【学习实践】高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案(附答案)
高三数学一轮复习精品学案：第2课时 简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简1．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝ . 答案 4sin α解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. 2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ . 答案 12cos 2x解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 3．(2018·聊城模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ . 答案 －31010解析 由已知可得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2， ∵α为第二象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4＝－31010. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值典例 (1)(2018·太原质检)『2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)』·2sin 280°＝ . 答案 6解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22『sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)』＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为 ． 答案 －2875解析 sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α. 由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45，tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－43. cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210， sin 2α＝725. 所以sin 2α＋2sin 2α1－ tan α＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. (3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ . 答案 12解析 ∵α为锐角，∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2， ∴cos(α＋β)＝－1114. cos β＝cos 『(α＋β)－α』＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12. 命题点2 给值求角 典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案 C解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan 『(α－β)＋β』＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β ＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4. 引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ .答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训练 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案 268解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (2)(2017·昆明模拟)计算：3cos 10°－1sin 170°＝ . 答案 －4解析 原式＝3sin 170°－cos 10°cos 10°sin 170°＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°＝2sin (10°－30°)12sin 20°＝－4.(3)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝ . 答案 π3解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin 『α－(α－β)』＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3. 题型三 三角恒等变换的应用典例 (2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得 f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是 ． 答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2， 所以T ＝2π2＝π.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． 思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数．(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．规范解答解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.『5分』所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.『6分』 (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，『8分』 由y ＝sin x 的图象可知，当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，－π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12时，f (x )单调递减； 当2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π4时，f (x )单调递增．『10分』 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．『12分』。
高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-简单的三角恒等变换
第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第六节 简单的三角恒等变换教案 理(含解析)
第六节 简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨⎧1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sin α＝2tanα21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2.(2)恒等式：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题体验] 1．计算：cos2π8－12＝________. 解析：原式＝2cos 2π8－12＝cosπ42＝24.答案：242．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，两式展开相加得2sin x cos π4＝75， ①两式相减得2cos x sin π4＝－15， ②①②两式相除得tan x ＝－7. 答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用． [小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin 2x ＝13，则sin x －cos x ＝________.解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin x ＜cos x ，又sin 2x ＝13，∴sin x －cos x ＝－sin x －cos x2＝－1－sin 2x ＝－63. 答案：－632．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝1－cos αsin α＝2.答案：2考点一 三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.答案：22cos α2．化简：1＋sin θ＋cos θ·⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值； (2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，若f (α)＝26，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2α＝________.解析：法一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为f (α)＝26，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13. 法二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝ 12sin 2x ＋12cos 2x ，因为f (α)＝26，所以sin 2α＋cos 2α＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos π4cos 2α＋sin π4sin 2α＝22(cos 2α＋sin 2α)＝22×23＝13. 答案：13角度二：给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 答案：1角度三：给值求角 3．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β＝________.解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，因为sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos 2α＝－255， 又因为sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.答案：7π4[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：782.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.答案：－123．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，所以tan 2α＝－34.因为2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2α＝35，cos 2α＝－45.所以sin 2α＋cos 2α＝－15.答案：－15考点三 三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1. (2019·睢宁模拟)已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值．解：(1)函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12＝3sin x cos x ＋1－cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R)，求：(1)函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)．(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用](2019·南通中学检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62， ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，∴2x 0＝k π－π6(k ∈Z)，∴g (2x 0)＝1＋12sin 4x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝4－34.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1＋12sin 2x＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＝32＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴h (x )＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.即函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝sin αcos α，得α为锐角，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝255，cos α＝55，∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αtan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－794．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝________.解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.答案： 25．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos 2A2－cos 2(B ＋C )＝72，则角A 的大小为________．解析：由4cos 2A 2－cos 2(B ＋C )＝72，得2(1＋cos A )－cos 2(π－A )＝72，化简得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3.答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝________. 解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， 所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，则tan 2α＝________. 解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，可得cos α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 34．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0，∴3π2＜α＋π4≤7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7210，cos α＝－1－sin 2α＝－210， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－2425，sin 2α＝2sin αcos α＝725， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝－31250.