2009年中考数学专项讲解_整体思想
中考数学数学思想 专题讲解
数学思想方法（一）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 10．（2012•德州）已知，则a+b等于（）A．3B．C．2D．1考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 （内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 （黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？例4 （丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
2009年中考数学专题
三 用函数的观点看不等式的解集
解不等式：找交点，看高低， 定解集
解方程组：交点即解集
四 方案问题
为了更好的保护环境，解决蔡甸城区10多万人的生活污水排放问题，蔡甸政府 决定建立污水处理厂，购买10台污水处理设备现有A,B两种型号的设备供选择， 其中每台的价格，月处理污水量如下表
价格（万元／台） 处理污水量（吨／ 月）
移项，系数化为1 2 解一元二次方程
方法：公式法
3 解二元一次方程组 方法：代入法，加减法
4 解分式方程 方法：去分母化为一元一次方程
一 数轴与不等式的解集
1 给出数轴求不等式解集
2 解不等式用数轴表示
二 解不等式（求自变量的取值范围）
1 二次根式中的自变量 2 函数中的自变量 （一）一次函数（分配问题） （二）二次函数（销售问题）
A
B
a
b
240 200
经调查，购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型 设备少6万元， （1）求a,b的值
（2）经预算 ，采购污水处理设备的资金不能超过130万元，你认为有几种采购方案 （3）在（2）条件下，若每月要求处理污水量不低于2050吨，为节约资金，请 你为政府设计一种最省钱的方案。
题型分布
本节知识点有的考的开门见山直接应 用，有的须剥茧抽丝间接应用。分值 分布占27分以上。
考点
二次根式自变量取值范围
不等式解集与数轴
一元二次方程的解
用函数的观点看方程与不 等式
用公式法解一元二次方程
图形的变换求解析式
应用题（求自变量的取值 范围）
二次函数综合题
题型 分值 2008年中 2009年样卷
2009年中考数学专题 ————方程和不等式
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
中考数学复习《整体思想解析》
方法技巧专题三整体思想解析在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一、数与式中的整体思想【例题】（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．【同步训练】（2017湖北江汉）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a= ﹣6 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先变形，再整体代入求出即可．【解答】解：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案为：﹣6．二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想【例题】先阅读,然后解方程组.解方程组时,可由①得x-y=1, ③然后再将③代入②得4×1-y=5,求得y=-1,从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”, 请用这样的方法解下列方程组解:由①得2x-3y=2, ③把③代入②得,+2y=9,解得y=4,把y=4代入③得,2x-3×4=2,解得x=7,∴原方程组的解为【同步训练】仔细观察下图，认真阅读对话根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，用整体代入的思想求出x的取值，注意为整数且小于10，代入②可求牛奶的价格．【解答】解：设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，由②得y=9.2﹣0.9x③③代入①得x+9.2﹣0.9x＞10∴x＞8∵x是整数且小于10∴x=9∴把x=9代入③得y=9.2﹣0.9×9=1.1（元）答：饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋．三、函数与图像中的整体思想【例题】某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： ++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得： +=．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．【同步训练】（2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．四、几何与图形中的整体思想：【例题】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180 B．210 C．360 D．270【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【同步训练】如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【达标检测】1.（2017.江苏宿迁）若a﹣b=2，则代数式5+2a﹣2b的值是9 ．【考点】33：代数式求值．【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=2，∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9，故答案为：92.已知是方程组的解，则a2﹣b2= 1 ．【考点】97：二元一次方程组的解．【分析】根据是方程组的解，可以求得a+b和a﹣b的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵是方程组的解，∴，解得，①﹣②，得a﹣b=，①+②，得a+b=﹣5，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，故答案为：1．3.四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角D．互补【考点】多边形内角与外角．【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．【解答】解：如图：∵四边形ABCD的内角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一组对角一定互补．故选D．【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．4.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD中， O是对角线BD上任意一点．（如图①）求证：S△OBC •S△OAD=S△OAB•S△OCD；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．【解析】证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB=BO•AE，S△COD=DO•CF，S△AOD=DO•AE，S△BOC=BO•CF，∴S△AOB •S△COD=BO•DO•AE•CF，S△AOD •S△BOC=BO•DO•CF•AE，∴S△AOB •S△COD=S△AOD•S△BOC．；（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．或S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC，已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC．证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AOD =DO•AE，S△BOC=BO•CF，S△OAB =OB•AE，S△DOC=OD•CF，∴S△AOD •S△BOC=OB•OD•AE•CF，S△OAB •S△DOC=BO•OD•AE•CF，∴S△AOD •S△BOC=S△OAB•S△DOC．四个．如图所示：。
