江苏省学物理竞赛讲义-7.2振动能量
高中物理竞赛 第四章 振动(Vibration) (共87张PPT)
物体同时参与两分振动：
y
x 1 = A 1cos(ω t + 1)
A2
A
x 2 = A 2cos(ω t + 2) x = x 1+ x 2 = A cos(ω t + ) o
2
1A1
x
合振动的振幅为：
合振动的初相为：
81
旋转矢量法
A
A2
A 2sin2
2
0
1 A1
x
A 1sin1
x
A 2 cos 2 A 1 cos 1
c )为除上述两种情况外的一般情形
x x1
x2
x x1
x2
o
to
t
a)
b)
x x1
x2
o
2
t
1
c)
14
谐振动的位移、速度及加速度位相关系
xav
x
v
a
o • ••
t
T
15
[ 例] 水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为a，以下高度为b。水密度为，木 块密度为，不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。求证 ：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程
k1(x10 x1) k2 (x20 x2 )(3)
由（1）（3）得：k1x1 k2x2 （4）
由（2）（4）得： x2
k1
k1 k2
x
m：F合 mg k（2 x20 x2） k2 x2
k1 x10
k2 x20
o
mg
x
x
k1 x10 x1
k1 x20 x2
mg
80
§4. 2 同方向同频率谐振动的合成
高中物理竞赛讲义(完整版)
高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
【物理竞赛讲义】第06部分 振动和波
第六部分 振动和波第一讲 基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。
谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。
所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。
从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。
运动学参量的相互关系：a = －ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。
两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b 、方向垂直、同频率振动合成。
当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。
高二物理竞赛振动和波动课件
初始条件
☆
x0 x t 0 A cos 7．了解不同频、相互垂直的两个简谐振动的合成结果。
一个可以看做质点的小球系于不可伸长、 能应用相位差和波程差概念分析和确定
另一端连结一个可以视为质点的
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
v0 v t0 Asin 理解半波损失。
并理解其物理意义。 掌握根据已知质点的简谐振动方程 这个物体连同对它施加回复力的物体组成振动系统。
拍的频率为
2 1 2
2 1
Hale Waihona Puke (4)相互垂直、频率之间成整数比的两简谐振动合成
它们的合振动为有一定规律的稳定的闭合曲线， 这种图形称为李萨如图形。
M mgL J J 单位时间内振动的次数称为频率。
(4)相互垂直、频率之间成整数比的两简谐振动合成
2
d t 一个可以看做质点的小球系于不可伸长、
了解阻尼振动和受迫振动，了解位移共振和速度共振。
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
4．理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律
能够作简谐振动的物体，称为谐振子。
理解惠更斯原理和波的叠加原理。
3．掌握简谐振动的基本特征，
它决定振动的振幅和初相位 (2)同频率、相互垂直的两简谐振动的合成，一般为椭圆运动。
另一端连结一个可以视为质点的
能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的微分方程，
2．掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。
理解同频垂直振动的合成。
A
x0 2
v0 2
v d x Asin(t ) Acos(t )
dt
2
速度的相位比位移的相位超前 / 2 。
振动加速度 a 表示振动物体速度变化的快慢程度
2020年高中物理竞赛辅导课件(振动和波基础篇)07波的能量和惠更斯原理(共14张PPT)
P=Swu
u S
u
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。
P = S wu 波的强度 I（能流密度）:通过垂直于波的传 播方向的单位面积的平均能流。
I = wu=
1ρ
2
Aω2 2u
谢谢观看！
惠更斯原理
惠更斯 C.Huygens
惠更斯原理(Huygens, principle)
CB
sin i sin r
=
AB AD
AB
=
u1Δ t u2Δ t
=
u1 u2
=
n2 n1
= n2 1
谢谢观看！
2020高中物理学竞赛 辅导课件
振动与波·基础篇 （含真题练习）
物理竞赛教研组 编制
波 的 能 量
波的能量 波的强度
一、能量密度
dm
取体积元dV，
dV
体元内质量为 dm =ρdV
y = A cosω (t
x u
)
v
=
y t
=
Aω sinω (t
x u
)
dWk
=
1 dmv 2
2
=
1 ρdVAω2 2sinω2
一、惠更斯原理 惠更斯原理：波动所到达的媒质中各点， 都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻 这些子波的包迹便是新的波阵面。
用惠更斯原理确定 下一时刻平面波的波前
t +Δt 时刻的波面
uΔt ... ......
