七年级春季班6、第六讲：二次根式综合练习
初中数学二次根式的混合运算专项训练题6(附答案详解)
初中数学二次根式的混合运算专项训练题6（附答案详解）1．计算：②÷2．计算（1；（2（3）2+；（4）⨯324．计算：4(1--|3|-5．计算:6．计算：(1()(22-．7．解答下列各题（1-（2）解方程组24 4523 m nm n-=-⎧⎨-=-⎩8．计算：（1）（29．已知x =，y =，求22x xy y -+的值．1011．计算：（12）﹣2（﹣2）0+|212．计算或解方程：（1）（2）23(2)12x +=13．计算（1（24-- 14．计算：（1）⎛- ⎝；（215．计算下列各题：（1）×4÷；（2）﹣2+2×． 16．计算（1））2（2）17． 计算：-2-1+-（-1）218． )211-19．（1（22|．20． 计算：-2））21．计算：（1）2+ （2）(6-． 22．计算：（1）÷（2）2(11)+-23．计算与化简：（1(2（2）(22+24．（1）计算：﹣（2）计算： 020171|2(1)3++--25．计算：14++-(2)(⎛÷⨯ ⎝26．计算（1（2）（（3）227．计算：（1）16521082+⨯- （2）127324122÷+-⨯ 28．计算（1）23318(6)--÷-．（2）2(32)(13)(13)-+-+．29．计算（1）； （2）（3+）（﹣2）； （3）（+﹣）÷ 30．计算题：（1）1(436312)33÷（2）211)(23)(23)3++参考答案1．①0；②2． 【解析】【分析】①直接化简二次根式进而计算得出答案；②直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【详解】﹣=0；②÷=3÷． 【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题.2．（1）2；（2）3；（3）34+（4）18-． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可；（2）根据二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可；（3）根据平方差公式、完全平方公式、二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可；（4）根据乘法分配律、二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可；【详解】解：（1）原式=2=+2=（2）原式=3=-3=（3）原式()23827=-++135=-++34=+（4）原式(=-⨯+63=-⨯-18=--【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式、二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．3．+1．【解析】【分析】先利用平方根的性质，然后化简后合并即可．【详解】解：原式+1+1．【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握把二次根式化为最简二次根式．4．（1；（2）6-【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算，然后化简后合并即可； （2）用分配律计算，然后化简，去绝对值符号，合并同类二次根式即可．【详解】解：（1）原式414=⨯==（2）原式(33=-3=-6-．【点睛】 本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．5.【解析】【分析】利用乘法分配律可简便计算.【详解】⨯+⨯=1+4=5【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．6．()1 4+；()2 1+【解析】【分析】（1）根据二次根式乘除法和减法可以解答本题；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．【详解】()1原式=4=4=+()2原式()181232=---65=-+1=+7．（1）6；（2）125m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩【解析】【分析】（1）原式利用立方根和二次根式的运算法则计算即可求出值；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：（1）原式＝﹣﹣+8＝6；（2）244523m n m n -=-⎧⎨-=-⎩①②， ①×5﹣②得：6m ＝3，解得：m ＝12， 把m ＝12代入①得：n ＝5，则方程组的解为125mn⎧=⎪⎨⎪=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（1）（2）4．【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法即可；（2）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，然后计算二次根式的加减法即可．【详解】（1）原式2=8 =⨯=（2）原式==4=+【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减乘除法，熟记运算法则是解题关键．9．11．【解析】【分析】根据题意，先求出x y-和xy的值，然后利用完全平方变形求值，即可得到答案. 【详解】解：∵x=+y=-，∴x﹣y=xy==2﹣3=﹣1，则原式=x2﹣2xy+y2+xy=(x﹣y)2+xy=2﹣1=12﹣1=11．【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.10【解析】【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．【详解】===11【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解此题的关键．11．【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣﹣2＝．【点睛】本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要掌握这些知识点．12．（1）﹣1.5；（2）x=0或﹣4．【解析】【分析】（1）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）根据：3（x+2）2=12，可得：（x+2）2=4，所以x+2=±2，据此求出x的值是多少即可．【详解】解：（1）=﹣6+1.5+3=﹣1.5（2）∵3(x+2)2=12，∴(x+2)2=4，∴x+2=±2，解得：x=0或x=﹣4．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．13．（1；（2）4．【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先进行二次根式的乘除运算，然后去绝对值后合并即可．【详解】（1）原式=-=（2）原式=4﹣+4﹣4．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．.14．（1-（2）10【解析】【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；（2）根据二次根式的乘除法则计算即可.【详解】解：（1）原式===.（2）原式===10【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（1）；（2）18﹣10【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除法运算；（2）先进行去括号和二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．【详解】解：（1）×4÷＝＝3÷＝10；（2）﹣2+2×＝6+12﹣＝18﹣．【点睛】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．16．（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算即可.【详解】（1）原式﹣（5﹣3）﹣2（2）原式﹣2﹣4.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.17．-4．【解析】【分析】根据二次根式的运算法则以及负整数指数幂的意义即可求出答案．【详解】解：原式（）（．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．18．．3【解析】【分析】先利用平方差公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【详解】解：原式-（3-1）-23=．3【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．（1）4.2；（2【解析】【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案．【详解】解：（1）原式0.231 4.2=++=；（2）原式(152224=-+⨯- 15222=-+-=【点睛】本题考查了二次根式、立方根、以及绝对值的化简，严格按照其性质法则进行化简即可． 20．8【解析】【分析】化简得到原式=2）），然后利用平方差公式计算．【详解】解：原式=（））=2））=2（5-1）=8．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21．（1）11；（2）【解析】【分析】（1）分别化简各项，然后进行加减计算即可；（2）先算乘法，然后进行减法运算即可.【详解】（1）原式23(1)15=---+3115=--+11=；（2）原式63=⨯==.【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题.22．（1）10；（2）﹣9 【解析】【分析】（1）把根号外和根号内分别相乘除，然后化简即可；（2）先算乘法和完全平方，再去括号，计算加减即可．【详解】解：（1）原式1(24=⨯÷=110=⨯，10=；（2）原式(81=+-，=+9=-．9【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序和运算法则.23．（13；（2）-3【解析】【分析】（1）先把根式化简，再把同类二次根式合并即可．（2）根据平方差公式和分母有理化，分别计算，再把结果合并即可．【详解】=-++=；解：（1）原式(3)633+=-=--=-（2）(22464613【点睛】本题主要考查了实数的运算法则，解题的关键是熟知实数的性质.24．（1）（2）-2【解析】【分析】（1）第一项根据二次根式的除法计算，第二、三项根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；（2）先逐项化简，再算加减即可．【详解】（1）﹣==（2） 020171|2(1)3++--=121-=-2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．25．（1（2【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，再把除法运算化为乘法运算，然后合并后进行二次根式的乘除运算．【详解】解：（1）原式＝=（2）原式＝＝15-＝【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．26．（1）；（2）1．【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【详解】（1＝4＝；（2）原式＝20﹣7﹣（5﹣）＝13﹣＝1．