2009年河北省中考数学试题分析与思考
2009年河北省中考数学试题分析与思考随着基础教育改革的不断深入，2009年河北省中考数学试题在继承我省近几年中考命题整体思路的基础上，坚持“整体稳定，局部调整，稳中求变、变中求新”的命题原则，贯彻《义务教育课程标准（实验稿）》和《河北省2009年中考文化课学科说明》所阐述的命题指导思想，中考数学命题更加成熟。
今年中考数学试题突出对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学创新意识，整套试题充满着人文关怀。
试题设计新颖，解题方法常规，由易到难，较好的落实了“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”的新课改理念。
与往年数学试题相比，今年试题保持了命题思路的连续性和稳定性，但今年的试题仍给人以耳目一新的感觉。
解答今年中考题感觉面前不再是枯燥的计算与证明，而好像是在书写一篇优美的作文———试卷给我们呈现了数与形的完美结合，生活中实用有趣的数学知识，更能让我们体会探索与归纳的乐趣。
一、面向全体，考察双基基础知识和技能是其他一切思想方法和能力培养的基础，只有基础扎实思想方法才能得到充分的挖掘，能力培养才能顺利的进行。
纵观整套试题，覆盖近百个知识点，所关注的内容，是支撑学科的基本知识和基本技能，强调考查学生在这一学段所必须掌握的通法通则，淡化了繁杂的运算和技巧性很强的方法。
本份试题在数和形的两条线对双基进行了重点考查，例如数线索方面：数（1，13，14题）——式（2，4，16，19题）——方程（9.18题）——函数（6，9，11题）——统计与概率（7，15题）形线索方面：基本图形（10题）——三角形（8，17题）——四边形（3题）——圆（5，20题）数形结合方面（11，12，22题），并且今年有些双基类题目考查方式特别新颖，例如第7题考查的是不可能事件的概念，但其中却蕴含着考生对数的基础知识的思考，使这道看似简单的题目变得丰满而扎实；再如第11题对函数图像的考查，借助程序设计的背景，将函数表达式的产生与函数图象的性质完美的衔接起来，设计出了一个好题目。
初三数学培训讲义第9讲 整体、数形结合思想专题
第九讲 整体、数形结合思想专题一、主要知识点回顾1．整体思想（1）整体思想就是把所研究的对象作为一个________看待，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思维策略。
（2）解题策略：解题时要善于用“整体”的眼光把某些式子或图形看成一个“整体”，把握部分和整体的关系，运用恰当的方法进行转化，达到“化繁为简”的目的。
2．数形结合思想（1）数形结合思想就是把________与________结合起来进行分析、研究、解决问题的思维策略。
（2）解题策略：解题时，常利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形），使问题化难为易，达到解决问题的目的。
二、感悟与实践例题1：已知关于x 的一元二次方程220x bx c +-=有两个相等的实数根。
（1）试确定c 的符号（2）求()222416b cc b ++-的值。
变式练习1：（2011南京）设函数2y x=与1y x =-的图象的交点坐标为（a ，b ），则11a b -的值为__________。
图1A ．B ．C ．D ．图2 例题2：如图1，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s （千米）和行驶时间t （小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题： （1）写出甲的行驶路程s 和行驶时间()0≥t t 之间的函数关系式。
（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度。
（3变式练习2：（2011贵州六盘水）如图2，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图像描述大致是（ ）x图3 图4例题3：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图3所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根。
2009年中考数学专项讲解数形结合思想
2009年中考数学专项讲解 数形结合思想知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b a b -=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a <0，b>0且a <b ．∴a =-，a b b a -=-．【解】 ()2a b a b a a b -=-+-=-+ 【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6(n －1)=(6n+2)根火柴棒．【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 (08聊城)已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 【分析】解不等式组得解集为2x a x >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n<0【例4】 (08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是 ( )A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩ D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩，只要将解进行代入检验即可． 【解】D【例5】 已知二次函数y=a x 2+bx+c 的图象如图所示，若关于x 的方程a x 2+bx+c －k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ( )A ．k>3B ．k=3C ．k<3D ．无法确定【分析】 如果根据b 2－4a c 的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x 2+bx+c=k ，从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx c y k ⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k<3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C ．