北师大版数学必修2课时跟踪检测：(二十二)圆的一般方程
2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：第二章 2.2 圆的一般方程 课后课时精练 Word版含解析
时间：25分钟1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16 D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16 答案 C解析 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方得：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 答案 A解析 由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12－m .∵该方程表示圆，∴12－m >0，即m <12.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎨⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2，故选D.4．过A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点分别代入，得⎩⎨⎧－D ＋5E ＋F ＝－26，5D ＋5E ＋F ＝－50，6D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故选C.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A. 5 B ．3＋5 C ．14－6 5 D ．14＋65答案 D解析 由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为(－2)2＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22 C ．1 D.2 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 7．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，∴(a ＋1)2＋(a －1)2－(a ＋1)＋(a －1)－4>0，即2a 2－4>0，∴a >2或a <－ 2.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．答案 5解析 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.9．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________．答案 －3或7解析 设A ，B ，C 三点所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意得⎩⎨⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，即⎩⎨⎧5D ＋F ＋25＝0，D －F －1＝0，3D －3E －F －18＝0.解得D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由点D (a,3)在圆上知a 2＋9－4a －253×3－5＝0，即a 2－4a －21＝0，解得a ＝－3或7.10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题设x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2. ∴D ＋E ＝－2.①又A (4,2)，B (－1,3)在圆上， ∴16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③由①②③解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.。
北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §2 22 含解析
第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0.12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332.(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4， 由条件知，圆的半径是3，所以3＝12 (3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932.12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F .所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4. 因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB |所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。
高中数学必修2(北师版)第二章2.2 圆与圆的方程(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
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2.圆的切线
描述： 圆的切线长 过|P圆M外| =一√点−(x−P−0(−x−−0−a,−y)2−0 )−+−向(−y−圆0−−−M−b−)−作2 ，两切条线切长线，|P其H中| =圆√心−|MP−−M−|−2的−−−坐−r标 −2 ．为 (a, b)
，如图，
圆的切线方程
1. 过圆外一点 P (x0 , y0 ) 的圆的切线方程：设切线方程为 y − y0 = k(x − x0 )，与圆的方 程联立，根据 Δ 即可求出 k 的值；也可根据圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值．特别
若方程 x2 + y 2 + ax + 2ay + 2a2 + a − 1 = 0 表示圆，则 a 的取值范围为______．
解：−2 < a <
2． 3
配方得
(x +
a
2
)
2
+ (y + a)2
=−
3a2 4
− a + 1，由
−
3a2 4
−a+1 > 0
得
−2 < a <
2． 3
△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−1, 5)、B(−2, −2)、C(5, 5)，求其外接圆方程． 解：设所求圆的方程为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，由题设得方程组
⎧ a = ±b,
⎩⎨
5a − 3b r = |a|,
=
8,
得
⎧ a = 4, ⎧ a = 1,
⎩⎨
b r
= =
4, 4,
或
⎩⎨
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习 北师大版必修2