【点睛】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数混合运算法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．27．（1）（2）3【解析】【分析】（1）先化简二次根式和进行二次根式的乘法，然后按照合并同类二次根式的法则进行加减运算即可；（2）先化简二次根式和进行二次根式的乘除法，然后按照合并同类二次根式的法则进行加减运算即可.【详解】解：（1）原式-（2）原式=3+=3+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题关键.28．（1）43-；（2）326-． 【解析】【分析】 （1）直接利用算术平方根以及立方根性质分别化简再计算即可得出答案．（2）直接利用二次根式的混合运算法则，先用完全平方公式和平方差公式计算，再化简得出答案．【详解】解：（1）23318(6)--÷-126=--÷113=-- 43=-； （2）2(32)(13)(13)-+-+322613=+-+-326=-．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．29．（1）2（2） （3） 【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类二次根式即可；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可．【详解】（1）原式==2； （2）原式=3﹣6+5﹣2=﹣1；（3）原式=（）÷=（）÷=﹣3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30．（1）4；（2723 -【解析】【分析】（1）原式利用二次根式除法法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝33133123＝2﹣1+3 ＝4；（2）原式＝1233-﹣3＝73 33 -＝733-.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算律，注意乘法公式的运用.。
初一数学综合算式二次根式练习题
初一数学综合算式二次根式练习题题目一：根据题意，将下列二次根式化简，并求出结果：1. $\sqrt{16}$2. $\sqrt{25}$3. $\sqrt{9}$4. $\sqrt{36}$5. $\sqrt{49}$解答一：1. $\sqrt{16} = 4$2. $\sqrt{25} = 5$3. $\sqrt{9} = 3$4. $\sqrt{36} = 6$5. $\sqrt{49} = 7$题目二：将下列二次根式转化为最简形式，并求出结果：1. $2\sqrt{8}$2. $3\sqrt{18}$3. $5\sqrt{32}$4. $4\sqrt{12}$5. $6\sqrt{50}$解答二：1. $2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$2. $3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$3. $5\sqrt{32} = 5\sqrt{16 \cdot 2} = 5 \cdot 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$4. $4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$5. $6\sqrt{50} = 6\sqrt{25 \cdot 2} = 6 \cdot 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$题目三：求下列二次根式的值，并化简结果：1. $\sqrt{14} \cdot \sqrt{7}$2. $\sqrt{12} \div \sqrt{4}$3. $(\sqrt{8})^2$4. $(2\sqrt{5})^2$解答三：1. $\sqrt{14} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{14 \cdot 7} = \sqrt{98}$2. $\sqrt{12} \div \sqrt{4} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$4. $(2\sqrt{5})^2 = (2^2) \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$题目四：根据题意，将下列二次根式化简，并求出结果：1. $\sqrt{18} + \sqrt{8}$2. $\sqrt{16} - \sqrt{9}$3. $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$4. $\frac{\sqrt{25}}{2} + \frac{\sqrt{9}}{3}$5. $\frac{2}{\sqrt{2}}$解答四：1. $\sqrt{18} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$2. $\sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1$3. $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$4. $\frac{\sqrt{25}}{2} + \frac{\sqrt{9}}{3} = \frac{5}{2} + \frac{3}{3} = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$5. $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$题目五：将下列分式的分母有理化，并求出结果：2. $\frac{5}{\sqrt{3}}$3. $\frac{2}{\sqrt{5}}$4. $\frac{7}{2\sqrt{6}}$5. $\frac{4}{3 - \sqrt{5}}$解答五：1. $\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$2. $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$3. $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$4. $\frac{7}{2\sqrt{6}} = \frac{7}{2\sqrt{6}} \cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{12}$5. $\frac{4}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 +\sqrt{5})} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(3 +\sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5}$通过以上练习题的解答，可以加深对初一数学中的二次根式的理解和应用。
二次根式及经典习题与答案
二次根式及经典习题与答案二次根式的知识点汇总二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。
为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。
二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。
综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。
在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。
4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。
5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²-22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。
6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2.7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2.8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1.9.当1≤x≤5时。
10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。
11.使等式(x-1)²+x-5=。
成立的根号外的因式是x-1.12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。
14.下列各式一定是二次根式的是a²+1.15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。
16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2.17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。
二次根式综合题型
一、逆用 ( a ) 2 a(a 0) 进行因式分解 3、在实数范围内因式分解
1
（1）x -3；
2
（2） x 6 x 9
4 2
二、利用二次根式的性质进行化简、计算 4、根据下列条件，求字母 x 的取值范围：
2 （1） ( x 3) x 3 ； （2） x 2 2x x ； （3） x 2 2 x 1 ＝1－x ；
14. 分析： 第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式． 把它们分别分解因式 后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件 3-a≥0 和
1-a＞0。
3
3和 3 A． 3 和 18 B. C． a b和 ab 知识点四：二次根式有意义的条件 2、x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x 2 － 3 2 x ； （2） x － 知识点五：二次根式的性质 ① a 0(a 0) 双重非负性; ③ ② ( a ) 2 a(a 0) ;
c 3 3 c ，求 abc 的值。
分析：
c3 3c
}有意义
被开方数非负
c 3 0 c 3 3 c 0
b 2a 3 a b 2 0
b 2a 3 0 a b 2 0
知识点六、分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积 不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 常用的有理化因式：
1， 1.5 , 2
n , m m ， 等都不是最简二次根式。 a
。如：
ab3 ,
x3 x 2 ,
2 2 问： x y 是最简二次根式吗？
(完整版)二次根式专题练习(含答案).doc
