上海初三上数学专题训练之锐角三角比专题复习

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沪教版初三上册《锐角的三角比》全章复习与巩固(提高) 知识讲解

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《锐角的三角比》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝∠A的邻边∠A的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0， cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：12．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结锐角的三角比(专题复习一) 教案

课题：锐角的三角比（专题复习一）一、复习目标1.进一步掌握锐角三角比的意义；灵活地解直角三角形.2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合等数学思想方法．3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感.二、复习重点、难点1.复习重点：锐角三角比的意义、解直角三角形.2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题. 三、复习思路四、复习进程（一）题组引入 1.锐角的三角比的定义（1）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（）A.c a A =cos ；B.b c B =sin ；C.b a B =tan ；D.ab A =cot ．（2）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（） A ．sin A ＝3 ； B ．tan A ＝12 ； C ．cosB ＝3 ； D ．tan B ＝3.（3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ．小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边.题组引入及时反馈例题讲解课堂小结B C能力提升2.解直角三角形知识梳理：① 直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边（1）RtΔABC，已知∠C＝900，∠B=30°，AB=6，则∠A= °， BC= .（2）在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=2，B= °.（3）在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC ，∠A=120°，BC=6，那么AB= .（4）在△ABC 中，AC=9，AB=8，∠A=30°，则△ABC 的面积为 .小结:把非直角三角形中的几何计算问题化归为解直角三角形的问题时，常常要构造直角三角形.（二）及时反馈1.选择题：（1）在RtΔABC 中，∠C=900，则cb 是∠A 的（） A.正弦； B.余弦； C.正切； D.余切.（2）在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，AC =，下列判断正确的是（）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =；D. tan 2A =. （3）已知Rt△ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（）A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α.（4）在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（） A.△ABC 是等腰三角形； B.△ABC 是等腰直角三角形；C.△ABC 是直角三角形；D.△ABC 是一般锐角三角形. 2.填空题：（5）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = . （6）计算：6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°= .（7）等腰三角形腰与底边之比是10：12，那么底角的正弦值为 .（8）在△ABC 中，∠ACB =135°，AC= 52，则BC 边上的高为 .（9）如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC=6，AB=10，则∠ACD 的正切值是 .（10）△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= ，则S △ABC =______.（三）例题讲解例题1：∆ABC 中，AB=6，AC=4，∠BAC=120︒，（1）求∆ABC 的面积；（2）求tanB 的值.例题2：如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=12，BE=2EC ，DM⊥AE 于M. 求：∠ADM 的余弦值.（四）能力提升21A CB D已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A’，点C 落到C’，若旋转后点C 的对应点C’和点A 、点B 正好在同一直线上，求∠A’AC’的正切值.（五）课堂小结1. 锐角的三角比的定义如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边2. 解直角三角形在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒.边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边五、课外作业复习点要《锐角的三角比》AB C A B C。

上海中考补习班初三上册锐角三角比专题测试

锐角三角比单元测试（满分100分）年级________ 姓名________ 分数_________一、选择题：(每题3分，共24分) 1．下列说法中，正确的是 ( ）（A ）在Rt ABC ∆中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍; （B ）若45α︒<<90°，则sin 1α>;（C ）cos 30°＋cos45°＝ cos( 30°＋45°）; （D ）若α为锐角， tan α＝512，则sin α＝513. 2．在等腰三角形ABC 中，如果腰与底边的比是5：8，则底角的正弦值是( ）（A ）85; （B ）83; （C ）54; （D ）53. 3．在高度为h 米的飞机上观察地面控制点，测得俯角为α，那么飞机与控制点的距离( ）（A ）sin h α; （B ）cos hα; （C ）sin h α; （D ）cos h α. 4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列等式中，正确的是( ) （A ）c b A =sin ；（B ）a c B =cos ；（C ）b a A =tan ；（D ）abB =cot ． 5．已知Rt △ABC 中，∠A =90º，则cb是∠B 的 A ．正切； B ．余切； C ．正弦； D ．余弦；6．在Rt△ABC 中，已知∠C =90°，AC =3，BC =4，那么∠A 的余切值等于…………（）（A ）53；（B ）54；（C ）43；（D ）34． 7．在∆Rt ABC 中，各边的长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值……………………（）（A ）没有变化（B ）扩大2倍（C ）缩小一半（D ）无法确定8．在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=AB ，则下列结论中，正确的是（）．（A ）43sin =A ；（B ）43cos =A ；（C ）43tan =A ；（D ）43cot =A ．二、填空题（每题3分，共42分） 9.计算：tan 45︒—sin 45︒＝ . 10. 在△ABC 中，AB ＝AC ，又cos B ＝15，则BCAB＝ . 11.一个钢球沿着坡比为3:1=i 的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是米.12．在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =a ，∠B =β，那么AB = （用含a 和β的式子表示）．13．小李在楼上点A 处看到楼下点B 处的小明的俯角是35度，那么点B 处的小明看点A 处的小李的仰角是度．14．如果在△ABC 中，AB =AC = 3，BC =2，那么顶角的正弦值为． 15．如果一斜坡的坡度是1∶3，那么坡角α= 度． 16．已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，cosA=53，AC =12，则 BC = ．17．在△ABC 中，已知AB = AC = 13，BC ＝ 10，那么sin B ＝．18．已知一段公路在斜坡上,坡度i =1:3，若汽车在斜坡上行驶100米，则汽车升高米。

沪教版(上海)初中数学专题锐角的三角比中考模拟题(解析版)

