《28.2.5 圆和圆的位置关系》课件1 华东师大版
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圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
圆与圆的位置关系ppt
相离
没有公共点)
相切
有1个公共点)
相交
有2个公共点)
外离
圆
与
内含 特殊情况 圆 的
外切
五 种
位ห้องสมุดไป่ตู้
内切
置
关
相交
系
同心圆
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
d 和R、 r关系 交点
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
两圆内含
性质
d >R+ r 0 d =R+ r 1
R− r <d <R+ r 2
判定
d = R− r 1
2、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米设
（1 O1O2=8厘米； （2） O1O2=7厘米；
（3） O1O2=5厘米； （4） O1O2=1厘米；
（5） O1O2=0.5厘米； （6） O1和O2重合
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样
（1外离 （3）相交 （5）内含
（2）外切 （4）内切 （6）同心圆
解：（1设⊙O与⊙P外切于点A 则 PA=OP－OA 所以PA=3 cm，
（2）设⊙O与⊙P内切于点B， 则 PB=PO+OB 所以PB=13 cm.
B
O
P A
应用
例2 已知两圆半径分别为3和4圆心的坐 标分别是（0，3和（4，0），试判断这两圆 的位置关系.
yY
3
5
0
4
xx
1、举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例
3.定圆⊙O半径为3cm动圆⊙P半径为
1cm. 外 内切
当两圆 时,OP为 cm点P可以在什么样 的线上运动？
当两圆相切时Ｏ Ｐ为多少
圆圆和圆的位置关系课件ppt
圆圆和圆的位置关系课件ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 圆和圆的位置关系的概念 • 圆和圆的位置关系的性质 • 圆和圆的位置关系的判定 • 圆和圆的位置关系的计算 • 圆和圆的位置关系的作图 • 圆和圆的位置关系的综合应用
01
圆和圆的位置关系的概念
定义与特点
定义
圆和圆在同一平面内，不经过同一直线或三点，有两个交点，且一个圆在另 一个圆外部时，两个圆的形状完全相同，且它们有一个公共点，称为相交。
外切圆和内切圆的比较
外切圆和内切圆的性质相反；
两圆内切时，外切圆的半径等于两圆半径之差，而内 切圆的半径等于两圆半径之和减去大圆半径；
两圆外切时，外切圆的半径等于两圆半径之和减去小 圆半径，而内切圆的半径等于两圆半径之差；
两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，而两圆内切 时，圆心距等于两圆半径之差。
02
圆和圆的位置关系的性质
外切圆的性质
外切圆的圆心距等于两圆半径之和； 外切圆的半径等于两圆半径之和减去小圆半径；
两圆外切时，圆心距等于两圆半径之差； 两圆外切时，圆心距等于大圆半径加上小圆半径。
内切圆的性质
两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差； 内切圆的半径等于两圆半径之差；
两圆内切时，小圆在大圆内部； 两圆内切时，圆心距等于小圆半径减去大圆半径。
计算外切圆的半径
总结词
计算两个圆外切时，其中一个 圆的半径
公式
$r = \frac{d}{2} + r_2$
描述
当两个圆外切时，它们的圆心 之间距离等于两个圆的半径之 和。已知另一个圆的半径和圆 心距，可以计算出这个圆的半
径。
计算内切圆的半径
总结词
xx年xx月xx日
contents
目录
• 圆和圆的位置关系的概念 • 圆和圆的位置关系的性质 • 圆和圆的位置关系的判定 • 圆和圆的位置关系的计算 • 圆和圆的位置关系的作图 • 圆和圆的位置关系的综合应用
01
圆和圆的位置关系的概念
定义与特点
定义
圆和圆在同一平面内，不经过同一直线或三点，有两个交点，且一个圆在另 一个圆外部时，两个圆的形状完全相同，且它们有一个公共点，称为相交。
外切圆和内切圆的比较
外切圆和内切圆的性质相反；
两圆内切时，外切圆的半径等于两圆半径之差，而内 切圆的半径等于两圆半径之和减去大圆半径；
两圆外切时，外切圆的半径等于两圆半径之和减去小 圆半径，而内切圆的半径等于两圆半径之差；
两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，而两圆内切 时，圆心距等于两圆半径之差。
02
圆和圆的位置关系的性质
外切圆的性质
外切圆的圆心距等于两圆半径之和； 外切圆的半径等于两圆半径之和减去小圆半径；
两圆外切时，圆心距等于两圆半径之差； 两圆外切时，圆心距等于大圆半径加上小圆半径。
内切圆的性质
两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差； 内切圆的半径等于两圆半径之差；
两圆内切时，小圆在大圆内部； 两圆内切时，圆心距等于小圆半径减去大圆半径。
计算外切圆的半径
总结词
计算两个圆外切时，其中一个 圆的半径
公式
$r = \frac{d}{2} + r_2$
描述
当两个圆外切时，它们的圆心 之间距离等于两个圆的半径之 和。已知另一个圆的半径和圆 心距，可以计算出这个圆的半
径。
计算内切圆的半径
总结词
数学九年级下华东师大版28.2与圆有关的位置关系-28.2.2直线与圆的位置关系课件
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。
(3)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,
根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系:
(1)d=4, r=3
相离
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A点观测P在北偏 东600处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东 450处,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会
有触礁的危险吗?
