江苏省包场高级中学高二年级2019-2020学年第二学期新高考全国卷第一次适应性考试 数学试卷(含附加题)

包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试数 学一、单项选择题：本题共8小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{(1，2)} B ．{(－2，－1)} C ．{(1，2)，(－2，－1)} D ．Ø 2．已知a ＋b i(a ，b ∈R )是(1＋i)2＋21i+的共轭复数，则2a ＋b ＝（ ） A ．3 B ．－3 C ．－1D ．1 3．设向量a r＝(1，－1)，2a b -r r ＝(k －1，2k ＋2)，且a b ⊥r r ，则k ＝（ ）A ．－5B ．5C ．3D ．－34．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高10 K ，化学反应的反应速率大约增加2～4倍．瑞典科学家Arrhenius 总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k )与温度(T )之间呈指数关系，并提出了相应的Arrhenius 公式：ea E RTk A -=式中A 为碰撞频率因子(A ＞0)，e 为自然对数的底数，E a 为活化能，R 为气体常数．通过Arrhenius 公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为T 1时，化学反应的速率常数为k 1；温度为T 2时，化学反应的速率常数为k 2．则12ln k k =A ．AE RT T a ln )(12-B ．AE RT T a ln )(21-C ．2112)(T RT T T E a -D ．2121)(T RT T T E a -5．nxx )1(32+的展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为（ ） A ．405 B ．－313 C ．223 D ．1466．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1，S 2，则命题p ：“V 1，V 2相等”是命题q ：“S 1，S 2总相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在同一直角坐标系下，已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．18．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为4,5且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）A ．112125B ．80125C ．113125 D ．124125二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆O ：221x y +=，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件 10．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且f (x )的图像关于点(12π-，0)对称，则下列结论正确的是 A ．函数f (x )的图像关于直线125π=x 对称 B ．当]6π ,6π[-∈x 时，函数f (x )的最小值为－2C ．若π32()6f α-=，则sin 4α－cos 4α的值为54-D ．要得到函数f (x )的图像，只需要将g (x )＝2cos 2x 的图像向右平移6π个单位 11．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝PA ＝6，BC ＝8，则A ．三棱锥D －BEF 的体积为6B ．直线PB 与直线DF 垂直C ．平面DEF 截三棱锥P －ABC 所得的截面面积为12D ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，xx x f e 1)(-=．则下列结论正确的是A ．当x ＜0时，f (x )＝－e x (x ＋1)B ．函数f (x )在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程f (x )＝m 有解，则实数m 的取值范围是f (－2)≤m ≤f （2）D ．∀x 1，x 2∈R ，|f (x 2)－f (x 1)|＜2 三、填空题：13．盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次．则取得小球标号最大值是3的取法有________种．（用数字作答）14．已知a ，b ∈R ，给出下面三个论断：①a ＞b ；②1a ＜1b；③a ＜0且b ＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．15．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，P 是抛物线在第一象限的一点，且点P 到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点P 的坐标为________；O 为坐标原点，PQ ⊥OP 交抛物线的准线于点Q ，则三角形OPQ 内切圆的面积为________． 16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，-3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L ､S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均 与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L ､圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为________； （2）若直线l 截圆L ､圆S ､圆Q 所得弦长均等于d ，则d=________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{},{}n n a b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，22222()(1tan )b b c a A =+--．（1）求角C ；（2）若210c =，D 为BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：ABC V 的面积S=4且B>A ； 条件②：25cos B =． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．19．如图1，在边长为5的菱形ABCD 中，AC ＝6，现沿对角线AC 把△ADC 翻折到△APC 的位置得到四面体P －ABC ，如图2所示．已知42PB =（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）若Q是线段AP上的点，且13AQ AP=u u u r u u u r，求二面角Q－BC－A的余弦值．20．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断男女总计网购迷20非网购迷45总计100（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80 40 16 24乙90 60 18 12将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购次，记两人采用支付宝支付的次数之和为X，求X的数学期望．附：χ2＝()()()()()2n ad bca b c d a c b d-++++，n＝a＋b＋c＋d．P(χ2≥x0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821．如图所示，椭圆E ：()222210x y a b +=>>的离心率是3，点P (0，1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 22．已知函数()ln f x a x =，()212g x x bx b =++，a ，b ∈R ． （1）设()()F x xf x =，求()F x 在[],2a a 上的最大值；（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：42ea b +≤．包中2021届新高考全国卷第一次适应性考试答案一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．A 二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．AC 10．BD 11．ACD 12．BD 三、填空题： 13．1914．若a ＞b ，a ＜0且b ＜0，则1a ＜1b ．（或若1a ＜1b，a ＜0且b ＜0，则a ＞b ．） 15．（4，2） （30－2π16．3，125四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d =从而1322a a d =-=，所以()2122n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()()112k k k a a S k k +==+所以()16k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k << 又因为1111313131********k k k k T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132923k k T -=->⨯，即11193k -<，解得3k > 所以4k =18．