【解】C三、在函数中的应用【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=a x 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x 2+bx+c=0的根是x 1=－1，x 2=3 ③a +b+c>0 ④当x>1时，y 随x 的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上)【分析】 由图象可知，开口向上，与x 轴交于－1和3两点，与y 轴交于负半轴，则a >0，c<0；由对称性知对称轴x=1，所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点(2，－10)，最高点的纵点标为23． (2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时， 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为(0，0)(2，－10)，且顶点A 的纵坐标为23，则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩，解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-，103b =，c=0，∴2251063y x x =-+． (2)当运动员在空中距池边距离为335米时，即383255x =-=时，63y =-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误． 四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】 观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角，分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒，建议可从不足的方面提出．【解】(1)参加调查的人数为5000人；(2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3)如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 ( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．(08大连)如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是( )4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数k y x=(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ( )A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2>y 1>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 3>y 2>y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂)若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x<0，则a 的取值范围为 ( )A ．a >0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m(m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0；那么x=a －1时，函数值 ( )A ．y<0B ．0<y<mC ．y>mD ．y=m下面是福娃们的讨论，请你解答该题．贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=12欢欢：我判断出x 1<a <x 2．迎迎：我认为关键要判断a －1的符号．妮妮：m 可以取一个特殊的值．8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°，OA=OB=2，则点A 、B 的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形(a >b)如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．(08绍兴)如图，已知函数y=x+b 和y=a x+3的图象交点为P ，则不等式x+b>a x+3 的解集为__________．11．方程组211y x y x =-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．(08广州)如图，为实数a 、b13．(02南京)(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时， 不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________； ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州)某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)15．(08恩施)如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?(3)根据(2)16．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。
09年中考数学复习教材回归知识讲解1
09 年中考数学复习教材回归知识讲解1
2009 年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
用函数的观点看方程（组）与不等式
◆知识讲解
1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函
数y=ax+b（a≠0，a，b 为常数）中，函数的值等于0 时自变量x 的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+byB 或yAyB 时，－5x+5000>3x+4680，x40．
∴当x=40 时，yA=yB 即两村运费相等；当0≤xyB即B 村运费较少；当400）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1 的值等于_______．
3．如图3 所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距______km；
（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h 与甲相遇；
（4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式_______；
（5）如果乙自行车不出现故障，那幺乙出发后经过______h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．。
中考数学复习：专题9-2 “整体思想”的主要表现形式分类例析