2.2 圆的一般方程A组1.若圆的方程为(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为()A.(1,-1)B.C.(-1,2)D.解析:将圆的方程化为+(y+1)2=,即可得到圆心坐标为.答案:D2.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析:能将圆平分的直线必过圆心,将圆方程x2+y2-2x-4y+1=0化成标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,知圆心坐标为(1,2),代入四个选项中,只有C符合.故选C.答案:C3x,y的方程x2+mxy+y2+2x-y+n=0表示的曲线是圆,则m+n的取值范围是()A.B.C.D.解析:依题意应有所以于是m+n<.答案:A4.经过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程是()A.x2+y2-4y-6=0B.x2+y2-4x-4y-6=0C.x2+y2-4x-6=0D.x2+y2-4x+4y+6=0解析:设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有解得故所求圆的方程是x2+y2-4x-6=0.答案:C5.方程x(x2+y2-4)=0与x2+(x2+y2-4)2=0表示的曲线()A.都表示一条直线和一个圆B.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆C.都表示两个点D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点解析:x(x2+y2-4)=0⇒x=0或x2+y2-4=0,x2+(x2+y2-4)2=0⇒x=0且y=±2.故选D.答案:D6.圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为.解析:已知圆的圆心坐标为(1,1),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y-2=0的距离d=.答案:7.动圆x2+y2-2x-k2+2k-2=0的半径的取值范围是.解析:由已知得半径r=,由于(k-1)2≥0,(k-1)2+2≥2,所以r≥,即r的取值范围是[,+∞).答案:[,+∞)8.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.解析:由于圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1),又由圆与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2或-(舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=19C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程.解:AB的中点为,且中垂线的斜率k=-1,∴AB的中垂线的方程为y-=-,令x=0,得y=2,即圆心为(0,2).∴圆C的半径r=|CA|=.∴圆的方程:x2+(y-2)2=5,即x2+y2-4x-1=0.10.已知点P在圆C:x2+y2-4x+3=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),点O的坐标为(0,0),由中点坐标公式,得x=,y=,于是x0=2x,y0=2y.①∵点P在圆(x-2)2+y2=1上,∴点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,即(x0-2)2+=1.②把①代入②,得(2x-2)2+(2y)2=1.整理,得(x-1)2+y2=.∴点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=.B组1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圆与x轴相切于原点,则()A.D=0,E=0,F≠0B.D=0,E≠0,F=0C.D≠0,E=0,F=0D.D=0,E≠0,F≠0解析:圆心在y轴上,所以D=0,又圆与x轴相切于原点,所以F=0,E≠0.答案:B2.已知圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为()A.(1,1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)解析:∵r=,∴当S最大时,k=0,此时圆心坐标为(0,-1).答案:D3.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()A. B.- C.3 D.-3解析:圆心为(k,0),在直线2x-y+3=0上,所以2k-0+3=0,所以k=-,故选B.答案:B4A,B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0答案:B5.已知圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点,其圆心为P,若∠APB=90°,则实数c的值是()A.-3B.3C.2D.8解析:圆x2+y2-4x+2y+c=0化成标准方程,得(x-2)2+(y+1)2=5-c,所以圆的圆心为P(2,-1),半径r=.因为圆与y轴交于A,B两点,满足∠APB=90°,所以r=2,解得c=-3.答案:A6.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a=.解析:若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是,则-=-,解得a=±.答案:±7x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.解析:x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d==5>r=3,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6.答案:68.一圆经过A(4,2)和B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2,求该圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.同理,圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E,由题设-D-E=2,①又点A,B在圆上,所以16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0,③由①②③联立,解得D=-2,E=0,F=-12.即所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.9.已知一曲线上的点与定点O(0,0)的距离和定点A(3,0)的距离的比是,求此曲线的方程,并说明此曲线表示的图形.解:设点M(x,y)是曲线上的任意一点,则点M属于集合.由两点间的距离公式,得.化简得x2+y2+2x-3=0,①这就是所求的曲线方程.把方程①的左边配方,得(x+1)2+y2=4.所以曲线是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.。
(北师大版)数学必修二达标练习：2.2.2圆的一般方程(含答案)
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课堂达标·效果检测1.下列方程一定能表示圆的是( )A.x2+y2+2x+1=0B.x2+y2+2ay-1=0C.x2+y2+20x+121=0D.x2+y2+2ax=0【解析】选B.在A中原方程可化为(x+1)2+y2=0，它表示点(-1，0)，不表示圆. 在B中原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1，它表示圆心为(0，-a)，半径为的圆.在C中原方程可化为(x+10)2+y2=-21<0，它不表示任何曲线，故不能表示圆.在D中原方程可化为 (x+a)2+y2=a2.①当a=0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(-a，0)为圆心，半径为|a|的圆.2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是( )A.<m<1B.m>1C.m<D.m<1【解析】选D.由42+(-2)2-4×5m>0得m<1.3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y-1=0的距离为( )A.2B.C.1D.【解析】选D.圆心为(1，-2)，到直线的距离为d==.4.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示的图形是________.【解析】由题意配方得(x+a)2+(y+b)2=0，所以方程表示点(-a，-b).答案：点5.点A(1，0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上，则a的值为__________.【解析】依题意得：所以所以a=-2.答案：-26.求过点A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将A，B，C三点坐标代入整理得解得所以所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.关闭Word文档返回原板块。
