14-15高数C2卷A及答案
广东实验中学2014-2015学年下学期高二年级期中考试理科数学试卷Word版含答案
1 A． 8
1 B．4
2 C．5
7．函数 y＝ xcos x＋ sin x 的图象大致为 ( )
1 D．2
8．如图 1所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，
它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端
1 的数均为 n≥2 ，每个数是它下一行左右相邻两数
n
的和，如 1
1
11
，
11 1
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改
液 ．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测 (共 100 分)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
16 12
件 | FA | e 。 | AP |
（ 1）求 m 的值
（ 2）设过点 F 的直线 L 与椭圆 C 相交于 M ，N 两点，记 PMF 和 PNF 的面积分别为 S1, S2 ，
求证： S1 S2
| PM | | PN |
甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为
23
与 ，投中得 1 分，投不中得 0 分 .
34
（ 1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率
.
19．（本小题满分 13 分）
已知椭圆
x2
C:
y2
1的右焦点为 F，右顶点为 A ，离心率为 e，点 P( m,0), (m 4) 满足条
3. 若 a, b 是任意实数 ,且 a b ,则下列不等式成立的是 （ ）
广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理) Word版含答案
2014-2015学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则A. A ⊂≠BB. B ⊂≠AC.A=BD.A ∩B=∅2．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为A.－1B. 0C.12 D.13．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是A. (1－3，2)B. (0，2)C. (3－1，2)D. (0，1+3)4．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点， △F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 23 C.34 D.45 5.“”的含义是（ ）A. a ，b 不全为0B. a ，b 全不为0C. a ，b 至少一个为0D. a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的7．已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )A.π4B.π3C.π2D.3π48．数列{}n a 满足11a =11n a +=，记数列{}2n a 前n 项的和为S n ，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈ 恒成立，则正整数t 的最小值为 （ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共计30分。
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案
2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。
高数文C2B卷(15级)参考答案
，积分得通解为 …2分
将 代入通解，得
故所求曲线方程为 …2分
18、解：特征方程为 …2分
设特解为 ，代入原微分方程有：
，故特解为 …3分
综上所述，通解为 …1分
19、解： ，
即： ，…5分
故 …1分
20、解： ……3分，
…3分
21、解： ， ……3分
……3分
由正项级数的比较判别法 收敛……2分
故 绝对收敛……1分
高等数学C2期末B卷参考答案及评分标准
2015~2016第二学期
一、单项选择（共10小题，每小题2分，共20分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案CDD源自ABCA
C
A
B
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11、 。12、 。13、 。14、 。15、 。
三、解答题（共9小题，每小题6分，共54分）
16、解：原式
22、解：
令： 解得： …3分
而 ，
，
故在 处函数取得极小值，极小值为 …3分
23、解： …2分，
…2分
……2分
24、（1） ……3分
（2） ……3分
四、证明题（本大题2小题，25题6分，26题5分，共11分。）
25、证：对右边令 ，则有 ，……2分
，即 ……4分
26、证： 收敛， ……2分
故 ，而 收敛，
高数C2-复习题-答案
；第 2 步（常数变易法）令： 并代入原 （ 为常数） ；因此原方程
(2) 本题超出考纲范围，期末不考这种类型的习题。 (3) 解：本题为齐次微分方程，对等式右侧分子分母同除以 后得到
令 得到： 4.
, 有 , . ，
,
，整理
(1) 解：令
，可证：
，由比较判别法的极限形式可知：
敛散性相同，由
高等数学 C2 – 期末练习 – （答案）
一、选择题 1. D 2. 二、填空题 1． 5e 三、计算题 1.
C
3.
D
4.
C
5.
A
2. 0
3.（题目有错）
4.
5.
2.
, 收敛域
.
3.
(1) 解 ： 先 计 算 齐 次 部 分 的 通 解 ， 即 求 解 ，调整后得到：
式求解 的解为：
，得到： 。
Байду номын сангаас
可知其发散，因此
发散。
(2) 解： 绝对收敛。 5. 6. 解：先计算 ， 。
，而
可用比值判别法证明其收敛，因此原级数
的稳定点，即使 。令
的点，再从这些点中利用判别法找出极值点。 ， ，可知在点 可知为极小值 （ 处， ） 。
前者的计算得到唯一的稳定点 ， 因此 7. 解：总利润函数
， 说明该点为极值点， 且由
计算 关于 8. 解：由题意
的稳定点，得到唯一的稳定点
，并判明该点为 的极大值点
.
高等数学 C2 – 期末练习 – （答案）
9.
解：见书 P273 – 例 7.46
10. 解：
收敛域：
。
14-15年第2学期高等数学试题(含答案)
z dV ，其中 是由旋转抛物面 x
y 2 2 z 与平面 z 2 所围成的区域；
6、设 为上半球面 z 4 x2 y2 ( z 0) ，则求曲面积分 7、证明曲线积分
( x
2
y 2 z 2 )ds 。
( 2,1) (1, 0)
(2xy y 4 3)dx ( x 2 4xy3 )dy 与路径无关，并计算积分值.