北
P
600
450
A
B
H
(2)d=1, r= 3
相交
(3)d 2 5,r 2 5
相切
2、已知：⊙O的半径为5cm,
圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离,则 d > 5cm
2)若AB和⊙O相切,则 d = 5cm 3)若AB和⊙O相交,则0cm≤ d < 5cm
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1) r=2cm 答案： (1)相离
(2) r=4cm
(2)相交
(3) r=2.5cm
(3)相切
D ．
2、已知：圆的直径为13cm，如果圆心到直线的距离 为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1) 4.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:C (2) 6.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:B (3) 8cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:A
2
(3)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,
根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系:
(1)d=4, r=3
相离
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A点观测P在北偏 东600处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东 450处,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会
有触礁的危险吗?
北
P
600
450
A
B
H
(2)d=1, r= 3
相交
(3)d 2 5,r 2 5
相切
2、已知：⊙O的半径为5cm,
圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离,则 d > 5cm
2)若AB和⊙O相切,则 d = 5cm 3)若AB和⊙O相交,则0cm≤ d < 5cm
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1) r=2cm 答案： (1)相离
(2) r=4cm
(2)相交
(3) r=2.5cm
(3)相切
D ．
2、已知：圆的直径为13cm，如果圆心到直线的距离 为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1) 4.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:C (2) 6.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:B (3) 8cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:A
2
九年级数学_圆和圆的位置关系-华师大版_ppt (1)
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圆与圆的位置关系
点和圆的位置关系
A C
点在圆内 点在圆上
B
d﹤r d＝r d>r
r
r
点在圆外
直线和圆的位置关系
1、直线和圆相离 2、直线和圆相切 d > r d = r d < r
.O
d ┐ l l
r .O d┐
O r . d ┐
3、直线和圆相交
圆 和 圆 的 位 置 关 系？
l
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部时,叫做 这两个圆外离。
内含
观察两圆的相对位置和交点个数
O
0个 1个 2个
A
1个
2个
1个
0个
1个
0个
圆和圆的五种位置关系又可分为三类：
外离
(1)相离
(2)相切
内含
内切 外切
没有公共点 只有一个公共点
(3)相交
两个公共点
A
R
d
r
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B外离
d>R+r
A
R
d
r
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
外离
两个圆有唯一的公共点，并且除 了这个公共点外，每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做 这两个圆外切。
外切
两个圆有两个公共点时,叫做 这两个圆相交。
相交
两个圆有唯一的公共点,并且除 了这个公共点外,每个圆上的点 都在另一个圆的内部时,叫做 这两个圆内切。
内切
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的内部时,叫做 这两个圆内含。
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圆与圆的位置关系
