人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：32【基础】空间向量的数量积

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人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：12【基础】椭圆的方程

椭圆的方程【学习目标】1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2.掌握椭圆的定义和标准方程；3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. 要点二、椭圆的标准方程标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系(如图)．设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝． (3)代数方程即：(4)化简方程由22a c >可得222a cb -=，则得方程22221(0)x y a b a b+=>>关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．因此，方程22221(0)x y a b a b+=>>即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)．这里c 2=a 2-b 2．椭圆的标准方程：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；要点诠释：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222b a c -=；3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -；4. 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b ，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221(,0m n)mx ny m n +=>≠且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。

人教版高中数学选修2-1讲义资料,复习补习资料(含知识讲解,巩固练习)：章末检测(共3套含解析)

第一章常用逻辑用语章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列语句中是命题的是A ．矩形是平行四边形吗？B ．并非所有的人都喜欢画画C ．x 2-1>0D ．这幅画真漂亮！2．若，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“，”的否定为 A ．， B ．， C ．，D ．，4．对于命题：矩形的两条对角线相等，下面判断正确的是 A ．为假命题 B ．的逆否命题为真命题 C ．的逆命题为真命题D ．的否命题为真命题5．“为假”是“为真”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要6．已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．7．下列命题正确的是 A ．若，则B ．“”是“”的必要不充分条件C ．命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题D ．“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”p ⌝p q ∨8．已知命题p : “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．39．下列命题中，假命题是 A ． B ．C ．的充要条件是D ．是的充分不必要条件 10．已知命题，，，，有下列命题：①；②；③；④.其中真命题是 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④11．“”的充分不必要条件是 A ． B ． C ．D ．12．设有下面四个命题：：，；：，“”是“”的充分不必要条件；：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；：若“”是真命题，则一定是真命题.其中为真命题的是 A ．， B ．， C ．，D ．，二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．《左传·僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的_____条件(将正确的序号填入空格处). ①充分②必要③充要④既不充分也不必要1p n ∃∈N 22n n >2p x ∈R 1x >2x >3p x y =sin sin x y =sin sin x y ≠x y ≠4p p q ∨p 1p 2p 2p 3p 2p 4p 1p 3p14．若命题“任意实数，使”为真命题，则实数的取值范围为__________．15．设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________.16．下列命题中，真命题的序号是__________．（填所有正确命题的序号）①“若，则”的否命题； ②“，函数在定义域内单调递增”的否定； ③“”是“”的必要条件； ④函数与函数的图象关于直线对称.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．写出命题“若直线l 的斜率为-1,则直线l 在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题,并判断这三个命题的真假.18．已知，若是的必要条件，求实数的取值范围．19．求证:对于任意的x ,y ∈R ,“xy =0”是“x 2+y 2=0”的必要不充分条件.()22:210,:2100p x q x x m m -≤≤-+-≤>p ⌝q ⌝m20．已知命题，使恒成立，命题使函数有零点，若命题“”是真命题，求实数的取值范围．21．已知函数f (x )=x 2-2x +5.（1）是否存在实数m ,使不等式m +f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立,并说明理由; （2）若至少存在一个实数x 0,使不等式m -f (x 0)>0成立,求实数m 的取值范围.22．设命题:实数满足，其中;命题：实数满足.（1）若命题中，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.[]:0,1p x ∀∈1102x m -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ππ:,,63q x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()cos f x x x m =+-p q ∧m |1|x a ->参考答案1．【答案】B【解析】A 是疑问句, D 是感叹句，不是命题;C 中语句不能判断真假. 2．【答案】 D3．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，可知命题“，”的否定为：，.故选C ．4．【答案】B【解析】根据矩形的性质可得“矩形的两条对角线相等”正确，所以为真命题.因为原命题与其逆否命题是等价命题，所以的逆否命题为真命题，故选B ． 5．【答案】A【解析】若为假，则为真，故为真，故“为假”是“为真”的充分条件；若为真，则中至少有一个为真，可以是假真，此时为真，故“为假”是“为真”的不必要条件．故选A ． 6．【答案】C 【解析】命题：，，：，是真命题，.故选C.7．【答案】C 【解析】A ．若，则，当a 为0时，结论不成立，故错误； B ．“”是“”的必要不充分条件，当x =4时成立，故正确结论应是充分不必要； D ．“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”，应该是若，不全为0，故错误，所以选C. 8．【答案】Cp ⌝p p q ∨p ⌝p q ∨p q ∨,p q p q p ⌝p ⌝p q ∨9．【答案】C【解析】对于A ，根据指数函数的性质可知，总成立，故A正确；对于B ，取，则，故B正确；对于C ，若，则无意义，故C错误，为假命题；对于D ，根据不等式的性质可以当时，必有，故D正确.综上，选C．10．【答案】A【解析】，∴命题，为真命题；当x 时，，∴，为真命题，由此可知：，为假命题，∴为真命题，为假命题.故选A.11．【答案】C12．【答案】D【解析】时，，为真命题，可排除选项B，C；能推出，不能推出，则是的必要不充分条件，所以是假命题，排除A，故选D．13．【答案】①【解析】由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为①．14．【答案】6n=25262,,2nn n>∴∃∈>N1p()()2,1,,2x+∞⊂+∞∴>1x>1x>2x>1x>2x>2p【解析】由题可得：任意实数，使为真命题，故，即，故答案为.15．【答案】【解析】求解二次不等式可得：，求解二次不等式可得：，由是的必要不充分条件，得，即，求解不等式组可得：.故实数的取值范围为.16．【答案】①②17．【解析】逆命题:若直线l 在两坐标轴上的截距相等,则直线l 的斜率为-1.显然该命题是假命题.否命题:若直线l 的斜率不为-1,则直线l 在两坐标轴上的截距不相等.显然该命题是假命题. 逆否命题:若直线l 在两坐标轴上的截距不相等,则直线l 的斜率不为-1. 显然原命题为真命题,故其逆否命题也是真命题.0∆≤0112a a ⎧≤+≥⎪⎨⎪⎩18．【解析】由得，，所以或，又因为，所以或，因为是的必要条件，所以，解得，故实数的取值范围是．19．【解析】先证“必要性”:对于任意的x ,y ∈R ,如果x 2+y 2=0,那么x =0,y =0,即xy =0.故“xy =0”是“x 2+y 2=0”的必要条件.再证“不充分性”:对于任意的x ,y ∈R ,如果xy =0，如x =0,y =1，此时x 2+y2≠0，故“xy =0”不是“x 2+y 2=0”的充分条件.综上,对于任意的x ,y ∈R ,“xy =0”是“x 2+y 2=0”的必要不充分条件.20．【解析】命题当时，，要使恒成立，需满足；命题，当时，，，要使函数有零点，需满足，因为命题“”为真命题，所以真，真，所以.22．【解析】（1）当时，:，：.又真，所以都为真.()222100x x m m -+-≤>11m xm -≤≤+:1q x m ⌝<-1x m >+:210p x -≤≤:2p x ⌝<-10x >p ⌝q ⌝12110m m -≤-+≥⎧⎨⎩9m ≥m [)9,+∞:p []0,1x ∈11122x -⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭1102x m -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭1m ≤:q ()πcos 2sin 6f x x x m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ062x ≤+≤π02sin 26x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ππ,,63x ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()cos f x x x m +-02m ≤≤p q ∧p q 01m ≤≤由得. （2），:，∴满足条件的解集A =.：B =，是的必要不充分条件，∴∴.故实数的取值范围是.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是A ．B ．C ．D ．2是常数，则下列结论正确的是A ．，曲线表示椭圆B ．，曲线表示双曲线C ．，曲线表示椭圆D ．，曲线表示抛物线3．设分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，若线段的中点在y 轴上，则 2023x x x ><-<<⎧⎨⎩或B A ⊂≠01312a a a >+≥-≤-⎧⎪⎨⎪⎩[3,)+∞2211818y x -＝2211818x y -＝22188y x -＝22188x y -＝a 0a ∀>Γ0a ∀<Γ0a ∃<Γa ∃∈R Γ12F F ,22195x y +=1PF 21PF PF =A ．B ．C ．D ．4．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为A ．B ．C ．D ．5．已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 A ．1 B ．1或3 C ．2D ．2或66．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ．D ．8．直线与椭圆C ：交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆5145134959221169x y -=216y x =216y x =-28y x =28y x =-A B ,F 22(0)y px p =>||||4AF BF +=AB 2px =p 22221x y a b -=(0,0)a b >>2y =2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=22221x y a b-=(1,2))+∞y =22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，则椭圆C 的离心率为 AB CD ．9．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之，则的渐近线方程为 A ．BC ．D ．10．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，且，则双曲线的实轴长为A ．1B ．2C ．4D ．811．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则的方程为A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是A ．B ．14-0a b >>1C 22221x y a b +=2C 22221x y a b-=1C 2C 2C 0x =0y ±=20x y ±=20x y ±=C x C 28y x =A B AB =C 2222:1(0)x y E a b a b+=>>(3,0)F F ,A B AB (1,1)-E 221189x y +=2213627x y +=2212718x y +=2214536x y +=1F 2F P 123F PF π∠=1e 2e 121e e 33C．D二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为________________．14．已知点是椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则椭圆的离心率为________________．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的焦点，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率________________．16．已知过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为坐标原点．证明：．224y x=22221(0,0)x ya ba b-=>>12F2222:1()x ya ba bΓ+=>>02by=-ΓB C 90BFC∠=︒Γ22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>1F2F2C1C1C2C P212PF F F⊥1Ce=(0,3)24y x=A B AB(4,0)F12l22x y=,A B O OA OB⊥18．已知命题“存在，”，命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“关于的不等式成立”．（1）若“且”是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．:p x ∈R 212(1)02x m x +-+≤:q 2212:128x y C m m +=+x :s m ()(1)0m t m t ---<p q m q s t19．已知抛物线上的点到焦点的距离为．（1）求，的值；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．22(0)y px p =>(3,)T t F 4t p A B x 5OA OB ⋅=O AB20．已知椭圆C：经过点(1)，左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求的值．22221(0)x ya ba b+=>>2||MNOQ21．已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点．（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂直于轴的直线交于，，证明：为定值，并求出该定值．M ()1,0F 1x =-M C 1x =-x N N k l C A B O M C l k D C A B DA DB ()1,0F x P Q OP OQ ⋅22．已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右焦点，过作直线(与轴不重合)交椭圆于，两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求实数的取值范围．C 22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b-=x 30︒C 1F 2F C 2F l x A B AB E 1F E k k参考答案1．【答案】B【解析】设等轴双曲线方程为(a ＞0)，则，所以，故所求双曲线的标准方程为．故选B ．2．【答案】B3．【答案】B【解析】因为线段的中点在y 轴上，所以与x 轴垂直，且点P 的坐标为(2，)，所以，则，．故选B ． 4．【答案】A【解析】易得双曲线方程的右顶点的坐标是(4，0)，所以所求抛物线的焦点为F (4，0)．设抛物线的标准方程为，则由，得，故所求抛物线的标准方程为．故选A ． 5．【答案】B 【解析】设线段中点的横坐标为，则，因为线段的中点到直线的距离为1，所以，故选B ．6．【答案】D22221x y a a -=2226a a +=218a =2211818x y -=1PF 2PF 53±253PF =121323PF a PF =-=21513PF PF =221169x y -=22(0)y px p =>42p =8p =216y x =AB【解析】双曲线的一条渐近线是①，抛物线的准线是此，即 ②，由①②联立解得．故选D ． 7．【答案】C【解析】过点F 且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为，由题意可得，即，结合及，解得C ． 8．【答案】C9．【答案】C【解析】由题意得，，整理得，所以的渐近线方程为，即，即．故选C ． 10．【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为 ①，因为抛物线，，，所以，所以抛物线的准线方程为，设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点分别为，，则，所以，将，代入①，可得，解得，所以等轴双曲线的方程为，其实轴长为，故选B ．11．【答案】Ab y x a =2b a=2y =x =c =2227a b c +==2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y -=by x a =1ba<2221c a a-<c e a =1e >1e <<1c =2c =121224c c e e a a a =⨯==12b a =2C b y x a =±12y x =±20x y ±=C 22x y λ-=28y x =28p =4p =22p=2x =-2x =-(2,)A y -(2,)(0)B y y -->()2AB y y y =--==y =2x =-y =22(2)λ--=1λ=C 221x y -=2【解析】由题意设，所以，整理得；因为的中点坐标为，所以；因为，所以，所以；因为，所以．所以的方程为．故选A ． 12．【答案】D13．【答案】【解析】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，所以，，． 14．()()1122,,,A x y B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-AB ()1,1-12122,2x x y y +=+=-1212101132AB y y k x x ---===--2221202a b-+⨯=222a b =3c ==2218,9a b ==E 221189x y +=324y x =(1,0)22221(0,0)x ya b a b-=>>0bx ay ±=12b c =a =e =【解析】不妨设点在第三象限，则，，又，所以，即，故椭圆的离心率． 15．【解析】因为，所以由抛物线的定义可知，由双曲线的几何性质可知，，所以，即，，即，解得（负值舍去），所以双曲线的离心率． 16．【答案】17．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），又，∴，．（2）设，依题意可知直线的斜率一定存在，设线的斜率为，则的方程为，(,)22bB --,)2b C -90BFC ∠=︒222)()02b c -+=2232c a =Γc e a ==1212PF F F ⊥212PF F F =22b PF a =122F F c =22b c a=22b ac =222c a ac -=2210e e --=1e =1C 1e =622143y x +=222==c e a 2234b a =223314a b +=2a =b =22143y x +=1122(),,,()A x y B x y l l k l 2y kx =+联立方程，消去可得，∴，∴，∴，∴，∴． 18．【答案】（1）；（2）．（2）若为真，则，即，由是的必要不充分条件，可得是或的真子集，所以或，即或，所以实数的取值范围为．19．【答案】（1），；（2）证明见解析，直线过定点．【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得，所以抛物线的方程为，代入点，可解得．（2）设直线的方程为，，，联立，消元得，则，由，可得，所以或（舍去），即，解得，所以直线的方程为，222y kx x y=+=⎧⎨⎩y 2240x kx --=124x x =-211222422y y x x =⋅=1212440x x y y +=-+=0OA OB ⋅=OA OB ⊥(4,2)(4,)--+∞[4,3][4,)--+∞s ()(1)0m t m t ---<1t m t <<+q s {|1}m t m t <<+{|42m m -<<-4}m >412t t ≥-⎧⎨+≤-⎩4t ≥43t -≤≤-4t ≥t [4,3][4,)--+∞2p =t =±AB (5,0)342p+=2p =24y x =(3,)T t t =±AB x my n =+211(,)4y A y 222(,)4y B y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=124y y n =-5OA OB ⋅=21212()516y y y y +=1220y y =-124y y =420n -=-5n =AB 5x my =+所以直线过定点．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可知，，解得，，故椭圆C 的标准方程为．21．【答案】（1）；（2）证明见解析，该定值为．【解析】（1）因为动圆恒过且与直线相切，所以点到与到直线的距离相等，所以圆心的轨迹的方程为，联立，可得，AB (5,0)22241x y +=12ab =221123a b+=2a=b =22241x y +=(1,0)(0,1)-5M ()1,0F 1x =-M ()1,0F 1x =-M C 24y x =24(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩2222(24)0k x k x k +-+=当时，一次方程只有一个根，不符合题意，所以且，解得．（2）设，，，直线：，即，其与的交点，同理与的交点，所以，由（1）可知，则，代入上式得，所以，为定值，该定值为．22．【答案】（1）；（2（2）由（1）知，设，，直线的方程为．联立，可得，所以，所以又，所以直线的斜率． ①当时，；0k =0k ≠0∆>(1,0)(0,1)k ∈-00(),D x y 11(),A x y 22(),B x y DA l 00014()y y x x y y -=-+0101(4)y y y x y y +=+1x =0101)4,(1y y P y y ++DB l 1x =0202)4,(1y y Q y y ++2010********010*******444()161()()()1y y y y y y y y y y OP OQ y y y y y y y y y y +++++⋅=+⋅=++++++121x x =124y y ==200122001244()1644()y y y y y y y y +++=+++OP OQ ⋅145=+=522162x y +=2(2,0)F 11(,)A x y 22(,)B x y AB 2x ty =+221622x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22(3)420t y ty ++-=12243t y y t -+=+122123x x t +=+1(2,0)F -1F E 222236623tt t k t t -+==+--+0t =0k =②当时，综合①②可知，直线的斜率一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间四边形中， A ． B ． C ．D ．2．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝－2，则x 的值是 A ．6 B ．5 C ．4D ．33．与向量共线的单位向量是 A ．B ．C ．和D ．和4．设l 1的方向向量为a ＝(1，2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为 A ．3 B ．2 C ．1D ．5．已知，，，，则向量与之间的夹角为A ．B ．C ．D ．以上都不对0t ≠2166t k t t t==≤++1F E k OABC OA AB CB +-=OA AB OC AC (2,3,6)=a 236(,,)777236(,,)777---236(,,)777--236(,,)777-236(,,)777236(,,)777---12++=0a b c 2=a 3=b 4=c a b ,<>a b 30︒45︒60︒6．已知、分别是四面体的棱，的中点，点在线段上，且，设，，，则A ．B ．C ．D ． 7．设平面上有四个互异的点，，，，已知，则是 A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为 A ．a B ．a C ．aD ．a9．已知若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为 A ．0B ．C．9D ．10．正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是A ．B CD11．已知空间四个点A (1，1，1)，B (－4，0，2)，C (－3，－1，0)，D (－1，0，4)，则直线AD 与平面ABC所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为M N OABC OA BC P MN 2MP PN =OA =a OB =b OC =c OP =111663++a b c 111633++a b c 111333++a b c 111366++a b c A B C D (2)()DB DC DA AB AC +-⋅-0=ABC △()()()2,1,3,1,4,2,7,5,,λ=-=--=a b c ,,a b c λ3576572A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别为_________________、_________________． 14．已知向量，，若，则_________________．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为_________________． 16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面； ③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中不正确的命题为_________________．（填序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．18．如图所示,四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,试判断与是否共线.(4,,1)k k =-a 3(2,1,)2=-b ab k ={,,}i j k19．如图，在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，求证：（1）直线平面；（2）平面平面．20．如图，已知P A 垂直于正方形ABCD 所成平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A AD 2．（1）求M ，N 两点之间的距离；1111ABCD A B C D -M N E F S 1CC 11B C BC 11C D 11A B SE ∥1A BD MNF ∥1ABD ==（2）求证：MN ⊥平面PCD ；（3）求直线P A 与MN 所成的角．21．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．22．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面．设．（1）求二面角的大小；（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．ABEF 2AF FD =90AFD ∠=︒D AF E --C BE F --60︒ABEF ⊥EFDC E BC A --1111ABCD A B C D -ABCD 160,,BAD A A AB E ∠==1BB 1D E ⊥1D AC 2AB =1E AC D --1D E P 1//A P EAC 1:D P PE参考答案1．【答案】C【解析】．故选C ． 2．【答案】D【解析】a ·b ＝－3＋2x －5＝－2，∴x ＝3．故选D ． 3．【答案】D 【解析】，∴与a 共线的单位向量是(2，3，6)，故选D ．4．【答案】B【解析】∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由已知，得，则，由此可得．从而．故选D ． 6．【答案】BOA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=7==a 17±++=0a b c +=-a b c 2222()2+=++⋅=a b a b a b c 32⋅=a b 1cos ,4⋅==<>a b a b a b7．【答案】B【解析】∵，∴， ∴，故是等腰三角形，故选B ． 8．【答案】D【解析】由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1,则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离.显然A 1C ⊥平面AB1D 1,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则易得平面AB 1D 1的一个法向量为n =(1,-1,1),A (a ,0,0),B (a ,a ,0),=(0,-a ,0),则两平面间的距离为d =. 9．【答案】D10．【答案】C【解析】因为，所以，所以，即C ．11．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为，∵，，由2()()D B D C D A D B D A D C D A A B A C +-=-+-=+22(2)()()()0DB DC DA AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅-=+⋅-=-=A B A C =ABC △|3|B A a ⋅==n n 11EF EA AA A F =++222221111()2EF E A A A AF E A A AAF E A =++=+++⋅2221111221210211c o s 12005A A E A AF AA AF +⋅+⋅=++++⨯⨯⨯︒+=||5EF =EF =(,,)x y z =n ()5,1,1AB =--()4,2,1AC =---0AB ⋅=n及，得令z ＝1，得，，∴n ＝(，，1)．，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则， ∴θ＝30°．故选A ． 12．【答案】B【解析】过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．故选B ．13．【答案】(1，－2，1) (－5，7，7)【解析】依题意知，a ＝(－1，1，3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2，1)，a －2b ＝(－1，1，3)－2(2，－3，－2)＝(－5，7，7)． 14．【答案】【解析】由，及，可知存在实数满足，即，即且且，解得．故填．15．【答案】60°【解析】如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，0AC ⋅=n 50,420,x y z x y z --+=⎧⎨---=⎩12x =32y =-1232-()2,1,3AD =--3131sin 2AD AD θ-++⋅===n n2-(4,,1)k k =-a 3(2,1,)2=-b ab λλ=a b (4,,1)k k -=3(2,1,)2λ-42λ=-k λ=312k λ-=2k =-2-16．【答案】①②③④【解析】①a ，b 所在的直线可能重合，所以①错； ②空间任意两个向量均共面，所以②错；③以空间向量的一组基底{a ，b ，c }为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错； ④当a ，b ，c 共面时，不成立，所以④错．故不正确的命题为①②③④． 17．【解析】存在，理由如下：假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立，由已知可得a 1＝(2，－1，1)，a 2＝(1，3，－2)，a 3＝(－2，1，－3)，a 4＝(3，2，5)，可得(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3，2，5)，∴，解得a ＝－2，b ＝1，c ＝－3，故a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3，所以a ，b ，c 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3．19．【解析】如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，22332235a b c a b c a b c +-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩设正方体的棱长为2，则，，，，，，，．（1）易得，，设平面的法向量为，则，即，取，得，，所以平面的一个法向量为．又，所以，所以，显然不在平面内，所以平面．20．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．(0,0,0)D 1(2,0,2)A (2,2,0)B (2,1,2)S (1,2,0)E (0,2,1)M (1,2,2)N (0,1,2)F 1(0,2,2)A B =-1(2,0,2)A D =--1A BD (,,)x y z =n 11A B A D ⎧⎪⎨⎪⎩⊥⊥n n 11220220A B y z A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n n 1x =1y =-1z =-1A BD (1,1,1)=--n (1,1,2)SE =--(1,1,2)(1,1,1)0SE ⋅=--⋅--=n SE ⊥n SE 1A BD SE ∥1A BD Axyz）由题易得两点之间的距离为）由题易得，因为，所以，即因为，所以，即，所以）由题易得因为，所以故直线与所成的角为21．【解析】（1）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（2）过作，垂足为，由（1）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系． (1,0,1)MN =-||(MN =-(2,0,2)PD =--(0,CD =-0MN PD ⋅=MN PD ⊥MN 0MN CD ⋅=MN CD ⊥MN PDCD D =(0,0,AP =(1,0,1)MN =-,||||2AP MN AP MN AP MN ⋅==<>,45AP MN =<>PA MN AFDF ⊥AF FE ⊥AF ⊥EFDC AF ⊂ABEF ABEF ⊥EFDC D DG EF ⊥G DG ⊥ABEF G GF x ||GF Gxyz所以，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量，同理可取，所以，易知二面角为钝角，故二面角的余弦值为． 22．【解析】（1）设与交于，设，如图所示建立空间直角坐标系，EC =(0,4,0)EB=(3,AC =--(4,0,0)AB =-(,,)x y z =n BCE 0EC EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩(3,0,=n mABCD 4)=m cos ,19⋅==-<>m n m n |m ||n |E BC A --E BC A --AC BD O 1B E h =O xyz-，1112cos ,==2D E D E D E⋅∴⋅m m m。

