学案47 山西大学附中高二年级全称量词与特称量词
(完整版)全称量词与特称量词
1.4 全称量词与存在量词学习目标1. 理解全称量词与存在量词的意义．2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.学习重点全称命题和特称命题真假的判定．学习难点对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。
二、全称命题与特称命题的否定1、全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定⌝p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________2．特称命题的否定一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p ：∃0x M ∈，p 0()x ，它的否定⌝p ：_________________特称命题的否定是_____________探究一 全称命题与特称命题的判断例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：1、对任意角α，都有1cos sin 22=∂+∂；2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；3、∀x ∈R ，2x －1＝04、所有能被3整除的整数都是奇数5、有的三角形是等边三角形6、有一个实数α，tan α无意义方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断例2、判断下列全称命题或特称命题的真假1、每个指数函数都是单调函数；2、任何实数都有算术平方根；3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，sin x ＋cos x ≥24、0,00≤∈∃x R x5、是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦2， tan x>sin x 方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆2、P ：23,x x N x >∈∀3、P ：有的菱形是正方形4、p ：∀x ∈R ，412+-x x ≥0；5、p ：所有的正方形都是菱形；6、p ：至少有一个实数0x ，使30x ＋1＝0例4、若命题“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题，则实数a 的取值范围是________．方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题⌝p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件2、 下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x 3．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1 000，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1 000B ．∀n ∈N,2n >1 000C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n <1 0004．下列语句是真命题的是( )A ．所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立B ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直D ．有一条直线和两个相交平面都垂直5. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－16．下列四个命题中的真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0C ．若lg x 2＝0，则x ＝1D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<37．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N ＋，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．9. 2,210x R x ax ∀∈-+≥，则实数a 的取值范围是_______________10．“存在一个实数x 0，使sin x 0>cos x 0”的否定为________．11．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则a 的取值范围是________．12．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．三、解答题13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．14.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，求实数a 的取值范围？15．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．。
1.3.1全称命题与特称命题导学案
1.3.1 全称量词与存在量词【学习目标】A 级目标：掌握全称量词与存在量词的的意义；；B 级目标：掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断；【重点难点】重点：全称量词与存在量词的的意义难点：含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断【学习过程】一、课题引入问题：1.下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x >； （2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>； （4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.2. 下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.二、自主探究 得出结论新知概括：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：对任意的x M ∈都有p 成立.2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：存在0x M ∈，使得p 成立.试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.(1)中国所有的江河都流入大海；（2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式.三、合作交流，解决问题例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.练习 判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->（3）2,32a Z a a ∃∈=-（4）23,32a a a ∃≥=-四．突破疑难例3.下列命题中（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中全称命题是特称命题是练习1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.【当堂检测】1. 下列命题为特称命题的是（ ）.A.偶函数的图像关于y 轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于32.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数.A.0个B.1个C.2个D.4个3.下列命题中假命题的个数（ ）.(1)2,11x R x ∀∈+≥；（2）,213x R x ∃∈+=；（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除；（4）2,230x R x x ∃∈++=A.0个B.1个C.2个D.4个【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？。
高中数学《全称量词与存在量词》导学案