点和圆的位置关系
A C
点在圆内 点在圆上
B
d﹤r d＝r d>r
r
r
点在圆外
直线和圆的位置关系
1、直线和圆相离 2、直线和圆相切 d > r d = r d < r
.O
d ┐ l l
r .O d┐
O r . d ┐
3、直线和圆相交
圆 和 圆 的 位 置 关 系？
l
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部时,叫做 这两个圆外离。
内含
观察两圆的相对位置和交点个数
O
0个 1个 2个
A
1个
2个
1个
0个
1个
0个
圆和圆的五种位置关系又可分为三类：
外离
(1)相离
(2)相切
内含
内切 外切
没有公共点 只有一个公共点
(3)相交
两个公共点
A
R
d
r
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B外离
d>R+r
A
R
d
r
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
外离
两个圆有唯一的公共点，并且除 了这个公共点外，每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做 这两个圆外切。
外切
两个圆有两个公共点时,叫做 这两个圆相交。
相交
两个圆有唯一的公共点,并且除 了这个公共点外,每个圆上的点 都在另一个圆的内部时,叫做 这两个圆内切。
内切
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的内部时,叫做 这两个圆内含。
九年级数学下册 27.2 与圆有关的位置关系(第5课时)课件 (新版)华东师大版
27.2 与圆有关的位置关系
（第5课时）
第一页，共19页。
点和圆的位置(wèi zhi)关系
A
点在圆内
C
点在圆上
rB
点在圆外
直线(zhíxiàn)和圆的位置
1关、系直线和圆相离
d>r
2、直线和圆相切
d=r
3、直线和圆相交
d<r
第二页，共19页。
d﹤r d＝r d>r
r .O
d ┐l
r .O
d┐ l
内含(nèi hán)
第八页，共19页。
观察两圆的相对位置(wèi zhi)和交点 个数
A
1个 2个 1个 0个
O
0个
1个
2个 1个 0个
第九页，共19页。
圆和圆的五种(wǔ zhǒnɡ)位置关系又可分 为三类：
外离
(1)相离 内含 没有公共点
(2)相切
内切
只有一个公共点
外切(wài qiē)
(3)相交 有两个公共点 (xiāngjiāo)
r .d┐O
l
圆 和 圆 的 位 置 关
系？
第三页，共19页。
两个(liǎnɡ ɡè)圆没有公共点,并且每 个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个(liǎnɡ ɡè)圆外离。
外离
第四页，共19页。
两个(liǎnɡ ɡè)圆有唯一的公共点， 并且除了这个公共点外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部时，叫做 这两个(liǎnɡ ɡè)圆外切。
A Br dR
设⊙A的半径(bànjìng)为R,⊙B的半径(bànjìng)
为r⊙,圆心A距和为⊙d B内含 d<R-r
(nèi há分别为2㎝和4㎝，连
（第5课时）
第一页，共19页。
点和圆的位置(wèi zhi)关系
A
点在圆内
C
点在圆上
rB
点在圆外
直线(zhíxiàn)和圆的位置
1关、系直线和圆相离
d>r
2、直线和圆相切
d=r
3、直线和圆相交
d<r
第二页，共19页。
d﹤r d＝r d>r
r .O
d ┐l
r .O
d┐ l
内含(nèi hán)
第八页，共19页。
观察两圆的相对位置(wèi zhi)和交点 个数
A
1个 2个 1个 0个
O
0个
1个
2个 1个 0个
第九页，共19页。
圆和圆的五种(wǔ zhǒnɡ)位置关系又可分 为三类：
外离
(1)相离 内含 没有公共点
(2)相切
内切
只有一个公共点
外切(wài qiē)
(3)相交 有两个公共点 (xiāngjiāo)
r .d┐O
l
圆 和 圆 的 位 置 关
系？
第三页，共19页。
两个(liǎnɡ ɡè)圆没有公共点,并且每 个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个(liǎnɡ ɡè)圆外离。
外离
第四页，共19页。
两个(liǎnɡ ɡè)圆有唯一的公共点， 并且除了这个公共点外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部时，叫做 这两个(liǎnɡ ɡè)圆外切。
A Br dR
设⊙A的半径(bànjìng)为R,⊙B的半径(bànjìng)
为r⊙,圆心A距和为⊙d B内含 d<R-r
(nèi há分别为2㎝和4㎝，连
2圆与圆的位置关系课件
求：这三个圆的半径长.
问1: ⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切 表示什么意思?
RA+RB=AB,
A
C
RA+RC=AC,
RB+RC=BC
问2：用怎样的方法求这三个圆的半径？
B
设元，列出三元一次方程组.
