2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案[原创]-新人教】
2006年全国高中数学联赛模拟试题(五)
2006年全国高中数学联赛模拟试题五（一试）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分）1．122320061sin cos sin cos sin cos x x x x x x +++ 的最大值是 ( ) A ．1002 B ．1003 C ．1003.5 D ．小于10022．已知,,,a b c d 都是偶数，且0a b c d <<<<，90d a -=，若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，则a b c d +++的值等于 （ ） A ．194 B ．198 C ．200 D ．2043．已知关于x 的实系数方程4320x ax bx cx d ++++=的四个复数根皆为虚根，其中两根之积为13i +，另两根之和为34i +，则实数b 的值为 （ ） A ．25 B ．26 C ．51 D ．145 4．若{}1,2,...,100n ∈且n 是其各位数字和的倍数,则这种n 的个数是 （ ）A ．29B ．31C ．33D ．345．在平面直角坐标系上有两个圆221:(3)9O x y ++= ，222:(5)25O x y -+= ，以y 轴为折痕，将左右两个半平面折成大小为α的二面角，若折起后两圆的圆周均在以3为直径的球面上，则二面角的大小为 （ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π6．将五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线的对数为 （ ） A ．30 B ．50 C ．56 D ．60 二、填空题（本大题共6小题，每小题9分）7．n 个正整数组成的集合12{,,,}n a a a 满足条件：对12{,,,}n a a a 的任意两个子集，它们各自元素的和不同．则21nii a=∑的最小值为 ．8．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ． 9．已知,,x y z R +∈，则(15)(43)(56)(18)xyzx x y y z z ++++的最大值为 ．10．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭．11．将等差数列{n a }：*4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到 大排成一个数列{n b }，则2006b 的值为 .12．有5对孪生兄妹参加k 个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.则k 的最小值为 .三、解答题（本大题共3小题，每小题20分）13．右图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图，线条为道路．甲从A （0，0）点出发按最短路程走向B （4，3）点，乙从B 点按最短路程走向A 点．如果甲乙两人同时出发，并且以相同的速度前进．那么，甲和乙在路上相遇的概率是多少？14．已知椭圆222484840x y kx ky k +--+-=（k 为参数），问是否存在一条定直线，使得该直.15．已知 ,1,5,12121121++===--+n n n n n a a a a a a a 求}{n a 的通项公式．2006年全国高中数学联赛模拟试题五（二试）一、在ABC ∆中，H 为垂心，满足2227AH BH CH ++=，且3AH BH CH =，求: （1）ABC ∆的外接圆半径； （2）ABC S ∆达到最大值时三条边的长度．二、试确定下式的最小值：11221201max |()()()|i n n n x F x F x F x x x x ≤≤+++-（对一切可能的实值函数()(01,1)i F t t i n ≤≤≤≤）．三、设自然数 k 满足121001100，1,2,,100,,k a a a << 对的任一个排列，取最小的m k >，使12,,,m k a a a a 至少小于中1k -个数，已知满足1m a =的数列的个数为100!4．求k ．2006年全国高中数学联赛模拟试题（五）参考答案一试： 一、选择题1．122320061sin cos sin cos sin cos x x x x x x +++ 的最大值是 ( ) A ．1002 B ．1003 C ．1003.5 D ．小于1002答 1003．解 因为 1223s i n c o s s i nc o s x x x x +++ 1s i n c o s nx x 2212sin cos 2x x +≤+ 2222231sin cos sin cos 222n x x x x n ++++= ，当124n x x x π==== 时等号成立，所以，欲求的最大值为2n＝10032．已知,,,a b c d 都是偶数，且0a b c d <<<<，90d a -=，若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，则a b c d +++的值等于 （ A ） A ．194 B ．198 C ．200 D ．2043．已知实系数方程4320x ax bx cx d ++++=的四个复数根皆为虚根，其中两根之积为13i +，另两根之和为34i +，则b ＝ ． 解：514．若{}1,2,...,100n ∈且n 是其各位数字和的倍数,则这种n 的个数是 （ C ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．34简解：设10,|10n ab a b a b a b ==+++，当a,b 中有一个为0时，显然合于要求，于是所有一位数，及末位为0的二位数与三位数100皆合要求，这种n 有19个。
2006年山西省统一试卷数学试题
山西省2006年高中阶段教育招生统一试卷数学试题一、填空题（每小题2分，共24分） 1．13-的倒数是_________． 2．计算()sin3031+=_________．3．我国2005年国内生产总值达到182300 亿元，此数据用科学记数法可表示为_________亿元． 4x 的取值范围是_________． 5．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a b -=_________．6．已知梯形ABCD 内接于O ，梯形的上、下底边的长分别是12cm 和16cm ，O 的半径是10cm ，则梯形ABCD 的高是_________cm ．7．如图所示，要把1000个形状是圆锥体的实心积木的表面刷成红色，每平方厘米需油漆约0.0002升，全部刷完共需油漆约_________升（π取3）．8．一家体育器材商店，将某种品牌的篮球按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出．已知每颗篮球的成本价为a 元，则该商店卖出一颗篮球可获利润_________元．9．小明自制了一个翘翘板，它的左、右臂OA ，OB 的长分别为1米，2米．如图所示，当点B 经过的路径长为1米时，点A 经过的路径长为_________米．10．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩，的解集是11x -<<，则()2006a b +=_________． 11．树木生长过程中，新枝生长及树枝数目变化规律如图所示，据此生长规律，可推知第八年有树枝_________枝．（第5题）10cm 10cm（第7题） OA B（第9题） 第5年8枝 第4年5枝第3年3枝 第2年2枝第1年1枝（第11题）12．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且:2:1BE EC =，AE 与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是_________．二、选择题（在下列各小题中，均给出四个备选答案，其中只有一个正确答案，请将正确13．观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是（ ）14．幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的正多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板不能选择．．．．的是（ ） Ａ．正八边形 Ｂ．正六边形Ｃ．正四边形Ｄ．正三角形15．下列运算正确的是（ ） Ａ．()325aa =Ｂ．235a a a =Ｃ．235a a a += Ｄ．623a a a ÷=16．图中圆与圆的位置关系有（ ） Ａ．相交 Ｂ．相离 Ｃ．相交、相离 Ｄ．相切、相交 17．小雨和弟弟进行百米赛跑，小雨比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，小雨肯定赢．现在小雨让弟弟先跑若干米，图中1l ，2l 分别表示两人的路程与小雨追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（ ） Ａ．小雨先到达终点 Ｂ．弟弟的速度是8米／秒 Ｃ．弟弟先跑了10米 Ｄ．弟弟的速度是10米／秒AD FBE C （第12题）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（第16题）s ／米1l2l t ／秒（第17题）18．一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） Ａ．0k >，0b > Ｂ．0k >，0b < Ｃ．0k <，0b >Ｄ．0k <，0b <19．已知a ，b 是方程2210x x --=的两个根，则23a a b ++的值是（ ） Ａ．7Ｂ．5-Ｃ．Ｄ．2-20．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示．有下列结论：①240b ac -<；②0ab >；③0a b c -+=；④40a b +=；⑤当2y =时，x 只能等于0．其中正确的是（ ）Ａ．①④ Ｂ．③④ Ｃ．②⑤Ｄ．③⑤三、解答题（每小题8分，共16分）21．