“整体思想”的主要表现形式分类例析【专题综述】在数学解题过程中，我们若能善于从大处着眼，由整体（或全局）入手，将一些看似彼此独立实质上又紧密相关的数学对象视为一个整体去思考与分析，常常可以摆脱常规模式的羁绊，化难为易．本文按“整体思想”的主要表现形式分类例析，供参考．【方法解读】一、整体代换例1 若x2－3x＋1＝0，则2421xx x++的值为________．分析解出x，再代入式中求值显然是不可取的．观察题设和待求式的联系，可得如下方法：点评整体运作，可以减少运算量，法一运用“逐步降次法”，法二运用“取倒数法”，看似玄妙，其实并非无中生有，都是建立在整体感知已知条件和待求式的基础上完成的．其中，法一将已知条件变形得到一些“工具式”，再调整待求式，分离出这些“工具式”，巧妙代换，达到“降次”的目的，分离“工具式”还可以采用如下方法：分离x2－3x，以－1代换；分离x2＋1，以3x代换；分离x2－3x＋1，以0代换；分离x2＋x＋1，以4x代换；分离3x，以x2＋1代换；分离1，以3x－x2代换．二、整体消元例2 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）．分析利用S1、a、S3共同构成小半圆，S1、b、S2共同构成大半圆，S1、a、b共同构成△ABC，可得S1＋S3＋a＝12·π·12；①S1＋S2＋b＝12·π·22；②S1＋a＋b＝12×2×4；③①＋②－③，得S1＋S2＋S3＝52π－4．点评本例借用整体消元，大大减少运算量，使问题巧妙获解．此外，还用到了方程这架通过“已知”称量“未知”的数学天平，并通过对图形合理分割，整体组合，变“不标准图形”成“标准图形”，化难为易．三、整体运算例3已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝12x上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x()(A)有最大值，最大值为9 2(B)有最大值，最大值为9(C)有最小值，最小值为9 2(D)有最小值，最小值为9分析由M(a，b)，知N（－a，b）．又M在双曲线上，则ab＝12；N在直线上，则b＝－a＋3，即a＋b＝3．于是，二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92，它有最大值，为92．点评 本例考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，分别代入对应解析式，整体运算，求得ab 和a ＋b 的值，从而构建二次函数式，开展下一步研究． 四、整体观察例4 如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为() (A) 15 (B)20(C)25 (D)30分析 整体观察图形，由折叠过程可知阴影部分图形的周长为： EA 1＋A 1D 1＋BC ＋FC ＋EB ＋D 1F ＝EA ＋AD ＋BC ＋FC ＋EB ＋DF ＝(EA ＋EB)＋AD ＋BC ＋(FC ＋DF) ＝AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝2(AB ＋BC) ＝2(10＋5)＝30．点评 整体观察主要针对图形（或数式）的构造特征，从中发现规律，进而巧妙组合，顺利实现化归，优化思考，减化运算，本例的周长割补与组合，就源于这一点． 五、整体联想 例5 方程22221111132567129208x x x x x x x x +++=++++++++的解为_______． 分析 把原方程各分母分解因式，可得点评整体联想是在整体观察的基础上，结合问题的结构特征展开联想．“相关”、“相似”、“相近”、“因果”、“对比”等是联想的“桥梁”，善于联想可以为构造、完善图形（或数式）提供方法支撑，为转化、变更问题提供突破思路．六、整体转化例6如果三个方程x2－2kx－2k＋3＝0，x2＋（k－1）x＋k2＝0，x2＋kx－k＝0中，至少有一个方程有实根，求k的取值范围．分析分别考虑三个方程实根的情况将难以处理，而如果整体分析，从反面考虑，则问题可以顺利实现转化，设三个方程都没有实数根，则有：即当k≤－3或k≥－1时，三个方程中至少有一个方程有实根．点评对一些问题，要通过研究问题的整体形式和结构特征，变更命题，整体转化处理，达到突破问题的目的．七、整体补形例7如图3(1)，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．分析题目所给的图形很不“标准”，难以下手！考察题、图特征，就能想到通过整体“补形”来完善原图，把条件“化分散为集中”，迅速找到解题方法．如图3(2)(3)(4)(5)，易得原六边形周长为15．点评 “整体补形”，让题目呈现出“统一”、“对称”、“和谐”的特征，达到化生为熟、化繁为简、化难为易的目的． 八、整体改造例8 如果正实数a ，b ，c ，d 满足(1)a 2＋b 2＝c 2；(2)c 22a d -＝a 2，求证：ab ＝cd ．分析 整体考虑题目所给条件，由(1)得到启示，如图4，可构造Rt △ABC ．由条件(2)可联想到作斜边AB 上的高CD ．借助相似三角形的知识，容易证明 a 2＝B D ·c ＝c 22a d -， 即a ，b ，c ， d 满足条件， 再把△ABC 面积算两次，可得12AB ×CD ＝12AC ×BC ， 即a b ＝cd ．点评 本例通过整体考虑，化代数问题为几何问题，利用直观的形来分析抽象的数，降低了问题的抽象程度，可谓出奇制胜． 九、整体操作例9 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，…；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图5(1)、(2)、(3)(图中的1，16表示页码)的方法折叠，在表*中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．分析 采用整体操作的策略，把一张纸按图示方法折叠，然后按照要求先写上页码1，16，再依序写上其它页码，展开易知填法（见下表）．评注 大部分与几何体表面展开图、视图有关的抽象且不易着手的数学问题，采取整体操作的方法均较易获解，此法直观、易用．综上可见，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、化生为熟、化难为易． 【强化训练】1.（2017四川省内江市）若实数x 满足2210x x --=，则322742017x x x -+-= ． 2.（2016山东省烟台市）已知220x y x y -+++-=，则22x y -的值为． 3.（2017贵州省安顺市）已知3x y +=，6xy =，则22x y xy +的值为 ．4.（2016四川省眉山市）已知2340x x --=，则代数式24xx x --的值是（ ）A ．3B ．2C ．13 D ．125.（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==by ax ，则a ﹣b =（ ）A ．1B ．3C ． 41-D ．476.（2016宁夏）已知x ，y 满足方程组612328x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x +y 的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．37.在直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）A.18．已知m 、n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（m 2﹣2m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值为（ ） A. ﹣5B. 5C. ﹣3D. 39. 若（x 2+ y 2-5）2=4，则x 2+ y 2=__________ 10. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组253{4115x y x y +=+=①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形： 4105x y y ++=即()2255x y y ++=③ 把方程①带入③得： 2351y y ⨯+=∴=-， 把1y =-代入①得4x =∴，方程组的解为4{ 1x y ==-．请你解决以下问题：()1模仿小军的“整体代换”法解方程组325{9419x y x y -=-=①②()2已知x y ，满足方程组2222321247{ 2836x xy y x xy y -+=++=①②． ()i 求224x y +的值； ()ii 求112x y+的值．。