第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词一、学习目标：1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.【重点、难点】1.理解全称量词与存在量词的意义.2.全称命题和特称命题真假的判断.二、学习过程1.全称量词与全称命题的概念(1)全称量词：①常见量词：“________”、“___________”、“_________”、“_________”、“_________”、“_________”②符号：“∀”.(2)全称命题：①定义：含有_________的命题.②记法：全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”，可用符号简记为：_____________.2.存在量词和特称命题的概念(1)存在量词：①常见量词：“_________”、“___________”、“_________”、“_________”、“_________”、“_________”②符号：“∃”.(2)特称命题：①定义：含有_________的命题.②记法：特称命题“存在M 中的一个0x ，使p(0x )成立”，可用符号简记为：______________.【典例分析】例1.下列命题中全称命题的个数是 ( )①任意一个自然数都是正整数;②有的等差数列也是等比数列;③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3例2.判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R,都有2112>+-x x . (2)∃00,βα,使cos(00βα-)=cos 0α-cos 0β. (3)∀x,y ∈N,都有x-y ∈N.例3.命题p:∀x ∈R,sinxcosx ≥m,若命题p 是真命题,求实数m 的取值范围.【变式拓展】：1.选出与其他命题不同的命题 ( )A.有一个平行四边形是菱形B.任何一个平行四边形是菱形C.某些平行四边形是菱形D.有的平行四边形是菱形2.下列语句不是特称命题的是 ( )A.有的无理数的平方是有理数B.有的无理数的平方不是有理数C.对于任意x ∈Z,2x+1是奇数D.存在0x ∈R,20x +1是奇数3.下列命题中的假命题是 ( )A.∃0x ∈R,lg 0x =0B.∃0x ∈R,tan 0x =1C.∀x ∈R,3x >0 D.∀x ∈R,x 2>04.若对任意x>3,x>a 恒成立,则a 的取值范围是__________.5.若“∃x 0∈R,错误!未找到引用源。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词和特称量词教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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6．下列命题： ①“末位数不是零的数可被 3 整除”的逆命题； ②存在两个无理数，其乘积也为无理数； ③角平分线上的点到角的两边距离相等； ④有一实数既不是质数也不是合数． 其中正确的特称命题的序号是________．
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▪ [解析] ①逆命题是假命题，③不是特称命 题．
▪ [答案] ②④
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课内讲练
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——题型探究——
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题型一
全称命题判断
【例 1】 判断下列命题是否是全称命题： (1)对每一个无理数 x，x2 也是无理数； (2)所有的实数 x 都满足 x2＋1≥1； (3)每个指数函数都是单调函数； (4)有这样的整数，它的倒数等于它自身． [分析] 根据全称命题的定义判断．
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(3)由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，所以特 称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
(4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以特 称命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
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题型五
全称命题与特称命题结构
【例 5】 (1)设集合 S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360°.试用不同的表述写出全称命题“任意的 x∈S， p(x)”；
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3．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定， 有下面的结论：
全称命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定非 p：___________________________. 全称命题的否定是特称命题．
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4．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定， 有下面的结论：
特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈 p：______________________________. 特称命题的否定是全称命题．
全称量词和存在量词教案
全称量词和存在量词教案以下是一份关于全称量词和存在量词的教学教案：一、教学目标1. 让学生理解全称量词和存在量词的概念。
2. 能够正确使用全称量词和存在量词表述命题。
3. 通过实例培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点1. 重点：全称量词和存在量词的含义与运用。
2. 难点：理解含有全称量词和存在量词的命题的真假判断。
三、教学准备多媒体课件。
四、教学过程师：同学们，今天我们来学习一个新的内容，全称量词和存在量词。
那什么是全称量词呢？大家来看这个例子，“所有的正方形都是矩形”，这里的“所有的”就是一个全称量词。
谁能再举个例子呀？生：“所有的三角形内角和都是 180 度。
”师：非常好！那存在量词又是什么呢？比如“存在一个实数 x，使得x^2=1”，这里的“存在一个”就是存在量词。
谁再来举个例子？生：“存在一个质数是偶数。
”师：不错。
那我们来练习一下，用全称量词或存在量词改写这些命题。
比如“平行四边形的对角线互相平分”。
生：“所有平行四边形的对角线互相平分。
”师：很好。
那“方程 x^2-5x+6=0 有实数根”呢？生：“存在实数 x，使得方程 x^2-5x+6=0 有实数根。
”师：下面我们来探讨一下怎么判断含有这些量词的命题的真假。
大家思考一下这个命题“所有的实数 x，都有x^2≥0”是真还是假呀？生：真。
师：对啦。
那“存在一个整数 x，使得x^2+1=0”呢？生：假。
师：非常棒！大家理解得很不错。
五、教学反思通过这节课的教学，学生对于全称量词和存在量词的概念有了较好的理解，能够正确运用它们表述命题，在判断命题真假方面也掌握得较好。
但在一些复杂情境中，学生可能还需要更多练习来巩固。
在今后的教学中，可以增加更多实例，帮助学生深入理解和应用。
全称量词与特称量词
1.4 全称量词与特称量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定［素养目标］1、掌握全称命题与特称命题、含有一个量词的命题否定的意义及其真假性的判定，从而培养学生的逻辑推理的数学素养。
2、利用命题的真假求参数的范围，培养学生的数学运算的核心素养。
【课前·预习案】[思考1]下列语句是命题吗？(1)与(3)之间，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x,2x＋1是整数．【提示】(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题，(3)比(1)多量词“所有的”，(4)比(2)多量词“任意一个”．知识点1.全称量词与全称命题[思考2]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使得2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除．【提示】(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题，(3)比(1)多量词“存在一个”，(4)比(2)多量词“至少有一个”．知识点2.存在量词与特称命题[思考3]观察下列命题：①所有的矩形都是平行四边形．②有些平行四边形是菱形．你能否写出上述命题的否定？【提示】①并非所有的矩形都是平行四边形．②每一个平行四边形都不是菱形．[思考4]（1）对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？（2）对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？【提示】（1）不能（2）不能命题命题的表述全称命题p ∀x∈M，p(x) 全称命题的否定⌝p ∃x0∈M，⌝p(x0) 特称命题p ∃x0∈M，p(x0) 特称命题的否定⌝p ∀x∈M，⌝p(x)[达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1) 同一个全称命题的表述是唯一的.( ) (2) 命题：“有理数是实数”不是全称命题.( ) (3)对含有一个量词的命题进行否定时只否定结论就可以.( )解析：对于同一个全称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要含义正确即可．(1)错； “有理数是实数”就是“所有的有理数都是实数”，省去了全称量词，但仍是全称命题.（2）错；对含有一个量词的命题进行否定时不但要否定结论，还要改写量词.（3）错.答案：（1）× （2）× （3）× 2．