（8分）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当3x =，5-，7+代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．22．（8分）如图1，2所示，将一张长方形的纸片对折两次后，沿图3中的虚线AB 剪下，将AOB △完全展开．（1）画出展开图形，判断其形状，并证明你的结论；（2）若按上述步骤操作，展开图形是正方形时，请写出AOB △应满足的条件．yxO（第18题）0 2 5 x2y（第图1 图2 图3A BO （第22题）四、应用题（23题12分，24题，25题各9分，共30分） 23．（12分）五一黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算： （1）备用食品费：购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元．现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：请选择最合算的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由． 24．（9分）为选拔两名运动员参加即将举行的十米跳台比赛，教练对甲、乙、丙、丁四名运动员十米跳台技能进行了跟踪测试，连续记录了最近5次的测试成绩，如下表所示（按（2）如果你是教练，你将挑选哪两名运动员参赛？叙述理由（至少两条）． 25．（9分）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB 的高度．如图，在湖面上点C 测得塔顶A 的仰角为45，沿直线CD向塔AB 方向前进18米到达点D ，测得塔顶A 的仰角为60．已知湖面低于地平面．．．．．．．1米，请你帮他们计算出塔AB 的高度（结果保留根号）．C BED A（第25题）五、证明题（本题12分） 26．（12分）已知ABC △内接于以AB 为直径的O ，过点C 作O 的切线交BA 的延长线于点D ，且:1:2DA AB =． （1）求CDB ∠的度数；（2）在切线DC 上截取CE CD =，连结EB ，判断直线EB 与O 的位置关系，并证明； （3）利用图中已标明的字母，连结线段，找出至少5对相似三角形（不包含全等，不需要证明）．多写者给附加分，附加分不超过3分，计入总分，但总分不超过120分．六、综合题（本题14分）27．（14分）如图所示，在平面直角坐标系中有点()10A -，，点()40B ，，以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD 的解析式；（4）设点M 是抛物线上任意一点，过点M 作MN y ⊥轴，交y 轴于点N ．若在线段AB 上有且只有．．．．一点P ，使MPN ∠为直角，求点M 的坐标．D CB A（第26题）y4 xO1- （第27题）BAC山西数学答案一、填空题（每小题2分，共24分） 1．3- 2．323．51.82310⨯ 4．0x ≥且1x ≠5．2a - 6．14或27．458．325a 9．1210．111．3412．9:11二、选择题（在下列各小题中，均给出四个备选答案，其中只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入下表相应的空格内．每小题3分，共24分）三、解答题（每小题8分，共16分）21．解：原式()()()()2111121x x x x x -+=+-- ······································································ （4分）12=． ···························································································································· （6分） ∴当3x =，5-，7+12=．························································· （8分） 22．（1）展开图如图所示，它是菱形．（展开图只要求画出示意图即可．） ·············· （2分） 证明：由操作过程可知OA OC =，OB OD =， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又OA OB ⊥， 即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形． ·································································· （6分） （2）AOB △中，45ABO =∠（或45BAO =∠或OA OB =）． ······················· （8分）四、应用题（23题12分，24题，25题各9分，共30分）23．解：（1）设现在每人需分摊x 元食品费，则原来每人需分摊()5x +元食品费． 依题意可得30030025x x -=+． ······················································································ （4分） 去分母，整理得257500x x +-=． ··········································································· （5分） 解得125x =，230x =-． ··························································································· （6分） 经检验125x =，230x =-都是原方程的根．但130x =-不合题意，舍去．所以25x =． ······························································ （7分）C O ABD（第22题）答：现在每人需分摊25元食品费． ············································································· （8分） （2）由（1）可计算旅游人数是3002512÷=（人）． 方案1：租两辆A 型车，费用是：50021000⨯=（元）． ········································ （9分） 方案2：租三辆B 型车，费用是：40031200⨯=（元）． ······································· （10分） 方案3：租一辆A 型车，租一辆B 型车，费用是：500400900+=（元）． ········· （11分） 所以，选择方案3最合算． ························································································· （12分）评分说明：每填对一项得一分，共计4分． （2）解：选甲、丁两名运动员参赛． ········································································· （5分） 理由：选甲：①平均成绩最高；②方差最小，成绩最稳定． ····································· （7分） 选丁：①平均成绩较高；②方差较小，成绩比较稳定． ············································· （9分） 25．解法1：如图，延长CD ，交AB 的延长线于点E ，则90AEC =∠，45ACE =∠，60ADE =∠，18CD =． ························································································· （1分）设线段AE 的长为x 米． ······························································································· （2分）在Rt ACE △中，45ACE =∠，CE x ∴=．在Rt ADE △中，tan tan 60AEADE DE==∠， DE x ∴=． ············································································································ （3分）18CD =，且CE DE CD -=，18x x ∴=． ··············································· （6分） 解得：27x =+ ································································································· （7分）1BE =米，(26AB AE BE ∴=-=+（米）． ············································· （8分）答：塔AB 的高度是(26+米． ·········································································· （9分） 解法2：提示：设塔AB 的高为x 米． 五、证明题（本题12分） 26．（1）解：如图，连结OC ． ··················································································· （1分） CD 是O 的切线，90OCD ∴=∠．C B EDA（第25题）设O 的半径为R ， 则2AB R =．:1:2DA AB =，DA R ∴=，2DO R =． 