半线性椭圆问题的瀑布型多网格解法
椭圆型方程新解法
4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。
半线性椭圆方程组的一个刘维尔型定理
半线性椭圆方程组的一个刘维尔型定理
刘维尔型定理是椭圆方程的一种重要定理，它说明了椭圆方程的一类特殊形式，即半线性椭圆方程。
所谓半线性椭圆方程，指的是椭圆方程中，系数都是半线性函数，即只包含常数项、线性项、平方项和开方项的函数。
它可以写成如下形式：$$ax^2+by^2 +cxy+dx+ey+f =
0.$$刘维尔型定理指出，当系数a、b、c、d、e满足以下
条件时，上式是一个半线性椭圆方程：$$\begin{align}a&>
0, \quad ab \ne 0 \\c&<2\sqrt{ab} \\d&<0 \\e&>0 \\ f&<0
\end{align}$$可以推导出，这种椭圆方程的根为：$$x =
\frac{-de+2bf-2ce}{2b(d-2a)} \quad \text{and} \quad y = \frac{-
ce-2af+2bd}{2a(e-2b)}$$刘维尔型定理提供了一种有力的工具，用于快速求解带有半线性项的椭圆方程。
此外，刘维尔型定理也可以帮助我们快速判断某个椭圆方程是否是半线性的。
通过检查方程的系数，可以快速判断出它是否满足刘维尔型定理中的条件，从而判断出它是否是一个半线性椭圆方程。
刘维尔型定理也可以用于判断椭圆方程的解的存在性。
如果满足上述条件，那么根据刘维尔型定理，此椭圆方程至少有一对实数解，这一点也可以得到证明。
总而言之，刘维尔型定理为求解半线性椭圆方程提供了重要的理论支持，在实际应用中也有重要的价值。
非线性椭圆偏微分方程的数值方法
非线性椭圆偏微分方程的数值方法非线性椭圆偏微分方程（Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
本文将介绍非线性椭圆偏微分方程的数值解法及其应用。
一、概述非线性椭圆偏微分方程是一类形式如$F(u, \nabla u, \nabla^2u) =0$ 的方程，其中$u$是未知函数，$F$为非线性函数，$\nabla$为梯度算子，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
解决非线性椭圆偏微分方程的解析方法很难获得闭式解，因此需要采用数值方法进行近似求解。
二、常见的数值方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法将求解区域离散化，利用差分近似替代偏微分方程中的各个项，进而转化为代数方程组求解。
该方法简单易行，适用于一维和二维情况，但对于高维情况求解效率较低。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法将求解区域分割成单元，利用试验函数展开未知函数，在每个单元上构造局部近似，并通过装配得到整体近似。
该方法适用于各种复杂几何形状和高维情况，但算法复杂度较高。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域分割成小体积元，通过对流通量进行积分得到通量差分格式，进而得到离散的代数方程组，并通过求解该方程组获得数值解。
该方法适用于守恒型方程和对流扩散型方程，且保持物理量守恒。
三、应用实例非线性椭圆偏微分方程的数值方法在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
以下举例介绍两个实际问题的数值求解方法。
1. 热传导方程（Heat Conduction Equation）热传导方程描述了材料内部的温度分布随时间的变化，其数学模型为$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = f$，其中$u$为温度分布，$k$为导热系数，$f$为外部热源。
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科研热词 自适应网格法 蒸汽注采 等效渗透率 数值频散 数值模拟 交错网格 两水平方法 fct 高精度紧致差分格式 非协调元 非匹配网格 隐式时间积分 重正化方法 辐射流体力学 裂纹 藏文字符识别 自适应计算 经典外推法 粘弹性流体 粗网格 稳定化方法 稠油 瑞雷波 特征提取 牛顿迭代 渗流 正定holmholtz方程 桥梁 有限差分法 有限差分 有限元 最低等阶元 新外推法 断裂力学 应力强度因子 局部网格加密(amr) 季节模拟 多重网格 多相流 多水平方法 外推三层网格法 复杂边界油藏 复杂断层油藏 地下水源热泵 分形矩 低频振荡 交替方向隐式格式 二维波动方程 两重网格 不定helmholtz方程 三次样条 vti介质
53 54 55 56 57
二维三温方程 两重网格法 rbf神经网络 newton-krvlov(nk) c5g7-mox基准题
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
科研热词 推荐指数 粗网格 2 有限差分方法 2 数值模拟 2 navier-stokes方程 2 高含水油藏 1 驱替前缘 1 非饱和水流 1 非结构化网格 1 非均质材料 1 随机场 1 降尺度计算 1 错格虚谱法 1 重叠型区域分解 1 计算流体力学 1 虚拟解 1 结晶 1 细网格 1 精度阶 1 箱梁 1 稳定有限元方法 1 程序验证 1 离散误差 1 礁、滩相储层 1 矢量有限元 1 温度 1 浸入边界法 1 波场正演 1 残差型后验误差 1 杂交应力 1 有限差分异质多尺度方法 1 有限元方法 1 有限元 1 数值摄动算法 1 扩展的多尺度有限元法 1 形态 1 并行算法 1 局部高斯积分方法 1 对流扩散方程 1 多尺度 1 多孔介质 1 基函数 1 变网格 1 动态局部网格加密技术 1 剩余油分布 1 两层有限元方法 1 三维分析 1 mt三维正演 1 inf-sup条件 1
一类半线性椭圆问题的瀑布型多重网格法
摘 要 ： 采用瀑 布 型 多重 网格 法求 解一 类 半 线性 椭 圆问题 ． 适 当条 件 下 ， 明 了该 算 在 证
法具 有能 量 范数 意 义 下最优 收敛 阶和拟 最优 计 算复 杂度．
关键词 ：非 线性 方程 ；半 线性 椭 圆问题 ； ｉｓｈｔ 连 续 ； Ｌｐ ｃ ｉ ｚ 瀑布 型 多重 网格 中图分 类号 ：２ １ ８ ０ ４． ２ 文献标 识 码 ： Ａ