下列命题是特称命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．存在实数大于等于3解析：“存在”是存在量词，故选D. 答案：D3．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“⌝p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 答案： C4.给出下列四个命题：①0=⋅⇔⊥b a b a；②矩形都不是梯形； ③∃x ，y ∈R ，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________．解析：在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：对任意a ，b 有a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故①②④为全称命题． 答案：①②④5.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是__________，这是________命题(填真、假)． 解析：全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是特称命题“存在一个素数不是奇数”，这是真命题． 答案：存在一个素数不是奇数 真【课堂·探究案】探究一 全称命题与特称命题的判定[例1]指出下列命题是全称命题还是特称命题． (1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x 0∈R ，使110-x ＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sin α>1.解： (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数．(2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使110-x ＝0成立．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0．(4)是特称命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]． 【方法总结】 判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路【变式训练1】用量词符号“∀”“∃”表示下列命题． (1) sin 2x ＝2sin xcos x.(2)有一个实数α，tan α无意义； (3)指数函数都是单调函数．解：(1) ∀x ∈R, sin 2x ＝2sin xcos x ； (2)∃α∈R ，tan α没有意义；(3)∀f (x )∈{f (x )|f (x )是指数函数}，f (x )是单调函数．探究二 全称命题与特称命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假： (1)有些三角形的重心在某一边上； (2)∃x 0，T ≠2π，使sin(x 0＋T)＝sinx 0； (3)∀x ∈R ，x 2＋2>0； (4)所有的直线都有斜率．解：(1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．(2)∃x 0＝π4，T ＝π2，使sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π2＝cos π4＝sin π4＝22，所以是真命题． (3)由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0.所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题．(4)当直线的倾斜角等于90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题．【方法总结】全称命题与特称命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)判断存在性命题“∃x 0∈M ，p(x 0)”的真假性的关键是探究集合M 中x 0的存在性．若找到一个元素x 0∈M ，使p(x 0)成立，则该命题是真命题；若不存在x 0∈M ，使p(x 0)成立，则该命题是假命题． 【变式训练2】判断下列命题的真假．(1)任意两向量a，b，若0>⋅b a ，则a ,b的夹角为锐角；(2)∃x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y)都对应一点P.解：(1)因为0,cos ||||>=⋅b a b a b a，所以0,cos >b a，又0≤b a ,≤π，所以0≤ba,<π2，即a ，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)因为x 2＋y 2＝0时，x ＝y ＝0，所以不存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．探究三 含有一个量词的命题的否定[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假：①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0. [思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．解：①⌝p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．②⌝p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③⌝p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.【方法总结】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法:(1)确定类型：是特称命题还是全称命题． (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定． 【跟踪训练3】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等； (4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以¬p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是¬q ： 对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0.利用配方法可以证得¬q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是¬r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”. 由平面几何知识知¬r 是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是¬s ：“存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1”．由于命题s 是真命题，所以¬s 是假命题．探究四 利用命题的真假求参数的范围例4 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(⌝p)∧(⌝q)为真命题，求实数a 的取值范围．解：∵(⌝p)∧(⌝q)为真命题，∴⌝p 与⌝q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题．∴“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0，或a ≤1且a ≠0，∴a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即a ＝0，或0<a <4，∴0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围是[0,1]．[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ 解：∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0，∴⌝p ：∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0，⌝q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，由(⌝p )∧(⌝q )为真命题知，⌝p与⌝q 都是真命题．由⌝p 为真命题得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，故a ≤1.由⌝q 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，故0≤a <4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4，解得0≤a ≤1.故实数a 的取值范围是[0,1]．【方法总结】利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．【跟踪训练4】 已知命题p ：“∃x 0∈R ，sin x 0<m ”，命题q ：“∀x ∈R, x 2＋mx ＋1>0恒成立”，若p ∧q 是真命题，求实数m 的取值范围．