在Rt DOC △中，1sin 2OC CDO OD ==∠， ······························· （3分）30CDO ∴=∠，即30CDB =∠． ··········· （4分）（2）直线EB 与O 相切． ························································································· （5分） 证法一：由（1）可知DC =，33DC DB R ∴==． ····································· （6分）CE CD ==，DE ∴=．3DO DE ∴=············································ （7分） 在CDO △与BDE △中，CDO BDE =∠∠，DC DODB DE=， CDO BDE ∴△∽△． ································································································· （8分）90OCD EBD ∴==∠∠．EB ∴与O 相切． ······································································································ （9分）证法二：如图，连结OC ．由（1）可知30CDO =∠，60COD ∴=∠．OC OB =，30OBC OCB ∴==∠∠．CBD CDB ∴=∠∠．CD CB ∴=． ········································································· （6分）CD 是O 的切线，90OCE ∴=∠，60ECB ∴=∠．又CD CE =，CB CE ∴=． CBE ∴△为等边三角形． ····························································································· （8分）90EBA EBC CBD ∴=+=∠∠∠．EB ∴是O 的切线． ·································································································· （9分） 证法三：如图，连结OE ．OC DE ⊥，CE CD =， OC ∴是线段DE 的垂直平分线． ··············································································· （6分）OE OD ∴=，30OEC D ∴==∠∠．60EOC DOC ∴==∠∠，60EOB ∴=∠．在EBO △与ECO △中，OB OC EOB EOC OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∠∠EBO ECO ∴△≌△． ································································································· （8分）90EBO ECO ∴==∠∠．EB ∴与O 相切． ······················································· （9分）DCEBOA （第26题）证法四：提示，利用弦切角定理证明． （3）如图，连结OE ．相似三角形有 CDO △与BDE △，CEO △与BDE △，BEO △与BDE △，CBA △与BDE △，OAC △与BCE △，DAC △与DCB △与DOE △，BOC △与DCB △与DOE △．评分说明：写出其中5组给3分，合计12分．再写出3组或3组以上附加3分，其它情况酌情给分，附加分最多3分，计入总分，但总分不超过120分． 六、综合题（本题14分）27．（1）解：如图，连结AC ，CB ．依相交弦定理的推论可得2OC OA OB =，解得2OC =．C ∴点的坐标为()02，． ······························································································· （2分）（2）解法一：设抛物线解析式是2y ax bx c =++()0a ≠． ··································· （3分）把()10A -，，()40B ，，()02C ，三点坐标代入上式得016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，，．解之得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，．∴抛物线解析式是213222y x x =-++． ··································································· （6分） 解法二：设抛物线解析式为()()14y a x x =+-． ···················································· （3分） 把点()02C ，的坐标代入上式得12a =-． ∴抛物线解析式是213222y x x =-++． ··································································· （6分） （3）解法一：如图，过点C 作CD OB ∥，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形．设点D 的坐标是()2x ，，代入抛物线解析式整理得230x x -=，解之得10x =，23x =．∴点D 的坐标为()32，． ······························································································· （7分） 设过点B ，点D 的解析式是y kx b =+． 把点()40B ，，点()32D ，的坐标代入上式得4032k b k b +=⎧⎨+=⎩，．yC 4 xO1- B D A（第27题）解之得28k b =-⎧⎨=⎩，．············································································································· （9分）∴直线BD 的解析式是28y x =-+． ········································································ （10分） 解法二：如图，过点C 作CD OB ∥，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形． 由（2）知抛物线的对称轴是32x =， ∴点D 的坐标为()32，． ······························································································· （7分） （下同解法一）（4）解：依题意可知，以MN 为直径的半圆与线段AB 相切于点P ． 设点M 的坐标为()m n ，．①当点M 在第一或第三象限时，2m n =． 把点M 的坐标()2n n ，代入抛物线的解析式得210n n --=，解之得12n =． ∴点M的坐标是112⎛++ ⎝⎭，或112⎛ ⎝⎭，． ·········································· （12分） ②当点M 在第二或第四象限时，2m n =-．把点M 的坐标()2n n -，代入抛物线的解析式得2210n n +-=，解之得1n =-±∴点M的坐标是(21--+或(21+-． 综上，满足条件的点M的坐标是1⎛+⎝⎭，1⎛ ⎝⎭，(21--，(21+-． ····························································· （14分）（第27题）AN CyM B x4 PO 1-。
2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以0B 和1B 为焦点的椭圆与△01A B B 的边i A B 交于i C （0,1i =）. 在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00B P 为半径作圆弧 00P Q 交10C B 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，10C Q 为半径作圆弧 01Q P 交1B A 的延长线于1P ；以1B 为圆心，11B P 为半径作圆弧 11P Q 交10B C 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，01C Q 为半径作圆弧 10Q P '，交0AB 的延长线于0P '. 试证：（1） 点0P '与点0P 重合，且圆弧 00P Q 与 01P Q 相内切于0P ； （2） 四点0011,,,P Q Q P 共圆.【证明】（1）显然0000B P B Q =，并由圆弧 00P Q 和 01Q P ， 01Q P 和 11P Q ， 11P Q 和 10Q P '分别相内切于点011,,Q P Q ，得1000C B B Q C P +=,11111001B C C P B C C Q +=+以及0100.C Q C B B P '=+ 四式相加，利用11101000B C C B B C C B +=+以及0P '在00B P 或其延长线上，有0000B P B P '=.从而可知点0P '与点0P 重合。