答案：－312506．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：137．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析：由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103，所以1sin αcos α＝103，所以sin 2α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2108．(2019·南京模拟)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3或tan α＝13(舍去)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22 ＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22 ＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0. 答案：09．(2018·南通调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求：(1)cos α的值； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10．(2019·扬州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin α的值；(2)若cos β＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝7210×22－210×22＝35. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝45，∵cos β＝13，β∈(0，π)，∴sin β＝1－cos 2β＝223，∴cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，sin 2β＝2sin βcos β＝2×223×13＝429，∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＋35×429＝122－2845.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________.解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32．化简：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11＝________.解析：原式＝－cos π11cos 2π11cos 8π11cos 4π11cos 5π11＝－2sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos5π112sinπ11＝－18·si n 16π11cos 5π112sin π11＝sin 5π11cos 5π1116sin π11＝12sin 10π1116sinπ11＝132.答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换1
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
高中数学教案学案简单的三角恒等变换含习题答案与解析.doc
高中数学教案学案简单的三角恒等变换学习目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值考点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．举一反三1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．考点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．举一反三2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．考点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．举一反三3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分]所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：简单的三角恒等变换
§4.4简单的三角恒等变换考试要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式)(2)1±sin αα2±cos .(升幂公式)(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(√)(2)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)(3)cos 2θ2＝1＋cos θ2.(√)(4)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.(√)教材改编题1．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于()A.12 B.33 C.22 D.32答案D解析方法一(公式法)因为cos 5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.方法二(代值法)因为cos π12＝6＋24，cos 5π12＝6－24，所以cos 2π12－cos 25π12＝＝32.2．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于()A ．－43B.34C ．－34 D.43答案D 解析由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.3．若α为第二象限角，sin α＝513，则sin 2α等于()A ．－120169B ．－60169 C.120169 D.60169答案A 解析因为α为第二象限角，sin α＝513，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×＝－120169.题型一三角函数式的化简例1(1)(2021·全国甲卷)若αtan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于()A.1515 B.55 C.53 D.153答案A解析方法一因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.方法二因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为α所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.(2)已知sin α＋cos α＝233，则sin________.答案13解析因为sin α＋cos α＝233，两边同时平方得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝43，即sin 2α＝13，由降幂公式可知sin＝1－sin 2α2＝12－12sin 2α＝13.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1(1)若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－12sinα2·cos α2，则f ________．答案6－3解析依题意，f (α)＝2tan α－－cos αsin α＝2tan α＋1tan α，而tan π12＝＝tan π3－tan π41＋tan π3·tan π4＝3－11＋3＝2－3，于是得f 2(2－3)＋12－3＝6－3，所以f 6－3.(2)tan＋tan α·tan ________.答案2sin α解析tan＋tan α·tan＋sin αcos α·＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；(2)12sin 10°－32cos 10°；(3)cos 10°(1＋3tan 10°)－2sin 50°1－cos 10°.解(1)原式＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝sin 160°16·sin 20°＝116.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°2sin 10°·cos 10°＝2sin (30°－10°)sin 20°＝2.(3)原式＝cos 10°＋3sin 10°－2sin 50°2sin 5°＝2sin 40°－2sin 50°2sin 5°＝2sin 40°－2cos 40°2sin 5°＝22sin (40°－45°)2sin 5°＝－22sin 5°2sin 5°＝－2.命题点2给值求值例3(2023·长春质检)已知＋3cos α＝13，则sin α()A.23 B.29C ．－19D ．－79答案D解析∵＋3cos α＝13，∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13，∴12sin α＋32cos α＝13，∴＝13，∴αsin 2＋π2＝cos＝2cos 1＝2－1＝－79.命题点3给值求角例4已知sin α＝210，cos β＝31010，且α，β为锐角，则α＋2β＝.答案π4解析因为sin α＝210，且α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝1－2100＝7210，因为cos β＝31010，且β为锐角，所以sin β＝1－cos 2β＝1－90100＝1010，那么sin 2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35，cos 2β＝1－2sin 2β＝1－2＝45，所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝7210×45－210×35＝22，因为αβ2β∈(0，π)．所以α＋2βα＋2β＝π4.思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2(1)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，则sin 2α等于()A.34B ．－38C ．－34或0 D.38答案C解析∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos 2α－1，∴2sin αcos α＋2cos 2α＝cos α，当cos α＝0时，等式成立，此时sin 2α＝0；当cos α≠0时，sin α＋cos α＝12，两边平方得sin 2α＝－34.综上可得，sin 2α＝－34或0.(2)(2023·南京模拟)已知tan 210°，则sin(60°＋α)的值为()A.13B ．－13 C.23D ．－23答案A解析∵tan 210°，∴tan 210°＝tan(180°＋30°)＝tan 30°＝33，则cos 1－sin ＝23，cos(30°－α)＝cos sin ＝13，∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]＝cos(30°－α)＝13.题型三三角恒等变换的综合应用例5已知f (x )＝x 23sin(1)求f (2)若锐角α满足f (α)＝33，求sin 2α的值．解(1)由题意得f (x )＝x 23sin＝x 23sin cos π＝x 23sin＝x －3sin x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x＝x故f ×π3＋0.(2)∵α∴2α＋π3∈∵f (α)＝33，∴f (α)＝α＝33，又∵α＝33<32，∴2α＋π3∈∴α＝－63，∴sin 2α＝α－π3＝απ3－απ3＝33×12＋63×32＝3＋326.思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3已知3sin α＝2sin 2α2－1.(1)求sin 2α＋cos 2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β2tan 2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．解(1)因为3sin α＝2sin 2α2－1，所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－13，又因为sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α，所以sin 2α＋cos 2α＝21－191＋19＝15.(2)因为βtan β<0，因为2tan 2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，所以tan β＝－12，又因为α∈(0，π)，tan α＝－13，所以π2<α<π.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13－121－16＝－1，β<π，α<π，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.课时精练1．已知x －π2，cos(π－x )＝－45，则tan 2x 等于()A.724B ．－724 C.247D ．－247答案D 解析因为x －π2，cos(π－x )＝－45，所以cos x ＝45，sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，由同角三角函数的关系，得tan x ＝sin xcos x ＝－34.因此tan 2x ＝2tan x1－tan 2x1＝－247.2．(2023·保定模拟)已知＝223，则sin 2θ的值为()A.79B ．－79 C.29D ．－29答案B 解析由＝223，得sin θcos π4－cos θsin π4＝22(sin θ－cos θ)＝223，即sin θ－cos θ＝43，等式两边同时平方，得1－sin2θ＝16 9，所以sin2θ＝－7 9 .3．(2023·枣庄模拟)已知＝23，则cos α()A．－59B.59C．－13D.13答案A解析απ＋2α＝－α2＝－1－2sin－2＝－59.4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则m n2cos227°－1的值为()A．1B．2C．4D．8答案C解析因为m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，因此m n2cos227°－1＝2sin18°·4cos18°cos54°＝4sin36°cos54°＝4cos54°cos54°＝4.5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是() A．cos(－15°)＝6－24B．sin15°sin30°sin75°＝18C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－12D．