Ｏｎ ｔ ｅＣｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆａＣａ ｃ ｄ ｃＭ ｕ ｔ ｒｄ Ｍ ｅｈ ｄ ｈ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅｏ ｓ ａ ｉ ｌｉ ｉ ｔ ｏ ｇ
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科研热词 存在性 非共振条件 间断有限元方法 速度增益制导 退化椭圆边值问题 轨道机动 航天动力学 自适应计算 线弹性问题 等价范数 稳定性和收敛性 相对运动 特征值问题 特征值 正解 正则性 椭圆边值问题 椭圆轨道 有限推力 有限元 最小二乘有限元 最优控制 数值分析 局部后验误差估计 四阶边值问题 后验误差估计 先验估计 二网格离散方案 两参数特征值问题 三维q_1~(rot)元 三维poisson方程 三维nf_1元 robin边值条件 l-bb条件
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
科研热词 边值问题 超线性 椭圆方程 最大值原理 嵌入定理 对称山路定理 临界点理论 poisson方程 p-laplacian算子 非线性椭圆边值问题 非协调有限元 非光滑区域 零点 近环域 边界层函数法 误差估计 稳定化 矩形 混合变分形式 混合元 椭圆型方程 椭圆 拟线性椭圆问题 广义p-laplacian算子 山路定理 局部超线性 奇摄动 可行性与有效性 单调算子 半线性椭圆方程 共振 二阶椭圆问题 临界点 临界sobolev指数 riemann-hilbert技术 p-函数 p-laplace算子 neumann边值 hardy奇异项 fokas变换方法 dirichlet边值条件 caratheodory条件
Hale Waihona Puke 2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。
这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
多重网格算法综述
多重网格算法综述邹静文 6摘要 本文总结了多重网格算法的基础理论，剖析了多重网格方式的一种并行模式和总结了已取得的功效和待扩充的领域。
对多重网格方式的大体思想有一个较详细的概述，比较分析了单一网格和多重网格的计算结果，并对多重网格的并行模式进行了探讨和分析。
关键词 多重网格算法，套迭代，粗网格校正，并行模式，交织多重网格，区域分解一、引言多重网格法(Multiple Grid Method)，简称M —G 方式是最近几年来求解偏微分方程边值问题的快速方式之一，本文参考前人的文献资料，并结合所学知识，总结多重网格法的基础理论，包括多重网格的应用原那么、具体实现步骤和计算结果的分析和比较。
其计算结果说明：多重网格方式具有收敛速度快的优势，当多重网格方式所用层数越多，生效速度就越快；而且撞制粗、细网格层之间自适应转换的撞制参数在选取上有专门大的灵活性；能够看出随着剖分的加密，单一网格方式达到收敛所需的迭代次数显著增加，而多重网格方式所需迭代次数大体上不随网格的疏密和层数而转变，这说明多重网格方式具有与网格参数无关的收敛性。
二、多重网格方式的基础理论多重网格方式的最初被提出是由于在网格方程迭代求解时，误差的各个Fourier 分量的衰减程度不同。
熟悉到高频振荡误差是局部行为，来源于周围几个网格点之间的彼此藕合，与边界或距离较远的网格点信息无关；而低频滑腻误差是全局行为，要紧来源于边界信息。
传统的点或块松弛都是局部性较强的方式，因此它们能迅速抹平局部性的高频振荡误差，但对全局性的低频滑腻误差却衰减缓慢。
事实上，通过初始几回迭代后，误差将呈现滑腻性。
因此，适应上称能迅速抹平高频振荡误差，使误差趋于滑腻的松驰方式为有效滑腻方式，并用松驰因子来刻画它们的滑腻效应。
多重网格方式思想的引入考虑在简单区域Ω上泊松方程的第一类边值问题(狄立克雷边值问题)：(,)(,),(,)(,)0,(,)u x y f x y x y u x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 那个地址Ω是一个单位正方形，∂Ω是那个正方形的边界如以下图所示：在以步长为h 的网格上hΩ离散后，取得一个线性系统h h h L u f =，其中h L 是一个稀疏矩阵。
非线性分析和半线性椭圆型问题
非线性分析和半线性椭圆型问题科学中的许多问题是通过非线性偏微分方程来描述的，然而这些微分方程是很难求解的，利用拓扑和变分形成的非线性分析方法却能够解决这些问题。
本书就是由拓扑方法和变分方法组成的求解半线性椭圆型问题的非线性分析方法。
书中论述了分岔理论、界点理论和椭圆型偏微分方程等基本问题，给出了偏微分方程研究领域的最新研究成果。
全书由五大部分组成。
第一部分预备，主要有微分学、函数空间、Nemitski算子和椭圆型方程；第二部分拓扑方法，主要内容有分岔理论、分岔的定义和必要条件、Lyapunov-Schmidt约化、单特征值的分岔、Brouwer拓扑度及其属性、Brouwer不动点定理、Leray-Schauder拓扑度及其在椭圆型方程中的应用、Leray-Schauder不动点定理、Krasnoselski分岔定理、拓扑度的全局性质、同伦不变性的改进及其在具有下解和上解的边值问题中的应用、Rabinowitz全局分岔定理、渐近线性椭圆型问题的正解和分岔；第三部分变分方法之一，主要叙述了Hilbert空间和Banach空间上的泛函极值点的存在性、梯度、线性特征值、约束临界点、微分流形、余维数为1的流形、自然约束、次水平集变形、最速下降流、变形与紧性、Palais-Smale条件、约束极小值的存在性及其在超线性Dirichlet问题中的应用、鞍点和极小一极大方法、山路定理及其应用、环绕定理、Pohozaev恒等式；第四部分变分方法之二，包含的内容有Lusternik-Schnirelman类、Lustemik-Schnirelman定理、对称流形偶泛函的临界点、Krasnoselski亏格、临界点的存在性、偶无界泛函的多重临界点及其在Dirichlet边值问题中的应用、上的半线性椭圆型方程的径向解、具有临界指数的边值问题、具有凹凸非线性项的椭圆型问题、Morse理论、代数拓扑的基本内容、Morse不等式、变分算子的分岔和山路界点的Morse指数；第五部分是五个附录，第一个附录给出了椭圆型问题解的对称结果、分类和先验性估计；第二个附录是集中紧支性原理，给出了P.L.Lions在无紧支性的情况下所得到的结果及其在半线性椭圆型问题的应用；第三个附录是R上的分岔问题，叙述了R上在特征值存在的条件下的分岔问题、本质谱产生的分岔；第四个附录是理想流体中涡流环，给出了问题的描述和全局存在性结果；第五个附录是扰动方法，了扰动法在椭圆型问题中的应用、非线性SchrtMinger方程的半典型状态、奇异扰动Neumann问题和偶泛函的扰动。
