高三数学第一轮复习导数及其应用(文科)测验卷

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高考数学一轮复习第三章导数及其应用单元质检文新人教B版

单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.D.-3.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-)5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.36.若f(x)=a e-x-e x为奇函数,则f(x-1)<e-的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.(0,+∞)7.已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.38.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为()A. B.C. D.9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)10.(2017辽宁抚顺重点校一模)已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于()A. B.C. D.11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.12.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2e x)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,0)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017吉林长春三模)函数f(x)=e x·sin x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-∞,+∞)内是减函数,则实数a的取值范围是.15.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f(0)f(1)<0;②f(0)f(1)>0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0;⑤f(1)f(3)>0;⑥f(1)f(3)<0.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题练习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误；对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．下列不等式正确的有（）A 2ln 3、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确；故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知()2sin x f x x x π=--.（）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.7．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章导数及其应用第2讲含答案

一、填空题1.(2016·南京、盐城调研)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________. 解析函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2. ∴f (x )单调递增区间是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________. 解析依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ＞1，∴0＜1x ＜1，∴k ≥1. 答案 [1，＋∞)3.已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是增函数，则b 的取值范围是________. 解析 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2，由题意知Δ＝4b 2－4(b ＋2)>0，解得b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 从小到大的顺序为________.解析依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b .答案 c <a <b5.函数f (x )＝x ＋9x 的单调递减区间为________. 解析 f ′(x )＝1－9x 2(x ≠0)，由f ′(x )＜0得－3＜x ＜0或0＜x ＜3.故f (x )的单调递减区间为(－3，0)，(0，3). 答案 (－3，0)，(0，3)6.如果函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上单调递增，则a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由题意知f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立，则⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞7.(2015·安徽卷改编)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，给出以下命题：①a >0，b <0，c >0，d >0；②a >0，b <0，c <0，d >0；③a <0，b <0，c >0，d >0；④a >0，b >0，c >0，d <0. 则以上命题正确的是________(填序号).解析 ∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案 ①8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________.解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞二、解答题9.设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6). (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的递增区间是(0，2)，(3，＋∞)；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的递减区间是(2，3).10.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知函数f (x )满足f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ＋c (其中f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23为f (x )在点x ＝23处的导数，c 为常数).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]e x ，若函数g (x )在[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，令x ＝23，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，由f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜1，故f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (2)∵g (x )＝(－x 2－x ＋c )·e x ，∴g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x .当函数g (x )在区间[－3，2]上单调递增时，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3，2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11.故c 的取值范围是[11，＋∞).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 答案 (1，2]12.(2015·青岛模拟)定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f (x )，若f (x )的导函数存在且满足f （x ）f ′（x ）＞x ，给出下列命题：①3f (2)<2f (3)；②3f (4)<4f (3)；③2f (3)<3f (4)；④f (2)<2f (1). 则以上命题正确的是________(填序号). 解析由f （x ）f ′（x ）＞x ，得xf ′（x ）－f （x ）f ′（x ）＜0， ∵f ′(x )＜0，∴xf ′(x )－f (x )＞0，构造函数F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＞0，∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (2)＜F (3)，即3f (2)＜2f (3). 答案 ①13.已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0，1)∪(2，3)14.(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R ).(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a e x ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x .令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数. 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.。

