1.2.3全集与补集
集合的概念
渴望着能有人，随便什么人，能走上来抱住他们。 ? 不管围观者是带着骄傲、鲁莽还是耻辱来看这场游街，都没有人走上前打断它，目前还没有。 ? 有时，一个男人或女人﹣﹣不，他们不是男人和女人，他们只是犹太人﹣﹣会在人群中看到莉赛尔的脸。他们会回避她的目光。偷书贼只能无助地望
着他们走远。她只能希望他们能够读懂她脸上深藏的怜悯，并且能意识到这是真切的悲伤，不会消失的无影无踪。 ? 前进的队伍里，有个人的年纪比其他人都大。 ? 他留着胡子，衣衫褴褛。 ? 他的眼睛里流露出极度的痛苦。虽然他的身体轻飘飘的，但他的双腿还是承担不了这一点点重量。 ? 有
绝望，难以相信会有人帮助自己；在他们看来，送面包是件毫无意义的事情，不值得冒险去做，因此他们对汉斯﹣休伯曼的善举感到不可思议。 9．（3分）汉斯这样做虽然无法改变老人的命运，但至少可以用小小的善举温暖老人的心灵，让老人带着最严死去。 10．（3分）示例：小说增加了大量
对犹太囚犯的描写．写出了他们麻木、绝望和极度悲苦的心境，让读者深深感受到纳粹暴行带给犹太人身心的伤害。 11．（5分）
一 集合
集合 子集、全集、补集 含绝对值的不等式解法
1.1 集合
定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
例：“太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋”组成一
个集合。 集合表示方法： 大括号表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 大写拉丁字母表示：A={太平洋，大西洋，
印度洋，北冰洋}
常用的数集及其记法
集合的表示方法：
列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法。
例：由方程x2-1=0的所有的解组成的集合，可以
表示为 {-1，1}
注：集合的元素有2个。 含有有限个元素的集合叫做有限集。
例：由所有大于0且小于10的奇数组成的集合，可
1.2-子集、全集、补集讲义教学
1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B AA ≠B A B.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A .4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．评点 评点根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m .若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m -2. 要点二 补集、全集[重点] 1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U .(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U .3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个评点子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A .该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A .用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0 的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A . 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.1212评 点根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B . 若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 (2)(1)(2)因为A B，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间的关系.解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，1 M，∴M P.解法二：对任意的x0∈M，有x0=a2 0+1=(a0+3)2-6(a0+3)+10∈P(∵a0∈N*，∴a0+3∈N)，∴M P，又b=3时，y=1，∴1∈P.而1<1+ a2+1=(a0∈N*)，∴1 M，从而M P.10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B.求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C用Venn图来表示所给集合，将A及C U A填入即可得U解：借助Veen图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.∵C U B={1，4，6，8，9}∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.E 教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么A=B.这是因为由A B可知，集合A的元素都是集合B的元素，又由B A知，集合B的元素也都是集合A的元素，这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A 中，即A B与B A同时成立.综上所述，A B与B A同时成立的等价条件是A=B.例判断下列两个集合的关系：(1)A={x |(x-1)(x+1)= 0}，B={x | x2=1}；(2)C={x |x=2n，n∈Z }，D={x | x=2(n-1)，n∈Z }.解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.评点(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集.一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n -1)个(去掉集合本身)，非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4} 写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含评点有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.例2 设全集U={1，4，a 2+4a -2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有例4 已知集合A={x |- 2 ≤ x ≤ 5}，B={x | m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5，解的2 ≤ m ≤ 3. (2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}.在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.axx x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B.综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2.根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.