具有临界指数项的半线性椭圆方程的多解问题
基金项 目： 浙江省 自然科学基金 资助项 目（ ６６ ９ ） 浙 江师范大学青年基金项 目（ ０ ０ ７ Ｙ０２２ ； Ｙ６４ ） 作者简 介： 杨敏波（ ９ ９一） 男 ， １７ ， 浙江余杭人 ， 师． 讲 研究方 向： 非线性泛 函分析．
ａ ｄ ｃ ｅｕ ｌ ｓｉ ｔｎ ｎ ｒ ｙ ｎ ａ ｆ ｌｙ ｅ ｔｍａ ｉ ｇ ｅ ｅ ｇ ． ｒ
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｍ ｌｐｅｓｌｔ ｎ ； ａｄ —ｏ ｏ ｖｃ ｔ ａ ｅｐ ｎ ｎ；（ ． ． ｏｄｔｎ ｐｅ ｄ — ｄ ｘ ｙｗ ｒ ｓ ｕｔ ｌ ｏｕｉ ｓ Ｈ ｒｙＳ ｂｌ ｒｉ ｌ ｘｏ ｅ ｔ Ｐ Ｓ ）ｃｎ ｉ ； ｓｕ ｏｉ ｅ ｉ ｏ ｅ ｉｃ ｏ ｎ
，
称 为 Ｈａｄ—０。 ｖ临 界 指 数 ； ｓ＝ｏ时 ， ｒ ｓｂｌ ｙ ｅ 当
圆方程及 拟线 性椭 圆方程 自文献 ［ ］ １ 以来 已被 广泛 研 究． 年 来 ， 式 （ ） 近 对 １ 的推 广 形 式 引起 了人 们 的注 意， 文献 ［ ］ ２ 运用 对偶 方法 考虑 了如 下一类 奇异 椭 圆方程 ：
』△ ＝ 【 肛 ｕ 一
：
＋ｆ ，， 力 Ａ ｕ ； （ ）∈
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｉ ｓ ｓｕ ｉｄ ａ ｃａ ｓ ｏ ｅ ｌｎ ａ ｌｉ ｔ ｑ ａ ｉｎ ｔ ｒ ｙ Ｓ ｂ ｌｖ ｃ ｔ ａ ｘ ｏ ｅ ｔ Ｗ ｉｈ ｔａ ｔ ｔｗａ ｔ ｄ ｅ ｌ ｓ ｆ ｓ ｍｉｉ ｅ ｒ ｅｌｐ ｉ ｅ ｕ ｔ ｓ ｗｉ Ｈａ ｄ — ｏ ｏ ｅ ｒ ｉ ｌｅ ｐ ｎ ｎ ． ｃ ｏ ｈ ｉ ｃ ｔ
摘
３ １０ ） ２０４
(高等数学)偏微分方程
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yuy x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y uu y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yuu y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y yu y x d x y u y x c yu y x b x u y x a就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yux u u就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒ 初值问题 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题. 2︒ 边值问题 只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒ 混合问题 既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u 在区域D 内满足泛定方程，当点从区域D 内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u 及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u 为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x u x u t u u x x x t F()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂nn n n x u x x x a x u x x x a (1) 式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2)称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ 的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) )是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni i n i x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ 解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2． 非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n i n i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R t un i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()u x x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 ===为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x up p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂== 若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂yb b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bVa V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解. 2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yb x b y a x a ，即回到完全解. 