人教版高中数学选修2-1知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第03章章末检测高二数学(理)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-= A ．OA B ．AB C ．OCD ．AC2．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝－2，则x 的值是 A ．6 B ．5 C ．4D ．33．与向量(2,3,6)=a 共线的单位向量是A ．236(,,)777 B ．236(,,)777--- C ．236(,,)777--和236(,,)777-D ．236(,,)777和236(,,)777---4．设l 1的方向向量为a ＝(1，2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．1D ．125．已知++=0a b c ，2=a ，3=b ，4=c ，则向量a 与b 之间的夹角,<>a b 为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．以上都不对6．已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则OP =A ．111663++a b c B ．111633++a b c C ．111333++a b cD ．111366++a b c7．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()DB DC DA AB AC +-⋅-0=，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为 A ．a B ．a C ．aD ．a9．已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,,λ=-=--=a b c 若,,a b c 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为 A ．0 B ．357 C ．9D ．65710．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是A ．2B ．3C ．5D ．711．已知空间四个点A (1，1，1)，B (－4，0，2)，C (－3，－1，0)，D (－1，0，4)，则直线AD 与平面ABC所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°12．已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别为_________________、_________________． 14．已知向量(4,,1)k k =-a ，3(2,1,)2=-b ，若ab ，则k =_________________．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所成角的大小为_________________． 16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面； ③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中不正确的命题为_________________．（填序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{,,}i j k 是单位正交基底，设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．18．如图所示,四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,试判断与是否共线.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M ，N ，E ，F ，S 分别为1CC ，11B C ，BC ，11C D ，11A B的中点，求证：（1）直线SE ∥平面1A BD ；（2）平面MNF ∥平面1A BD ．20．如图，已知P A 垂直于正方形ABCD 所成平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A =AD =2．（1）求M ，N 两点之间的距离；（2）求证：MN ⊥平面PCD ；（3）求直线P A 与MN 所成的角．21．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒．（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值．22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．设2AB =．（1）求二面角1E AC D --的大小；（2）在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=．故选C ． 2．【答案】D【解析】a ·b ＝－3＋2x －5＝－2，∴x ＝3．故选D ． 3．【答案】D 【解析】2222367=++=a ，∴与a 共线的单位向量是17±(2，3，6)，故选D ． 4．【答案】B【解析】∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2．故选B ． 5．【答案】D【解析】由已知++=0a b c ，得+=-a b c ，则2222()2+=++⋅=a b a b a b c ，由此可得32⋅=a b ．从而1cos ,4⋅==<>a b a b a b ．故选D ． 6．【答案】B7．【答案】B【解析】∵2()()DB DC DA DB DA DC DA AB AC +-=-+-=+，∴22(2)()()()0DB DC DA AB AC AB AC AB AC AB AC +-⋅-=+⋅-=-=， ∴AB AC =，故ABC △是等腰三角形，故选B ． 8．【答案】D【解析】由正方体的性质易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1,则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离.显然A 1C ⊥平面AB 1D 1,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则易得平面AB 1D 1的一个法向量为n =(1,-1,1),A (a ,0,0),B (a ,a ,0),=(0,-a ,0),则两平面间的距离为d =|3|33a BA a ⋅==n n .9．【答案】D10．【答案】C【解析】因为11EF EA AA A F=++，所以222221111()2EF EA AA A F EA AA A F EA =++=+++⋅ 2221111221210211cos12005AA EA A F AA A F +⋅+⋅=++++⨯⨯⨯︒+=，所以||5EF =，即EF =5．故选C ．11．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =n ，∵()5,1,1AB =--，()4,2,1AC =---，由0AB ⋅=n 及0AC ⋅=n ，得50,420,x y z x y z --+=⎧⎨---=⎩ 令z ＝1，得12x =，32y =-，∴n ＝(12，32-，1)．()2,1,3AD =--，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则31312sin 214142AD AD θ-++⋅===⨯n n，∴θ＝30°．故选A ． 12．【答案】B【解析】过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．故选B ．13．【答案】(1，－2，1) (－5，7，7)【解析】依题意知，a ＝(－1，1，3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2，1)，a －2b ＝(－1，1，3)－2(2，－3，－2)＝(－5，7，7)． 14．【答案】2-【解析】由(4,,1)kk =-a ，3(2,1,)2=-b 及a b ，可知存在实数λ满足λ=a b ，即(4,,1)k k-=3(2,1,)2λ-，即42λ=-且kλ=且312kλ-=，解得2k=-．故填2-．15．【答案】60°【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，16．【答案】①②③④【解析】①a，b所在的直线可能重合，所以①错；②空间任意两个向量均共面，所以②错；③以空间向量的一组基底{a，b，c}为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错；④当a，b，c共面时，不成立，所以④错．故不正确的命题为①②③④．17．【解析】存在，理由如下：假设a4＝a a1＋b a2＋c a3成立，由已知可得a1＝(2，－1，1)，a2＝(1，3，－2)，a3＝(－2，1，－3)，a4＝(3，2，5)，可得(2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c)＝(3，2，5)，∴22332235a b ca b ca b c+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，解得a ＝－2，b ＝1，c ＝－3，故a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3，所以a ，b ，c 存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3．19．【解析】如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则(0,0,0)D ，1(2,0,2)A ，(2,2,0)B ，(2,1,2)S ，(1,2,0)E ，(0,2,1)M ，(1,2,2)N ，(0,1,2)F ．（1）易得1(0,2,2)A B =-，1(2,0,2)A D =--，设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则11AB A D ⎧⎪⎨⎪⎩⊥⊥n n ，即11220220A B y z A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n n ，取1x =，得1y =-，1z =-，所以平面1A BD 的一个法向量为(1,1,1)=--n ．又(1,1,2)SE =--，所以(1,1,2)(1,1,1)0SE ⋅=--⋅--=n ，所以SE ⊥n ，显然SE 不在平面1A BD 内，所以SE ∥平面1A BD ．20．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ．由题意易得(0,0,0)A ，(2,0,0)D -，(2,2,0)C -，(0,0,2)P ，(0,1,0)M ，(1,1,1)N -，（1）由题易得(1,0,1)MN =-，故M ，N 两点之间的距离为222||(1)012MN =-++=．（2）由题易得(2,0,2)PD =--，(0,2,0)CD =-．因为0MN PD ⋅=，所以MN PD ⊥，即MN PD ⊥，因为0MN CD ⋅=，所以MN CD ⊥，即MN CD ⊥，又PDCD D =，所以MN ⊥平面PCD ．（3）由题易得(0,0,2)AP =，因为(1,0,1)MN =-，所以22222cos ,2||||2(1)1AP MN AP MN AP MN ⋅===-+<>，所以,45AP MN =︒<>，故直线PA 与MN 所成的角为45︒．21．【解析】（1）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF⊥平面EFDC ．（2）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（1）知DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz ．所以(1,0,3)EC =，(0,4,0)EB =，(3,4,3)AC =--，(4,0,0)AB =-．设(,,)x y z =n 是平面BCE 的法向量，则00EC EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以可取(3,0,3)=-n ．设m 是平面ABCD 的法向量，同理可取(0,3,4)=m ，所以219cos ,19⋅==-<>m n m n |m ||n |，易知二面角E BC A --为钝角，故二面角E BC A --的余弦值为21919-． 22．【解析】（1）设AC 与BD 交于O ，设1B E h =，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，1112cos ,==2D ED E D E ⋅∴⋅m m m ，。