由于圆弧 10Q P 的圆心0C ,圆弧 00P Q 的圆心0B 以及0P 在同一直线上，所以圆弧 10Q P 和 00P Q 相内切于点0P . （2）现在分别过点0P 和1P 引上述相应相切圆弧的公切线0P T 和1P T 交于点T.又过点1Q 引相应相切圆弧的公切线11R S ，分别交0P T 和1P T 于点1R 和1S .连接01P Q 和11P Q ，得等腰三角形011P Q R 和111P Q S . 基于此，我们可由()()0110111111010101110 P Q P P Q R P Q S P P T Q P P P PT Q P P ππ∠=-∠-∠=-∠-∠-∠-∠而 011101110P Q P Q P P Q P P π-∠=∠+∠，代入上式后，即得()011100112P Q P P P TP P Tπ∠=-∠+∠.同理可得()001100112P Q P P P T P P T π∠=-∠+∠.所以四点0011,,,P Q Q P 共圆.二、（本题满分50分）已知无穷数列{}n a 满足y a x a ==10,，1111--+++=n n n n n a a a a a ,,2,1=n .1) 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数？ 2) 求通项n a . 【解】1) 我们有2111111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -+--+--=-=++，1,2,.n = （2.1）所以，如果对某个正整数n ，有1n n a a +=，则必有 21n a =, 且 10n n a a -+≠.如果该1n =，我们得1y = 且 x y ≠-.（2.2）如果该1n >，我们有121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------+---=-=++, 2n ≥ （2.3）和121212121(1)(1)11n n n n n n n n n a a a a a a a a a --------++++=+=++, 2.n ≥ （2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得222121212111n n nn n n n a a a a a a a ---------=⋅++, 2.n ≥ （2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或1x = 且 y x ≠-. （2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当2n ≥时，必有n a =常数，且常数是1或－1. 2）由（2.3）和（2.4），我们得到1212111111n n n n n n a a a a a a -------=⋅+++, 2.n ≥ （2.7）记11n n n a b a -=+, 则当2n ≥时，2232122322334334()()n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b ------------======由此递推，我们得到12111111n n F F n n a y x a y x --⎛⎫---⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 2,n ≥（2.8）这里12n n n F F F --=+，2n ≥, 011F F ==. （2.9）由（2.9）解得111122n n n F ++⎛⎫⎛⎫⎛+-⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. （2.10） 上式中的n 还可以向负向延伸，例如120,1F F --==.这样一来，式（2.8）对所有的0n ≥都成立.由（2.8）解得21212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n F F F F n F F F F x y x y a x y x y --------+++--=++---, 0n ≥. （2.11）式（2.11）中的12,n n F F --由（2.10）确定.三、 （本题满分50分）解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-.66,20,6,2444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x 【解】 令 ,,p x z q xz =+=我们有222333444222,3,42,p x z q p x z pq p x z p q q =++=++=++-同样，令 ,,s y w t yw =+=有222333444222,3,42.s y w t s y w st s y w s t t =++=++=++-在此记号系统下，原方程组的第一个方程为2p s =+. （3.1）于是2233244344,6128,8243216,p s s p s s s p s s s s =++=+++=++++现在将上面准备的234,,p p p 和234,,s s s 的表达式代入，得2222333324422442232244,336128,42428243216,x z q y w t s x z pq y w st s s x z p q q y w s t t s s s ++=++++++=+++++++-=++-++++利用原方程组的第二至四式化简，得222223221, (3.2)244, (3.3)224121625, q t s pq st s s p q q s t t s s s =+-=++--=-+++- (3.4)将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得 1.2s t =- （3.5）将（3.5）代入（3.2），得5 2.2q s =- （3.6）将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得 2.s = 所以有 0,4, 3.t p q === 这样一来，,x z 和,y w 分别是方程2430X X -+=和220Y Y -=的两根 即3,1x z =⎧⎨=⎩ 或 1,3x z =⎧⎨=⎩且2,0y w =⎧⎨=⎩ 或 0,2.y w =⎧⎨=⎩详言之，方程组有如下四组解：3,2,1,0x y z w ====；或 3,0,1,x y z w ====；或 1,2,3,0x y z w ====；或 1,0,3,2x y z w ====.。
2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案
2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案（2006年9月2日上午8：30——11：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个A.360B.252C.720D.240解：末位是0的数共有个45A -34A ，末位是2或4的数共有2(3414A A -2313A A )个.由加法原理，共有45A -34A +2(3414A A -2313A A )=252个.2.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]A.2005B.2006C.2007D.2008解：3+n a =2+n a -1+n a =(1+n a -n a )-1+n a =-n a ,因此，对n ≥1，n a +1+n a +2+n a +3+n a +4+n a +5+n a =0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为1a ，即1a =2006， 于是前2006项的和等于1a +2a =2007.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B.3 C.43 D.23 解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此434363121=⨯⨯⨯=V 4.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+Λ(n ∈N +), 则n a a a 242+++Λ被3除的余数是A.0B.1C.2D.不能确定解：n a a a a 2420++++Λ=21[n n 22)42()42(+-++]=21[n n 2226+] n a a a 242+++Λ=n n n 22124)13(2-+-≡n n 21211)1(-⨯--=-2≡1(mod3).所以选(B).5.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>23(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则B C三角形ABC 完全被覆盖，这时若在三角形ABC 内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n 的最小值是11，所以选(C).二、填空题（每题8分共40分） 6.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ，则ξ的数学期望E ξ= 解：ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9 P(ξ=1)=2833⨯, P(ξ=2)=28233⨯⨯,P(ξ=3)=28223⨯⨯,P(ξ=4)=2833⨯, P(ξ=6)=28223⨯⨯,P(ξ=9)=2822⨯, E ξ=2833⨯×1+28233⨯⨯×2+28223⨯⨯×3+2833⨯×4+28223⨯⨯×6+2822⨯×9=827=3.375. 7.在锐角三角形ABC 中，设tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B 为锐角，所以tanB ≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则C 2cos =21x +，所以A 2tan =C 2tan 9=1cos 192-C=x x -+1)1(9 所以cos(B+C-A)=cos(π-2A)=-cos2A=1-2A 2cos =1-A 2tan 12+=x x 4554++, 即f(x)=x x 4554++. 8.∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i 的末三位数是_______解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[1002i +100i+9][1002i +100i+21] =100002i 2)1(+i +3000i(i+1)+189≡189(mod1000).