三、例题讲授
例2 如图，已知⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切，且AB=3厘米， BC=5厘米，AC=6厘米，
（3）∵d=0.5 ∴0≤d ＜∣R1-R2∣
所以⊙O1和⊙O2的位置关系是内含.
适时小结
例1 已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4,根据下列条件 判断⊙O1和⊙O2的位置关系:
(1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 .
这些数量关系可以借助于图形的直观性来推导.
三.例题讲授
例 ⊙1O1已和知⊙⊙OO2的1和位⊙置O关2的系半: 径长分别为3和4,根据下列条件判断 (1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 . 由R1=3和R2=4得 R1+R2=7，∣R1-R2∣=1
O1
A
B
O2
两圆内含
O1 O2
d＞R1+R2 0≤d＜∣R1-R2∣
有一个交点： O1
O2
两圆相切
O1
O2
有两个交点：
两圆相交
O1
O2
两圆外切 两圆内切 两圆相交
d= R1+R2
0＜d= ∣R1-R2∣
∣R1-R2∣＜d＜R1+R2
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
华东师大版数学九年级下册第28章圆28.2与圆有关的位置关系
O 相交 d r
E Fl
【跟踪训练】 判断 1.直线与圆最多有两个公共点.
（√ ）
2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内.( × )
3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.( × )
4.若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与⊙O 相交
或相离.（ × ）
.O .
A
.O .C
填空：
1.已知⊙O的半径为5 cm，点O到直线a的距离为3 cm，则 ⊙数O是与_直__线__a_的_.位置关系是_相__交__;直线a与⊙O的公共点个
┐ B
C B
C
锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外.
【跟踪训练】
1.判断：
（（12））经 三过角三形点的一外定心可就以是作这圆个三.（角形×两边）垂直平分线的交
点.（
）
（3）三√角形的外心到三边的距离相等.（
）
（4）经过不在同一直线上的四点能作一个圆.（
0个
4.直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线 m与⊙O的位置关系是 相切或相交 .
小结:利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定直 线与圆的位置关系.
5.已知⊙O的半径为5 cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根
据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则
;
2)若AB和⊙O相切, 则
不能作出.
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个 顶点的圆叫做这个三角形的外接圆（circumcircle）．三角形外接圆的圆心 叫做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三角形叫做这个圆的内接三 角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点．
九年级数学下册第28章圆28.2与圆有关的位置关系4圆与圆的位置关系课件华东师大版 (2)
1 86 2
24
cm2．
3.(2012·六盘水中考)已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆 心距为4，那么这两圆的位置关系是______. 【解析】∵3-2<4<3+2，∴两圆相交. 答案：相交
4.(2011·绍兴中考) 如图,相距2 cm的两个点A,B在直线l上,它 们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分 别平移到点A1,B1的位置时,半径为1 cm的⊙A1与半径为BB1的 ⊙B相切,则点A平移到点A1所用的时间为______s.
6.如图,要在直径为50厘米的圆形木板上截出 四个大小相等的圆形凳面,问怎样截才能截出 直径最大的凳面,最大的凳面直径是多少厘米？
【解析】截法如图所示, 根据圆的对称性可知：O1,O3都在⊙O的直径AB上, 设所截出的凳面的最大直径为d厘米． 则O1O2=d,O2O3=d,O12Od3；= 又∵O1O3=AB-(O1A+O3B)=50-d, ∴ 2=d50-d, ( 2 1)d 50, ∴d=50( 2-1)(厘米)． ∴最大的直径是50( -21)厘米 .
【解析】连结OA，OC, ∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB. ∵OA=5 cm,OC=3 cm, ∴ AC OA2 OC2 52 32 4 cm. ∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB, ∴AB=2AC=2×4=8 (cm). 答案：8
5.如图,两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点 O作⊙O′的两条切线OA，OB, A，B是 切点,则∠AOB=_______. 【解析】连结OO′和O′A, 根据切线的性质,得O′A⊥OA, 根据题意得OO′=2O′A,则∠AOO′=30°, 再根据切线长定理得 ∠AOB=2∠AOO′=60°． 答案：60°
华东师大版数学九年级下册27.点与圆的位置关系授课课件
知1－讲
说明：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左端可 以推出右端，从右端也可以推出左端，即左右两端互为 因果关系． 拓展： (1)圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合； (2)圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合．
知2－讲
例1 已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD= 3 cm， 在直线l 上有P，Q，R 三点， 且有PD=4 cm， QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置 关系各是怎样的？
导引：
总结
知3－讲
求三角形的外接圆半径的方法： 求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆 心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半 径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的 长.