专题锐角的三角比中考模拟题一、单选题1．（2018·上海奉贤中考模拟）如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC 的长度为（）A ．sin h αB ．cos h αC ．tan h αD ．cot h α【答案】B【解析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD 中 cos∠BCD=CD BC ，可得BC=cos cos CD h BCD α=∠. 故选B ．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．2．（2020·上海大学附属学校初三三模）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.下列四个选项，不正确是( )A ．sinA=45B ．cosA=45C ．tanA=34D ．cotA=43【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数逐一判断即可.【详解】A 、3sin 5BC A AB ==,故该选项错误； B 、4cos 5AC A AB ==,故该选项正确；C、3tan4BCAAC==,故该选项正确；D、4cot3ACABC==，故该选项正确故选A.【点睛】本题主要考查直角三角形中的锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键. 3．（2020·浙江萧山初三其他）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A、B、C、D、O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于()A．sin sina xb x B．cos cosa xb x C．sin cosa xb x D．cos sina xb x 【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．【详解】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020·上海崇明�初三一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果 8AC =， 6BC =，那么B 的余切值为（）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】A【解析】【分析】根据余切函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴cotB ＝6384BC AC ==，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2020·上海松江�初三一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sin α的值为（）A ．34B ．12C ．23D ．32 【答案】C【解析】【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE ，再根据面积求出sin α．【详解】解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有AB AE =，1AD =，∴1sin AB AE α==∴1=1 1.5sin S AB AD α=⨯=阴影解之得：2sin 3α=，故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．6．（2020·上海杨浦�初三二模）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（） A ．sin 36a ︒ B ．cos36a ︒ C ．2sin18a ︒ D ．2cos18a ︒【答案】C【解析】【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ； ∴OA=AM sin OAM ∠=218a sin ︒故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.7．（2020·安徽谯城�初三月考）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米D ．tan tan m βα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.8．（2020·安徽谯城�初三一模）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不成立的是（）A ．tan bB a =B ．cos a B c =C ．sin a A c =D ．cot a A b = 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ， ∴tan b B a=，故A 选项成立； cos a B c=，故B 选项成立； sin a A c=，故C 选项成立； cot b A a =，故D 选项不成立；故选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ．锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．9．（2020·安徽瑶海�初三期末）如图，反比例函数k y x=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．【详解】过点A 作AD BC ⊥，∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，且A ，C 均在反比例函数k y x=第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，∵tan ∠ACD=AD DC， ∴3DC AD =，即233k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴3k =．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．（2020·广西初三一模）如图，某数学兴趣小组想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60︒，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）A．10m B．15m C．153m D．53m【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件结合三角函数得∠DCE=30°，进而得到∠DCB=90°，再由∠BDF=30°，可知∠DBE=60°，由DF//AE可得出∠BGF =60°，进一步可得∠ABC=30°，∠DCB=90°.故∠DBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可解答．【详解】解：在Rt△CDE中，CD=10m，DE=5m，∴sin∠DCE=51102 DE mCD m==∴.∠DCE=30°∵∠ACB=60°，DF//AE.∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴103tan303CDBC︒===（m）∴3sin60103152AB BC︒=⋅==（m）．故选答案为B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并灵活运用锐角三角函数的知识是解答本题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．（2020·上海宝山�初三二模）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，3tan =4B ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到11A BC ∆，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC ∆的面积为_________．【答案】46825【解析】【分析】过B 作BD ⊥AC 1，过A 作AF ⊥BC 于F ，解直角三角形求出BC 和BD ，进而得出CD ，然后根据等腰三角形的性质和三角形面积公式即可解答．【详解】解：如图，过B 作BD ⊥AC 1，过A 作AF ⊥BC 于F ，∴BC=BC 1，∴∠BC 1C=∠C ，∵3tan =4ABC ∠， ∴3tan =4AF ABC BF ∠=，设AF=3x ，BF=4x ，则AB=5x ，∵AB ＝5，∴x=1，即AF=3，BF=4，∴BC=8，∴sin ∠C=35BD BC =， ∴BD=245，在Rt △ABD 中，tan ∠C=BD DC =34， ∴24354DC， ∴DC=325， ∵BC=BC 1 ，BD ⊥AC 1，∴CC 1=2DC=645， ∴A 1C= CC 1－AC=645－5=395， ∴1ABC ∆的面积为：1243946825525⨯⨯=．【点睛】本题考查了旋转变换和解直角三角形，通过做辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．12．（2019·上海徐汇�中考模拟）在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，BC ＝6，CD ＝2，tan A ＝34．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为_____．【答案】65 12.【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE ＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB ＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝64+36＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣152，求得DE＝152﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD10，∵tan A＝34，∴tan∠EFB＝BEBF＝34，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴DG GM DQ AQ，∴GD＝6x﹣152，∴DE＝152﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（152﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝65 12，∴当EG过点D时BE＝65 12．故答案为：65 12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2020·上海杨浦�初三二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝43，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【解析】【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝43＝FQDF，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝43，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝BEAE＝43，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝BEAE＝43，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF ＝AE +PE +PF ﹣AD ＝x ﹣1，∵CD ∥AB ，∴∠FDQ ＝∠A ，∴tan ∠FDQ ＝tan A ＝43＝FQ DF ， ∴1x x ＝43， ∴x ＝4，∴PE ＝4，∴AP ＝6+4＝10；如图2，当点Q 落在AD 上时，∵将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠BPQ ＝90°，∴∠APB ＝∠BPQ ＝90°，在Rt △APB 中，∵tan A ＝AP BP ＝43，AB ＝10， ∴AP ＝6；如图3中，当点Q 落在直线BC 上时，作BE ⊥AD 于E ，PF ⊥BC 于F ．