2sin18°cos36°＝12答案BD解析对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24，所以A 错误；对于B ，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，所以B 正确；对于C,cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，所以C 错误；对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2×sin 144°2sin 72°×sin 72°2sin 36°＝sin 36°2sin 36°＝12，所以D 正确．6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12，根据这些信息，可得sin 54°等于()A.25－14B.5＋14C.5＋48D.5＋38答案B解析由题设，可得cos 72°＝1－2sin 236°＝5－14，又因为cos 236°＋sin 236°＝1，所以cos 236°＝5＋38，又cos 36°所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝5＋14.7．(2023·淄博模拟)sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝.答案18解析因为sin 12°(2cos 212°－1)3－tan 12°＝sin 12°cos 12°cos 24°3cos 12°－sin 12°＝14sin 48°2sin 48°＝18.8．(2023·青岛模拟)已知tan 2θ＝－22，π4<θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ＝________.答案－3＋22解析由tan 2θ＝－22，即2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22.因为π4<θ<π2，所以tan θ＝2且cos θ≠0.则2cos 2θ2－sin θ－12sin ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－21＋2＝－3＋2 2.9．化简并求值．(1)3－4sin 20°＋8sin 320°2sin 20°sin 480°；·1cos 20°.解(1)原式＝3－4sin 20°(1－2sin 220°)2sin 20°sin 480°＝3－4sin 20°cos 40°2sin 20°sin 480°＝2sin (20°＋40°)－4sin 20°cos 40°2sin 20°sin 480°＝2sin (40°－20°)2sin 20°sin 480°＝1sin 480°＝1sin 120°＝233.(2)原式＝(cos 10°－3cos 80°)(cos 10°＋3cos 80°)cos 280°cos 210°cos 20°＝(cos 10°－3sin 10°)(cos 10°＋3sin 10°)cos 280°cos 210°cos 20°＝4cos 70°cos 50°cos 280°cos 210°cos 20°＝4sin 20°sin 40°sin 210°cos 210°cos 20°＝32sin 220°cos 20°sin 220°cos 20°＝32.10．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝35，＝13，求(2)已知cos 2θ＝－45，π4<θ<π2，求sin 4θ，cos 4θ.(3)已知sin(α－2β)＝437，cos(2α－β)＝－1114，且0<β<π4<α<π2，求α＋β的值．解(1)因为tan(α＋β)＝35，＝13，所以tan (α＋β)1＋tan (α＋β)＝35－131＋35×13＝29.(2)由π4<θ<π2，得π2<2θ<π，∴sin 2θ＝1－cos 22θ＝35，sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2×35×＝－2425，cos4θ＝2cos 22θ－1＝2－1＝3225－1＝725.(3)由0<β<π4<α<π2，得0<2β<π2，－π2<－2β<0，则－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝437>0，所以cos(α－2β)＝1－4849＝17.由0<β<π4<α<π2，得π2<2α<π，－π4<－β<0，则π4<2α－β<π，因为cos(2α－β)＝－1114，所以sin(2α－β)＝5314.因为π4<α＋β<3π4，又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12，所以α＋β＝π3.11．已知αβtan α＝cos 2β1－sin 2β，则()A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案B解析tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2β(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝∵αβ∴α＝π4＋β，即α－β＝π4.12.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cos 27°π16－π2的值为()A ．－18B ．－8C ．8D.18答案A解析将π＝4sin 52°代入1－2cos 27°π16－π2，可得1－2cos 27°π16－π2＝－cos 14°4sin 52°16－16sin 252°＝－cos 14°16sin 52°cos 52°＝－cos 14°8sin 104°＝－cos 14°8sin (90°＋14°)＝－cos 14°8cos 14°＝－18.13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin α2＝33，α∈(0，π)，则()A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．＝6＋236D ．＝23－66答案AC解析∵sin α2＝33，α∈(0，π)，∴α2∈cos α2＝1－sin 2α2＝63.∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－2＝13，故A 正确；sin α＝2sin α2cos α2＝2×33×63＝223，故B 错误；sin α2cos π4＋cos α2sinπ4＝33×22＋63×22＝6＋236，故C 正确；sin α2cos π4－cos α2sinπ4＝33×22－63×22＝6－236，故D 错误．14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，35，＝513，则sin(α＋β)＝，cos(2α－β)＝.答案3365204325解析因为＝－35，＝513，所以α＋π3为第二象限角，β－π3为第一象限角，所以＝45，＝1213，所以sin(α＋β)＝＝＝3365.cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－cos 2＝－cos sin＝－1213cos －513sin＝－12132cos 1－1013·sin ＝204325.15．(2023·武汉模拟)f (x )满足：∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0.a ＝sin 7°sin 83°，b ＝tan 8°1＋tan 28°，c ＝cos 25π24－12，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小顺序为()A.f (a )a <f (b )b <f (c )cB.f (a )a <f (c )c <f (b )b C.f (b )b <f (c )c <f (a )aD.f (c )c <f (a )a <f (b )b答案C解析a ＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝12sin 14°，b ＝tan 8°1＋tan 28°＝sin 8°cos 8°cos 28°＋sin 28°＝12sin 16°，c ＝12cos 5π12＝12sin π12＝12sin 15°，∴a <c <b .由题意得，∀x 1，x 2∈(0,1)且x 1≠x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2<0，即f (x 1)x 1－f (x 2)x 2x 1－x 2<0，∴y ＝f (x )x 在(0,1)上单调递减，∴f (b )b <f (c )c <f (a )a.16.(2023·盐城模拟)已知由sin 2x ＝2sin x cos x ，cos 2x ＝2cos 2x －1，cos 3x ＝cos(2x ＋x )可推得三倍角余弦公式cos 3x ＝4cos 3x －3cos x ，已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如图，已知五角星ABCDE 是由边长为2的正五边形GHIJK 和五个全等的等腰三角形组成的，则HE →·HG →＝________.答案5－145＋5解析因为cos 54°＝cos(90°－36°)＝sin 36°，所以4cos 318°－3cos 18°＝2sin 18°cos 18°，即4cos 218°－3＝2sin 18°，即4(1－sin 218°)－3＝2sin 18°，即4sin 218°＋2sin 18°－1＝0，因为0<sin 18°<1，解得sin 18°＝－2＋4＋168＝5－14.在五角星ABCDE 中，EG ＝EI ，HG ＝HI ，HE ＝HE ，故△EHG ≌△EHI ，从而可得∠HEG ＝12∠CEB ＝18°，∠EHG ＝12∠IHG ＝54°，过点H 作HM ⊥BE ，垂足为点M ，如图，则∠GHM ＝18°，于是cos ∠GHM ＝HMGH，从而有HM ＝GH cos ∠GHM ＝2cos 18°，于是EH ＝HM sin ∠HEG ＝2cos 18°sin 18°，所以HE →·HG →＝|HE →|·|HG →|cos 54°＝2×2cos 18°sin 18°×sin 36°＝8cos 218°＝8－8sin 218°＝8－8＝8－(3－5)＝5＋ 5.。
2020年高考数学一轮复习专题22简单的三角恒等变换(含解析)(最新整理)
专题22 简单的三角恒等变换一、【知识精讲】1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．（2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降"是基本的规律，根号中含有三角函数式时,一般需要升次．3。
三角恒等变换综合应用的解题思路 (1)将f (x ）化为a sin x ＋b cos x 的形式； (2）构造f （x )＝错误!错误!；(3）和角公式逆用，得f (x )＝错误!sin(x ＋φ）（其中φ为辅助角）； （4）利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ）研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 二、【典例精练】例1.（2019全国卷Ⅱ）已知a ∈（0，π2）,2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15B ．5C ．3D ．25【答案】B【解析】 由2sin 2cos 21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=。
因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin α=。
故选B. 例2.（2019江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 。
【答案】10【解析】 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-， 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+,221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+,221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=。
2019届高考数学一轮复习：《简单的三角恒等变换》教学案(含解析)
第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2. sin2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tanα2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2. tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α ＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2xcos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x. 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2.解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2018·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________. [自主解答] (1)原式＝＋－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－s in 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0.又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π.[答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2018·广州一测)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2018·四川高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合． 解：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z)，∴x ＝k π＋π4(k ∈Z)． 故函数f(x)的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值． 解：(1)因为f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x ＝3cos 2x ＋sin xcos x －3sin 2x ＋sin xcos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f(α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan Btan C＝－－2＋131－－13＝1.故A ＝π4. 2.＋2α1＋cos 2α·cos 2α＋α等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 解析：选D 原式＝－sin 2α2α＋cos 2α－sinα＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 3．