高考数学一轮复习练习一元函数的导数及其应用

一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020福建福州模拟,理7)已知函数f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=x 2-ln(-x ),则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.x-y=0 B.x-y-2=0 C.x+y-2=0 D.3x-y-2=02.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f'(x ),若函数f (x )在x=1处取得极大值,则函数y=-xf'(x )的图像可能是( )3.已知函数f (x )=x+1,g (x )=ln x ,若f (x 1)=g (x 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2 D.24.已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )-f (x )<0,且f (2)=2,则f (e x )-e x >0的解集是( )A.(-∞,ln 2)B.(ln 2,+∞)C.(0,e 2)D.(e 2,+∞) 5.(2020北京房山区二模,5)函数f (x )=e x -x 2的零点个数为( )A.0B.1C.2D.36.(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f (x )=lnx x 2,若f (x )<m-1x2在(0,+∞)上恒成立,e 为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A.m>e B.m>e2 C.m>1D.m>√e7.已知函数f (x )=x 2+|x-a|,g (x )=(2a-1)x+a ln x ,若函数y=f (x )与函数y=g (x )的图像恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为( ) A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0)8.(2020河南新乡三模,理12)已知函数f (x )=x 2-ax (x ∈[1e ,e])与g (x )=e x 的图像上存在两对关于直线y=x 对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A.[e -1e ,e] B.(1,e -1e ] C.[1,e -1e ]D.[1,e +1e ]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东潍坊临朐模拟二,12)已知函数f (x )=x ln x+x 2,x 0是函数f (x )的极值点,以下结论中正确的是( ) A.0<x 0<1eB.x 0>1eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>010.(2020山东聊城二模,10)下列关于函数f (x )=x 3-3x 2+2x 的叙述正确的是( ) A.函数f (x )有三个零点B.点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心C.函数f (x )的极大值点为x=1-√33D.存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数11.(2020海南天一大联考第三次模拟,12)已知函数f (x )=x 3+ax+b ,其中a ,b ∈R ,则下列选项中的条件使得f (x )仅有一个零点的有( ) A.a012.(2020山东师大附中月考,12)设函数f (x )={|lnx |,x >0,e x (x +1),x ≤0,若方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根,则实数a 可能的取值是( )A.12B.23C.1D.2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东、海南两省4月模拟,13)函数f (x )=alnxe x 在点P (1,f (1))处的切线与直线2x+y-3=0垂直,则a= .14.设f (x )=e x (ln x-a ),若函数f (x )在区间1e,e 上单调递减,则实数a 的取值范围为 .15.已知函数f (x )=log 2x ,g (x )=√x +√a -x (a>0),若对∀x 1∈{x|g (x )=√x +√a -x },∃x 2∈[4,16],使g (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f (x )=2ln x ,g (x )=ax 2-x-12(a>0).若直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的值为 ;若总存在直线与函数y=f (x ),y=g (x )的图像均相切,则a 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020河南郑州质量预测二,理21)已知函数f (x )=lnx a ,g (x )=x+1x(x>0). (1)当a=1时,求曲线y=f (x )g (x )在x=1处的切线方程; (2)讨论函数F (x )=f (x )-1g (x )在(0,+∞)上的单调性.18.(12分)(2020河南开封三模,理20)已知函数f (x )=ax e x -ln x+b (a ,b ∈R )在x=1处的切线方程为y=(2e -1)x-e . (1)求a ,b 值;(2)若f (x )≥mx 恒成立,求实数m 的取值范围.19.(12分)(2020陕西宝鸡三模,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,a∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+a+1,当a>12时,求证:g(x)有两个零点.20.(12分)(2020辽宁大连一中6月模拟,文20)已知函数f(x)=x ln x-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R).(1)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的一条切线,求k的值;(2)当x>1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1无交点,求整数k的最大值.21.(12分)(2020天津,20)已知函数f(x)=x3+k ln x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ⅱ)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9x的单调区间和极值.(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.22.(12分)(2020浙江,22)已知1<a≤2,函数f(x)=e x-x-a,其中e=2.718 28…是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:①√a-1≤x0≤√2(a-1);②x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.参考答案单元质检卷三一元函数的导数及其应用1.A当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-ln x,又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-ln x,f(1)=1,所以,f'(1)=1,故切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选A.f'(x)=2x-1x2.B因为函数f(x)在R上可导且f(x)在x=1处取得极大值,所以当x>1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x<1时,f'(x)>0.所以当x<0时,y=-xf'(x)>0,当0<x<1时,y=-xf'(x)<0,当x=0或x=1时,y=-xf'(x)=0,当x>1时,y=-xf'(x)>0,可知选项B符合题意.故选B.3.D设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=e t,所以x2-x1=e t-t+1,令h(t)=e t-t+1,则h'(t)=e t-1,所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.4.A 令g (x )=f (x )x ,g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2<0,则g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )-ex>0等价为f (e x )e x>f (2)2,即g (e x )>g (2),故e x <2,即x<ln 2,则所求的解集为(-∞,ln 2).故选A .5.B 令f (x )=e x -x 2=0,得e x =x 2,分别画出y=e x 和y=x 2的图像,如图所示,当x<0时,函数y=e x 和y=x 2有一个交点. 当x>0时,f'(x )=e x -2x ,令g (x )=e x -2x ,则g'(x )=e x -2,当g'(x )=0时,可得x=ln 2.当x ∈(0,ln 2)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(ln 2,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.又因为f (0)=1,所以当x ∈(0,+∞)时,f (x )>0.故f (x )在(0,+∞)上无零点. 综上,函数f (x )=e x -x 2的零点个数为1.故选B . 6.B 若f (x )<m-1x 2在(0,+∞)上恒成立,即f (x )+1x 2<m 在(0,+∞)上恒成立,令g (x )=f (x )+1x 2=lnx+1x 2,故只需g (x )max <m 即可,g'(x )=1x ·x 2-(lnx+1)·2x x 4=-2lnx -1x 3,令g'(x )=0,得x=e-12,当0<x<e-12时,g'(x )>0;当x>e-12时,g'(x )<0,所以g (x )在(0,e-12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以g (x )max =g (e-12)=e 2,所以实数m 的取值范围是m>e2. 故选B . 7.A当a ≠0时函数g (x )的定义域为(0,+∞),所以只研究这两个函数在x ∈(0,+∞)上的图像,当a ≤0时,f (x )单调递增,又g (x )单调递减,两者的图像最多只有一个交点,不符合题意.当a>0时,设φ(x )=f (x )-g (x ),即φ(x )={x 2-2ax -alnx +a ,0<x <a ,x 2+(2-2a )x -alnx -a ,x ≥a ,因为φ'(x )={2(x -a )-ax <0,0<x <a ,2(x -a )+2x -ax>0,x ≥a ,所以φ(x )在(0,a )上单调递减,(a ,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =-a 2-a ln a+a ,因为x →0,x →+∞时,φ(x )→+∞,所以φ(x )有两个零点,当且仅当φ(x )min =-a 2-a ln a+a<0,解得a>1,即a 的取值范围为(1,+∞).8.B ∵f (x )与g (x )的图像在x ∈[1e ,e]上存在两对关于直线y=x 对称的点,则函数f (x )与函数φ(x )=ln x 的图像在x ∈[1e ,e]上有两个交点,∴ln x=x 2-ax 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,即a=x-lnx x 在x ∈[1e ,e]上有两个实数解,令h (x )=x-lnxx ,则h'(x )=x 2+lnx -1x 2.令k (x )=x 2+ln x-1,k (x )在x ∈[1e ,e]上单调递增,且k (1)=0,∴当x ∈[1e ,1]时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,e]时,h'(x )>0,h (x )单调递增.∴h (x )min =h (1)=1.对g 1e =e +1e ,g (e)=e -1e ,∴a 的取值范围是1,e -1e . 9.AD ∵函数f (x )=x ln x+x 2(x>0),∴f'(x )=ln x+1+2x.∵x 0是函数f (x )的极值点, ∴f'(x 0)=0,即ln x 0+1+2x 0=0,∵f'(x )在(0,+∞)上单调递增,且f'(1e )=2e >0,又x →0,f'(x )→-∞,∴0<x 0<1e ,即选项A 正确,选项B 不正确;f (x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 02+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,即选项D 正确,选项C 不正确.故选AD .10.ABC 令f (x )=0,即x (x-1)(x-2)=0,解得x=0或x=1或x=2,故函数f (x )有三个零点,故选项A 正确;因为f (1+x )+f (1-x )=0,所以点(1,0)是函数f (x )图像的对称中心,故选项B 正确;令f'(x )=3x 2-6x+2=0,解得x=3±√33,故f (x )在-∞,3-√33上单调递增,在3-√33,3+√33上单调递减,在3+√33,+∞上单调递增,函数f (x )的极大值点为x=1-√33,故选项C 正确;因为f (x )在R 上不单调,所以不存在实数a ,使得函数g (x )=[f (x )]2+af (x )在R 上为增函数,故D 错误.故选ABC .11.BD 由题知f'(x )=3x 2+a.对于A,由f (x )是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f (x )存在两个极值点,易知f (x )有三个零点,故A 错误;对于B,因为b 2+1≥1,所以a ≥0,f'(x )≥0,所以f (x )单调递增,则f (x )仅有一个零点,故B 正确;对于C,若取b=2,则f (x )的极大值为f (-1)=4,极小值为f (1)=0,此时f (x )有两个零点,故C 错误;对于D,f (x )的极大值为f -√-a3=b-2a3√-a3,极小值为f√-a 3=b+2a 3√-a3.因为a<0,所以b2+4a 327>b 2+a 36>0,所以b 2>-4a 327,则b>-2a 3√-a3或b<2a3√-a3,从而f -√-a3>0,f √-a3>0或f -√-a3<0,f √-a3<0,可知f (x )仅有一个零点,故D 正确.12.BC 当x ≤0时,f (x )=e x (x+1),则f'(x )=e x (x+1)+e x =e x (x+2).由f'(x )<0得,x+2<0,即x<-2,此时f (x )单调递减, 由f'(x )>0得,x+2>0,即-2<x ≤0,此时f (x )单调递增,即当x=-2时,f (x )取得极小值f (-2)=-1e 2,作出f (x )的图像如图:由图像可知当0<f (x )≤1时,有三个不同的x 的取值与f (x )对应. 设t=f (x ),因为方程[f (x )]2-af (x )+116=0有六个不等的实数根, 所以t 2-at+116=0在t ∈(0,1]内有两个不等的实数根, 设g (t )=t 2-at+116.则{g (0)>0,g (1)≥0,Δ>0,0<a 2<1,即{116>0,1-a +116≥0,a 2-4×116>0,0<a 2<1, 解得12<a ≤1716.结合选项可知实数a 可能是23或1,故选BC .13.e2由题意,得f'(x)=ax ex-ae x lnx(e x)2=ax-alnxe x.又切线斜率k=12.∴f'(1)=ae=12,∴a=e2.14.[e-1,+∞)由题意可得f'(x)=e x ln x+1x -a≤0在1e,e上恒成立.因为e x>0,所以只需lnx+1x-a≤0,即a≥ln x+1x在1e,e上恒成立.令g(x)=ln x+1x.因为g'(x)=1x−1x2=x-1x2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1上单调递减,在(1,e)上单调递增,g1e =ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-1>1+1e,所以g(x)max=g1e=e-1.故a的取值范围为[e-1,+∞).15.[4,8]结合题意可得log24=2≤f(x)≤log216=4,要使得对∀x1∈{x|g(x)=√x+√a-x},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则要求g(x)的值域在[2,4]上,对g(x)求导得g'(x)=√a-x-√x2√x·√a-x,令g'(x)>0,解得x<a2,结合该函数的定义域为[0,a],可知g(x)在0,a2上单调递增,在a2,a上单调递减,故g(x)在x=a2取到最大值,在x=0取到最小值,所以需要满足g a2≤4,且g(0)≥2,得到{√a2+√a2≤4,√a≥2,解得a∈[4,8].16.32[32,+∞)由题意,f'(x)=2x,g'(x)=2ax-1,因为直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图像均相切,所以{2x=2,2ax-1=2,解得x=1,a=32.设直线l与y=f(x)的图像相切于点P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为y-2ln x1=2x1(x-x1),代入g(x)=ax2-x-12(a>0),得2x1x-2+2ln x1=ax2-x-1 2,即ax2-(1+2x1)x+(32-2ln x1)=0.所以Δ=(1+2x1)2-4a×(32-2ln x1)=0.所以a=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)22x 12(3-4ln x 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4ln x 1+x 1-1)x 13(3-4ln x 1)2.令y'=0,解得x 1=1.当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32.17.解 (1)当a=1时,y=f (x )g (x )=xlnxx+1,y'=(1+lnx )(x+1)-xlnx(x+1)2=lnx+x+1(x+1)2,所以y'|x=1=ln1+1+1(1+1)2=12,即当x=1时,切线的斜率为12,又切线过点(1,0),所以切线方程为x-2y-1=0.(2)f'(x )=1ax ,(1g (x ))'=1(x+1)2,F'(x )=f'(x )-(1g (x ))'=1ax −1(x+1)2=(x+1)2-ax ax (x+1)2,当a<0时,F'(x )<0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,令h (x )=1a x 2+(2a -1)x+1a ,Δ=1-4a ,当Δ≤0,即0<a ≤4时,h (x )≥0,此时F'(x )≥0,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增; 当Δ>0,即a>4时,方程1a x 2+(2a -1)x+1a =0有两个不等实数根x 1,x 2,设x 1<x 2,则x 1=a -2-√a 2-4a 2,x 2=a -2+√a 2-4a 2,所以0<x 1<1<x 2,此时,函数F (x )在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减. 综上所述,当a<0时,F (x )的单调递减区间是(0,+∞); 当a>4时,F (x )的单调递减区间是(a -2-√a 2-4a 2,a -2+√a 2-4a2),单调递增区间是0,a -2-√a 2-4a2,a -2+√a 2-4a2,+∞.当0<a ≤4时,F (x )的单调递增区间是(0,+∞). 18.解 (1)f'(x )=a e x +ax e x -1x .因为函数f (x )=ax e x -ln x+b 在x=1处的切线为y=(2e -1)x-e, 所以{f (1)=ae +b =e -1,f '(1)=2ae -1=2e -1,解得a=1,b=-1.(2)由f (x )≥mx 得,x e x-ln x-1≥mx (x>0),即m ≤xe x -lnx -1x. 令φ(x )=xe x -lnx -1x ,则φ'(x )=x 2e x +lnxx 2.令h (x )=x 2e x +ln x ,h (x )在(0,+∞)上单调递增,则h 1e=1e 2e 1e -1<e 2e 2-1=0,h (1)=e >0.所以h (x )在1e ,1上存在零点x 0,即h (x 0)=x 02e x 0+ln x 0=0,即x 0e x 0=-ln x0x 0=ln 1x 0(eln1x 0).由于y=x e x 在(0,+∞)上单调递增,故x 0=ln 1x 0=-ln x 0,即e x 0=1x 0.因为φ(x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,所以φ(x )min =x 0e x 0-ln x 0-1x 0=1+x 0-1x 0=1. 所以m ≤1.实数m 的取值范围为(-∞,1]. 19.(1)解 f'(x )=1x +2ax-(2a+1)=(x -1)(2ax -1)x(x>0). ①当a ≤0时,令f'(x )>0,得0<x<1;令f'(x )<0,得x>1.所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当a>0时,令f'(x )=0,得x 1=1,x 2=12a . (ⅰ)当a=12时,f'(x )=(x -1)2x ≥0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.(ⅱ)当a>12时,令f'(x )>0,得0<x<12a 或x>1; 令f'(x )<0,得12a <x<1.所以f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减. (ⅲ)当0<a<12时,令f'(x )>0,得0<x<1或x>12a ; 令f'(x )<0,得1<x<12a .所以f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.综上,当a ≤0时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当a=12时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减; 当0<a<12时,f (x )在(0,1)和12a ,+∞上单调递增,在1,12a 上单调递减.(2)证明由(1)知,当a>12时,f (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.则g (x )在0,12a 和(1,+∞)上单调递增,在12a ,1上单调递减.因为g (1)=0,所以1是函数g (x )的一个零点,且g 12a >0.当x ∈0,12a 时,取0<x 0<e -a-1且x 0<12a ,则a x 02-(2a+1)x 0+a+1=a x 02-x 0-2ax 0+a+1<a+1,g (x 0)<-a-1+a+1=0.所以g 12a ·g (x 0)<0,所以g (x )在0,12a 上恰有一个零点,所以g (x )在区间(0,+∞)上有两个零点.20.解 (1)由题意知f'(x )=ln x+1(x>0),设切点为P (x 0,x 0ln x 0-1),在点P 处的切线方程为y-(x 0ln x 0-1)=(1+ln x 0)(x-x 0).整理得y=(1+ln x 0)x-(x 0+1).由{1+ln x 0=k -1,k =x 0+1,即{ln x 0=k -2,x 0=k -1,得ln x 0=x 0-1.令h (x )=ln x-x+1,则h'(x )=1x -1=1-xx .当0<x<1时,h'(x )>0,h (x )在(0,1)上单调递增; 当x>1时,h'(x )<0,h (x )在(1,+∞)上单调递减. 所以h (x )的最大值为h (1)=0,即x 0=1,故k=2.(2)令F (x )=f (x )-g (x )=x ln x-(k-1)x+k ,则F'(x )=ln x+2-k=ln x-(k-2)(x>1). ①当k-2≤0时,F'(x )>0,所以f (x )在(1,+∞)上单调递增.所以F (x )>F (1)=1,即F (x )在(1,+∞)上无零点. ②当k-2>0时,由F'(x )=0,得x=e k-2.当1<x<e k-2时,F'(x )<0,所以F (x )在(1,e k-2)上单调递减; 当x>e k-2时,F'(x )>0,所以F (x )在(e k-2,+∞)上单调递增. F (x )的最小值为F (e k-2)=(k-1)e k-2-k (e k-2-1)=k-e k-2.令m (k )=k-e k-2,则m'(k )=1-e k-2<0,所以m (k )在(2,+∞)上单调递减,而m (2)=2-1=1,m (3)=3-e >0,m (4)=4-e 2<0,因此k 的最大值为3.21.(1)解 (ⅰ)当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x .可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即9x-y-8=0.(ⅱ)依题意,g (x )=x 3-3x 2+6ln x+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x 2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(2)证明由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+k x .对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+k x 2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+k x 1x 2−x 2x 1-2k ln x 1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t .①令h (x )=x-1x -2ln x ,x ∈(1,+∞). 当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x=(1-1x )2>0,由此可得h (x )在(1,+∞)上单调递增, 所以当t>1时,h (t )>h (1),即t-1t -2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t-1=(t-1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t-1)-3t-1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)(ⅱ)可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t -1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 22.证明 (1)因为f (0)=1-a<0,f (2)=e 2-2-a ≥e 2-4>0,所以y=f (x )在(0,+∞)上存在零点.因为f'(x )=e x -1,所以当x>0时,f'(x )>0,故函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=f (x )在(0,+∞)上有唯一零点.(2)①令g(x)=e x-1x2-x-1(x≥0),g'(x)=e x-x-1=f(x)+a-1,由①知函数2g'(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x>0时,g'(x)>g'(0)=0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0.由g(√2(a-1))≥0,得f(√2(a-1))=e√2(a-1)−√2(a-1)-a≥0=f(x0), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√2(a-1)≥x0.令h(x)=e x-x2-x-1(0≤x≤1),h'(x)=e x-2x-1,令h1(x)=e x-2x-1(0≤x≤1),h'1(x)=e x-2,所以故当0<x<1时,h1(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在[0,1]上单调递减,因此当0≤x≤1时,h(x)≤h(0)=0.由h(√a-1)≤0,得f(√a-1)=e√a-1−√a-1-a≤0=f(x0),因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故√a-1≤x0.综上,√a-1≤x0≤√2(a-1).②令u(x)=e x-(e-1)x-1,u'(x)=e x-(e-1),所以当x>1时,u'(x)>0,故函数u(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=0.由e x0=x0+a可得x0f(e x0)=x0f(x0+a)=(e a-1)x02+a(e a-2)x0≥(e-1)a x02,由x0≥√a-1,得x0f(e x0)≥(e-1)(a-1)a.。