z 2 所截部分的外侧。
四、证明题（每题 5 分，共 2 题，共 10 分） 1、 已知 f n ( x) 满足 f n ( x) f n ( x) x
n 1 x
e （ n 为正整数） ， f n (1)
e ，求函数项级数 n
2
f
n 1
n
( x) 的和。
2 、 设 曲 线 L 是 正 向 圆 周 ( x a) 2 ( y a) 2 1 ， ( x ) 是 连 续 的 正 函 数 ， 证 明 ：
8、求下列曲面积分： （1）I
( x 1)dydz ydzdx dxdy ，其中 : 平面 x y z 1 在第一卦限部分，
法向量指向原点； （ 2） I
( x y)dydz ( x y)dzdx z
2
dxdy ， : 锥面 z x 2 y 2 被 z 1 ，
z x
( e ,1)
（Ｃ）
(
)
（B） 1
1 e
（Ｄ） e
3、设 D 是 xoy 平面上以 (0,0) ， (1,1) ， (1,1) 为顶点的三角形区域，D 1 为 D 在第一象限 的部分，则 （A） 4 （C）2
1002高等数学C2试卷A及答案
绍兴文理学院2010学年02学期经管类 专业10级《高等数学C2》期末试卷(答题卷)(试卷A)一、单选题（共15分，每小题3分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x yx xyy x f 在点)0,0(处 （ ）A.连续；B.可微；C.偏导存在；D.偏导连续． 2. 交换积分次序=⎰⎰dx y x f dy yy),(1（ ）A.dy y x f dx xx ),(10⎰⎰； B.dy y x f dx xx),(1⎰⎰ ；C.dy y x f dx x x),(12⎰⎰ ； D.dy y x f dx xx),(12⎰⎰．3．幂级数nn nx n ∑∞=-1)2(的收敛半径为 （ ） A.2； B.21 ； C.21- ； D.2-． 4．下列级数中，发散的是 （ ）A.∑∞=131n n ； B.∑∞=--113)1(n nn ； C.∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ； D.∑∞=-113n n n ． 5． 微分方程"7'64y y y -+=的通解为 （ ）A. 612xx c ec e +； B. 61223x x c ec e ++； C. 61213x x c e c e ++； D. 61232x xc e c e ++．二、填空题（共12分，每小题3分）1．函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是（ ）；2．函数)sin(2x z y x u -+=的全微分是（ ）；3．设,arctan x y z =则=∂∂∂yx z2 （ ）； 4．设{}222(,)D x y x y a=+≤，18Dπ=，则=a （ ）． 三、计算题（共57分，其中5、7、8小题分别为10分、8分、9分，其余每小题6分）1. 计算dxdy x y D||⎰⎰-,其中{}11,11|),(≤≤-≤≤-=y x y x D2．求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.3．将函数x x f 2cos )(=展开成x 的幂级数，并写出收敛域.4．设cos sin(23),z x e x y z =+-求xz ∂∂.5．判断下列级数的敛散性（1）∑∞=13sin2n nnπ；（2）∑∞=--131)1(n n n.6．计算，dxdy y x D⎰⎰+22其中{}y y x x y y x D 2,0),(22≤+≥≥=.7．求微分方程12+=-'x xyy 的通解.8．求幂级数1115)1(1+∞=+∑+n n n x n 的收敛域与和函数．四、综合题（共16分，每小题8分）1．设),(v u F 可微，),(y x z z =由方程0),(=++xzy y z x F 所确定，求证xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂．2．设销售收入R(单位：万元)与花费在两种广告宣传上的费用y x 、 (单位：万元)之间的关系为yyx x R +++=101005200，利润为y x R L --=51，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？(必须用拉格朗日乘数法)。
高等数学c2教材课后答案
高等数学c2教材课后答案第一章：数学归纳法1. 证明数学归纳法的基本原理对于任意一个命题，如果满足以下两个条件，则可以通过数学归纳法来证明：- 基本情形：命题在某个特定的情况下成立。
- 归纳步骤：如果命题在第n个情况下成立，那么可以推断它在第n+1个情况下也成立。
2. 利用数学归纳法证明等式的成立利用数学归纳法证明等式的成立主要分为以下几个步骤：- 验证基本情形，在某个特定的情况下等式是否成立。
- 假设在第n个情况下等式成立，即假设等式在第n步成立。
- 证明等式在第n+1个情况下也成立。
- 根据数学归纳法原理，可以得出等式在所有情况下都成立。
第二章：数列与数列极限1. 数列的定义与性质数列是按一定的顺序排列起来的一组数的集合。
数列的性质包括有界性、单调性等。
- 有界性：数列有上界和下界，当数列的所有项都满足某个限定条件时，称为有界数列。
- 单调性：数列可以是递增的（严格递增或非严格递增）或递减的。
- 有限数列和无限数列：数列的项数可以是有限的或无限的。
2. 数列极限的概念与性质数列极限是数列趋于无穷大或无穷小时的稳定值。
数列极限的性质包括唯一性、有界性、保序性等。
- 唯一性：数列的极限如果存在，那么极限是唯一的。
- 有界性：如果数列收敛，则数列是有界的，即存在上界和下界。
- 保序性：如果数列的极限存在，则数列的每一项与极限的大小关系是相同的。
第三章：函数与极限1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数值的稳定值。
函数极限的性质主要包括唯一性、有界性、局部有界性等。
- 唯一性：函数的极限如果存在，那么极限是唯一的。
- 有界性：如果一个函数在某个区间上有界，那么它在该区间上的极限也是有界的。
- 局部有界性：如果函数在某个点的邻域内有界，那么该点是函数的极限点。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上没有跳跃和间断的特性。
函数的连续性的性质包括分段连续性、间断点的分类等。
- 分段连续性：函数在某个区间上可以被分段定义，每个分段上函数是连续的。
大学高等数学(C2)试题答案
《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得 ， 故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分） 所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛， 故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分） 证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。
高数C2习题册答案
h 习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C *5、D二、填空题1． 0 2．2x e dx -<< 3． 0 4．1x - 6．()()f b f a - 7．4π8． >三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()2x x ϕ'= （2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅2．求下列极限：*(1)3x 0x x dt t 22⎰→arcsin lim*(2) )2(1lim22n n n n n +++∞→解：230arcsin limx x x→+⎰解：221lim)n n n →∞+202arcsin 2lim3x x x x →+=1lim )n nn n→∞=+02arcsin 24lim 33x x x →+==11limnn i n →∞== 230arcsin limx x x→-⎰=⎰20arcsin 22lim 3x x x x→-⋅= 23= 02arcsin 24lim33x x x →--==-故极限不存在。
3． 证明：)(x φ=dt t f t x xa2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()xxxaaaxf t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4． 解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =， 当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增， 在1x =点处取得极小值1(1)(1)ty e t dt =-⎰=2e -.习题二 定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分 (1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-1212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰解：原式=2112201()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654- 2112t e -=-121e -=-(3)⎰-π3)sin 1(dx x(4)41⎰ 解：原式30sin dx xdx ππ=-⎰⎰解：原式41=⎰20(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+-411)=43π=- 32ln 2=(5)⎰+312211dx x x (6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t = 解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰ 22001(cos 2cos 2)2x x xdx ππ=--⎰324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰ 2011(sin 2)222x ππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin t ππ=-4π==(7)⎰230arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x =- 解：原式111sin ln cos ln ee x x x x dx x =-⋅⎰0162π=- 111sin1cos ln sin ln e ee x x x x dx x =--⋅⎰1122=-⋅ 1sin1cos11sin ln ee e xdx =-+-⎰12=+ 故 11sin ln (1sin1cos1)2exdx e e =+-⎰2． 