(2018·深圳调研)已知直线l: xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2018·山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2018·河北质检)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝＋2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，f′(x)是f(x)的导函数． (1)求f′(x)及函数y ＝f′(x)的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x －sin x ＝－2·s in ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以y ＝f′(x)的最小正周期为T ＝2π. (2)F(x)＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin xcos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数F(x)的值域为[0,1＋ 2 ]． 11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tanα2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x 1＋2x 2.1．(2018·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 10°等于( ) A.12 B.22 C ．2D.32 解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210° ＝3－210°－2－cos 210°＝－cos22－cos 210°＝2.3．(2018·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f(x)的最大值为1.(1)求m 的值，并求f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(B)＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f(x)＝2sin 2x·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m. 又f(x)max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1.由－π2＋2k π≤2x＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z) 得到k π－5π12≤x≤k π＋π12(k ∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (2)由f(B)＝3－1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1， 所以B ＝π6. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f(α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f(x)的取值范围． 解：(1)f(x)＝(sin 2x ＋sin xcos x)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x)＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f(α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f(x)＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则0≤f(x)≤2＋12， 所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
2020版高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换教案(理)(含解析)新人教A版
第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b2.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 cos2α＝1－2sin 2α＝1－29＝79.故选B.2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429. 3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45答案 D解析 解法一：cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 解法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin 2θ＝45.4．(2019·南宁联考)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( ) A ．－43 B.34 C ．－34 D.43答案 D解析 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43.故选D. 5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值2.6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，知sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 核心考向突破考向一 三角函数的化简例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin2x ，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．2异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.3异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15答案 A解析 ∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.2．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2D.π4答案 B解析 ∵y ＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴此函数的最小正周期是T ＝2π2＝π.考向二 三角函数的求值角度1 给值求值例2 (1)(2019·汕头模拟)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415D ．－35答案 B解析 cos α＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45.故选B. (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案 －12解析 解法一：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，所以sin α＝12，cos β＝12，因此sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12×12－cos 2α＝14－1＋sin 2α＝14－1＋14＝－12.解法二：由(sin α＋cos β)2＋(cos α＋sin β)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝________.答案 －13解析 因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tanα2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练 3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan α＋β1＋tan2αtan α＋β＝－211.角度2 给角求值例3 (1)(2019·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°的值等于( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－ 3.故选D. (2)(2018·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练 4.(2019·九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1答案 C解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.5．(2019·上海模拟)计算tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________. 答案 －4解析 原式＝sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°sin24°cos24° ＝2sin 12°－60°12sin48°＝－4.角度3 给值求角例4 (1)(2019·四川模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.选A.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)已知正切函数值，则选正切函数．即时训练 6.(2019·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P (sin40°，1＋cos40°)，则α等于( )A ．10°B ．20°C ．70°D ．80°答案 C解析 由题意得tan α＝1＋cos40°sin40°＝2cos 220°2cos20°sin20°＝co s20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C.7．(2019·江苏徐州质检)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β的值为________．答案π3解析 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.考向三 三角恒等变换的综合应用例5 (2019·广东模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－2sin 2x2.(1)若f (x )＝233，求sin2x 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值与单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝1＋sin x －(1－cos x )＝sin x ＋cos x ， 又∵f (x )＝233，∴sin x ＋cos x ＝233，∴sin2x ＋1＝43，∴sin2x ＝13.(2)F (x )＝(sin x ＋cos x )·[sin(－x )＋cos(－x )]＋(sin x ＋cos x )2＝cos 2x －sin 2x ＋1＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，F (x )取得最大值， 即F (x )max ＝2＋1.令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，从而函数F (x )的最大值为2＋1，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．触类旁通三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝sin x ＋φ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.即时训练 8.(2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x∈R .(1)求f (x )的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求f (x )的闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )；由2x －π3＝k π(k ∈Z )得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋k π2，0(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．(2019·海口模拟)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40°＝2sin 60°＋40°－si n40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝ 3.2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 由二倍角公式得sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．对点训练1．已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )A.13B ．－13C ．3D ．－3答案 A 解析 sin2αsin2β＝sin[α＋β＋α－β]sin[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βsin α＋βcos α－β－cos α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－βtan α＋β－tan α－β＝13.故选A.2．(2019·合肥模拟)计算：tan20°＋4sin20°＝________. 答案3解析 原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin 30°－10°＋2sin 30°＋10°cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°＋12sin10°cos20°＝3cos30°－10°cos20°＝ 3.。
简单的三角恒等变换 学案及答案
学案90 简单的三角恒等变换[最新考纲]能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 知 识 梳 理1．辅助角公式 使a sin x ＋b cos xcos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定. 2. 三角恒等变换: 常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是 的二倍；α4是 的二倍；α是 的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②ββαα-+=)(③)4(24αππαπ--=+；④)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=.（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常切化弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： oo 45tan 90sin cos sin 122==+=αα（4）幂的变换：降次是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降次处理的 方法。
常用降次公式有： ； 。
降次并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升次化为有理式。