评点 评点解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ， 综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a<x <a + 4 }，若AB ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15 . 当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.方法二 分类讨论思想评点解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 {}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以，即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A . 3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34 .(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。
§1.3(2)集合的运算(全集、补集)
说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。
为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中教案 §1.3（2）集合的运算（全集、补集）一、教学目标设计了解全集与补集的意义；掌握补集符号“C U A ”，会求一个集合的补集； 知道有关补集的性质. 二、教学重点与难点补集的概念及有关运算. 补集的有关性质. 三、教学过程设计 (一)、复习回顾1、集合的子集、真子集概念、求法？2、两个集合相等应满足的条件是什么？ (二)、讲授新课 1、概念引入事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系. 回答下列问题例:A={班上所有参加足球队的同学}B={班上没有参加足球队的同学} U={全班同学}那么U 、A 、B 三集合关系如何？集合B 就是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合.即图中阴影部分.2、概念形成 （1）全集定义如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.（2）补集定义一般地，设U 为全集，A 是U 的一个子集（即A ⊆U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作CuA ，即CuA={x|x ∈u ，且x ∉A}，读作“A 补”.（上图阴影部分即表示A 在U 中补集CuA.）3、概念深化，补集的性质(); 1=φU C (); 2=U C U ()(); 3=A C C U U (); 4=A C A U (); 5=A C A U[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集.4、例题解析例1、若U={1,2，3,4,5}，A={4，3}，则C U A=_________. 例2：设U=R ，A={}21<≤x x ，则C U A=_________.[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯. ②强调补集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号.例3.设集合{}{}32,3,2,2,122-+=-=a a U a A ，且{}3=A C U ，求实数a 的值.例4：设{}{}{}d c b B b a A e d c b a U ,,,,,,,,,===（1）求()()B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ,,,；（2）从上述结论中，你发现有什么结论？（3）对任意的集合A ，B ，请你用集合的图示法说明是否有以上结论.[说明]① 通过练习，引导学生发现如下结论：CuA ∩CuB=Cu(A ∪B),CuA ∪CuB=Cu(A ∩B). ② 结合实例及图示帮助学生理解结论. ③ 提高符号表达能力. 性质（6）CuA ∩CuB=Cu(A ∪B) 性质（7）CuA ∪CuB=Cu(A ∩B)例5.设全集{}的质数为小于20|x x U =，B A ,是U 的两个子集，且(){}(){}13,7,11,5==B A C B C A U U ，{}19,17=B C A C U U ,求集合A 、B .(三)、课堂小结1、全集与补集的概念、全集与补集的表示.2、能熟练求解一个给定集合的补集.3、注重一些特殊结论在以后解题中应用.四、教学反思（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义.全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义.其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质.（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“U A是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成U A是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的.（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用.本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号.导学案§1.3（2）集合的运算学习目标：了解全集与补集的意义；掌握补集符号“C U A ”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质.学习重点：补集的概念及有关运算； 学习难点：补集的有关性质. 学习过程：一、复习回顾：① 如果 ，则称集合 A 是集合B 的子集 ，记作 .若集合A B ⊆，且 ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作 . 若 ，则B A =. ②=⋂B A ；A B =U .二、新知导学： 创设情境：高一（7）班要在会议室举行团支部大会，团支书说请非团员在教室自习，其余的人到会议室开会，我们令A={班上所有团员}，B={班上所有非团员}，U={全班同学} 那么U 、A 、B 三集合关系如何？ ，概念自学：通过对课本第13页的预习，弄清楚以下几个问题： 问题1．什么是全集？全集： . 例如上问题中的集合 为该问题中的全集. 问题2．什么是补集？补集的定义： ，叫做集合A 在全集中的补集.记作： ；读作： .集合语言：U C A = ；图形语言：用阴影部分表示出U C A .练习1.若全集为U R =，{}|1x 2A x =≤<，则U C A = ；2.(1)设全集为{},,,,U a b c d e =，{},A a b =，{},,B b c d =，分别求U C A ，U C B ，B C A C U U ⋂,)(B A C U ⋂，()U C A B U ，U U C A C B U .（2）从上述结论中，你发现有什么结论？（3）对任意的集合A ，B ，请你用集合的图示法说明是否有以上结论.问题3．根据你的理解填填下面的空.