高中数学理科数学选修2-1

选修(xuǎnxiū)2-1复习题一．选择题（共14小题(xiǎo tí)）1．（2015•济南校级模拟）以下(yǐxià)说法错误的是（）A．命题(mìng tí)“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分(chōngfèn)不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥02．（2015•张掖模拟）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题3．（2015•枣庄校级模拟）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）4．（2015•琼海校级模拟）已知命题p：“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）5．（2015•青羊区校级模拟）点F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆上存在点A使△AF1F2为正三角形，那么椭圆的离心率为（） A．B． C．D．﹣1 6．（2015•郑州三模）已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或77．（2015•江西校级模拟）设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（） A．或 B．或2 C．或2 D．或8．（2015•天津校级一模）已知a＞b＞0，椭圆C1方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2离心率之积为，则C2的渐近线方程（） A．x±y=0 B．x±2y=0 C．x±y=0 D．2x±y=09．（2015•咸阳一模）已知圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2：经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点 B，则椭圆C的离心率为（） A．B． C．2 D．10．（2015•济南一模）在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A．9x﹣16y+7=0 B．16x+9y﹣25=0 C．9x+16y﹣25=0 D．16x﹣9y﹣7=011．（2016•成都模拟(mónǐ)）已知双曲线的左右焦点(jiāodiǎn)分别为F1，F2，若E上存在(cúnzài)点P使△F1F2P为等腰三角形，且其顶角(dǐnɡ jiǎo)为，则的值是（）A． B．C．D．12．（2015•新课标I）已知椭圆(tuǒyuán)E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（） A．3 B．6 C．9 D．1213．（2015•柳州校级一模）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=﹣36x14．（2015•宜宾模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣8y二．填空题（共9小题）15．（2015•新郑市校级一模）已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．16．（2015•奉贤区一模）设命题α：1≤x＜4，命题β：x＜m；若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．（用区间表示）17．（2015•栖霞区校级模拟）若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．18．（2014秋•许昌月考）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．19．（2015秋•葫芦岛校级期中）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|：|PF2|=2：1，则△PF1F2的面积等于．20．（2015•兰州一模）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．21．（2015•杭州校级模拟）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．22．（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．23．（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点(dǐngdiǎn)重合，C1的方程(fāngchéng)为﹣y2=1，若C2的一条(yī tiáo)渐近线的斜率是C1的一条(yī tiáo)渐近线的斜率的2倍，则C2的方程(fāngchéng)为．三．解答题（共7小题）24．（2015•宜宾县模拟）已知命题p：实数m满足m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．25．（2015春•潍坊期末）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f （x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．26．（2015秋•辽宁校级期中）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0，若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．27．（2015•银川模拟）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．28．（2015秋•葫芦岛校级期中）已知双曲线的中心(zhōngxīn)在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率(xīn lǜ)为，且过点（4，﹣）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程(fāngchéng)；（2）求证(qiúzhèng)：•=0；（3）求△F1MF2面积(miàn jī)．29．（2015春•儋州校级期末）双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，﹣2）．（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．30．（2015•嘉兴二模）已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．内容总结。