则四边形BEPF 是矩形．在Rt △AEB 中，∵tan A ＝BE AE ＝43，AB ＝10， ∴BE ＝8，AE ＝6，∴PF ＝BE ＝8， ∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF ⊥BQ ，∴PF ＝BF ＝FQ ＝8，∴PB ＝PQ ＝2，BQ 2PB ＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或10，故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键. 14．（2020·上海初三月考）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan APD ∠=______．【答案】2【解析】【分析】连接AF ，先证明Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF ，可得BAE CBF ∠∠=，继而证明A 、P 、F 、D 四点共圆，由圆周角定理可得AFD APD ∠∠=，进而根据正切的定义即可求得答案.【详解】连接AF ，E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，CF BE ∴=，AD 2DF=，在ΔABE 和ΔBCF 中，AB BC ABE C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt ΔABE ≌Rt ΔBCF(SAS)，BAE CBF ∠∠∴=，又BAE BEA 90∠∠︒+=，CBF BEA 90∠∠︒∴+=，BPE APF 90∠∠︒∴==，ADF 90∠︒=，ADF APF 180∠∠︒∴+=，∴A 、P 、F 、D 四点共圆，AFD APD ∠∠∴=， AD tan APD tan AFD 2DF ∠∠∴===，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正切等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.15．（2019·上海市上外民办劲松中学初三二模）如图，矩形ABCD 中，2BC =，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A '、C '处，如果点A '、C '、B 在同一条直线上，那么tan ABA ∠'的值为__________．【答案】512-．【解析】试题分析：如下图，设矩形的边长CD ＝x ，由'''A D A C C D BC =，得222x x +=，整理，得：，解得：15x =-±，所以，CD ＝51-，所以，tan ∠BA'C=''C D A D =512-．故答案为512-．考点：三角形相似的性质，一元二次方程，三角函数．16．（2018·上海静安�初三二模）等腰△ABC中，AB=AC，它的外接圆⊙O半径为1，如果线段OB绕点O旋转90°后可与线段OC重合，那么∠ABC的余切值是_____．【答案】21±．【解析】分两种情况，（1）当△ABC为锐角三角形，∵AB=AC，OB=OC，∴AD垂直平分BC，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBD=45°，∵OB=1,∴BD=OD=22，在Rt△ABD中，tan∠ABC=2122122ADBD+==+;（2）当△ABC为钝角三角形，∵AB=AC，OB=OC，∴AD垂直平分BC，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBD=45°，∵OB=1，∴BD=OD=22，在Rt△ABD中，tan∠ABC=2122122ADBD-==-.故答案为21±．点睛：本题是圆的综合题，主要考查的知识点有垂径定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，解决本题要注意分△ABC为锐角三角形和△ABC为钝角三角形两种情况求解，不要漏解.17．（2018·全国初三单元测试）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形的边长为13cm，5cos13ABC∠=，那么凉衣架两顶点A、E之间的距离为________cm．【答案】【解析】【详解】连接AC、BD交于点O，作AM⊥BC于点M，∵AB=BC=13cm，cos∠ABC=513，∴BM=BC•cos∠ABC=13×513=5，∴由勾股定理得：AM=12∴MC=8，由勾股定理得：AC=13∴在直角三角形ABO中，22313AB AO-=∴BD=2BO=613 ∴凉衣架两顶点A 、E 之间的距离为61318．（2020·上海宝山�初三一模）如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE=9，BC=12，则cosC=_____．【答案】23 【解析】试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE 是BC 的中垂线可得CE=BE=9，CD=12BC=6，∠EDC=90°，则cosC=6293CD CE ==. 考点：中垂线的性质、三角形函数.19．（2019·上海市民办新竹园中学初三月考）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，αβ∠∠、如图所示，则()cos αβ+=______.【答案】217. 【解析】【分析】给图中各点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED 可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a ，则AE=2a ，3，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．【详解】给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示．在△ABC 中，∠ABC=120°，BA=BC ，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a ，则AE=2a ，DE=2×sin60°•a=3a ， ∴227AD AE DE a =+=，∴cos （α+β）=217DE AD =．故答案为：217．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．三、解答题20．（2020·上海大学附属学校初三三模）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，5AB BC ==，2,AD =⑴求CD 的长；⑵若∠ABC 的平分线交CD 于点E ，连结AE ，求∠AEB 的正切值．【答案】（1）4；（2）2【解析】【分析】(1) 过点A 作AF ⊥BC 垂足为F ，得到BF 的长度，在Rt △AFB 中运用勾股定理即可得到AF 的长度，利用AF=DC 进而得到答案；(2)先证明ABE ∆≌CBE ∆（SAS ），根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠CEB ，运用勾股定理求解CE 的长度即可得到答案；【详解】解：（1）过点A 作AF ⊥BC 垂足为F ，由题意得FC =AD =2，AF =CD ，.∵BC =5，∴BF =5-2=3，在Rt △AFB 中：222AB AF BF =+ （勾股定理），即：22253AF =+解得AF =4，∴CD =4；（2）由AB =BC ，∠ABE =∠CBE ，BE =BE ，得到ABE ∆≌CBE ∆（SAS ），∴∠AEB=∠CEB （全等三角形对应边相等），∴AE=EC （全等三角形对应边相等），设AE=EC =x ，则DE=4x -，在Rt △ADE 中，222AE AD DE =+222(4)2x x =-+，解得52x =，5tan tan 252BC AEB CEB CE ∠=∠=== 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用、三角函数得运用、全等三角形的判定与性质，证明∠AEB=∠CEB 是解题的关键．21．（2019·上海长宁�初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，9043ACB AC BC ∠===，，，点D 是边AC 的中点，CF BD ⊥，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．求：（1）ACE ∠的正切值；（2）线段AE 的长．【答案】（1）2tan 3ACE ∠=；（2）4017AE =．【解析】【分析】（1）由Rt △ABC ，且CF 垂直于BD ，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD ，根据AC 的长确定出CD 的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；（2）过点E 作EH ⊥AC ，垂足为点H ，在Rt △EHA 中，利用锐角三角函数定义表示出tanA ，进而表示出AE ，在Rt △CEH 中，利用锐角三角函数定义表示出CH ，由CH+AH 表示出AC ，根据已知AC 的长求出k 的值，即可确定出所求．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，又∵CF ⊥BD ，∴∠CFB=90°，∴∠BCE+∠CBD=90°，∴∠ACE=∠CBD ，∵AC=4且D 是AC 的中点，∴CD=2，又∵BC=3，在Rt △BCD 中，∠BCD=90°．∴tan ∠CBD=23CD BC =， ∴tan ∠ACE=tan ∠CBD 23=；（2）过点E 作EH ⊥AC ，垂足为点H ，在Rt △EHA 中，∠EHA=90°，∴tanA=EH HA， ∵BC=3，AC=4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴tanA=34BC AC =， ∴34EH HA =，设EH=3k ，AH=4k ，∵222AE EH AH =+，即()()2223k 4k AE =+，∴AE=5k ，在Rt △CEH 中，∠CHE=90°，∴tan ∠ECA=23EH CH =， ∴CH=92k ， ∴AC=AH+CH=9174422k k k +==，解得：817k =， ∴AE=5k=4017．【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，正确作出辅助线、利用参数列方程求解是解决本题的关键．22．（2020·上海金山�初三二模）如图，已知在四边形ABCD 中∠A=∠ABC=90°，点E是CD 的中点，△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，1AD =，3AB =．（1）求点A 和点E 之间的距离；（2）联结AC 交BE 于点F ，求AF AC 的值．