(); 1=φU C (); 2=U C U ()(); 3=A C C U U (); 4=A C A U (); 5=A C A U性质（6）CuA ∩CuB=Cu(A ∪B) 性质（7）CuA ∪CuB=Cu(A ∩B)[说明]A 的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集.三、新知探究：例1．设{}|21A x x =-<≤，当全集U 分别取下列集合时，求出U C A . ⑴、U R = ⑵、{}|3U x x =≤ ⑶、{}|51U x x =-≤≤说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.例2．设{}22,4,1U a a =-+，{}2,1A a =+，{}7U C A =，求实数a 的值.例3.设全集U R =， {}2+120A x x px =+=，{}250B x x x q =-+=，若}2{=B A C U ，则p q += .例4.设全{}的质数为小于20|x x U =B A ,是U 的两个子集，且(){}(){}13,7,11,5==B A C B C A U U ，{}19,17=B C A C U U ,求集合A 、B .四、课堂小结1. 已知全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}7,5,3,1=M ，{}7,6,5=N ，则()=N M C U .2. 设U=Z ，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是 .3. 设{}5,3,2=U ，{}5,2-=a A ，且{}5=A C U ，则=a .4. 设R U =，{}{}63|,52|<<=<≤=x x B x x A ，则=B A C U .5. 已知(){},,I x y x y R =∈,(){},32A x y y x ==-, ()4,32y B x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭, 则A B ＝ ，()I C A B ＝ .6. 用集合的交、并、补表示下列图形中阴影部分为：① ; ② ; ③ .7. 设全集{}5I x x =是不超过的正整数，{}250A x x x q =-+=，{}2120B x x px =++=，(){}1,3,4,5I C A B =，求,p q 的值和集合,A B .8. 设全集{}8U x N x +=∈≤，若(){}1,8U AC B =，(){}2,6U C A B =，()(){}4,7U U C A C B =，求集合,A B .。
徐州高一数学教材是苏教版目录
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数学1
第1章集合
1.1集合的含义及其表示
1.2子集、全集、补集
1.3交集、并集
第2章函数概念与基本初等函数
2.1函数的概念和图象
函数的概念和图象
函数的表示方法
函数的简单性质
映射的概念
2.2指数函数
分数指数幂
指数函数
2.3对数函数
对数
对数函数
2.4幂函数
2.5函数与方程
二次函数与一元二次方程
用二分法求方程的近似解
2.6函数模型及其应用
数学2
第3章立体几何初步
3.1空间几何体
棱柱、棱锥和棱台
圆柱、圆锥、圆台和球
中心投影和平行投影
直观图画法
空间图形的展开图
柱、锥、台、球的体积
3.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质
空间两条直线的位置关系
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
第4章平面解析几何初步
4.1直线与方程
直线的斜率
直线的方程
两条直线的平行与垂直
两条直线的交点
平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程
圆的方程
直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系
空间两点间的距离平面上两点间的距离点到直线的距离。
2015年高中数学 1.2子集、全集、补集(2)教案
1.2 子集、全集、补集（2）教学目标：1．使学生进一步理解集合及子集的意义，了解全集、补集的概念；2．能在给定的全集及其一个子集的基础上，求该子集的补集；3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化，培养学生观察、分析、归纳等能力．教学重点：补集的含义及求法．教学重点：补集性质的理解．教学过程：一、问题情境1． 情境．（1）复习子集的概念；（2）说出集合{1，2，3}的所有子集．2．问题．相对于集合}2,1,1,2{--=S }而言，集合}1,1{-=A 与集合}2,2{-=B 有何关系呢？二、学生活动1．分析、归纳出全集与补集的概念；2．列举生活中全集与补集的实例．三、数学建构任何事物都是相对的，集合中的部分元素和集合之间的关系就是部分与整体的关系. 例1 下列各组的3个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？（1）}2,1,1,2{--=S ，}1,1{-=A ，}2,2{-=B ；（2）R S =，},0{R x x x A ∈≤=，},0{R x x x A ∈>=；（3）}{为地球人x x S =，}{为中国人x x S =，}{为外国人x x S =. 讨论结果：在（1）、（2）、（3）中都有A ⊂≠S ，B ⊂≠S ，可以Venn 图表示.思考：观察上述每一组的3个集合，它们之间还有什么关系？讨论结果：每一组3个集合中，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是元素S 的全部元素.这个思考为学生感受和理解补集和全集的概念奠定基础，也为从集合运算的角度理解补集作铺垫，同时也锻炼学生从特殊到一般的思考问题的方式.1.补集的概念设S A ⊆，有S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 ∁sA ，（读作A 在S 中的补集），即 ∁sA =},{A x S x x ∉∈=且.∁sA 可用下图表示．对于例2，我们有=B ∁A S ，=A ∁B S .2.全集的含义：如果集合S 包含我们研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集，全集通常记作U ．例如，在实数范围内讨论集合时，R 可以看做一个全集U .3．常用数集的记法：自然数集N ，正整数集*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．则无理数集可表示为∁Q R ．四、数学运用1．典例分析．例1 已知全集Z S =，集合},2{Z k k x x A ∈==，},12{Z k k x x B ∈+==，分别写出集合A ，B 的补集∁A S 和∁B S ．例2 不等式组⎩⎨⎧≤->-063012x x 的解集为A ,R U =，试求A 及∁A u ，并把它们表示在数轴上．例3 已知全集}5,4,3,2,1{，}045{2=+-∈=qx x S x A ．（1）若∁A S ＝S ，求q 的取值范围；（2）若∁A S 中有四个元素，求∁A S 和q 的值；（3）若A 中仅有两个元素，求∁A S 和q 的值．2．课堂练习（1）∁A S 在S 中的补集等于什么？即∁S （∁A S ）＝ ．（3）∁S ∅＝ ，∁S S ＝ ．五、回顾小结1．全集与补集的概念；2．任一集合对于全集而言，其任意子集与其补集一一对应．六、作业教材第10页习题3，4．。
1.2 子集、全集、补集
2.全集与补集 全集与补集
设S是一个集合, A是S的一个子集(即A ⊆ S ), 由S中所有不属于A的元素组成的集合, 叫做 S中子集A的补集(或余集), 记作Cs A, 即
CS A = {x x ∈ S , 且x ∉ A}.