(人教A版)高中数学选修2-1(全册)同步练习汇总

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习汇总课堂效果落实1.下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是平面图形吗解析：A、D是疑问句, 不是命题, C不能判断真假, 故B为正确答案．答案：B2．[2014·大连高二检测]若M、N是两个集合, 则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N, 那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N, 那么M⊆NC．如果M⊆N, 那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N, 那么N⊆M解析：用集合的定义理解．答案：A3．在下列4个命题中, 是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：对于③, 举一反例, 若A＝15°, B＝15°, 则C为150°, 三角形为钝角三角形．答案：D4．[2014·辽宁高二检测]下列命题：①若xy＝1, 则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2, 则a>b.其中真命题的序号是________．解析：①④是真命题, ②四条边相等的四边形也可以是菱形, ③平行四边形不是梯形．答案：①④5．[2014·武汉高二测试]判断下列语句是不是命题, 如果是命题, 指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)∅A；(5)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(6)方程x2－2x＋5＝0无解．解：(1)负数都是小于零的, 因此“任何负数都大于零”是不正确的；它能构成命题, 而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的, 本题无法判定△ABC 与△A1B1C1是否为全等三角形, 所以它不是命题．(3)因为x是未知数, 无法判断x2＋x是否大于零, 所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集, 集合A是不是非空集合我们无法判断, 所以无法判断“∅A”是否成立, 因此, 它不是命题．(5)6确实是所给方程的解, 所以它是命题, 且是真命题．(6)由于给定方程x2－2x＋5＝0, 我们就可以用其判别式来判断它是否有解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知, 方程x2－2x＋5＝0无解, 是命题, 且是真命题．04课后课时精练一、选择题1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗, 在这4句诗中, 可作为命题的是()A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 意思是“红豆生长在中国南方”, 这在唐代是事实, 故本语句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题．答案：A2．[2013·安徽高考]在下列命题中, 不是．．公理的是()A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：本题考查了立体几何中的公理与定理, 意在要考生注意回归课本, 明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的, 定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理, 是由公理推证出来的, 而公理是不需要证明的．答案：A3．下列命题中()①a·b＝a·c且a≠0时, 必有b＝c②如a∥b时, 必存在唯一实数λ使a＝λb③a, b, c互不共线时, a－b必与c不共线④a与b共线且c与b也共线时, 则a与c必共线其中真命题的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：对于①, 由a·b＝a·c且a≠0, 得a·(b－c)＝0, 未必有b＝c；对于②, 若b＝0时, 不成立；对于③, 如图△ABC中, E, F分别为AB, AC的中点,AB →＝a , AC →＝b , 则CB →＝AB →－AC →.又因为EF →＝12BC →.即c ＝－12(a －b ), 故③不正确．④若b ＝0时, a 与c 不一定共线, 故选A.答案：A4．[2014·辽宁高考]已知m , n 表示两条不同直线, α表示平面．下列说法正确的是( )A. 若m ∥α, n ∥α, 则m ∥nB. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥nC. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥αD. 若m ∥α, m ⊥n , 则n ⊥α解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断, 意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A, 若m ∥α, n ∥α, 则m 与n 可能相交、平行或异面, A 错误；显然选项B 正确；对于选项C, 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ⊂α或n ∥α, C 错误；对于选项D, 若m ∥α, m ⊥n , 则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交, D 错误．故选B.答案：B5．[2014·海南高二检测]设U为全集, 下列命题是真命题的有()①若A∩B＝∅, 则(∁U A)∪(∁U B)＝U；②若A∪B＝U, 则(∁U A)∩(∁B)＝∅；③若A∪B＝∅, 则A＝B＝∅.UA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由Venn图容易判断, ①②③均为真命题．答案：D6．设l1、l2表示两条直线, α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2⊂α, 则以其中两个为条件, 另一个为结论, 可以构造的所有命题中, 正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意得三个命题, 即②③⇒①、①③⇒②和①②⇒③.由②③⇒①正确, ①③⇒②错误, ①②⇒③错误, 故选B.答案：B二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x, y都是无理数, 则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内, 则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句, 所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定, 所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句, 所以不是命题．故填①③④.答案：①③④8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”, 条件p：________________, 结论q：________________, 是________________(填“真”或“假”)命题．解析：根据命题的结构形式填空．答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程此方程有两个不相等的实数根假9．把下列不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题：若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称, 则g(x)＝________.解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x, y), 则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x, －y), 点P1在函数f(x)＝log3x的图象上, 将对称点P1坐标直接代入f(x),即得：g(x)＝－log3(－x)．答案：－log3(－x)三、解答题10．判断下列语句是否为命题．(1)若a⊥b, 则a·b＝0；(2)2是无限循环小数；(3)三角形的三条中线交于一点；(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；(5)非典型肺炎是怎样传染的？(6)2014年北京的高考题真难！答案：(1)是(2)是(3)是(4)是(5)不是(6)不是11．把下列命题写成“若p, 则q”的形式, 并判断其真假：(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0；(3)正方形是矩形又是菱形；(4)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．(2)若x ＝2或x ＝4, 则x 2－6x ＋8＝0, 真命题．(3)若一个四边形是正方形, 则它既是矩形, 又是菱形, 为真命题．(4)若一个方程为x 2－x ＋1＝0, 则这个方程有两个实数根, 为假命题．12．[2014·南昌高二检测]已知命题p ：|x 2－x |≥6, q ：x ∈Z , 若p 假q 真, 求x 的值．解：因为p 假q 真, 所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x 2－x >－6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3，x ∈R ，x ∈Z ，故x 的值为－1,0,1,2.03课堂效果落实1.下列命题：①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说, 也能搞发明创造⑥任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案：D2．下列全称命题中真命题的个数为()①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0解析：①②③均为全称命题且均为真命题, 故选C.答案：C3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x0∈R, x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R, 使得x20>3成立B．对有些x0∈R, 使得x20>3成立C．任选一个x∈R, 使得x2>3成立D．至少有一个x0∈R, 使得x20>3成立解析：C答案已经是全称命题了．答案：C4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成特称命题为__________________．解析：“有些”即存在．答案：∃x0∈R, x0<0, (1＋x0)(1－9x20)>05．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数, 使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交；(3)若对所有的正实数, 不等式m ≤x ＋1x 都成立, 则m ≤2； (4)如果对任意的正整数n , 数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a , b 为常数), 那么数列{a n }为等差数列．解：(1)特称命题．∵x 2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0,∴命题为假命题． (2)全称命题, 假命题．如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交． (3)全称命题． ∵x 是正实数, ∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1时“＝”成立)．即x ＋1x 的最小值是2, 而m ≤x ＋1x , 从而m ≤2. 所以这个全称命题是真命题． (4)全称命题．∵S n ＝an 2＋bn , ∴a 1＝a ＋b .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2na ＋b －a ,又n ＝1时, a 1＝a ＋b 也满足上式, 所以a n ＝2an ＋b －a (n ∈N *)．从而数列{a n }是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．04课后课时精练一、选择题1．给出下列命题：①存在实数x0>1, 使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a, 使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：只有②是全称命题．答案：C2．“存在集合A, 使∅A”, 对这个命题, 下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题解析：当A≠∅时, ∅A, 是特称命题, 且为真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c, 若a≤b＋c, 则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立解析：C、D是特称命题, A是假命题．答案：B4．特称命题“存在实数x0使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R, 则x2＋1<0B．∀x∈R, x2＋1<0C．∃x0∈R, x20＋1<0D．以上都不正确解析：特称命题“存在一个x0∈R, 使p(x0)成立”简记为“∃x0∈R, 使p(x0)成立”．答案：C5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数为()①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*, (x－1)2>0③∃x0∈R, lg x0>1 ④∃x0∈R, tan x0＝2⑤∃x0∈R, sin2x0＋sin x0＋1＝0A．1 B．2C．3 D．4解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．①中命题是全称命题, 易知2x－1>0恒成立, 故是真命题；②中命题是全称命题, 当x＝1时, (x－1)2＝0, 故是假命题；③中命题是特称命题, 当x＝100时, lg x＝2, 故是真命题；④中命题是特称命题, 依据正切函数定义, 可知是真命题．⑤(sin x0＋12)2＋34≥34>0成立, 可知为假命题．答案：B6．若对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立, 则实数a的取值范围是()A．a<－1 B．a≤－1C．a>－1 D．a≥－1解析：对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立,即a≤x2－2|x|恒成立．令f(x)＝x2－2|x|, x∈R,则f(－x)＝f(x)．当x ≥0时, f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1, 故a ≤－1. 答案：B 二、填空题7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．答案：∀x ≤0, x 3≤08．[2014·西安高二检测]若∃x ∈R , 使x ＋1x ＝m 成立, 则实数m 的取值范围是________．解析：依题意, 关于x 的方程x ＋1x ＝m 有实数解, 由基本不等式得x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2, ∴m ≥2或m ≤－2. 答案：(－∞, －2]∪[2, ＋∞)9．下列命题中, 是全称命题或特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为特称命题, ①②③为全称命题, 而⑤不是命题．答案：①②③④ 三、解答题10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题, 若是, 用符号表示, 并判断其真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)存在一条直线, 其斜率不存在；(3)对所有的实数a , b , 方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x0, 使得1x20－x0＋1＝2.解：(1)是全称命题, 是真命题；(2)是特称命题, 用符号表示为“∃直线l, l的斜率不存在”, 是真命题；(3)是全称命题, 用符号表示为“∀a, b∈R, 方程ax＋b＝0都有唯一解”, 是假命题．(4)是特称命题, 用符号表示为“∃x0∈R,1x20－x0＋1＝2”, 是假命题．11. [2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m, 使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x, 使不等式m－f(x)>0成立, 求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x), 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立, 只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立, 此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立, 只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4, ∴f(x)min＝4,∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4, ＋∞)．12．(1)若全称命题“任意x∈[－1, ＋∞), x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题, 求a的取值范围；(2)若特称命题“存在x 0∈R , 使log 2(ax 20＋x 0＋2)<0”为真命题, 求a 的取值范围．解：(1)当x ∈[－1, ＋∞)时, x 2－2ax ＋2≥0恒成立, 等价于二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象在x 轴的上方, 只需满足Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ≤－1，f (－1)≥0，即4a 2－8<0或⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－8≥0，a ≤－1，2a ＋3≥0，所以－2<a <2或－32≤a ≤－2,所以a 的取值范围是[－32, 2)．(2)log 2(ax 20＋x 0＋2)<0⇔0<ax 20＋x 0＋2<1, 即存在x 0∈R , 使0<ax 2＋x 0＋2<1成立．当a ＝0时, －2<x 0<－1满足题意, 即存在实数x 0满足题意；当a ≠0时, ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，8a －1<0，即0<a <14或a <0. 综上所述, a <14, 即所求a 的取值范围是(－∞, 14)．03课堂效果落实1.命题“x ＝±1是方程|x |＝1的解”中, 使用逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“或”C ．使用了逻辑联结词“且”D ．使用了逻辑联结词“或”与“且” 答案：B2．以下判断正确的是()A．命题p是真命题时, 命题“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”为真命题时, 命题p一定是真命题C．命题“p∧q”为假命题时, 命题p一定是假命题D．命题p是假命题时, 命题“p∧q”不一定是假命题解析：若“p∧q”为真, 则p、q二者皆真, 若“p∧q”为假, 则p、q中至少有一个为假, 故选B.答案：B3．已知命题p：∅⊆{0}, q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p 且q”形式的命题中真命题有________个．解析：p为真命题, q为假命题, “p或q”为真命题, “p且q”为假命题．答案：14．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．答案：(1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q5．已知命题p：0不是自然数, q：π是无理数, 写出命题“p∨q”, “p∧q”, 并判断其真假．解：p∧q：0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q：0不是自然数或π是无理数．真命题.04课后课时精练一、选择题1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x , y 至少一个不为0D ．x , y 不都是0解析：xy ≠0当且仅当x ≠0且y ≠0. 答案：A2．已知命题p ：2＋2＝5, 命题q ：3>2, 则下列判断正确的是( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真, “p 或q ”为假D ．以上均不对解析：显然p 假q 真, 故“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 故选B.答案：B3．p ：点P 在直线y ＝2x －3上, q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上, 则使“P ∧q ”为真命题的一个点P (x , y )是( )A ．(0, －3)B ．(1,2)C ．(1, －1)D ．(－1,1)解析：点P (x , y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中, 只有C 正确．答案：C4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题, 又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形解析：“有两个角是45°的三角形是等腰三角形, 而且是直角三角形”, 是“p且q”的形式且为真．答案：D5．若命题p：∃x∈R, x2＋2x＋5<0, 命题q；∀a, b∈R, a2＋b2≥2ab, 则下列结论正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对解析：p是假命题, q是真命题, 故p∨q为真．答案：B6．[2014·南宁高二检测]下列命题, 其中假命题的个数为()①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b, 则a＋c＞b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①“5＞4”为真, 故“5＞4或4＞5”为真命题；②“9≥3”表示为“9＞3(真)或9＝3”, 故“9≥3”为真命题；③若“a ＞b, 则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．答案：A二、填空题7．若p：2是8的约数, q：2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．答案：2是8的约数, 或者是12的约数'2既是8的约数, 又是12的约数8．[2014·郑州高二检测]已知p(x)：x2＋2x－m>0, 如果p(1)是假命题, p (2)是真命题, 则实数m 的取值范围是________．解析：∵p (1)是假命题, p (2)是真命题,∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m <8. 