所以∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i ≡∑=1001189i =189×100≡900(mod1000).所以末三位是9009.集合A 中的元素均为正整数，具有性质：若A a ∈，则12-A a ∈， 这样的集合共有 个.解：从集合A 的性质可得，A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此符合要求的A 共有16C +26C +36C +46C +56C +66C =62-1=63个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形 ，若存在，C 点的坐标是 . 解：设所求抛物线方程为)0(22>=p px y ，由弦长|AB|=1168建立关于p 的方程. 解得 p=112或p=-1124(舍去)，故抛物线方程为x y 1142=. 设AB 的中点为D(x 0,y 0)，抛物线上存在满足条件的点C(x 3,y 3)，由于△ABC 为正三角形.所以CD ⊥AB ，|CD|=23|AB|=11312.由CD ⊥AB 得111533=-y x ① 由1124|1|11312||33=-+=y x CD 得② 解①②得11253=x ，1114,111111033-===y x y 或 )1114,111(-但点不在抛物线上.故抛物线上存在一点(1125,1110) 三、解答题（每题25分共75分）11.三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3,两两外切且均内切于⊙O ，从⊙O 上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.证明：设三个小圆的半径为r ，大圆的半径为R ，并设三个小圆切大圆于A 、B 、C ，P 是大圆上任意一点，由于三角形ABC 是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P 向⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3所引三条切线的切点分别是A T ,B T ,C T ,设线段PA ，PB ，PC 分别交⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3于D ，E ，F ，连结PO,OB,EO 2，易得⊿POB ∽⊿EO 2B ，由此得PB PE =R r R -⇒PE=R r R -×PB, 同理PD=R r R -×PA, PF=R r R -×PC, 因此C B PT PT +=R r R -(PB+PC)=Rr R -PA=A PT . 12.设a,b,c ∈(1,+∞)，证明：2(b a a b +log +c b b c +log +a c c a +log )≥cb a ++9. 证明：∵a,b,c ∈(1,+∞)，log b a,log c b,log a c,都是正数，并且它们的乘积等于1， ∴b a a b +log +c b b c +log +a c c a +log ≥33))()((log log log a c c b b a c b a a c b +++⋅⋅=3))()((3a c c b b a +++, 又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥33))()((a c c b b a +++,∴3))()((1a c c b b a +++≥)()()(3a c c b b a +++++=)(23c b a ++, ∴b a a b +log +c b b c +log +ac c a +log ≥)(29c b a ++, 即 2(b a a b +log +c b b c +log +a c c a +log )≥cb a ++9. 13.有5对孪生兄妹参加k 个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小值.解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹，首先考虑(3)，不妨设A只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.然后继续编组，考虑使同组的人尽可能地多，而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中，只有从B,C,D,E和b,c,d,e各抽一人（非孪生关系），把这两个人与a搭配，编成四组：Bac,Cab,Dae，Ead才能保证k最小.最后将余下的没有同组的非孪生关系的每两人编成一组，即为Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc,Eb,Ec，共8组，因此符合规定的k的最小值是14.。
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
全国高中数学联赛山西省预赛及参考答案5
全国高中数学联赛山西省预赛试题解答一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、在集合{}1,2,3,,2011A =中，末位数字为1的元素个数为 ．答案：202．解：将集合{}0001,0002,,2011A =中的每个数都截去其末位数字，都会得到集合{}000,001,,199,200,201B =中的数，而A 中形如1abc 的数，皆可看成由B 中的元素abc 后面添加数字1而得到；故A 中形如1abc 的元素个数，等于B 的元素个数，即202个． 2、椭圆2222153x y +=的焦点为12,F F ，如果椭圆上的一点P 使12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为 ．答案：9．解：易知128F F =，1210PF PF +=，所以2212()10PF PF +=，在直角12PFF ∆中，222128PF PF +=，由以上两式得，1212192PF F S PF PF ∆=⋅=． 3、数列{}n a 满足：11a =，2212122,3,1k k k ka ak a a +-==≥；则其前100项的和为： 100S = ．答案：503(61)5-． 解：212122222212122122126,6k k k k k k k k k k k ka a a a a aa a a a a a +++++--+=⋅==⋅=，121,2a a ==，所以， 112126,26k k k k a a ---==⋅，100123499100()()()S a a a a a a =++++++501501336(61)5k k -===-∑．4、若41,61n n ++都是完全平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：20．解：41,61n n ++都是奇平方数；设261(21)4(1)1n m m m +=+=++，则32(1)n m m =+，而(1)m m +为偶数，所以4n ，设4n k =，则41161n k +=+，61241n k +=+，当1,234k =时，41,61n n ++不同为平方数，而当5k =，即20n =时，4181,61121n n +=+=皆为平方数，因此正整数n 的最小值是20．5、函数25y x =-的最大值是 ． 答案：6524．t =，则612304(113)14y x x =-+=--+223656546142244t t t ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号． 6、如图，单位正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别是棱11111,,AA C D D A 的中点，则点1B 到EFG 所在平面的距离为 ．解一、补形法，如图，过,,E F G 的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直平分正方体的对角线1B D，而1B D ， 所以1B 到面EFG的距离h =． 解二：等体积法，易知1111111113114488B FG B A G BC FD FG S S S S =---=---=， 而点E 到平面1B FG 的距离012h =，所以11011316EB FG B FG V h S ==．又222222111111113()1442EF EA A F EA A D D F =+=++=++=，即EF =GF GE ==，2221cos 22GE GF EF EGF GE GF +-∠==-⋅，0120EGF ∠=，则01sin1202EGF S GE GF ∆=⋅=1B 到面EFG 的距离为h ，则 111163EB FG EGF V h S ∆==⋅=，所以h =． 7、2000sin 130sin 70cos80+= ．1A E答案：34． 解：22sin 130sin 70cos80cos 40sin 70sin10+=+0000000001cos8011sin 70sin10(cos70cos10sin 70sin10)sin 70sin10222+=+=+-+0000011113(cos 70cos10sin 70sin10)cos 6022224=++=+=． 8、如果四位数abcd 的四个数码满足a b c d +=+，就称其为“好数”；例如2011就是一个“好数”．那么，“好数”的个数是 ． 答案：615．解：由于19,0,,9a b c d ≤≤≤≤，记k a b c d =+=+，则118k ≤≤． 当19k ≤≤，则上式中的a 可取{}1,,k 中的任意值，c 可取{}0,1,,k 中的任意值，而当,a c 取定后，,b d 便随之确定，因此满足k a b c d =+=+的四位数abcd 有(1)k k +个； 从而满足9k ≤的四位数abcd 共有91(1)330k k k =+=∑个；当1018k ≤≤，由k a b c d =+=+知，,,,a b c d 皆不能为0，令1110,10a a b b =-=-，1110,10c c d d =-=-，则11111,,,9a b c d ≤≤，记11111k a b c d =+=+，则1210k ≤≤，且四位数abcd 与四位数1111a b c d 一一对应．