北师大高中数学必修二课后作业24圆的一般方程 含解析
课后作业(二十四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3[解析] 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)， 所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1,2)， 即－3＋2＋a ＝0，所以a ＝1. [答案] B2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.[答案] C3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( ) A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆C ．一个点D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆 [解析] (2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)，当a ＝b ＝0时，方程表示一个点； 当a ≠0或b ≠0时方程表示一个圆． [答案] D4．已知两点A (0,3)，B (－4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最大值为( )A ．13B ．3 C.132D.32[解析] 圆的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(0,1)，半径为1.直线AB 的方程为x －4＋y3＝1，即3x －4y ＋12＝0，|AB |＝32＋(－4)2＝5.圆心到直线AB 的距离为d ＝|－4＋12|5＝85，∴P 到直线AB 的距离的最大值为85＋1＝135，∴S △ABP 的最大值为S ＝12×5×135＝132，故选C.[答案] C5．动点P 到点A (8,0)的距离是到点(2,0)的距离的2倍，那么点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16 [解析] 设P (x ，y )，根据题意有2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.[答案] B6．过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且垂直于x ＋2y ＋11＝0的直线方程是__________________．[解析] 圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心为(3，－2)，直线x ＋2y ＋11＝0的斜率为－12，则所求直线的斜率为k ＝2，故所求直线方程为y ＋2＝2(x －3)，即2x －y －8＝0. [答案] 2x －y －8＝07．圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0关于直线x ＋y ＋1＝0对称的圆的方程为__________________．[解析] 圆C 的方程可化为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(4，－2)，半径r ＝1.设所求的圆为(x －a )2＋(y －b )2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a －4×(－1)＝－1，a ＋42＋b －22＋1＝0，即⎩⎨⎧a －b ＝6，a ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－5.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y ＋5)2＝18．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．[解析] r 2＝1＋(m －1)2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π.[答案] 34π9．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程． [解] (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0.10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋(m －2)x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小； (2)圆心距离坐标原点最近．[解] 因为(m －2)2＋(m ＋1)2－4(m －2)＝2m 2－6m ＋13＝2⎝⎛⎭⎪⎫m －322＋172>0恒成立，所以无论m 为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－m 2，－m ＋12，圆的半径r ＝12 2m 2－6m ＋13.(1)当圆的半径最小时，圆的面积最小． r ＝122m 2－6m ＋13＝122⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋172≥344， 当且仅当m ＝32时，等号成立，此时面积最小．所以当圆的面积最小时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－54，半径r ＝344.(2)圆心到坐标原点的距离d ＝122⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋92≥324，当且仅当m ＝12时，圆心到坐标原点的距离最近．此时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－34，半径r ＝424. 应试能力等级练(时间25分钟)11．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22[解析] l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离 d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.[答案] A12．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.[答案] D13．若A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m,3)在⊙M 上，则m ＝________.[解析] 设过A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，(－1)2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，(－3)2＋32－3D ＋3F ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点D (m,3)在⊙M 上， 所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7. [答案] －3或714．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．[解析] 圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.[答案] 515．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．[解] (1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0,0)，C (4,0)． 设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)． 由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝3(x －4)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)．所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3,0)与(6,0)]．(2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3.。
