2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1-1-2导数的概念习题新人教A版选修2_2
高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析
5.1.2 导数的概念及其几何意义基础过关练题组一 导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二 导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三 求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一 导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二 导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三 求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案 2解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析 Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案 2x+y-5=0解析 由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案 2x-y-1=0解析 设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析 Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案 6解析 limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析 f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案 x-y+2=0或x+3y-2=0解析 令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析 由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件 新人教A版选
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华 根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一 点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑 出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2， 所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的 路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0） 趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时 间的瞬时变化率．
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
推荐高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1_1-1-2导数的概念优化练习新人教A版选修2_2
1.1.1-1.1.2 导数的概念[课时作业] [A 组 基础巩固]1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数解析：根据平均变化率的概念知，选A. 答案：A2．函数f (x )在x 0处可导，则li m h→0＋－h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关解析：由导数的概念可知，li mh→0＋－h ＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.答案：B3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则li m Δx→0ΔyΔx等于( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2. ∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx＝2＋Δx .∴li m Δx→0ΔyΔx＝li m Δx→0 (2＋Δx )＝2.故选A.答案：A4．若f ′(x 0)＝－3，则li m h→0＋－－h＝( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12解析：由题意可得： li mh→0＋－－h ＝li mh→0＋－＋－－h＝li mh→0＋－h ＋li mh→0－－－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0) ＝2f ′(x 0)＝－6. 答案：B5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D. 答案：D6．已知一次函数y ＝kx ＋b ，则其在区间[m ，n ]上的平均变化率为________． 解析：Δy Δx＝－n －m＝kn ＋b －km －b n －m＝k ，∴函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为k . 答案：k7．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt＝＋Δ＋8－＋Δt＝7Δt ＋14t ，当li m Δt→0 (7Δt ＋14t )＝1时，t ＝114.答案：1148．若f ′(x 0)＝－3，则li m h→0＋－－h＝________.解析：∵f ′(x 0)＝li m h→0＋－h ＝－3.∴li mh→0＋－－h＝li mh→0＋－＋－－h＝li m h→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋－h ＋3·－－－3h ＝li mh→0＋－h ＋3·li mh→0－－－3h＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：－129．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝li m Δx→0ΔyΔx＝li m Δx→0 (6＋3Δx )＝6. 10．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，求a 的值． 解析：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝a (x ＋Δx )3＋3(x ＋Δx )2＋2－(ax 3＋3x 2＋2)＝3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋a (Δx )3＋6x Δx ＋3(Δx )2，所以Δy Δx ＝3ax 2＋3ax Δx ＋a (Δx )2＋6x ＋3Δx ，所以Δx →0时，Δy Δx →3ax 2＋6x ，即f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103.[B 组 能力提升]1．已知点P (2,8)是曲线y ＝2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：Δy ＝2(2＋Δx )2－2×22＝8Δx ＋2(Δx )2， Δy Δx ＝8Δx ＋ΔΔx＝8＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数8.答案：D2．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定解析：因为k 1＝＋Δ－Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝－－ΔΔx＝2x 0－Δx ，又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定． 答案：D3．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________． 解析：Δv ＝a 3－1，∴Δv Δx ＝a3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21，∴a 2＋a －20＝0，∴a ＝4或a ＝－5(舍去)． 答案：44．已知f ′(x 0)＝li m x→x0－x －x0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li mx→32x －3fx －3的值是________．解析：li mx→32x －x －3＝li m x→32x －＋－x －3＝li mx→32x －x －3＋li mx→3－x －3由于f (3)＝2，上式可化为li mx→3－x －3－3li mx→3－x －3＝2－3×(－2)＝8.答案：85．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．解析：(1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率ΔT Δt ＝－10＝－1610＝ －1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝li m Δt→0120＋Δ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示T ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解析：山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC ＞h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭．。
201x年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及
) B．3x－6 12 D．－3x－6 12
C [∵y＝3x－1 12， ∴y′＝－2×3x－1 13×(3x－1)′ ＝－3x－6 13.]
3．函数y＝ sin2x＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝ u，u＝v2＋1，v＝sin x
[合 作 探 究·攻 重 难]
复合函数的导数
[规律方法] 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣 求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进 行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的
2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合 过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
【导学号：31062030】
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝2x－1 13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－2x－6 14.
