2017年4月杭州二模数学试题及答案

2016学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 2.设1iz i=-（i 为虚数单位），则1||z =（ ）A ．2 B C ．12D ．2 3.设α，β是两个不同的平面，m 是一条直线，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若//m α，αβ⊥，则m β⊥.则（ ） A ．①②都是假命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．①是假命题，②是真命题 D ．①②都是真命题 4.设1k ，2k 分别是两条直线1l ，2l 的斜率，则“12//l l ”是“12k k =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.设方程ln()x ax -（0a ≠，e 为自然对数的底数），则（ ） A ．当0a <时，方程没有实数根B. 当0a e <<时，方程有一个实数根C. 当a e =时，方程有三个实数根D. 当a e >时，方程有两个实数根6.若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有345x y ax by c +-≤++≤345x y ++，则（ ） A. a b c +-的最小值为2 B. a b c -+的最小值为-4 C. a b c +-的最大值为4D. a b c -+的最大值为67.设倾斜角为α的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方.若||||AF m BF =，则cos α的值为（ ）A ．11m m -+ B ．1m m + C.1m m- D ．1m +8.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和.若正整数i ，j ，k ，l 满足()i l j k i j k l +=+≤≤≤，则（ ） A ．i l j k a a a a ≤ B ．i l j k a a a a ≥ C.i l j k S S S S ≤ D ．i l j k S S S S ≥9.设函数2()f x x ax b =++(,)a b R ∈的两个零点为1x ，2x ，若12||||2x x +≤，则（ ） A ．||1a ≥ B ．||1b ≤ C. |2|2a b +≥ D ．|2|2a b +≤10.在等腰直角ABC ∆中，AB AC ⊥，2BC =，M 为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ）A. 线段NO 为定长 B ．||2)CO ∈ C. 180AMO ADB ∠+∠>︒ D ．点O 的轨迹是圆弧非选择题部分（共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.双曲线2212y x -=的渐近线方程为 ；离心率等于 ． 12.若21(2)nx x-的展开式中所有二项式系数和为64，则n = ；展开式中的常数项是 ． 13.已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ= ，D ξ= .14.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ，表面积是 2cm .15.设P 为ABC ∆所在平面上一点，且满足34PA PC mAB +=u u u r u u u r u u u r(0)m >.若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为 .16.设a ，b ，c 分别为ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边，面积212S c =.若2ab =222a b c ++的最大值是 .17.设函数22cos ,||1,()21,||1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，若)()(2)()(l x f x f l x f x f +-+-++2(0)l ≥>对任意实数x 都成立，则l 的最小值为 .三、解答题 ：（本大题共5小题，共74分）ξ0 1 3P41 21 4118.设函数()2cos (cos )f x x x =+()x R ∈. （1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值.19.如图，已知ABCD 是矩形，M ，N 分别为边AD ，BC 的中点，MN 与AC 交于点O ，沿MN 将矩形MNCD 折起，设2AB =，4BC =，二面角B MN C --的大小为θ. （1）当90θ=︒时，求cos AOC ∠的值；（2）点60θ=︒时，点P 是线段MD 上一点，直线AP 与平面AOC 所成角为α.若sin α=，求线段MP 的长.20.设函数()f x =. （1）求函数()f x 的值域；（2）当实数[0,1]x ∈，证明：21()24f x x ≤-.MNN A21. 如图，设点A ，1F ，2F 分别为椭圆22143x y +=的左顶点和左，右焦点，过点A 作斜率为k 的直线交椭圆于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆于点C . （1）求点B 的坐标（用k 表示）； （2）若1F C AB ⊥，求k 的值.21. 