解：由于p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题． 因为“∃x 0∈R ，sin x 0<m ”是真命题，所以m >-1. 又因为“∀x ∈R, x 2＋mx ＋1>0恒成立”是真命题， 所以Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－1, 2)．【本节小结】【课时作业】【基础巩固】1．下列命题是特称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．每一个向量都有大小C．偶函数的图象关于y轴对称D．存在实数不小于3解析：A、B、C是全称命题，D是特称命题答案 D2．关于命题p：“∀x∈R, x2＋1≠0”的叙述正确的是()A．¬p：∃x0∈R，x20＋1≠0B．¬p：∀x∈R, x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题解析：命题p：“∀x∈R, x2＋1≠0”的否定是“∃x0∈R, x20＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．答案：C3. （2018•北京朝阳区高二月考）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+2≥0B．存在x∉R，x3﹣x2+2≥0C．存在x∈R，x3﹣x2+2≥0D．存在x∈R，x3﹣x2+2＜0解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”是全称命题，否定时将量词对任意的实数x∈R变为存在x∈R，再将不等号＜变为≥即可．即存在x∈R，x3﹣x2+2≥0.答案：C4. （2018•福建龙岩新罗区高二期中）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lg x=0B．∃x∈R，tan x=1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0解析： A.x=1成立；B.x=成立；D.由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确答案：C5．已知命题p：∃x∈R,2x>3x；命题q：∀x∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x>sin x，则下列是真命题的是()A．(¬p)∧q B．(¬p)∨(¬q)C．p∧(¬q) D．p∨(¬q)解析：当x＝－1时，2-1>3-1，所以p为真命题；当x∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x－sin x＝sin x(1－cos x)cos x>0，所以q为真命题，所以p∨(¬q)是真命题，故选D.答案：D6、命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．解析：将文字语言用符号语言可表示为∀x∈R，x2＋2x＋1≥0.答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥07．已知四个命题分别为：①∀x∈R,2x－1＞0；②∀x∈N*，(x－1)2＞0；③∃x∈R，lg x＜1；④∃x∈R，tan x ＝2.其中是假命题的是________．解析：由函数的性质，显然①③④是真命题．对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.∴②是假命题．答案：②8.（2018•江西新余高二期末）若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的最大值是________．解析：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则“∀x∈R使得x2+mx+2m﹣3≥0”为真命题，则△=m 2﹣4（2m ﹣3）≤0，解得2≤m ≤6， ∴实数m 的最大值是6．答案：69．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．解： (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20. (3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解： 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：﹁p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0.解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．【能力提升】11. （2018•河南商丘梁园区高二期末）下列命题中，真命题是（ ）A ．∃m 0∈R ，使函数f （x ）=﹣x 2﹣m 0x （x ∈R ）是奇函数；B ．∃m 0∈R ，使函数f （x ）=﹣x 2﹣m 0x （x ∈R ）是偶函数；C ．∀m ∈R ，函数f （x ）=﹣x 2﹣mx （x ∈R ）都是奇函数；D ．∀m ∈R ，函数f （x ）=﹣x 2﹣mx （x ∈R ）都是偶函数.解析：对于函数：f （x ）=x 2﹣m 0x ，令m 0=0时，：f （x ）=x 2是偶函数．因此只有B 正确 答案：B12．（2018•山西太原高二期末）已知命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣2ax +1＞0”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，） B ．（，+∞） C ．（﹣∞，1）D ．（1，+∞）解析： 若命题“∀x ∈[1，2]，x 2﹣2ax +1＞0”是真命题，则“∀x ∈[1，2]，x 2+1＞2ax ，即a ＜=（x +）恒成立， ∵（x +）≥=1，∴a ＜1，即实数a 的取值范围是（﹣∞，1）答案：C13．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；p 2：∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0； p 3：∀x ∈[0，π],1－cos 2x2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题________．解析：p 1是假命题，因为∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1；p 2是真命题，例如：当x 0＝y 0＝π2 时，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0＝0.p 3是真命题，因为∀x ∈[0，π]，sin x ≥0，所以1－cos 2x 2＝|sin x |＝sin x ．p 4是假命题，例如：sin π6＝cos 7π3 /⇒x ＋y ＝π2.答案：p 1，p 414．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析： 因为x ∈[－1,3]，所以f (x )∈[0,9]，又因为对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，即∃x ∈[0,2]，g (x )≤0，即⎝⎛⎭⎫12x－m ≤0，所以∃x ∈[0,2]，使m ≥⎝⎛⎭⎫12x成立，m ≥⎝⎛⎭⎫122，即m ≥14. 答案： ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 【创新探究】15．已知定义在(－∞，3]上的单调递减函数f (x )，使得f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对∀x ∈R 均成立，求a 的取值范围．解：由单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意的x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意的x∈R 均成立．设g (x )＝3＋sin x (x ∈(－∞，3])， h (x )＝sin x ＋cos 2x ＋1(x ∈(－∞，3])，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤g (x )min ，a 2－a ≥h (x )max， 又由函数的单调性可知，g (x )min ＝2，h (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋94，h (x )max ＝94， 故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94，解得－2≤a ≤12－102. 故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－2，12－102.。
选修2-1全称命题与特称命题导学案
全称量词与存在量词（1）第周课时编写人：张彦峰使用人（教师）：编写时间：2012/11/19 高二班组学生姓名：组评：师评：学习目标1、生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2、含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．3、会归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义；含有一个量词的命题的否定。