解：令1x t -=，则⎰-2)1(dx x f 11()f t dt -=⎰01101111tdt dt e t -=+++⎰⎰ 令te u =，则1011111(1)t e dt du e u u --=++⎰⎰1111()1e du u u -=-+⎰11ln 1e uu-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰ ⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nmm nx x dx t t dt -=--⎰⎰1(1)m n t t dt =-⎰10(1)m n x x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()bbbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()bbf x dx -=-⎰3．证明：令1x t =，则111222111()11x x dx dt x tt -=-++⎰⎰12111x dt t =+⎰12111xdx x =+⎰ 4．证明：0()()xx f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则00()()()xx x f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰ 又()f u 是奇函数()xf u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三 广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B2. C3. D 二、填空题1． 1≤， >1 ,11α-； 1≥， <1 ， 11α- 2.6，(1)r -.三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx x x 1e2⎰+∞ln (2)()dx x 1x 11002⎰∞++ 解：原式21ln ln ed x x +∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ 11ln ex+∞=-= ()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰97111()29798994-=-+⨯ (3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式1(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-11202(1)x =--2= 1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散 令1(ln 2)()1xf x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x x x f x x ---⋅--'=-11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>， 所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k1(ln 2)1k k -=-取得最小值。
高数ⅱa卷答案
高数ⅱa卷答案 Prepared on 22 November 2020广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）一、填空题（每空3分，共21分）1.若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( . 2.=⎰x x dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3.已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(C e F x +--)( 4.设x x f sin )(=时，则='⎰dx x x f )ln （C x +)sin(ln 5.设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l l )( 0 6.改变二次积分的积分次序，⎰⎰=100),(y dx y x f dy ⎰⎰101),(x dy y x f dx 7. 方程032=-'-''y y y 的通解是x x e c e c y -+=231二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1. 解:C x x x d xdx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分） 2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)21(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)12(ln 31） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3分）= )(cos sin x x e d x e x --⎰-- ………（4分）=xdx e e x x x x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）所以，C x x e xdx e x x ++-=--⎰)cos (sin 21sin ………（6分） 4. 解: dt t dx t x t x 2333,22=-==+，则令 ……（1分）C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3332222321ln 323)1(231ln 332311131321）（……（6分）5. 解:2sin sin cos cos cos 2220200=-=-=⎰⎰⎰πππππππx x xdx dx x dx x （6分）6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1010112==+=+⎰⎰-x dx x dx x x x …（6分） 三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.1.xy e z xy sin +=，求yz x z ∂∂∂∂，. 解：xy y ye xz xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z xe x xy y∂=+∂ …………（5分） 2.）2ln(y x z +=，求 22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. 解：2221y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分）2222222(2(1），）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分） 3. )643ln(z y x u -+=，求du . 解：dz z y x dy z y x dx z y x du 643664346433-+-+-++-+=…（5分）四、计算重积分(每小题5分，共10分).1. ⎰⎰-+Ddxdy x y x )(22，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的区域.解：原式=⎰⎰-+x x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )310(2320-⎰ ………（4分） =332 ………（5分） 2. dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中}4),({2222ππ≤+≤=y x y x D .解：原式 =220sin d r r dr πππθ⎰⎰ ………（3分）= -26π ………（5分）五、求解微分方程（8分）. 解：3)1()(12)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：])1([12312C dx e x e y dx x dx x +⎰+⎰=+-+⎰ ………（6分）)21()1(22C x x x +++= ………（8分） 六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分）解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=02100L 0z y x L xy L xz yz L z y x λλλλ 得7===z y x ………（9分）由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
高等数学2(理)15级试卷A
( A卷)
适用专业年级：2015理工科类专业考试时间:120 分钟
命题人：唐 亮
一、填空题（每题4分，共20分）
1、 ；2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、
二、选择题（每题4分，共20分）
1、B 2、D 3、C 4、A 5、C
三、计算题（每题7分，共42分）
求得驻点 ，（8分）
由问题的实际意义知资金投入存在最佳分配方案，故资金投入最佳分配方案为500劳动力和50单位资金。（9分）
2、解平面 与曲面 交线在 平面上投影为
（3分）
所以立体在 平面上投影区域为 ，
所求体积为 （5分）
设 ， （7分）
所以 .（9分）
即 （7分）
注也可以用曲线积分计算
5、由题意知 ，
在 平面上投影区域 ，（3分）则
，（7分）
6、由比值判别法得 ，当 时，级数 发散，所以收敛域为 (3分）
设和函数为 ， （5分）
所以 （7分）
四、应用题（每题9分，共18分）
1、解由题意得所求问题为
max ,s,t, （2分）
令 （4分）
由拉格朗日乘数法得
1、解原方程两边对 求偏导得 ； (1)
原方程两边对 求偏导得 , (2) （4分）
(1)+(2) 得 .