初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x＜1 B．x≤1 C ．x＞ 1D． x≥ 12．若 1＜x＜2，则的值为（） A ．2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（） A ．=2B．=C．=x D．=x 4．实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B．2a ﹣b C ．﹣ b D．b5．化简+ ﹣的结果为（） A ． 0 B． 2 C ．﹣ 2 D． 26．已知 x＜1，则化简的结果是（） A ． x﹣ 1 B．x+1 C ．﹣ x﹣1D ． 1﹣ x7．下列式子运算正确的是（） A ．B． C ．D．8．若，则 x3﹣ 3x2+3x 的值等于（）A ．B． C ．D．二．填空题9．要使代数式有意义，则 x 的取值范围是．10．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为．11．计算：=．12 ．化简：=．13．计算：（+）=．14．观察下列等式：第 1 个等式： a 1==﹣1，第 2 个等式： a 2==﹣，第 3 个等式： a 3==2，第 4 个等式： a 4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n =．15．已知 a 、b 有理数，m 、n 分表示16．已知： a ＜0，化17．，的整数部分和小数部分，且 amn+bn 2=1 ， 2a+b=．=．，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．三．解答18．算或化：（3+）；19．算：（ 3）（3+）+（2）20．先化，再求：，其中x=3（π 3）0．21．算：（+ ）× ．22．算：×（） +| 2 |+ （）﹣3．23．算：（+1 ）（1）+ （）0．24．如，数 a 、b 在数上的位置，化：．25．材料，解答下列．例：当 a ＞0 ，如 a=6|a|=|6|=6，故此a的是它本身；当a=0 ， |a|=0 ，故此 a 的是零；当a ＜0 ，如 a= 6 |a|=|6|= （ 6），故此 a 的是它的相反数．∴ 合起来一个数的要分三种情况，即，种分析方法渗透了数学的分思想．：（ 1）仿照例中的分的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．26．已知： a=，b=．求代数式的．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．28．化求：，其中．.参考答案与解析一．选择题1．（ 2016? 贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ． x＜ 1B．x≤1 C ． x＞1D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得 x 的取值范围．【解答】解：依题意得： x﹣ 1＞ 0，解得 x＞1．故选： C ．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．.2．（ 2016? 呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A ． 2x﹣4 B．﹣ 2 C ．4﹣2x D．2【分析】已知 1＜ x＜ 2，可判断 x﹣3＜0，x﹣ 1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜ x＜ 2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣ 3|+=|x ﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x ﹣ 1=2．故选 D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当 a ＞ 0 时，表示a的算术平方根；当 a=0 时，=0 ；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（ 2016? 南充）下列计算正确的是（）A ．=2B．= C ．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A 、=2，正确；B、=，故此选项错误；C 、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选： A ．.【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（ 2016? 潍坊）实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣ 2a+b B． 2a ﹣ b C ．﹣ bD ．b【分析】直接利用数轴上 a ，b 的位置，进而得出 a ＜0，a ﹣b ＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示： a ＜0，a ﹣b ＜0，则 |a|+=﹣a ﹣（ a ﹣b ）=﹣2a+b ．故选： A ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（ 2016? 营口）化简+﹣的结果为（）A ． 0 B．2 C ．﹣ 2D． 2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，故选： D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知 x＜1，则化简的结果是（）A ． x﹣ 1B．x+1 C ．﹣ x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解， x2﹣2x+1= （x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．.【解答】解：==|x ﹣1|∵x＜ 1，∴原式 =﹣（ x﹣ 1） =1﹣ x，故选 D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A ．B． C ．D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解： A 、和不是同类二次根式，不能计算，故 A 错误；B、=2，故B错误；C 、=，故C错误；D、=2 ﹣+2+ =4，故 D 正确．故选： D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A ．B． C ．D．.【分析】把 x 的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2 =3，即 x2﹣ 2x﹣2=0，则 x3 ﹣3x2+3x=x （x2﹣ 2x﹣2）﹣（ x2﹣2x ﹣2）+3x ﹣ 2=3x﹣ 2，代值即可．【解答】解：∵ x3﹣3x2 +3x=x （ x2﹣3x+3 ），∴当时，原式 =（）[﹣3（）+3]=3+1 ．故选 C ．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（ 2016? 贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣ 1 且 x≠0．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于 0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得 x≥﹣ 1 且 x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简+|a ﹣2| 的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a ﹣5＜0，a ﹣ 2＞ 0，则+|a ﹣ 2|=5﹣a+a ﹣2=3．.【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（ 2016? 聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12 ．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（ 2016? 威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式 =3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（ 2016? 潍坊）计算：（+）=12．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式 = ?（+3）=×4=12 ．.【点】本考了二次根式的算：先把各二次根式化最二次根式，再行二次根式的乘除运算，然后合并同二次根式．在二次根式的混合运算中，如能合目特点，灵活运用二次根式的性，恰当的解途径，往往能事半功倍．14．（ 2016? 黄石）察下列等式：第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2，第 4 个等式： a 4= = 2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n= = ；；（ 2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n = 1 ．【分析】（ 1）根据意可知，a 1= = 1，a 2 = = ，a 3= =2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n = = ；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a 1= = 1，第 2 个等式： a 2= = ，第 3 个等式： a 3= =2 ，第 4 个等式： a 4= =2，∴第 n 个等式： a n= = ；（2） a 1+a 2+a 3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2） +⋯ +（）故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知 a 、b 为有理数， m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分 a ，其小数部分用﹣a表示．再分别代入 amn+bn 2=1 进行计算．【解答】解：因为 2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把 m=2 ，n=3 ﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（ 6a+16b ）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以 6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以 2a+b=3 ﹣0.5=2.5 ．故答案为： 2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知： a ＜0，化简=﹣2．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式 =﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a=0∴a=1 或 1∵a ＜0∴a= 1∴原式 =0 2= 2．【点】解决本的关是根据二次根式内的数非数得到 a 的．17．，，，⋯，．， S=（用含n的代数式表示，其中n 正整数）．【分析】由 S n =1++===，求，得出一般律．【解答】解：∵ S n =1++===，∴==1+=1+，∴S=1+1+1++⋯ +1+=n+1==．故答案：．【点】本考了二次根式的化求．关是由S n形，得出一般律，找抵消律．三．解答（共11 小）18．（ 2016? 泰州）算或化：（ 3+）；【解答】解：（1）﹣（ 3 + ）=﹣（ + ）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（ 2016? 