高三一轮复习导数测试题(文科)题

数学第一轮复习综合测试（导数)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图1所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )图12．在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x －y ＝1平行的切线方程是( )A ．4x －y ＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝03．已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.124．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末5．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－196．对函数f (x )＝－x 4＋2x 2＋3有( )A ．最大值4，最小值－4B ．最大值4，无最小值C ．无最大值，最小值－4D ．既无最大值也无最小值7．若m ∈R ，方程x 3－3x ＋m ＝0在区间[0,1]上不等的实根( )A ．有3个B ．有2个C ．没有D ．至多有一个8．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)内的解析式为f (x )＝13x 3－x ，则下列区间中使f (x )单调递增的区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 9．已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ，则f (x )<0的解集为( )A ．{x |0<x <4}B ．{x |0<x <2}C ．{x |－2<x <0}D ．{x |－4<x <0} 10．(2010·河南焦作一检)曲线y ＝x 2－|x |－1上以点(－1，－1)为切点的切线方程是( )A ．y ＝－x －2B ．y ＝xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝－2x －311．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )图1A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．(2010·河南四校联考)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知函数y ＝ax a ＋b 的导数为y ′＝6x 2，则a ＝__________，b ＝__________. 14．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝__________. 15．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________．16．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0(a ∈R )的实数根的个数为________．三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)若直线y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直线x ＋9y ＋5＝0垂直．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．19．(12分)已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)． (1)若f (x )的单调减区间为(0,4)，求k 的值；(2)当x ＞k 时，求证：2x ＋1x－3＞0.20．(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数y 1＝－2x 2＋14x (百万元)来计算；每投入x (百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y 2＝－13x 3＋2x 2＋5x (百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)21．(12分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．22．(14分)(2010·南昌调研)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围．。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业文-人

2．11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·某某模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x <2，即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.故选D.3．函数f (x )＝(x －1)(x －2)2在[0,3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f (0)与f (2)即可．f (0)＝－4，f (2)＝0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)＝－4.故选B.4．(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数，满足f ′(x )－2f (x )<0，且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)D ．(－1，＋∞) 答案 A 解析设g (x )＝f xe2x，则g ′(x )＝f ′x －2f xe2x<0在R 上恒成立，所以g (x )在R 上递减，又因为g (－1)＝0，f (x )>0⇔g (x )>0，所以x <－1.故选A.5．(2017·某某某某一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为( )A ．a <1B ．a ≤1 C．a <2 D ．a ≤2 答案 D解析由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x， ∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.故选D.6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a 0.即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即c <a 12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1e·12＝12e.故选B. 8．已知函数f (x )＝ax－1＋ln x ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >2B ．a <3C ．a ≤1 D．a ≥3 答案 C解析函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，不等式a x－1＋ln x ≤0有解，即a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，令h (x )＝x －x ln x ，可得h ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，令h ′(x )＝0，可得x ＝1，当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，可得当x ＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.故选C.9．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.故选C.10．(2018·某某一模)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案 B解析由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x 在[1，e]上有解，即m 2<ln xx在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.二、填空题11．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.12．(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值是1，则a ＝________.答案 1解析由题意，得x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值－1，f ′(x )＝1x －a ，由f ′(x )＝0，得x ＝1a ∈(0,2)，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝－1，解得a ＝1.13．(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线，f (1＋x )＝f (1－x )，f (1)＝a ，且当0<x <1时，f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________．答案 a解析由f (1＋x )＝f (1－x )可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，且f (x )的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )是以4为周期的周期函数，则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同．令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex<0，函数g (x )在(0,1)上递减，则g (x )<g (0)＝0，所以f ′(x )<f (x )<0，则函数f (x )在(0,1)上单调递减．又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)＝f (1)＝a .14．(2018·启东中学调研)已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题：①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析由f (x )＝e x＋a ln x ，可得f ′(x )＝e x ＋a x，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.综上得，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无递减区间；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，∴当12<a <ln 2时，f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，f (x )的最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 16．(2017·某某某某联考)已知函数f (x )＝e x－ax ，a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a )，求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，所以f (x )的单调递增区间是(ln a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得x <ln a ，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，ln a )，函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值，g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ，当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0,1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减，所以a ＝1是函数g (a )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g (a )max ＝g (1)＝1.(2)当x ≤0时，a >0，e x－ax ≥0恒成立，当x >0时，f (x )≥0，即e x－ax ≥0，即a ≤e xx.令h (x )＝e x x ，x ∈(0，＋∞)，h ′(x )＝e x x －e x x2＝exx －1x 2，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，故h (x )的最小值为h (1)＝e ，所以a ≤e，故实数a 的取值X 围是(0，e]．17．(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，则方程x 2－ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4. ①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.亦即x2－1x2－2ln x2＝0(x2>1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－1x2－2ln x2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。

锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习2.11导数的应用(一)(含答案详析)