北师大版必修二 圆的一般方程 课时作业
2020-2021学年北师大版必修二 2.2圆的一般方程 课时作业一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x 2(1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32(x≠3且x≠1)，y＝y0＋02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．。
北师大版数学高一必修二课后训练 圆的一般方程
高中数学北师大版必修二课后训练2.2.2 圆的一般方程1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()．A．(1，－1) B.1,1 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．(－1,2) D.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()．A．0＜m＜1 B．m＞1C．m＜0 D．m＜13．(2011安徽高考，文4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()．A．－1 B．1C．3 D．－34．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于()．A．8 B．－4C．6 D．无法确定5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()．A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝06．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________________．8．若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________9．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值．10．求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．参考答案1. 解析：将圆方程化为212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋(y ＋1)2＝454， 即可得到圆心坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭.答案：D2．解析：由D 2＋E 2－4F ＝42＋(－2)2－4×5m ＝20－20m ＞0，得m ＜1. 答案：D 3. 解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，可得圆心(－1,2)． ∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a ＝0，可得a ＝1.答案：B4. 解析：因为圆上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而32m -+＝0，即m ＝6. 答案：C5. 解析： ∵x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，∴圆心C (－1,0)．又过点C 的直线与x ＋y ＝0垂直，∴其斜率为1.∴所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.答案：C6. 解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y )，则114,22,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即1124,22,x x y y =-⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A7. 解析：依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 半径r ＝|AC |＝2235(24)22⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴圆的方程为(x ＋2)2＋223522y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0.答案：x 2＋y 2＋4x －3y ＝08. 解析：圆的半径r ＝221144(12)45222a a a a +---=++＝21(2)482a ++，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小．答案：－29. 解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a －b ＋1＝0.∵22(2)(2)a b -+-表示点(a ，b )与点(2,2)的距离， ∴22(2)(2)a b -++的最小值为421541+-=+，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10. 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① ∵圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，则有164420,1930,D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即42200, 3100. D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩②③令①中的x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，由韦达定理得y1＋y2＝－E.令①中的y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－D.由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x1＋x2＋y1＋y2＝2，即－E－D＝2，也就是D＋E＋2＝0.④由②③④可得2,0,12. DEF=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。
高中数学必修二北师大版学案2.2 圆的一般方程(学生版)
课题：圆的一般方程☆学生版☆
学习目标.会求圆的一般方程；
、会应用圆的一般方程求圆的标准方程及圆心和半径。
学习重点：掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。
学习难点：二元一次方程与圆的一般方程的关系。
一、自主学习
.圆的一般方程
（）当时，方程叫做圆的一般方程，它表示圆心为，半径为的圆。
（）当时，方程表示一个点。
（）当<时，方程。
.课前检测：
下列方程能否表示成圆？若能表示圆，求出圆心和半径。
()；
() ；
()；
()。
.
思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
.用待定系数法求圆的一般方程步骤：
①选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于、、或、、的方程组；
③解出、、或、、，代入标准方程或一般方程。