用图形表示为: 用图形表示为 S CSA A
例如,如果 例如 如果S={1,2,3,4,5,6}, A={1,3,5}, 那么 如果 CSA= {2,4,6}
规定:空集是任何集合的子集 规定 空集是任何集合的子集. 空集是任何集合的子集 即对于任何一个集合A 有 即对于任何一个集合 ,有 对于两个集合A与 如果集合 如果集合A的任何一个元 对于两个集合 与B,如果集合 的任何一个元 素都是集合B的元素 同时集合B的任何一个 的元素,同时集合 素都是集合 的元素 同时集合 的任何一个 的元素,就说集合 等于集合 元素都是集合 A的元素 就说集合 等于集合 的元素 就说集合A等于 B,记作 = B. 记作A 记作 (1)对于任何一个集合 , A⊆ A 对于任何一个集合A 对于任何一个集合 . 任何一个集合是它本身的子集. 即任何一个集合是它本身的子集 (2)对于集合A, B, 如果A ⊆ B,同时B ⊆ A,
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的 如果集合 含有我们所要研究的各个集合的 全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集 这个集合就可以看作一个全集 全部元素 这个集合就可以看作一个全集 全集 通常用U表示 表示. 通常用 表示 例如,在实数范围内讨论问题时 可以把实数集 例如 在实数范围内讨论问题时,可以把实数集 在实数范围内讨论问题时 R看作全集 那么 有理数集 的补集 UQ是 看作全集U,那么 有理数集Q的补集 看作全集 那么,有理数集 的补集C 是 全体无理数的集合. 全体无理数的集合
高中数学知识汇总 第一章 集合与简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑1.1 集合1）常用的数集有以下几类：2）集合的特征：确定34）集合的表示方法：。
5）集合的分类：有限集、无限集。
1.2 子集、全集、补集1）子集A B ⊂：集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ，我们也说集合A 是集合B 的子集。
一般地：a :空集是任何集合的子集； b :任何集合是它本身的子集。
B A ≠⊂：集合A 真包含于集合B 。
一般地：空集是任何非空集合的真子集。
2）全集与补集S 是全集，A 是S 的一个子集，S C A 是补集（或余集），{,}S C A x x S x A =∈∉。
1.3 交集、并集交集：{,}A B x A x B ⋂=∈∈且。
并集：{,}A B x A x B ⋃=∈∈或。
交集并集1.4 含绝对值的不等式的解法1）{}(0)x a a x a a <=-<<<， 2）{,}(0)x a x a x a a >=<-><或。
1.5 一元二次不等式解法1）求根； 2）画图。
1.6 逻辑联结词1）与命题：2）或命题3）非命题：1.7 四种命题（1）四种命题的形式：1）原命题：若p 则q ； 2）逆命题：若q 则p ； 3）否命题：p ⌝则q ⌝； 4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝； （2）四种命题的相互关系：（3）原命题与其他三个命题的真假关系： 1）原命题为真，它的逆命题不一定为真； 2）原命题为真，它的否命题不一定为真； 3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；。
1.2 子集、全集、补集ppt课件
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分析：主要考查两集合之间的关系的判断能力． 解析：A＝{(x，y)|y＝x－1(x≠－1)}． 即集合A的元素是直线y＝x－1上去掉了点(－1，－2)后剩余的 所有点，而集合B的元素是直线y＝x－1(x∈R)图象上所有的点，显 然有A⊆B，而集合A≠B，故有A B，即A是B的真子集．
栏 目 链 (3)补集的几个特殊性质：A∪∁SA＝S，∁SS＝∅，∁S∅＝S，∁S(∁SA) 接
90° 的菱形}；当S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边不相等的矩形}．
＝A.
三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集． (2)空集是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合都是它自身的子集．
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5．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集 合 ， 叫 做 A 在 U 中 的 补 集 ， 记作 ∁ UA ，即 ∁ UA ＝ {x|x∈U ， 且 x∉A}． {1,3} 例1：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝_________.