A 组基础达标（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 3，5，9一、选择题（每题5 分，共 25 分）（ 2014 ·中山模拟）函数f （ x ）＝（ x －3 ）e x的单一增区间是（ D ）A. （－∞，－ 2）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，＋∞）f ′（x ）＝（ x －3）′e x ＋（ x －3 ）（e x ）′＝（x －2） e x ，令 f ′（x ）＞ 0，解得 x ＞2 ，应选 D.（ 2013 ·镇江模拟）若函数y ＝f （x ）的导函数在区间 [a ， b] 上是增函数，则函数 y ＝ f （x ）在区间 [a ， b] 上的图像可能是（A ）∵函数 y ＝ f （x ）的导函数 y ＝ f ′x （）在区间 [a ，b] 上是增函数，即在区间[a ， b] 上各点处的斜率 k 是递加的，由图易知选 A.ln a ＋ ln x（ 2014 ·湛江调研）已知函数f （x ）＝在[1 ，＋∞）上为减函数，x则实数 a 的取值范围是（ D ）1 B. （0 ，e]A. 0，eC. （－∞， e]D. [e ，＋∞）1· x －ln （a ＋ln x ） x 1－（ ln a ＋ ln x ） f ′（x ）＝，∵f （x ）在 [1 ，＋∞） x 2 ＝x 2上为减函数，故 f ′（x ）≤0在[1 ，＋∞）上恒建立，即 ln a ≥ 1ln －x 在[1 ，＋∞）上恒建立 .设 φ（ x ）＝ 1 －ln x ， φ（x ）max ＝1，故 ln a ≥1，a ≥e ，选 D.（ 2014 ·绍兴模拟）已知对随意x ∈ R ，恒有 f （－ x ）＝－ f （x ），g （－ x ）＝ g （ x ），且当 x ＞0 时， f ′（x ）＞ 0，g ′（x ）＞ 0，则当 x ＜0 时有（ B ）A. f ′（x ）＞ 0，g ′（x ）＞ 0B. f′x ）（＞ 0 ，g ′（x ）＜ 0C. f ′x ）（＜ 0 ，g ′（x ）＞ 0D. f′x ）（＜ 0，g ′（x ）＜ 0由 f （－ x ）＝－ f （ x ），g （－ x ）＝ g （x ），知 f （x ）为奇函数， g （x ）为偶函数 .又 x ＞0 时， f ′（x ）＞ 0 ，g ′（x ）＞ 0，由奇、偶函数的性质知，当x ＜0 时， f ′（x ）＞ 0 ，g ′（x ）＜ 0.（ 2014 ·仙桃模拟设） a ＜b ，函数 y ＝（x －a ）2（x －b ）的图像可能是（C ）a ＋2by ′＝（x －a ）（3x － a － 2b ），由 y ′＝0 得 x ＝a ，x ＝，∴当 x ＝a 时，3a ＋ 2by 取极大值 0 ，当 x ＝时， y 取极小值且极小值为负 .应选 C.3二、填空题（每题5 分，共 15 分）x 2＋a （ 2014 ·常州模拟若）函数 f （x ）＝在 x ＝ 1 处取极值，则 a ＝ 3 Ｗ.x ＋12x （ x ＋ 1）－（ x 2＋ a ），∴f ′（1）＝ 3－ a∵ f ′x ）（＝＝ 0? a ＝ 3.（x ＋1 ）24（ 2013 ·湖州模拟）已知函数f （x ）＝－ x 3 ＋ax 在区间（－ 1， 1）上是增函数，则实数 a 的取值范围是[3 ，＋∞）Ｗ .由题意应有 f ′（x）＝－ 3x 22＋ a ≥ 0在，区间（－ 1 ，1）上恒建立，则 a ≥ 3x，x ∈（－ 1，1 ）恒建立，故 a ≥ 3.（ 2013 ·大连模拟）已知函数f（x）＝x 3＋mx 2＋（ m ＋6 ）x＋1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是（－∞，－3）∪（6，＋∞）Ｗ.f ′（x）＝ 3x2＋2mx ＋m ＋ 6＝ 0 有两个不等实根，即＋ 6）＞ 0. ∴ m6＞或 m ＜－ 3.三、解答题（共 10 分）＝ 4m 2－12 ×（m（2014 ·静安模拟）设函数f（x）＝ ln x － 2ax.（1 ）若函数 y＝ f（x）的图像在点（ 1 ，f （1））处的切线为直线l ，且直线l与圆（ x＋1 ）2＋y2＝1 相切，求 a 的值；（2 ）当 a＞0 时，求函数 f（ x）的单一区间 .1（1 ）依题意有 f ′（x）＝－2a，（2分）x所以过点（ 1 ， f （1 ））的直线的斜率为1 －2a ，又 f（1 ）＝－ 2a ，∴过点（1 ， f（1 ））的直线方程为 y＋2a ＝（ 1 －2a ）（x－ 1 ），即（ 2a －1）x ＋y＋1 ＝0，（4 分）又已知圆心为（－ 1 ，0），半径为 1 ，|1－2a ＋1|1∴＝1 ，解得 a＝ .（ 5 分）（2a －1）2＋12（2 ）依题意知 f（ x）＝ ln x －2ax 的定义域为（ 0 ，＋∞），1又知 f ′（x）＝－2a ，x11∵a＞0，x ＞0，令－2a＞0，则0＜x＜，（7分）x2a∴在x ∈0，1时， f （x）＝ ln x －2ax 是增函数，2a在 x ∈1，＋∞ 时， f （x）＝ ln x － 2ax 是减函数 .（10 分）2aB 组提优操练（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲2，5，9一、选择题（每题 5 分，共 20 分）2（2012 ·陕西高考）设函数f（x）＝＋ln x ，则（D ）x11A. x ＝为 f（ x）的极大值点B. x ＝为 f （x）的极小值点22C. x＝2 为 f （x）的极大值点D. x＝2 为 f （x）的极小值点221∵f （x）＝x＋ ln x （x＞0），∴f′（x）＝－x2＋x .由 f ′（x）＝ 0 解得 x＝2.当 x＞ 2 时， f ′（x）＞ 0，当 x＜2 时， f ′（x）＜0.故x＝2 为 f （x）的极小值点 .（ 2014 ·长对联考）已知定义在R 上的函数 f （x），其导函数f′（x）的大概图像如下图，则以下表达正确的选项是（C）A.f （b ）＞ f （ c）＞ f（ d）B.f （b ）＞ f （a）＞ f （ e）C.f （c）＞ f （b ）＞ f（a）D.f （c）＞ f（e）＞ f （d ）依题意得，当 x ∈（－∞，c）时， f ′（x）＞ 0；当 x ∈（c，e）时， f ′（x）＜0；当 x ∈（e，＋∞）时， f′（x）＞ 0.所以，函数 f（ x）在（－∞， c）上是单一增函数，在（ c， e）上是单一减函数，在（ e，＋∞）上是单一增函数，又a＜b ＜c，∴f （c）＞ f （b ）＞ f（a），选 C.1（2012 ·长春调研）若a＞ 2，则函数 f（ x）＝ x3－ax 2＋1 在（ 0 ，2）内3零点的个数为（ C）A.3B.2C.1D.0依题意得 f ′（x）＝ x2－2ax ，由 a＞2 可知，f′（x）在 x ∈（0 ，2 ）时恒11为负，即 f（ x）在（ 0，2 ）内单一递减，又 f （0 ）＝ 1＞0 ， f （2）＝－4a3＜ 0，所以 f （x）在（ 0，2 ）内只有一个零点，应选 C.定义域为（－∞， 0 ）∪（ 0，＋∞）的偶函数 f（x）在区间（ 0，＋∞）上的图像如下图，则不等式 f （x）f ′（x）＞ 0 的解集是（B）A.（－∞， 0）∪（ 0，1）B. （－1，0）∪（ 1，＋∞）C. （－∞，－ 1）∪（ 1，＋∞）D. （－1，0）∪（ 0，1）f （x）的图像如图，当x＞ 0， f ′（x）＞ 0，若 f（x）· fx′）（＞ 0 ，则只需 f（ x）＞ 0 ，由图得 x ∈（1，＋∞） .当 x＜0， f ′（x）＜ 0 ，若 f （x）·f′（x）＞ 0，则只要 f （ x）＜ 0，由图得 x ∈（－ 1 ，0）.综上， x∈（－ 1，0 ）∪（ 1，＋∞） .二、填空题（每题 5 分，共 15 分）（ 2014 ·长春模拟）已知函数f （x ）＝x 3＋3mx 2 ＋nx ＋ m 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋ n ＝11 Ｗ.∵ f ′（ x ）＝3x 2 ＋ 6mx ＋ n ， ∴ 由已知可得f （－ 1 ）＝（－ 1 ）3 ＋ 3m ×（－1 ） 2＋ n ×（－1 ）＋ m 2 ＝0 ，m ＝ 1， f ′（－1）＝3 ×（－1）2＋ 6m ×（－1）＋ n ＝0， ∴或n ＝3m ＝2 ， m ＝1 ，n ＝9. 当时， f ′（x ）＝ 3x 2 ＋6x ＋3＝3 （x ＋1）2≥0 恒建立与 x ＝n ＝ 3m ＝2 ，－ 1 是极值点矛盾，当时， f ′（x ）＝ 3x 2＋12x ＋9 ＝3（x ＋1 ）·（x ＋n ＝93 ），明显 x ＝－ 1 是极值点，切合题意，∴ m ＋n ＝11.（ 2014 ·枣庄模拟）已知函数f （x ）＝ aln x ＋ x 在区间 [2 ，3] 上单一递加，则实数 a 的取值范围是[－2，＋∞）Ｗ.aa ∵ f （x ）＝aln x ＋ x ，∴f ′（x ）＝＋ 1.又 f （x ）在[2 ，3] 上单一递加，∴ ＋xx 1 ≥0在 x ∈ [2 ，3] 上恒建立 . ∴ a ≥x （）－max ＝－ 2.∴a ∈ [－2 ，＋∞） .已知函数 f （x ）＝－ x 3 ＋ax 2 －4 在 x ＝2 处获得极值，若 m ∈ [ －1，1] ，则 f （ m ）的最小值为－4 Ｗ.求导得 f ′x （）＝－3x 2＋ 2ax ，由 f （x ）在 x ＝ 2 处获得极值知 f ′2（）＝0 ，即－ 3 × 4 ＋ 2a ×02，＝故 a ＝3.由此可得 f （ x ）＝－ x 3 ＋3x 2 －4， f ′（x ）＝－3x 2＋ 6x.由此可得 f （ x ）在（－ 1 ，0 ）上单一递减，在（ 0 ，1 ）上单一递加，∴对 m ∈ [ －1，1] 时， f （ m ）min ＝f （ 0 ）＝－ 4.三、解答题（共 15 分）（7分）（ 201413·张家口模拟）设f（x）＝ aln x ＋＋ x＋ 1 ，此中 a∈R，2x2曲线 y＝f （x）在点（ 1， f （1））处的切线垂直于 y 轴.（1 ）求 a 的值；（2 ）求函数 f （x）的极值 .13a13（1 ）∵ f x（）＝ aln x ＋2x＋2x＋ 1，故 f ′（x）＝x－2x2 ＋2.（2 分）因为曲线 y＝ f（x ）在点（ 1， f （1））处的切线垂直于y 轴，故该切线斜13（4率为 0，即 f ′（1）＝0 ，进而 a－＋＝ 0，解得 a＝－ 1.分）221311（2 ）由（ 1）知 f （x）＝－ ln x ＋＋ x＋ 1（ x＞ 0 ）， f′（x）＝－－2x 22x2x3 3x 2－2x －1 （3x ＋1）（ x－1 ）＋＝＝2x 2.22x 21令 f ′（x）＝ 0 ，解得 x1＝1 ， x2＝－（舍去） . 3当 x ∈（0 ，1）时， f ′（x）＜ 0，故 f （x）在（ 0， 1 ）上为减函数；当 x ∈（1 ，＋∞）时， f′（x）＞ 0，故 f （x）在（ 1 ，＋∞）上为增函数 .故 f（x）在 x＝1 处获得极小值 f （1）＝ 3.（ 7 分）3x（8 分）（ 2014 ·镇江模拟）已知函数f（x）＝－2x2＋ln x，此中a为常a数 .（1 ）若 a＝1 ，求函数 f （x）的单一区间；（2 ）若函数 f （x）在区间 [1 ， 2] 上为单一函数，求a 的取值范围 .（1 ）若 a＝ 1，则 f （x）＝ 3x －2x2＋ln x ，定义域为（ 0，＋∞）， f ′（x）1 － 4x2 ＋3x ＋1－（ 4x ＋1 ）（ x － 1）＝－ 4x ＋3＝＝（x ＞0 ）.（ 2分） x xx当 f ′（x ）＞ 0 ，x ∈（ 0，1 ）时，函数 f （x ）＝ 3x － 2x 2 ＋ln x 单一递加 . 当 f ′（x ）＜ 0 ，x ∈（ 1，＋∞）时，函数 f （x ）＝ 3x －2x 2＋ ln x 单一递减 .故函数 f （x ）的单一增区间为（ 0 ，1 ），单一减区间为（ 1 ，＋∞） .（ 4 分）3 1（2 ） f ′x （）＝－ 4x ＋，若函数 f （x ）在区间 [1 ，2] 上为单一函数，即在a x3 1 3 1 3[1 ， 2] 上， f ′（x ）＝－ 4x ＋ ≥0或 f ′（x ）＝ a －4x ＋ ≤0恒建立，即 ≥ 4xa x x a 1 3 1－或 ≤ 4x －在[1 ， 2] 上恒建立 .（6 分）x a x13 3 令 h （ x ）＝ 4x －，∵函数 h （x ）在 [1 ，2] 上单一递加，∴ ≥h （2）或 ≤hxa a3 15 3 2（1），即 ≥ 或 ≤ 3 ，解得a ＜0 或 0＜ a ≤或 a ≥ 1.a 2 a 52即 a 的取值范围为（－∞， 0）∪ 0， ∪[1 ，＋∞） .（8 分）5。