三、合作探究
★探究一：求过点（，），且圆心与已知圆：相同的圆的方程。
★★探究二：求过三点（，），（，），（，）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标。
跟踪练习：已知圆过点（），（，），且圆心到直线的距离为，求这个圆的方程。
★★★探究三：判断方程能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径。
四、课堂检测
课本页习题。
北师大版高中数学高一必修2作业 第二章2.2 圆的一般方程
[学业水平训练]1.方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( )A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B ．以(1，2)为圆心，11为半径的圆C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D ．以(－1，2)为圆心，11为半径的圆解析：选D.由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11.所以方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示圆心为(－1，2)，11为半径的圆．2.圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1，2) D ．(－12，－1) 解析：选D.由(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，化简得x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0， 圆心为(－12，－1)． 3.已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(－1，1)解析：选A.由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0， 得圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2 ＝124－3k 2. 所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－k 2，－22)，即(0，－1)，故选A.4.已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：选B.把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a －1)2>0(0<a <1)，所以点(0，0)在圆外．5.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心为(－1，2)，代入直线3x ＋y ＋a ＝0中，得a ＝1.6.点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．解析：因为点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a 2＋3a －3＝0，（－2a ）2＋02－4（a 2＋3a －3）＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2或a ＝1，a ＜1，所以a ＝－2. 答案：－27.动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是________．解析：因为x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0可化为(x －1)2＋y 2＝k 2－2k ＋3， 所以半径r ＝k 2－2k ＋3 ＝（k －1）2＋2≥ 2.答案：[2，＋∞)8.若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a ＝________．解析：若方程x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0的曲线关于直线y ＝x 的对称曲线仍是其本身，则它是一个圆心在此直线上的圆，而圆心坐标是(－a 22，－1－a 22)， 则－a 22＝－1－a 22，解得a ＝±22. 答案：±229.求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10.设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程．解：(1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (2，0)，半径r ＝3.(2)由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.[高考水平训练]1.如果过A (2，1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0解析：选A.由x 2＋y 2－2x －4y ＝0配方得，(x －1)2＋(y －2)2＝5.因为所求直线l 将圆平分，故直线过圆心(1，2)，则直线l 的方程为y －12－1＝x －21－2， 即x ＋y －3＝0.2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝1，则圆心为(2，0)，所以(x 2＋y 2)max ＝(22＋0＋1)2＝9. 答案：93.设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)．4．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2，3)．(1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．解：(1)因为点P (a ，a ＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4，5)，所以|PQ|＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.因为圆的半径是22，所以点Q在圆外，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。
(北师大版)高中数学必修2检测2.2.1圆的标准方程 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．圆心为(－)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径＝＝，又圆心为(－，)，故圆的方程为(＋)＋(－)＝，故选.答案：．经过(－)，()，(，－)三点的圆的标准方程是( )．(＋)＋＝．(＋)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝解析：由已知条件可得，线段的垂直平分线方程为－＝(－)，即＝－，线段的垂直平分线方程为－＝－，这两条直线的交点坐标为()，又由＝，可得过三点，，的圆的标准方程为(－)＋＝.答案：．过点(－)和点()，且圆心在轴上的圆的方程是( )．＋(＋)＝．＋(－)＝．(－)＋＝．(＋)＋＝解析：∵圆心在轴上，∴可设方程为(－)＋＝.由条件知(\\((－－(＋＝，,(－(＋＝，))解得(\\(＝，＝.))故方程为(－)＋＝.答案：．方程＝表示的曲线是( )．一个圆．一条射线．半个圆．两条射线解析：方程＝化为＋＝(≥)，因此该方程表示的曲线是圆＋＝位于轴上方的部分(包括与轴的两个交点)，是半个圆．答案：二、填空题(每小题分，共分)．圆(＋)＋(＋)＝关于原点对称的圆的方程是．解析：圆(＋)＋(＋)＝的圆心坐标为(－，－)，半径为，关于原点对称的圆的圆心坐标为()，半径不变，所以所求圆的方程为(－)＋(－)＝.答案：(－)＋(－)＝．已知△的顶点(－)，()，在圆(－)＋(－)＝上移动，则△面积的最小值为．解析：∵＝为定长．∴当△的高即到的距离最小时，△最小．又圆心为()，半径为，所以此时的坐标为()，△的最小值为.