上式中的1a 及1c 皆可取{}11,,1k -中的任意值，而当11,a c 取定后，11,b d 便随之确定，因此满足11111k a b c d =+=+的四位数1111a bc d 有21(1)k -个，从而满足1210k ≤≤的1111a bc d 共有110922121(1)k k k k ==-=∑∑个，即满足1018k ≤≤的四位数abcd 共有921285k k ==∑个．故“好数”的个数是330285615+=．二、解答题（共3题，合计70分）9、（20分）三角形ABC 三个内角的度数满足：13A B B C ==； 求cos cos cos T A B C =++的值．解：设,3,9A B C θθθ===，由39θθθπ++=，得13πθ=．cos cos3cos9cos cos3cos 4T θθθθθθ=++=+-2222cos cos 22cos 212cos 22cos 211θθθθθ=-+>-+=．22222(cos cos3cos9)cos cos 3cos 92cos cos3T θθθθθθθθ=++=+++2cos cos92cos3cos9θθθθ++1cos 21cos 61cos8222θθθ+++=++ (cos 2cos 4)(cos8cos10)(cos6cos12)θθθθθθ++++++；而cos cos3cos9cos12cos10cos 4T θθθθθθ=++=---，所以22T T -=33(cos 2cos 4cos6cos8cos10cos12)θθθθθθ++++++， 又令cos 2cos 4cos 6cos8cos10cos12P θθθθθθ=+++++，则2sin (sin3sin )(sin5sin3)(sin 7sin5)(sin9sin 7)P θθθθθθθθθ⋅=-+-+-+-(sin11sin9)(sin13sin11)sin θθθθθ+-++-=-，所以12P =-．从而2332322T T -=-=，即24230T T --=，由于1T >，解此方程得T =． 10、（25分）如图，,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 上的点，且0DE AB F =，00,EFBC D FD CA E ==；证明：,,AD BE CF 三线共点， 当且仅当000,,D E F 三点共线．证明：据梅尼劳斯定理，000,,D E F 三点共线， 当且仅当0000001AE CD BF E C D B F A⋅⋅=； 而据塞瓦定理，,,AD BE CF 三线共点， 当且仅当1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=． 因直线0D EF 截ABC ∆，得到01BD CE AF EA FB D C ⋅⋅=，所以，00CD CE AF D B EA FB=⋅， 同理，由直线0E DF 截ABC ∆得，00CE CD BFE A DB FA=⋅，由直线0F DE 截ABC ∆得，00BF BD CEF A DC EA=⋅．因此，2000000AE CD BF BD CE AF E C D B F A DC EA FB ⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭； 由于该等式中的一端取值为1当且仅当其另一端也取值为1，故结论得证．11、（25分）20个巫师孤岛聚会．在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其余九个巫师的诅咒．证：20个巫师，共可作成320C 个“三巫组”，每个组至少诅咒过一人，故被诅咒过的巫师至少有320C 人次，设W 是受到诅咒最多的一个巫师，他被m 个“三巫组”诅咒过，则 3205720C m ≥=，若这m 个“三巫组”中，总共含有k 个巫师，这k 人共可作成3k C 个“三巫组”，因此，357k C m ≥≥，注意到，当3k ≥时，组合数3k C 严格递增； 因为33895657,8457C C =<=>，由此得9k ≥．。
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为002n x y ±==.显然有001x n x +=。
…（5分）若),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则001mmk x x =+. …（10分） 记001mm mk x x =+，则 101101()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，22220020011()22k x x n x x =+=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001mm m k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m mk x x =+，使得12-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . ………………… （20分）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1） 当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2） 进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
最新全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
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2006年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为A. 20B. 25C. 30D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年全国高中数学联赛试题及答案
2006年全国高中数学联合竞赛试题1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥，则△ABC 一定为( )A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为( )A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x <<3. 已知集合{}50A x x a =-≤，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为( )A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 5.设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为( )A ．200620061(108)2+B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108-二.填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为______.9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为_______. 10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_______.11.方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++= 的实数解的个数为12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三. 解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点.试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m m y x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.15. 设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2006年全国高中数学联赛试题及解答
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1． 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2． 答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2006年全国高中数学联赛试题及详细解析
2006年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x <<B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】（ ）5. 设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .9. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l ：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.11. 方程20062420042005(1)(1)2006x x x x x +++++=的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （考试时间：上午10：00—12：00）一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于C i （i =0，1）。
2006年全国高中数学联赛加试题另解
当 p > q 时 ,有两个不动点
x1 ,2 = p ± p - q .
即 C1 N + B 0 M = C1 B 0 . 又因为 B 0 K = B 0 M ,所以 , C1 K = C1 N .
1 π - ∠AC1 B 0 ) , 则 ∠N KC1 = ( 2
在已知递推关系式两边同时减两个不动 点 ,化简得
an =
Ζ an - 1 = 1 或 an - 2 = 1. 0 0 依次往前递推知 x = 1 或 y = 1.