2025版高考数学一轮总复习单元检测第三章一元函数的导数及其应用

单元检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列求导运算正确的是（C）A. B.C. D.解：对于,，故不正确.对于,，故不正确.对于,，故正确.对于,，故不正确.故选.2. 函数，则的单调递增区间是（B）A. B. C. D.解：函数的定义域为，求导得.由，解得.所以的单调递增区间是.故选.3. 曲线在,处的切线方程为（C）A. B. C. D.解：,.所以曲线在,处的切线方程为，即.故选.4. 函数的微小值点为（D）A. B. C. D.解：由题意，得的定义域为..令，得；令，得.所以在,上单调递减，在,上单调递增.所以函数在处取得微小值．故选.5. 在区间上有（B）A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值解：，单调递增，在上有最小值，最大值 .故选.6. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（D）A. B.C. D.解：由题图，可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.所以当时，；当时，.由，可得或所以.故选.7. 已知函数，若,,，则,,的大小关系是（D）A. B. C. D.解：易知的定义域为，且，所以为偶函数.当时，，则，所以在上单调递增.又，，所以.所以，即.故选.8. 依据以往阅历，一超市中的某一商品每月的销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（B）A. 8 600元B. 8 060元C. 6 870元D. 4 060元解：设超市每月销售该商品所获得的利润为元.则，..令，得，则在上单调递增；令，得，则在上单调递减.所以.故选．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（AD）A. B. 是的微小值点C. 函数在上有极大值D. 是的极大值点解：由的图象，可知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.因此有，是的极大值点，所以选项,正确.当或时，，函数单调递增.因此函数在上没有极大值，且不是的微小值点，所以选项,错误.故选.10. 已知函数，则（ACD）A. 为其定义域上的增函数B. 为偶函数C. 的图象与直线相切D. 有唯一的零点解：的定义域为，，所以为上的增函数，正确.，故为奇函数，错误.,，故在原点处的切线方程为，正确.为上的增函数，，所以有唯一的零点，正确.故选.11. 已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则（ABC）A. B.C. D.解：依据导函数的图象，可知.当时，,当时，,当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故其大致图象如图所示.则有,所以，故正确.所以，故正确.由的图象，结合,知，，,所以，故正确.因为，所以.又在上单调递增，所以，故错误.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. [2024年全国Ⅲ卷]设函数.若，则1.解：，则，整理得，解得.故填1.13. 已知函数,，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则解：由题意，得，.因为,的图象在公共点处有相同的切线，所以即解得所以.故填.14. 已知函数，则的最小值为3．解：.当时，单调递增，.当时，，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.综上，.故填3．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）求下列函数的导数：（1）；解：.（2）.[答案].16. （15分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；解：由题意,得，.因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.[答案]因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，故.当时，的最大值为.故的取值范围是.17. （15分）设函数.（1）求函数的解析式；解：，所以.（2）求函数的单调区间，极大值，微小值.[答案]令，解得或.因为，所以.当变更时，,变更状况如下.0 - 0极大值微小值所以的单调递增区间为,，单调递减区间为.的极大值为，微小值为.18. （17分）已知函数在处的极值为2，其中.（1）求，的值；解：，由题意，可得解得,.（2）证明：对随意的，.证明：.令，，则.令，则恒成立，所以在上单调递减，且，所以时，，所以，即证.19. （17分）已知函数．（1）求证：.解：证明：由题意，得.令，则.令，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，即．（2）设，若在区间内恒成立，求的最小值．[答案]若在区间内恒成立，则.令，可得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以，因此.故的最小值为1．。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题单元测试含答案一、导数及其应用多选题1．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错；不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确；由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+，例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >，所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确．故选：BD ．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-，且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解，即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错，故选：ABC ．【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++=B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.7．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．8．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（） A ．10m e<【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增；当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<；函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1151x ⎫--∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y xx=--和12xxye-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x，2x和3x，4x分别是11m xx=--和12xxme-=-的两个根，即y m=与11y xx=--和12xxye-=-交点的横坐标.对于函数11y xx=--，定义域为{}0x x≠，21'10yx=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x=时，1y=-；对于函数12xxye-=-，11'xxye--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y→+∞→-，0x=时，2y=-，1x=时，1y=-；故作出函数11y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题及答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.2．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-，且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =，所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.3．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A ．()()()m x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =-【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.4．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确；由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=，令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减，所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=，所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 04f -⎛⎫'-= ⎪⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=， ()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.7．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x x g x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性.【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln x g x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.8．设函数()ln x f x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥ D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln x f x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>，所以，()()4ff π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>，所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误；对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=，则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章导数及其应用第3讲含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案－612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案－75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案－1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

【最新】江苏省高三数学一轮典型专题训练：《导数及其应用》(含解析)

江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；（3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．（1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值；（II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值；（3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月））已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈．（1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟）设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0，所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0．所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5，所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)．因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0，又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0，所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分（2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-，记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分（3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。

专题5 导数及其应用-2019届高考文科数学一轮复习专题测试卷

专题5 导数及其应用跟踪知识梳理考点梳理： 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． (3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(a ＞0且a ≠1)3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4. 函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，则(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增．(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(3)若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间内是常函数．5. 函数极值的概念函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．6．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．7．极值与最值的区别与联系(1)区别(2)联系①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． ②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 8．生活中的优化问题生活中的优化问题一般涉及利润最大、效率最高、耗能最低、投资最少等最值问题．在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．核心能力必练一、选择题1．(2018河南新乡二模,10)若函数y =()ln f x x在(1,+∞)上单调递减,则称f (x )为P 函数.下列函数中为 P 函数的为 ( )①f (x )=1;②f (x )=x ;③f (x )=1x;④f (x . A.①②④ B.①③ C.①③④ D.②③ 【答案】B2．(2016聊城模拟)已知函数y =xf '(x )的图象如图所示(其中f '(x )是函数f (x )的导函数),则下面四个图象中,y =f (x )的图象大致是 ( )【答案】C【解析】由题图知当0<x<1时,xf '(x)<0,此时f '(x)<0,函数f(x)递减.当x>1时,xf '(x)>0,此时f '(x)>0,函数f(x)递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值.当x<-1时,xf '(x)<0,此时f '(x)>0,函数f(x)递增,当-1<x<0时,xf '(x)>0,此时f ' (x)<0,函数f(x)递减,所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.3．已知函数()f x的导函数为()f x'，且满足()()21lnf x xf x'=+，则()1f'=（）A．e- B．1- C．1 D．e 【答案】B【解析】()()()()()121121111f x f f f fx'''''=+⇒=+⇒=-，故选B.4．曲线e1xy=+在点()1,e1+处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.29e4B.22e C.2e D.12e 【答案】D5．已知直线y ax=是曲线lny x=的切线，则实数a=（）A.12【答案】C【解析】设切点为00(,ln)x x，则切线方程是000001ln()ln1xy x x x y xx x-=-⇒=+-，C.6．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线20x y --=的最短距离为（）【答案】D7．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（）A ．1 BCD【答案】B【解析】当直线平行于直线2y x =-且与曲线2ln y x x =-相切时，切点到直线2y x =-的距离最小，求)1,1(，点)1,1(到直线2y x =-的距离为2. 8)(a f ，则a 等于（） A．161 B ．443 C ．41D ．843【答案】B【解析】因为2(1)()23f f x x ''=--，所以2(1)1(1)232f f ''=-⨯-，解得3(1)2f '=-，所以()2f xx '=-=，令()0f x '>，解得0x <<，令()0f x '<，解得x >，所以max ()f x f =，故选B.9．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（()f x '是函数()f x 的导函数）成立．若11sin sin 22a f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()ln 2ln 2b f =⋅，112211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】易知()x f 的图象关于y 轴对称，设()()x xf x F =，当()0,∞-∈x 时，()()()0<'+='x f x x f x F ，()x F ∴在()0,∞-上为减函数，且()x F 为奇函数，()x F ∴在R 上是递减函数.1π10sin sin 262<<=，()11221111ln 21,log 21,sin ln 2log 2424F F F ⎛⎫⎛⎫=<<=>∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c b a >>,故选A. 10．设函数()()e 21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D11．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞【答案】B【解析】 ()21ln 2f x x ax bx =--,0>∴x ,()b ax xx f --='1,由()01='f 得a b -=1，()1f x x'∴=()()111ax x ax a x +--+-=-，当0≥a 时，由()0='x f ，得1=x ，当10<<x 时，()0>'x f ，此时()x f 单调递增；1>x 时，()0<'x f ，此时()x f 单调递减，所以1=x 是()x f 的极大值点．当0<a 时，由()0='x f ，得1=x 或a x 1-=．1=x 时()x f 的极大值点，11>-∴a，解得01<<-a ．综合得，a 的取值范围时1->a ．故选B ．12．设函数3()e (33)e x xf x x x a x =-+--（2x ≥-），若不等式()0f x ≤有解，则实数a 的最小值为（）A ．21e + 【答案】A13．已知a ∈R ，若()()e xaf x x x=+在区间()0,1上只有一个极值点，则a 的取值范围为（）A ．0a >B ．1a ≤ C. 1a > D. 0a ≤ 【答案】A()a ax x x x h -++=23，则()a x x x h ++='232，当0>a 时，()0>'x h 在()1,0上恒成立，即函数在()1,0上为增函数，而()00<-=a h ，()021>=h ，则函数()x h 在区间()1,0上有且只有一个零点0x ，使()00='x f ，且在()0,0x 上，()0<'x f ，在()1,0x 上()0>'x f ，故0x x =为函数()x f 在()1,0上唯一的极小值点；当0=a 时，()0232>+='x x x h 在区间()1,0上恒成立，则函数()x h 在区间()1,0上为增函数，又()00=h ，所以()0>x h 在区间()1,0上恒成立，所以()x f 在区间()1,0上无极值；当0<a 时，()()12323-++=-++=x a x x a ax x x x h ，因为()1,0∈x ，所以总有()0>x h 成立，即()0>'x f 成立，故函数()x f 在区间()1,0上为单调递增函数，所以函数()x f 在区间()1,0上无极值.综上，0>a ，故选A.14,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】C15．已知定义在()+∞,0上的函数()x f ，满足：（1）()0>x f ；（2）()()()x f x f x f 2<'<（其中()x f '是()x f的导函数），则()()21ff的取值范围为（）()e,2e D.()3e,e 【答案】B二、解答题16．(2018广东肇庆二模,21)已知函数f(x)=x ln x+(1-k)x+k,k∈R.(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当x>1时,求使不等式f(x)>0恒成立的k的最大整数值.【答案】（1）单调递增区间为1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭,单调递减区间为10,e⎛⎫⎪⎝⎭（2）3【解析】(1)当k=1时, f(x)=x ln x+1,∴f '(x)=ln x+1,由f '(x)>0,得x>1e;由f '(x)<0,得0<x<1e.∴f(x)的单调递增区间为1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭,单调递减区间为10,e⎛⎫⎪⎝⎭.∴存在x 0∈(3,4),使μ(x 0)=0,即x 0-2=ln x 0, ∴当x ∈(1,x 0)时,g '(x )<0,此时函数g (x )单调递减, 当x ∈(x 0,+∞)时,g '(x )>0,此时函数g (x )单调递增, ∴g (x )在x =x 0处有极小值(也是最小值), ∴g (x )min =g (x 0) =x 0∈(3,4),又k <g (x )恒成立,∴k <g (x )min =x 0,∴k 的最大整数值为3. 17．已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3 【答案】(1) 当1p ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增，当0p ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，当01p <<时，()f x (2)1k ≥ (3)证明见解析【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1p ≥时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上单调递增；当0p ≤时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞上单调递减；当01p <<时，令()0f x '=，解得x =，则当时， ()0f x '>；当x 时，()0f x '<，故()f x递减．(3)证明：取1,11=+=kx ，则x x ≤+ln 1，可得nn n 1ln )1ln(≤-+，取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=，并将上述各 18．已知函数2()4ln 1f xx ax x a =-+--+（a ∈R ）．（1）若1()(2)02f f +=，求a 值；（2）若存在03(1,2x +∈，使函数()f x 的图象在点00(,())x f x 和点0011(,())f x x 处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[1,)x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．【答案】(1)92a =(2) (3)存在，[34ln 2,)-+∞ 【解析】（1）由1()(2)02f f +=，得111(4ln 1)(424ln 21)0422a a a a -+--++-+--+=，解得92a =．（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，()42f x x a x'=-+-，000042(2)(4)1a x a x x x ----=-，整理得220000116()8()50a x a x x x -++++=，设001t x x =+，由03(1,2x ∈得(2,3)t ∈，则228650t at a -++=，令22()865g t t at a =-++，则()g t 在(2,3)t ∈上有零点，又22(2)32125(6)10g a a a =-++=-+>，所以323,83()08a a g ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或33,8(3)0,a g ⎧≥⎪⎨⎪<⎩解得8a ≤<或811a ≤<，所以a的取值范围是．当1(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 递减；当12(,)x x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 递增；当2(,)x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 递减．结合②可得22222()()4ln 1f x f x x ax x a ==-+--+极大值22222224244ln 21x x x x x =-++---+22222424ln 5x x x x =---+，2x ∈，设24()24ln 5h x x x x x=---+则，所以()h x在2)上递增，所以2)()(2)h fx h <<，又22l n 2，(2)34ln 20h =->，所以2()(72ln 2,34ln 2)f x ∈---．又(1)0f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，故存在满足条件的m ，m 的取值范围为[34ln 2,)-+∞． 19k 为常数，e 是自然对数的底数）在点1x =处取极值. （1）求k 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.【答案】（1）1k =，增区间为()0,1，减区间为()1,+∞（2）证明见解析（2当1x ≥时，()201e g x -≤<+恒成立.当01x <<只需证()21ln e 1exx x x ---<+，令()()1ln ,0,h x x x x x =--∈+∞，则()()()2ln 2ln ln e ,0,h x x x x -'=--=--∈+∞，因此，当()20,e x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()2e ,x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减.所以()h x 的最大值为()22e 1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.当01x <<时，()22e 1e 1e x --+>+，所以()221ln 1e e 1e x x x x ----≤+<+，因此对任意0x >，()21e g x -<+. 20．已知函数()ln ()f x x mx m =-∈R ．（1）若曲线()y f x =过点(1,1)P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212e x x >．【答案】（1）1y =- （2时，max ()1e f x m =-max ()ln 1f x m =--，当1m ≥时，max ()f x m =- （3）证明见解析【解析】（1）因为点(1,1)P -在曲线()y f x =上，所以1m -=-，解得1m =．所以()ln f x x x =-，()11,f x x '=-所以1(1)101f '=-=，所以切线的斜率为0，所以切线方程为1y =-．④当101<≤，即1m ≥时，()0f x '<，函数()f x 在(1,e)上单调递减，则max ()(1)f x f m ==-．时，max ()1ef x m =-；当max ()ln 1f x m =--；当1m ≥时，max ()f x m =-．即证明1122122()lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，于是证明2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln 1t f t t t -=-+（1t >），故函数()f t 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0f t f >=，即2(1)ln 1t t t ->+成立，所以原不等式成立． 21．已知函数()ln f x x a x =+，其图象在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x b x=+-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．【答案】（I ）1a = （II ）3ln 24- 【解析】（Ⅰ）()ln f x x a x =+切线与直线20x y +=垂直，()112k f a '==+=∴，1a=∴．设()1201x t t x =<<，()()11ln 012h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，()h t ∴在()0,1上单调递减，又72b ≥，()22514b -≥∴，即()2221212121254x x x x t x x t ⎛⎫+⎛⎫+==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2t ≥或12t ≤，01t <<，102t <≤∴，()13ln 224h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故所求的最小值是3ln 24-．。