第一章 导数及其应用
1.2.2
1.2 导数的计算 基本初等函数的导数公式及导数的运算
法则(二)
学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并 能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作__y＝__f_(_g_(x_)_)_． 思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
新课标高中数学导数和应用教材复习题答案
第一章 导数及其应用 1．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t=时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502kE =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题1.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2xy e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n xy nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26） 1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减.（2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减.（3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减.（4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. （2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-.当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)是减函数.练习（P29） 1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2xx =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x=时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=，得3x =±.注：图象形状不唯一.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-.令2()1230f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x=时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x=时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =. 又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31） 1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<.因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<.因此，函数()24f x x =-是单调递减函数.（4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>.因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减.（2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减. （3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+.令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+.令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-.令2()4830f x x '=-=，得4x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x=时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x=-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x=时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-.由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈.因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减， 2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略 （3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1xe x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <.由（3）可知，1xe x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论： 当0a≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a>，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a>，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x，l x-，则这两个正方形的边长分别为4x，4l x -，两个正方形的面积和为22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>. 因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点. 所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小. 2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6ax =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<. 因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6ax=时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222SRh R ππ=+由2VR h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；（第2题）（第3题）当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R=是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =（负值舍去）.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588Rq p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =. 当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<； 因此，84q=是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元， 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =. 当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时， 利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润. 1．5定积分的概念 练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45） 1、22112()[()2]()ii i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =L .