所以 （7分）
2、曲线的参数方程为 （3分）
.（7分）注：也可用格林公式
3、解由对称性得 （3分）
. (7分)
4、解由全微分的性质得 ， （2分）
两边对 积分得 ，（4分）
再由 可得 ，因为 ，所以
大一下半学期高数题答案与试卷(1)
答案与提示 第十章 微分方程一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. A 9. D 10. B 二、填空题1. 05|2='=+⎧⎨=⎩x y y y 2. 2221+=x y 3. d cot d y x u u u x x ==， 4. 12e e x x y x C x C =+++ 5. p ；p '；0xp p '+= 6. p ；d d p py ；2d 20d pyp p y+= 7. 220'''-+=y y y 三、综合题 1. ⑴ 213ln ||1=++-y x x x ⑵ 21(arctan )2=y x ⑶ 21arctan 2=++y x x C 2. ⑴ 45=+x Cy x⑵ 2(1)e y x y -=+ 3. 22e e x x --4. ⑴ 5712e e x x y C C =+ ⑵ 2e xy x -= ⑶ 212e (cos sin )xy C x C x =+5. 12()e euuf u C C -=+ 6. 22123e e (3)e 2x x x y C C x x ---=++-第六章 空间解析几何与向量代数一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. B 8. D 二、填空题1. (,,)---a b c2. 13. ⑴ 120==D D ⑵ 120==B B 且12,D D 不全为0 ⑶ 12120====C C D D4. 5++=x y z5. 6. {}22(,)2+≤x y x y 7. 22450-=z y 8. 22=+z x y 三、综合题1. | r | = 6，错误！未找到引用源。
2. ⑴121012--+==x y z ⑵ 112132-+-==-x y z3. 7510-+-=x y z4. 30+=x y 或30-=x y5. 354250+-+=x y z6. 2230-=x y第七章 多元函数微分学一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D 8. B二、填空题1. {}(,)10x y x y x y +>-+≠且 2. 2 3. 2cos 2cos +y x x y 4. 1112250221---++-===x y z x y z5. 6. 3，1 7. 9813 三、综合题1. 22. cos()2∂=+∂z y xy xy x ，2cos()∂=+∂z x xy x y ，2cos()sin()2∂=-+∂∂z xy xy xy x x y2 3. 1d d ln d ln d yz yz yz u yzxx zx x y yx x z -=++ 4.e ,x zf f y x u v∂∂∂=+∂∂∂ ∂∂=∂∂z fxy u5.22d 1)d z y x x y =-+ 6. cos()1cos()11cos()1cos()z yz xyz z xz xyz x xy xyz y xy xyz ∂-∂-==∂-∂-， 第八章 二重积分一、选择题 1. B 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. D 9. B 10. A二、填空题 1. (,)d d Df x y x y ⎰⎰ 2. 连续 3. >；< 4. 41+xy 5. 4π 6. 1 7. 33πa8.422d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 9.2221d (,)d y yy f x y x +-⎰⎰ 10. d d x y ；d d r r θ三、计算题 1. ⑴ 1111d (,)d x f x y y --⎰⎰ 或1111d (,)d y f x y x --⎰⎰ ⑵11d (,)d xx f x y y ⎰⎰ 或1d (,)d yy f x y x ⎰⎰⑶ eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰或1ee d (,)d y yf x y x ⎰⎰⑷122001d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰或1201d (,)d yy f x y x -⎰⎰或242222d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰或40d (,)d y f x y x ⎰2. 64153. 26π-4. 136. e 2-7.763 8. 2(1e )R π-- 9. 9210. 6π内蒙古农业大学2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 点()231,,--在第（ ）卦限2.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 (3)(2)a b →→⋅-= ( ). 3.点)1,1,2(到平面22100x y z ++-=的距离( )4. 1(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域为( )5.(,)f x y =35(,)f =( )6. 设z xy =， 则 =dz ( ).7. 已知22dz x dx y dy =+，则2zx y∂=∂∂( ).8. 若 D={(y x ,)︱0201,x y ≤≤≤≤}, Dd σ=⎰⎰( ).9. 一阶线性微分方程sin 1xy y x x '+=的通解是( ).10. 特征方程2320r r +-=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1．过点(2,3,1)且垂直z 轴的平面方程为( )A 1z = B. 3y = C. 2x = D. 230x y z ++= 2． 03sin limx y xyx →→=（ ） A 4 B. ２ C. ３ D. 1 3. 22limx y x yx y →→=+（）.A. 0B. 不存在C. ２D. 14. 已知32(,)f x y x y =， 则 (1,1)x f =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 35.22{(,)9}D x y x y =+≤则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 18πB. 14πC. 16πD. 12π6．已知平面2433x y z ++=与平面29x ky z +-=垂直，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37. 设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b a →→⨯ B. b c →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯8. 就二元函数而言,下列说法正确的是 ( )．A. 可导一定连续B. 连续一定可导C. 可导、连续互为充要条件D. 可导、连续彼此无关 9. 微分方程ydx xdy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 下列方程是三阶微分方程的是（ ）A. 2y y x '-= B. 32()y y x '''-= C. 23()30y y '+= D. 22y y x '''=+4 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意两个向量（自由向量）一定是共面的 （ ）2. 此式子()a b c →→→⨯⋅表示一个数 （ ） 3. (2,1,3),(1,1,2),a b →→==则 a b →→⨯9= （ ） 4.r i j k →→→→=++是单位向量. （ ）5. 2222lim x y x y x y→→-=-2 . （ ）6. 已知z x y =+，则 dz dx dy =+. （ ）7. 已知2229x y z ++=，则z xx z∂=-∂ （ ） 8.(,)Df x y d σ=⎰⎰(,)Df x y dxdy ⎰⎰. （ ）9.()10,y dy f x y dx ⎰⎰=()1,xdx f x y dy ⎰⎰． （ ）10.微分方程1y ''=的通解是y =12c x c +． （ ） 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 求平行于y 轴且过点1P (1,5,1)-及2322(,,)P -的平面方程2.已知22z u v =+，,u xy v x y ==-， 求 dz 3. 求23223(,)f x y x x y y =++-的极值.4. 计算Dxy d σ⎰⎰, 其中D 是由直线0,y x y ==和1x =所围成的闭区域.5. 求微分方程320y y y '''-+=满足初始条件00,1x x yy =='==的特解内蒙古农业大学 2012—2013学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A 评分参考一、填空题（每小题2分，共20分）1.（六）2. ( 6).3. ( 1 ) 4. ( 1x y +-＞02,x y +≠ )5. ( 4 )6. ( ydx xdy + )7. ( 0 ).8. ( 2 ) .9. (1(cos )x c x-+ ). 