3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b Va V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uFp x F t p p F p t u p Ft x i i i ni iii i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或u F p x F p u F p x F p p Fp up F x p F xp F x n nnni i i nn ∂∂+∂∂-==∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂=∂∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组()()F x y z p q G x y z p q a,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解.例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程dz a x zdx y azdy =++-22 得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为zFqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数)可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为n n n n i i iin n n x f p x f p p f p z p f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111 可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1)称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yP x Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足 zU R y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,,从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P xz发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解 ()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数. [特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-j i j i t xa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线. [狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ 的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量. 作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλ ϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tnj i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i (k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关. (ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c)).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1 ,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ图14.3于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B tu A xv D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统. 考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且()()()()()()()()v u t x u t x v v u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v x t u ,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A ut D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂t x v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=nnnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni i a .如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u m i nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ 式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222tus u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，对任意x D ∈和任意的a i 有()∑∑==≥ni i nj i jiija aa a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）. 如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
一类非对称椭圆问题瀑布型多重网格法
摘
要
关键词
本文将瀑布型多重 丹格法用于求解非对称椭 圆边值问题 数 值 结 最 表 明 算 法 是 有教 的 善布 型多重 网格法 椭圆问题
，
ＣＡＳ ＣＡＤＥ Ｕ ＬＴＩ Ｍ ＧＲＩ Ｍ ＥＴＨ ＯＤ Ｄ ＦＯＲ Ｏ ＬＶＩ Ｓ ＮＧ
００ ．９ ０１ ．２ ０１ ．７ ０ ３ ．ｌ ０８ ． ５ ３ ０ ．２ １． １ １ ９
３１７Ｅ一 ３ ．１２ ８ ４０Ｅ一 ４ ． ７３ ３ １３Ｅ一 ４ ．３ ９ １ １２Ｅ一 ４ ． ３ ９ ５ １０Ｅ一 ５ ． ５ ４ ２ ３０Ｅ一 ５ ． ２１ ９ ３０Ｅ— ．４ ８ —６
Ｎ ＯＮ— ＳＹＭ Ｍ ＥＴＲＩ ＥＬＬＩ Ｃ ＰＴＩ ＰＲＯ ＢＬＥＭ Ｓ Ｃ
Ｙｉ ｇｕ ｉｎ Ｊｎ ｉｇ Ｚ ｎ ｎ ｊ ｎＪａ ｇ ｉｐｎ ｅ ｇ
（ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｃｈ ｎ ｓ ａ， １ ０ ２ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｙ， ａ ｇ ｈ ４ ０ ８ ）
（ ） 一 “… ，一 ，， ２ ， ，
．
，
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其中
是对称 问题 Ａ（ ，）＝ （ ）～ （； （ ∈ Ｖ 的 ｍ 次 基本 自然 科 学 基金 资 助 （０ ７ ０ ７ １０１１） 舒 适 教 授 推荐 收 稿 日期 ０ １ ｌ ２０ 年 Ｏ月 ２ ５日
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８
敷 学 理 论 与 应用
第２ １卷
采 用 Ｂ ｒｍａ ｎ ２ ｏｅ ｕ ［ ］的选 取方 法 ， 即 ｍ， ［ ＝ ２ 一 ］＋ １
２ 数值结果 ．
ｆ １＜ 卢＜ ７ 一 １ 一 １ ２ …， 当 ＞ １时 ， ｄ４ ， ， Ｊ， ＝ １ Ⅱ — Ｊ， Ｊ Ｊ一 １ ２ … ＋ 当 Ｔ ， ， Ｊ＋ ｄ＝ １ ， 时 ＝ １ 叶 一 ，， ｌ ２ … ＋ ７ 一 ， Ｊ 当 ｄ＜ １ ． 时 ＋ ／ ２＋ “＝ ｓ （ ） 北ｏ （ ） ２ ｓ （ ｘ ＋ 一 １ １ ｍ ： １ 真解 为 ｓ （ ｘ ｉ ｎ ＋ ｎ ｓ ／ ＋ ｉ ￣ ） ａ ｎ ．， ， ｉ ｕ） ｎ
一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性
一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性一、什么是半线性椭圆方程半线性椭圆方程是由一个项组合而成的一类“椭圆”方程，这些项中可能含有线性，二次项，以及不变的项或常数项（常数项比较少）。
一般情况下，这个方程的表达式可以写成“Ax2+Bx+C=D”的形式。
其中“A”，“B”，“C”和“D”均为实数，而A不能为0，为了使该方程形成一个完整的“椭圆”形状，A应当比B和C大。
二、半线性椭圆方程的解半线性椭圆方程的解在不同情况下是不同的。
1、当系数“A”，“B”，“C”和“D”都是实数时，半线性椭圆方程的解为：x=(-B±√(B2-4AC))/2A。
2、当“A”，“B”，“C”为实数，而“D”为负数时，半线性椭圆方程的解为：x=(-B±√(B2+4AC))/2A。
3、当“A”，“B”，“C”为实数，而“D”为零时，半线性椭圆方程的解为：x=-B/2A 。
三、水平集的凸性水平集的凸性是指水平集如果是凸的，也就是说任意两点的连线都在集合里，那么集合的图形就被称为凸集合。
在这里，建立在半线性椭圆方程上的水平集也需要满足这样的一个条件，那就是一类半线性椭圆方程组成的水平集必须是凸集，否则就会出现问题。
特别要注意的是，半线性椭圆方程的A不能为0，为了保证水平集是凸的，这是必须要考虑的一个条件。
四、总结在本文中，我们讨论了一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性，其中，一类半线性椭圆方程定义为由一个项组合而成的一类“椭圆”方程；半线性椭圆方程的解取决于系数“A”，“B”，“C”和“D”；水平集的凸性则指水平集如果是凸的，任意两点的连线都在集合里，而一类半线性椭圆方程组成的水平集也必须是凸的，否则就会出现问题。
本文为大家介绍了一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性，其中一类半线性椭圆方程包含有多项，解的情况也有几种，并且要特别注意水平集的凸性。
希望大家在以后的学习当中能够认真的去理解半线性椭圆方程，从而熟悉掌握这类方程的解法和设置水平集的凸性。
【计算机应用】_差分格式_期刊发文热词逐年推荐_20140724
科研热词 通信计算比 负载平衡 负载变化率 自适应 紧致格式 空间天气 磁流体 污染传播 数值方法 数值并行计算 性能模型 八波方法 中心迎风差分ct格式 par1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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科研热词 推荐指数 频偏估计 1 解调 1 联合紧致差分格式 1 紧致差分格式 1 稳定性 1 直接法 1 甚高频数据广播信号 1 有限差分法 1 收敛性 1 广义极小剩余法 1 巴黎期权特性 1 定价模型 1 唯一性 1 同步 1 可转债 1 richardson外推 1 helmholtz方程 1 euler-lagrange分裂格式 1 black-scholes方程 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 稳定性 离散谱预条件子 子域精细积分隐格式 三次样条函数 三向交错网格 一维抛物型方程 hfft cauchy-riemann方程
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 解的存在唯一性 紧致差分格式 收敛性 有限差分 高精度紧致差分格式 高精度
推荐指数 3 3 3 2 1 1 1 非线性schroedinger方程 1 非线性schr(o)dinger方程 1 非线性 1 非定常 1 紧致交错网格 1 涡量-速度法 1 格子波尔兹曼方法 1 有限差分法 1 广义分布函数 1 对角占优 1 对流扩散方程 1 完全匹配层 1 交替方向隐式格式 1 井间地震 1 二维波动方程 1 不可压navier-stokes方程组 1 一维burgers守恒型方程 1 weno差分格式 1 unique solvability 1 tti介质 1 nonlinear schrsdinger equation1 linearized compact difference 1 scheme convergence 1
多重网格法简介（MultiGrid）
多重⽹格法简介（MultiGrid）多重⽹格法是⼀种⽤于求解⽅程组的⽅法，可⽤于插值、解微分⽅程等。
从专业⾓度讲多重⽹格法实际上是⼀种多分辨率的算法，由于直接在⾼分辨率（⽤于求解的间隔⼩）上进⾏求解时对于低频部分收敛较慢，与间隔的平⽅成反⽐。
就想到先在低分辨率（间隔较⼤）上进⾏求解，因为此时，间隔⼩，数据量⼩，进⾏松弛时的时空耗费⼩，⽽且收敛快，⽽且⼀个很重要的优点是在低分辨率上对初值的敏感度显然要低于对⾼分辨率的初值的要求。