难点: 全称命题和特称命题真假的判定；含有一个量词的命题的否定。
学习过程一、自主学习1、全称量词。
全称命题。
2、存在量词。
特称命题。
3、举例：全称命题。
特称命题。
4、全称命题的否定是。
特称命题的否定是。
5、全称量词与存在量词的否定关键词否定词关键词否定词等于大于能小于至少有一个至多有一个都是是没有属于6、存在↔∃任意↔∀二、合作探究例1 判断下列命题那些是全称命题，那些是特称命题：（1）奇数是整数；（2）偶数能被2整除；（3）至少有一个素数不是奇数；（4）方程210x x+-=的两个解都是实数解；（5）每一个关于x的一元一次方程0ax b+=都有解；（6）有一个实数，不能做除数；（7）末尾数字是0或5的整数，能被5整除；（8）棱柱是多面体；（9）对于所有的自然数n，代数式222n n-+的值都是正数。
例2 写出下列全称命题和特称命题的否定：（1）三个给定的产品都是次品；（2）方程28150x x -+=有一根是偶数；（3）三个数3,2.5,2中，至少有一个数不是自然数； （4）对于任意一个实数，都有240x +≥。
三、随堂检测1、下列全称命题中，真命题是：A. 所有的素数是奇数；B. 2,(1)0x R x ∀∈- ；C.1,2x R x x ∀∈+≥ D.1(0,),sin 22sin x x xπ∀∈+≥ 2、下列特称命题中，假命题是：A.2,230x R x x ∃∈--=B.至少有一个,x Z x ∈能被2和3整除C. 存在两个相交平面垂直于同一直线D.{|x x x ∃∈是无理数}, 2x 是有理数． 3、已知：对1,x R a x x+∀∈≤+恒成立，则a 的取值范围是 ； 变式：已知：对2,10x Rx a x +∀∈-+≥恒成立，则的a 取值范围是 ；4、求函数2()cos sin 3f x x x =--+的值域；变式：已知：对,x R ∀∈方程2cos sin 30x x a +-+=有解，求a 的取值范围． 四、课后作业(课本15页中的习题1,3)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定： （１）p ：所有能被3整除的整数都是奇数；（２）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （３）p ：对∀x ∈Z ，2x 个位数字不等于3； （４）p ：∃ x ∈R, 2x ＋2x ＋2≤0； （５）p ：有的三角形是等边三角形； （６）p ：有一个素数含三个正因数。
高二数学《全称量词与存在量词》导学案
高二数学《全称量词与存在量词》导学案一、目标：1、通过实例理解全称量词和存在量词的意义；2、掌握全称命题和存在性命题的定义,并能判断其真假、3、掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题、二、重点：对全称命题和存在性命题的理解；掌握全称命题、存在性命题的否定形式。
三、过程：在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：1、我们班有部分同学不思学习。
2、食堂有些菜好吃。
3、李刚这次月考各科都不及格。
4、我们班每一个学生都是右撇子。
5、对于任意的，都有6、存在正数，使得思考上述命题有什么不同？1、“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号表示“对任意x”、2、“有一个”、“有些”、“存在”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号表示“存在x”、3、含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为存在性命题、它们的一般形式可以表示为：全称命题：；存在性命题：其中，M为给定的集合， p（x）是一个含有x的语句、典型例题：例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：（1）任何实数的平方都是非负数；（2）任何数与0相乘，都等于0；（3）任何一个实数都有相反数；（4）有些三角形的三个内角都是锐角、4、要判定一个存在性命题：，为真，只要在给定的集合中，；要判定一个全称命题：，为真，必须对给定的集合的每一个元素x，，但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，使、例2、判断下列命题的真假：（1）中国所有的江河都流入太平洋；（2）有的四边形既是矩形，又是菱形；（3）实系数方程都有实数解；（4）有的数比它的倒数小、练习：判断下列命题的真假、（1）x∈R，x2≥x；（2）x∈R，x2≥x；（3）x∈Q， x2－8＝0；（4）x∈R， x2＋2＞0、5、全称命题的否定是存在性命题，要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可、6、存在性命题的否定是全称命题，有些存在性命题省略了量词，这种情况下对其否定时应加上全称量词、例3 写出下列命题的否定、（1）中学生的年龄都在15岁以上；（2）所有人都晨练；（3）锐角都相等；（4）我们班上有的学生不会用电脑、例4、写出下列命题的否定、（1）有的三角形中，有一个内角是直角；（2）x∈R， x2＋x＋1＞0 ；（3）平行四边形的对边相等；（4）x∈R， x2－x＋1＝0 、练习：写出下列命题的否定，并判断其真假、（1）三角形的内角和是1800；2、所有的等边三角形都全等；（3）实系数一元二次方程有实数解；（4）有的实数没有平方根、总结：1、如何理解全称命题和存在性命题；2、怎样判断全称命题和存在性命题的真假3、含有一个量词的命题的否定；作业：完成学案，课本17页习题1、2、3、4。
2019-2020学年高二数学《全称量词与存在量词》教案 新人教A版.doc
2019-2020学年高二数学《全称量词与存在量词》教案新人教A版教学目标：1.了解全称量词与存在量词，全称命题与特称命题的含义，掌握全称命题与特称命题的否定形式.2.能用全称量词与存在量词的符号语言表述有关命题，会正确写出含有一个量词的命题的否定，明确全称命题与特称命题的真假关系.3.感受数学的简洁美、对称美和逻辑美，提高逻辑思辩能力.教学重点：全称命题与特称命题的意义及其否定教学难点：含有一个量词的命题的否定教学课时：二课时教学过程：第一课时授课人:王玉平教学内容：全称量词和存在量词一.问题提出1.对于命题p、q，命题p∧q，p∨q，﹁p的含义分别如何？这些命题与p、q的真假关系如何？p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的命题，当且仅当p、q都是真命题时，p∧q为真命题.p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的命题，当且仅当p、q都是假命题时，p∨q为假命题.﹁p：命题p的否定，p与﹁p的真假相反.2.在我们的生活和学习中，常遇到这样的命题：（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x，都有x2≥0；（3）存在有理数x，使x2－2＝0等.对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的认识.二.知识探究探究（一）：全称量词的含义和表示思考1：下列各组语句是命题吗？二者有什么关系?（1）x＞3；对所有的x∈R，x＞3.（2）2x＋1是整数；对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根；任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.前者不是命题，后者在前者的基础上，用短语对变量的取值范围进行了限定，从而成为命题.思考2：短语“所有的”“任意一个”“任给”等，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，你还能列举一些常见的全称量词吗？“一切”，“每一个”，“全体”等思考3：含有全称量词的命题叫做全称命题，如“对所有的x∈R，x＞3”，“对任意一个x∈Z，2x＋1是整数”等，你能列举一个全称命题的实例吗？思考4：将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)等表示，变量x的取值范围用M表示，符号语言“"x∈M，p(x)”所表达的数学意义是什么？“对M中任意一个x，有p(x)成立”思考5：下列命题是全称命题吗？其真假如何？（1）所有的素数是奇数；（2）"x∈R，x2＋1≥1；（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；（4）所有的正方形都是矩形.思考6：如何判定一个全称命题的真假？"x∈M，p(x)为真：对集合M 中每一个元素x ，都有p(x)成立；"x∈M，p(x)为假：在集合M 中存在一个元素x 0，使得p(x 0)不成立.探究（二）：存在量词的含义和表示思考1：下列各组语句是命题吗？二者有什么关系？（1）2x ＋1＝3；存在一个x 0∈R ，使2x 0＋1＝3.（2）x 能被2 和3 整除；至少有一个x 0∈Z ，x 0能被2 和3 整除.（3）|x －1|＜1；有些x 0∈R ，使|x 0－1|＜1.前者不是命题，后者在前者的基础上，用短语对变量的取值范围进行了限定，从而成为命题.思考2：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”等，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，你还能列举一些常见的存在量词吗？