10. ( 320y y y '''+-= ).二、选择填空题（每小题2分，共20分）1． A 2． C. 3. B. 4. D. 5. A. 6． C. 7. B. 8. D 9. B. 10. D. 三、判断题（每小题2分，共20分）1. √2. √3. ×4.×5. ×6. √7. √8. √9. × 10. × 四、计算题（每小题8分，共40分）1. 解 平行于y 轴的平面方程为 0Ax Cz D ++= 此平面过1P (1,5,1)-和2322(,,)P -得 0320,A C D A C D ++=-+= 解得 3255,A D C D =-=- 带入 3250x z +-= 2. 解22z z u z vuy v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂，22z z u z v ux v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂ 2222()()z zdz dx dy uy v dx ux v dy x y∂∂=+=++-∂∂ 3. 解22236,f f x y y x y ∂∂=+=-∂∂ 令00,f fx y ∂∂==∂∂ 得 12121102,x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 222222066,,f f fy x x y y∂∂∂===-∂∂∂∂ （1）1110x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===--=-＜0, 1110x y =-⎧⎨=⎩ 不是极值点.（2）2212x y =-⎧⎨=⎩ 220612,,,A B C AC B ===-=＞0,A ＞0，∴(,)f x y 在12(,)-取得极小值125(,)f -=-4. 解112000120x Dx xy d dx xydy xy σ==⎰⎰⎰⎰⎰1301128x dx ==⎰5. 解 2320r r -+=， 解得 1212,r r ==， 通解为 212x x y c e c e =+ 2122x xy c e c e '=+ ， 由 00,1x x yy =='== 得 1212021,c c c c +=+=解得 1211,c c =-=， 特解为 2x xy e e =-+内蒙古农业大学2013—2014学年第二学期经济类《高等数学》（B2）试卷 A一、填空题（每小题2分，共20分）1.设(2,1,1),(1,1,2),a b →→=-=-则 a b →→⨯= ( ). 2. 过点(3,2,1)且垂直y 轴的平面方程为( )63. 22123limx y x y x y →→+=+( )4. (,)arccos x f x y y=，则12(,)f =( )5. 1(,)f x y x y =-间断点为（ ）6. 已知2(,)f x y xy =， 则 (1,1)y f =（ ）7.设33z x y =+， 则 =dz ( ). 8.交换积分顺序()10,y dy f x y dx ⎰⎰=( )9.微分方程1y ''=的通解是( )．10. 特征方程2330r r -+=对应的二阶常系数齐次线性微分方程为( ). 二、选择填空题（每小题2分，共20分）1.设(1,1,2),(2,1,2),a b →→=-=-则 (2)(3)a b →→⋅-= ( ).A 18 B. 19 C. 20 D. 21 2．点312(,,)-到平面2230x y z -+-=的距离( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4 3． 103lim(1)xx y xy →→+=（ ）A 2e B. e C. 1 D. 3e4. 已知dz ydx xdy =+，则2zx y∂=∂∂( ). A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 5.22{(,)9,0}D x y x y x =+≤≥则Dd σ⎰⎰=（ ）A. 12πB. 10πC. 11πD. 9π6．已知平面2433x y z ++=与直线12312x y z k ---==-平行，则k =（ ）A. 0B. 2C. 1D. 37.已知()u f xy =， 则uy∂=∂（ ） A. ()f xy ' B. ()xf xy ' C. ()yf xy ' D. ()xyf xy ' 8.设三个向量,,a b c →→→满足0a b c →→→→++=，那么a b →→⨯= ( ).A. b c →→⨯ B. b a →→⨯ C. c b →→⨯ D. a c →→⨯9. 微分方程xdx ydy =通解是（ ）.A. 22y x c -= B. y c x = C. y x c -= D. y x c += 10. 可分离变量的微分方程的是（ ）A. 32()y y x ''-= B. 22y x y '= C. 23()30y y '+= D. 2y y x '-= 三、判断题（每小题2分，共20分）1. 空间任意三个向量（自由向量）一定是共面的. （ ）2. 2433,,πππαβγ===是某一向量的方向角. （ ） 3. 2sin lim 2x y xy y →→=。
2014-15-2高等数学(2-2)第一阶段考试答案
2014—2015学年第二学期《高等数学（2-2）》第一阶段考试卷参考答案( 工科类 )专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2015年4月 19 日题号一二三四五六七总分本题满分12 18 14 22 10 12 12本题得分阅卷人注意事项：1．本试卷共七道大题，包括基础达标题（第一到四题），综合提高题（第五、六题），应用拓展题（第七题），满分100分；2．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；3. 本试卷正文共7页；试卷本请勿撕开，否则作废。
一、（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯”；如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明.1．设0ρρ≠a ，已知c a b a ρρρρ⋅=⋅且c a b a ρρρρ⨯=⨯，则必有c b ρρ=. （√）……（2分） 证明：由c a b a ρρρρ⋅=⋅得0)(=-⋅c b a ρρρ，故)(c b a ρρρ-⊥；由c a b a ρρρρ⨯=⨯得0)(ρρρρ=-⨯c b a ，故a ρ∥)(c b ρρ-；又0ρρ≠a ，故0ρρρ=-c b ，即c b ρρ=. ……（2分）2．若函数),(y x f 在),(00y x 处沿任何方向的方向导数都存在， 则),(y x f 在),(00y x 处的偏导数也存在.（⨯）……（2分） 例如：函数22),(y x y x f +=在)0,0(沿任何方向的方向导数为10)()(lim 220=-∆+∆=∂∂→ρρy x l fρ，但是xx x x f x x x ∆∆=∆-∆='→∆→∆020lim)(lim)0,0(不存在，同理)0,0(y f '也不存在。
……（2分） 3．若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时，函数),(y x f 都趋向于某一个常数A ，则有A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00. （⨯）……（2分）例如：yx xyy x f +=),(，虽然当),(y x 沿着直线kx y =)1(-≠k 趋向于)0,0(时， ),(lim 0y x f kx y x →=→kx x kx x +=→20lim 01lim 0=+=→k kxx ；但是当),(y x 沿着 x x y -=2 趋向于)0,0(时，),(lim02y x f x x y x →-=→x x x x x x -+-=→2230lim 1)1(lim 0-=-=→x x .故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在. …（2分）或例如：,),(422y x xy y x f +=虽然),(lim 00y x f kx y x →=→4220)()(lim kx x kx x x +=→01lim 2420=+=→x k x k x ， 但),(lim 002y x f y x y →=→.21)(lim 422220=+⋅=→y y y y y 故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在.或例如：,),(263y x y x y x f +=虽然),(lim 00y x f kx y x →=→2630)(lim kx x kxx x +⋅=→,0lim 2420=+=→k x kx x但),(lim 003y x f x y x →=→.21)(lim 236330=+⋅=→x x x x y 故 二重极限),(lim 00y x f y x →→不存在.二、（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求与向量k j i a ρρρρ32--+=共线且满足28-=⋅x a ρρ的向量x ρ.解：设}3,,2{λλλλ--==a x ρρ，……（2分） 又2894-=++=⋅λλλx a ρρ，……（2分） 即2-=λ.故}6,2,4{-=x ρ.……（2分）2．求过直线132211-+=-=-z y x 且垂直于平面0523=--z y 的平面方程. 