于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+L2231[12]2n n=-++++L 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+ 111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑ 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i in ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）3114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为2331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出31x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50） 1、该物体在0t=到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l lx n n n-∆=-=. 把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆L ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n -上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]ii l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n-上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =L ）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限 细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000tt e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值围. 根据指数函数的性质，当0t>时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000tt e-+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22st dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402Wx dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92. 2、2[]bb a aq q q q Wkdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80ht dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t=. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由Fkl =，得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005Wldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112st dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60）1、（1）22aaa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aaa a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，212111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为224h y x b =. 于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h Sh x dx hx x bh b b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =.于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhWGdr G G r r R R h ++==-=+⎰.第一章 复习参考题A 组（P65） 1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2xxy x x'=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.yxh b O（第2题）5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--，即1()1y x a a=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a=，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60xx -++=.所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时， 旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q=是函数()y p 在(0,400]唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t<<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212Sr α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r-=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222rh R +=.因此，222231111()3333Vr h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，3hR =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k=. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x > 令0y '=，即29600160x -=，24x ≈. 容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰. 7、解方程组 2y kxy x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰. 由题设得1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。
高中数学第一章导数及其应用教材习题点拨新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用教材习题点拨新人教A 版选修22复习参考题A 组1．解：(1)3；(2)y ＝－4.2．解：(1)y ′＝2sin x cos x ＋2xcos 2x ； (2) y ′＝3(x －2)2(3x ＋1)(5x －3)； (3) y ′＝2x·ln 2·ln x ＋2xx；(4) y ′＝2x －2x22x ＋14.3．解：F ′＝－2GMmr3.4．解：(1)f ′(t )＜0.因为红茶的温度在下降．(2) f ′(3)＝－4表明在3 min 附近时，红茶温度约以4 ℃/min 的速率下降．图略． 5．解：因为f (x )＝3x 2，所以f ′(x )＝233x .当f ′(x )＝233x ＞0，即x ＞0时，f (x )单调递增；当f ′(x )＝233x＜0，即x ＜0时，f (x )单调递减．6．解：因为f (x )＝x 2＋px ＋q ，所以f ′(x )＝2x ＋p . 当f ′(x )＝2x ＋p ＝0，即x ＝－p2＝1时，f (x )有最小值．由－p2＝1，得p ＝－2.又因为f (1)＝1－2＋q ＝4， 所以q ＝5.7．解：因为f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2＝(3x －c )(x －c )．当f ′(x )＝0，即x ＝c3或x ＝c 时，函数f (x )＝x (x －c )2可能有极值．由题意，当x ＝2时，函数f (x )＝x (x －c )2有极大值，所以c ＞0.