答案：[3,8)9．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．解析：对于①, f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数, 故p 为假命题．对于②, f (x ＋2)＝x 2是偶函数, 则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 则q 为真命题, 故“p ∧q ”为真命题．对于③, f (x )＝cos(x －2)显然不是(2, ＋∞)上的增函数, 故q 为假命题．故填②.答案：② 三、解答题10．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的复合命题的真假．(1)P ：3>3 q ：3＝3； (2)p ：∅{0} q ：0∈∅；(3)p ：A ⊆A q ：A ∩A ＝A ；(4)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点； q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实根．解：(1)∵p 假q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (2)∵p 真q 假, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (3)∵p 真q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为真；(4)∵p 假q 假, ∴“p ∨q ”为假, “p ∧q ”为假．11．[2014·沈阳高二检测]对命题p ：“1是集合{x |x 2<a }中的元素”, q ：“2是集合{x |x 2<a }中的元素”, 则a 为何值时, “p 或q ”是真命题？a 为何值时, “p 且q ”是真命题？解：由1是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >1, 由2是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >4, 即使得p , q 为真命题的a 的取值集合分别为P ＝{a |a >1}, T ＝{a |a >4}．当p , q 至少一个为真命题时, “p 或q ”为真命题, 则使“p 或q ”为真命题的a 的取值范围是P ∪T ＝{a |a >1}；当p , q 都为真命题时, “p 且q ”才是真命题, 则使“p 且q ”为真命题的a 的取值范围是P ∩T ＝{a |a >4}．12．已知P ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真, p 且q 为假, 求m 的取值范围．解：若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, 则－m 2≤－1, ∴m ≥2, 即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零, 则Δ＝16(m －2)2－16<0, 解得1<m <3, 即q ：1<m <3.因为“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 所以p 、q 一真一假,当p 真q 假时, 由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3,当p 假q 真时, 由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上, m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}．03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0, ＋∞), x3＋x≥0”的否定是()A. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x<0B. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x≥0C. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0<0D. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0≥0解析：本题考查含有量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”, 并把结论加以否定, 故选C.答案：C2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是() A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数, 不能被5整除解析：全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A, B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.答案：C3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 那么() A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．p 与q 的真假相同解析：∵“非p ”为真命题, ∴p 为假命题．又∵p 或q 为真命题, ∴q 为真命题．故选B.答案：B4．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }, 命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }, 则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的假命题的个数是________．解析：因命题p 、q 均为假命题, 所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题, “綈p ”为真命题．答案：25．写出下列命题的否定, 并判断其真假：(1)三角形的内角和为180°；(2)∃x 0∈R , x 20＋1＝0；(3)∀x ∈R , x 2－3x ＋2＝0.(4)至少有两个实数x 0, 使x 30＋1＝0.(5)∃x 0, y 0∈N , 如果x 0＋|y 0|＝0, 则x 0＝0且y 0＝0.解：(1)此命题为全称命题, 其否定为：存在一个三角形, 它的内角和不等于180°, 是假命题．(2)此命题为特称命题, 其否定为：∀x ∈R , x 2＋1≠0, 是真命题．(3)此命题为全称命题, 其否定为：∃x 0∈R , x 20－3x 0＋2≠0, 是真命题．(4)此命题为特称命题, 其否定为：至多有一个实数x 0, 使x 30＋1≠0, 是假命题．(5)此命题为特称命题, 其否定为：∀x, y∈N, 如果x＋|y|＝0, 则x＝0或y＝0, 是假命题．04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况, 其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R, x2≠x”的否定是()A. ∀x∉R, x2≠xB. ∀x∈R, x2＝xC. ∃x∉R, x2≠xD. ∃x∈R, x2＝x解析：本题考查全称命题的否定, 意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R, x2＝x, 选D.答案：D3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”为假命题, 则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题, 所以p∨q为真命题, 所以p、q一真一假或都是真命题．答案：C4．[2014·天津高考]已知命题p：∀x>0, 总有(x＋1)e x>1, 则綈p 为()A. ∃x0≤0, 使得(x0＋1)e x0≤1B. ∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1C. ∀x>0, 总有(x＋1)e x≤1D. ∀x≤0, 总有(x＋1)e x≤1解析：命题p为全称命题, 所以綈p为∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.答案：B5．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R, 总有|x|≥0；q：x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A. p∧綈qB. 綈p∧qC. 綈p∧綈qD. p∧q解析：由题意知, 命题p为真命题, 命题q为假命题, 故綈q为真命题, 所以p∧綈q为真命题．答案：A6．已知全集S＝R, A⊆S, B⊆S, 若命题p：2∈(A∪B), 则命题“綈p”是()A. 2∉AB. 2∈∁S BC. 2∉A∩BD. 2∈(∁S A)∩(∁S B)解析：∵p＝2∈(A∪B), ∴2∈A或2∈B,∴綈p：2∉A且2∉B, 即2∈∁S A∩∁S B.答案：D二、填空题7. 已知命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”, 命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”, 若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”为真, 则a≤x2, x∈[1,2]恒成立, ∴a≤1；命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”为真, 则“4a2－4(2－a)≥0, 即a2＋a－2≥0”, 解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R, 使sin x＝52；命题q：∀x∈R, 都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题, 其中正确的是________．解析：因为对任意实数x, |sin x|≤1, 而sin x＝52>1, 所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0, 所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．[2014·青岛高二检测]若命题“∃x0∈R, x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题, 则实数a的取值范围为________．解析：依题意可得“∀x∈R, x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题, 所以Δ＝(a－1)2－4≤0, 所以－1≤a≤3.答案：[－1,3]三、解答题10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p, 并判断它们的真假：(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1<tan x2；(4)∃T0∈R, 使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根, 如0x＝1, 所以p为假命题, 綈p为真命题．(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数, 如2只有1和它本身这两个约数, 所以p为真命题, 綈p为假命题．(3)綈p：存在实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1≥tan x2.原命题中若x1＝0, x2＝π, 有tan x1＝tan x2, 故为假命题, 所以綈p 为真命题．(4)綈p：∀T∈R, 有|sin(x＋T)|＝|sin x|.原命题为真命题, 如T0＝2kπ(k∈Z), 所以綈p为假命题．11．已知命题p：∀m∈[－1,1], 不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x, 使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题, 綈q是真命题, 求a的取值范围．解：根据p或q是真命题, 綈q是真命题, 得p是真命题, q是假命题．∵m ∈[－1,1], ∴m 2＋8∈[22, 3]．因为∀m ∈[－1,1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, ∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2<0,∴Δ＝a 2－8>0, ∴a >22或a <－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22,所以命题p 为真命题, q 为假命题时, a 的取值范围为－22≤a ≤－1.12．[2014·衡水高二测试]已知命题p ：“∀x ∈R , ∃m 0∈R 使4x ＋2x ·m 0＋1＝0”, 若命题綈p 是假命题, 求实数m 0的取值范围．解：该题可利用綈p 假, 则p 为真, 求原命题为真时m 0的取值范围．令t ＝2x >0, 则方程4x ＋2x ·m 0＋1＝0变为t 2＋m 0·t ＋1＝0有正解, 假设方程有两个正根t 1, t 2.∵t 1·t 2＝1>0, t 1、t 2同号,∴t 1＋t 2>0, 故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 20－4≥0，－m 0>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 0≤－2或m 0≥2，m 0<0， ∴m 0≤－2, 即实数m 0的取值范围是(－∞, －2]．03课堂效果落实1.[2014·长春高二检测]x >3的一个充分不必要条件是( )A. x >0B. x <0C. x>5D. x<5解析：x>5⇒x>3,x>3D⇒/x>5.答案：C2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：x2＋(y－2)2＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－2)＝0, 即x＝0或y＝2, x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案：B3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题：①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中, x<－1⇒x2－1>0；x2－1>0D⇒/x<－1, 故①为真命题．②中, a与a＋5同为无理数或同为有理数, 故②为真命题．③中, 显然a>bD⇒/a2>b2, 故③为假命题．④中, a<5D⇒/a<3, 而a<3⇒a<5, 故④为真命题．答案：C4．[2014·福州高二测试]若“x2－2x－8>0”是x<m的必要不充分条件, 则m的最大值为________．解析：不等式解集为(－∞, －2)∪(4, ＋∞), 题目等价于(－∞, m)是其真子集, 故有m≤－2, 即m的最大值为－2.答案：－25．设命题p：x>1或x<－3, q：5x－6>x2, 则綈p是綈q的什么条件？解：∵p：x>1或x<－3,∴綈p：－3≤x≤1.又∵q：5x－6>x2即2<x<3, ∴綈q：x≤2或x≥3,∴綈p⇒綈q, 但綈q⇒/綈p,∴綈p是綈q的充分不必要条件．04课后课时精练一、选择题1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A⊆B”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当a＝3时, A＝{1,3}, A⊆B；反之, 当A⊆B时, a＝2或3, 所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件, 选A.答案：A2. [2014·湖北高考]设U为全集．A, B是集合, 则“存在集合C使得A⊆C, B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之, A ∩B ＝∅时, 不妨取C ＝∁U B , 此时A ⊆C .必要性成立．故选C.答案：C3. [2013·浙江高考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0, ω>0, φ∈R ), 则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：f (x )是奇函数时, φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时, f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx , 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件, 选B.答案：B4．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12, 则实数m 的取值范围是( )A. [－43, 12] B. [－12, 43] C. (－∞, －12)D. [43, ＋∞)解析：由题易知不等式|x －m |<1的解集为{m |m －1<x <m ＋1}, 从而有{m |m －1<x <m ＋1}(13, 12),∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m －1<13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>12m －1≤13解得－12≤m ≤43, 故选B. 答案：B5．[2014·广东高考]在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件解析：设R 为△ABC 外接圆的半径．由正弦定理可知, 若a ≤b , 则2R sin A ≤2R sin B ⇒sin A ≤sin B , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分条件；若sin A ≤sin B , 则a 2R ≤b 2R ⇒a ≤b , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的必要条件．综上所述, “a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故答案为A.答案：A6. [2014·唐山模拟]已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R , |x ＋1|≤x , 则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：由于函数y ＝2x 是单调递增函数, ∴a >b 时, 2a >2b , 反之2a >2b 时, a >b , 故p 是真命题, 而不存在实数x , 使|x ＋1|≤x , 故q 是假命题．∴p ∨q 为真命题．答案：D 二、填空题7. 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－2<x<1.其中, 可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1, ①显然不能使－1<x<1一定成立, ②③满足题意．④中当x＝－1.5时, x2显然大于1, ∴④不行．答案：②③8．设p、r都是q的充分条件, s是q的充分必要条件, t是s的必要条件, t是r的充分条件, 那么p是t的________条件, r是t的________条件．解析：由题意有：s⇔q⇐p⇓⇑t⇒r答案：充分不必要充要9．有以下四组命题：(1)p：(x－2)(x－3)＝0, q：x－2＝0；(2)p：同位角相等；q：两直线平行；(3)p：x<－3；q：x2>9；(4)p：0<a<1；q：y＝a x为减函数．其中p是q的充分不必要条件的是_______, p是q的必要不充分条件是________, p是q的充要条件的是________．解析：(1)x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0, 但(x－2)(x－3)＝0D⇒/x－2＝0, 所以p是q的必要不充分条件．(2)同位角相等⇔两直线平行, 所以p是q的充要条件,(3)x<－3⇒x2>9, 但x2>9D⇒/x<－3,所以p是q的充分不必要条件．(4)0<a<1⇔y＝a x是减函数, 所以p是q的充要条件．答案：(3) (1) (2)(4) 三、解答题10．下列各题中, p 是q 的什么条件？ (1)p ：lg x 2＝0, q ：x ＝1；(2)p ：b ＝c , q ：a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0)； (3)p ：x ≥1且y ≥1, q ：x ＋y ≥2； (4)p ：x , y 不全为0, q ：x ＋y ≠0.解：(1)当lg x 2＝0时, x 2＝1, 即x ＝±1, 则p ⇒/q , q ⇒p , 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)易知p ⇒q .而a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0), 即a ·(b －c )＝0, 可得b ＝c 或a ⊥(b －c ), 即q ⇒/p , 所以p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q , 而q ⇒/ p , ∴p 是q 的充分不必要条件．(4)綈p ：x ＝0且y ＝0, 綈q ：x ＋y ＝0, ∵綈p ⇒綈q , 而綈q ⇒/ 綈p , ∴p ⇐q 且p ⇒/ q , ∴p 是q 的必要不充分条件．11．[2014·江苏高二检测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1, x ∈[34, 2]}, B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A , 命题q ：x ∈B , 并且命题p 是命题q 的充分条件, 求实数m 的取值范围．解：化简集合A ,由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716,∵x ∈[34, 2], ∴y min ＝716, y max ＝2. ∴y ∈[716, 2], ∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B , 由x ＋m 2≥1, ∴x ≥1－m 2, B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件, ∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716, ∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞, －34]∪[34, ＋∞)．12．证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.证明：先证充分性：若a ＝1, 则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1.∵f (x )的定义域为R , 且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x －112x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x＋1＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．再证必要性：①若函数f (x )是奇函数, 则f (－x )＝－f (x )． ∴a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2, ∴2(a －1)(2x ＋1)＝0, ∴a ＝1.综上所述：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.03课堂效果落实。