解：（1）在ABC V 中，由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=， 所以()222cos 1tan b bc A A =-，所以()cos sin b c A A =- 又由正弦定理知：sin sin b Bc C=，得()sin sin cos sin B C A A =- 所以()()sin sin cos sin A C C A A +=-即：sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C C A C A +=- 所以sin cos sin sin A C C A =-因为sin 0A ≠，所以cos sin C C =-，所以tanC 1=- 又因为0πC <<，所以3π4C =（2）若选择条件①4ABC S =V因为113π4sin sin 224ABC S ab C ab ===V，所以ab =由余弦定理知：(22223π402cos4c a b ab ===+-所以2240a b +=由2240a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因为B A >，所以b a >，所以224a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2CD =在ACD V 中2223π2cos 162242cos 264AD CA CD CA CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯= 所以26AD = 若选择条件②：25cos B = 因为25cos B =，所以5sin B = 又因为()10sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+= 由正弦定理知：sin sin c a C A =，所以sin 22sin c Aa C==在ABD V 中，由余弦定理知：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅ 解得：26AD =19．在三棱锥P －ABC 中，取AC 的中点O ，连接PO ，BO 得到V PBO ，∵四边形ABCD 是菱形，∴P A ＝PC ，PO ⊥AC ，又∵DC ＝5，AC ＝6， ∴OC ＝3，PO ＝OB ＝4，又∵PB ＝42，∴PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB ，又∵PO ⊥OC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ，又∵PO ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面ABC ． ∵AB ＝BC ，O 为AC 中点，∴OB ⊥OC ，∴OB ，OC ，OP 两两垂直，∴以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则B （4，0，0），C （0，3，0），P （0，0，4），A （0，－3，0），设点Q （x 1，y 1，z 1），由13AQ AP =u u u r u u u r ，得Q （0，－2，43），∴BC u u u r ＝（－4，3，0），44,2,3BQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，设平面BCQ 的法向量n r＝（x ，y ，z ），∴00n BC n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即43044203x y x y z -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得34415x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 不妨取z ＝15，则n r＝（3，4，15），又∵PO ⊥平面ABC ， ∴PO u u u r＝（0，0，4）是平面ABC 的一个法向量，∴cos ,n EP ==r u u u r设二面角Q －BC －A 的平面角为θ， 由图可知θ为锐角，∴cos θ， ∴二面角Q －BC －A20．在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为（0.04＋0.03）×5＝0.35，所以中位数位于区间（15，20]内， 设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为15＋2.5＝17.5（千元） 补全的2×2列联表如下：提出假设，H 0：网购迷与性别没有关系， 根据列联表中的数据，可以求得()22100452015206006.593 5.024********91χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 因为当H 0成立时，2 5.024χ≥的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”，方法一：由表可知，P （甲每次网购采用支付宝支付）＝12， P （乙每次网购采用支付宝支付）＝23， X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则 ()111110223336P X ==⨯⨯⨯=，()111111211122223322336P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，()111111221121132422332233223336P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， ()112211211322223322333P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，()11221422339P X ==⨯⨯⨯=，∴X 的概率分布为：∴X 的数学期望()11131170123436636393E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 方法二：由表可知，P （甲每次网购采用支付宝支付）＝12， P （乙每次网购采用支付宝支付）＝23， 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为Y ，Z ， 由题意知Y ～B （2，12），Z ～B （2，23）， ∴E （Y ）＝2×12＝1，E （Z ）＝2×23＝43又∵X ＝Y ＋Z ，∴E （X ）＝E （Y ＋Z ）＝E （Y ）＋E （Z ）＝73， ∴X 的数学期望为73． 21．由题意知，点C ，D 的坐标分别为（0，－b ），（0，b ），又∵点P 的坐标为（0，1），1PC PD ⋅=-u u u r u u u r， ∴222211b ca abc ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得a ＝，b ，∴椭圆E 的方程为22182x y +=，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），联立221821x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得（4k 2＋1）x 2＋8kx －4＝0，其判别式∆＝（8k ）2＋16（4k 2＋1）＞0，∴122841k x x k +=-+，122441x x k =-+， 从而()()1212121211OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()21212111k x x k x x λ=+++++ ()()22248433124141k k k λλλλ--+--+==---++， ∴当λ＝13-时，23152341k λλ+---=-+， 即53OA OB PA PB λ⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，1152333OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅-⋅=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 综上所述，存在常数13λ=-，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值53-． （1）由已知0a >，()()1ln F x a x '=+， 当10x e <<时，()0F x '<，当1x e>时，()0F x '>， 从而()F x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而，()()(){}max max 2,F x F a F a =.22．于是()()()2222ln 4ln ln 4F a F a a a a a a -=-= 当14a >时，()()2F a F a >，所以()()2max 22ln 2F x F a a a == 当104a <≤时，()()2F a F a ≤，所以()()2max ln F x F a a a ==； 综上所得()221ln 0412ln 24a a a M a a aa ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤. （2）依题意()21ln 2G x a x x bx b =+++， 则()()20a x bx a G x x b x x x++'=++=>． 因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程20x bx a ++=有两个不等的正根1x ，2x ， 不妨12x x <，则12x x a =，则0a >，且10x <<设()2p x x bx a =++列设表如下：从而，()()()211111ln 12G x G x a x x b x ==+++极大， 又()211bx x a =-+，从而()()21111ln 02G x G x a x x a b ==--+<极大对10x <<设()21ln 2K x a x x a b =--+，(x ∈， 则()20a x K x x-'=>，所以()K x 在(上递增，从而()K x K <302a a b =+≤，所以32a b a -≤， 55ln 222a a a a b a a +-=-+≤， 设()02a t t =>，则()ln 25m t t t t =-+， 又()4ln 2m t t '=-，若40,2e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0m t '>；若4,2e t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0m t '<；从而()4422e e m t m ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭． 即42e a b +≤．。