【答案】（1） AE 3；（2）35AF AC = 【解析】【分析】（1）连接AE 交BD 于H ，根据△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，得AE ⊥BD ，AH=HE ，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABD SAB AD BD AH =⋅=⋅求出23AH =得到答案；（2）根据∠A=90°，1AD =， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E 是CD 的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM ∥BC ，32AF AM CF BC ==，即可求出35AF AC =. 【详解】（1）连接AE 交BD 于H ，∵△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，∴AE ⊥BD ，AH=HE ，∵∠A=90°，1AD =，3AB =∴BD=2，∵1122ABD S AB AD BD AH =⋅=⋅, ∴AB AD BD AH ⋅=⋅， ∴23AH =∴AE=23AH =（2）延长AD 、BE 交于点M ，∵∠A=90°，1AD =， BD=2，∴sin ∠ABD=12AD BD =， ∴∠ABD=30°，∵△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E 是CD 的中点，∴BE 垂直平分CD ，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=3tan 30AB =， ∵AM ∥BC ，∴32AF AM CF BC ==， ∴35AF AC =.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.23．（2020·上海浦东新�初三二模）已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，点O 为斜边AB 的中点，以O 为圆心，5为半径的圆与BC 相交于E 、F 两点，连结OE 、OC ．（1）求EF的长；（2）求COE∠的正弦值．【答案】（1）6；（2）55．【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥EF于点G，根据垂径定理得出EG=FG，然后由O为AB的中点，OG∥AC可推出OG为△ABC的中位线，从而可求出OG的长，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的长，从而可得出EF的长；（2）首先由直角三角形斜边中线的性质可得出CO=BO，然后根据等腰三角形的性质可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG 中，求出sin∠OCG的值即可得出结果．【详解】解：（1）过点O作OG⊥EF于点G，∴EG=FG，OG∥AC，又O为AB的中点，∴G为BC的中点，即OG为△ABC的中位线，∴OG=12AC=4，在Rt△OEG中，由勾股定理得，223OE OG-=，∴EF=2EG=6；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，2285AC BC+=又O为AB的中点，∴5OG⊥BC，∴CG=BG=12BC=8，∴CE=CG-EG=8-3=5，∴CE=EO，∴∠COE=∠OCE，∴sin∠OCE=45545OGCO==．∴∠COE的正弦值为55．【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线，综合运算基本性质进行推理是解题的关键．24．（2020·上海闵行�初三二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求CD的长；（2）求点C到ED的距离．【答案】（1）CD=5；（2）5 3【解析】【分析】（1）过A点作AF⊥BC于点F，通过等腰三角形三线合一求出BF的长度，进而求出cos B∠的值，再通过垂直平分线求出BE的长度，在Rt△DEB中利用cos B∠即可求出BD的长度，进而CD的长度可求；（2）过C点作CH⊥ED于点H，通过平行线的判定得出CH∥AB，则有CH CD BE BD=，进而可求出CH的长度，则点C到ED的距离可求．【详解】解：（1）过A点作AF⊥BC于点F．∵AB=AC=6，BC=4，AF⊥BC，∴BF=FC=2，∠BF A=90°．∴在Rt△ABF中，1 cos3BFBAB∠==．∵DE垂直平分AB，AB=6，∴AE=BE=3，∠DEB=90°．在Rt△DEB中，1 cos3BEBBD∠==，∴BD=9，∴CD=BD-BC=5．（2）过C点作CH⊥ED于点H．∵CH⊥ED，AB⊥ED，∴∠DEB=∠DHC=90°，∴CH∥AB，∴CH CD BE BD=． ∵BE=3，BD=9，CD=5，∴53CH =， ∴点C 到ED 的距离CH 为53．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例，掌握等腰三角形的性质，锐角三角函数，平行线的判定和平行线分线段成比例是解题的关键．25．（2020·上海市民办新复兴初级中学初三月考）如图，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，AC ∥x 轴．(1)求这条抛物线的解析式.(2)求tan ∠ABC 的值.(3)若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求点E 的坐标．【答案】(1)21213y x x =-+；(2)1tan 2ABC ∠=；(3)E(4，1)或E(﹣3，1)．【解析】【分析】 (1)将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式求得a 、c 的值即可；(2)过点B 作BH ⊥AC 交AC 延长线于点H ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，先证明△ABH 和△ACG 均为等腰直角三角形，再求出CG 和BG 的长，然后依据锐角三角函数的定义求解即可；(3)过点D 作DK ⊥AC ，垂足为K ，先证明△DCK 为等腰直角三角形，则∠DCK ＝∠BAC ，当AC EC AB CD =或AC DC AB EC=时，△CDE 与△ABC 相似，然后可求得CE 的长．【详解】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 经过点A (0，1)和点B (9，10)，∴1811810c a c =⎧⎨-+=⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴这条抛物线的解析式为21213y x x =-+． (2)过点B 作BH ⊥AC 交AC 延长线于点H ，∵AC ∥x 轴，A (0，1)，B (9，10)，∴H (9，1)，∴BH ＝AH ＝9．又∵∠BHA ＝90°，∴△HAB 是等腰直角三角形，∴∠HAB ＝45°． ∵AC ∥x 轴，A (0，1)，对称轴为直线3x =，∴C (6，1). 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，∵∠GAC ＝45°，∠AGC ＝90°，∴sin 4532CG AC =︒=，∴32AG =．又∵在Rt △ABH 中，92sin 45BH AB ==︒，∴923262BG =-=． ∴在Rt △BCG 中，1tan 2CG ABC BG ∠==． (3)如图2所示：过点D 作DK ⊥AC ，垂足为K ，∵点D 是抛物线21213y x x =-+的顶点，∴D (3，﹣2)． ∴K (3，1)，∴CK ＝DK ＝3．又∵∠CKD ＝90°，∴△CDK 是等腰直角三角形，∴∠DCK ＝45°又∵∠BAC ＝45°，∴∠DCK ＝∠BAC ．∴要使△CDE 与△ABC 相似，则点E 在点C 的左侧．当AC EC AB CD =时，则69232EC =，∴EC ＝2，∴E (4，1)；当AC DC AB EC =时，则63292EC=，∴EC ＝9，∴E (﹣3，1)．综上所述，当△CDE 与△ABC 相似时，点E 的坐标为(4，1)或(﹣3，1)．【点睛】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义和相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键；添加适当辅助线、熟练求解相关点的坐标和线段的长是解（2）题的关键；正确分类、熟练运用相似三角形的判定和性质是解（3）题的关键. 26．（2019·上海长宁�初三二模）如图1，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC ∠===点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，ED DP ⊥，交边BC 于点E ．（1）求证：BE DE =；（2）若,BE x AD y ==，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED 交CA 的延长线于点F ，联结BP ，若BDP ∆与DAF ∆相似，求线段AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）258725()588x y x -=≤≤；（3）185或7039．【解析】【分析】（1）首先得出∠BDE +∠PDA =90°，进而得出∠B +∠A =90°，利用PD =P A 得出∠PDA =∠A 进而得出答案；（2）由AD =y 得到：BD =BA -AD =5-y ．过点E 作EH ⊥BD 垂足为点H ，构造Rt △EHB ，所以52cosyBHBBE x-==，通过解Rt△ABC 知：4cos5BCBAB==，易得答案；（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF时AD AFBD PD=即61857655aaaa=-；②当∠DBP=∠F时，AD AFPD BD=即61857655aaa a=-，借助于方程求得AD的长度即可．【详解】解：（1）证明：∵ED⊥DP，∴∠EDP=90°，∴∠BDE+∠PDA=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠B+∠P AD=90°，∵PD=P A，∴∠PDA=∠P AD，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE；（2）过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE=DE，∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，∴1522y BH BD-==，在Rt△EHB中，∠EHB=90°，∴52 cosyBHBBE x-==，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴4 cos5BCBAB==，5425yx-=∴，∴258725()588xy x-=≤<．（3）如图，设PD=a，则65AD a=，655BD BA AD a=-=-，在等腰△PDA中，3 cos5PAD∠=，易得：7 cos25DPA∠=，则在Rt△PDF中，∠PDF=90°，7 cos25PDDPAPF∠==，∴257aPF=，187aAF=，①当∠DBP=∠ADF时，AD AFBD PD=即61857655aaaa=-；解得a=3，此时61855 AD a==，②当∠DBP=∠F时，AD AFPD BD=即61857655aaa a=-，解得175117a=，此时670539AD a==，综上所述，若△BDP与△DAF相似，线段AD的长为185或7039．【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．。