高中数学选修2-1同步习题（答案详解）

（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的条件。

人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案

⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10【基础】曲线与方程

曲线与方程【学习目标】1.了解曲线与方程的对应关系；2.进一步体会数形结合的基本思想；3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x （或y ）的取值范围.【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解；（2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）；（2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）.（3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言.（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y). ②写出动点P 满足的几何条件. ③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：34【基础】空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算【学习目标】1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。

3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p=xa+yb+zc ．2．基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc ，x 、y 、z ∈R}，这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a 、b 、c}称为空间的一个基底．a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示（1）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；（2）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a=a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量，若，则有序数1{,,}i j k O {,,}i j k O ,,i j k x y z O xyz -O ,,i j k xOy yOz zOx OA OA xi yj zk =++xyzOk ji组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．（2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：25【提高】抛物线的方程与性质

抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释:(1) 上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2) 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线.(3) 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.要点二、抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合.将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。

要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】椭圆的性质

椭圆的性质【学习目标】1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222=+by a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. 椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）。

③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。

②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1。

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而b =因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。

要点诠释：椭圆12222=+by a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，21A B AB ==（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；要点二、椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：09《常用逻辑用语》全章复习与巩固

《常用逻辑用语》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x（3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用⌝p和⌝q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p.四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：03【基础】充分条件与必要条件

充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题； ②p 是q 的充分条件； ③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达. 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件； ④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件. 要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =； (2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点 (3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件； (2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角. （2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件. （2）∵2:111q x x x =⇔==-或 ∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/，∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. 【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件. （1）p :0a >且0b >, q :0ab > （2）p :1>yx, q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件. ∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可. ∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>yx在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）. 【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断. 举一反三：【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x < 【答案】A【变式2】（2018 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 故选:A. 【变式3】 (2018 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．【变式4】（2018 北京理）设，是向量，则“”是“”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】由，故是既不充分也不必要条件，故选D.类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|. 总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ， ∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清a b ||||a b =||||a b a b +=-22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac<0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0，则x 1·x 2=ac<0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足100440a aa ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩；若方程有两个负的实根，则必须满足10201440a a a a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1 类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥【巩固练习】一、选择题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝φ”的( ) A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.(2018 北京文)设a b ，是非零向量，“||||a b a b =”是“//a b ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4．b ＝c ＝0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018 四川理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6. （2018 天津理）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．10. 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x ＝1； q ：x －1(2)p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3)p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．12．(1)写出|x|<2的一个充分不必要条件； (2) 写出x>-1的一个必要不充分条件； (3) 写出x1>2的一个充要条件 13．已知p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 15．证明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【答案与解析】1. 【答案】C ．【解析】由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A∩B ＝∅”；若“A∩B ＝∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的充分必要的条件．故选：C ．2. 【答案】 A 【解析】 ||||cos ab a b a b =<>，，由已知得cos 1a b <>=，，即0//a b a b <>=，，．而当//a b 时，a b <>，还可能是π，此时||||a b a b =-，故“||||ab a b =”是“//a b ”的充分而不必要条件．故答案为：A ．3. 【答案】B【解析】当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立，若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立，故“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要不充分条件，故选：B ．4. 【答案】 A【解析】若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.5. 【答案】 A 【解析】直线a 与直线b 相交,则一定相交,若相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A ．6. 【答案】 C,αβ,αβ【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.7. 【答案】 a >0且b 2－4ac <0 a <0且b 2－4ac <08. 【答案】充分不必要【解析】点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002bb a-=⇔=.11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1当x －1x ＝1或x ＝2. (2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5. (3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出{x|-2<x<2}的一个非空真子集即可，如x=0. (2) 仿(1) 只要写出一个包含{x|x>-1}的集合即可，如{x|x>-2}即x>-2. (3) 0<x<2113．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2} 解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a, a<0} 依题意，p ⇒q 且qp, 说明A ÜB ，于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a≤3,∴正实数a 的取值范围是0<a≤314．【解析】令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．（1）当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，又m≤1，∴m<0.（2）当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得43m ，又m≥3，∴此时不成立．（3）当1<m<3时，f(x)min＝f(m)＝－m2－1＝－(m2＋1)>0不成立，综上所述，m的取值范围为m<0.15. 【解析】证明：(1)充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．。