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(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
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－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
子集、全集、补集
三、讲解范例
例1 （1）若S={1，2，3，4，5，6}， A={1，3，5}，求CSA （2）若A={0}，求证：CNA=N*
例2 S={三角形}， B={锐角三角形}， 求CSB
例3已知A={0，2，4}， CUA＝ {－1， 1}， CUB＝ {－1，0，2}，求B
例3 已知全集U＝R，集合A＝｛x｜ 1≤2x＋1＜9｝，求CUA。
例4 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A ＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，
B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与 CSB的关系。
例5、设全集U（U Φ），已知集合M，
N，P，且M=CUN，N=CUP，则M与P 的关系是（ ）
M（A）P，M=（CDUP），M（B）P.M=P，（C）
四、练习
1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1
＜x＜a｝，若A≠ ，则a的取值范围是
（） （A）a＜9 （B）a≤9 （C）a≥9 （D）1＜
a≤9 2、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2
－a＋2｝。如果CUA＝ ｛－1｝，那么a的值为 。
3B、＝已C知UA全，集求UCU，B，A是CUU的，子CU集U，。 是空集，
集A的补集（或余集），记作 CS A ，即
CS A ＝ {x | x S,且x A}
二、全集的定义
如果集合S含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以
看作一个全集，全集通常用U表示。
性质：CS（CSA）=A ，CSS=
CS =S
，
蟹一样的屁股更让人猜想。这巨仙有着活像鼓锤似的腿和亮黑色金钵模样的爪子……轻飘的暗白色蛤蟆般的五条尾巴极为怪异，深红色娃娃模样的铅笔水云肚子有种 野蛮的霸气。紫宝石色球杆一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种浓黑色舢板般的气味，乱叫时会发出浅灰色木偶样的声音。这个巨仙头上亮黄色水牛一样的 犄角真的十分罕见，脖子上犹如长笛一样的铃铛结实的脑袋感觉空前耀眼和疯狂。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是 女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的镊子驴脚鬼！这个巨大的镊子驴脚鬼，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这 个怪物长着十分痴呆的驴脚！这巨鬼有着紫红色玉兔样的身躯和水红色细小螺栓造型的皮毛，头上是亮橙色面具般的鬃毛，长着水蓝色馄饨样的舷窗碎花额头，前半 身是粉红色廊柱样的怪鳞，后半身是五光十色的羽毛。这巨鬼长着土黄色馄饨形 态的脑袋和水绿 色面条样的脖子，有着纯黄色蘑菇一样的脸和深黄色水波形态的眉毛 ，配着深绿色琵琶般的鼻子。有着金橙色软盘一样的眼睛，和纯蓝色猎犬样的耳朵，一张金橙色钢管样的嘴唇，怪叫时露出暗绿色树皮形态的牙齿，变态的粉红色门 柱造型的舌头很是恐怖，水红色葫芦一般的下巴非常离奇。这巨鬼有着活像油条形态的肩胛和活似虎尾般的翅膀，这巨鬼长长的金红色篦子造型的胸脯闪着冷光，很 像磨盘般的屁股更让人猜想。这巨鬼有着美如龙虾样的腿和淡绿色龟壳形态的爪子……肥大的亮橙色包子造型的二条尾巴极为怪异，深蓝色土豆形态的弯刀雪川肚子 有种野蛮的霸气。金红色木头般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种深绿色弹头造型的气味，乱叫时会发出淡黄色蒜头一样的声音。这个巨鬼头上淡橙色娃娃般 的犄角真的十分罕见，脖子上特像春蚕般的铃铛淡紫色猪肺般的脑袋感觉空前正点和新奇！这时那伙校精组成的巨大卵石刀肝仙忽然怪吼一声！只见卵石刀肝仙转动 跳动的犹如长笛一样的铃铛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的浓黑色种子一样裂开……七条紫红色面条模样的残暴巨 根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵深红色白菜模样的炽热巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇淡橙色糖块模样的残缺巨大枝叶疯速向外扩张……突 然！一朵碳黑色海带模样的邪恶巨蕾恐怖地钻了出来……随着深黑色花生模样的残疾巨花狂速盛开，无数锅底色果盘模样的受伤花瓣和纯蓝色花蕊飞一样伸向远方… …突然，无数白杏仁色刀峰模样的炽热果实从巨
高中数学知识点精讲精析 子集.全集.补集
1.2 子集.全集.补集1.子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A B特别的： 2.真子集的定义：如果A B 并且，则称集合A 为集合B 的真子集.解读:(1)空集是任何集合的子集. 任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集.谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集.(2)元素与集合的关系是属于与不属于的关系,用符号""""∉∈表示;集合与集合之间的关系是包含，真包含，相等的关系.3.补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：＝{x ∣x ∈S 且x A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集.[例1]．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析:空集合不含任何元素,与{0}不同,故(1)错;空集市本身的子集;(3)(4)是正确的.故选C.[例2] 已知集合且B A ，求a 的值. 解析：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若BA ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}.若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0. 若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ .若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ .综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝，或a ＝ .⊆B A ⊇或A AA ⊆∅⊆⊆B A ≠AC S ∉},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 3121-3121-。
