2017-2018年甘肃省张掖市民乐一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2017-2018学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）命题p：∃x 0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥02．（5分）在等比数列{a n}中，已知a2=4，a6=16，则a4=（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．不确定3．（5分）若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1 B．C．D．54．（5分）实数x，y满足条件，则2x﹣y的最小值为（）A．16 B．4 C．1 D．5．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④6．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条7．（5分）平面内到x轴与到y轴的距离之和为1的点的轨迹为（）A．点B．线段C．正方形D．圆8．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．219．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．D．10．（5分）已知椭圆的弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y+1=011．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP=AC=，PB=1，BP⊥BC，∠BPC=，则该三棱锥外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．π12．（5分）设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为．14．（5分）若α，β满足，则2α﹣β的取值范围为．15．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2﹣a72+2a12=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b3b11等于．16．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①有水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．三、简答题（第17题10分，其余每题12分）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知动点P（x，y）（其中x≥0）到y轴的距离比它到点F（1，0）的距离少1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线l：x﹣y﹣1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积．20．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1，且a1=1（1）证明：数列{a n+1}是等比数列（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求使得S n≥62﹣n成立的正整数n的最小值．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．22．（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆的右焦点为F（1，0），斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D 三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．2017-2018学年甘肃省张掖市民乐一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）命题p：∃x 0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则（）A．¬p：∃x0∈R，B．¬p：∃x0∉R，C．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0 D．¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题p：∃x0∈R，x02﹣5x0+6＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣5x+6≥0，故选：D．2．（5分）在等比数列{a n}中，已知a2=4，a6=16，则a4=（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．不确定【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=4，a6=16，==±8，又a1q=4，可知：a1与q同号．∴a∴a4==8，故选：B．3．（5分）若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1 B．C．D．5【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、双曲线的焦点在x轴上，有4﹣m＞0，m﹣2＜0，则m＜2，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；②、双曲线的焦点在y轴上，有4﹣m＜0，m﹣2＞0，则有m＞4，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；舍去；故m=；故选：B．4．（5分）实数x，y满足条件，则2x﹣y的最小值为（）A．16 B．4 C．1 D．【解答】解；画出可行域令z=x﹣y，则可变形为y=x﹣z，作出对应的直线，将直线平移至点（4，0）时，直线纵截距最小，z最大；平移至点（0，1）时，直线纵截距最大，z最小将（0，1）代入z=x﹣y得到z的最小值为﹣1∴2x﹣y的最小值为故选：D．5．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．正确的命题是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m⊥n；考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m⊥γ．故选：C．6．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选：B．7．（5分）平面内到x轴与到y轴的距离之和为1的点的轨迹为（）A．点B．线段C．正方形D．圆【解答】解：设所求点的坐标（x，y），由题意可得|x|+|y|=1．所表示的图形如图：所求的轨迹是正方形．故选：C．8．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选：C．9．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．D．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|=|FP|．故当PQ∥y轴时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|=2﹣（﹣1）=3．设点P（1，y），代入抛物线方程12=4y，解得y=，∴P（1，）．故选：D．10．（5分）已知椭圆的弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB的方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y+1=0【解答】解：根据题意，设直线方程AB为y=k（x﹣1）+1，设A、B的横坐标分别为x1、x2，且AB的中点坐标为M（1，1），则有（x1+x2）=1，即x1+x2=2，将直线AB的方程代入椭圆方程中，整理得（2k2+1）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣8=0，有x1+x2=﹣，设则有﹣=2，解可得k=﹣，则直线AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，变形可得x+2y﹣3=0；故选：A．