这⼀点是显⽽易见的，例如我们平时看⼀个很复杂的物体，在很远的地⽅，你可能就觉得它是⼀个点或⼀个球，但是在近处你就不能这么近似，或许发明多重⽹格法的⼈就是从这⼀基本⽣活常识发现的吧。
多重⽹格法可以直接在低分辨率上以⼀个随意的初值进⾏计算，然后再进⾏插值，提⾼其分辨率，再在更⾼分辨率进⾏计算；也可以现在⾼分辨率以随意初值进⾏计算，得到⼀个结果，再将其限制（插值）到低分辨率去，再在低分辨率上进⾏解算，最终再从低分辨率经插值计算达到⾼分辨率。
有关多重⽹格法的资料可以到这⾥下载：多重⽹格技术（multigrid solver）微分⽅程的误差分量可以分为两⼤类，⼀类是频率变化较缓慢的低频分量；另⼀类是频率⾼，摆动快的⾼频分量。
⼀般的迭代⽅法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。
⾼频分量和低频分量是相对的，与⽹格尺度有关，在细⽹格上被视为低频的分量，在粗⽹格上可能为⾼频分量。
多重⽹格⽅法作为⼀种快速计算⽅法，迭代求解由偏微分⽅程组离散以后组成的代数⽅程组，其基本原理在于⼀定的⽹格最容易消除波长与⽹格步长相对应的误差分量。
该⽅法采⽤不同尺度的⽹格，不同疏密的⽹格消除不同波长的误差分量，⾸先在细⽹格上采⽤迭代法，当收敛速度变缓慢时暗⽰误差已经光滑，则转移到较粗的⽹格上消除与该层⽹格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进⾏下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细⽹格上。
一类非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法
ｃ
ｃ ｓ ａ ｅ ｄ兰 １
１ 言 ．引
多重 网格法 产生 １６ ９ ０年 代 ， １ ７ 于 ９ ０年 代 末 以 来 获 得 迅 速 发 展 它 是 求 解 椭 圆 型 方 程 边 值 问题 的一种 有 救的迭 代解法 ． 为多重 网格 法 的一 类 —— 瀑布 型 多重 网格法 ， 优点 在于 不 作 其
祝 耐 金 周 叔子 （ 南大 学应 用数 学 系， 沙， １ ０ ２ 湖 长 ４ ０８ ）
擅
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本土对二阶非巍性椭圆遗值 问题 提 出一种瀑布型 多重 同枯 法 ， 数值 实验表 明蕾算渣非常有最 ｄ 当
２ １ 时 ， 出 了 理 论 蛄 果 培
关■谱
非蝇性椭 固问题
市型多重 日格 浩 有限元
设 ・ ， ０ ｌ … ， 是 嵌 套 的 拟 一 致 三 角 剖 分 ， 应 的 线 性 协 调 有 限 元 空 间 为 ． 解 “ Ｊ＝ ， ， 相 弱
∈ Ｈ５ｎ）和有 限元解 ‰ ∈ （ 满足：
一 ； 口 “， ）＋ （ ，０ ， ， “） ）一 ０ Ｖ ∈ Ｈ Ｄ） （ ，
虑 了拟线性 问题 ， 明 了最 优 收敛 阶， 证 保证 非线性 问题与 线性 问题 工作 量 相当 本 文 则 把 第 一 类算 法推广到 瀑布 型多重 网格法．
．
本 文其 余部 分 结构如下 ： ２节 陈述问题 及相关 算法 ； ３节列 出在 固定网络层 敷之 下一 第 第 维及二维 的数 值实 验结果 ； ４节 给 出一维 半线性 问题 关于 该算法 的收敛性结 要 第
， 一（ ； ，口 － （ ｚ， ） ） ， ）４ （
，ｊ
，
２２ 算 法 （ ． 瀑布 型 多重 网络算 法） ：
半线性问题的瀑布型多重网格法
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第 ３期
周 叔 子 等 ： 线 性 问 题 的 瀑 布 型 多 重 网 格 法 半
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１７ ３
ｎ（ ｈ， Ｕｉ ）＋ （ ｘ， ＾） ）一 ０， ∈ ， ｆ（ “ ， ， Ｖ ．
（ ４）
本 文 恒 设 网 格 层 数 Ｊ＋ １ 常 数 ， 网格 层 数 固定 ， ｈ 可 趋 于 ０ 本 文 中 出 现 的 常 数 Ｃ可 能 与 为 即 但 ． Ｊ有 关 ， 与 ｈ 但 无 关 ．
（） ５
．
１ ≤ Ｃ ｈ ， “∈ Ｗ （ ， 】 ｚ； 当 ） ２≤ Ｐ≤ 。 。；
．
（） ６ （） ７
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１， 】。 。。≤ Ｃ ｈ ｎ ｌ当 “∈ Ｗ 。力） 。；Ｉ ｈ ， ｌ 。（ ．
Ｊ时 方 程 （ ）之 解 ， Ｕ＾． 此 ［ ］提 出 了下 述 线 性 化 算 法 ． ４ 即 为 ７
［ — ］ 其 文 献 ． 瀑 布 型 多 重 网格 法 求 解 非 线 性 椭 圆 问 题 ， 于 ［ ， ］ 其 算 法 的 构 造 基 于 许 １４ 及 用 始 ５６ ， 进 超 的 两 重 网格 法 中 的算 法 ５ ５ 见 ［ ］ ， ． （ ７ ） 即在 粗 网 格 上 求 解 非 线 性 问题 ， 后 以 粗 网格 上 的 然
ｚ， ）ｌ ｌ （ ∞ ≤ Ｃ
问 题 （ ） 弱 形 式 为 １的
Ⅱ “， （ ）＋ （ ｘ， ， ｆ（ “） ）一 ０， Ｅ （ Ｖ Ｈ ｎ）， （） ３
（） ２
其 中 Ⅱ “ ）一 （ “， （，
） （ ，・ ， ・ ）为 Ｌ 内积 ． ， Ｊ一 ０ ｌ … ， ， ， Ｊ为 嵌 套 的 拟 一 致
【国家自然科学基金】_半线性椭圆方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
科研热词 推荐指数 正解 2 半线性椭圆方程 2 非平凡解 1 集中紧性引理 1 环绕定理 1 正解存在的必要条件 1 椭圆方程 1 梯度项 1 最优控制 1 必要条件 1 带变号扰动的半线性椭圆方程 1 对称山路定理 1 存在性 1 多重解 1 变分泛函 1 变分方法 1 临界sobolev指数 1 不适定 1 robin边值条件 1 pohozaev恒等式 1 hardy-sobolev临界指数 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 正解 hardy-sobolev临界指数 集中紧性原理 山路引理 非径向 紧性 混合dirichlet-neumann边界 椭圆方程 无界域 对偶喷泉定理 存在性 奇异半线性椭圆方程 基态解 半线性椭圆方程组 半线性椭圆方程 上-下解方法 pohozaev等式 hardy项 allee效应 (ps)c*条件
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2011年