“有一个”，“ 对某个”，“有的”等.思考3：含有存在量词的命题叫做特称命题，如“存在一个x 0∈R ，使2x 0＋1＝3”，“至少有一个x 0∈Z ，x 0能被2 和3 整除” 等，你能列举一个特称命题的实例吗？思考4：符号语言“$x 0∈M，p(x 0)”所表达的数学意义是什么？存在M 中的元素x 0，使p(x 0)成立.思考5：下列命题是特称命题吗？其真假如何？（1）有的平行四边形是菱形； （2）有一个实数x 0，使200230x x ++=；（3）有一个素数不是奇数； （4）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（5）有些整数只有两个正因数； （6）有些实数的平方小于0.思考6：如何判定一个特称命题的真假？$x 0∈M，p(x 0)为真：能在集合M 中找出一个元素x 0，使p(x 0)成立；$x 0∈M，p(x 0)为假：在集合M 中，使p(x)成立的元素x 不存在.例2判断下列命题的真假.（1）$x∈R ，x 2＞x ； （真） （2）"x∈R ，sin2x ＝2sinxcosx ； （真）（3）$x∈Q ，x 2－8＝0； （假） （4）"x∈R ，x 2＋x ＋1＞0； （真）（5）$x∈R ，sinx －cosx ＞2；（假） （6）"a ，b ∈R ，a b +?（假）四.小结;1.全称量词是表示“全体”的量词，用符号“∀”表示；存在量词是表示“部分”的量词，用符号“∃”表示，具体用词没有统一规定.2.若对任意x ∈M ，都有p(x)成立，则全称命题“"x∈M，p(x)”为真，否则为假； 若存在x 0∈M ，使得p(x 0)成立，则特称命题“$x 0∈M，p(x 0)”为真，否则为假.五. 作业：P23练习：1，2. P26习题1.4A 组：1，2.第二课时授课人:王玉平授课时间:2009年11月教学内容：含有一个量词的命题的否定一. 问题提出1.全称量词与存在量词的含义及其符号表示分别是什么？全称量词：表示“全体”的量词，用符号“∀”表示；存在量词：表示“部分”的量词，用符号“∃”表示.2.含有全称量词的命题真命题4.任何一个命题都有其否命题，并且命题p与﹁p的真假性相反.对于全称命题与特称命题的否定，在形式上有什么变化规律，将是本节课所要探讨的课题.探究（二）：特称命题的否定思考1：你能写出下列命题的否定吗？（1）本节课里有一个人在打瞌睡；（2）有些实数的绝对值是正数；（3）某些平行四边形是菱形；（4）∃x0∈R，x02＋1＜0.（1）本节课里所有的人都没有瞌睡；（2）所有实数的绝对值都不是正数；（3）每一个平行四边形都不是菱形；（4）"x∈R，x2＋1≥0.思考2：从全称命题与特称命题的类型分析，上述命题与它们的否定在形式上有什么变化？特称命题的否定都变成了全称命题.思考3：一般地，对于含有一个量词的特称命题p：$x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p是什么形式的命题？p：$x0∈M，p(x0) （特称命题），﹁p："x∈M，﹁p(x)（全称命题）. 三. 理论迁移例1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p："x∈Z，x2的个位数字不等于3.解：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；（3）﹁p：$x0∈Z，x02的个位数字等于3.例2 写出下列特称命题的否定：（1）p：∃x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含有三个正因数.解：（1）﹁p：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0；（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.例3 写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p：任意两个等边三角形都是相似的；（2）p：∃x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；（3）p："a∈R，直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0经过某定点；（4）p：∃k∈R，原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1.解：（1）﹁p：存在两个等边三角形，它们不相似；（假）（2）﹁p："x∈R，x2＋2x＋2≠0；（真）（3）﹁p：∃a0∈R，直线(2a0＋3)x－(3a0－4)y＋a0－7＝0不经过该定点；（假）（4）﹁p："k∈R，原点到直线kx＋2y－1＝0的距离不为1. （真）四. 小结;1.对含有一个量词的全称命题与特称命题的否定，既要考虑对量词的否定，又要考虑对结论的否定，即要同时否定原命题中的量词和结论.2.在命题形式上，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，这可以理解为“全体”的否定是“部分”，“部分”的否定是“全体”.3.全称命题和特称命题可以是真命题，也可以是假命题，当判断原命题的真假有困难时，可转化为判断其否命题的真假.五. 作业：P26 练习：1，2. 习题1.4A组：3. B组：1.。
人教版高中数学高二 全称量词与存在量词 同步学案
（2）负数的平方是正数
（3）
（4）和圆只有一个公共点的直线和圆相切
2、（07宁夏）
已知命题 ： ，则（ ）
A. B.
C. D.
3、将命题“有些实数的平方根是无理数” 用数学符号语言表示为。
4、写出下列命题的否命题
（1）集合A中至少有一个元素是集合B的元素。
（2）对所有的正数x,
（3）与同一平面所成角相等的两条直线平行
5、已知：对 恒成立，求a的范围。
答案：1、（1）存在性命题，真命题（2）全称命题，真命题（3）全称命题，假命题（4）全称命题，真命题
2、C.
3、
4、（1）集合A中所有元素都不是集合B的元素。
（2）存在正数x,
（3）存在与同一平面所成角相等的两条直线彼此不平行
一、概念及表示形式
1、全称量词
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“ ”表示“对任意 ”。
2、存在量词
“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“ ”表示“存在 ”
3、全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题，命题形式： 。
其中，M为给定的集合，p(x)是关于x的一个命题。
又如“菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直”
四、全称命题与存在性命题与数学符号语言的互化
能将文字语言与数学符号语言互化，既有助于问题的表达，又有助于对问题的理解。如命题“任何实数的平方都是非负数”用数学符号语言表示为“ ”，既简洁又易明白。
练一练
1、判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假。
2、命题从表面上看不含有量词的：这时应根据命题中所叙述对象的特征，挖掘其隐含的量词，如“平行四边形的对边相等”，它没有指明是哪一个平行四边形，就表明指的是任意一个平行四边形；如果是对某一个对象的特征描述，其中就隐含有存在量词，如“△ABC的内角中有锐角”，表明存在一个△ABC，它的内角中有锐角，又如“边长为1cm的正方形的面积是1cm2”，表明存在一个正方形的面积是1cm2。
2019-2020学年高二数学《全称量词与特称量词》学案
2019-2020学年高二数学《全称量词与特称量词》学案【学习目标】了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。
【重点难点】重点：理解全称量词、特称量词的概念区别。
难点：正确使用全称命题、特称性命题。
【使用说明及学法指导】1、阅读课本P21—P23内容，自主高效预习。
2、课前只独立完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，写到我的疑问处。
探究案和训练案留在课中完成。
预习案一、问题导学下列语句是命题吗？（1）3x > （2）21x +是整数 （3）对所有的x R ∈,3x >（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数（5）213x += （6）x 能被2和3整除 （7）存在一个0x R ∈，213x +=（8）至少有一个0x Z ∈，使0x 能被2和3整除其中（1）与（3），（2）与（4），（5）与（7），（6）与（8），之间有什么关系？二、基础知识梳理1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号 表示2. .含有全称量词的命题叫做全称命题 ，对于M 中任意一个x ，使()P x 成立。
可用符号表示3. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做特称量词， 并用符号 表示4. 含有特称量词的命题叫做特称命题 ，存在M 中一个0x ，使0()P x 成立。