常用升次公式 有： ； ；（5）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则：切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数值互化。
辨析感悟(1)1－tan θ1＋tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ. （ ） (2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝1－2sin 2θ2.（ ）(3)若sin α2＝33，则cos α＝－13. （ ）题型一 三角函数式的化简例1．（1）化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.（2）当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝________.（3）化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． 题型二 三角函数的求值 命题点1 给角求值例2 (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝________.(2)sin 10°1－3tan 10°＝________..命题点2 给值求值例3 若cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，1712π<x <74π，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝________.命题点3 给值求角例4 已知α，β为锐角，cos α＝277，sin β＝3143，则cos 2α＝________，2α－β＝________.思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法． (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．课时作业1．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22 B.12 C.32 D ．－222．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( ) A ．－78 B ．－14 C.14 D.783．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 等于( ) A.1825 B.725 C ．－725 D ．－16254．(2020·福州模拟)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－15．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则sin 2α的值为( )A ．－78 B.78 C ．－47 D.476．化简：⎝⎛⎭⎫3cos 10°－1sin 170°·cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝___________________. 7．(2019·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.8．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．9．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．学案90答案 简单的三角恒等变换辨 析 感 悟(1) (×)（2）(√)（3）(×)例1 解 (1) 答案 22cos α 解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.(2) 答案 cos α 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴原式＝－cos α2cos α－cosα2＝cos α.（3）解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.例2（1）答案－18 解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.（2）答案14 解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14例3答案－2875 解析 ∵17π12<x <7π4，∴5π3<π4＋x <2π. 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45， ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4＝－210. ∴sin x ＝－7210，tan x ＝7.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－tan x＝2×()－7210×()－210＋2×()－721021－7＝－2875.例4 答案17 π3 解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又α，β为锐角，sin β＝3143，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.课时作业1.答案A 解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22.2. 答案 A 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.3. 答案C 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos π4cos x ＋sin π4sin x ＝22(cos x ＋sin x )＝35， 所以sin x ＋cos x ＝325，所以1＋2sin x cos x ＝1825，即sin 2x ＝1825－1＝－725.4. 答案C 解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin (60°＋40°)－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3.故选C.5. 答案B 解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin 2α＝18，解得sin 2α＝78.6. 答案－4 3 解析 原式＝3sin 10°－cos 10°cos 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.7. 答案－45 解析 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 8. 解 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.9. 解 (1)方法一 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4·sin β＝22cos β＋22sin β＝13， 所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79. 方法二 sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 因为cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.。
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 简单的三角恒等变换(第1课时)教案(含解析)
§4.5简单的三角恒等变换考情考向分析三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为C级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β)) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β)) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β)) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan α1－tan 2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )题组二 教材改编2．[P109T6]若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝. 答案 －7210解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．[P111T2]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案22解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．[P117T1]tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案3解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 题组三 易错自纠5．化简：1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin 250°＝. 答案 1解析 因为sin40°<cos40°， 所以sin40°－cos40°<0. 所以1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin 250°＝(sin40°－cos40°)2cos40°－(cos50°)2＝|sin40°－cos40°|cos40°－|cos50°|＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.6．化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝.答案 4sin α 解析2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.7．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝. 答案 －247解析 方法一 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，(*) θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，(*)平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为．答案 －429解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为．答案 1解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为．答案 － 3解析 由题意可得，点A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是单位圆与直线y ＝3x ＋2的交点，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋2，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6＋24，y ＝6＋24或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6－24，y ＝－6＋24，∴cos α＝－6＋24，sin α＝6＋24，∴tan α＝6＋24－6＋24＝－2－ 3.同理tan β＝2－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝(－2－3)＋(2－3)1－(－2－3)(2－3)＝－ 3.4．计算sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°的值为． 答案 12解析sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝.答案2525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， 因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为．答案2425解析 因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. (3)(2019·如皋调研)已知cos α＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为． 答案 －3 解析 ∵cos α＝55，α∈(－π，0)， ∴sin α＝－255，∴tan α＝－2，故tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1－(－2)1＋1×(－2)＝－3.命题点2 三角函数式的变换例2(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ， 故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ(0<θ<π)．解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2，∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.命题点3 公式的逆用与变形例3(1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝.答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3，∴cos αcosβ＝36， 又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴sin αsin β＝12－36，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)计算：cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝.(用数字作答)答案 2解析cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝. 答案32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝.答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24.用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例(1)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为．答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. (2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为． 答案 2解析 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28° ＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28° ＝1＋1＝2.(3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝.答案 －75解析cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α ＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.(4)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝.答案－2－33解析 由题意可知cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ－1＝－33－23.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝. 答案 12解析 sin20°cos10°－cos160°sin10° ＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.2．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin2α＝.答案 －35解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35. 3．若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝. 答案225解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 4．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝.答案 16解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16.5．已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝.答案26＋16解析 由于α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16. 6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为．答案2327解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．设a ＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b ＝22(sin56°－cos56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是． 答案 a >c >b解析 a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127° ＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56° ＝sin(56°－45°)＝sin11°，c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°， ∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a >c >b . 8.2cos10°－sin20°sin70°的值是．答案3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.9.sin10°1－3tan10°＝.答案 14解析 sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14. 10．(2018·江苏省海安高级中学月考)已知α为三角形内角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝. 答案 －53解析 由已知得2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝13－1＝－23，又α为三角形内角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝153，∴cos2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝－53. 11．化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12·sin2αcos2α＝12. 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝. 答案7210解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为． 答案 －1718解析 由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知，cos α－sin α≠0， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝2sin αcos α＝118－1＝－1718. 14．(2018·江苏省五校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5－2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10－2x ＝.答案2＋33解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π5－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5－2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝33，又sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π10－2x ＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10－2x＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5－2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10－2x ＝33＋23＝3＋23.15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 10°－cos 10°c os 10°sin 10°·1＋tan 15°1－tan 15°＝2sin (10°－30°)12sin 20°·tan 45°＋tan 15°1－tan 45°·tan 15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.16．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62，sin(α－β)＝－35，则sin β＝.答案 4－3310解析 由sin α2＋cos α2＝62，平方可得sin α＝12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－32.又∵－π2<α－β<π2，sin(α－β)＝－35，∴cos(α－β)＝45. 故sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝12×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.。
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcosα＝________________________.自我检测1．(2010陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 ( ) A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 ( )A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，323．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 ( )A．－1B．－12C.12D．14．(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin Asin B ( )A．有最大值12，最小值0B．有最小值12，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值12，无最小值探究点一三角函数式的化简例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f－11π12的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3 (2011苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3 求证：sin 2xsin x＋cos x－1sin x－cos x＋1＝1＋cos xsin x.转化与化归思想的应用例(12分)(2010江西)已知函数f(x)＝1＋1tan xsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．【答题模板】解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cos xsin xsin2x＝sin2x＋sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x2＝122sin2x－π4＋1，[3分]由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分] 所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分](2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－m2cos 2x＝1－cos 2x2＋12sin 2x－m2cos 2x＝12[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋12，[8分]由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝45，2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011平顶山月考)已知0απ，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )A.13B．－13C.16D．－162．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于 ( )A.1318B.1322C.322D．(2011石家庄模拟)已知cos2α＝12 (其中α∈－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12B．－12C.32D．－324．若f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sin x2cos x2，则fπ12的值为 ( )A．－433B．8C．43D．－．(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 ( )A.12B.22C.32D．1题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 8．若cos 2αsinα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；(2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos4α0．(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)＝3sin xcos x －cos xsinπ2＋x－12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．．(14分)(2010北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sin αcos α(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)2tan α1－tan2α 2.(1)12sin 2α(2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos2α2 2sin2α2 (sinα±cos α)2自我检测1．C 2.C 3.B 4.D课堂活动区例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1 解(1)f(x)＝1＋cos 2x2－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos 2x＝2cos 2x，∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cos π6＝3.(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.例2 解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14，∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin2α－cos2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2 解(1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝12∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sin α＋cos αcos 2α＝22sin α＋cos αcos2α－sin2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－132(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcosπ4－sin 2αsinπ4 ＝22(cos 2α－sin 2α)，∵π2≤α32π，∴3π4≤α＋π474π.又cos(α＋π4)＝350，故可知32πα＋π474π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2422α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可． (1)证明由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴ta n(α＋β)＝2tan α.(2)解由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x＋y1－xy＝2x，∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0α≤π3，0x≤3，设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f(x)的值域为(0，24]．变式迁移3 证明因为左边＝2sin xcos x[sin x＋cos x－1][sin x－cos x－1] ＝2sin xcos xsin2x－cos x－12 ＝2sin xcos xsin2x－cos2x＋2cos x－1＝2sin xcos x－2cos2x＋2cos x＝sin x1－cos x ＝sin x1＋cos x1－cos x1＋cos x＝sin x1＋cos xsin2x＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0απ，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.] 2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，∴sin α＝－12.]4．B [f(x)＝2tan x＋1－2sin2x212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin xcos x＝4sin 2x∴fπ12＝4sin π6＝8.]5．C [由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝12或cos B＝1(舍)．∴sin B＝32.]6．－247解析因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－2．1－2解析∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－22 解析∵cos 2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解(1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°sin 80°2sin 40°12sin 160°2sin 80°＝sin180°－20°16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos22α－13＋4cos 2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分) ＝1－cos 2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)10．解f(x)＝3sin xcos x－cos xsinπ2＋x－12 ＝32sin 2x－12cos 2x－1＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。