答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知一个圆的圆心为点(－，－)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点(－)，(，－)，(，－)和圆的位置关系．解析：因为圆心是(－，－)，且经过原点，所以圆的半径＝＝，所以圆的标准方程是(＋)＋(＋)＝.因为＝＝＝＜，所以(－)在圆内；因为＝＝，所以(，－)在圆上；因为＝＝＞，所以(，－)在圆外．．已知圆心在直线－－＝上的圆与轴交于两点(，－)，(，－)，求圆的标准方程．解析：法一：由圆心在直线－－＝上，可设圆心坐标为(－)，由题意得圆心到两点、的距离相等，即＋(－)＝＋(－)，解得＝，所以圆心坐标为(，－)，圆的半径长＝＝，所以所求圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.法二：圆的圆心在弦的垂直平分线＝－上，由(\\(－－＝，＝－，))得(\\(＝，＝－，))即为所求圆的圆心坐标，半径长＝＝.所以所求圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.法三：设所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝，则由条件可得(\\((－(＋(－－(＝,(－(＋(－－(＝－－＝))，解得(\\(＝，＝－，＝.))所以所求圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.☆☆☆。
北师版数学必修2：第2章 §2 2.2 圆的一般方程 学业分层测评
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.2πB.2πC.22πD.4π【解析】圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝2，∴周长＝2πr＝22π.【答案】 C2.如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为()A.x＋y－3＝0B.x＋2y－4＝0C.x－y－1＝0D.x－2y＝0【解析】由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－2 1－2，即x＋y－3＝0.【答案】 A3.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()【导学号：39292105】A.2B.1＋ 2C.2＋22 D.1＋2 2【解析】圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最大值为1＋ 2.【答案】 B4.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0【解析】 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1,2)， ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.【答案】 C5.若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3，0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2＝25(y ≠0)B.x 2＋y 2＝25C.(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D.(x －2)2＋y 2＝25 【解析】 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0).【答案】 C二、填空题6.以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______.【导学号：39292106】【解析】 由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.【答案】 x 2＋y 2－4x －6＝07.已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取。
北师大版必修2练习2.2.2 圆的一般方程 Word版含解析
．圆的一般方程时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．方程＋＋－－＝表示的图形是( )．以(，－)为圆心，为半径的圆．以()为圆心，为半径的圆．以(－，－)为圆心，为半径的圆．以(－)为圆心，为半径的圆答案：解析：将＋＋－－＝整理为标准方程(＋)＋(－)＝.．若方程＋－＋＋＝表示圆，则实数的取值范围是( )．＜．＜．＞．≤答案：解析：方程＋－＋＋＝，变形为(－)＋(＋)＝－，方程表示圆，∴－＞，即＜.．圆＋－＋＋＝的圆心到直线－＝的距离为( )．．答案：解析：因为圆心坐标为(，－)，所以圆心到直线－＝的距离＝＝.．如果圆＋＋＋＋＝(、、不全为零)与轴相切于原点，那么( )．＝＝，≠．＝，≠，≠．＝＝，≠．＝＝，≠答案：．方程－＝所表示的曲线是( )．一个圆．两个圆．一个半圆．两个半圆答案：解析：方程可化为(－)＋(－)＝，又－≥，所以≥或≤－.若≤－，方程为(＋)＋(－)＝；若≥，方程为(－)＋(－)＝.方程表示两个半圆．．若直线：＋＋＝始终平分圆：＋＋＋＋＝的周长，则(－)＋(－)的最小值为( )．．．答案：解析：由题意，得直线过圆心(－，－)，则－－＋＝，则＝－＋，所以(－)＋(－)＝(－)＋(－＋－)＝＋≥，所以(－)＋(－)的最小值为.二、填空题(每小题分，共×＝分)．若方程＋＋＋＋＝表示以(，－)为圆心，半径等于的圆，则＝，＝，＝.答案：－解析：因为圆心(，－)，＝，所以圆的标准方程为(－)＋(＋)＝，整理得＋－＋＋＝.∴＝－，＝，＝.．圆＋＝上的点到点()的距离的最大值是，最小值是．答案：解析：由题意，知圆＋＝的圆心为()，半径＝.圆心()到点()的距离＝＝，直线与圆相交于两点，显然这两点中的其中一个与点的距离最近，另一个与点的距离最远，所以距离的最大值为＋＝＋＝，最小值为－＝－＝.．已知圆＋＋－＋＝关于直线＝＋成轴对称，则－的取值范围是．答案：(－∞，)解析：由题意，知直线＝＋过圆心，而圆心坐标为(－)，代入直线方程，得＝.将圆的方程化为标准方程为(＋)＋(－)＝－，所以<，所以－<.三、解答题(共分，＋＋)．圆心在直线－－＝上的圆与轴交于(，－)，(，－)两点，求圆的方程．解：设圆的方程为＋＋＋＋＝.又圆心在直线－－＝上，∴×－－＝，即－＋＝.①又点(，－)，(，－)在圆上，∴(\\(－＋＝－＋＝))，②由①②，解得＝－，＝，＝.∴圆的方程为＋－＋＋＝.．求经过两点()，(－)，且在两坐标轴上的四个截距之和为的圆的方程．解：设圆的一般方程为＋＋＋＋＝，令＝，得＋＋＝，所以圆在轴上的截距之和为＋＝－；令＝，得＋＋＝，所以圆在轴上的截距之和为＋＝－；由题设，＋＋＋＝－(＋)＝，所以＋＝－.①又()、(－)两点在圆上，所以＋＋＋＋＝，②＋－＋＋＝，由①②③可得＝－, ＝, ＝－，故所求圆的方程为＋－－＝.．已知以点为圆心的圆经过点(－)和()，且圆心在直线＋－＝上．设点在圆上，求△的面积的最大值．解：∵线段的中点为()，直线的斜率为，∴线段的垂直平分线的方程为－＝－(－)，即＝－＋.联立(\\(＝－＋＋－＝))，解得(\\(＝－＝))，即圆心为(－)，则半径＝＝.又＝＝，∴圆心到的距离＝＝，∴点到的距离的最大值为＋＝＋，∴△的面积的最大值为××(＋)＝＋.。
2017-2018学年高中数学北师大2课时跟踪检测(二十二)圆的一般方程含解析
课时跟踪检测（二十二）圆的一般方程层级一学业水平达标1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2）(y＋4）＝0，则圆心坐标为( ）A．(1，－1) B。
错误!C．(－1，2) D。
错误!解析：选D 将圆的方程化为标准方程,得错误!2＋(y＋1）2＝错误!,所以圆心为错误!。
2．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（1,1) B．(1，－1)C．（－1,0）D．（0,－1)解析:选D 由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0得2＋（y＋1)2＋错误!k2－1＝0，错误!即错误!2＋（y＋1）2＝1－错误!k2。