1.2 子集、全集、补集重点
1.2 子集、全集、补集教学目标:(1理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;(2了解全集、空集的意义,(3掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力;(4会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集;(5能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号及图形(文氏图准确地表示出来,培养学生的数学结合的数学思想;(6培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.教学重点:子集、补集的概念教学难点:弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学用具:幻灯机教学过程设计(一导入新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.【提出问题】(投影打出已知 , , ,问:1.哪些集合表示方法是列举法.2.哪些集合表示方法是描述法.3.将集 M 、集从集 P 用图示法表示.4.分别说出各集合中的元素.5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集 N 中元素 3与集M 的关系用符号表示出来.6.集 M 中元素与集 N 有何关系.集 M 中元素与集 P 有何关系.【找学生回答】1.集合 M 和集合 N ;(口答2.集合 P ;(口答3.(笔练结合板演4.集 M 中元素有-1, 1;集 N 中元素有-1, 1, 3;集 P 中元素有-1, 1.(口答5. , , , , , , , (笔练结合板演6.集 M 中任何元素都是集 N 的元素.集 M 中任何元素都是集 P 的元素.(口答【引入】在上面见到的集 M 与集 N ; 集 M 与集 P 通过元素建立了某种关系, 而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现,本节将研究有关两个集合间关系的问题.(二新授知识1.子集(1 子集定义 :一般地,对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B ,或集合 B 包含集合 A 。
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高中数学目录数学必修1第1章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2 指数函数分数指数幂指数函数2.3 对数函数对数对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6 函数模型及其应用数学必修2第3章立体几何初步3.1 空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2 点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1 直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2 圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学必修3第5章算法初步5.1 算法的意义5.2 流程图5.3 基本算法语句5.4 算法案例第6章统计6.1 抽样方法6.2 总体分布的估计6.3 总体特征数的估计6.4 线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2 古典概型7.3 几何概型7.4 互斥事件及其发生的概率数学必修4第8章三角函数8.1 任意角、弧度8.2 任意角的三角函数8.3 三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1 向量的概念及表示9.2 向量的线性运算9.3 向量的坐标表示9.4 向量的数量积9.5 向量的应用第10章三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数10.2 二倍角的三角函数10.3 几个三角恒等式数学必修5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修 1-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用选修 1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修 2-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用选修 2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义选修 2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
子集、全集、补集
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
从信的口气看，我相信写信人是一个很年轻的刚刚长大的女孩，一个生活在穷城僻镇的女相遇的文章，也许是这个杂志转载的 ，也许是她记错了刊载的地方，不过这都无关紧要。令我感动的是她对我的文章的读法，不 是从中寻找思想，也不是作为散文欣赏，而是一个生命静静地倾听另一个生命。所以，我所 获得的不是一个作家的虚荣心的满足，而是一
4、 集合 Ｕ =｛ （x，y ） |x∈ ｛ 1,2｝ ,y∈ ｛1,2｝｝ ,
Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求 CUA.