高中数学选修2-1 各章节同步练习及答案解析

第一章 1.1第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为()①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数()A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案]B[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案]D[解析]验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D 选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案]C[解析]该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案]A[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝⎛⎭⎫a －1a －⎝⎛⎭⎫b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b，故③错；④由2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 1.1 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案]C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案]A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

高中数学人教A版选修2-1高二下学期期中考试数学(理)试题(扫描版).docx

高二数学理科答案一、选择题(每题5分，共60分)1. C2. B3. A4. A5. B6.D 7 D 8. C 9. A. 10. C 11. D 12. D.二、填空题（每小题4分，共16分）13. 3 14..4 15. 四 16.12341()3R S S S S +++ 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．解：ii i i i i +-++-=+-++233432)1(3)21(2 …………6分 =+=i i 2i i i 52515)2(+=-．…………………………12分 18. 解：作图如下：阴影面积为抛物线322+-=x x y 与直线0=y ，0=y ，3=x 所围成的图形面积……………………………4分曲边梯形面积为3023302|331)32(x x x dx x x +-=+-⎰. ……………9分 903392731=-⨯+-⨯=）（ ………………………………………12分 19证明：因为73+和52都是正数，所以要证5273<+ ……2分只需证22)52()73(<+，…………………………………5分展开得2021210<+ 只需证521< ………………………………………8分只需证2521< ……………………………………10分因为2521<成立，所以5273<+成立………………12分20解：（1）111122S =-=，21117123412S =-+-= 111112T ==+，2117212212T =+=++ …………………3分（2）猜想：*()n n S T n N =∈ 即：1111111111.2342121232n n n n n n-+-++-=++++-+++（n ∈N*）……5分下面用数学归纳法证明 ① n=1时，已证S 1=T 1 …………………………………………………6分② 假设n=k 时，S k =T k （k ≥1，k ∈N*），即：1111111111.2342121232k k k k k k -+-++-=++++-+++………7分则111212(1)k k S S k k +=+-++ 11212(1)k T k k =+-++ 1111111232212(1)k k k k k k =+++++-+++++ 11111232112(1)k k k k k ⎛⎫=++++- ⎪+++++⎝⎭ 11111(1)1(1)22212(1)k k k k k =+++++++++++ 1k T +=…………………………………………11分由①，②可知，对任意n ∈N*，S n =T n 都成立. …………………………12分21.解：（1）设,)421(85852-=-x k u ………………………………2分 ∵售价为10元时，年销量为28万件；∴.2,)42110(2885852=-=-k k 解得 ………………………4分 ∴.182128585)421(222++-=+--=x x x u …………………5分 ∴.108108332)6)(18212(232--+-=-++-=x x x x x x y ………6分（2）)9)(2(6)911(610866622---=+--=-+-='x x x x x x y令9),6(20=>=='x x x y 或舍去得 ………………………8分显然，当)9,6(∈x 时，),9(0+∞∈>'x y 当时，0<'y∴函数)9,6(10810833223在--+-=x x x y 上是关于x 的增函数；在),9(+∞上是关于x 的减函数．∴当x =9时，y 取最大值，且.135max =y ……………………………11分∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．………………12分22．解（1）xax x a x f 11)(/-=-=, ……………………1分 e e a ef -=-=)1(/ 0=∴a , …………………………………………………2分11ln 0)1(=-=ee f , 函数)(x f y =的图象在点(e 1,)1处的切线方程为)1(1ex e y --=- 即2+-=ex y , ………………………………………3分2=∴b …………………………………………………4分（2）1,0)(,111)(,1//==-=-=∴=x x f xx x x f a 则令 ………6分列表得：x)1,0( 1 ),1(e e )(/x f- 0 + )(x f 递减1 递增 …………………………………………………8分)(x f 的极小值是1 …………………………………………………9分(3)x ax x a x f 11)(/-=-= ……………………………………10分当0)(1/≤≤x f ea 时，，所以)(x f 在单调递减，则)(x f 的最小值为ea ae e f 4,31)(==-=，舍去………………………………11分当时，e a 1>0)(),,1(,0)(),1,0(//>∈<∈x f e ax x f a x ，则)(x f 的最小值为2,3ln 1)1(e a a af ==+= ………………………………13分综上，存在实数2e a =，使)(xf 的最小值为3……………………14分解得当 2e a =时)(x f 的最小值为3。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.3.2 双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质基础过关练题组一双曲线性质的简单应用1.若双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m 的值为( )A.-14B.-4C.4D.142.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.x 24-y 24=1B.y 24-x 24=1 C.y 24-x 28=1 D.x 28-y 24=13.(2017山西晋中榆社中学高二下学期期中)如图,双曲线C:x 29-y 210=1的左焦点为F 1,双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称,则|P 2F 1|-|P 1F 1|的值是( )A.3B.4C.6D.8 4.已知F为双曲线C:x 29-y 216=1的左焦点,P,Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ 上,则△PQF 的周长为 .题组二双曲线的离心率5.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为( )A.43B.53C.2D.36.设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或327.设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F 1,F 2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .8.若双曲线x 24+y 2k=1的离心率e∈(1,2),则k 的取值范围是 .9.过双曲线的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ,F 1为左焦点,且∠PF 1Q=π2,则双曲线的离心率是 . 题组三双曲线的渐近线及其应用10.双曲线x 29-y 216=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于 ( )A.√3B.3C.4D.211.已知a>b>0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为√32,则C 2的渐近线方程为( )A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0题组四直线与双曲线的位置关系12.若无论k 为何值,直线y=k(x-2)+b 与曲线x 2-y 2=1总有公共点,则b 的取值范围是( ) A.(-√3,√3) B.[-√3,√3] C.(-2,2) D.[-2,2]13.直线x+y=1与双曲线4x 2-y 2=1相交所得弦长为( )A.√143 B.2√143 C.2√73D.√714.已知双曲线x 2-y24=1,过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点,这样的直线l 共有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 15.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y 22=1交于不同的两点A,B,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则实数m 的值是 . 16.已知双曲线C 1:x2-y 24=1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点,且过点P(4,√3)的双曲线C 2的标准方程;(2)直线l:y=x+m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A,B 两点.当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3时,求实数m 的值.能力提升练一、选择题1.(2019广东广州二中高二上学期月考,★★☆)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则双曲线C 的方程为( )A.x 220-y 25=1B.x 25-y 220=1 C.x 280-y 220=1 D.x 220-y 280=1 2.(2019重庆沙坪坝高二期中,★★☆)已知点P 为双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线C 的离心率为√3,△PF 1F 2的内切圆圆心为I,半径为2,若S △PF 1I =S △PF 2I +2√3,则b 的值是( ) A.2 B.√2 C.√6 D.63.(2019福建漳平高二月考,★★★)若直线y=kx-1与双曲线x 24-y 29=1有且只有一个公共点,则k 的值为( ) A.±√102B.±32C.±√102或±32D.±√102或±32或4.(2020湖南常德高二期末,★★★)已知F 1,F 2为双曲线的焦点,过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A,B 两点,BF 1交虚轴于点C,若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2√2 D.2√3二、填空题5.(2018山东济南外国语学校高二上学期月考,★★☆)如图,F 1,F 2分别是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是 .6.(2019福建福州期末联考,★★☆)已知直线l 与双曲线x 2-4y 2=4相交于A,B 两点,若点P(4,1)为线段AB 的中点,则直线l 的方程是 .三、解答题7.(2019黑龙江牡丹江一中高二上学期月考,★★★)已知双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),离心率e=√52,顶点到渐近线的距离为2√55. (1)求双曲线C 的标准方程;(2)如图,P 是双曲线C 上一点,A,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[13,2],求△AOB 的面积的取值范围.8.(★★★)已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点为F(-2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设Q 是双曲线上一点,且过点F,Q 的直线l 与y 轴交于点M.若|MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求直线l 的方程.答案全解全析基础过关练1.A 双曲线方程化为标准形式为y 2-x 2-1m=1,则有a 2=1,b 2=-1m .由题设知,2=√-1m ,∴m=-14.2.B 由题意得{a =2,2a +2b =√2×2c ,a 2+b 2=c 2,解得a=2,b=2.易知双曲线的焦点在y 轴上,所以双曲线的标准方程为y 24-x 24=1.3.C 设F 2为双曲线的右焦点,连接P 2F 2, 由双曲线的对称性,知|P 1F 1|=|P 2F 2|, ∴|P 2F 1|-|P 1F 1|=|P 2F 1|-|P 2F 2|=2×3=6.4.答案 44解析由双曲线C 的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C 的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16.由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,∴△PQF 的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.5.B 不妨设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则2×2b=2a+2c,即b=a+c 2.又b 2=c 2-a 2,则(a+c 2)2=c 2-a 2,所以3c 2-2ac-5a 2=0,即3e 2-2e-5=0,又e>1,所以e=53.故选B.6.A 由题意可设|PF 1|=4m,|F 1F 2|=3m,|PF 2|=2m(m>0),当曲线为椭圆时,长轴长2a=|PF 1|+|PF 2|=6m,焦距2c=3m,∴e=c a =12;当曲线为双曲线时,实轴长2a=|PF 1|-|PF 2|=2m,焦距2c=3m,∴e=c a =32.7.答案 2解析由题设条件可得,2bc =√3,所以b 2c 2=34,所以c 2-a 2c 2=1-a 2c 2=1-1e 2=34,所以e=2.8.答案 (-12,0)解析双曲线方程可变为x 24-y 2-k =1,则a 2=4,b 2=-k,c 2=4-k,e=c a =√4-k2. 又因为e∈(1,2),即1<√4-k2<2, 所以-12<k<0.9.答案 1+√2解析设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),焦距为2c,则|PQ|=2b 2a,由题意易知△PF 1F 2是等腰直角三角形,所以2c=b 2a ,所以2ac=c 2-a 2,所以c 2a 2-2×ca -1=0,即e 2-2e-1=0,所以e=1±√2.又因为e>1,所以e=1+√2.10.C 双曲线x 29-y 216=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线为y=43x,此焦点到渐近线的距离d=203√169+1=4.11.A 依题意得√a 2-b 2a·√a 2+b 2a=√32,化简得a 2=2b 2.因此C 2的渐近线方程为y=±bax=±√2x,即x±√2y=0,故选A.12.B 直线y=k(x-2)+b 过点(2,b).∵x=2时,y 2=x 2-1=3,∴y=±√3, ∴b∈[-√3,√3].13.B 联立{x +y =1,4x 2-y 2=1,得3x 2+2x-2=0.设直线与双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-23,x 1x 2=-23,∴|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√143. 14.B 因为双曲线方程为x 2-y 24=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x 轴垂直的直线与双曲线只有一个公共点.过P(1,0)且和两条渐近线平行的直线也满足条件,这样的直线有2条.所以符合要求的直线l 共有3条,故选B. 15.答案 ±1 解析由{x -y +m =0,x 2-y 22=1,消去y 得x 2-2mx-m 2-2=0,Δ=4m 2+4m 2+8=8m 2+8>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).则x 1+x 2=2m,y 1+y 2=x 1+x 2+2m=4m,∴线段AB 的中点坐标为(m,2m).又∵点(m,2m)在圆x 2+y 2=5上,∴5m 2=5,∴m=±1.16.解析 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(√5,0),(-√5,0), 设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0), 则{a 2+b 2=5,16a 2-3b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1,所以双曲线C 2的标准方程为x 24-y 2=1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,设A(x 1,2x 1),B(x 2,-2x 2).由{x 2-y 24=0,y =x +m ,消去y 得3x 2-2mx-m 2=0, 由Δ=(-2m)2-4×3×(-m 2)=16m 2>0,得m≠0. 因为x 1x 2=-m 23,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(2x 1)(-2x 2)=-3x 1x 2=m 2,所以m 2=3, 即m=±√3.能力提升练一、选择题1.A 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2-y 2b 2=0,又点P(2,1)在C 的渐近线上,所以4a 2-1b 2=0,即a 2=4b 2①.又a 2+b 2=c 2=25②.由①②,得b 2=5,a 2=20,所以双曲线C 的方程为x 220-y 25=1,故选A. 2.C 设圆I 的半径为r,则r=2.因为S △PF 1I =S △PF 2I +2√3, 所以12|PF 1|·r=12|PF 2|·r+2√3,可得|PF 1|-|PF 2|=2√3, 即2a=2√3,所以a=√3.因为双曲线C 的离心率为√3,所以ca =√3,所以c=3,则b=√c 2-a 2=√9-3=√6,故选C. 3.C 由{y =kx -1,x 24-y 29=1,得(9-4k 2)x 2+8kx-40=0, 当9-4k 2=0,即k=±32时,x=5k,满足直线与双曲线相交,且只有一个公共点; 当9-4k 2≠0,即k≠±32时, 令Δ=64k 2+160(9-4k 2)=0, 解得k 2=52,即k=±√102,此时直线与双曲线相切,只有一个公共点, 综上,满足条件的k 的值是±32或±√102, 4.B 设O 为坐标原点,由题意得OC∥AB, ∵O 是F 1F 2的中点,∴C 为F 1B 的中点. ∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,即4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC⊥BF 1,∴|AF 1|=|AB|, 又由双曲线的对称性,知|AF 1|=|BF 1|, ∴△ABF 1为等边三角形,在Rt△AF 1F 2中, |F 1F 2|=2c,∠AF 1F 2=30°, ∴|AF 2|=2√33c,|AF 1|=4√33c,||AF 2|-|AF 1||=2a=2√33c,∴e=√3.二、填空题 5.答案√62解析 ∵椭圆C 1:x 24+y 2=1,∴2a=4,b=1,c=√3,设|AF 1|=x,|AF 2|=y,∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4,即x+y=4①.∵四边形AF 1BF 2为矩形,∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2,即x 2+y 2=(2c)2=12②.由①②,得x=2-√2,y=2+√2.设双曲线C 2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF 2|-|AF 1|=y-x=2√2,2n=2c=2√3,∴双曲线C 2的离心率e=n m =√62. 6.答案 x-y-3=0解析设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的斜率为k,易知k 存在且k≠0,则x 12-4y 12=4,x 22-4y 22=4,两式相减,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)-4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0. ∵点P(4,1)为线段AB 的中点, ∴x 1+x 2=8,y 1+y 2=2.代入,得(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0, ∴k=y 1-y 2x 1-x 2=1.因此直线l 的方程是y-1=1×(x -4), 即x-y-3=0.三、解答题7.解析 (1)由题意,知双曲线C 的顶点(0,a)到渐近线ax±by=0的距离为2√55,即√a 2+b2=2√55,所以ab c =2√55. 由{ab c=2√55,c a =√52,c 2=a 2+b 2,解得{a =2,b =1,c =√5. 所以双曲线C 的标准方程为y 24-x 2=1.(2)由(1),知双曲线C 的两条渐近线方程为y=±2x. 设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得点P 的坐标为(m -λn 1+λ,2(m+λn )1+λ). 将点P 的坐标代入y 24-x 2=1,化简并整理,得 mn=(1+λ)24λ=14(λ+1λ)+12.令∠AOB=2θ,则tan (π2-θ)=2, 所以tan θ=12,sin 2θ=45.又|OA|=√5m,|OB|=√5n,所以S △AOB =12|OA|·|OB|sin 2θ=2mn=12(λ+1λ)+1. 记S(λ)=12(λ+1λ)+1,λ∈[13,2], 由对勾函数的单调性,可知S(λ)在[13,1)上是减函数,在(1,2]上是增函数,且在λ=1处取得最小值.又S (13)=83,S(2)=94,S(1)=2, 所以△AOB 的面积的取值范围是[2,83].8.解析 (1)由题意可设所求双曲线的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0). ∵c a=2,c=2,∴a=1,∴b=√3, ∴所求双曲线的方程为x 2-y 23=1. (2)∵直线l 与y 轴相交于点M 且过焦点F(-2,0), ∴l 的斜率一定存在,设为k,则直线l:y=k(x+2).令x=0,得M(0,2k).∵|MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ |且M,Q,F 共线于直线l, ∴MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 或MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ .设点Q(x Q ,y Q ). 当MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,x Q =-43,y Q =23k, ∴Q (-43,23k). ∵点Q 在双曲线x 2-y 23=1上,∴169-4k 227=1,∴k=±√212; 当MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 时,同理求得Q(-4,-2k),代入双曲线方程,得16-4k 23=1,∴k=±3√52. 故所求的直线l 的方程为y=±√212(x+2)或y=±3√52(x+2).。

