．11．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为 ．12．（2019江苏七市高三第一次）在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则2AC AD +u u u r u u u r 的最小值为 ．13.（2019苏州市高三第一次）在△ABC 中， 已知 AB 2， AC 1，BAC 90º，D ，E 分别为 BC ，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ， 则BQ CP⋅u u u r u u r 的最大值为 ．14. （2019宿迁市高三第三次）在平面四边形ABCD 中，， ，．若， 则的最小值为____． 二.解答题15．如图，已知△OCB 中，B ，C 关于点A 对称，OD ∶DB ＝2∶1，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a r ，OB →＝b r ．(1)用a r 和b r 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．16．已知向量a r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4． (1)求a b r r g 及a b +r r ； (2)若f (x )＝a b a b -+r r r r g ，求f (x )的最大值和最小值．17．在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ．设向量(),m a b =u r ，()sin ,sin n B A =r ，()2,2p b a =--u r ．(1)若→→n m //，求证：ABC ∆为等腰三角形；(2)已知2,3c C π==，若m p ⊥u r u r ，求ABC ∆的面积S ．18．设、是两个不共线的非零向量(R t ∈)(1)记),(31,,t +===那么当实数t 为何值时，C B A ,,三点共线？ (2)若1||||==b a 且与夹角为ο120，那么实数x 为何值时||b x a -的值最小？19．如图，在四边形ABCD 中，4AC =u u u r ，12BA BC ⋅=u u u r u u u r ，E 为AC 的中点.(1)若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆； (2)若2BE ED =u u u r u u u r ，求DA DC ⋅u u u r u u u r 的值.20．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，)121(,,2<<==→→→→λλλBC BF BA BE , 过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．(1)当32=λ时，设→→→→==b BC a BA ,，用向量→→b a ,表示； (2)当λ为何值时，AE FC ⋅u u u r u u u r 取得最大值，并求出最大值．。
2020年江苏高考数学解析版原卷版试题
2020年江苏高考数学试题解析1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B =故答案为：{}0,2.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是_____. 【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2根据平均数的公式进行求解即可．【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a=. 故答案为：2.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P==. 故答案为：19. 5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【解析】由于20x>，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3- 6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为5，则该双曲线的离心率是____.【答案】32根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【解析】双曲线22215x y a -=，故5b =.由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即52b a a =⇒=，所以22453c a b =++=，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：327.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4-先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-8.已知2sin()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：139.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π 故答案为：2π10.将函数y =πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．【答案】4结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211d d a q b q ⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：412.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解. 【解析】∵22451x y y += ∴0y ≠且42215y x y -= ∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22x y +的最小值为45. 故答案为：45. 13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+-⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =， ∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x AD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =， ∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去. 故答案为：0或185. 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．【答案】105 根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【解析】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PAB Sd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S 取最大值为105，故答案为：105 15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C . （2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥. 由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin 5C =；（2）2tan 11DAC ∠=. （1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin 5C C =-= 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E '=米（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【解析】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<< 3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去) 当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x时，()f x 取最小值， 答：当20O E'=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低. 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【解析】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+= （2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x =∴()4,QQy∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-. （3）设()11,Mx y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=② ∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴()2,0M或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 （1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0hx g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围. （3）先由()()f x h x ≥，求得t的取值范围，由方程()()0gx h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立. 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立.令0x=，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =.故()2hx x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-'=⋅. 若k0<，则()F x 在0,1上递增，在1,上递减，则()()10Fx F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在0,1上递减，在1,上递增，则()()10Fx F ≥=，即()()0hx g x -≥，符合题意.综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在0,为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x+==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248xx t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432xt t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420xt t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2tλλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kkkn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2-”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2nn n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ （3）01λ<<（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)n nn n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果 【解析】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/（2）11221100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->111222+1+1)n nn n S S S S -=-1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n nS S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n SS S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S SS λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<<21.平面上点(2,1)A -在矩阵11ab ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【解析】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1 m n M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题． 22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π【迁移】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【迁移】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 【答案】（1）15（2）239（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.解析】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1) A B C D E-∴(1,0,2),(1,1,1)cos,AB DE AB DE∴=-=∴<>==从而直线AB与DE（2）设平面DEC一个法向量为1(,,),n x y z=1120(1,2,0),x yn DCDCx y zn DE⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n=∴=-=∴=-设平面DEF一个法向量为2111(,,),n x y z=112211171171(,,0),424420x yn DFDF DB BF DB BCn DE x y z⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y xz n=-∴==∴=-12cos,n n∴<>==因此sin13θ==25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q====；；（2）()111222+33n n n np q p q--+=+（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【解析】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯ （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+.又n X 的分布列为故1()213n n n nE X p q =+=+.2020江苏卷高考数学试题及答案1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+-的实部是 ．