由于x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，c 3 c3⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，cc(c ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0－＋f (x )单调递增极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，当x ＝c3时，函数f (x )＝x (x －c )2有极大值．此时，c3＝2，c ＝6.8．解：设当点A 的坐标为(a,0)时，△AOB 的面积最小． 因为直线AB 过点A (a,0)，P (1,1)，所以直线AB 的方程为y －01－0＝x －a 1－a ，即y ＝11－a(x －a )．当x ＝0时，y ＝aa －1，即点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a －1. 因此，△AOB 的面积S △AOB ＝S (a )＝12a ·a a －1＝a22a －1.令S ′(a )＝0，即S ′(a )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－2a a －12＝0.当a ＝0或a ＝2时，S ′(a )＝0，a ＝0不符合题意舍去．由于x (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增所以，当a ＝2 2. 9．D10．解：设底面一边的长为x m ，另一边的长为(x ＋0.5) m ．因为钢条长为14.8 m ，所以长方体容器的高为14.8－4x －4x ＋0.54＝12.8－8x4＝3.2－2x . 设容器的容积为V ，则V ＝V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，0＜x ＜1.6.令V ′(x )＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，所以，x ＝－415(舍去)，或x ＝1.容易知道，x ＝1是函数V (x )的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．因此，长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容积为1×1.5×1.2＝1.8 m 3. 11．解：设旅游团人数为100＋x 时，旅行社收费为y ＝f (x )＝(100＋x )(1 000－5x )＝－5x 2＋500x ＋100 000,0≤x ≤80，x ∈N .令f ′(x )＝0，即－10x ＋500＝0，所以x ＝50.容易知道，x ＝50是函数f (x )在[0,80]内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．所以，当x ＝50时，f (x )有最大值．因此，旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多． 12．解：设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大． 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为 623.7x，打印面积S (x )＝(x －2×2.54)⎝⎛⎭⎪⎫623.7x －2×3.17＝655.907 2－6.34x －3 168.396x ，5.08＜x ＜98.38.令S ′(x )＝0，即6.34－3 168.396x 2＝0，解之，得x ≈22.4(负值舍去)，623.722.4≈27.89. 容易知道，函数S (x )在(5.08,98.38)内取得唯一极值，且为极大值，从而是最大值． 答：打印纸的长、宽分别约为27.89 cm 、22.36 cm 时，可使其打印面积最大． 13．解：设每年养q 头猪时，总利润为y 元．则y ＝R (q )－20 000－100q ＝－12q 2＋300q －20 000,0＜q ≤400，q ∈N .令y ′＝0，即－q ＋300＝0，q ＝300.容易知道，q ＝300是函数在(0,400]上的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．当q ＝300时，y ＝－12×3002＋3002－20 000＝25 000(元)．答：每年养300头猪时可使总利润最大，最大总利润为25 000元． 14．解：(1)23－2；(2)2e －2；(3)1； (4)原式πππ2222200cos sin d (sin cos )d (cos sin )2cos sin x x x x x x x x x x-==+=-+=-⎰⎰；(5)原式ππ2201cos sin π2d 224x x x x ---⎛⎫===⎪⎝⎭⎰. 15．解：(1)如图(1)所示，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内，cos x 的图形关于y 轴对称， 所以ππ22π02cos d 2 cos d θθθθ-==⎰⎰.(1)(2)(2)如图(2)所示，在x ∈[－π，π]内，sin x 的图形关于原点对称，所以∫π－πsin θd θ＝∫0－πsin θd θ＋∫π0sin θd θ＝0.16．解：S ＝22－2.17．解：由F ＝kl ，得0.049＝0.01k . 解之，得k ＝4.9.所做的功为W ＝∫0.30.14.9l d l ＝4.9×l 22|0.30.1＝0.196(J)．B 组1．解：(1)b ′(t )＝104－2×103t .所以，细菌在t ＝5与t ＝10时的瞬时速度分别为0和－104.(2)当0≤t ＜5时，b ′(t )＞0，所以细菌在增加；当5＜t ＜16时， b ′(t )＜0， 所以细菌在减少．2．解：设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .由l －2r ＝αr ，得α＝l r －2.所以S ＝12αr 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫l r －2r 2＝12(lr －2r 2)，0＜r ＜l 2.令S ′＝0，即l －4r ＝0，r ＝l 4，此时α为2弧度．容易得到，r ＝l 4是函数S ＝12αr2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，l 2内的唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点．答：扇形的半径为l4，中心角为2弧度时，扇形的面积最大．3．解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2＋h 2＝R 2，因此V ＝13πr 2h ＝13π(R 2－h 2)h ＝13πR 2h －13πh 3，0＜h ＜R .令V ′＝13πR 2－πh 2＝0，解得h ＝33R .容易知道，V (h )在(0，R )内只有一个极值，且为极大值，从而是最大值．所以当h ＝33R 时，容积最大．把h ＝33R 代入r 2＋h 2＝R 2，得r ＝63R . 由Rα＝2πr ，得α＝263π时，容积最大．答：扇形的圆心角α＝263π时，容器的容积最大．4．解：由于80＝k ×102，所以k ＝45.设船速为x km/h 时，总费用为y ，则y ＝45x 2×20x ＋20x ×480＝16x ＋9 600x.令y ′＝0，即16－9 600x2＝0，x ≈24.容易得到，函数y 在(0，＋∞)内有唯一值，且为极小值，从而是最小值．当x ＝24时，16×24＋9 60024＝784(元)，784÷2024≈940(元)．答：船速约为24 km/h 时，总费用最少，此时每小时费用约为940元． 5．解：设汽车以x km/h 行驶时，行车的总费用 y ＝130x (3＋x 2360)×3＋130x×14,50≤x ≤100.令y ′＝0，解得x ≈53(km/h)．此时，y ≈114(元)．容易看出，函数y 在[50,100]内有唯一极值，且为极小值，从而是最小值．答：最经济的车速约为53 km/h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元． 6．解：原式4||0404422202e d e d e d (e )e e e 2x x x xxx x x ----==+=-+=+-⎰⎰⎰－.7．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，得直线y ＝kx 与抛物线y ＝x －x 2交点的横坐标为x ＝0,1－k .抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16.由题设得S2＝∫1－k 0(x －x 2)d x －∫1－k 0kx d x ＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k 0＝1－k 36.又因为S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－342.x－x2－kx)d x＝∫1－k0kx d x＋∫11－k(x－点拨：本题也可以由面积相等直接得到∫1－k0(x2)d x，由此求出k的值．但计算较为繁琐．。