盐城）计算：（ 3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式 =9 ﹣7+2﹣ 2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=× 4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（【解答】解：（+）×= ×+×；然后根据二次根式的混+）×的值是多少即可．=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+ （）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8 ，然后化简后合并即可．【解答】解：原式 =﹣+2 +8=﹣3 +2 +8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运.算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1 ）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣ 1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式 =3﹣ 1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知， a ＜0，且 b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴，=|a| ﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣ a ）﹣ b+a ﹣b ，=﹣2b ．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定 a 、 b 及 a ﹣ b 的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定 a 、b 及 a ﹣b 的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当 a ＞0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0 时， |a|=0 ，故此时 a 的绝对值是零；当a ＜0 时，如 a= ﹣ 6 则|a|=| ﹣ 6|= ﹣（﹣ 6），故此时 a 的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（ 1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（ 2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（ 2）由（ 1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当 a ＞0 时，=a ；②当 a ＜ 0 时，= ﹣ a ；③当 a=0 时，=0．26．已知： a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得 a+b=10 ，ab=1 ，再把求值的式子化为 a 与 b 的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得 a+b=10 ，ab=1 ，∴===．【点】本关是先求出a+b 、ab 的，再将被开方数形，整体代．27．下列材料，然后回答．在行二次根式的化与运算，我有会碰上如，，一的式子，其我可以将其一步化：（一）==（二）===1（三）以上种化的步叫做分母有理化．可以用以下方法化：====1（四）（ 1）用不同的方法化．（ 2=；=．（ 3）化：+++⋯+．【分析】（1 ）中，通察，：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到分的目的；（ 2）中，注意找律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；.（2）原式 =+⋯+=++⋯+=．【点】学会分母有理化的两种方法．28．化求：，其中．【分析】由 a=2+，b=2，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式 =+，分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想行算．【解答】解：∵ a=2+＞0，b=2＞0，∴a+b=4 ，ab=1 ，∴原式 =+=+=+=，当 a+b=4 ，ab=1 ，原式 =×=4．【点】本考了二次根式的化求：先把各二次根式化最二次根式，再合并同二次根式，然后把字母的代入（或整体代入）行算．。
二次根式综合练习
1二次根式综合练习一、单选题1．下列各式成立的是（ ）A ．√(−3)2=−3B ．√x 2=xC ．√(−5)2=5D ．√a 2+1=a +1 2．二次根式 √x −5 中字母x 的取值可以是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-1 3．当a <1时，化简√−a 3(1−a)的结果是（ ）A ．a √(a −1)B ．−a √a(a −1)C ．a √a(−a)D ．−a √a(−a) 4．二次根式 √2x −1 有意义时，x 的取值范围是（ ）． A ．x >12 B ．x ≥12 C ．x <12 D ．x ≤12 5．下列根式中，最简二次根式的是（ ）A ．√4B ．√12C ．√12D ．√106．计算并化简√5×√45 的结果为（ ） A ．2 B ．√4 C ．±2 D ．±√47．下列运算正确的是（ ）A ．√2+√3=√5B ．√3−√2=1C ．√2×√3=√5D ．√24÷√8=√3 8．函数y ＝√x+3中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣3且x≠0 B ．x ＞﹣3 C ．x≥﹣3D ．x≠﹣39．下列等式何者不成立（ ） A ．4√3+2√3=6√3 B ．4√3−2√3=2√3 C ．4√3×2√3=8√3 D ．4√3÷2√3=2 10．下列二次根式是最简二次根式的为（ ）A ．√10B ．√20C ．√23D ．√3.6 11．已知y =√x −3+√3−x +1，则x +y 的平方根是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．±112．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示化简，√(a −b)2+√a 2−√b 2的结果为（ ）A ．2a +2bB ．−2aC ．−2bD ．2a −2b 13．把代数式 (a −1)√11−a中的 a −1 移到根号内，那么这个代数式等于（）2A ．−√1−aB ．√a −1C ．√1−aD ．−√a −1 14．计算√2×√8+√−273的结果为( )A ．﹣1B ．1C ．4−3√3D ．7 15．若一个直角三角形的两条直角边长分别为 √13 cm 和 √14 cm ，那么此直角三角形的斜边长是( ) A ．3 √2 cm B ．3 √3 cm C ．9cm D ．27 cm 16．已知 √7 =a ， √70 =b ，则 √10 等于( )A ．a+bB ．b-aC ．abD ．b a17．如图，长方形内三个相邻的正方形面积分别为4，3，和2，则图中阴影部分的面积为( )A ．2B ．√6C ．2√3+√6−2√2−3D ．2√3+2√2−5 18．√16 的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．±4 D ．219．下列计算正确的是（ ） A ．√(−3)2=−3 B ．√9=±3C ．√−83=2D ．√(−4)33=−4 20．估计 2√6 的大小应（ ）A ．在2～3之间B ．在3～4之间C ．在4～5之间D ．在5～6之间 21．若式子 √3−x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x <3B ．x ≤3C ．x ≥3D ．x ≠3 22．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．√12B ．√17C ．√75D ．√5a 3 23．如果 a =√3+2， b =√3−2 ，那么 a 与 b 的关系是（ ） A ．a +b =0 B ．a =b C ．a =1b D ．a <b 24．下列计算正确的是（ ）A ．√2+√3=√5B ．3√2−2√2=1C ．√2×√3=√6D ．√24÷√6=4 25．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ） A ．√3+√2 B ．√3 C ．√33 D ．√3−√226．下列计算正确的是（ ）3A ．(3−2√2)(3−2√2)=9−2×3=3B ．(2√x +√y )(√x −√y )=2x −yC ．(3−√3)2=32−(√3)2=6D ．(√x +√x +1)(√x +1−√x )=1 27．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ） A ．(x −1)√−x B ．(−1−x )√−x C ．(1−x )√−x D ．(1+x )√−x二、填空题28．若二次根式 √x −3 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 29．二次根式 √x +4 中，字母x 的取值范围是 ． 30．（√6+√5）2021×（√6−√5）2022 = ． 31．若一个二次根式与 √12 的积为有理数，则这个二次根式可以是 32．计算√−83+√36−√49= ；33．如果最简二次根式√2x −1与√5是同类二次根式，那么x 的值为 ． 34．已知实数a ，b ，c 表示一个三角形的三边长，它们满足 √a −3 +|b-3|+ √c −4 =0，则该三角形的形状为 35．已知1＜a ＜3，则化简 √1−2a +a 2 ﹣ √a 2−8a +16 的结果是 ．36．函数y ＝ √x+5x 的自变量x 的取值范围为 ． 37．比较大小： 1√6−√5 1√7−√6（用 >,< 或 = 填空） 38．①比较大小：- 3√2 -4；②√33的倒数为 ． 39．若x 、y 满足y= √x −2 + √2−x ＋4，xy= . 40．如果最简二次根式 √2a −3 与 √7 是同类二次根式，那么a 的值是 ．三、计算题41．计算： （1）4√12−√18+√8 （2）√12×√36√6 （3）(√2−√3)2−(√3+√2)(√3−√2) ．四、解答题42．计算： 3√3−√27+(π−2020)0+√24÷√2 43．若 x ， y 为实数，且 x =√y 2−1+√1−y 2+y y+1，求 x −3+y 的值.44．已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足 b =3+√3a −6+5√2−a ，求此三角形的周4 长.45．有一道练习题是：对于式子 2a −√a 2−4a +4 先化简，后求值．其中 a =√2 ． 小明的解法如下：2a −√a 2−4a +4 = 2a −√(a −2)2 =2a ﹣（a ﹣2）=a+2= √2 +2． 小明的解法对吗？如果不对，请改正．46．如果最简二次根式 √3a −8 与 √17−2a 是同类二次根式，那么要使式 √4a −2x +√x −a 有意义，x 的取值范围是什么？47．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简： √(−c)2+|a −b|+√(a +b)33−|b −c|48．古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：S= √p(p −a)(p −b)(p −c) ，其中a ，b ，c 为三角形的三边长，p= a+b+c 2．