3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ．5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是 ．7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ．8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.10．将函数πsin(32)4y x=﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ．15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若21ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[] , 2,2D m n =⊆-⎡⎣，求证：7n m -≤20．（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 3”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由． 1．{0,2}2．33．24．195．3-6．327．4-8．139．1232π- 10．524x π=-11．412．4513．185或014．10515证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B CAC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16．解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ==︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C （2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角， 而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C 则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 17．解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时，31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A =所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-. 设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值. 答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低. 18解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--. 19．解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得22 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立，所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞. 令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤．因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤ （3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432= 342(41)t t t t v t +---，322()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -综上所述，n m -≤20．解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列*{}()n a n ∈N”数列，． 因为0n a >，所以10n n S S +>>1=．n b，则1n b -221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =2，也即14n n S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-=-=因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>1=-n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（*）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-，因为1n c ≥，所以3232101n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以1n n S S +=或31n n S t S +=．由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）．（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．23．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为123=114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，所以213,24,a b -=⎧⎨--=-⎩解得2a b ==，所以2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．（2）因为2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ M ，det 221150=⨯-⨯-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而121551255-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ - M． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上，因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin 21θ=．因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ所以公共点的极坐标为)4π． C ．[选修4-5：不等式选讲]解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<． 22．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ． 又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．以{}OBOC OA ，，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． 因为BD =2，CB CD =，AO =2，所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）． 因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），所以||||||||5cos AB DE AB DE AB DE =⋅⋅=<>，．因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，14BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111(,,0)442BF BC ==-． 又20,0DB =（,）， 故71(,,0)42DF DB BF =+=．设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量，则1100,DE DF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即111110710,42x y z x y +⎧+=⎪+=⎪⎨⎩， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0），则2200,DE DC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=⎧⎨⎩，取22x =，得2–1y =，2–1z =，所以2(211)n =--，，． 故2112|||||||co |s θ⋅===⋅n n n n ．所以s n i θ==23．解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，113211133C C 2C C 3q =⋅=，11113121211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=，1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--11216=9327q -+=．（2）当2n ≥时，1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--112=93n q --+，②2⨯+①②，得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111312p q -+=， 所以11112()1()3331n n n n p q -+++==，*n ∈N ．③ 由②，有1313()595n n q q --=--，又135115q -=，所以1113()1595n n q -=-+，*n ∈N ． 由③，有13111()210111()()33925nn n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故311111()()109235n n n n p q --=--+，*n ∈N ． n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020届苏州市高三数学过关题8 解析几何
一．填空题
1.抛物线y 2
＝6x 的准线方程为________． 2.双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是________． 3.(课本题)过点B (3，0)，且与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线的方程为________.
4.经过点P (－2，4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程为________.
5.(2018全国III 改编)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －
2)2＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) 6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos∠ABF ＝45
，则C 的离心率为________．
7.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ． 8.设m R ∈，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是 ．
9.在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P
，使得PA =，则实数m 的取值范围是 ．
10.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2
＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．
11.已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ．
12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32
，A ，B 是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos(α－β)cos(α＋β)
＝________． 13.（2018 苏锡常镇一模）已知直线:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆22:(2)2C x y -+= 上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合 为____________．
14.已知直线l 经过椭圆2
2:12
x C y +=的左焦点F ，且交椭圆于A ，B 两点，与y 轴交于
点P ，且满足PA AF =uu r uu u r λ，PB BF =uur uu u r μ，则λμ+= ．
二、解答题
15.过椭圆C ：x 24＋y 2
b 2＝1(b ＞0)的左顶点A 作直线l 分别与y 轴，椭圆C 分别相交于M ，N ，且AN →＝λAM →，其中λ为实数.
(1)若b ＝3，λ＝32
，求直线l 的斜率； (2)已知直线l 的倾斜角为π3，若λ∈[23，32
]，求椭圆离心率的取值范围.
16.已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2，0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1，1)在边AD 所在的直线上.
(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；
(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.
17.已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l 30x y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．
(1)若a ＝8，切点(3,1)T -，求直线AP 的方程；
(2)若PA =2PT ，求实数a 的取值范围．
18.如图，已知椭圆22
:1124
x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上．
(1)求直线AB 的方程；
(2)若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．
19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝4和圆C2：(x－5)2＋(y－2)2＝16.
(1)若过原点的直线l与圆C1相切，求切点的坐标；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的一半，试求所有满足条件的点P的坐标.
20.如图，椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b
+=>>经过点(0,1)
A-，右准线:2
l x=，设O为坐标原
点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），直线AP交l于M（点M在x轴下方）．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过右焦点F作OM的垂线与以OM为直径的圆H交于,C D
两点，若CD
H的方程；
(3)若直线AP与AQ的斜率之和为2，证明：直线PQ过定点，并求出该定点．。