初三数学专题复习(锐角三角比)

初三数学专题复习（锐角三角比）一、解题指导初中数学中，与锐角三角比有关的综合题主要涉及以下几个方面：1、锐角三角比知识范围内的综合应用；2、锐角三角比知识和解直角三角形知识在生产、生活实际中的应用；3、锐角三角比知识与代数知识的综合应用；4、锐角三角比知识与几何知识的综合应用。

在解这类综合题时，我们可采取以下解题策略：1、要熟练应用直角三角形的一切性质，特别要善于运用勾股定理；2、要熟练应用直角三角形中边角关系，要善于利用特殊角的三角比，可设一条边长用x表示，将其它线段用x的代数式来表示；3、要熟练应用相似形的性质、三角形面积的计算等；4、遇到不规格图表，将其补成直角三角形，尤其要注意仅可能保留特殊角。

二、例题精选：例1、如图，在高于游泳池水面1米的池边椅子A 上观测，测得跳板边缘B 得仰角为150，测得跳板边缘B 在水中倒影B ˊ的俯角为200。

求跳板离水面DE的高度BE ，（备用数据：tg750≈3.732，tg700≈2.747，答案精确到0.01米）。

BA CD EB ˊ例2、如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测角仪CD 测的数顶的仰角为100，已知山坡的的坡角为150。

求树AB 的高（精确到0.1米，已知道Sin100≈0.17，Cos100≈0.98，tg100≈0.18，Sin150≈0.26，Cos150≈0.97，tg150≈0.27）例3、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，DC ⊥BC ，AD ∶BC=2∶5，E 是CD 上的一点，如果沿折痕BE 将ΔBCE 翻折，点C 恰好与点A 重合，求∠ABE的正切值。

A DEB C例4 、如图， ΔABC 中，∠C=900，AB 上的中线长是1，ΔABC 的周长是3+ ，求（1）ΔABC 的中内切圆的半径的值，（2）的值。

例5、已知Rt ΔABC 中，∠C ＝900（1）若AB=C, ∠A=θ，用C 和θ表示BC 、AC （2）若AB=5,Sin= ,P 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 分别作PM 152000322B tg A tg ..54⊥AC 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，设S ΔAMP =S 1，S ΔPNB =S 2，S 四边形ΔCMPN =S 3,AP=x分别求出1S 、2S 、3S 关于x 的函数解析式（3）试比较1S ＋2S 与3S 的大小，并说明理由。

锐角的三角比(考题猜想,易错必刷40题7种题型专项训练)(学生版) 2025学年九年级数学上学期期中

专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义特殊角的三角函数值解直角三角形解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。

沪教版九年级上册第二十五章《锐角的三角比》全章复习与巩固巩固练习

沪教版九年级上册第二十五章《锐角的三角比》全章复习与巩固巩固练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算tan60°+2sin45°−2cos30°的结果是（）A ．2B ．√3C ．√2D ．12．如图，在△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ． 212B ．12C ．14D ．213．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A ．12BC ．14D ．134．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（）米．A ．25B ．C ．3D ．25+5．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45∘．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．35cm6．已知一坡面的坡比为1则坡角α为( )A ．15°B ．20°C ．30°D ．45°7．如图所示，在高为2 m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4 mB ．6 mC ．4√2mD ．(2+2√3)m 8．因为1sin302︒=，1sin 2102=-°，所以sin 210sin(18030)sin30=+=-°°°°；因为sin 452=°，sin 2252=-°，所以sin 225sin(18045)45sin ︒=︒+︒=-︒，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα︒+=-，由此可知：sin 240︒=（）．A ．12-B ．2-C ．D ．二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，CD AB =511，则cos∠CEB =________；tan∠CEB =_________．10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为_______；CD 的长为_________.11．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．12．如果方程x 2-4x+3=0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为＿＿＿＿＿＿＿．131-sin 2α=，则锐角α的取值范围是________． 14．在△ABC 中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=__________．15．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 _________________.16．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8.则(1)BE 的长为_________.(2)∠CDE 的正切值为________.三、解答题17．如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM交AC 于点D ，60BOE ∠=°，1cos 2C =，BC =的度数；（1）求A（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．18．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）MN 1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？19．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q 作QR∥BA 交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离；(2)求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)是否存在点P，使△PQR是以PQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由参考答案1．C【解析】原式=．故选C．2．A【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=2，sinC=35，AC=5，∴=BD AB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴，∴BD=3，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．3．D【解析】【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13 CDBD=，∴tanB′=tanB=13．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．4．B【详解】解：过点B作BE⊥AD于E．设BE=x．∵∠BCD=60°，tan∠BCEBE CE =，CE x∴=，在直角△ABE中，，AC=50米，50x-=，解得x=即小岛B到公路l的距离为故选B.5．D【解析】如图，依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20，∴水深至少应为55-20=35cm．故选D．6．C【解析】分析：α==，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角由斜坡的坡比为1:可得tanα的度数.详解：∵斜坡的坡比为1:，坡角为α，α==，∴tanα=.∴30故选C.点睛：知道：“斜坡的坡比等于坡角的正切函数值”是解答本题的关键.7．D【解析】【分析】由题可知地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和，据此即可解答．【详解】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan30°=2√3(m)，则地毯的总长至少为(2+2√3)m故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是明白地毯的长度=构成直角三角形的两直角边的和．8．C【解析】本题考查的阅读理解能力。