若表示圆,则r2＝1－错误!k2>0，∴当k2＝0,r最大为1,此时圆的面积最大．此时圆心为（0,－1)．3．如果过A(2,1）的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分,则l的方程为( )A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0解析：选A 由题意知直线l过圆心（1，2)，由两点式可得直线方程为x＋y－3＝0.4．若圆x2＋y2－6x－8y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为错误!，则a的值为（)A．－2或2 B.错误!或错误!C．2或0 D．－2或0解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为（3,4)．再由点到直线的距离公式得错误!＝错误!，解得a＝2或a＝0.5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，那么l的方程是( )A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析:选D l为两圆圆心的垂直平分线,两圆圆心为（0，0)和(－2，2)，其中点为(－1，1),垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝x＋1即x－y＋2＝0.6．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2,－4)为圆心,4为半径的圆，则F＝________.解析：由题意,知D＝－4,E＝8,r＝错误!＝4，∴F＝4。
北师大版数学高一必修2检测圆的一般方程
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列方程中表示圆的是( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0 B ．x 2＋y 2－2xy ＋y ＋1＝0 C ．x 2＋2y 2－2x ＋4y ＋3＝0D ．x 2＋2y 2＋4x －12y ＋9＝0解析： A 采用配方的办法可得到圆的方程，B 中含xy 项，C ，D 中x 2，y 2的系数不相等． 答案： A2．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为(－2,3)，半径为4，则D ，E ，F 分别是( ) A ．－4，－6,3 B ．－4,6,3 C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3解析： 由(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，展开得x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，∴D ＝4，E ＝－6，F ＝－3.答案： D3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析： 设M (x ，y )，则M 满足(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.答案： B4．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析： r 2＝4＋k 2－4k 24＝1－34k 2.∴当k ＝0时，r 2最大，从而圆的面积最大． 此时圆心坐标为(－1,0)，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析： 由题意，可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a2代入直线方程，得－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案： －26．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是____________________．解析： 圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝16， 则圆心A (2，－1)．设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20－4x 0＋2y 0－11＝0，又有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1， 代入x 20＋y 20－4x 0＋2y 0－11＝0得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 答案： x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题(每小题10分，共20分)7．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．解析： (1)根据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0， 即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为 (x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)半径r ＝1－5m .8．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，且该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． 解析： 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0.①2D ＋6E －F －40＝0.②设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D . 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E . 由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③ 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx －2y ＝0上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称．(1)求圆心坐标及半径； (2)求△PAB 面积的最大值．解析： (1)因为M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称， 故圆心⎝⎛⎭⎫－k2，1在直线x －y －1＝0上， 则－k2－1－1＝0，k ＝－4，则圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 即(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心坐标为(2,1)，半径为 5.(2)直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，则圆心到直线AB 的距离为|2－1＋2|2＝322，故圆上的点到AB 的最大距离为322＋5＝32＋252，又|AB |＝22，所以△PAB 面积的最大值为 S ＝12|AB |×32＋252＝12×22×32＋252＝3＋10.。
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课时跟踪检测（二十二） 圆的一般方程
层级一 学业水平达标
1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B.⎝⎛⎭⎫1
2，－1 C ．(－1,2)
D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，－1 解析：选D 将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝45
4
，所以圆心为⎝⎛⎭
⎫－12，－1.