高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
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[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
2021/12/8
第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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12/8/2021
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其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2021/12/8
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2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2021/12/8
第六页，共二十八页。
2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
2021/12/8
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3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
[精品课件]高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应
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3．已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a ＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1. 【答案】 1
1 A.10
B．10
C．10ln 10
1 D.10ln 10
【解析】 ∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝________
y′＝________ y′＝________ y′＝________
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用同步练习(含解析)新人教A版选修22
1.7定积分的简单应用1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 分析： 函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)20＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分 3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( ) A ．8J B ．10J C ．12J D ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D 解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t63＝6－32，故应选D.分析：产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba ⎰f(x )d x B.ba ⎰g(x )d x C.ba ⎰[f(x )-g(x )]d x D.ba⎰[g(x )-f(x )]d x答案：C解析：解答:由题图易知，当x ∈[a ，b]时，f(x )>g(x )，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x )-g(x )]d x .分析：注意在这里式ba⎰[f(x )-g (x )]d x .中要保证 f(x )>g(x )对于任意x ∈[a ，b]恒成立7. 直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d x C.1-⎰2sin x d xD.1⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x ，x ∈[-1，1]为奇函数，当x ∈[-1，0]时，sin x ≤0；当x ∈(0，1]时，sin x >0.由定积分的几何意义，直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x |d x =1⎰2sin x d x .分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性 8. 由y=1x，x =1，x =2，y=0所围成的平面图形的面积为( ) A.ln2 B.ln2-1 C.1+ln2D.2ln2答案：A解析：解答: 选A.画出曲线y=1x(x >0)及直线x =1，x =2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析： 简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，f(x )=a ·b ，则直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( )A.12C.32答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )， 得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x ，当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0； 当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ， 则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是()A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a⎰f(x )d x +cb ⎰f(x )d x D.cb ⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )A.72 B.73 C ．2 D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析： 定积分的求解运用到微积分基本定理。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1-1.2.2