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP=AC=，PB=1，BP⊥BC，∠BPC=，则该三棱锥外接球的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．π【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，AP=AC=，PB=1，BP⊥BC，∠BPC=，∴，∴PC=2PB=2，∴AP2+AC2=PC2，∴AP⊥AC，∴，取PC中点O，则OA=OB=OC=OP=1，∴O是该三棱锥外接球的球心，球半径R=1，∴该三棱锥外接球的表面积是：S=4πR2=4π．故选：C．12．（5分）设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵点M在双曲线﹣=1上，且|MF1|=2|MF2|，∴由双曲线的定义知|MF1|=4a，|MF2|=2a，又∵∠F1MF2=60°，∴在△MF1F2中，由余弦定理得16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°=4c2，解得c=，∴e==．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为5．【解答】解：∵x＞3，∴y=x+=x﹣3++3≥2+3=2+3=5，当且仅当x﹣3=1时，即x=4时取等号，故答案为：5．14．（5分）若α，β满足，则2α﹣β的取值范围为．【解答】解：∵，∴﹣π＜α﹣β＜0，∴﹣＜2α﹣β．故答案为：．15．（5分）已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2﹣a72+2a12=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b3b11等于16．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由2a2﹣a72+2a12=0，得：．∴，∵a7≠0，∴a7=4．则b7=a7=4，∴b3b11=．故答案为16．16．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①有水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是①③④．【解答】解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确；水面四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；因为A1D1∥AD∥CB∥EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，所以A1D1∥水面EFGH正确，故③正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．故答案为：①③④．三、简答题（第17题10分，其余每题12分）17．（10分）已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立，又已知t＜0，求t的取值范围．【解答】解（1）由已知不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．所以0，5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，，解得：∴f（x）=2x2﹣10x．（2）对任意x∈R，不等式t•f（x）≤2恒成立等价于2tx2﹣10tx≤2对x∈R恒成立即2tx2﹣10tx﹣2≤0恒成立因为t＜0，所以只需△=100t2+16t≤0所以所以t的取值范围是．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）max≤0即可，也就是4﹣a≤0，解得a≥4，∴实数a的取值范围是[4，+∞）；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≥4，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，无解，当命题p为假，命题q为真时，，解得：a≤﹣2或1≤a＜4，即a的取值范围是[1，4）∪（﹣∞，﹣2]．19．（12分）已知动点P（x，y）（其中x≥0）到y轴的距离比它到点F（1，0）的距离少1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若直线l：x﹣y﹣1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积．【解答】解：（1）由已知动点P（x，y）（其中x≥0）到y轴的距离比它到点F （1，0）的距离少1，可得|x|+1=|PF|即：x2+2|x|+1=（x﹣1）2+y2，又∵x≥0，∴y2=4x．（2）设B（x1，y1），A（x2，y2），不妨令y1＞0，y2＜0，∵l：x﹣y﹣1=0过点F（1，0），∴，联立y2=4x，x﹣y﹣1=0，消去x可得：y2﹣4y﹣4=0满足△＞0，且，∴S=．△OAB20．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=2a n+1，且a1=1（1）证明：数列{a n+1}是等比数列（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求使得S n≥62﹣n成立的正整数n的最小值．【解答】（1）证明：根据题意，若a n=2a n+1，+1+1=2（a n+1），则有a n+1又由a1+1=2≠0，故数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知，a n+1=2×2n﹣1=2n；则a n=2n﹣1，则S n=a1+a2+…+a n=（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=﹣n=2n+1﹣n﹣2，若S n≥62﹣n，即2n+1﹣n﹣2≥62﹣n，化简可得：2n+1≥64，解可得n≥5，所以正整数n的最小值是5．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，BC=1，E，F是平面ABCD同一侧两点，EA∥FC，AE⊥AB，EA=2，DE=，FC=1．（1）证明：平面CDF⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣F的正弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD．∵AE⊥AB，CD∥AB，∴CD⊥AE．又AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵CD⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ADE．…（4分）解：（1）∵BC=1，EA=2，DE=，∴DE2=AD2+AE2，∴AE⊥AD，又AE⊥AB，AB∩AD=A，∴AE⊥平面ABCD．…（6分）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，2，0），F（0，2，1），E（1，0，2）．∴=（1，2，0），=（0，2，1），设平面BDF的一个法向量=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，﹣1，2）．同理可求得平面BDE的一个法向量=（2，﹣1，﹣1），∴cos＜＞===，…（10分）∴sin＜＞=．故二面角E﹣BD﹣F的正弦值为．…（12分）22．（12分）已知点是椭圆C：上的一点，椭圆的右焦点为F（1，0），斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D 三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．【解答】（1）由题意，左焦点为F′（﹣1，0），由椭圆定义可得2a=|AF|+|AF′|=+=4，解得a=2，b=，所以椭圆C的方程为+=1．（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，又A、B、D三点不重合，∴m≠﹣1，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由得x2+mx+m2﹣3=0，所以△=﹣3m2+12＞0，所以﹣2＜m＜2．x1+x2=﹣m，x1x2=﹣m2﹣3，设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB ═+=+=1+（m+1）﹣，=1+（m+1）﹣，=1+（m+1）﹣，=1﹣1=0，所以k AD+k AB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。