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求该三角形的面积．49．若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，且满足等式 √a −1+(b −√3)2+(c −2)2=0 求证：△ABC 是直角三角形50．如图所示是工人师傅做的一块三角形铁板材料，BC 边的长为2 √35 cm ，BC 边上的高AD 为 √28 cm ，求该三角形铁板的面积．每天进步一点点，就是迈向卓越的开始 5 答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】A14．【答案】B15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】D18．【答案】A19．【答案】D20．【答案】C21．【答案】B22．【答案】B23．【答案】A24．【答案】C25．【答案】B26．【答案】D27．【答案】C28．【答案】x≥329．【答案】x≥-430．【答案】√6−√531．【答案】√3632．【答案】-333．【答案】334．【答案】等腰三角形35．【答案】2a−536．【答案】x≥-5且x≠037．【答案】< 38．【答案】＜；√339．【答案】840．【答案】541．【答案】（1）解：原式=2 √2 -3 √2 +2 √2 = √2 （2）解：原式= √12×√3×√66 =√12×3×66 =√6 （3）解：原式=5- 2 √6 -(3--2)=4- 2 √6 42．【答案】解：原式= √3−3√3+1+2√3 =143．【答案】解：由题意得，y 2-1≥0且1-y 2≥0， 所以，y 2≥1且y 2≤1，所以，y 2=1所以，y=±1，又∵y+1≠0，∴y≠-1，所以，y=1,所以，x= 11+1=12 ,∴x −3+y =(12)−3+1=944．【答案】解：∵b =3+√3a −6+5√2−a ∴3a －6≥0，2－a≥0∴a=2∴b=3∵a ，b 分别为等腰三角形的两条边长 ∴等腰三角形的另一条边为2或3∴等腰三角形的周长为：2+2+3=7或2+3+3=845．【答案】解：小明的解法不对．改正如下：7 2a −√a 2−4a +4 = 2a −√(a −2)2 =2a ﹣|a ﹣2|， ∵a= √2 ，∴a ﹣2＜0，∴原式=2a+a ﹣2=3a ﹣2，把a= √2 代入得原式=3 √2 ﹣246．【答案】解：由题意，得3a ﹣8=17﹣2a ，解得a=5；4a ﹣2x≥0且x ﹣a≥，解得5≤x≤10，√4a −2x +√x −a 有意义，x 的取值范围是5≤x≤1047．【答案】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|， =c+（-a+b ）+a+b-（-b+c ），=c-a+b+a+b+b-c ，=3b.48．【答案】解：设a=2，b=3，c=4， ∴p= a+b+c 2=2+3+42=92∴S= √p(p −a)(p −b)(p −c)= √92(92−2)×(92−3)×(92−4) = 3√154∴该三角形的面积为 3√15449．【答案】证明：由题意，得a= 1，b= √3 ，c= 2，∵a 2+b 2= 4，c 2= 4，∴a 2+b 2=c 2， ∴△ABC 是直角三角形50．【答案】解：解：根据题意可知，S △ABC =12×BC ×AD =12×2√35×√28=√35×28=14√5故三角形铁板的面积为14 √5 cm 2。
《二次根式》典型练习题
《二次根式》分类练习题知识点一:二次根式得概念【知识要点】二次根式得定义：形如得式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当就是一个非负数时，才有意义.【典型例题】【例1］下列各式1） G，2）戶,3） - + 2,4）折,5） J（- y,6）VF二7,7）J R _2“ +1,其中就是二欠根式得就是 _________ （填序号）.举一反三：1、下列各式中，一走就是二次根式得就是（）A、B、C、D、2、在、、-中就是二次根式得个数有_____ 个【例J 2］若式子有意义，则x得取值范围就是 ____________ .举一反三：1、使代数式有意义得x得取值范围就是（）A、x > 3 oB、x>3 C x > 4 、x>3 且XH 42、使代数式有意义得x得取值范围就是__________________3、如果代数式有意义用吆，直角坐标系中点P（m, n）得位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y二++2009,则x+y= _______________解题思路:式子(a^0),,y=2009 ,则x+y 二2014举一反三：1、若，则x-y得值为( )A.-lB.l C ・ 2 D ・ 32、若x、y都就是实数，且y=^xy得值3、当取什么值时代数式取值最小，并求出这个最小值。
已知a就是整数部分r b就是得小数部分『求得值。
若得整数部分就是a』\数部分就是b,则________ .若得整数部分为x,小数部分为y ,求得值、知识点二：二次根式得性质［知识要点】1、非负性:^(a>0)就是一个非负数.注意：此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到.2、(咼2 =a(a>Q.注意:此性质既可正用,也可反用，反用得意义在于，可以把任意一个非负数或^负代数式写成完全平方得形式:a=(s'a)2(a>£)3、僖七屮心》注意:(1)字母不—走就SE数.b«(a<Q(2 )能开得尽方得因式移到根号夕卜时，必须用它得算术平方根代替•⑶可移到根号内得因式必须就是非负因式如果因式得值就是负得应把负号留在根号外.4、公式僖与4的二(心)得区别与联系(1) 厲表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.（2）（苗）2表示f 数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.（3） Q 与（石）2得运算结果都就是非负得.【典型例题】_【例4］若则 __________ .举一反三：1、若，则得值为____________ 02、已知为实数，且则得值为（）3、已知直角三角形两边x、y得长满足| x2-4 | +二0,则第三边长为4、若与互为相反数，则。
二次根式专项训练及答案
二次根式专项训练及答案二次根式专项训练及答案一、选择题1．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．下列各式计算正确的是( )A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D【解析】解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误；B不是同类二次根式，不能合并，故错误；C．（2a2）3=8a6，故错误；D．正确．3．若x、y4y=，则xy的值为()A．0 B．12C．2 D．不能确定【答案】C【解析】由题意得，2x?1?0且1?2x?0，解得x?12且x?12，∴x=12，y=4，∴xy=12×4=2.故答案为C.4．1x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x ≠B ．3x ＞-且1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≥-且1x ≠ 【答案】D【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．【详解】在有意义，∴x+3≥0，x-1≠0，解得：x≥-3且x≠1，故选D ．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．5．下列运算正确的是( )A B ．1)2＝3－1 C D 5－3 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．-+的结果为（）6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a bA．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，()2+=-++=.a ab a a b b故选C．考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．-有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）7．mmnA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.8．2-=-，那么x的取值范围是（）x x(1)1A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16【答案】A【解析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可.【详解】由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0，解得，x≥1，故选A.本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围.9．如果最简二次根式38-能够合并，那么a的值为（）a-与172aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．10．下列计算错误的是( )A．3+22=52B．8÷2=2C．2×3=6D．82-=2【答案】A【解析】【分析】选项A，不是同类二次根式，不能够合并；选项B，原式=2222÷=；选项C，原式=236=；选项D，原式=2222-=.故选A.11．下列运算正确的是（）A．B．C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6【答案】B【解析】【分析】各式计算得到结果，即可做出判断．解：A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式＝，符合题意；C 、原式＝a 2﹣6a +9，不符合题意；D 、原式＝﹣8a 6，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．下列根式中是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】【分析】A 、B 、C 三项均可化简.【详解】解：，，，故A 、B 、C 均不是最简二次根式，为最简二次根式，故选择D.【点睛】本题考查了最简二次根式的概念.13．下列各式中，运算正确的是（）A 222()-=-B 284=C 2810=D ．222=【答案】B【解析】【分析】 2a a b ab =a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．【详解】A ()222-=，故原题计算错误； B 2816=，故原题计算正确；C 2832=D 、22不能合并，故原题计算错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．14．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义即可求解.【详解】=2，故不是最简二次根式；故选C.【点睛】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.15．计算201720192)2)的结果是( )A ．B 2C ．7D ．7- 【答案】C【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 201722)2)]2)?