2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
解析：选D 由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0得
⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＋34
k 2－1＝0，
即⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2. 若表示圆，则r 2＝1－3
4
k 2>0，
∴当k 2＝0，r 最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)． 3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －y －1＝0
D ．x －2y ＝0
解析：选A 由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得直线方程为x ＋y －3＝0. 4．若圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2
2
，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0
D ．－2或0
解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(3,4)．再由点到直线的距离公式得|3－4＋a |2＝2
2，
解得a ＝2或a ＝0.
5．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，那么l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0
D ．x －y ＋2＝0
解析：选D l 为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，垂直平分线斜率为1，方程为y －1＝x ＋1即x －y ＋2＝0.
6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 解析：由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4.
答案：4
7．若使圆x 2＋y 2＋2x ＋ay －a －12＝0(a 为实数)的面积最小，则a ＝________. 解析：圆的半径r ＝1
2
4＋a 2－4(－a －12)＝1
2
a 2＋4a ＋52＝
1
2
(a ＋2)2＋48，∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小．
答案：－2
8．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝________.
解析：由题意知，圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k
2
＝－1，所以k PQ ＝1.
答案：1
9．已知圆心为C 的圆经过点A (1,0)，B (2,1)，且圆心C 在y 轴上，求此圆的一般方程． 解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b )，由 |CA |＝|CB |得 1＋b 2＝22＋(b －1)2，
解得b ＝2.
∴C 点坐标为(0,2)． ∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5. ∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2－4y －1＝0.
法二：AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12.中垂线的斜率k ＝－1， ∴AB 的中垂线的方程为y －1
2＝－⎝⎛⎭⎫x －32， 令x ＝0，得y ＝2，即圆心为(0,2)． ∴圆C 的半径r ＝|CA |＝ 5，
∴圆的方程：x 2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2－4y －1＝0.
10．某海滨城市的气象台测得附近海面有台风，根据监测，当前台风中心位于该市正南方向300 km 处，若台风以40 km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250 km 以内的区域都受到台风的影响，问从现在起，大约多长时间后，该市将受到台风的影响？该市持续受台风影响将长达多少小时？
解：以该市为原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，如图，由题意知，当台风中心进入圆x 2＋y 2＝2502 内时，该市将受到台风的影响，根据监测，台风中心正沿直线x －y ＝300向东北方向移动．
设直线x －y ＝300与x 轴，y 轴的交点为A ，B ，交圆x 2＋y 2＝2502
于C ，D 两点，作OE ⊥AB ，垂足为E ，
则在Rt △DOE 中，|OE |＝150 2，|OD |＝250， ∴|DE |＝2502－(150 2)2＝50 7. 在Rt △BOE 中，|BE |＝150 2， ∴|BD |＝|BE |－|DE |＝1502－507， |CD |＝2|DE |＝1007.
∴t 1＝1502－50740≈2，t 2＝100740
≈6.6.
故从现在起，大约2 h 后该市受到台风的影响，持续时间大约为6.6 h.
层级二 应试能力达标
1．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)关于直线y ＝x 对称，则有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝F
D ．
E ＝F
解析：选B 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D
2，即D ＝E .
2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的圆与x 轴相切，则有( ) A ．D 2－4F ＝0 B ．D 2－4E ＝0 C ．D ＝E
D ．D 2＋4F ＝0
解析：选A 由于圆与x 轴相切，所以⎪⎪⎪⎪－E 2＝1
2
D 2＋
E 2－4
F ，整理得D 2－4F ＝0.
3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A. 5 B ．3＋ 5 C ．14－6 5
D ．14＋6 5
解析：选D 由题知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，即(x ＋2)2＋(y －1)2＝9上．又圆心(－2,1)到原点的距离为22＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5.
4．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
解析：选D 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为。