知3－练
1 任意画一个三角形，然后作出这个三角形的外接圆.
2 下列说法中，正确的是( ) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆
知识点 1 点和圆的位置关系
知1－导
问题１：视察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 答：点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外
知1－导
问题２：设⊙O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距 离与半径的关系。 答：OA < r，OB = r，OC > r 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断 点和圆的位置关系？ 答：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
解：如图②所示： (1)在圆轮所在的圆弧上任取三点A， B，C，并连结AB，BC； (2)分别作AB，BC的垂直平分线DE， FG，DE，FG相交于点O； (3)以O为圆心，OA为半径作⊙O， ⊙O就是圆轮所在的圆．
圆有关的位置关系4圆与圆的位置关系优质课件华东
圆有关位置关系4圆与圆位置关系优质课件华东一、教学内容本节课，我们将在教材第十章“圆”第五节“圆与圆位置关系”展开深入学习。
详细内容包括圆与圆之间五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。
通过对比不同位置关系特点，掌握判断圆与圆位置关系方法。
二、教学目标1. 理解并掌握圆与圆之间五种位置关系；2. 学会使用几何方法判断圆与圆位置关系；3. 培养学生观察能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：圆与圆位置关系判断方法。
教学重点：圆与圆之间五种位置关系及其性质。
四、教具与学具准备1. 课件：展示圆与圆位置关系动态图；2. 教具：圆规、直尺、量角器；3. 学具：练习本、铅笔、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中圆与圆位置关系实例，如硬币叠放、篮球在篮圈中等，引导学生观察并思考；2. 例题讲解：通过课件展示，讲解五种圆与圆位置关系定义、性质，以及判断方法；3. 随堂练习：让学生运用圆规和直尺，绘制给定半径圆，判断两圆之间位置关系；5. 知识拓展：介绍圆与圆位置关系在实际问题中应用。
六、板书设计1. 圆与圆位置关系定义及性质；2. 五种位置关系判断方法；3. 有关圆与圆位置关系实际问题。
七、作业设计1. 作业题目：A. 两圆半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm；B. 两圆半径分别为4cm和6cm，圆心距为10cm；（2）已知两圆半径分别为r和R（R>r），求证：当圆心距d>R+r 时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当Rr<d<R+r时，两圆相交；当d=Rr时，两圆内切；当d<Rr时，两圆内含。
答案：（1）A. 两圆内含；B. 两圆外离；（2）证明略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课学习，学生是否掌握圆与圆位置关系判断方法，以及在实际问题中应用；2. 拓展延伸：引导学生思考圆与圆位置关系在其他学科领域应用，如地理学中地球与月球关系、天文学中双星问题等。
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练习三
1. 已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r(R>r), 圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方 程x2-2(d-R)x+r2=0的根的情况。
解 ∵两圆相交 ∴R- r<d<R+r △ =b2-4ac=[-2(d-R)]2-4r2 =4(d-R)2-4r2 =4(d-R+r)(d-R-r) =4[d-(R-r)][d-(R+r)] ∵d-(R-r)>0 d-(R+r)<0 ∴ 4[d-(R-r)][d-(R+r)]<0 ∴ 方程没有实数根
.
.