，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】解：原式=201722)2)]2)+?=2017(34)(34)-?-1(7=-?-7=故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．6C．236223+--D．23225+-【答案】D【解析】【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积((222323=222233+=23225故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．17．下列运算正确的是()A532=B822=C114293=D()22525-=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．3=，故C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．18．下列运算正确的是（）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答. 【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则. 19．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（）A B ． C + 1 D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =.【详解】解：（221m m ++1）31m m +÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=?+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．下列计算正确的是( )A ．3=B =C ．1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=?=D 2==，正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．。
二次根式专题(含答案详解)
数学专题 第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、 二次根式式子a （ ）叫做二次根式提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、 二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）③= （a ≥0 ,b ≥0）④= (a ≥0, b ≥0)提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 重点考点例析考点一：二次根式有意义的条件A ．x ≠3B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3（a ≥o ）（a ＜o ）思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练 1．使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12C ．x≥0且x≠12 D ．一切实数 解：由题意得：2x-1≠0，x≥0，解得：x≥0，且x≠12，故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ．故选C ．点评：二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2()a b a ++的化简结果为 ．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|， ∴2()a b a ++=|a+b|+a =-a-b+a=-b ， 故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3．二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，将各式进行化简是解题关键． 对应训练=4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0， 1+， (1)11)44x x x+=考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．80分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可． 解：2221146450-- =2(11464)(11464)50+-- =1785050⨯- =50(17850)⨯- =50128⨯=222582⨯⨯⨯=2×5×8，=80， 故选D ．考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算 【聚焦中考】1．下列运算正确的是（ ）B ．A 2(5)5-=- B ．21()164--= C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 52.计算：182= ．0 3．计算：0(3)123-+⨯= ．7【备考真题过关】 一、选择题1．要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是（ D ）A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2 D．x≤2 2．计算102÷=（ A ）A 5B ．5C ．52D ．1023.计算：322-=（ ）4．已知3()(221)3m =-⨯-，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 解：3()(221)3m =-⨯- 23213=⨯ 2373=⨯ 2728==，∵252836<<，∴5286<<，即5＜m ＜6， 故选A ．5．下列计算正确的是（ D ） A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3223-=D ．14772⨯=6．下列等式一定成立的是（ B ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=7．使式子有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x≥﹣1 B ． ﹣1≤x≤2C ． x≤2D ． ﹣1＜x ＜2解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2； 故选B ．8．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵×=a ﹣b ，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C ．主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键． 9．下列计算错误的是（ ）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘法对A、B进行判断；根据二次根式的除法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解：A、=，所以A选项的计算正确；B、与不是同类二次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；C、÷===2，所以C选项的计算正确；D、==×=2，所以D选项的计算正确．故选B．10．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D 进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项不正确；B、×=，所以B选项不正确；C、﹣=2=，所以C选项正确；D、÷=2÷=2，所以D选项不正确．故选C．11．下列计算或化简正确的是（）A．a2+a3=a5B．C．D．分析：A、根据合并同类项的法则计算；B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是平方根；D、利用分式的性质计算．解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误；B、+3=+，此选项错误；C、=3，此选项错误；D、=，此选项正确．故选D．考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根．12．下列计算正确的是（）A．B．C．D．分析：根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案．解：A、•=1，故本选项正确；B、﹣≠1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、=2，故本选项错误；故选A．二、填空题解：∵20n=22×5n． ∴整数n 的最小值为5． 故答案是：5．∴222a <-<，即22b <<．故答案为：22b <<．1205的结果是22的结果是2)222+⨯⨯1。
二次根式精选习题及答案
二次根式精选习题21.1二次根式:1. 使式子有意义的条件是2. 当 __________ 时，VTP有意义。
3. 若、、~m — 有意义，则m 的取值范围是。
m 1 -------------------4. 当x ___________ 时，J 1 x 2是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：x 4 9 ______________ , x 22^2x 2 ____________ 6. 若■, 4? 2x ，则x 的取值范围是 ________________________ 。
7. 已知x 2 22 x ，则x 的取值范围是 ________________________8. 化简：「X 2—2X ^1 xp1的结果是 ___________________________ 。
9. 当 1 x p 5时，x 5____________ 。
10. 把a j 丄的根号外的因式移到根号内等于 __________________ 。
11.使等式x 1 x 1 _________________ 成立的条件是14.下列各式一定是二次根式的是（B. 3 2mC. .a 21D.15.若 2p a p 3，贝U , 2 a 223等于A. 5 2aB. 1 2aC. 2a 5D. 2a 112.若a b 1与J a 2b 4互为相反数，则2005a b13.在式子J* x f 02, . y 1 y2 ,、，2x x p 0 ,33^. x 21, x y 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2A. a 1 ,a 1C. a 1、、1Q2 3 22 3 A2 12、3 2 2 3,12L 22^3 2 ,3L L L L L L 3 2 2L L L L L L L L 4A. 1B. 2C. 3D. 421.若、,x ' 2 y y 4y 4 0， 求xy 的值。
初中数学二次根式的混合运算专项训练题8(附答案详解)