解：直线的方向向量为}1,2,1{-=s ρ，已知平面的法向量为}2,3,0{-=n ρ，则所求平面的法向量为：}3,2,1{230121-=--=⨯=*kj i n s n ρρρρρρ……（4分）已知平面过点)3,2,1(-，故所求平面方程为：0)3(3)2(2)1(=++-+--z y x 即：0632=---z y x . ……（2分） 3．求由曲面222y x z +=及223y x z --=所围成的立体在xOy 坐标面上的投影区域.解:两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=222232yx z yx z ，消去z 得到交线关于xOy 坐标面的投影柱面：222=+y x ，……（3分）交线在xOy 坐标面上的投影曲线为：⎩⎨⎧==+0222z y x ， ……（2分）立体在xOy 坐标面上的投影区域为：⎩⎨⎧=≤+0222z y x . ……（1分）三、（共2小题，每小题7分，共计14分） 1.求曲线⎩⎨⎧=+=++zy x z y x 222226在点)2,1,1(处的切线方程和法平面方程. 解：对方程组每个方程两边分别关于x 求导得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++0220222dx dz dx dy y x dx dz z dx dy y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+x dxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22,……（2分） 当0≠--=⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=yz y y z yJ 212时yz y xz x yz y x z xdx dy 22212--+=--⎥⎦⎥⎢⎣⎢---=，0222=--⎥⎦⎥⎢⎣⎢--=yzy x y x y dx dz . ……（2分）曲线在点)2,1,1(处的切向量为}0,1,1{},,1{)2,1,1(-==→dxdzdx dy T ，……（1分） 故所求切线方程为：021111-=--=-z y x ，……（1分） 法平面方程为：0)2(0)1(1=-⋅+---z y x ，即：0=-y x . ……（1分）2. 求直线⎩⎨⎧=+-+=-+-01012z y x z y x 在平面02=-+z y x 上的投影直线的方程.解：设过直线的平面束方程为0)1()12(=+-++-+-z y x z y x λ 即：.0)1()1()1()2(=-+-+-++λλλλz y x ……（2分） 又因为该平面垂直于已知平面02=-+z y x ，故.0)1()1(2)1(1)2(=-⋅-+⋅-+⋅+λλλ……（2分）解得41=λ.……（1分） 因此得到投影柱面：.013=-+-z y x所求直线的投影曲线为：.02013⎩⎨⎧=-+=-+-z y x z y x ……（2分）四、计算题（共3小题，前两小题每题7分，第3小题8分，共计22分）1.设)sin ,2(x y y x f z -=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 解：x y f f xzcos 221⋅'+⋅'=∂∂……（3分）()212cos 2f x y f yy x z '+'∂∂=∂∂∂ ()()x f f x y f x x f f sin )1(cos cos sin )1(2222121211⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=……（3分） ()2221211cos 2sin 21cos sin 22f x f x y f x y x f '+''+''-+''-=……（1分） 2.已知0)(=z x z y -ϕ，其中ϕ为可微函数，求yz y x z x ∂∂+∂∂. 解：设zxzyz y x F -)(),,(ϕ=，则z F x 1-='，z z y F y 1)(⋅'='ϕ，22)()(z x z y z y F z +-⋅'='ϕ.…（3分）当0≠'z F 时，)(z y y x z F F x z z x ϕ'-=''-=∂∂，)()(zy y x z y z F F y z z y ϕϕ'-'-=''-=∂∂. …… (2分) 于是z yzy x z x=∂∂+∂∂.（2分） 3. 设n ρ为曲面632:222=++∑z y x 在点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量，求： (1) 函数z e u xy ln +=在点)1,1,1(P 处的梯度；(2) 函数z e u x yln +=在点)1,1,1(P 处沿方向n ρ的方向导数.解：（1）x ye x y x u 2-=∂∂，x ye x y u 1=∂∂, zz u 21=∂∂，……（2分） }21,,{,,)1,1,1()1,1,1(e e z u y u x u gradu -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=. ……（2分）(2) }2,6,4{}2,6,4{)1,1,1(==z y x n ρ，}141,143,142{0=n ρ……（2分） 14222141143)(1420ee e n gradu n u +=⋅+⋅+-⋅=⋅=∂∂11ρρ.……（2分）五、（本题10分） 已知b a ρρ⊥，1||=a ρ，2||=b ρ，设b a c ρρρ+=2，b a k d ρρρ-=. 问：(1)k 为何值时，d c ρρ⊥；(2)k 为何值时，以c ρ与d ρ为邻边的平行四边形的面积为6.解：(1)要使d c ρρ⊥，需要0=⋅d c ρρ而2222)()2(b b a k b a a k b a k b a d c ρρρρρρρρρρρ-⋅+⋅-=-⋅+=⋅……（1分） 因为b a ρρ⊥，所以0=⋅b a ρρ.故042222=-=-=⋅k b a k d c ρρρρ……（2分）得2=k .……（1分）(2)b a k b b a b k b a a a b a k b a d c ρρρρρρρρρρρρρρρ⨯--=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯+=⨯)2(22)()2(.……（2分）以c ρ与d ρ为邻边的平行四边形的面积为k b a b a k b a k d c S +=∠+=⨯--=⨯=22),(sin 22ρρρρρρρρ……（2分）故622=+=k S ，解得1=k 或-5.……（2分）六、（本题12分）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00),(222222y x y x yx xy y x f在)0,0(点处的连续性、偏导数存在性和可微性；并写出多元函数的连续性、偏导数存在性和可微性之间的相互关系. 解：(1) 因为,0210002222−−→−+≤+≤→→y x y x y x xy ……（2分） 故),0,0(0lim),(lim 2200f yx xyy x f y x y x ==+=→→→→ 即),(y x f 在点)0,0(连续；……（1分）(2) ,00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+='→∆→∆xx f x f f x x x同理，0)0,0(='y f ；……（2分） (3) ,)()()0,0()0,0(22y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆……（1分）由(2)知，0)0,0(='x f ，0)0,0(='y f ，22000)()(lim])0,0()0,0([limy x yx y f x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆⋅'+∆⋅'-∆→∆→∆→ρρ……（2分）当x k y ∆=∆时，此时222201)()()(lim k kx k x x k x +=∆+∆∆→∆，故二重极限不存在，因此),(y x f 在点)0,0(不可微.……（2分）多元函数在一点处可微，则函数在该点处连续、偏导数存在；反之不成立。
高数C2(A)参考答案及评分标准(1)
8 ………………………..5 分 3
3、求通过 z 轴和点 (2, 1,3) 的平面方程. 解；因为平面过 z 轴，所以设其方程为
A x B y 0 ……….2 分
1 4 ln 2 x 4 ……………4 分 16 1 15 ……………5 分 4ln 2 16 2 z 4、设 z x ln( x y) ，求 . xy z 1 解： ln( x y ) x …2 分 x x y
63 ， y 14 (唯一驻点) 2 由问题的实际意义， L 必有最大值， 63 故当商品 A ， B 分别价格为 x ， y 14 时利润最大。 2
….3分 …….5分 …….7分 …….9 分 …….10 分
解得 x
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1、 一定（ C ）. C 、有定义 A 、可微 B 、连续 D 、有极限 5、微分方程 y 'cos x y ln y sin x 0 是（ A ）. A 、可分离变量方程 B 、齐次方程 C 、一阶线性方程 D 、伯努利方程 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 得分 评卷人
1、积分
0 y
1
1
1
0
dx f x, y dy .