2012年 科研热词 推荐指数 序号 正解 2 半线性椭圆方程 2 ekeland变分原理 2 （ps）c条件 1 （ps）c condition 1 非负解 1 非线性方程 1 非平凡解 1 线性化方程 1 稳定解 1 瀑布型多重网格 1 椭圆方程 1 最优控制问题 1 最优性条件 1 山路引理 1 对称山路引理 1 奇异椭圆方程 1 半线性椭圆问题 1 半线性椭圆微分方程 1 加权hardy-sobolev临界指教 1 人口扩散模型 1 临界带权hardy-sobolev指数 1 不动点定理 1 sobolev-hardy不等式 1 positive solution 1 mountain pass lemma 1 lipschitz连续 1 ekeland variational principle 1 critical weighted hardy-sobolev 1 exponents (ps)c-条件 1
半线性椭圆方程的正解
半线性椭圆方程的正解
在我们的日常生活中，常常会听到一些数学方面的术语，其中有一个很常见的
概念叫做半线性椭圆方程。
它是一种非常简洁和健全的数学表达式，可以用来描述具有半径状特征的空间曲线。
半线性椭圆方程是用于解决求解圆周长和面积的数学类型，即：A=2πrh，
C=2πr，其中A表示圆的面积，C表示圆的周长，r表示圆的半径，h表示高度。
如果把这个公式用于半线性椭圆，则其表达形式为：A=πab，其中a是椭圆长轴，b是椭圆短轴，A表示椭圆的面积。
正确的解决方案是：一种适用于半线性椭圆的解析解方法是通过一种特殊的数
学函数，可以以精确的步骤解决，即：根据椭圆的长短轴，运用弦长公式求出圆心角，再用Tan公式和Sine公式求出椭圆的正确坐标。
半线性椭圆方程有很多实际应用，比如，用于设计精细精致的时尚曲线；广告
服务商使用它来制作标志性的曲线广告形象；计算机图形学使用它来渲染复杂的图形；建筑学利用它来为建筑物的设计提供精细曲线等等。
从以上可见，半线性椭圆方程是一种非常强大的数学工具，即便是非计算机专
业的人也可以轻松地掌握和运用，从而实现自己的想象和创意，比如制作出特殊的曲线图案、绘制出优美的计算机图形、解决行政管理等问题，在实际的生活娱乐中，这种数学工具可以灵活使用，以帮助我们完成形式多样的工作。
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应用数学MA THEMA TICA APPL ICA TA2002,15(3):136～139半线性问题的瀑布型多重网格法Ξ周叔子,祝树金(湖南大学数学学院,湖南长沙410082)摘要:本文提出了求解半线性椭圆问题的一类新的瀑布型多重网格法,在网格层数固定的条件下证明了此法的最优阶收敛性.关键词:半线性椭圆问题;瀑布型多重网格法;收敛性中图分类号:O241.6 AMS(2000)主题分类:65N55文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)0320136204多重网格法已被广泛用于求解边值问题,并被认为是最有效的算法之一.在此基础上,近年来出现了所谓瀑布型多重网格法,其优点是不做粗网格校正,从而结构十分简单,其缺点是在粗网格上需大量的磨光次数,但仍可十分有效地求解大型边值问题,因而受到人们重视.见[124]及其文献.用瀑布型多重网格法求解非线性椭圆问题,始于[5,6],其算法的构造基于许进超的两重网格法中的算法5.5(见[7]),即在粗网格上求解非线性问题,然后以粗网格上的解为初值在细网做简单迭代)为基础构造求解半线性椭圆问题的一类新的瀑布型多重网格法,并证明此算法具有最优收敛阶.考虑半线性椭圆问题:-Δu+f(x,u)=0,x∈Ω,(1)u=0,x∈5Ω,其中Ω为R2中的有界域,边界适当光肖,f(x,u)适当光滑.设(1)有唯一解u,且u∈H10(Ω)∩W2,2+ε(Ω),对某个ε>0成立.并设存在正数K,C1,当‖ω-u‖1,∞≤K时|f u(x,ω)|≤C1(2)问题(1)的弱形式为a(u,v)+(f(x,u),v)=0,Πv∈H10(Ω),(3)其中a(u,v)=( u, v),(・,・)为L2内积.用线性协调有限元法求解(3),并采用多重网格法.设T hj,j=0,1,…,J为嵌套的拟一致三角剖分,不妨设h j=h j-1/2,相应的线性协调有限元空间为V j,则V0<V1<V2<…<V J<H10(Ω).相应的有限元方程为:求V hj∈V j满足a(u hj,v)+(f(x,u hj),v)=0,Πv∈V j.(4)本文恒设网格层数J+1为常数,即网格层数固定,但h j可趋于0.本文中出现的常数C可能与Ξ收稿日期:2002203208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071017)作者简介:周叔子(19402),男,汉族,长沙市人,湖南大学数学系教授,1962年毕业于湖南大学数学专业,研究微分方程数值解.J有关,但与h J无关.由[7]可知有以下误差估计‖u-u hj‖1,p≤C2h j,当u∈W2,p(Ω),2≤p≤∞;(5)‖u-u hj‖0,p≤C2h2j,当u∈W2,p(Ω),2≤p≤∞;(6)‖u-u hj‖0,∞≤C2h2j|l nh j|,当u∈W2,∞(Ω).(7)我们的目的是求j=J时方程(4)之解,即U hJ.为此[7]提出了下述线性化算法.算法1第1步 求u0∈V0,使a(u0,v)+(f(x,u0),v)=0,Πv∈V0;(8) 第2步 对j=1,…,J,求u j∈V j,使a(u j,v)+(f(x,u j-1),v)=0,Πv∈V j;(9)上述第2步中每步求解一个线性方程组,可使用迭代法,设第j层上所用迭代算子为I j:I jω=S jω+g j,ω∈V j,记I j,mj =I m j j,S j,mj=S m j j.于是基于算法1可提出瀑布型多重网格法.算法2第1步 求u0∈V0,使a(u0,v)+(f(x,u0),v)=0,Πv∈V0;(10) 第2步 令u0,m=u0,对j=1,…,J,迭代求a( u j,v)+(f(x,u0j),v)=0,Πv∈V j,其中u0j=u j-1,mj-1,u j,mj=I j,mju0j.设迭代算子满足磨光性质(见[224]):‖S j,mjv‖a≤C3h-1j m-r j|v|0,Πv∈V j,(12)‖S j,mjv‖a≤‖v‖a,(13)其中|v|2a=( v, v),r为正数,随迭代算子而异.算法2的结果为u J,mJ,我们要证明误差当J固定时满足‖u hJ -u J,mJ‖a=O(h J),(14)即与‖u hJ-u‖a同阶,从而是最优阶.此即下述定.