子波波源
t 时刻的波面
用惠更斯原理确定 下一时刻球面波的波前
t +Δt 时刻 的波面
2
(t
x u
物理竞赛--振动和波复习
1 cos 0
3
cos
2
1(m)
tan 0
Asin 0 A cos0
3
0 3或4 3 据题意 0 3
27
[解法二] 因为x x1 x2 cos t 3 cos( t 2)
x
12
3
2
1 cos t
12 32123来自32sint
2 1 cos t 3 sin t
0
作t=0时刻矢量图
AArr22
ArAr
20
x2
100
rr AA11
x
x1
x
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
tan 0
A s in 0 Acos 0
A1 sin10 A1 cos 10
A2 sin20 A2 cos 20
注意:
Asin0 0
Acos0
0 (0,
xB 5
5cm
2;
5 4
5
Acos(
2
)
Asin
振动方程为: x 5
2
cos(
4
t
5 4
)cm
v x
t 6s
t 4s
5
2
4
sin(4
t
5 4
)
vA v0 5
2
4
sin
5 4
A
B
o
x
5 cm s1
4
t0
t 2s
习题集p50题2. 如图为用余弦函数表示的一质
点作谐振动曲线, 振动圆频率为
E1212kkAx22mEp1022ckoA12s2k2cA(o2s02t(120mt)02 A) 2
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-7.2振动能量
7.2振动能量一、水平弹簧振子平衡位置时，弹性势能为0，动能为212k m E mv =；振动幅度最大处，动能为0，弹性势能为212p E kA =。
由于振动过程中机械能守恒，因此：221122m E mv kA ==。
任意时刻t 时，总能量为：222222222111111sin ()cos ()222222m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==上式推导中利用了ω=二、竖直弹簧振子设弹簧原长l 0，劲度系数k ，重物质量为m ，平衡时弹簧伸长x 0，某时刻，弹簧伸长x 。
1、以弹簧原长处为零势能点（包括重力势能和弹性势能）221122E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点（包括重力势能和弹性势能） 22200111()222E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得22011()22E mv k x x =+- 上式的物理意义为：竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”，“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置，即伸长x 0长度处。
“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性势能和重力势能。
三、几种特殊的振动形式1、阻尼振动由于受到阻力作用，振幅不断减小，但周期不变2、受迫振动在周期性的外力作用下发生的振动。
受迫振动的周期等于外力的周期。
3、共振当外力的周期与系统的固有周期相同，系统发生共振。
理想情况下，共振的振幅和能量可以无限的增加，趋近于无穷大。
实际上，由于阻力存在，振动的振幅会达到某个确定值，这个值与阻力有关例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。
其中第一个小球向左偏转一个小角度α，第二个球（同一平面内）向右偏转α/2。
两球同时释放，经过时间t后发生弹性对心碰撞。
问碰撞后经过多少时间，挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?例2、如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，x o＝10 cm；v o＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律．例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3gL．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1)系统振动周期；(2)铁块从击中开始向上运动的最大位移；(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间．例4、平台A质量为m，由劲度系数为k的弹簧支持。
高二物理竞赛课件振动
CVV
Nk (V )2 eV / T
T
在常温范围，振动自由度对热容量的贡献接近
于零，其原因可以这样理解，在常温范围双原子 分子的振动能级 kV 远大于 kT 。由于能级分 立，振子必须取得 能量才有可能跃迁到激发 态。在 T V 的情形下，振子取得 的热运动 能量而跃迁到激发态的概率是极小的。因此平均
Z1rO
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 1,3,
Z1rP
l (l 1)r
(2l 1)e T
l 0,2,4,
氢的转动配分函数的对数可表为
ln Z1r
3 4
ln
Z1rO
1 4
ln
Z1rP
氢的转动特征温度 r 85.4K
在常温下
T r
有近似
1
l 0,2,
l 1,3,
2 l 0,1,2,
N
2
Ne
1 e
N
2
N
e 1
CVV
U V ( T )V
Nk( )2
kT
e (e kT
kT
1) 2
引入振动特征温度 V kV 则内能和热容量表述为
U V NkV
2
NkV
V T
e 1
CVV
Nk(V
T
)2
eV T (eV T 1)2
在常温下有 T V ，因此内能和热容量近似为
U V NkV 2 NkV e V / T
2I 2l 1
因此转动配分函数为
Z1r
l (l 1)2
(2l 1)e 2IkT
l 0
引入转动特征温度 r kr 2 2I
配分函数
Z1r
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
高二物理竞赛课件：振动
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位（举例略）
6
三、简谐运动的能量
（1） 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例：将m向左移动到x0自静止释放，此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1，)
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
-高二物理竞赛简谐振动的能量课件
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin(t ) x A cos(t )
Ek
1 mv2 2
1 kA2 sin2 ( t )
Hale Waihona Puke 2Ep1 2
kx 2
1 kA2 cos2 ( t )
2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
解：(1)
2
tan A1 sin1 A2 sin 2 7 81.9
A1 cos1 A2 cos 2
例6.三个同方向的简谐振动分别为
式x1 中 t3以co秒s(计8t ， 3x4以)厘, x米2 计4。co(s1()8求t x14和),x2x合3 振3动co的s(振8t 幅 和3 ) 初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，则3取何值？ 如果x2和x3合成振幅最小，则3取何值？
y A2
cos (
2
1
)
s in 2
(
2
1
)
为椭圆方程.
