(参考)2019年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质文

（参考）2019年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质文1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度答案D解析由题意可知，y＝sin＝sin，则只需把y＝sin 2x的图象向右平移个单位，故选D.2．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)答案B解析由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y ＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A．11B．9C．7D．5答案B解析因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度答案A5．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为( )A. B.1633C．8 D．16答案B解析由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．则M(，－)，由两点间距离公式得，PM＝＝2，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得，＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝，由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，f(x)＝Asin(x－)，从而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝.6．义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．答案7解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f(x)＝2asinωx·cosωx＋2cos2ωx－ (a>0，ω>0)的最大值为2，x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元素，且|x1－x2|的最小值为6.(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．解(1)f(x)＝2asinωx·cosωx＋2cos2ωx－＝asin2ωx＋cos2ωx.由题意知f(x)的最小正周期为12，则＝12，得ω＝.由f(x)的最大值为2，得＝2，又a>0，所以a＝1.于是所求函数的解析式为f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，令x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝1＋6k(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1＋6k(k∈Z)．易错起源1、三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )A．(－，) B．(－，－)C．(－，－) D．(－，)(2)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．答案(1)A (2)－1解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos＝－，y＝sin＝.∴Q点的坐标为(－，)．(2)∵sinα＋2cosα＝0，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，又∵2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝，∴原式＝＝－1.【变式探究】(1)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.B.C.D.7π4(2)如图，以Ox为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.答案(1)D (2)1825解析(1)tanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.(2)由三角函数定义，得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝2cos αα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×2＝.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【锦囊妙计，战胜自我】1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f()的值为________．答案(1)B (2)1解析(1)∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．(2)根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函数过点(，2)，所以有sin(2×＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，因此f()＝2sin(＋)＝1.【变式探究】(1)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C 【名师点睛】(1)已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【锦囊妙计，战胜自我】 函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx＋φ，令z ＝0，，π，，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得． (2)图象变换：y ＝sinxy ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y ＝Asin(ωx＋φ)． 易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f(x)＝sinsinx －cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在上的单调性．解(1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．【变式探究】设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．解(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin(2x ＋)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝＝π，且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增．所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．【名师点睛】函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角函数的单调区间：y ＝sinx 的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；y ＝cosx 的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y ＝tanx 的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．2．y ＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．y ＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y ＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．1．若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )A.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.∪(k∈Z) C.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π D.∪(k∈Z) 答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足∪(k∈Z)，∵α∈[－2π，0]， ∴α的取值范围是∪. 故选A.2．函数f(x)＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为( )A ．y ＝cosB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cosD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3 答案 C解析 函数f(x)＝cos 的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋)－]＝cos(3x ＋)，故选C.3．已知tanα＝3，则的值为( ) A ．－ B ．－3 C. D ．3答案 A解析 ＝＝－＝－.4．已知角α的终边经过点A(－，a)，若点A 在抛物线y ＝－x2的准线上，则sinα等于( )A ．－ B.32C ．－ D.12答案 D解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A(－，a)在抛物线y ＝－x2的准线上，所以a ＝1，所以点A(－，1)，所以sinα＝＝.5.函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值为( )A．0 B．3 2C．6 D．－ 2答案A解析由图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，∴f(x)＝2sinx，∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝0.6．函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________．答案2＋ 37．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．答案[－，3]解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．8．已知α是三角形的内角，若sinα＋cosα＝，则tanα＝________.答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2α＋cos2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sinα>0， 所以所以tanα＝＝－.方法二 由已知得(sinα＋cosα)2＝， 化简得2sinαcosα＝－， 则可知角α是第二象限角，且(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝， 由于sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝， 将该式与sinα＋cosα＝联立， 解得所以tanα＝＝－. 9．已知函数f(x)＝cos.(1)若f(α)＝，其中<α<，求sin 的值；(2)设g(x)＝f(x)·f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值． 解 (1)因为f(α)＝cos ＝， 且0<α－<， 所以sin ＝.(2)g(x)＝f(x)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin·cos＝cos2x.x∈时，2x∈.则当x ＝0时，g(x)的最大值为； 当x ＝时，g(x)的最小值为－.10．已知a>0，函数f(x)＝－2asin ＋2a ＋b ，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f 且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间． 解 (1)∵x∈，∴2x＋∈. ∴sin ∈，∴－2asin ∈[－2a ，a]．∴f(x)∈[b,3a ＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin －1，g(x)＝f ＝－4sin －1＝4sin －1，又由lgg(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin －1>1，∴sin>，∴2k π＋<2x ＋<2k π＋，k ∈Z ，其中当2kπ＋<2x ＋≤2kπ＋，k∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.11．函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f()＝________.答案2212．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．解(1)由题意，得·π＝2π2，所以ω＝1.又A＝2g()＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin(x＋)．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2(x＋)＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin(2x＋)，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3，即sin(2x＋)＝－.因为x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)，所以2a＋＝－，即a＝－.。