初中数学二次根式的混合运算专项训练题8（附答案详解）1．计算2(11)-+-2．计算：（1）÷ （2）0(2)|1-- 3．计算：（1(22)（2）2212|2|2⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭（3（4）201820190 (2(22--⨯- 4+5．计算：21)-．6．计算：|﹣1|+（π﹣3.14）0﹣（﹣12）-278．计算：（121-（22018(1)- 9．()1计算：2+()2解方程组：5x 3y 32x y 232-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 10．计算：（1（2）11)-+．11．已知m n ==22m mn n ++的值.1213．计算：（12-⎝⎭（2）2 14．计算：（1）（2）(÷（3）22-（4）． 15．计算及解方程组:（1）÷-⨯+；（2）(2(÷； （3）解方程组:546231x y x y +=⎧⎨+=⎩ ． 16．计算及解方程组：（1(222- （2）31)51553x y y x -=+⎧⎪-+⎨=⎪⎩（ 17232)18．计算：（1；（2）2 (2+．19．计算：（1（2）))2111-．20．计算：（1（2）(21+-．21．计算：22．计算：（1）2)（2）11 (2|()2--23．计算．（1（224．计算：（1）1211)|37-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）(52)++．25．（1；（2）2(11)1)+．26．把下列各式化成最简二次根式．（1）（2（3）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()236236+--- 27．（1）计算：+|1﹣|﹣+；（2）已知2（x+1）2﹣49=1，求x 的值．28．化简：222524(1)244x x x x x x -+-+÷+++，并求当=-123x 29．计算：)2131312723212|-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 30．（1112123548333； （2）计算：2(35)(25)(25)+--．31．先阅读，再解答：由22(53)53(5)(3)2⋅=-=可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：323232(32)(32)-==++-，根据以上运算请完成下列问题：（120192018 20182017； （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：(20191)21324320192018+++++++． 32．化简下列式子：22ab a b 112a b a ⎛ ⎝． 33．二次根式计算：（1925a a（2755496108（3）14864）÷27； （4）(236)(236)．34．解下列各题（1）计算：()023.142π-+（2）计算：)3335．计算（1（2）（3）（（4）（4）（+4）﹣（3﹣236．（1）计算：20171-（）4（2）解方程①（用代入法）25,3 6.x yx y+=⎧⎨-=⎩②（用加减法）5,233.484s ts t⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩3712)|2|2---+．38．计算：÷39．计算：（1）(0﹣|﹣3|+(﹣1)2017+(12)﹣1（2）+40．计算：（1）(10π----⎝⎭（2）)221---参考答案1．﹣【解析】【分析】先根据平方差公式及完全平方公式去括号，再合并即可．【详解】(()2111-+-＝1﹣12﹣（12﹣）＝﹣【点睛】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式及完全平方公式是关键．2．(1)143；（2）． 【解析】【分析】(1)根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；(2)根据0指数、算术平方根、绝对值的定义计算以及分母有理化，再合并即可．【详解】(1)÷⎛=+÷ ⎝=÷1323=-+ 143=；(2)0(2)|1--11=-+=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（1）3；（2）2；（3）（4）1【解析】【分析】（1）先化简根式，再计算括号内的，最后从左至右计算即可；（2）先计算立方根与乘方，在从左至右计算即可；（3）先化简根式，在计算乘法，最后计算加减法即可；（4）先利用积的乘方化简式子，在计算乘除，最后计算加减即可.【详解】((22)=122143--=-+=221(2)2|2|214542415422⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=-⨯+-+=-+-+=44===()((((2018201201890222121=14222⎡⎤=⎣⎦+-⨯-=【点睛】 本题考查的是实数的混合运算以及二次根式的混合运算，能够准确的计算是解题的关键. 4．1【解析】【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.【详解】解：原式=21=1.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键. 5．9--【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式、完全平方公式计算可得；【详解】解：原式=(2222211⎡⎤--+⨯+⎢⎥⎣⎦=()73121--+=4121--=9--【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式、完全平方公式，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式、完全平方公式是解题的关键.6．-6【解析】【分析】首先利用绝对值的代数意义、零指数幂法则、负整数指数幂法则及算数平方根定义计算，再根据实数的运算法则求出计算结果．【详解】解：原式=1+1﹣4﹣4=﹣6．【点睛】本题主要考查以下知识：（1）绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（2）零指数幂：任何非零实数的零次幂等于1；（3）负整数指数幂：一般地，a﹣p＝1pa（p是正整数）；（4）算数平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x ²＝a，那么这个正数x叫做a5）实数运算法则：要从高级到低级，即先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的，同级运算按从左往右的顺序进行．掌握以上知识点是解题的关键．7．1【解析】【分析】直接利用立方根以及算术平方根的性质化简各数得出答案．【详解】解：原式＝1+2＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．8．（1）3-2；（2）4.5【解析】【分析】（1）按二次根式的相关运算法则结合绝对值的意义进行计算即可；（2）按实数的相关运算法则计算即可．【详解】解：（1）原式21=3-（2）原式=12212+-+ =4.5 9．(1)5；(2)183x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 【解析】【分析】(1)先利用完全平方公式计算，再利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；(2)先把方程组中的方程化为不含分母的方程，再用加减消元法或代入消元法求解即可．【详解】解：()1原式232=-+5=-5=；()2方程组整理，得：5x 3y 34x 3y 12-=-⎧⎨+=⎩①②， +①②，得：9x 9=，解得x 1=，将x 1=代入②，得：43y 12+=， 解得8y 3=， 所以方程组的解为183x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．故答案为：(1)5；(2)183 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组.10．（121【解析】【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．【详解】（1=4（2）11)-+1511-++15151-+++1．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．11．11【解析】【分析】先求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式变形，代入求值即可. 【详解】∵,m n ==∴mn=1∴22m mn n ++＝222()111m n mn +-=-=.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算法则，完全平方公式的应用，主要考查了学生的计算能力，题目较好.12．【解析】【分析】先化简各二次根式，再合并同类二次根式．【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式是解题的关键.13．（1）；（2）-5【解析】【分析】（1）先根据负整数指数的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．【详解】（1）原式＝＝；（2）原式＝+2）＝﹣5﹣＝﹣5．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．（1）；（2）3；（3）-（4）3- 【解析】【分析】（1）先将各二次根式化成最简二次根式，然后再合并即可；（2）先将各二次根式化成最简二次根式，然后再按照二次根式的乘除法法则计算即可；（3）按照平方差公式22()()a b a b a b -=+- 计算即可；（4）按照平方差公式22()()a b a b a b +-=- 和分母有理化的法则计算即可．【详解】（1）原式=（2）原式)1123=（3）原式(﹣2=﹣；（4）原式=2﹣5=﹣3【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算顺序和法则是解题的关键．15．（1）（2）9-；（3）21 xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算；（2）先算括号里的，再算除法，最后算减法；（3）利用加减消元法解得即可.【详解】解：（1）原式=（2）原式=((83 -++=211--=9-；（3）546 231x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，①×2-②×5得：-7y=7，解得y=-1，代入②，解得x=2，∴方程组的解为21 xy=⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及方程组解法的选择.16．（1）2；（2）1331 xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）先同时计算除法、乘法及化简绝对值，再合并同类二次根式；（2）先将两个方程化简，再利用代入法解方程组.【详解】（1(222-+，=112 -++=2；（2）31)51553x yy x-=+⎧⎪⎨-+=⎪⎩（①②，由①得：3x-y=8.③，由②得：5x-3y=-28.④，由③得：y=3x-8，将y=3x-8代入④，得5x-3（3x-8）=28，解得x=13，将x=13代入③，得y=31，∴原方程组的解是1331 xy=⎧⎨=⎩.【点睛】此题考查计算能力，（1）考查分式的混合运算，将分式正确化简，按照计算顺序计算即可得到答案；（2）考查二元一次方程的解法，复杂的方程应先化简，再根据方程组的特点选用代入法或是加减法求出方程组的解.17．【解析】【分析】直接利用二次根式的加减、乘法法则进行计算即可。
二次根式混合计算练习(附答案)
【解析】
试题分析：二次根式的加减，首先要把各项化为最简二次根式，是同类二次根式的才能合并，不是同类二次根式的不合并；二次根式的乘除法公式 ， ，需要说明的是公式从左到右是计算，从右到左是二次根式的化简，并且二次根式的计算要对结果有要求，能开方的要开方，根式中不含分母，分母中不含根式.