( ii ) 当 α= - 1 时 , a n0 = - 1. 于是 ,
an0 = an0 - 1 a n0 - 2 + 1 a n0 - 1 + a n0 - 2
( x + 1) ( y + 1) ( y - 1) + ( x - 1) . ( x + 1) Fn - 2 ( y + 1) Fn - 1 - ( x - 1) Fn - 2 ( y - 1) Fn - 1
= β. 易知
图1
对于 ⊙C0 ,由弦切角定理得 ∠Q1 P0 N =
1 ∠Q1 C0 P0 ; 2 1 ∠P0 B 0 Q0 . 2
对于 ⊙B 0 ,由弦切角定理得 ∠Q0 P0 N =
∠P0 Q0 P1 = ∠P0 Q0 B 0 + ∠P1 Q0 C1
故 ∠Q1 P0 Q0 = ∠Q1 P0 N - ∠Q0 P0 N
2
B 0 C0
2
C0 B 1 - C1 B 1
2 C0 B 1
2
+
B 0 C1 + C1 B 1
2
= B 0 C0 ,
故 ∠P1 Q0 P0 = ∠P1 Q0 C1 + ∠B 0 Q0 P0
2006年数学全国卷一(含答案)
焊接自动化提高产品质量和生产效率焊接是一种常见的金属加工技术，广泛应用于汽车制造、船舶建造、航空航天等各个领域。
传统的焊接方式主要靠工人手工操作，存在人为因素的干扰，因此容易出现质量不稳定和生产效率低下的情况。
为了解决这些问题，焊接自动化技术应运而生。
焊接自动化可以提高产品质量、提高生产效率，并且减少人力成本，受到广泛关注和应用。
焊接自动化通过引入机器人、自动化设备和智能控制系统，实现焊接过程的自动化，能够对焊接过程进行精确控制，提高焊接质量和生产效率。
焊接自动化可以分为多种应用形式，包括焊接机器人、焊接自动化生产线、焊接自动化装备等。
这些应用形式的不断完善和更新，为生产企业带来了更加灵活、高效和稳定的焊接生产方式。
焊接自动化可以提高产品质量。
传统手工焊接存在许多问题，比如焊接接头尺寸不一致、焊缝不均匀、焊接变形等，都会影响产品质量。
而引入焊接自动化技术后，可以实现焊接参数的精确控制，并且通过智能化系统进行监控和调节，确保焊接质量的稳定性和一致性。
这样能够减少人为因素的干扰，消除焊接缺陷，提高产品质量。
焊接自动化可以提高生产效率。
手工焊接需要工人进行反复操作，工艺繁琐耗时，而引入焊接自动化技术后，可以实现焊接过程的自动化和连续化。
焊接机器人可以根据预设程序进行自动作业，焊接速度快、效率高，而且可以连续工作24小时，极大地提高了生产效率。
焊接自动化技术还可以减少人力成本，节约时间和人力资源，降低生产成本，提高生产效益。
焊接自动化还可以提升生产安全性。
焊接作业过程中会产生大量有害气体和金属粉尘，对操作人员健康造成威胁。
而焊接机器人能够代替人工进行高温、高强度的焊接作业，有效降低了安全风险，保障了工人的健康和安全。
在实际应用中，焊接自动化技术已经得到了广泛的应用。
在汽车制造领域，焊接自动化已经成为汽车车身焊接的主要生产方式，能够满足大规模生产和高质量焊接的需求。
在航空航天领域，焊接自动化技术也被广泛应用于飞机和航天器的制造中，能够满足高品质、高精度的焊接要求。
2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为( )A.＜x＜1B.x＞，x≠1C.x＞1D.0＜x＜13.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为( )A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为( )A. B. C.[1,) D.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( )A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是____.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为____.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为____.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为____.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为____.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步，设对任意1≤i，j≤5有|xi -xj|≤2，问当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.参考答案一、选择题1. 已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（C）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定[解]令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D，由，推出，令，代入上式，得，即，也即.从而有.由此可得.2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为(B)A.＜x＜1B.x＞，且x≠1C.x＞1D.0＜x＜1 [解]因为，解得x＞，x≠1，由，解得0＜x＜1；或，解得x＞1，所以x的取值范围为x＞，且x≠1.3.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为(C)A.20B.25C.30D.42[解].要使A∩B∩N={2,3,4}，则，即，所以数对(a,b)共有.4.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(A)A. B. C.[1,) D.[解]建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1,0,0)(0＜t1＜1)，E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)(0＜t2＜1).所以，.因为GD⊥EF，所以t1+2t2=1，由此推出0＜t2＜.又，，从而有.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的(A)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[解]显然为奇函数，且单调递增.于是若a+b≥0，则a≥-b，有f(a)≥f(-b)，从而有f(a)+f(b)≥0.反之，若f(a)+f(b)≥0，则f(a)≥-f(b)=f(-b)，推出a≥-b，即a+b≥0.6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为(B)A. B.C.102006+82006D.102006-82006[解]出现奇数个9的十进制数个数有.又由于以及，从而得.二、填空题7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是[0,].[解].令t=sin2x，则.因此，，即得.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为[-,].[解]依题意，得(对任意实数θ成立)故a的取值范围为[-,].9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为.[解]由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A(-8-2,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1∽△AF2P，即.(1)又由圆幂定理，|AP|2=|AF1|·|AF2|.(2)而从而有.代入(1),(2)得.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水（)πcm3.[解]设四个实心球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为的正方形.所以注水高为1+.故应注水.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为1.[解](x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005.要使等号成立，必须，即x=±1.但是x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.[解]第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.[证明]因为y2=nx-1与y=x的交点为，显然有.若(x0m,ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则.记，则，(m≥2)(13.1)由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，是正整数.现在对于任意正整数m，取，使得y2=kx-1与y=x的交点为(xm，ym).14.将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和，记，问：(1)当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最大值；(2)进一步地，设对任意1≤i，j≤5有|x i -x j |≤2，问当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最小值. 说明理由.[解](1)首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值.若x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006，且使取到最大值，则必有|x i -x j |≤1，(1≤i，j≤5). (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x 1-x 2≥2.则令，有.将S 改写成.同时有.于是有.这与S 在x 1,x 2,x 3,x 4,x 5时取到最大值矛盾.所以必有|x i -x j |≤1，(1≤i,j≤5).因此当x 1=402，x 2=x 3=x 4=x 5=401取到最大值. (2)当x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006且|x i -x j |≤2时，只有 (I)402，402，402，400，400； (II)402，402，401，401，400； (III)402，401，401，401，401； 三种情形满足要求.而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的.根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在x 1=x2=x3=402，x4＝x5=400情形取到最小值.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.[证明](1)如果a＜-2，则.(2)如果-2≤a≤，由题意f1(0)=a，f n(0)=(f n-1(0))2+a，n=2,3,…，则①当0≤a≤时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，.②当-2≤a＜0时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，有-|a|=a≤f k(0)=(f k-1(0))2+a≤a2+a，注意到当-2≤a＜0时，总有a2≤-2a，即a2+a≤-a=|a|，从而有|f k(0)|≤|a|，由归纳法，推出.=f n(0)，则对于任意n≥1，且(3)当a＞时，an.对于任意n≥1，，则. 所以，.当时，，即f n+1(0)＞2.因此.综合(1)(2)(3)，我们有.。