上海初三上数学专题训练之锐角三角比专题复习

学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题锐角三角比专题复习授课时间教学目标指导学生理解直角三角形中五个元素的关系，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。

重点、难点解直角三角形和三角比之间的关系。

考点及考试要求理解并掌握锐角三角比的概念；掌握锐角三角比的计算；掌握解直角三角形。

教学内容一、知识点梳理与学习——锐角三角比解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确——解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。

因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系：sin∠A＝cos∠B＝ac， cos∠A＝sin∠B＝bc，tan∠A＝cot∠B＝ab， cot∠A＝tan∠B＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°（3）三条边之间的关系：以上每个边角关系式都可看作方程。

解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

第25章锐角的三角比九年级数学上册单元复习(沪教版)解析版

第25章锐角的三角比【真题训练】考试时间90分钟满分150分考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．一、选择题（每小题4分，共24分）1.（2020杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A. 45B. 35C. 34D. 43【答案】A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB5==，∴sinB＝ACAB＝45故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.（2020崇明区一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果 8AC =， 6BC =，那么B 的余切值为（）A.34B.43C.35D.45【答案】A【分析】根据余切函数的定义解答即可．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴cotB ＝6384BC AC ==，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3.（虹口区）若cos α＝，则锐角α的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【分析】根据cos α＝，求出锐角α的度数即可．【解答】解：∵cos α＝，∴α＝60°．故选：C ．4.（松江区）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为A. 35B.43C.45D.34【答案】A【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【详解】解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（3，4）∴5OA==，∴35 cosα=故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识．5.（松江区）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sinα的值为（）A.34B.12C.23D.32【答案】C【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE ，再根据面积求出sin α．【详解】解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有AB AE =，1AD =， ∴1sin AB AE α==∴1=1 1.5sin S AB AD α=⨯=阴影解之得：2sin 3α=，故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．6.（徐汇区）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A. 200米B. 400米C. 米D.【答案】D【分析】已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【详解】根据题意，此时小李离着落点A的距离是200=sin30︒故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．二、填空题（每小题4分，共48分）7.（黄浦区）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为_____．【答案】4；【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出GA的长，进而得出DG的长，利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】设AG交BC于D∵AB＝AC＝5，BC＝8，点G为重心，∴AD⊥BC,BD＝CD＝12BC＝12×8＝4，∴AD2＝AC2−CD2，AD＝3，∴GA＝2，∴DG＝1，∴BG∴∠CBG的余切值＝BDDG＝4，故答案为4.【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键.8.（黄浦区）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可.【详解】过点E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=45，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2 ∴BF=6∴在Rt △BEF 中2，又∵△BGD ∽△BEF∴BG BD=BE BF，即GE=BE-BG=2. 【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似. 9.（杨浦区）如图，在菱形ABCD 中，O 、E 分别是AC 、AD 的中点，联结OE ．如果AB =3，AC =4，那么cot ∠AOE =______．；【分析】根据O 、E 分别是AC 、AD 的中点，知OE 是中位线得AOE ACD ∠=∠，连接BD ，根据菱形的性质知AC 与BD 垂直平分，在Rt OCD △中，根据勾股定理可求得OD ，继而求得答案.【详解】如图，连接BD ，在菱形ABCD 中，O 是AC 的中点，∴O 也是对角线的交点，且AC 与BD 垂直平分， ∵O 、E 分别是AC 、AD 的中点， ∴OE CD ， ∴AOE ACD ∠=∠ 在Rt OCD ∆中，114222OC AC ==⨯=，3CD AB ==,∴OD =∴cot ∠AOE = cot5OC ACD OD ∠===【点睛】本题考查了求角的正切余切函数，涉及的知识有：菱形的性质，中位线的性质以及勾股定理，利用中位线的性质证得AOE ACD ∠=∠是解题的关键.10.（杨浦区）如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．【答案】6 5【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD、BC相交于点E，∵∠B=90°，∴4 tan3BEAAB==，∴BE=44 3AB⋅=，∴CE=BE-BC=2，5=，∴3 sin5ABEAE==，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，sinCDECE =，∴CD=36sin255 CE E⋅=⨯=.11.（宝山区）如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ．若BE ＝9，BC ＝12，则cosC ＝．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE ＝BE ，再根据等腰三角形的性质可得出CD ＝BD ，从而得出CD ：CE ，即为cosC ．【解答】解：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴CE ＝BE ， ∴CD ＝BD ， ∵BE ＝9，BC ＝12， ∴CD ＝6，CE ＝9， ∴cosC ＝＝＝，故答案为．12.（奉贤区）已知ABC ∆中，90C =∠，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是________. 【答案】8【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解. 【详解】∵ABC ∆中，90C =∠，3cos 4A =，6AC =，∴AB=683cos4ACA==，故答案是：8.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键. 13．（虹口区）如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα＝．那么m＝．【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．∵A（2，m），∴OE＝2，AE＝m，∵tanα＝＝，∴＝，∴m＝3，故答案为3．14.（虹口区）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝．【分析】设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得．【解答】解：如图，DE与BG交于点O，∵正方形DEFG，∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90°，GF＝DE＝EF，∴△BDE∽△ABC，∴，∴，∵∠DOG＝∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴，∴tan∠DGB＝．故答案为：15.（嘉定区）如图，有一个斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度i=1:2.5,那么该斜坡的水平距离AC的长____m【答案】75【分析】根据坡度的定义解题即可.【详解】坡度tanA=i=BCAC =301:2.5AC,解得AC=75故答案为75【点睛】本题主要考查坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键.16（静安区）如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）【答案】【分析】由解直角三角形，得tan ABACBAC∠=，即可求出AB的值.