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
中考数学复习解题思想方法技巧--第一讲：整体思想
中考数学复习解题思想方法技巧第一讲：整体思想整体思想，就是探究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易。
整体思想的表现形式有：整体代入、整体约减、整体换元、整体合并等。
一、整体代入主体思想：求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于未知数的关系式的条件，利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值，其计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值。
这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征联系，将已知条件进行恰当变形，或把一些已知关系式作为整体，直接代入求值式中计算，过程简洁明了。
例题精析：m=1+，n=1-，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（）A.-5B.5C.-9D.9点拨提示：如果将m，n的值直接代入，运算量很大。
观察含a的方程中，7m2-14m和m=1+隐约有一定的关系，尝试将m=1+变形为m-1=，再两边平方可得m2-2m+1=2，整理得m2-2m=1；所以7m2-14m=7（m2-2m）=7×1=7。
用类似的处理方法整体可得3n2-6n 的值，整体代入即可求出a的值。
参考答案：Ca是方程x2-2011x+1=0的一个根，试求a2-2010a + 的值。
点拨提示：由已知得a2-2011a+1=0，直接解方程会有2个根，需要分别都代入求值，而且运算很大。
观察a2-2011a+1=0和所求代数式中的a2-2010a部分，隐约有一定的关系，尝试整体变形处理后再代入。
解题过程：由a2-2011a+1=0得a2-2010a=a-1①，即a2+1=2011a②，显然a≠0，两边同除以a得a+=2011③，将①、②、③式代入得：原式=a-1+ =a-1+= a+-1=2011-1=2010同步练习：当时，求多项式（4x3-2007x-2004）2004的值。
数学思想方法一整体思想(解析)(自己整理)
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
中考数学复习专题讲座一：数学解题思想与方法
中考数学复习专题讲座一：数学解题思想与方法三、中考考点精讲类型1：整体思想整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼与它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密的联系这的量作为整体来处理运用的思想方法。
【例题】．（1）因式分解：2(2)16(2)x x x ---＝ 。
【解析】本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式(2)x -，然后还要注意彻底分解， 2(16)x -仍可以利用平方差公式分解。
答案为：(2)(4)(4)x x x --+（2）已知2-=+b a ，求代数式a b a b a 2)2()1(2+++-的值.考点：整式的混合运算—化简求值．.专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：原式=a 2﹣2a +1+2ab +b 2+2a =（a +b ）2+1，把a +b =﹣代入得：原式=2+1=3． 点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则整体运用是解本题的关键．【变式练习】（1）若4a ﹣2b=2π，则2a ﹣b+π= 2π ．考点： 代数式求值．分析： 根据整体代入法解答即可．解答： 解：因为4a ﹣2b=2π，所以可得2a ﹣b=π，把2a ﹣b=π代入2a ﹣b+π=2π．点评： 此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．（2）已知a 2﹣a ﹣1=0，则a 3﹣a 2﹣a+2015= 2015 ．考点：因式分解的应用．分析：首先根据a2﹣a﹣1=0得到a2﹣a=1，从而利用a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015代入求值即可．解答：解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1，∴a3﹣a2﹣a+2015=a（a2﹣a）﹣a+2015=a﹣a+2015=2015，故答案为：2015．点评：本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．考点2：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
初中数学思想方法篇——整体思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之整体思想一、注解：郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。
这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。
而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。
整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。
整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。
二、实例运用：1. 在数与式中的运用【例1】计算：11111111111111 1123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例2】当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：A -1999B -2000C -2001D 1999【例3】若13xx+=则221xx+=。
2. 在方程（组）中的运用【例1】已知二元一次方程组为2728x yx y+=⎧⎨+=⎩则x-y= ，x+y= .【例2】已知方程组45ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=⎩，则a+b= .【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现购甲乙丙各1件，需要多少元？3. 在几何计算中的运用【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要米。