0
x
5、微分方程 y e x y e2 x y 1 的阶数为
4
3.
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得分 评卷人
三、计算题（要求写出主要计算步骤及结果，每小题 5 分，共 50 分）
1、计算
2
0
x 4 x 2 dx .
湖北文理学院 2016-2017 学年度下学期高等数学 C2 试题 （A）
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
11-12高数文C2A卷参考答案
高等数学C2A 卷参考答案及评分标准2011~2012第二学期二、填空题（每空3分，共15分）11、4122<+<y x 。
12、41。
13、zy x zy x 322++--。
14、)3,2,1(--。
15、 ln2 。
三、解答题（共6题，每小题9分，总分54分）16、(1))3cos()3sin(y x x y x x z -+-=∂∂ , )3cos(3y x x yz --=∂∂； dy y x x dx y x x dx y x dz )3cos(3)3cos()3sin(---+-=（……5分）（2）)3sin(922y x x y z --=∂∂，)3sin(3)3cos(32y x x y x yx z -+--=∂∂∂（……4分）17、(1)方程为：12'-=y y ，满足初始条件：10==x y （……4分） （2）通解为：212+=xCe y ，特解为21212+=x e y （……5分） 18、解：令x t =，原式⎰=22dt te t（……3分）22222220+=-=⎰e dt e te t t （……6分）19、解：(1) 2=a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=01n n a 收敛，故级数∑∞=+-01)1(n n na 绝对收敛（……6分） (2) 5.0=a 时，0111lim ≠=++∞→n n a ，故此时级数∑∞=+-01)1(n n na 发散（……3分）20、解：(1) 2222)12()12(lim x x n x n n n n =-+-+∞→,当12<x 时，级数绝对收敛； 而当1±=x 时，级数均为∑∞=+1)12(n n 发散。
故收敛半径为1，收敛域为)1,1(-（……4分）(2))'1()'()'()12(2311211212x x xxxn n n n n n n-===+∑∑∑∞=+∞=+∞=故)1,1(,)1(3)12(224212-∈--=+∑∞=x x x x x n n n（……5分）21．解：⎰⎰+y ydx x y dy 110=⎰⎰+x x dy x y dx 2110（……3分）=241)(211032=-⎰dx x x （……6分）四、证明题（共2题，总分11分）22. 本题满分6分 证：)('222y x xf x z +=∂∂，)('222y x yf yz+=∂∂（……4分） 则0'2'2=-=∂∂-∂∂xyf xyf yzx x z y，得证（……2分） 23. 本题满分5分证：对左边，令2x t =，则⎰⎰⎰==22023)(21)(21)(a a a dx x xf dt t tf dx x f x （……5分）。
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
A3030A606分〔 2〕由余弦定理：a2 b 2 c 22bc cos A 结合及〔1〕得，22b2 c 22bc cos60①8分由面积公式： S ABC 1bc sin A 得，123 ②10分bc sin 602b 2c 2bc4联立①、②并化简：4bc解得： b2, c212分考点： 1．正弦定理； 2．余弦定理； 3．三角形的面积公式．1,n13n 120．〔Ⅰ〕a n〔Ⅱ〕a n或 a612n3, n22n2【解析】试题分析：(Ⅰ)当n 1时，a1S11,,, 2 分当 n 2 时，23，,, S n S n1na n5 分1,n1,,显然，a1不适合上式，所以有 a n2n3, n26 分( Ⅱ ) 因为是等比数列，所以a n a1q n 1，所以由条件知：S3a1(1 q q2 )932 ，,,a3a1q228 分两式相除化简得2q 2q10 ，,, 10 分解得 q 1 ，或1，,, q212 分- 8 -WORD格式qn120n 1 a 4baS a a821,b2,ba22 33142n22q a42 a1q 34所以 a n31或 a n62213 分n 1.,,考点：本小题主要考察由a n与的关系求通项和等比数列中的根本量的运算，考察学生的运算求解能力 .点评： (1) 由与的关系求通项时一定要分和两种情况，然后检验能否合二为一，如果不能，那么以分段形式给出.(2)求解等比数列的根本量时，不要忽略时的情况 .21．〔 1〕n N， b n22(n1)2n， n N. 〔 2〕T n2n n2n 1.【解析】试题分析：〔 1〕由等比数列的公比,，，建立 a1, q 方程组a2a1q2，写出a n的通项公式.a1q3, 解得a44由，建立 b1, d 〔公差〕的方程组，求得b12b n的通项公式 .d，写出2〔 2〕由〔 1〕知数列a n是以1为首项， 2为公比的等比数列，数列b n是以 2为首项， 2为公差的等差数列．应用“分组求和法〞计算得到T n2n n2n 1 .试题解析：〔 1〕等比数列a n的公比 q0 , a2 2 ，a48a11q2a n2n 1n N3分等差数列中设公差为 db12b2b1d4- 9 -所以 a n 31或 a n62213 分n 1.,,考点：本小题主要考察由a n与的关系求通项和等比数列中的根本量的运算，考察学生的运算求解能力 .点评： (1) 由与的关系求通项时一定要分和两种情况，然后检验能否合二为一，如果不能，那么以分段形式给出.(2)求解等比数列的根本量时，不要忽略时的情况 .21．〔 1〕n N， b n22(n1)2n， n N. 〔 2〕T n2n n2n 1.【解析】试题分析：〔 1〕由等比数列的公比,，，建立 a1, q 方程组a2a1q2，写出a n的通项公式.a1q 3, 解得a44由，建立 b1, d 〔公差〕的方程组，求得b12b n的通项公式 . d，写出2〔 2〕由〔 1〕知数列a n是以1为首项， 2为公比的等比数列，数列b n是以 2为首项， 2为公差的等差数列．应用“分组求和法〞计算得到T n2n n2n 1 .试题解析：〔 1〕等比数列a n的公比 q0 , a2 2 ，a48a11q2a n2n 1n N3分等差数列中设公差为 db12b2b1d4所以 a n 31或 a n62213 分n 1.,,考点：本小题主要考察由a n与的关系求通项和等比数列中的根本量的运算，考察学生的运算求解能力 .点评： (1) 由与的关系求通项时一定要分和两种情况，然后检验能否合二为一，如果不能，那么以分段形式给出.(2)求解等比数列的根本量时，不要忽略时的情况 .21．〔 1〕n N， b n22(n1)2n， n N. 〔 2〕T n2n n2n 1.【解析】试题分析：〔 1〕由等比数列的公比,，，建立 a1, q 方程组a2a1q2，写出a n的通项公式.a1q 3, 解得a44由，建立 b1, d 〔公差〕的方程组，求得b12b n的通项公式 . d，写出2〔 2〕由〔 1〕知数列a n是以1为首项， 2为公比的等比数列，数列b n是以 2为首项， 2为公差的等差数列．应用“分组求和法〞计算得到T n2n n2n 1 .试题解析：〔 1〕等比数列a n的公比 q0 , a2 2 ，a48a11q2a n2n 1n N3分等差数列中设公差为 db12b2b1d4。
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2014-2015
二 高等数学C2（下） A 卷
数理系 王军东
高密校区相关专业
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、 填空题（每空3分，共30分）
1.方程20xy yy x 2
'-'+=是 阶微分方程。
2.点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d =_________________.