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空间向量的数量积【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。

2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。

3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．【要点梳理】要点一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a 、b ，则|a|·|b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b=|a|·|b|cos 〈a ，b 〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅或||a a a =⋅； ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅； ⑤||||||a b a b ⋅≤⋅3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa ）·b=λ（a ·b ）；（2）a ·b=b ·a （交换律）；（3）a ·（b+c ）=a ·b+a ·c （分配律）．要点诠释：（1）对于三个不为0的实数a 、b 、c ，若a ·b=a ·c ，则b=c ；对于三个不为0的向量，若a b a c ⋅=⋅不能得出b c =，即向量不能约分．（2）若a ·b=k ，不能得出k a b =（或k b a=），就是说，向量不能进行除法运算．（3）对于三个不为0的实数，a 、b 、c 有（ab ）c=a （bc ），对于三个不为0的向量a 、b 、c ，有()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅，向量的数量积不满足结合律．要点二、空间两个向量的夹角．1. 定义：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点D ，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与 b 的夹角，记作〈a ，b 〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a ·b=|a|·|b|·cos 〈a ，b 〉，那么空间两个向量a 、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1. 规定：π>≤≤<,02. 特别地，如果0,>=<，那么a 与b 同向；如果π>=<,，那么a 与b 反向；如果090,>=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

2. 利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。

要点三、空间向量的长度。

1. 定义：在空间两个向量的数量积中，特别地a ·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a 的模：||a =将其推广：||a b ±==||a b c ++==2.利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。

一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a |2=a 2来求解。

要点四、空间向量的垂直。

若,2a b π〈〉=，则称a 与b 互相垂直，并记作a ⊥b ．根据数量积的定义：a ⊥b ⇔a ·b ＝0要点诠释： a ⊥b ⇔a ·b ＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．【典型例题】类型一：空间向量的数量积例1．已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===，试求：（1）2()a b +；（2）(32)(3)a b b c -⋅-．【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。

【解析】∵向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===， ∴22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===∙=∙=∙=∙=∙= （1）222()2a b a a b b +=+∙+1045=++=；（（2）(32)(3)a b b c -⋅-=2333223a b a c b b c ∙-∙-+∙＝0-272-8+18=72【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。

举一反三：【变式1】已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）·a =_____.【答案】（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－21）=13。

【变式2】(2018秋烟台期末)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则2a 等于（）A ．2BA AC ⋅B ．2AD BD ⋅C ．2FG CA ⋅D ．2EF BC ⋅【答案】B【解析】由题意可得，2222cos()2(cos 60)BA AC a a BAD a a π⋅=⋅⋅-∠=⋅-=-，故排除A 。

222cos 60,AD BD a a a ⋅=⋅⋅⋅=故B 满足条件。

222cos 2a FG CA a a π⋅=⋅⋅⋅=-，故排除C 。

222cos 6022a a EF BC a ⋅=⋅⋅⋅=，故排除D 。

故选B 。

例2、如右图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，求下列向量的数量积．（1）AB AC ⋅；（2）AD BD ⋅；（3）GF AC ⋅；（4）EF BC ⋅．【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。

【解析】在空间四边形ABCD 中，（1）∵|||A B A C a ==，,60AB AC 〈〉=︒，∴21c o s 602A B A C a a a⋅=⋅︒=．（2）∵||AD a =，||BD a =，,60AD BD 〈〉=︒， ∴221cos602AD BD a a ⋅=︒=．（3）∵1||2GF a =，||AC a =，又//GF AC ，∴,GF AC π〈〉=． ∴2211cos 22GF AC a a π⋅==-．（4）∵1||2EF a =，||BC a =，//EF BD ，∴,,60EF BC BD BC 〈〉=〈〉=︒，∴2211cos6024EF BC a a ⋅=︒=．【总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a ·b=|a| |b|cos 〈a ，b 〉即可顺利计算．举一反三：【变式1】已知在长方体ABCD —AB 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：（1）'BC ED ⋅；（2）'EF FC ⋅．【答案】 (1)'(''')'''04416BC ED BC EA A D BC EA BC A D ⋅=⋅+=⋅+⋅=+⨯=(2)'('')(''')''''''''''EF FC EA A F FD D C EA FD EA D C A F FD A F D C ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅ 04400=-++=【变式2】（2018 南充三模）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，下列命题：①221111111()3A A A D A B A B ++=，②1111()0AC A B A A ⋅-=③向量1AD 与向量1A B 的夹角为60°④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为1||AB AA AD ⋅⋅，其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．①②③C ．①④D ．①②④【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，如图1(0,0,1)A A =，11(1,0,0)A D =，11(0,1,0)A B =，1(1,1,1)AC =，1(1,0,1)AD =-，所以对于①221111111()(1,1,1)233A A A D A B A B ++===，故①正确；对于②，1111()(1,1,1)(0,1,1)0AC A B A A ⋅-=-=，故②正确；对于③，因为11(1,0,01)(0,1,1)1AD A B ⋅==-，向量1AD 与向量1A B 的夹角为120°；故③错误；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为1||||||AB AA AD ，但是1||0AB AA AD ⋅⋅=，故④错误。

故选：A 。

类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．例3．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角.【思路点拨】利用><∙AC BA AC BA ,cos 11，求出向量1BA 与的夹角〈1BA ,〉，再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角. 【解析】因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11,所以)()(11BB BA +∙+=∙=BB BB ∙+∙+∙+∙11因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，所以BB ∙=∙1,0=0,BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙AC BA AC BA.2122,cos 21-=⨯->=<aa a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°.所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．【总结升华】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA 与BC 所成角的余弦值。