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos( 2
1)
sin2 ( 2
1 )
两相互垂 直同频率 不同相位 差简谐振 动的合成
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 对于两个频率不相同的谐振动，其相位差
(2 1 )t (2 1 )
解：(2) x1和x3合成振幅最大, x1和x3同相
3
1
3
4
x2和x3合成振幅最小, x1和x3反相
3
2
5
4
或 3
2
3
4
一、 阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
高二物理竞赛简正振动课件
Ｃ Ｃ
）
三 键
Ｃ Ｎ
２０５０ ２２４０
Ｒ２Ｃ＝Ｏ
双
ＲＨＣ＝Ｏ
键
Ｃ＝Ｃ
１７１５ １７２５ １６５０
伸
Ｃ－Ｏ
１１００
缩
Ｃ－Ｎ
指
振 动
Ｃ－Ｃ
１０００ ９００
纹
Ｃ－Ｃ－Ｃ
＜５００
吸 收 带
变 形 振
Ｃ－Ｎ－Ｏ Ｈ－Ｃ＝Ｃ－Ｈ
５００ ９６０（反）
动
Ｒ－Ａr－Ｈ
６５０－９００
Ｈ－Ｃ－Ｈ
１４５０
3. 双原子分子的振动光谱
模型：简谐振子
(r)
与势能uij对应
势能
V
1 2
k(r
re )2
1 2
kx2
re：平衡距离 x：分子核间距与平衡核间距之差
k：力常数，表示化学鍵的强弱。
Schrödinger方程
属二阶线性齐次方程。
4. 红外光区的划分 0.0005nm γ射线
种特性完全有
zt = ct-cte
5m
6.
400nm
不同种类的分子放在一起，现在没有找到一种有效的标识方法加以区分、鉴别。
可 见 光
设多原于分子有N个核，每个核都在各自的平衡位置附近不停地振动。
区
* 吸电子诱导效应使振动吸收频率升高。
0.75 µm 分子的振动能级（量子化）：
常数，即取决于分子的结构特征。
简正振动
简正振动
1、双原子分子的简谐振动及其频率 化学键的振动类似于连接两个小球的弹簧
分子的振动能级（量子化）：
E振
（n
1 )h 2
n ：振动量子数；
高二物理竞赛课件：谐振动的能量
F 2 y
船在竖直方向做简谐振动， 其角频率和周期为
Sg , T 2π 2π m
m
gS
出
例 一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把其中的两
条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振动系统的 频率。
解：
每一份 k1 k2 k3 3k
弹簧串联公式 1 1 1 1
以水平弹簧振子为例
系统机械能守恒： 1 mv2 1 kx2 E
2
2
1 m( dx )2 1 kx2 E 2 dt 2
(dx )2 k x2 2E 2E k dt m m k m
k 2, 2E A2
m
k
( dx )2 2x2 2 A2
dt
返回 退出
( dx )2 2x2 2 A2
dt
dx ( A2 x2 )1/2
dt
( A2
dx x2 )1/ 2
dt
x
dx
t
dt
x0 ( A2 x2 )1/ 2 0
arcsin x arcsin x0 t
A
A
x Asin(t 0)
0
arcsin
x0 A
x Acos(t 0 )
0
0
π 2
返回 退出
例 劲度系数为k，原长为L，质量为 m的均匀弹 簧，一端固定，另一端系一质量为m ( > m )的物
返回 退出
§10-2 阻尼振动 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作
用下所做的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼：消耗振动系统能量的原因。
阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体 速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，
高一物理竞赛力学：《振动能量与共振》
)(cos 21212222ϕωω+==t A m kx E p振子的总能量为：2222121kA A m E E E p K ==+=ω简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x 的比值k以及振幅A 都是恒量，即221kA 是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。
由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功221kx （图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x 应指振子离开平衡位置的位移，则p E 就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即221kx E p =，回F kxxxO图5-3-122x E k p =。