可用符号表示三、预习自测1.下列命题为特称命题的是（ ）A ．偶函数的图像关于2、判断下列全称命题和特称命题的真假（1）对每一个无理数x ，2x 也是无理数（2）每个指数函数都是单调函数（3）存在一个无理数0x ，20x 是无理数 （4）200,10x R x ∃∈+≤ 四、我的疑问_____________________________________________________________________________探究案一、 合作探究例1 ：判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断真假（1）对所有的x R ∈，3x > （2）有的实数是无限不循环小数（3）末位是0的整数，可以被2整除（4）对于任意一个x Z ∈,221x +为奇数（5）至少有一个整数，它即不是合数，也不是素数（6）0不能作除数例2、若命题:p ,x R ∀∈22421ax x a x ++≥-+是真命题，求实数a 的取值范围二、课堂小结训练案一、当堂训练与检测：1．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤2. 下列四个命题中：（1）2,n R n n ∀∈≥（2）2,n R n n ∀∈<（3）2,,n R m R m n ∀∈∀∈< （4）,,n R m R m n n m ∀∈∀∈•=•真命题的序号是3.设函数2()2f x x x m =--（1）若对[]2,4,()0x f x ∀∈≥恒成立，求m 的取值范围（2）[]2,4,()0x f x ∃∈≥恒成立，求m 的取值范围二、课后巩固练习课本P23 1题，2题 含有一个量词的命题的否定【学习目标】利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.【重点难点】教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；【使用说明及学法指导】1、阅读课本P24-P25，自主高效预习。
《存在量词与特称命题》 导学案
《存在量词与特称命题》导学案一、学习目标1、理解存在量词的含义。
2、掌握特称命题的概念及形式。
3、能够正确判断特称命题的真假。
二、学习重难点1、重点（1）存在量词的理解。
（2）特称命题的形式及真假判断。
2、难点特称命题真假的判断及应用。
三、知识回顾1、全称量词与全称命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。
（2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为：∀x∈M，p(x)。
四、新课导入在我们的日常生活和数学学习中，除了会遇到像“所有的”“任意一个”这样表示整体的量词外，还会经常碰到“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词。
例如，“存在一个实数 x，使得 x²＝1”，“至少有一个学生的数学成绩在 90 分以上”。
这些量词和与之相关的命题就是我们今天要学习的存在量词和特称命题。
五、存在量词1、存在量词的定义短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
2、常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”外，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
六、特称命题1、特称命题的定义含有存在量词的命题，叫做特称命题。
2、特称命题的形式特称命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”，可用符号简记为：∃x∈M，p(x)。
3、特称命题的真假判断要判断一个特称命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；要判断一个特称命题是假命题，需要证明集合 M 中，不存在使 p(x)成立的元素。
七、例题讲解例 1：判断下列特称命题的真假。
（1）∃x∈R，x²＜ 0（2）∃x∈Q，x²＝ 3解：（1）因为对任意实数 x，x²≥0，所以不存在实数 x，使得 x²＜0，所以特称命题“∃x∈R，x²＜0”是假命题。
高中数学 全称量词与特称量词
1.5全称量词与存在量词考点1全称量词命题和存在量词命题1.全称量词短语“所有的"“任意一个"在逻辑中通 常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.2.全称量词命题(1)定义:含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。
(2)符号表示:通常,将含有变量x 的语句用p(x)q(x)r(x)......表示,变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p(x)成立”可用符号简记为∀x ∈M,p(x).3.存在量词短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示4. 存在量词命题(1)定义:含有存在量词的命题，叫作存在量词命题，(2)符号表示:存在量词命题“存在M 中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x ∈M,p(x).牛刀小试1. 用量词符号表述下列全称量词命题:(1)任一个实数乘以一1都等于它的相反数.(2)对任意实数x,都有x x 23>(3)凸n 边形的外角和等于2π.2.给出下列语句,其中既是命题又是全称量词命题的是①对任意实数x,x2 +1≥2.②有一个实数a,a 不能作分母. ③每一个负数的平方都是正数吗?3.将“xy y x 222≥+"改写成全称量词命题,下列说法正确的是( ) A.对任意x,y ∈R,都有xy y x 222≥+ B.存在x.y ∈R,使xy y x 222≥+ C.对任意x>0,y>0，都有xy y x 222≥+ D.存在x<0,y<0,使xy y x 222≥+5. 用量词符号“∃”表示下列存在量词命题:(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立.(2)至少有一个整数x,使0)32(3<+x(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.(4)某个四边形不是平行四边形.6.下列命题不是“∃x ∈R,x 2>3”的表述方法的是( ). A.有一个x ∈R,使得,x 2>3成立 B.对有些x ∈R,使得,x 2>3成立 C.任选一个x ∈R,都有,x 2>3成立 D.至少有一个x ∈R,使得,x 2>3成立考点2全称量词命题和存在量词命题的真假判断1.判断全称量词命题“∀x ∈M,p(x)”成立，需要对M 中的每一个x ，都证明p(x)成立，则为真命题，如果在M 中存在一个x,使 p(x)不成立,则为假命题。
全称量词和特称量词 -完整获奖版
§1.4.1 全称量词与特称量词 教案学习目标：（1）通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.建议： 对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义.一、导入：（1分钟）假如，上帝临时有事情，忙不开了，需要我替他值班2分钟，这2分钟内我说的话，都可以实现，那么下面的2句话，同学们更愿意哪一句能实现？（1）2年后，你们每个人都能考上好大学! （2）2年后，你们有些人能考上好大学！ 为什么？这两句话有什么区别不同？ 一个范围大，一个范围小.思考：（词语接龙，群策群力）1、平时生活中，表示“全部”的意思的词语有哪些？（2分钟） 所有的”、“任意一个”、“全部”、“每一个”、“ 一切 ”等2、平时生活中，表示“局部、部分”的意思的词语有哪些？“存在一个”、“有一个”、“至少有一个”、“有些”、“某个”、“有的”二、新课：（一）、请同学们阅读教材 2321P P --，并完成下面的内容（5分钟）（抽号口答） 1、常用的全称量词：“所有的”、“任意一个”、“全部”、“每一个”符号 表示为 “∀”2、全称命题：含有 的命题，叫做全称命题简记为 )(,x p M x ∈∀ 读作 “对任意x 属于M ，有)(x p 成立” 3、常用的存在量词：“存在一个”、“有一个”、“至少有一个”， 符号表示为 “∃”4、特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题简记为 )(,00x p M x ∈∃ 读作 “存在M 中的元素0x ，使)(0x p 成立（二）练习：（时间：2+1+5分钟）1、（举牌）下列语句能否构成命题？若能，请指出是全称命题还是特称命题，并判断真假.（1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．（2）所有有中国国籍的人都是黄种人； （3）有些人每天都晨练（4）自然数的平方是正数． （5）这里的风景真美！ 全称命题 特称命题说明：考察全称命题、特称命题定义2、（举牌）判断下列命题的真假：（1）2,x R x x ∃∈>； （2）2,x R x x ∀∈>；（3）2,80x Q x ∃∈-=； （4）2,20x R x ∀∈+>．说明：识别全称量词、特称量词符合3、（上台板演）用量词符号“∀”、“∃”表达下列命题：（1）有些实数x , 使x 2＋1＜0； （2）对所有实数a ，都有0||≥a ； （3）对任意的实数x ，都有32x x >； （4）存在有理数x ，使022=-x .说明：考察符号表示，防止学生把符号混淆.（三）思考：（1分钟）甲和乙两人下棋，结果有几种？如果说甲胜利了，那么否定这句话的结果有几种说法？怎样说才能否定的更全面更完整？请指出下列命题的否命题 （2分钟）1、（举牌）原命题：若b a ,都是偶数，则b a +是偶数. 否命题是（ ）A 、若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数.B 、若b a ,都不是偶数，则b a +不是偶数.C 、若b a ,至少有一个是偶数，则b a +是奇数.D 、若b a ,至少有一个是奇数，则b a +是奇数.2、（抢答）原命题：若b a >，则c b c a +>+.（四）阅读课本2524P P --，完成下列内容（4分钟）全称命题:p )(,x p M x ∈∀ 否定p ⌝： )(,00x p M x ∈ 特称命题:p )(,00x p M x ∈∃ 否定p ⌝： )(,x p M x ⌝∈∀（五）练习：（6分钟）1、（抢答）说出下列命题的否定．（1）所有人都晨练； （2） 有些实数的绝对值是正数；（3）平行四边形的对边相等； （4）某些平行四边形是菱形； 说明：口头表述，考察对含量词命题的否定的理解2、（上台板演）用符号表示下列命题的否定形式.（1）∀x ∈R, x 2－2x ＋1≥0； （2）∃ x ∈R, x 2＋1＜0；（3）对∀x ∈Z ，x 2个位数字不等于3； 说明：上台板书，考察对含量词命题的否定的符合表示.三、课堂小结（学生总结 2分钟） 四、课堂小测（8分钟） 五、作业布置（1分钟）。