② 两圆内切时:5x-3x=8 得x=4 例2 两圆的半径之比为5:3，当两圆相切时，圆心距为 ∴两圆半径分别为20cm和12cm 8cm，求两圆的半径？
练习二
1、已知两圆的半径分别为3和2，如果两圆没有 公共点，求圆心距的取值范围。 分外离和内含两种情况： 两圆内含时：圆心距大于等于0且小于1 两圆外离时：圆心距大于5。
练习一
睁开眼吧，小心看吧
1)两圆半径分别是5和2,两圆的圆心距是7,
外切 则两圆的位置关系是 2)两圆直径分别是10和6,两圆的圆心距是2,
则两圆的位置关系是 内切
3)两圆圆心距是16,其中一个圆的半径为5,两 圆外切,则另一个圆的半径为 11
睁开眼吧，小心看吧
4).⊙01和⊙02半径分别为3厘米和4厘米，设 （1）0102=8厘米 （ 1 ）两圆外离 （2） 0102 =7厘米 （ 2 ）两圆外切 （3） 0102 =5厘米 （ 3 ）两圆相交 （4） 0102 =1厘米 （ 4 ）两圆内切 （5） 0102 =0.5厘米（ 5 ）两圆内含 （6） 01和02重合 （ 6 ）同心圆 冠 01和02的位置关系怎样？ 军
范例研讨应用新知
例1 如图⊙A的半径为4cm，点B是⊙A外一点，AB=10cm。 若以B为圆心作⊙B与⊙A相切，求⊙B的半径？ 解：设⊙B的半径为R (1)若⊙A与⊙B外切， 则 AB=4+R =10 8cm ∴R=6 cm 解:设大圆的半径为5x,小圆的半径为3x A B ① 两圆外切时:5x+3x=8 (2)若⊙A与⊙B内切， 则 AB=R-4=10 ∴两圆半径分别为5cm和3cm ∴R=14 cm 所以⊙B的半径为6cm或14cm 得x=1
R- r<d<R+r （R≥r）
R
r
.·
01 02
（4）两圆内切
（5）两圆内含
d<R- r （R>r)
圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形 呢？如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？我们 一起来看下面的实验。
从以上实验我们可以看到，两个圆一定组成一个轴对 称图形，其对称轴是两圆连心线。当两圆相切时，切点一定 在连心线上。当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
y
x
本课内容：
圆与圆的位置关系
温故知新
1、点与圆的位置关系
2、直线与圆的位置关系 3、两个圆的位置关系 如何呢？这就是我们
C R dLeabharlann d A OdB这节课要解决的问题
现在我们通过以下的演示观察一 下两圆有几种位置关系？
现在我们通过以下的演示观察一 下两圆有几种位置关系？
内切 内含 相交 外离 外切 （无公共点） （一个公共点）（两个公共点）（一个公共点） （无公共点）
总结：两圆按 公共点个数可 分为
两圆相切
两圆相交
外离 内含 外切 内切
两圆的各种位置和两圆半径（设为R，r）与圆心距
（设为d）之间的数量关系之间的转换。
01
·
r
R d
02
·
r
01
·
r
R
02
·
d = R+r
（1）两圆外离
d > R+r
（2）两圆外切
01
· 0·
2
R
（3）两圆相交
r R
01
.·
02
d = R- r (R>r)
2、学习两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
性质 及 判定 公共 点的 个数
外离
d>R+r
没有
外切 d=R+r 一个
外离R-r <d<R+r 内切
d=R-r
一个
内含
d＜R-r
两个
没有
3、学习两圆相切及相交时的对称性
两个圆一定组成一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。当两圆相切 时，切点一定在连心线上；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
2、若三个圆两两外切，圆心距分别是6，8，10，则这三个 圆的半径分别是______．
3．已知两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆 的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是 ________cm 4、已知两圆的半径分别是2，3，圆心之间的距离是d，若 两圆有公共点，则 的取值范围是 。 5、已知⊙M与⊙N相切时，NM＝12cm，如果⊙N的半径为 5cm，求⊙M的半径．
思考
1、如何区分两圆外离、内含？ 答案：相同点——两圆都没有公共点。 不同点——外离是每一圆上的点都在另一圆的外部。 内含是其中一圆上的点都在另一圆的内部。 2、如何区分两圆外切、内切？
答案：相同点——两圆都有唯一公共点。 不同点——外切是除公共点外，每一圆上的点都在另一圆的外部。 内切是除公共点外，一圆上的点都在另一圆的内部。 两圆相离
例2:两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如 图所示（点O,O`是圆心，）分隔两个肥皂泡的肥 皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切线， 求∠TPN的大小。
T P N
O
·
Q
·
O`
答案：∠TPN=120°
本讲小节
1、复习了点与圆及直线与圆的位置关系 点在圆内、在圆上、在圆外 相离、相切、相交