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2006年全国高中数学联赛山西预赛试题与答案（2006年9月2日上午8：30——11：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个A.360B.252C.720D.240解：末位是0的数共有个45A -34A ，末位是2或4的数共有2(3414A A -2313A A )个.由加法原理，共有45A -34A +2(3414A A -2313A A )=252个.2.已知数列{n a }(n ≥1)满足2+n a =1+n a -n a ，且2a =1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]A.2005B.2006C.2007D.2008 解：3+n a =2+n a -1+n a =(1+n a -n a )-1+n a =-n a , 因此，对n ≥1，n a +1+n a +2+n a +3+n a +4+n a +5+n a =0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为1a ，即1a =2006， 于是前2006项的和等于1a +2a =2007.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是060，又侧棱与底面所成的角都是045，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B.3C.43 D.23 解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此434363121=⨯⨯⨯=V 4.若n n n x a x a x a a x 2222102)42(++++=+ (n ∈N +), 则n a a a 242+++ 被3除的余数是A.0B.1C.2D.不能确定解：n a a a a 2420++++ =21[n n 22)42()42(+-++]=21[n n 2226+]n a a a 242+++ =n n n 22124)13(2-+-≡n n 21211)1(-⨯--=-2≡1(mod3).所以选(B).5.在边长为12的正三角形中有n 个点，用一个半径为3的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n 的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>23(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的. 如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是3.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则B C三角形ABC 完全被覆盖，这时若在三角形ABC 内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n 的最小值是11，所以选(C). 二、填空题（每题8分共40分）6.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ，则ξ的数学期望E ξ= 解：ξ可能取的值是1,2,3,4,6,9P(ξ=1)=2833⨯, P(ξ=2)=28233⨯⨯,P(ξ=3)=28223⨯⨯,P(ξ=4)=2833⨯, P(ξ=6)=28223⨯⨯,P(ξ=9)=2822⨯,E ξ=2833⨯×1+28233⨯⨯×2+28223⨯⨯×3+2833⨯×4+28223⨯⨯×6+2822⨯×9=827=3.375. 7.在锐角三角形ABC 中，设tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B 为锐角，所以tanB ≠0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则C 2cos =21x +，所以A 2tan =C 2tan 9=1cos 192-C=x x -+1)1(9所以cos(B+C-A)=cos(π-2A)=-cos2A=1-2A 2cos =1-A 2tan 12+=xx 4554++, 即f(x)=xx4554++. 8.∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i 的末三位数是_______解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[1002i +100i+9][1002i +100i+21] =100002i 2)1(+i +3000i(i+1)+189≡189(mod1000). 所以∑=++++1001)]910)(710)(310)(110[(i i i i i ≡∑=1001189i =189×100≡900(mod1000).所以末三位是9009.集合A 中的元素均为正整数，具有性质：若A a ∈，则12-A a ∈， 这样的集合共有 个.解：从集合A 的性质可得，A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某几个的并集，因此符合要求的A 共有16C +26C +36C +46C +56C +66C =62-1=63个. 10.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|=1168.在抛物线上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形 ，若存在，C 点的坐标是 .解：设所求抛物线方程为)0(22>=p px y ，由弦长|AB|=1168建立关于p 的方程. 解得 p=112或p=-1124(舍去)，故抛物线方程为x y 1142=.设AB 的中点为D(x 0,y 0)，抛物线上存在满足条件的点C(x 3,y 3)，由于△ABC 为正三角形.所以CD ⊥AB ，|CD|=23|AB|=11312.由CD ⊥AB 得111533=-y x ① 由1124|1|11312||33=-+=y x CD 得② 解①②得11253=x ，1114,111111033-===y x y 或)1114,111(-但点不在抛物线上.故抛物线上存在一点(1125,1110)三、解答题（每题25分共75分）11.三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3,两两外切且均内切于⊙O ，从⊙O 上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.证明：设三个小圆的半径为r ，大圆的半径为R ，并设三个小圆切大圆于A 、B 、C ，P 是大圆上任意一点，由于三角形ABC 是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P 向⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3所引三条切线的切点分别是A T ,B T ,C T ,设线段PA ，PB ，PC 分别交⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3于D ，E ，F ，连结PO,OB,EO 2，易得⊿POB ∽⊿EO 2B ，由此得PB PE =R rR -⇒PE=Rr R -×PB, 同理PD=R r R -×PA, PF=Rr R -×PC,因此C B PT PT +=R r R -(PB+PC)=Rr R -PA=A PT .12.设a,b,c ∈(1,+∞)，证明：2(b a a b +log +cb bc +log +a c c a +log )≥c b a ++9.证明：∵a,b,c ∈(1,+∞)，log b a,log c b,log a c,都是正数，并且它们的乘积等于1，∴b a a b +log +c b b c +log +a c c a +log ≥33))()((log log log a c c b b a c b a a c b +++⋅⋅=3))()((3a c c b b a +++,又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥33))()((a c c b b a +++,∴3))()((1a c cb b a +++≥)()()(3ac c b b a +++++=)(23c b a ++, ∴b a a b +log +c b b c +log +a c c a +log ≥)(29c b a ++, 即 2(b a a b +log +cb bc +log +a c c a +log )≥c b a ++9.13.有5对孪生兄妹参加k 个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小值.解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹，首先考虑(3)，不妨设A只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.然后继续编组，考虑使同组的人尽可能地多，而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中，只有从B,C,D,E和b,c,d,e各抽一人（非孪生关系），把这两个人与a搭配，编成四组：Bac,Cab,Dae，Ead才能保证k最小.最后将余下的没有同组的非孪生关系的每两人编成一组，即为Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc,Eb,Ec，共8组，因此符合规定的k的最小值是14.。