高考数学(文科)一轮复习基础知识检测导数的应用 Word版含解析

导数的应用．当≠时，有不等式( )．<＋．当>时，<＋，当<时，>＋．>＋．当<时，<＋，当>时，>＋．函数()＝＋－在(π)上是( )．增函数．减函数．在(，π)上增，在(π，π)上减．在(，π)上减，在(π，π)上增．图－都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )．①②．①③．③④．①④．若函数＝＋有极值，则实数的取值范围是．．设′()是函数()的导函数，将＝′()和＝()的图像画在同一个直角坐标系中( )．若函数()＝－＋有个不同的零点，则实数的取值范围是( )．(－) ．[－]．(－∞，－) ．(，＋∞)．下列不等式在(，＋∞)上恒成立的是( )．>．>．>．>＋．某公司生产某种产品，固定成本为元，每生产一单位产品，成本增加元，已知总营业收入与年产量的关系是＝()＝(\\(－()(≤≤(，(>(，))则总利润最大时，每年生产的产品数是( )．．．．．函数()＝＋－＋＋的图像经过四个象限，则实数的取值范围是( )．－<<．－<<－．－<<－．－<<－．已知函数()＝－＋(>)的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是．．某公司租地建仓库，每月土地占用费(万元)与仓库到车站的距离(千米)成反比，而每月库存货物的运费(万元)与到车站的距离(千米)成正比，如果在距离车站千米处建仓库，和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．．已知函数()＝′＋，则′的值为．．函数＝()在定义域内可导，其图像如图－，记＝()的导函数为＝′()，则不等式′()≤的解集为．．(分)已知函数()＝＋，曲线＝()在点(，())处的切线方程为＋－＝.()求，的值；。