1.2.1-1.2.2 第2课时 导数的运算法则[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设函数y ＝e xcos x ，则y ′等于( ) A ．e xcos x B ．－e xsin x C ．e xcos x ＋e xsin xD ．e xcos x －e xsin x解析：y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝e xcos x －e xsin x . 答案：D2．曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3解析：∵f ′(x )＝x 2－2x ，∴f ′(1)＝1－2＝－1， ∴在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.答案：B3．曲线y ＝e x 在(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 22解析：y ′＝e x，∴y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1. ∴三角形的面积S ＝12×1×|－e 2|＝e 22，故选D.答案：D4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2， 即a －1＝2，所以a ＝3. 答案：D5．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f n}(n∈N*)的前n项和是 ( )A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n解析：∵f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1f n}(n∈N*)的前n项和为：S n＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n＋＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：A6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．解析：f′(x0)＝3x20＝3，x0＝±1.答案：±17．函数f(x)＝2x＋x2的导数为________．解析：设u＝2x＋x2，故f(x)＝2x＋x2就由f(u)＝u，u＝2x＋x2复合而成，∴f′(x)＝f u′·u x′＝12u12-·(2＋2x)＝u12-(1＋x)＝1＋x2x＋x2.答案：1＋x2x＋x28．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：－29．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，∴f′(x)＝18x2＋22x＋5，∴f′(－1)＝18－22＋5＝1.(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，由f ′(x 0)＝0，得3x 20－4x 0＋1＝0， 解得x 0＝1或x 0＝13.10．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解析：y ′＝(e 2xcos 3x )′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2xcos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 方程为2x －y ＋c ＝0， 两平行线间距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 组 能力提升]1．已知f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析：函数f (x )＝14x 2＋cos x ，f ′(x )＝x2－sin x ，f ′(－x )＝－x 2－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－sin x ＝－f ′(x )， 故f ′(x )为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B ，D ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12·π6－sin π6＝π12－12<0.故C 不对，答案为A.答案：A2．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20(x－x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564.当x 0＝32时，直线方程为 y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：A3．函数y ＝x ＋1x在点(1,2)处的切线斜率等于________．解析：y ′＝(x ＋1x )′＝1－1x2，∴k ＝y ′|x ＝1＝1－112＝0.答案：04．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.答案：π65．抛物线C 1：y ＝x 2－2x ＋2与抛物线C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)若a >0，b >0，求ab 的最大值． 解析：(1)设两抛物线的交点为M (x 0，y 0)， 由题意知x 20－2x 0＋2＝－x 20＋ax 0＋b ， 整理得2x 20－(2＋a )x 0＋2－b ＝0①由导数可得抛物线C 1，C 2在交点M 处的切线斜率为k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a .因两切线互相垂直，则有k 1k 2＝－1，即(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，整理得2[2x 20－(2＋a )x 0]＋2a －1＝0② 联立①和②，消去x 0，得a ＋b ＝52.(2)由(1)知a ＋b ＝52，又a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝(522)2＝2516.当且仅当a ＝b ＝54时，取等号，故ab 的最大值为2516.6．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析：(1)f ′(x )＝a －1x ＋b2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1＋b2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.。
2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1-1.2.2第
1.2.1-1.2.2 第1课时 导数公式［课时作业］[A 组3已知 f (x ) = x ，则 f ' (2)=()2解析：f '(X )= 3x ,.•• f ' (2) = 12.A.B .3x 2C.D. 12基础巩固1.答案：D2.已知函数y = x n 在x = 2处的导数等于 A. 2 B . C. 3D.解析：y '= nx n -1,y '| x = 2= 12,. n ・21= 12,. n = 3.答案：C1 23.曲线y = ^x 在点1, 1处切线的倾斜角为(B . 1 C. 7—5 n D.——4I x =1= 1,.曲线y =1x 2在点1, 1处切线的斜率为1.故倾斜角为4 A y = ；x + b 是曲线y = In x (x >0)的一条切线，则实数 b 的值为()B . In 2 + 1 C. In 2D. In 21 1 1解析：因为y = In x 的导数y '= -，所以令-=2得x =2，所以切点为(2 , In 2).x x 2代入直线y = 2x + b 得b = In 2 - 1.答案：C的值为(12,则 n 答案:A. 23 15. 曲线f (x ) = x + x — 2在P o 处的切线垂直于直线 y = — 4X — 1,则P o 点的坐标为()B . (2,8)C. (1,0)或(一1,— 4)D. (2,8)或(一1,— 4)解析：设切点为 P 0(a , b ), f '(x ) = 3x 2 + 1, k = f '(a ) = 3a 2 + 1 = 4, a =± 1,—1 代入到 f (x ) = x 3+ x — 2 得 b = — 4；把 a = 1 代入到 f (x ) = x 3 + x — 2 得 b = 0，所以答案：C答案：3x — 2y +¥n + 1 = 03A. (1,0)F 0(1,0) 6.若函数 f (x ) = x ,贝U f ' (8)= 解析：因为f (x )=引x = x 3 所以 f '(x ) = 1x _3 ,3 所以f ' (8)1 =3X87.设 f (x ) = ax 2 — b sin x ，且 f ' ,b =解析：f '(x ) = 2ax — b cos x ，由条件知—b cos 0 = 1；a — b cos n 1&曲线y = sin2 — x 在点A — n3,2处的切线方程是解析：y = sinn — x = cos x ,点 A —才,1是曲线 y = sin y 'lI T x==—sin—3 = ¥，所求的切线方程为y -1n + 1 = 0.+ 才，即？x — 2y +2x9.求下列函数的导数.(1) y=lg 2 ；x⑵ y=2 ；2x2X(4) y = 2cos 2— 1.