人教版高数选修2第1讲：命题与充要条件(教师版)

命题与充要条件____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________１理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。

２理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容。

３会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。

４理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。

５能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。

1．命题能判断真假的语句叫做命题．四种命题表述形式原命题：若p，则ｑ逆命题：若q，则p否命题：若非p，则非q逆否命题：若非q，则非p2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．(3)存在性命题的符号表示形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．5．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真6．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x) ∃x∈M，非p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，非p(x)7．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．8．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．类型一命题的四种形式及其关系例1：已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题【解析】命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．【答案】 D练习1：给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（）A.0个B.2个C.3个D.4个【解析】在四种命题中原命题和逆否命题同真假,故只需判断原命题和逆命题的真假即可．原命题为真．所以逆否命题为真．逆命题为“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d”,显然错误．所以否命题也错误．故真命题个数为2．【答案】 B练习2：命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【解析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”。

【答案】 C类型二 含有逻辑联结词命题真假的判断例2：设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真B ．非q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真【解析】 由于函数y=sin2x 的最小正周期为π，故命题P 是假命题；函数y=cosx 的图象关于直线x=k π对称，k ∈Z ，故q 是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为是假命题 考查四个选项，C 选项正确， 【答案】 C练习１【2015高考新课标1，理】：设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为()A.2,2n n N n ∀∈> B.2,2n n N n∃∈≤ C.2,2n n N n∀∈≤D.2,=2n n N n∃∈【解析】 全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.【答案】 C练习2：已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x＋2－x在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(非p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(非p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4【解析】 选C.p 1为真命题，p 2为假命题，∴非p 1为假命题，非p 2为真命题．故选C. 【答案】 C例3：判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，x －y ∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.【解析】 (1)真命题，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2符合题意．(3)假命题，如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N.(4)真命题，如x 0＝0，y 0＝3符合题意． 【答案】 真命题，真命题，假命题，真命题。

练习3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)s ：至少存在一个实数x ，使x 3＋1＝0.【解析】 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．(2)非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题，因为当x ＝－1时，x 3＋1＝0.【答案】 非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题。

非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题。

类型三 充要条件的判断例4：设集合m ＝{x |x >2}，p ＝{x |x <3}，那么“x ∈m 或x ∈p ”是x ∈p ∩m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】“x ∈m 或x ∈p ”即x ∈R ，而x ∈p ∩m 即x ∈(2,3)．∴x ∈p ∩m ⇒x ∈m 或x ∈p ，但x ∈m 或x ∈p 推不出x ∈p ∩m .【答案】B练习1：给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ② “a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________． 【解析】 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得sin aA＝sin b B ，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．【答案】 ①④练习2【2015高考湖北，理】：设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 充分性：若命题ｐ成立，不妨设数列的公比为，则根据柯西不等式，当1n n a a q -=，时，命题ｑ成立，因此充分性成立；必要性：当0n a =时，命题ｑ成立，而12,n a a a L 不为等比数列，即命题ｐ不成立，故必要性不成立。

综上，ｐ是ｑ的充分条件，但不是ｑ的必要条件。

故本题正确答案为A 【答案】 A类型三 求参数的取值范围例5：已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】方法1：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴非p ：A ＝{x |x >10或x <－2}，非q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m }． ∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴A ⇒B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2.解得0<m ≤3.方法2：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B ⇒A .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2.解得0<m ≤3.【答案】0<m ≤3练习1：已知命题p ：函数log 0．5(x 2+2x+a)的值域为R ，命题q ：函数y=-(5-2a)x是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a<2C ．1<a<2D ．a ≤1或a ≥2【解析】 分别求命题P 为真命题的a 的范围，命题q 为真命题的a 的范围；根据p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，得到命题p ，q 中有一个真命题，一个假命题，分命题p 为真命题且命题q为假命题和命题q 为真命题且命题p 为假命题两类求出a 的范围．本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况．解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x 2+2x+a 的判别式△=4-4a ≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，5-2a ＞1⇒a ＜2．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题．若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1＜a ＜2。