3. 极限
2
2
(,)(10lim
y x y x y
→+，）
=__ ___.
4. 平面110x y +-=与平面380x +=的夹角为 .
5.
2
2
2
y x
dx e dy -=⎰
⎰______________.
6. 设函数2
(ln )z xy =，则
z
x
∂=∂______________. 7. 幂级数21n
n x n
∞
=∑的收敛域为_________
8.函数u xyz =在点(5,1,2)处的梯度为____ _,沿着从(5,1,2)到(9,4,14)的方向的方向导数为_____ __. 9.微分方程
2
1dy xy
dx x =
+的通解是y =_____ __. 二、选择题：（每小题3分，共15分）
1．下列函数中不是微分方程4(1)y y y 2
'=-的解的是（ ）
)A 2cos x )B 2sin x )C 1(cos 21)2
x + )D sin 2x
2．将yoz 坐标平面上的抛物线2
2y pz =绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为（ ）
课程考试试题 学期 学年 拟题人:
校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
)A 222x y pz +=- )B 222x y pz += )C 2222()y p x z =+ )D 2222()y p x z =-+
3．已知二重积分
2D
dxdy =⎰⎰，则积分区域D 为（ ）
A. ||1,||1x y ≤≤
B. 01,02x y x ≤≤≤≤
C. 222x y +≤
D. ||||1x y +≤
4.无穷级数12
2
1
(1)1n n n n -∞
=-+∑的敛散性为 （ ） )A 条件收敛 )B 绝对收敛 )C 发散 )D 敛散性无法确定
5.已知直线3210
:21030x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩
及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ ）
)A 平行于π. )B 在π上 )C 垂直于π. )D 与π斜交.
三． 计算题（共55分）
1 （8分）求微分方程0x
xy y e '+-=满足条件1|x y e ==的特解。
2 （8分）已知方程2
2
22351x y z z -+-=确定隐函数(,)z z x y =，求
z z
x y
∂∂∂∂和。
3 （8分）求曲面2
423z z e x y -+=在点（1，，2，0）处的切平面及法线方程。
4 （8分）画出积分区域，并计算二重积分
2
2()D
x
y x dxdy +-⎰⎰，其中D 是由直线
2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域。
5 （8分）计算
2
2
x
y D
e dxdy --⎰⎰，
其中积分区域D 是由中心在原点的单位圆周所围成的闭区域。
6 （8
分）求锥面z =
被柱面22z x =所割下部分的曲面面积。
7 （7分）判定正项级数2
13
n n n ∞
=∑的敛散性。
拟题学院（系）： 数理学院
适用专业：高密校区各专业
2014-2015 学年 2 学期 高等数学C2(A 卷) 试题标准答案
一、填空题（每空3分，共30分）
1．一阶。
2. 2 3. ln 2. 4. 4
π 5. 4
1(1)2e -- 6 . 2ln xy x .
7 [1,1]- 8. (2,10,5)，
98
13
9 21y C x =+ 二、选择题（每小题3分，共15分） D B D C C
三、计算题（共55分）
1 (8分)解：原方程可写成1x
e y y x x
'+= ------------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
1
1ln ln [][]
11
[]()x x dx dx x x x x
x x e e y e e C e e C x x e dx C e C x x
-
-⎰⎰=⋅+=⋅+=+=+⎰⎰⎰ ------------6分
再由条件1|x y e ==，有e e C =+，即0C =.因此，所求的特解是x e y x
= ------------8分
2 (8分)解：令函数222
(,,)2351x y F x z z y z -+--=，则4,6,101x y z F x F y F z ==-=-
所以，
4101
x z F z x
x F z ∂=-=-∂- -------4分
66101101
y z F z y y
y F z z ∂-=-=-=
∂-- ----------8分 3 (8分)解： 令2
(,,)423z
F x y z z e x y =-+-，则法向量
2
(,,)(4,2,4)(8,2,3)z
x y z n F F F xy x e (1,2,3)(1,2,0)(1,2,0)|=|=-|= -----------2分
拟 题 人： 王军东
书写标准答案人： 王军东
所以在点（1,2,3）处此球面的切平面方程 8(1)2(2)30x y z -+-+= 即 823120x y z ++-= -----------5分 法线方程为
12823
x y z
--== ---------8分 4 (8分) 解：画出积分域D -----------2分
2
2
2
2
22()()y
y D
dy x
y x dxdy x y x dx +-+=-⎰⎰⎰⎰ -----------5分
2
322022
11(||)322y y y
y y x y x dy =
+⋅-⎰ 2
32
193(
)248
y y dy =
-⎰
- 13
6
=
----------8分 5 (8分)解：画出积分域D ： 02,01θπρ≤≤≤≤ -----------2分
2
2
2
21
x y D
e dxdy d e d πρθρρ---=⋅⎰⎰⎰⎰ ----------5分
1
1
2()(1)2
e π-=--
1
(1)e π-=- ----------8分 6 （8分）解：画出立体图 ----------2分
所割下的锥面方程为z =
，
它在xoy 坐标面的投影区域为D: 2
2
2x y x +≤
所以曲面面积D
S =
----------4分
D
=
1D
dxdy =
=
----------8分
7 (7分)解：由比值审敛法，因为
2112(1)31lim lim 133n n n n n n
u n u n ++→∞→∞+=⋅=< ---------4分 所以级数2
13
n n n ∞
=∑收敛 ----------7分。