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，
对一切加 以审视和消化。这另一个自我，如同罗曼·罗兰所说，是"一颗清明宁静而非常关切的灵魂 "。仿佛是它把我派遣到人世间活动，鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难，同时又始终 关切地把我置于它的视野之内，随时准备把我召回它的身边。即使我在世上遭受最悲惨的灾 难和失
子集、全集、补集
2005.9.4
看下面的例子：
S
A
A={班上所有参加铜管乐队的同学}
B={班上所有参加铜管乐队的同学}
S={全班同学}
那么S、A、B三集合的关系如何？
一、补集的定义
1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S 的一个子集（即 A S ）。由S中所有 不属于 A的元素组成的集合，叫做S中子 集A的补集（或余集），记作 C S A ，即 C S A ＝ { x | x S , 且 x A}
； / pc蛋蛋预测
jeh49mcg 2、指事前的推测或测定。鲁迅《书信集·致夏传经》：“经历一多，便能从前因而知后果，我的预测时时有验。”夏丏尊叶 圣陶《文心》十九：“ 乐华 ，我没有旁的话向你说，我只愿你不辜负我的预测。”冯雪峰《狐狸的恶梦》：“虽然没有任何 的根据可以断定他的预测的准确，可总不停地心跳 他的后背，壹边喃喃自语道：“不怕，不怕。你是勇敢的少年郎，壹会儿娘亲就会来抱抱，亲亲你的小脸，握握你的小手，然 后壹起回家见爹爹。”小家伙似懂非懂地听着冰凝那近似儿歌的喃喃细语，虽然刚刚经过壹场惊吓，但他也知道，现在这个漂 亮姐姐的怀抱，是安全的，温暖的，就像躺在额娘的身上，正懒懒地撒娇呢。想着想着，没壹会儿小家伙就闭上了眼睛，进入 了甜甜的梦乡。随着男孩儿回到家人的怀抱，冰凝悬着的壹颗心也终于踏实了下来，两路人马各自分道扬镳。第壹卷 第五章 年府冰凝主仆壹行的目的地，是京城年府。之所以称为京城年府，那是相对于湖广总督府而言。冰凝的父亲年暇龄，时任湖广 总督，而她的二哥哥年羹尧却是在京城任职，已有五年时间。这京城年府就是年二公子在京城置的家业，虽然比起父亲的湖广 总督官邸，虽然差得相当远，但是在京城，依二公子的官职和俸禄，已经是相当不错的了。这也是二公子广结人脉的结果，能 够捡了这么大的壹个便宜。当时卖主急于要现银，才开出了壹万两银子的低价。这年二公子交友甚多，结交甚广，从壹个朋友 的亲戚的幕僚的同乡那里拐着弯地得知消息，当机立断，壹手交了现银，壹手就拿了房契。冰凝这次来到京城，是为了提前准 备明年的选秀。作为在旗的四品以上官员的女儿，这是她与生俱来的责任，更何况她的父亲还是封疆要员、朝中重臣。对于此 次选秀，年老夫妇可是寄予了厚望。谁让冰凝生得如此美貌呢，简直就是万里挑壹：肌肤白嫩，吹弹可破，鹅蛋小脸，弯眉淡 扫，美目顾盼，睫毛长卷，樱桃小口，气若幽兰。她是年总督夫妇的老来女，自然是宠得不行，娇养至极，老爷和夫人在她还 是个小娃娃的时候就下了极大的力气，精心培养。这冰凝也真是争气，琴棋书画，礼仪女红，无壹不通，无壹不精。特别是她 过目不忘的本领，连她那才学过人的二哥哥都直叹惊奇。其实，年老夫妇心中所谓的厚望，并不想借选秀的机会，让女儿进宫 当娘娘，这可是他们最最舍不得的事情。在他们的眼中，这冰凝简直就是他们的心头肉，真是含在嘴里怕化了，放在手里怕掉 了。如果进了宫，能不能当上主宫娘娘，能不能受到皇上的宠爱，全都不得而知，他们可舍不得让自己的宝贝女儿受苦。因此， 他们最理想的目标，是借这次选秀的机会，将冰凝嫁入宗室做嫡妻，也可是她壹生中最好的归宿了。于是，年老夫妇决定，提 前半年将冰凝送到京城，学习皇家礼仪；同时又在家信中仔仔细细地嘱咐了二公子，务必照顾好妹妹。其实，哪里还用年老夫 妇吩咐，这二公子可是眼看着冰凝从壹个粉团团的小娃娃出落成了壹个小美人，两个人年龄相差不算大，又是从小玩到大，亲 厚得不得了。每逢二公子犯了错，冰
高一数学教案1.2子集、全集、补集
1.2子集、全集、补集教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
教学过程:第一课时一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二“包含”关系—子集1. 实例: a={1,2,3}b={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合a和b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,则说:集合a包含于集合b,或集合b包含集合a,记作aíb (或bêa)也说: 集合a是集合b的子集.2. 反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a?b (或b?a) 注意: í也可写成ì；ê也可写成é；í也可写成ì；ê也可写成é。
3. 规定: 空集是任何集合的子集. φía 三“相等”关系1. 实例：设a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合a与b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b的元素，同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b2. ①任何一个集合是它本身的子集。
aía②真子集：如果aíb ,且a1 b那就说集合a是集合b的真子集，记作③空集是任何非空集合的真子集。
④如果 aíb, bíc ,那么 aíc 证明：设x是a的任一元素，则 x?a aíb, x?b 又 bíc x?c 从而 aíc 同样；如果 aíb, bíc ,那么 aíc⑤如果aíb 同时 bía 那么a=b 四例题：例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 p9 例三已知，问集合m与集合p之间的关系是怎样的？例四已知集合m满足五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： aíaaíb, bíc taícaíb bíat a=b 作业：p10 习题1.2 1,2,3。
2023-2024学年新教材苏教版必修第一册 全集、补集 课件(31张)
补集符号∁SA 有三层含义： (1)A 是 S 的一个子集，即 A⊆S； (2)∁SA 表示一个集合，且∁SA⊆S； (3)∁SA 是 S 中所有不属于 A 的元素构成的集合．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×) (1)全集一定含有任何元素．( ) (2)集合∁RA＝∁QA.( ) (3)一个集合的补集一定含有元素．( ) (4)研究 A 在 S 中的补集时，A 可以不是 S 的子集．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
(3)图形表示：
(4)补集的性质 ①∁S∅＝__S_，②∁SS＝__∅_，③∁S(∁SA)＝__A_.