另有22mx E m kp ==ω 也可用总能量和振幅表示为22mx E p =ω5．3．2、阻尼振动简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。
实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。
这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。
阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c 为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv ，设m 运动在任一x 位置，由x m F α=∑有x x cv kx m --=α分为 022=++x w nv a x x（17）式中m cn 2=这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
②阻尼对振动的影响图5-3-2由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。
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7.2振动能量
一、水平弹簧振子
平衡位置时，弹性势能为0，动能为212
k m E mv =
；振动幅度最大处，动能为0，弹性势能为212p E kA =。
由于振动过程中机械能守恒，因此：221122m E mv kA ==。
任意时刻t 时，总能量为：
222222222
111111sin ()cos ()222222
m E mv kx mA t kA t mv kA ωωϕωϕ=+=+++==
上式推导中利用了ω=
二、竖直弹簧振子
设弹簧原长l 0，劲度系数k ，重物质量为m ，平衡时弹簧伸
长x 0，某时刻，弹簧伸长x 。
1、以弹簧原长处为零势能点（包括重力势能和弹性势能）
221122
E mv kx mgx =+- 2、以弹簧平衡位置为零势能点（包括重力势能和弹性势能）
22200111()222
E mv kx kx mg x x =+--- 利用0mg kx =可得
22011()22
E mv k x x =+- 上式的物理意义为：竖直弹簧振子的能量可以看成动能加“等效弹性势能”，“等效弹性势能”的零势能点为平衡位置，即伸长
x 0长度处。
“等效弹性势能”包括了通常意义的弹性
势能和重力势能。
三、几种特殊的振动形式
1、阻尼振动
由于受到阻力作用，振幅不断减小，但周期不变
2、受迫振动
在周期性的外力作用下发生的振动。
受迫振动的周期等于外力的周期。
3、共振
当外力的周期与系统的固有周期相同，系统发生
共振。
理想情况下，共振的振幅和能量可以无限的增加，趋近于无穷大。
实际上，由于阻力存在，振动的振幅会达到某个确定值，这个值与阻力有关
例1、两个相同的小球用长度一样的细线挂在同一个钩子上。
其中第一个小球向左偏转一个小角度α，第二个球（同一平面内）向右偏转α/2。
两球同时释放，经过时间t后发生弹性对心碰撞。
问碰撞后经过多少时间，挂第二个球的线又再一次偏转α/2角度?
例2、如图所示，弹簧振子系统中M＝2kg，k＝100 N／m，t＝0时，x o＝10 cm；v o＝0，在h＝1 cm高处有一质量为m=0.4 kg的小物体下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落在M上，且无反弹，试求此后两物体一起运动的规律．
例3、不能发生形变的天花板上悬挂着一只轻弹簧，弹簧下端挂着的一铁块处于静止状态，这时弹簧伸长量为L，在离铁块的正下方1.5L处有一弹簧枪口，从枪口射出质量等于铁块质量的橡皮泥做成的子弹，初速度v＝3gL．子弹击中铁块和铁块一起振动起来，求：(1)系统振动周期；(2)铁块从击中开始向上运动
的最大位移；(3)铁块从开始振动到第一次达到最大速度所需时间．例4、平台A质量为m，由劲度系数为k的弹簧支持。
弹簧上端
与A相连，下端与地面相连，物体B质量也为m，自由的放在
平台中心。
现用竖直向下的力F=把弹簧压下（在弹
性限度内）当系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况以
及各自达到的最大高度。
例5、
*例6：两条柔软的弹性绳中间连着一个小球，绳的另一端分别固定在同一竖直线上的O，O′点，上下绳的劲度系数分别为k1=0.8N/m，k2=1.2N/m。
小球静止不动时位于C点，此时上下绳分别伸长了
l1=0.08m，l2=0.03m。
现在将小球沿竖直方向拉到与平衡位置C 距离为l3=0.08m处，然后轻轻释放。
求小球从释放开始到第一次回该释放点所需要的时间。
（g=10m/s2）。