高考数学一轮复习 专题21 简单的三角恒等变换教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin2α2；(2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝aa 2＋b 2.高频考点一 三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A.π8B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】2【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】1cos 2sin 23()1)22242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有112cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36上是减函数，在区间[,]64上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34上的最大值为4，最小值为12-. 【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为23；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（1）2()sin sin cos sin (1cos 2)22f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭131333sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin(2)2232x x x x x,因此()f x 的最小正周期为，最大值为23.（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.（2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝22，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.（2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1， ∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3. （2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. 图15(1)求cos∠CAD 的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长． 【解析】(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD， 故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－714， 所以sin∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217， sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217 ＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA ＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】60【解析】 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt△ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝ADsin 67°＝460.92＝50(m)， 在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.1．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， 由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2， 所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A. 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A. 118B ．－118 C.1718 D ．－1718答案 D4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π， ∴α＋β＝7π4. 5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z )． ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C. 6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________． 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________． 答案 －210 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝sin α－βcos α－β＝－73. 9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 简单的三角恒等变换-简单的三角恒等变换教案(含解析)
第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简1．化简：sin2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案 22cos α解析 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α.2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.答案 12cos2x解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x .3．化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解 原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值与给值求值例1(1)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°＝________. 答案6解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________. 答案4－3310解析 由题意可得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin2θcos π3－cos2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310. (3)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin2α＋2sin 2α1－tan α的值为________． 答案 －2875解析 sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝sin2α·1＋tan α1－tan α＝sin2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 由17π12<α<7π4，得5π3<α＋π4<2π， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210， sin2α＝725.所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－2875.命题点2 给值求角例2(1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为________． 答案7π4解析 ∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________. 答案π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法． (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训练1 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________. 答案π4解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.题型三 三角恒等变换的应用例3已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x cos x ， 得f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练2已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数；研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决．例已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，由y ＝sin x 的图象可知， 当2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12时，f (x )单调递减；当2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4时，f (x )单调递增． 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.答案 －78解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.2．4cos50°－tan40°＝________. 答案3解析 原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝ 3.3．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝________. 答案 －2解析 由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan (α－β)1＋tan 2αtan (α－β)＝－2.4．(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16，∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.5．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝________.答案 －725解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，可得22cos α＋22sin α＝35， 两边平方得12(1＋2sin αcos α)＝925，∴sin2α＝－725.6．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos2α－32sin2α＝12×23－32×53＝2－156.7．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于________．答案 92解析 由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x2＝32sin x ＋2cos x ＋2＝52sin(x ＋φ)＋2， 其中cos φ＝35，sin φ＝45， ∵x ∈R ，∴f (x )max ＝52＋2＝92. 8．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为________． 答案 π4解析 由题意知，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C ， 在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，因为0<A <π，所以A ＝π4. 9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.答案 π3 解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0<β<π2，故β＝π3.10．函数f (x )＝3sin 23x －2sin 213x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤3π4的最小值是________． 答案 3－1解析 f (x )＝3sin 23x －⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 23x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1， 又π2≤x ≤3π4，∴π2≤23x ＋π6≤2π3， ∴f (x )min ＝2sin 2π3－1＝3－1. 11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan(α＋β)＝______，α＋β＝________.答案 1 5π4解析 由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4. 12．