2021版高考文科数学一轮复习单元质检卷三导数及其应用

1单元质检卷三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019四川内江一模,10)若函数f (-x )=-√3x 3+ln x-x ,则曲线y=f (x )在点(-1,f (-1))处的切线的倾斜角是( )A.πB.πC.2πD.5π2.函数f (x )=x 2+x-ln x 的零点的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.函数f (x )=x 2-1e x 的图象大致为()4.(2019辽宁丹东质检)若x=1是函数f (x )=13x 3+(a+1)x 2-(a 2+a-3)x 的极值点,则a 的值为( ) A.-2 B.3 C.-2或3D.-3或25.(2019广东揭阳二模,10)以下四个数中,最大的是()2A.ln √33B.1eC.lnππD.√15ln15306.已知函数f (x )=x 2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g (x )=x 2-a ln x 在(1,2)上为增函数,则a 的值等于 ( )A.1B.2C.0D.√27.“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x+ax+1x 在[1,+∞)上为单调函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2019甘肃张掖联考一,12)已知函数f (x )={cos(π2+x),x ≤0,e x-1,x >0,若f (x )≥ax-1恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,+∞) B.[0,e] C.[0,1] D.[e,+∞)9.(2019四川内江一模,12)设函数f (x )在R 上存在导数f'(x ),对任意的x ∈R ,有f (-x )-f (x )=0,且x ∈[0,+∞)时,f'(x )>2x.若f (a-2)-f (a )≥4-4a ,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)10.(2019河南郑州三模,12)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),∀x∈R,有f(x)-f(-x)=x3,在(0,+∞)上有2f'(x)-3x2>0,若f(m-2)-f(m)≥-3m2+6m-4,则实数m的取值范围为()A.[-1,1]B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)11.(2019安徽合肥市一模,12)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2,若不等式λ>f(x1)+f(x2)恒成立,则实数λ的取值范围是()A.[-3,+∞)B.(3,+∞)C.[-e,+∞)D.(e,+∞)12.(2019山西晋城二模,12)已知函数f(x)=x2-3x+5,g(x)=ax-ln x,若对∀x∈(0,e),∃x1,x2∈(0,e)且x1≠x2,使得f(x)=g(x i)(i=1,2),则实数a的取值范围是()A.(1e ,6 e )B.1e,e74C.0,1e ∪6e,e74D.6e,e74二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019广东适应性考试)已知函数f(x)=a e x+b(a,b∈R)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1,则a-b=.314.(2019天津南开模拟)已知函数f(x)=e x-1e x -2cosπ2-x,其中e为自然对数的底数,若f(2a2)+f(a-3)+f(0)<0,则实数a的取值范围为.15.(2019河北武邑中学期末,16)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.16.已知f(x)=x+x ln x,若k(x-2)<f(x)对任意x>2恒成立,则整数k的最大值为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019江西九江一模,21)已知函数f(x)=x2-(2a-1)x-a ln x(a∈R).(1)试讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)存在最小值f(x)min,求证:f(x)min<34.4518.(14分)(2019山东潍坊二模,21)已知函数f (x )=x e x -a ln x (无理数e =2.718…). (1)若f (x )在(0,1)单调递减,求实数a 的取值范围;(2)当a=-1时,设g (x )=x (f (x )-x e x )-x 3+x 2-b ,若函数g (x )存在零点,求实数b 的最大值.19.(14分)(2019山师大附中模拟)已知函数f (x )=1-lnxx ,g (x )=aee x +1x -bx (e 为自然对数的底数),若曲线y=f (x )与曲线y=g (x )的一个公共点是A (1,1),且在点A 处的切线互相垂直. (1)求a ,b 的值;(2)求证:当x ≥1时,f (x )+g (x )≥2x .620.(14分)(2019山东泰安二模,20)已知函数f (x )=(x-m )ln x (m ≤0). (1)若函数f (x )存在极小值点,求m 的取值范围; (2)当m=0时,证明:f (x )<e x -1.21.(14分)(2019山东青岛二模,21)已知函数g (x )=lnxx -m (m<0),h (x )=2x+m . (1)若g (x )在(0,e 2]上为单调递增,求实数m 的取值范围;(2)若m=-1,且f (x )=g (x )·h (x ),求证:对定义域内的任意实数x ,不等式f (x )<1x 恒成立.7参考答案单元质检卷三导数及其应用1.B 因为f (x )=√33x 3+ln(-x )+x ,所以f'(x )=√3x 2+1x +1,因此k=f'(-1)=√3,倾斜角为π3.故选B. 2.A 由f'(x )=2x+1-1x =2x 2+x -1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0<x<12时,f'(x )<0,f (x )单调递减;当x>12时,f'(x )>0,f (x )单调递增.则f (x )的最小值为f (12)=34+ln 2>0,所以f (x )无零点. 3.A 函数f (x )=x 2-1e x 不是偶函数,可以排除C,D,又令f'(x )=-x 2+2x+1e x =0,得极值点为x 1=1-√2,x 2=1+√2,所以排除B,选A .4.B 由f (x )=13x 3+(a+1)x 2-(a 2+a-3)x ,得f'(x )=x 2+2(a+1)x-(a 2+a-3), 由题意可知f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a 2+a-3)=0,得a=3或a=-2, 当a=3时,f'(x )=x 2+2(a+1)x-(a 2+a-3)=x 2+8x-9=(x+9)(x-1),当x>1或x<-9时,f'(x )>0,函数单调递增;当-9<x<1时,f'(x )<0,函数单调递减, 显然x=1是函数f (x )的极值点;当a=-2时,f'(x )=x 2+2(a+1)x-(a 2+a-3)=x 2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数f (x )是R 上的单调递增函数,没有极值,不符合题意,舍去.故a=3.故选B . 5.B 构造函数f (x )=lnxx ,则ln √33=f (3),1e =f (e),lnππ=f (π),√15ln1530=f (√15),由f'(x )=1-lnxx 2知函数f (x )在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以当x=e 时,f (x )有最大值.故选B .86.B ∵函数f (x )=x 2-ax+3在(0,1)上为减函数,∴a 2≥1,得a ≥2.又g'(x )=2x-ax ,依题意g'(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立,得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立,有a ≤2,∴a=2. 7.A f'(x )=1x +a-1x 2=ax 2+x -1x2,∴ax 2+x-1≥0对x ∈[1,+∞)恒成立,或ax 2+x-1≤0对x ∈[1,+∞)恒成立,a ≥(1-xx 2)max或a ≤(1-xx 2)min,记g (x )=1-xx 2,则g'(x )=-x 2-2x (1-x )x 4=x (x -2)x 4,则单调递减区间为[1,2],单调递增区间为[2,+∞),当x>1时,g (x )<0,∴(1-xx 2)max=g (1)=0,(1-xx 2)min=g (2)=-14,∴a ≥0或a ≤-14.故选A .8.B 由题意可以作出函数y=f (x )与y=ax-1的图象,如图所示.若不等式f (x )≥ax-1恒成立,必有0≤a ≤k ,其中k 是y=e x -1过点(0,-1)的切线斜率.设切点为(x 0,e x 0-1),因为y'=e x,所以k=ex 0=(e x 0-1)-(-1)x 0-0,解得x 0=1,所以k=e,故0≤a ≤e .9.A 设G (x )=f (x )-x 2,则G'(x )=f'(x )-2x ,x ∈(0,+∞)时, G'(x )=f'(x )-2x>0,G (-x )=f (-x )-(-x )2=f (x )-x 2=G (x ),∴G (x )为偶函数,∴G (x )在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 所以f (a-2)-f (a )≥4-4a ,可得f (a-2)-4+4a-a 2≥f (a )-a 2,∴f (2-a )-(a-2)2≥f (a )-a 2,即G (a-2)≥G (a ),∴|a-2|≥|a|, ∴a ≤1.故实数a 的取值范围为(-∞,1].910.B 令g (x )=f (x )-1x 3,∴g (x )-g (-x )=f (x )-12x 3-f (-x )-12x 3=0, ∴函数g (x )为偶函数,∵x ∈(0,+∞)时,g'(x )=f'(x )-32x 2>0, ∴函数g (x )在(0,+∞)上是增函数, ∴函数g (x )在(-∞,0)上是减函数,∴f (m-2)-f (m )=g (m-2)+12(m-2)3-g (m )-12m 3=g (m-2)-g (m )-3m 2+6m-4≥-3m 2+6m-4, ∴g (m-2)≥g (m ), ∴|m-2|≥|m|, 解得m ≤1,∴实数m 的取值范围为(-∞,1]. 11.A 由已知得f'(x )=2ax-2+1x=2ax 2-2x+1x,结合x>0,令h (x )=2ax 2-2x+1,要使得f (x )存在两个不同的极值点x 1,x 2,则要求h (x )=0有两个不同的根,且x 1+x 2=1a >0,x 1x 2=12a >0,则Δ=4-8a>0,解得0<a<12,而f (x 1)+f (x 2)=a x 12-2x 1+ln x 1+a x 22-2x 2+lnx 2=a (x 1+x 2)2-2ax 1x 2-2(x 1+x 2)+ln x 1x 2=-1a -ln 2a-1,构造新函数g (a )=-1a -ln 2a-1,计算导数得到g'(a )=1-aa 2,结合前面提到的a 的范围可知g (a )在0,12上单调递增,故g (a )<g 12=-3,因而λ≥-3.故选A . 12.D10∵f (x )=x 2-3x+5,x ∈(0,e),∴f (x )min =f (32)=114,f (x )<f (0)=5. 当x ∈(0,e)时,函数f (x )的值域为114,5. 由g'(x )=a-1x =ax -1x 可知:当a ≤0时,g'(x )<0,与题意不符,故a>0.令g'(x )=0,得x=1a ,则1a ∈(0,e),所以g (x )min =g 1a =1+ln a ,作出函数g (x )在(0,e)上的大致图象如图所示,观察可知{1+lna <114,g (e )=ae -1≥5,解得6e ≤a<e 74.13.3 由f (x )=a e x +b ,得f'(x )=a e x ,因为函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程是y=2x+1, 所以{f (0)=1=a +b ,f '(0)=2=a ,解得{a =2,b =-1,所以a-b=3.14.-32,1 ∵f (x )=e x -1e x -2cos π2-x =e x -1e x -2sin x ,∴f (-x )=e -x -1-x -2sin(-x )=-(e x -1x -2sin x )=-f (x ),f (x )是奇函数,且f (0)=0, 又∵f'(x )=e x +1e x -2cos x ,e x +1e x ≥2,2cos x ≤2,∴f'(x )≥0,∴f (x )在(-∞,+∞)上递增,∴f (2a 2)+f (a-3)+f (0)<0,化为f (2a 2)<-f (a-3)=f (3-a ), ∴2a 2<3-a ⇒-32<a<1.1115.[-6,-2] 不等式ax 3-x 2+4x+3≥0变形为ax 3≥x 2-4x-3.当x=0时,0≥-3,故实数a 的取值范围是R .当x ∈(0,1]时,a ≥x 2-4x -3x 3,记f (x )=x 2-4x -3x 3,f'(x )=-x 2+8x+9x 4=-(x -9)(x+1)x 4>0,故函数f (x )递增,则f (x )max =f (1)=-6,故a ≥-6.当x ∈[-2,0)时,a ≤x 2-4x -3x 3,记f (x )=x 2-4x -3x 3,令f'(x )=0,得x=-1或x=9(舍去), 当x ∈(-2,-1)时,f'(x )<0;当x ∈(-1,0)时,f'(x )>0,故f (x )min =f (-1)=-2,则a ≤-2.故实数a 的取值范围是[-6,-2].16.4 ∵x>2,∴k (x-2)<f (x )可化为k<f (x )x -2=x+xlnx x -2. 令F (x )=x+xlnx x -2,则F'(x )=x -2lnx -4(x -2)2.令g (x )=x-2ln x-4,则g'(x )=1-2x >0,故g (x )在(2,+∞)上是增函数,且g (8)=8-2ln 8-4=2(2-ln8)<0,g (9)=9-2ln 9-4=5-2ln 9>0;故存在x 0∈(8,9),使g (x 0)=0,即2ln x 0=x 0-4.故F (x )在(2,x 0)上是减函数,在(x 0,+∞)上是增函数;故F (x )min =F (x 0)=x 0+x 0·x 0-42x 0-2=x 02,故k<x 02,故k 的最大值是4.17.解 (1)f'(x )=(2x+1)(x -a )x ,①a ≤0时,f (x )>0在(0,+∞)上恒成立,故f (x )在(0,+∞)上递增,②a>0时,由f'(x )>0,解得x>a ,由f'(x )<0,解得0<x<a ,故f (x )在(0,a )上递减,在(a ,+∞)上递增.(2)由(1)知要使f(x)存在最小值,则a>0且f(x)min=a-a2-a ln a, 令g(x)=x-x2-x ln x(x>0),则g'(x)=-2x-ln x在(0,+∞)上递减,又g'1e=1-2e>0,g'12=ln 2-1<0,故存在x0∈1e,12使得g'(x0)=0,故g(x)在(0,x0)上递增,在(x0,+∞)上递减,∵g'(x0)=0,∴-2x0-ln x0=0,故ln x0=-2x0,故g(x)max=g(x0)=x0+122-1 4,又∵x0∈1e ,12,∴g(x)max=x0+122-14<12+122-14=34,故f(x)min<34.18.解(1)f'(x)=(x+1)e x-ax =(x2+x)e x-ax.由题意可得f'(x)≤0,x∈(0,1)恒成立.即(x2+x)e x-a≤0,也就是a≥(x2+x)e x在x∈(0,1)恒成立.设h(x)=(x2+x)e x,则h'(x)=(x2+3x+1)e x.当x∈(0,1)时,x2+3x+1>0.h'(x)>0在x∈(0,1)单调递增.∴h(x)<h(1)=2e.故a≥2e,故实数a的取值范围是[2e,+∞).(2)当a=-1时,f(x)=x e x+ln x,g(x)=x ln x-x3+x2-b,由题意:问题等价于方程b=x ln x-x3+x2,在(0,+∞)上有解.先证明:ln x≤x-1,设u(x)=ln x-x+1,x∈(0,+∞).u'(x)=1x-1=1-xx.可得x=1时,函数u(x)取得极大值,∴u(x)≤u(1)=0.因此ln x≤x-1,∴b=x ln x-x3+x2≤x(x-1)-x3+x2=-x(x2-2x+1)≤0.当x=1时取等号.∴实数b的最大值为0.19.(1)解因为f(x)=1-lnxx ,所以f'(x)=lnx-1x2,f'(1)=-1.因为g(x)=aee x+1x-bx,所以g'(x)=-aee x−1x2-b.1213因为曲线y=f (x )与曲线y=g (x )的一个公共点是A (1,1),且在点A 处的切线互相垂直, 所以g (1)=1,且f'(1)·g'(1)=-1,即g (1)=a+1-b=1,g'(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1.(2)证明由(1)知,g (x )=-e e x +1x +x ,则f (x )+g (x )≥2x ⇔1-lnx x −e e x −1x +x ≥0.令h (x )=1-lnx x −e e x −1x +x (x ≥1),则h'(x )=-1-lnx x 2+e e x +1x 2+1=lnx x 2+ee x +1.因为x ≥1,所以h'(x )=lnx x 2+ee x +1>0,所以h (x )在[1,+∞)上单调递增,所以h (x )≥h (1)=0,即1-lnx x −e e x −1x +x ≥0,所以当x ≥1时,f (x )+g (x )≥2x .20.(1)解函数的定义域为(0,+∞),f'(x )=x -m x +ln x=1-m x +ln x ,①当m=0时,f'(x )=0得x=1e ,当x ∈0,1e 时,f'(x )<0,当x ∈1e ,+∞时,f'(x )>0,∴x=1e 是函数f (x )的极小值点,满足题意.②当m<0时,令g (x )=f'(x ),g'(x )=m x 2+1x =x+mx 2,令g'(x )=0,解得x=-m ;当x ∈(0,-m )时,g'(x )<0;当x ∈(-m ,+∞)时,g'(x )>0.∴g (x )min =g (-m )=2+ln(-m ).当g (-m )≥0,即m ≤-e -2时,f'(x )=g (x )≥0恒成立, ∴f (x )在(0,+∞)上单调递增,无极值点,不满足题意.当g (-m )=2+ln(-m )<0,即-e -2<m<0时,g (1-m )=1-m1-m +ln(1-m )>0,∴g (-m )·g (1-m )<0.又g (x )在(-m ,+∞)上单调递增,∴g (x )在(-m ,+∞)上恰有一个零点x 1,14当x ∈(-m ,x 1)时,f'(x )=g (x )<0,当e ∈(x 1,+∞)时,f'(x )=g (x )>0,∴x 1是f (x )的极小值点,满足题意,综上,m 的取值范围为(-e -2,0].(2)证明当m=0时,f (x )=x ln x ,①当x ∈(0,1],e x -1>0,x ln x ≤0,∴f (x )<e x -1. ②当x ∈(1,+∞)时,令h (x )=e x -x ln x-1,h'(x )=e x -ln x-1,令φ(x )=h'(x ),则φ'(x )=e x -1x .∵φ'(x )在(1,+∞)上单调递增,∴φ'(x )>φ'(1)=e -1>0,∴φ(x )在(1,+∞)上单调递增,h'(x )=φ(x )>φ(1)=e -1>0,∴h (x )在(1,+∞)上单调递增,∴h (x )>h (1)=e -1>0,∴x>1时,x ln x<e x -1成立,综上f (x )<e x -1.21.(1)解由已知g (x )=lnxx -m (m<0)的定义域为(0,+∞),所以g'(x )=(lnx )'(x -m )-lnx (x -m )'(x -m )2=1-m x -lnx(x -m )2,因为g (x )在(0,e 2]上单调递增,所以对任意x ∈(0,e 2],都有g'(x )=1-m x -lnx(x -m )2≥0,所以1-m -ln x ≥0,所以m ≤1-ln x ,即m ≤x (1-ln x ),令h (x )=x (1-ln x ),h'(x )=-ln x ,所以当0<x<1时,h'(x )=-ln x>0;当x=1时,h'(1)=0,当x>1时,h'(x )<0,所以函数h (x )=x (1-ln x )在(0,1)上单调递增,在(1,e 2]上单调递减,因为0<x<1时,总有h(x)=x(1-ln x)>0,所以h(x)min=h(e2)=e2(1-ln e2)=-e2.所以m≤-e2,故实数m的取值范围是(-∞,-e2].(2)证明当m=-1时,f(x)=g(x)h(x)=lnxx+1·2x-1=2lnxx2.对定义域内的任意正数x,不等式f(x)<1x恒成立,即当x>0时,2lnxx2-1<1x.因为当x>1时,x2-1>0,当0<x<1时,x2-1<0,所以只需证:当x>1时,2x ln x<x2-1,当0<x<1时,2x ln x>x2-1.令G(x)=x2-1-2x ln x,所以G'(x)=(x2-1-2x ln x)'=2x-(2x ln x)'=2x-2ln x-2=2(x-ln x-1).令m(x)=x-ln x-1,则m'(x)=(x-ln x-1)'=1-1x=x-1x.所以x=1是m(x)的极值点,从而m(x)有极小值m(1)=0,所以G'(x)=2(x-ln x-1)>0恒成立.所以G(x)=x2-1-2x ln x在(0,+∞)上单调递增.又因为G(1)=0, 所以当x>1时,G(x)=x2-1-2x ln x>0,即2x ln x<x2-1恒成立; 当0<x<1时,G(x)=x2-1-2x ln x<0,即2x ln x>x2-1恒成立.所以,对定义域内的任意实数x,不等式2lnxx2-1<1x恒成立.15。