【例4】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。
三、随堂练习1、若分式x yx y+-中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A 不变B 是原来的3倍C 是原来的三分之一D 是原来的六分之一2、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分的面积是。
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中考数学专项讲解 整体思想
知识梳理
整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．
典型例题
一、在数与式的运算中的应用
【例1】(07潍坊)已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463
x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7
【分析】 如果根据题意直接求出x 再代入到2
463
x x -+中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是243
x x -的3倍，所以可以将243x x -看作一个整体，则2461673x x -+=+=． 【解】D
【例2】先化简，再求值： 222142442
a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 【分析】 对分式进行化筒结果为
212a a
-，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a =1，所以原式=2112a a =-． 【解】原式=()()()222214*********a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-----÷== ⎪ ⎪------⎝⎭
当a 2－2a =1时，原式=2112a a
=-． 【例3】计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
(111111111234)
20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+
【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”． 【解】设：
11112342008a +++=…+，11112342007
b +++=…+， 则原式=a (1+b)－(1+a )b=a －b=12008． 二、在方程中的应用
【例4】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．
【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为x 元，y 元，根据题意得方程组：2425
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
如果解出x 和y 再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元．
【解】D
【例5】(08苏州)解方程：()2
221160x x x x
+++-=． 【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程． 【解】 设
1x t x +=，则原方程可化为2t 2+t －6=0，解方程得：t 1=－2，232
t =， 113x ∴=-，x 2=2，经检验113x =-，x 2=2是原方程的解． 三、在几何计算中的应用
【例6】如图⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是 ( )
A ．12πcm 2
B ．8πcm 2
C ．4πcm 2
D ．6
πcm 2 【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5 cm 的半圆的面积，即2210.528
cm ππ⨯⨯
=．选择B ． 【答案】B
综合训练
1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8
2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0
3．当x=1时，代数式a x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式a x3+bx+7的值为A．7 B．10 C．11 D．12 ( )
4．若方程组
361
33
x y k
x y
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是( )
A．－4<k<0 B．－1<k<0 C．0<k<8 D．k>－4
5．(08芜湖)已知11
3
x y
-=，则代数式
2142
2
x xy y
x xy y
--
--
的值为_________．
6．已知x2－2x－1=0，且x<0，则
1
x
x
-=__________．
7．如果(a2+b2) 2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．
8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．
9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．
11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．
12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．
13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．
14．(07泰州)先化简，再求值：
2224124422a a a a a a
⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根． 15．阅读材料，解答问题．
为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1= y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，
∴x =当y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，
∴x =
∴1x
，2x =
3x
4x =
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．
2+2+ 9．49 10．2π
11．2
π 12．5 13．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．
14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦
()()231322a a a a +==+ a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－
12． 15．(1)换元 整体
(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)
∴当y=3时，x 2=3，
∴x =
x =。