球的表面积与体积及习题

V火 V地
4 πR 3 = 4 πR 3
火
3
R = R
火 地
3 3
地
3
3 1 ( R地) 2 1 = = 3 8 R地
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: 1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: 如图 (1)球的表面积等于圆柱的侧面积 球的表面积等于圆柱的侧面积. (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 证明: (1)设球的半径为R, 证明: (1)设球的半径为R, 设球的半径为 则圆柱的底面半径为R,高为2R. 则圆柱的底面半径为R,高为2R. R,高为 R O
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 即球体):球面所围成的几何体。 ):球面所围成的几何体 球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。 它包括球面和球面所包围的空间。 球面
4 3 半径是R的球的体积： 半径是R的球的体积： V = πR 3
2
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A D1 A1 O B
C
D A D1 A1 O B
C
略解：
Rt∆B1D1D中: B1D = 2R，B1D = 2a
C1 B1
A● A B
D B D1 A1 O
O1
C
R
●
● ●
O
·
M
D
C1 B1
3. 球的表面积
球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以 求球的表面积无法用展开图求出， 求球的表面积无法用展开图求出， 如何求球的表面积公式呢? 如何求球的表面积公式呢? 回忆球的体积公式的推导方法, 回忆球的体积公式的推导方法, 得到 启发， 启发，可以借助极限思想方法来推导 球的表面积公式。 球的表面积公式。
• 棱柱、棱锥和棱台的体积公式： v=
1 h s '+ s ' s + s 3
(
)
当s=s'时为棱柱体积公式v=sh.
1 当s=0为棱锥体积公式v=. 3 sh
怎样求球的体积? 怎样求球的体积
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
1 = p(A1A2 + A2A3 + ⋯+ An A1) 2 1 = pC 正多边形 2
n=12 An
O p A1 A2
当n →∞时， →R, C正多边形→C圆 p
A3
1 ∴S圆 = R ⋅ 2πR = πR2 2
割
圆
术
早在公元三世纪， 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术” 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小， 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 割之弥细，所失弥小” 这样重复下去， 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣” 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 极限”思想。 “极限”思想。
S 球 = 4π R 2 得: S圆柱侧 = 2π R ⋅ 2 R = 4π R 2
∴ S 球 = S 圆柱侧
∵S = 4 π R 2 + 2π R 2 = 6 π R 2 圆柱全
S
球
(2)
∴ S
球
2 = S 圆柱全 3
= 4π R
2
例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD如图 R,正方体ABCD a,它的各个顶点都在球 的球面上， 它的各个顶点都在球O 为a,它的各个顶点都在球O的球面上， 3 求证： 求证： R = a
2 2
三者之间关系
圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 这种关系是巧合还是存在必然联系？ 系？这种关系是巧合还是存在必然联系？
r O′
r'O’
l
O
l
l
r
r’＝r ＝
O
r
r’＝0 ＝
O
S柱 = 2πr (r + l )
S 锥 = πr (r + l )
′2 + r 2 + r ′l + rl ) S台 = π (r
A 3л
2
B 4л
C 3 3π
D
1
D 6л
C
1
为1的 棱 为 的 体， 则A1、C1、B、D 、 棱 为 2 的 四面体的顶点 体的 球 四面体 球， 的 球，此 球的 为 3， 3 2 S 球 4π ( ) = 3π , A 2
（1） S 解： =4πR2 =4π x 63702 ≈5.10x108(km 2) 地地
4 3 4 V地地= πR = π x 63703 3 3
S火 S地 = 4πR 4πR
火 地 2 2
≈1.08x1012(km 3)
（2）
R = R
火 地
2 2
2 1 ( R地) 2 1 = = 2 4 R地
A 3л
B 4л
C 3 3π
D 6л
A●
解：设四面体为ABCD，O1 为其外接 设四面体为 ， 球心。球半径为R， 为 在平面 球心。球半径为 ，O为A在平面 在平面BCD上 上 的射影， 为 的中点 连结B O1 的中点。 的射影，M为CD的中点。
2 2 3 6 BM = ( BC ) = . 3 3 2 3 2 2 2 所 以 AO = AB − BO = , 3 BO =
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
h
实验： 实验：排液法测小球的体积
小 球 的 等 于 体 积
它 排 开 液 体 的
H h
体 积
曹冲称象
回顾圆面积公式的推导
n=6 A1 O 假设将圆n等分，则 A2 S正多边形= S∆A OA + S∆A OA +⋯+ S∆A OA 1 2 2 3 n 1
R r = R −[ (i −1 2 , i =1 2⋯ n )] , , . i n
2
定理:半径是 的球的体积 定理 半径是R的球的体积 半径是
4 3 V = πR 3
阅读材料以及思考题
高等于底面半径的旋转体体积对比
R α
V圆锥
1 3 = πR 3
V半球
2 3 = πR 3
V圆柱 = πR
3
1.球的直径伸长为原来的 倍,体积变为原来 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来 球的直径伸长为原来的 的几倍? 的几倍 8倍 倍 2.一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上 4cm,求这个球的体积 求这个球的体积. 求这个球的体积
球的表面积
∆S i
o
o
球的表面积 第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为： 球面被分割成n个网格，表面积分别为：
“ 锥 ” 体 为V 设 小 体 的 积∆ i
O 则球的体积为： 则球的体积为：
V = ∆V +∆ 2 +∆V +⋯ ∆V V + n 1 3
∆S i
O
4 1 3 π R = sR 3 3
D A D1 A1 O C1 B1 B C
32 3π
钢球直径是5cm,. 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至 少要用多少纸? 少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体长为5cm 侧棱长为
圆柱的表面积
r O′
l
O
2r π
S侧= 2π rl
圆柱的侧面展开图是矩形
2
S圆柱表面积 = 2πr + 2πrl = 2πr (r + l )
圆锥的表面积
1 S侧= × 2π r × l 2
= π rl
l
2r π
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 = πr + πrl = πr (r + l )
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图， 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
1 S侧= ( 2π r '+ 2π r ) l 2
= π ( r '+ r ) l
r'O’
l
2 r' π
2r π
r
圆台的侧面展开图是扇环 S侧 = π ( r '+ r ) l
O
S圆台表面积 = π (r ′ + r + r ′l + rl )
∆Vi
R 的球的表面积： = 4π R 2 定理 半径是 的球的表面积： S
球的表面积是大 圆面积的4倍 圆面积的 倍
R α
1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为 6370km，火星的直径约为地球的一半。 (1)求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？