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导数的综合应用检测题一、选择题1．函数3)12(-=x y 的图象在)1,0(-处的切线的斜率是。

（） A.3 B.6 C.12 D. 1-2．函数331x x y -+=有。

（） A.极小值1-，极大值1； B. 极小值2-，极大值3； C. 极小值2-，极大值2； D. 极小值2，极大值33．函数44x x y -=，在]2,1[-上的最大、最小值分别为。

（） A. )1(),1(-f f B. )2(),1(f f C. )2(),1(f f - D.)1(),2(-f f4．下列结论中正确的是。

（） A ．导数为零的点一定是极值点B.如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C. 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D. 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值5．函数3)1(+=x y 当1-=x 时。

（）A. 有极大值B. 有极小值C.即无极大值，也无极小值D.无法判断6．已知1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为。

（） A. 21<<-a B. 63<<-a C. 21>-<a a 或 D.63>-<a a 或 7．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为。

（） A.(0,3) B. )3,(-∞ C. ),0(+∞ D. )23,0(8．函数59323+--=x x x y 的极值情况是。

（） A.在1-=x 处取得极大值，但没有最小值 B. 在3=x 处取得极小值，但没有最大值C.在1-=x 处取得极大值，在3=x 处取得极小值 D.既无极大值也无极小值9．下列结论正确的是。

（） A. 在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值B. 在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值C. 在区间[a,b]上,，函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到D. 一般地，在闭区间[a,b]上的连续函数)(x f 在[a,b]上必有最大值与最小值10．抛物线2x y =到直线02=--y x 的最短距离为。

（）A.2 B 。

827 C 。

22 D 。

以上答案都不对二、填空题11．已知函数2723+++=bx ax x y 在1-=x 处有极大值，在3=x 处极小值，则=a ，=b 。

12．已知函数qx px x x f y ++==23)(的图象与x 轴切于非原点的一点，且4-=极小y ，那么=p ，=q13．做一个容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为时，材料最省。

14. 已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，则a 的取值范围是三、解答题15．已知函数c bx ax x f y +-==35)(在1±=x 处有极值，且极大值是4，极小值是0，试求)(x f 的表达式。

16．设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x 。

若函数在2=x 处取得极值0，试求函数的单调区间。

17．已知函数]2,1[6)(23-+-==在b ax ax x f y 上的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值。

18.(05重庆文)设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R. （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值；（2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.19(08广东卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）20. （05山东卷）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<.（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.参考答案一、选择题1.B.解析：6',)12(62)12(3'022==∴-=⋅-==x y k x x y2.C. 解析：)1)(1(333'2-=-=+-=x x x y ，讨论),1(,1),1,1(,1),1,(∞----∞，得答案C3.B.解析：]43)21)[(1(4)1)(1(444'223++-=++-=-=x x x x x x y ，讨论点2),2,1(,1),1,1(,1--，得答案为B.4.B.解析：根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义5.C.解析：0'),1()1,(,10',)1(3'2>∞---∞-==+=y x y x y 上和但在得令，函数都单调递增，所以1-=x 不是极值点.6.D.解析：)6(23)('2+++=a ax x x f ，要使)(x f 有极大值和极小值，只需0)('=x f 有两个不同的根即可。

即：0)6(3442>+⨯-a a ，解得：63>-<a a 或7.D.解析： 32,023)('2ax a x x f ±==-=，由题意知只要230,1320<<<<a a 即 8.C.解析：13,0)1)(3(3963'2-===+-=--=x x x x x x y 或，见下表易知答案为C 。

9.D.解析：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，在闭区间上，函数的最值不一定在区间端点取得。

10.B 。

由21,1',2',2====x y x y x y 则令得，所以抛物线2x y =上点)41,21(到直线02=--y x 的最短距离，最短距离为827224121=--，故选B 二、填空题11．9,3--.解析：∴-=++=,31023'2和的两根为由题意b ax x y 由根与系数的关系得，9,3,331,3231-=-=∴=⨯--=+-b a ba 12．6，9．解析：q px x y ++=23'2，令切点)0,(a ，则0)()(2=++=q px x x x f 有两个相等实根a ，且0≠a ，∴222)()(,)(a x x x f a x q px x -=∴-=++)3)(()('a x a x x f --=，令,0)('=x f 得3a x a x ==或。

4)3(,40)(-==∴-≠==极小时，y af a f a x ，即3,42743-=-=a a ，∴9,6,)3(22==∴+=++q p x q px x13。

解析：设方底无盖水箱的底面边长为x 分米，高为h 分米，则2562=h x ，全面积4,8010242',10242422=∴==-=∴+=+=h x xx S x x xh x S ，得令，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省。

14．解析：)(x f 为三次多项式，从而)('x f 为二次函数。

若0)('=x f 无实数根或有重根，则)('x f 为非负或非正。

从而)(x f 是单调函数，不会有极值。

故若)(x f 有极值，则应是0)('=x f 有不同实根α、)(βαβ<，此时)('x f 在),(βα与在),(),(+∞-∞βα 上符号相反，所以)(x f 在α、β处取得极值，且一为极大一为极小。

综上所述，可知)(x f 有极大值又有极小值的充分必要条件是0)('=x f 有两个不同实根。

)2(363)('2+++=a ax x x f ，令0)('=x f 得方程0)2(3632=+++a ax x由0>∆得),2()1,(,020)2(4)2(22+∞--∞∈∴>-->+- a a a a a ，即15．解析：2435)('bx ax x f -=，∵函数c bx ax x f y +-==35)(在1±=x 处有极值，)1(5)(',035,0)1('22-=∴=-=±∴x ax x f b a f 即∵当)(')1,0()0,1(x f x x 时，或∈-∈的符号不变，∴0=x 不是)(x f 的极值点。

由题意得，⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=4)1(0)1(0)1(4)1(f f f f 或，解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=253253c b a c b a 或 253)(253)(3535+-=++-=∴x x x f x x x f 或16。

解析：∵函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点， ∴点,'),,0(0c yd P x == ∴曲线在P 点处的切线方程为d cx y +=由题设知，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x ，4,12-==∴d c 又函数在2=x 处取得极值0，9,2,0)2(',0)2(-==∴==∴b a f f)2)(1(6)(',41292)(23--=-+-=∴x x x f x x x x f由21,0)(';120)('<<<<>>x x f x x x f 得或，得所以函数)(x f 的单调递增区间为),2()1,(∞-∞和，单调递减区间为)2,1(。

17。

解析：)4(3123)('2-=-=x ax ax ax x f ，令40,0)('===x x x f 或得，若0>a ，则由20,0)('01,0)('<<<<<->x x f x x f 得；得，所以,3)0(=f 从而3=b 。