【详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴tanAB ACBAC∠=，∴tan15tan60AB AC ACB=•∠=⨯︒=∴大楼AB的高度为米.故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．17（静安区）矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为___.【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD=26，∵5 sin13ABADBBD∠==，∴5261013AB=⨯=，∴24AD==，∴该矩形的面积为：2410240⨯=；故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键．18.（闵行区）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan BAE∠=______.【分析】根据旋转不变性，BD=BE ．根据三角函数的定义可得tan ∠BAE 的值．【详解】由题意，得BD=BE=tan 2BE BAE BA ===∠.【点睛】本题主要突破两点：一是三角函数的定义；二是旋转图形的性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（杨浦区）计算：13tan 3045cos60︒︒︒-【答案】1．【分析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可. 【详解】原式=131322⨯-1=1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.20.（静安区）先化简，再求值：2222244x y x yx y x xy y--÷+++，其中x=sin45°，y=cos60°．【分析】利用分式乘法和除法进行化简，再把x、y的值代入计算，即可得到答案. 【详解】解：原式＝2(2)2()()x y x yx y x y x y-+⋅++-＝2x yx y++．当x=sin45°=2，y=cos60°=12时，12+⨯=【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的混合运算，解题的关键是正确的进行化简，掌握特殊角的三角函数值. 的21.（静安区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=20，3sin5A=，CD⊥AB，垂足为D．（1）求BD的长；（2）设AC a=，BC b=，用a、b表示AD．【答案】（1）9；（2）1616 2525a b-【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有tan∠DCB=tan∠A，即可求出BD的长度；（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出AB，然后求出AD.【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，sin CDAAC=，∴3sin20125CD AC A=⋅=⨯=．∴16 AD==，∴3 tan4CDAAD==．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．∴3tan tan1294BD CD DCB CD A=⋅∠=⋅=⨯=；（2）∵16925AB AD DB=+=+=，∴1625 ADAB=，又∵AB AC BC a b=+=-，∴161616252525AD AB a b==-．【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.22.（黄浦区）如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C、D为监测点，已知点C、D、B在同一直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°（1）求道路AB段的长（结果精确到1米）（2）如果道路AB的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由；参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002【整体分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）求出汽车的实际车速即可判断．【满分解答】解：（1）在Rt△ACD中，AC＝CD•tan∠ADC＝400×2＝800，在Rt△ABC中，AB＝ACsin ABC＝8000.5736≈1395(米)；（2）车速为：139590≈15.5m/s＝55.8km/h＜60km/h，∴该汽车没有超速．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．23.（杨浦区、崇明）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm 的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？【整体分析】（1）作BO⊥DE于O，根据矩形的判定，可得四边形ABOE是矩形，先求出∠DBO，然后根据锐角三角函数即可求出OD，从而求出DE；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，根据锐角三角函数，即可求出CG，从而求出KH，再求出∠DCK，利用锐角三角函数即可求出DK，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论.【满分解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE 是矩形，∴∠OBA ＝90°，∴∠DBO ＝150°﹣90°＝60°，∴OD ＝BD •sin60°＝cm ），∴DE ＝OD +OE ＝OD +AB ＝（+5）cm ；（2）过C 作CG ⊥BH ，CK ⊥DE ，由题意得，BC ＝CD ＝20m ，CG ＝KH ，∴在Rt △CGB 中，sin ∠CBH ＝202CG CG BC ==，∴CG ＝，∴KH ＝，∵∠BCG ＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK ＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt △DCK 中，sin ∠DCK ＝DK DC ＝DK 20＝12， ∴DK ＝10cm ，∴此时连杆端点D 离桌面l 的高度为10++5=（cm∴比原来降低了（+5）﹣（）＝10，答：比原来降低了（10）厘米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.24.（杨浦，青浦）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【整体分析】根据正切的概念表示出BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可.【满分解答】由题意，得∠ABD =90°，∠D =20°，∠ACB =31°，CD =13．在Rt △ABD 中， ∵tan ∠=AB D BD， ∴tan 200.36==︒AB AB BD ．在Rt △ABC 中， ∵tan ∠=AB ACB BC， ∴tan 310.6==︒AB AB BC ． ∵CD =BD -BC ， ∴130.360.6=-AB AB ．解得11.7≈AB 米．答：水城门AB 的高约为11.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．25.（长宁、金山区）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O ﹣A ﹣B ﹣C 表示支架，支架的一部分O ﹣A ﹣B 是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO ⊥OM ，垂足为点O ，且AO ＝7cm ，∠BAO ＝160°，BC ∥OM ，CD ＝8cm ．将图2中的BC 绕点B 向下旋转45°，使得BCD 落在BC ′D ′的位置（如图3所示），此时C ′D ′⊥OM ，AD ′∥OM ，AD ′＝16cm ，求点B 到水平桌面OM 的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm ）【整体分析】过B 作BG ⊥OM 于G ，过C ′作C ′H ⊥BG 于H ，延长D ′A 交BG 于E ，则C ′H ＝D ′E ，HE ＝C ′D ′＝8，设AE ＝x ，解直角三角形即可得到结论．满分解答】解：过B 作BG ⊥OM 于G ，过C ′作C ′H ⊥BG 于H ，延长D ′A 交BG 于E ，则C ′H ＝D ′E ，HE ＝C ′D ′＝8，设AE ＝x ，∴C ′H ＝D ′E ＝16+x ，∵∠BC ′H ＝45°，∴BH ＝C ′H ＝16+x ，∴BE ＝16+x +8＝24+x ，∵∠BAO ＝160°，∴∠BAE ＝70°，【∴tan70°＝2410.36 BE xAE x+==，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．。

上海初三上数学专题训练之锐角三角比与解直角三角形 (1)

b caACB学科教师辅导讲义年级：初三辅导科目：数学课时数：3课题锐角三角比教学目的掌握理解三角比的概念，熟练掌握特殊角的锐角三角比值教学内容一、知识要点：1、在Rt △ABC 中，∠C=90°。

∠A 的正弦：sin a A c， ∠A 的余弦： cosA=b c ， ∠A 的正切： tanA=a b。

2、特殊角度的三角函数值 0＜sinA ＜1， 0＜cosA ＜1注意：定义中应该注意的几个问题:1、sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2、sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,习惯省去“∠”号.3、sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.4、sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5、角相等,则其三角函比值相等；两锐角的三角比值相等,则这两个锐角相等.3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。

二、典例精析：例145cos 45sin +的值等于（） A.2B.213+ C. 3 D. 1例2 Rt ABC △中，∠C ＝900，AB ＝5,sinA=35,则AC ＝。