2022年精品 《全称量词、特称量词》教学优秀教案
全称量词存在量词〔一〕教学目标1知识与技能目标〔1〕通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．〔2〕了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．〔二〕教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．〔三〕教学过程学生探究过程：1．思考、分析以下语句是命题吗？假设是命题你能判断它的真假吗？〔1〕2＋1是整数；〔2〕＞3；〔3〕如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；〔4〕平行于同一条直线的两条直线互相平行；〔5〕我校今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；〔6〕所有有国籍的人都是黄种人；〔7〕对所有的∈R, ＞3；〔8〕对任意一个∈Z，2＋1是整数。
1．推理、判断〔让学生自己表述〕〔1〕、〔2〕不能判断真假，不是命题。
〔3〕、〔4〕是命题且是真命题。
〔5〕－〔8〕如果是假，我们只要举出一个反例就行。
注：对于〔5〕－〔8〕最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词〞“特称命题〞“全称命题的否认〞这些后续内容。
〔5〕的真假就看命题：海师附中今年存在个别〔局部〕高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题〔5〕为假；命题〔6〕是假命题．事实上，存在一个〔个别、局部〕有国籍的人不是黄种人．命题〔7〕是假命题．事实上，存在一个〔个别、某些〕实数〔如＝2〕，＜3．〔至少有一个∈R, ≤3〕命题〔8〕是真命题。
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山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号47
全称量词与特称量词
【学习目标】1.全称量词与存在量词的意义;2.全称命题和特称命题真假的判断;3.能对含有一个量词的命题进行否定，要正确掌握量词否定的各种形式.
【学习重点】1.全称命题和特称命题真假的判断；2.含有一个量词的命题的否定及形式.
【学习难点】含有一个量词的命题的否定及形式.
【学习过程】
一．导学
探究一：全称量词的意义
问题：1.下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
(1)213x +=；
(2)x 能被2和3整除；
（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；
（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.
新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形
式为：,()x M p x ∀∈，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.
其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：
结论：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和特称命题的结构形式. 探究二：含有一个量词的命题的否定
问题：1.写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）2,210x R x x ∀∈-+≥.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
2.写出下列命题的否定：
（1）有些实数的绝对值是正数；
（2）200,10x R x ∃∈+<.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：
全称命题p ：,()x p p x ∀∈， 它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝
2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：
特称命题p ：00,()x M p x ∃∈， 它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈.
二．导练
1. 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->
小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；
但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.
2. 判断下列特称命题的真假：
（1）有一个实数0x ，使200230x x ++=；
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3）有些整数只有两个正因数.
小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使
0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.
3. 写出下列全称命题的否定，并判断真假.
（1）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3. (2) p ：21,04
x R x x ∀∈-+≥ 4 .写出下列特称命题的否定，并判断真假.
(1) p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； (2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=. 总结：全称命题的否定变成特称命题.特称命题的否定变为全称命题
三．目标检测
1. 下列命题为特称命题的是
A.偶函数的图像关于y 轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线都是平行线
D.存在实数大于等于3
2. 下列命题中假命题的个数
(1)2,11x R x ∀∈+≥； （2）,213x R x ∃∈+=；
（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除； （4）2,230x R x x ∃∈++=
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
3. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0：
（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：
4. 命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（ ）.
A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称
B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称
C. 存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称
D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称
5.对下列命题的否定说法错误的是（ ）.
A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数
B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形
D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>
6.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.
A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤
B. 存在32,10x R x x ∈-+≤
C. 存在32,10x R x x ∈-+>
D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>
7. 写出下列命题的否定：
(1) 32,x N x x ∀∈>； (2) 2000,10x R x x ∃∈-+≤.。