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， 得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， 得cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.答案 －3365解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋β＝－1213， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213， 又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513， ∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝513×35－1213×45＝－3365. 14．在△ABC 中，A ，B ，C 是△ABC 的内角，设函数f (A )＝2sinB ＋C 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A 2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋A 2－cos 2A 2，则f (A )的最大值为________． 答案 2 解析 f (A )＝2cos A 2sin A 2＋sin 2A 2－cos 2A 2 ＝sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4， 因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4. 所以当A －π4＝π2，即A ＝3π4时，f (A )有最大值 2.15．已知sin(π－α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β，3cos(π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且α，β∈(0，π)，则α＝______，β＝______.答案 π4 2π3解析 由已知得⎩⎨⎧ sin α＝－2cos β， ①3cos α＝2sin β， ②∴sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12.又β∈(0，π)，由②知cos α>0，∴cos α＝22，又α∈(0，π)，∴α＝π4.将α＝π4代入①得cos β＝－12，又β∈(0，π)，∴β＝2π3.16．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，求cos2x 0的值．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1， 得f (x )＝3(2sin x cos x )－(2cos 2x －1) ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上为减函数，又f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－1，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最大值为2，最小值为－1.(2)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝35.又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3， ∴2x 0－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＝45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
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高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案22 简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝________________；cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；tan2α＝________________________．2．公式的逆向变换及有关变形sinαcosα＝____________________⇒cosα＝sin2α2sinα；降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我检测．函数f＝2sinxcosx是A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数c．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为A．－3,1B．－2,2c．－3，32D．－2，323．函数f＝sinxcosx的最小值是A．－1B．－12c.12D．14．已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA•sinBA．有最大值12，最小值0B．有最小值12，无最大值c．既无最大值也无最小值D．有最大值12，无最小值探究点一三角函数式的化简例1 求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1 已知函数f＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.求f－11π12的值；当x∈0，π4时，求g＝12f＋sin2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 已知sin•sin＝14，α∈，求2sin2α＋tan α－1tanα－1的值．变式迁移2 已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．已知cos＝35，π2≤α<3π2，求cos的值．探究点三三角恒等式的证明例3 已知sin＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f．求证：tan＝2tanα；求f的解析表达式；若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f的值域．变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.转化与化归思想的应用例已知函数f＝＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.当m＝0时，求f在区间π8，3π4上的取值范围；当tanα＝2时，f＝35，求m的值．【答题模板】解当m＝0时，f＝1＋cosxsinxsin2x＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2＝122sin2x－π4＋1，[3分]由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分] 所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]从而得f的值域为0，1＋22.[6分]f＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x＝12[sin2x－cos2x]＋12，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分] 解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：能求出数值的要求出数值；使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；分式中的分母尽量不含根式等．．求值中主要有三类求值问题：“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．常用的拆角、拼角技巧如：2α＝＋，α＝－β，α＝＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．一、选择题．已知0<α<π，3sin2α＝sinα，则cos等于A.13B．－13c.16D．－162．已知tan＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于A.1318B.1322c.322D.163．已知cos2α＝12，则sinα的值为A.12B．－12c.32D．－324．若f＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为A．－433B．8c．43D．－435．在△ABc中，若cos2B＋3cos＋2＝0，则sinB的值是A.12B.22c.32D．1题号2345答案二、填空题6．已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．三、解答题9．化简：cos20°cos40°cos60°cos80°；3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.0．设函数f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.求f的最小正周期；当∈0，π2时，求函数f的最大值和最小值．1．已知函数f＝2cos2x＋sin2x－4cosx.求f的值；求f的最大值和最小值．答案自主梳理．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α2sin2α2tanα1－tan2α 2.12sin2α1－cos2α 2 1＋cos2α2 2cos2α2 2sin2α2 2自我检测．c 2.c 3.B 4.D课堂活动区例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝2＋6，由于函数z＝2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝2＋6＝10，最小值为zmin＝2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1 解 f＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.g＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，∴当x＝π8时，gmax＝2，当x＝0时，gmin＝1.例2 解题导引这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin•sin＝sin•cos＝12sin＝12cos4α＝14，∴cos4α＝12，又α∈，故α＝5π12，∴2sin2α＋tanα－1tanα－1＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα＝－cos2α＋－2cos2αsin2α＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2 解∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.cos＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4＝22，∵π2≤α<32π，∴3π4≤α＋π4<74π.又cos＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin＝－45，从而cos2α＝sin＝2sincos＝2××35＝－2425.sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝725.∴cos＝22＝22×＝－31250.例3 解题导引本题的关键是第小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第小题则利用基本不等式求解即可．证明由sin＝3sinβ，得sin[＋α]＝3sin[－α]，即sincosα＋cossinα＝3sincosα－3cossinα，∴sincosα＝2cossinα，∴tan＝2tanα.解由得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x ＋y1－xy＝2x，∴y＝x1＋2x2，即f＝x1＋2x2.解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x≤3，设g＝2x＋1x，则g＝2x＋1x≥22．故函数f的值域为＝cos＝－cosα＝－16.]2．c [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝－β－π4.所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.] 3．B [∵12＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，∴sinα＝－12.]4．B[f＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x∴fπ12＝4sinπ6＝8.]5．c [由cos2B＋3cos＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝12或cosB＝1．∴sinB＝32.]6．－247解析因为α为第二象限的角，又sinα＝35，所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.7．1－2解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴当sin＝－1时，函数取得最小值1－2.8.12解析∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2＝－22，∴cosα＋sinα＝12.9．解∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝sin2α2sin α，…………………………………………………………………………∴原式＝sin40°2sin20°•sin80°2sin40°•12•sin160°2sin80°＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………0．解f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12＝32sin2x－12cos2x－1＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………T＝2π2＝π，故f的最小正周期为π.…………………………………………………因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f有最大值0，……………………………………………………………………………………………当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f有最小值－32.……………………………………………………………………………………………1．解f＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………f＝2＋－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝32－73，x∈R.………………………………………………………………因为cosx∈[－1,1]，所以，当cosx＝－1时，f取得最大值6；当cosx＝23时，f取得最小值－73.…………………………………………………。