知识点 2 全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_所__有__元素，那么就称 这个集合为全集，全集通常记作 U.
两个不同的集合 A、B 在同一个全集 U 中的补集可能相等
吗？ [提示] 不可能相等．因为集合 A、B 是两个不同的集合．所以必
(1){2,3,5,7} (2){x|x< － 3 或 x ＝ 5} [(1)A ＝ {1,3,5,7} ， ∁ UA ＝ {2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． (2)将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3 或 x＝5}．]
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集 第2课时的意义，理解补集 1．通过补集的运算培养数学运算素
的含义．(重点)
养．
2．能在给定全集的基础上求已 2．借助集合思想对实际生活中的对象
知集合的补集．(难点)
进行判断归类，培养数学抽象素养.
1.2.3补集
1.2.3 集合的运算 —补集
观察归纳 形成概念
观察下列各组集合之间的关系
（1）U R, A {x | x 4}, B {x | x 4}； （2）U {整数}, A {奇数}, B {偶数}.
说明：我们在研究集合和集合之间的关系时，如 果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这 个给定的集合为这些集合的全集，通常用U表示.
归纳总结 概括定义
若 A 是全集 U 的一个子集，由U中所有不属于 A 的 元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，
记作: 读作：“A在U中的补集”,即
补集也可以用图示来表示：
归纳总结 概括性质
由补集的定义可知，对于任意集合A，都有
； ； .
案例分析：
例1
．
解：
.
例2 已知U {a,b, c, d, e, f }，A {a, c,
例3
解：
． ．
随堂练习：
作
教材 P6 习题1.2
业
再见
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三、例题讲解
例1：求下列给定集合的补集：
（1）设全集 ，集合 ，求 ；
（2）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，5}，求 ， ；
（3）设全集U=Z，集合A={奇数}，求 。
解：根据补运算的定义得：
例2：（1）设全集U=R，集合A={x│ ,B={x│ 求 ; （并在数轴上表示）
如上图所示 ={ x│
如上图所示 ={ x│
练习：P 11 A
小结：（1）补集定义；
（2）补集的性质；
（3）求补集的运算注意记补集的符号。（补运算）
作业：练习册
投影
板书
讲解
投影
纠正
鼓励
小结
读题
回答
记
笔记
读题
分析
练习
小结
板书设计
1.1.3全集与补集
一、定义
二、性质
三、例题讲解
例1：
例2
课后记
教学难点
运用所学知识求给定集合的交、并、补运算。
教学方法
讲练结合
教具
投影仪
时
间
阶段与
目标
教学内容
教法
与
手段
学生
活动
5’
10’
10’
10
10
5
复习提问
引入
新课
知识深入
例题
巩固练习
小结
作业
复习引入：1、交集、并集的定义和符号；
2、集合A={x│ ,B={x│ ，则 ，
新课引入：
设集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
课题
全集与补集
课型
新授课
授课时间
教学目标
知识目标：理解全集的概念，会求出在给定全集条件下一个集合的补集。
能力目标：运用所学知识求给定集合的交、并、补运算。
思想目标：培养学生理解问题和解决问题的能力以及综合运用知识求解问题的数学思维方法和能力。
教学重点
理解并掌握全集和补集的概念，会求在给定全集条件下一个集合的补集。
集合A={1，3，U中集合B的补集；或称集合B是全集U中集合A的补集。
讲授新课
一、全集的定义
定义：在研究集合与集合之间的关系时，常常取定一个集合，使得所讨论的集合都是这个集合的子集，那么就称这个集合为全集，记作U。
如：在实数范围内讨论问题时，可以把R看作全集
二、补集
定义：设U为全集，A是U的子集，则U中所有不属于A的元素组成一个新的集合，叫做集合A在集合U中的补集。
记作： ，
读作“A在U中的补”。
同样可以用描述法表示集合
{x│x∈U,且 。
注意：如果全集U已经很明确，那么它的子集A的补集 ，通常可以省略去符号U记作 ，“A补”
图中的阴影部分为A在U中的补集。