解：（1） =3 ﹣2 + ﹣3 =﹣ ；
（2） =4 × × = ．
2．
【解析】
试题分析：先将所给的各式化简成整数或最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
试题解析：原式
考点：二次根式的计算．
【答案】 .
【解析】
试题解析：解：
＝
＝
＝
＝ .
考点：二次根式的加减
点评：本题主要考查了二次根式的加减运算.首先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式.
4．0
【解析】
试题分析：根据实数的运算法则进行计算即可救出答案.
试题解析：
=
=0
考点：实数的混合运算.
5．(1) 2+ ；(2) ．
【解析】
试题分析：(1)先计算零次幂、二次根式化简、去绝对值符号、把括号展开，然后进行合并即可求解．
（2）把二次根式化成最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
（1）原式=1-1+2 +2-
试题解析：解:原式=18-1＋3－4 +4=24-4 .
考点：二次根式的计算.
26． .
【解析】
试题分析：根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
试题解析：
考点：二次根式的混合运算．
27．（1） .（2）4.
【解析】
试题分析：
二次根式及经典习题及答案
二次根式及经典习题及答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.??? 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.??? 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
七年级数学上册综合算式专项练习题二次根式的计算与应用
七年级数学上册综合算式专项练习题二次根式的计算与应用七年级数学上册综合算式专项练习题：二次根式的计算与应用1. 简介二次根式是数学中的一种重要的运算形式。
在七年级数学上册中，我们学习了二次根式的定义、性质以及计算方法。
本文将通过综合算式专项练习题的方式，来帮助同学们进一步巩固和应用二次根式的知识。
2. 例题一：简化二次根式简化下列二次根式：a) √12b) √18c) √50解析：a) √12 = √(4 × 3) = 2√3b) √18 = √(9 × 2) = 3√2c) √50 = √(25 × 2) = 5√23. 例题二：相同基数的二次根式相加减计算下列二次根式的和与差：a) √8 + √18b) √32 - √8解析：a) √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2b) √32 - √8 = 4√2 - 2√2 = 2√24. 例题三：二次根式的有理数系数相乘计算下列二次根式的乘积：a) 3√5 × 4√10b) 2√3 × 5√6解析：a) 3√5 × 4√10 = 12√(5 × 10) = 12√50 = 12 × 5√2 =60√2b) 2√3 × 5√6 = 10√(3 × 6) = 10√18 = 10 × 3√2 = 30√25. 例题四：分配律在二次根式中的应用计算下列二次根式：a) (2 + √3)(2 - √3)b) (3 + √2)(3 - √2)解析：a) (2 + √3)(2 - √3) = 2^2 - (√3)^2 = 4 - 3 = 1b) (3 + √2)(3 - √2) = 3^2 - (√2)^2 = 9 - 2 = 76. 例题五：分数与二次根式的乘法与除法计算下列二次根式：a) 2/3 × √27b) 4 ÷ √12解析：a) 2/3 × √27 = 2/3 × 3√3 = 2√3b) 4 ÷ √12 = 4 ÷ 2√3 = 2/√3 = 2√3/37. 应用题：计算面积某个正方形的边长为√8 cm，求该正方形的面积。
初一数学上册综合算式专项练习题二次根式的运算
初一数学上册综合算式专项练习题二次根式的运算初一数学上册综合算式专项练习题：二次根式的运算二次根式是数学中的一个重要概念，它包含了很多基本的运算规则。
初一学生在学习数学的过程中经常会遇到与二次根式相关的综合算式练习题。
下面，我们将通过一些例子来加深我们对二次根式运算的理解。
1. 求解以下数值：(1) $\sqrt{9}$(2) $\sqrt{16}$(3) $\sqrt{25}$(4) $\sqrt{36}$(5) $\sqrt{49}$(6) $\sqrt{64}$(7) $\sqrt{81}$(8) $\sqrt{100}$(9) $\sqrt{121}$(10) $\sqrt{144}$2. 将下列二次根式化简为最简形式：(1) $\sqrt{32}$(2) $\sqrt{50}$(3) $\sqrt{72}$(4) $\sqrt{98}$(5) $\sqrt{128}$(6) $\sqrt{200}$(7) $\sqrt{162}$(8) $\sqrt{180}$(9) $\sqrt{288}$(10) $\sqrt{392}$3. 计算以下二次根式的值：(1) $\sqrt{20} + \sqrt{80}$(2) $\sqrt{18} - \sqrt{8}$(3) $\sqrt{50} + \sqrt{32}$(4) $\sqrt{24} - \sqrt{12}$(5) $\sqrt{98} + \sqrt{72}$(6) $\sqrt{64} - \sqrt{48}$(7) $\sqrt{128} + \sqrt{162}$(8) $\sqrt{180} - \sqrt{162}$(9) $\sqrt{288} + \sqrt{405}$(10) $\sqrt{392} - \sqrt{378}$4. 解决以下问题：(1) 一个边长为$\sqrt{50}$的正方形的面积是多少？(2) 一个底为$\sqrt{32}$，高为$\sqrt{18}$的正三角形的面积是多少？(3) 一个底为$\sqrt{27}$，高为$\sqrt{48}$的等腰梯形的面积是多少？(4) 一个直径为$\sqrt{80}$的圆的周长是多少？(5) 一个正方体的棱长为$\sqrt{125}$，求其体积。