例3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC 等于AB 边上的中线的32，求sinB 的值。

例3.如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB例4.若α为锐角，sin α=31，求cos α和tan α三、反馈检测：一、选择题：ABC1、如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（）A. 5B.552C. 55D.32第1题图第2题图2、如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为，3sin 5A =，则下列结论正确的有（） ①6cm DE =②2cm BE = ③菱形面积为260cm④410cm BD =Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个3、如图7，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关4、如图所示，CD 是一个平面镜，光线从A 点射出经CD 上的E 点反射后照射到B 点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ．若AC =3，BD =6,CD =12,则tan ａ的值为（）A ． 34 B. 43C. 54 D. 53二、填空题：5、计算：2sin60°= .6、若30α=∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．7、在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．8、计算45tan 30cos 60sin -的值是。

沪教版初中总复习专题训练中考总复习：锐角三角函数综合复习--巩固练习(基础)

沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A＝ B．tan A＝ C．cosB＝ D．tan B＝第1题第2题2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）A． B． C．D．3．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A． B． C． D．4．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（）A.2B.C.D.第4题第6题5．（2015•大邑县校级模拟）一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A．B．3C．D．以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）A.sinA=cosAB.sinA＞cosAC.sinA＞tanAD.sinA＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+t an30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=.计算的值为 .11．（2015春•茅箭区月考）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】sinA＝＝，tan A＝＝，cosB＝＝．故选D.2.【答案】A；【解析】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==，故选A．3.【答案】C；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C．4.【答案】A；【解析】∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC=，∴tan∠CAD===2．故选A．5.【答案】B；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B．6.【答案】B；【解析】∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选B．二、填空题7．【答案】；【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=．8．【答案】；【解析】过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，在Rt△ACD中，AC==2,∴sinA=.9．【答案】+；【解析】2sin30°﹣sin245°+ t an30°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．10．【答案】3；【解析】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．11．【答案】40 ；【解析】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】；【解析】∵正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，∴MC=1，HN=2，∵DC∥EH，∴，∵HC=3，∴PC=3，∴PH=6，∴tan∠NPH=，故答案为：．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以 (米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。

沪教版九年级第一学期25.2求锐角的三角比的值同步练习题

数学九年级上第二十五章锐角三角比25.2 求锐角的三角比的值（1）一、选择题1.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高,如果BC=a, B β∠=,那么AD 等于 ( )A. 2sin a β⋅B. 2cos a β⋅ C. sin cos a ββ D. sin tan a ββ 2. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（）A ．2tan 3B = B ．2cot 3B =C ．2sin 3B =D ．2cos 3B = 3. 已知点P （tan45°,-cos30°）,则P 点关于原点的对称点P ’的坐标是（）A. )21,1(-- B. )21,1(- C. )23,1(-- D. )23,1(- 4、已知：是锐角，23sin =α，则等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么B A sin sin +等于（）A. 1B. 231+C. 221+D. 43 6、已知：c b a ,,是△ABC 的三边，并且关于的方程02)(222=++++c ab x b a x 有两个相等实根，则△ABC 形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定。

二、填空题7、已知：α为锐角，1tan =α，则α=____________度。

8、已知：α为锐角，3sin 2=α，则____________。

9、若3)20tan(3=︒-α，则锐角α=____________。

10、α为锐角，且关于x 的方程0sin 222=+-αx x 有两个相等的实数根，则α为____________度。

11. 在△ABC 中,若tan 12A B +=,则C ∠= . 12. 计算: 2sin 604cos303tan 60-+= .13.在△ABC 中,如果AB=那么C ∠的度数为 .14.设α为锐角,则cos 1α-= .15.在△ABC 中, A ∠,B ∠均为锐角,且2tan (2sin 0B A +=,则△ABC 的形状是 .16. 在正方形ABCD 中，∠ABD 的余弦值等于________．17. 已知 α是锐角，，且sin cos αα=，则α＝度。

初三第一轮复习-锐角三角比(沪教版)

30
10、已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2，它把物体
5 5 送到离地面5米高的地方，物体所经过的路程为______米．
2013年中考
某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆 AEF升起后的位置如图2，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．
13 25
6.在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=2AC，那么∠ A的正弦值是____
5
仰角与俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
视线
铅Hale Waihona Puke 垂仰角线俯角
水平线
视线
7、水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，
点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）
②两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
③边角之间的关系:
tanA＝
a b
sinA＝ a
c
cotA＝
b a
cosA＝
b c
2.解直角三角形所需条件
①一个锐角和一条边
②两条边
4.在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=3，COSB= ,
1
18 那么AB=_____
6 5
5.等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么COS ∠ B=____
结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．

沪教版初三上册397914锐角的三角比巩固练习

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习锐角的三角比巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A． B． C． D．2．若∠A是锐角，且cosA＝，则( )A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25° B．55° C．65° D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )A． B． C． D．第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A． B． C． D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余切值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( ) A． cm B． cm C． cm D． cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )A． B． C． D．二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为 .12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．16.若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值、正切值和余切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：，，．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，综上，只有C不正确故选：C．2.【答案】B；【解析】∵，，且．∴cos45°＜cosA＜cos30°．又∵在锐角的范围内余弦值大的角反而较小．∴ 30°＜∠A＜45°，故应选B．3. 【答案】C；【解析】由互余角的三角函数关系，，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴α＝65°．4.【答案】C；【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，∴，∵∠OBC＝∠ODC，∴．5.【答案】D；【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，∴．6.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C；【解析】由，∴8. 【答案】A；【解析】∵，∴二、填空题9.【答案】．【解析】过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，所以 cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，所以 tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵，∴，即，．又∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A＝45°，∠B＝30°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝105°．12．【答案】；【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴．13．【答案】2或【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时，．14．【答案】或；【解析】由得，，①当3为直角边时，最小角A的正切值为；②当3为斜边时，另一直角边为，∴最小角A的正切值为.故应填或．15．【答案】；【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°，易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：，联立可求A点的坐标为(-6，-4)，∴，又OC＝OB＝2，∴ BC＝．在Rt△ABC中，．16.【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE．又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝DE．设DE＝k，则CD＝，AC＝2k．在Rt△ACD中，．∴，．．.18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣=﹣．19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵ AE＝BC，∴ AE＝AD又∵∠B-∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴ AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，∵△EAB≌△ADF，∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD．∵ BD是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵ BE，∠BAE＝30°，∴，∴．答：△ABC面积的最大值是．。

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