已知数列{}n a 的各项均为非负数，其前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有212n n n a a a +++≤. （1）若11a =，5052017a =，求6a 的最大值；（2）若对任意*n N ∈，都有1n S ≤，求证：+120(1)n n a a n n ≤-≤+.x2016学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1-5:BBBCD 6-10:AAABC二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11.2y x =±；312.6；240 13.1，1214.40 15.1416.417.23三、解答题18.解：（1）因为()2cos (cos 3sin )f x x x x =+=2sin(2)16x π++.2226k x πππ-≤+≤Q 22k ππ+，36k x k ππππ∴-≤≤+，∴函数()y f x =的单调递增区间为：(,)36k k ππππ-+()k Z ∈； （2）[0,]3x π∈Q ，72[,]666x πππ∴+∈， 1sin(2)[,1]62x π∴+∈-，()2sin(2)16f x x π∴=++的最大值是3.19.解：如图，设E 为AB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）当90θ=︒时，(2,1,0)A -，(0,1,2)C ，(2,1,0)OA ∴=-u u u r ，(0,1,2)OC =u u u r，1cos 5||||OA OC AOC OA OC ⋅∴∠==-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r . （2）由60θ=︒得3)C ，(1,3)D -，(0,1,0)M -，3)MD ∴=u u u u r，设(01)MP MD λλ=≤≤u u u r u u u u r，则(,)OP OM MP λ=+=-u u u r u u u u r u u u r，()AP OP OA λ∴=-=-u u u r u u u r u u u r，设平面AOC 的法向量为(,,)n x y z =r，0n OA ⋅=r u u u r Q ，0n OC ⋅=r u u u r ，20x y x y -=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，取(1,2,n =r ，由题意，得||7||||AP n AP n ⋅=⋅u u u r r u u u r r ，即231030λλ-+=，13λ∴=或3λ=（舍去）， ∴在线段MD 上存在点P ，且1233MP MD ==.20.解：（1）函数()f x 的定义域是[1,1]-，'()f x =Q ，当'()0f x ≥时，解得0x ≤，()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，min ()(1)(1)f x f f ∴==-=max ()(0)2f x f ==，∴函数()f x的值域为2].（2）设21()24h x x =-，[0,1]x ∈，(0)0h =， 1122111'()(1)(1)222h x x x x --=--+++Q ，1[12x =，=2≤，'()0h x ∴≤.()h x ∴在(0,1)上单调递减，又(0)0h =，21()24f x x ∴≤-.21.解：（1）设点(,)B B B x y ，直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立22143x y +=得， 2222(34)1616120k x k x k +++-=，221612234B k x k -∴-=+，即228634B k x k -+=+，212(2)34B B ky k x k∴=+=+，即2228612(,)3434k k B k k -+++. （2）易知2(1,0)F ，22414BF k k k =-，11BF k k=-， 所以直线2BF ，1CF 方程分别为24(1)14k y x k =--，1(1)y x k=-+， 由21(1)4(1)14y x k k y x k ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得2(81,8)C k k --，代入22143x y +=， 得4219220890k k +-=，即22(241)(89)0k k -+=，得2124k =，所以12k =±. 22.解：（1）由题意知121n n n n a a a a +++-≤-，设1i i i d a a +=-(1,2,,504)i =L ， 则123504d d d d ≤≤≤≤L ，且1235042016d d d d ++++=L ，1255d d d +++≤L Q67504409d d d +++=L 1252016()409d d d -+++L ， 所以12520d d d +++≤L ，61125()21a a d d d ∴=++++≤L .（2）若存在*k N ∈，使得1k k a a +<，则由212n n n a a a +++≤， 得112k k k k a a a a +++≤-≤，因此，从n a 项开始，数列{}n a 严格递增，故12n a a a +++≥L 1k k n a a a ++++≥L (1)k n k a -+，对于固定的k ，当n 足够大时，必有121n a a a +++≥L ，与题设矛盾，所以{}n a 不可能递增，即只能10n n a a +-≥.令1k k k b a a +=-，*()k N ∈，由112k k k k a a a a +++-≥-，得1k k b b +≥，0k b >，故121n a a a ≥+++=L 122()n b a a a ++++=L 12332()n b b a a a +++++L ，122n n b b nb na ==++++L L (1)(12)2n n n n n b b +≥+++=L ， 所以2(1)n b n n ≤+，综上，对一切*n N ∈，都有120(1)n n a a n n +≤-≤+.。