定理 设u∈W2,∞(Ω),则存在 h>0,当h0≤ h时成立‖u hj -u j,mj‖a≤Ch j,j=0,1,…,J,C4‖v‖a,Πv∈H01(Ω).证 对拟一致剖分,成立逆估计(见[8]):‖v‖1,∞≤C5h-1/2j‖v‖a,Πv∈V j.(15)由(5)式,存在 h>0,当h0≤ h时‖u-u hj‖1,∞≤K/4,CC5h1/2j≤K/2(16)显然u01=u0,m0=u0=u h,即j=0时定理结论为真.由(4)与(11)得a(u h1- u1,v)=(f(x,u01)-f(x,u h1),v)=(f u(x,u h1+θ(u01-u h1))(u01-u h1),v),0<θ<1.(17)而‖u h1+θ(u01-u h1)-u‖1,∞≤(1-θ)‖u h1-u‖1,∞+θ‖u h-u‖1,∞≤K/4,故(2)与(17)得‖u h1- u1‖2a≤C1‖u01-u h1‖0・‖u h1- u1‖0731第3期 周叔子等:半线性问题的瀑布型多重网格法≤C1C24‖u01-u h1‖a・‖u h1- u1‖a.从而‖u h1- u1‖a≤C1C24‖u01-u h1‖a.(18)另一方面,由I1,m1u1= u1及(13)可得‖ u1-u1,m1‖1=‖ u1-I1,m1u01‖a=‖S1,m1( u1-u01)‖a≤‖ u1-u01‖a≤‖ u1-u h1‖a+‖u h1-u01‖a≤(1+C1C24)‖u h1-u01‖a.由此及(5)推出‖u h1-u1,m1‖a≤C′‖u h1-u01‖a=C′‖u h1-u h‖a≤3C2C′h1.(19)由此可知j=1时定理结论为真,并由且(16)得‖u02-u‖1,∞=‖u1,m1-u‖1,∞≤‖u1,m1-u h1‖1,∞+‖u h1-u‖1,∞≤‖u1,m1-u h1‖a C5h-1/21+K/4≤K.在此基础上类似j=1时的论证可得‖u h2-u2,m2‖a≤3C2C′(1+2C′)h2,‖u03-u‖1,∞≤K.一般情形,用类似论证结合数学归纳法得到‖u hj -u j,mj‖≤3C2C′[1+2C′+…+(2C′)j-1]h j,‖u0j+1-u‖1,∞≤K.定理证毕.注 前述算法和定理容易推广到拟线性椭圆问题.下面我们给出算法2的数值试验例子.在粗网格(j=0)上用Newton迭代求解(10).停止准则为相邻两次迭代之差的无穷范数小于10-8.迭代算子取为对称G auss2Seidee迭代.m j 分别按以下两个公式选取(见[2]和[5]):m j=[mJ1/22β(J-j)]+1,(20)m j=[m(J-j)22j]+1, 当j≤J/2,[mJ2022β(J-j)]+1, 当j>J/2.(21)我们的试验中取m=1,β=1,J=3.试验在686个人机上进行.算例为:-Δu+u3=2π2sinπx sinπy+(sinπx sinπy)3,于Ωu=0,于5Ω,其中Ω=(0,1)×(0,1),真解为u=sinπx sinπy.h j分别取为2-6,2-7,2-8(规则网格),计算结果如下表,时间以秒计,误差为能量误差.(20)h j error time2-60.04714.28 2-70.032332.46 2-80.0212719.09 (21)h j error time2-60.06414.012-70.037131.802-80.0239714.42由上表看出,误差衰减比O(h J)略慢一些.在上例中,m j的两种选法(20)与(21)差别不831应 用 数 学 2002明显,因J =3太小.当J 较大时按(21)选取m j 所需工作量将明显小于(20).参考文献:[1] Deuflhard P.Cascadic conjugate gradient methods for clliptic partial differential equations[A ].Proceedings ofDDM 7[C].Providence :AMS ,1994,29～42.[2] Bornemann F and Deuflhard P.The cascadic multigrid method for elliptic probeems [J ].Numer.Math ,1996,75:135～152.[3] Shi Z C and Xu X J.A new cascadic multigrid[J ].Science in China (A ).2001,44:21～30.[4] Braess D ,Dahmen W.A cascadic multigrid algorithm for the Stokes equations[J ].Numer.Math ,1999,82:179～192.[5] Huang Y Q.Multilevel successive iteration methods for elli ptic problems[A ].Workshop on M G[C].湘潭:湘潭大学出版社,2000,31～40.[6] Timmermann G.A cascadic multigrid algorithm for semilinear elliptic problems[J ].Numer.Math ,2000,86:717～713.[7] Xu J.Two 2grid discretization techniques for linear and nonlinear PDEs[J ].SIAM J.Numer.Anal ,1996,33:1759～1777.[8] Brenner S C and Scott R.The Mathematical Theory of Finite Element Methods[M ].New Y ork :S pringer 2Verlag ,1996.A C ascadic Multigrid Method for Semilinear ProblemsZHOU S hu 2zi ,ZHU S hu 2ji n(School of M athem atics ,Hunan U niversity ,Hunan Changsha 410082)Abstract :We proposed a new cascadic multigrid method for solving semilinear elliptic probeems,proved the convergence of optimal order provided the level number of the grids is fixed.K ey w ords :Semilinear elliptic problem ;Cascadic multigrid method ;Convergence931第3期 周叔子等:半线性问题的瀑布型多重网格法。