解析：(1) y ，= (lg 2) ' = 0；.x .x⑵ y ，= (2 )，= 2 In 2 ;⑶"+ = x 2-2 = x 2 ,• y '=(x )' = f x 2 ；(4) ■/ y = 2cos 2|— 1 = cos x , /• y '= (cos x ) '=— sin x .10.求曲线y = 扳在点（8,4）处的切线方程. 解析：因为y =敬=x 3 ,切线方程为y —4 = 3(x — 8), 即 x — 3y + 4 = 0.[B 组能力提升]范围是（解析：设切点P 的坐标为（X 0, y °），切线的倾斜角为 a .2所以 y '= (x 3)'2=3x所以，切线斜率为 3=3,k = 7X8 3 --A [0,n 3 n7] U [B . [0 , n ]T y '= cos x , • tan a = y x = x o = cos x o .-—1 w cos x o W 1 ,• • — 1 w tana W1.— n又 0W a V n ,「・ a € [0 , ~] U [ 3n 4 ， n). 答案：A1正弦曲线y = sinx 上一点P,以点P 为切点的切线为直线I ，则直线 I 的倾斜角的2•点P 是曲线y = — x 2上任意一点，则点 P 到直线y = x + 2的最小距离为（）1A. 1B.^解析：依题意知，当曲线 y =— x 2在P 点处的切线与直线 y = x + 2平行时，点P 到直线 y = x + 2的距离最小，设此时 P 点的坐标为（x o , y o ）.由导数的几何意义可知在 P 点的切线 的斜率为k =— 2x o ，因为该切线与直线 y = x + 2平行，所以有一2x o = 1.得x o =— 1. 故P 点的坐标为 1 1、4，这时点P 到直线y = x + 2的距离d =^2丁217,2 8 . 答案：B 3.设曲线y = x n +N ）在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 则 a 1 + a 2 + •••+ a 99的值为 a n = lg X n , O解析：在点（1,1）处的切线斜率k = y '|x =1 = （n +1） xi n = n + 1，则在点（1,1） 处的切线 方程为 y — 1 = (n +1) •(x — 1)，令 y = 0,得 X n =门十 n・ an lg~. n + 1 1 八 99 ••• a + a 2 + …+ a 99= lg 2+ lg 3 + …+ lg 而 1 2 99 1 =lg 2x 3乂…x = lg =— 2. i 00. = lg 而 答案：—2 4.设 f o (x ) = sin x , f 1(x ) = f 0'( x ) , f 2(x ) = f 1'(x )，…，f n + 1(x ) = f n'(x ) , n € N, 贝 y f 2 016 (x )等于 ________ . 解析：f o (x ) = sin x , f i (x ) = f o '(x ) = (sin x ) '= cos x , f 2(x ) = f 1 '(x ) = (cos x )' =—sin x , f 3( x ) = f 2‘( x ) = ( — sin x ) ' =— cos x , f 4(x ) = f 3' ( x ) = ( — cos x ) ' = sin x , 4为最小正周期，二 f 2 oi6(x ) = f o (x ) = sin x . 答案：sin5.若曲线 1y = x 2在点（a , a 2）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求a 的值.解析：••• y = x 扌,• y '=— 2x 气,1J. 1 2•切线方程为 y — a 2 =- 2a 2 ( x — a ).3令 x = 0,得 y = q a 令y = 0,得 x = 3a .•该切线与两坐标轴围成的三角形的面积 1 11 3 4 9 1S = 2a • q a 2 = 4a 2 = 18, • a = 64.1 16.如图，已知曲线y = -，A (2 , q)为其在第一象限分支上一点.试X 2判断过点A 能否作一条直线与第三象限的分支相切？ 解析：假设能作.设切点坐标为 (x o , y o ),1则切线方程为 y — y o =—p(x — x o ), 1 1又y o =x ；，且切线过点(2，2)， 1 1 1•二—一=—飞(2 — x o ), 2 x o X o' o2 2--2x o —X o = 4 — 2x o , X o — 4x o + 4 = 0, x o = 2, •切点坐标为(2 , *),1•过点A 只能作一条直线与曲线y =】在第一象限的分支相切，不能作一条直线与第三 象限的分支相切.•••过(a, a P)点的切线的斜率。
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1.1.2 导数的概念
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若f (x )＝x 3
，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为( C ) A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．3 3
[解析]∵f ′(x 0)＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝lim Δx →0x 0＋Δx
3
－x 3
Δx
＝lim Δx →0[(Δx )2
＋3x 0Δx ＋3x 2
0]＝3x 2
0＝3，∴x 0＝±1． 2．(2018·龙岩期中)设f (x )是可导函数lim Δh →0
f x 0－h －f x 0
h
＝2，则f ′(x 0)＝
( C )
A ．2
B ．12
C ．－2
D ．－12
[解析] 当h →0时，f x 0－h －f x 0
h
→2，
则f ′(x 0)＝h x 0－f x 0－h
h
＝－2，
故选C ．
3．(2018·××区校级月考)已知f (x )＝－x 2
＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是
( B )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
[解析]∵f (x )＝－x 2
＋10， ∴f ′(x )＝lim Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
＝－2x ．
即当x ＝32时，f ′(3
2)＝－3，
即在点x ＝3
2
处的瞬时变化率是－3，
故选B ．
4．(2018·郑州高二检测)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0
f Δx
Δx
＝－1，则f ′ (0)＝( B )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
[解析]∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f
＋Δx －f
Δx
＝lim Δx →0
f Δx
Δx
＝－1， ∴选B ． 二、填空题
5．设函数f (x )＝1x
，则lim x →a
f x －f a x －a 等于－1
a
．
[解析]lim x →a f x －f a x －a ＝lim x →a 1x －1a x －a ＝lim x →a (－1xa )＝－1
a 2． 6．函数y ＝x ＋1
x
在x ＝1处的导数是0．
[解析]∵Δy ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋
11＋Δx －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋11
＝Δx －1＋1Δx ＋1＝Δx
2
Δx ＋1，
∴
Δy Δx ＝Δx Δx ＋1
． ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δx
Δx ＋1
＝0． 三、解答题
7．设f (x )在R 上可导，求f (－x )在x ＝a 处与f (x )在x ＝－a 处的导数之间的关系． [解析] 设f (－x )＝g (x )，则f (－x )在a 处的导数为g ′(a )，于是
g ′(a )＝lim x →a
g x －g a x －a
＝lim x →a
f －x －f －a
x －a
而f ′(－a )＝lim x →－a f x －f －a
x ＋a
，令x ＝－t ，则当x →－a 时，t →a ，
∴f ′(－a )＝lim t →a
f －
t －f －a
－t ＋a
＝－lim t →a
f －t －f －a
t －a
＝－g ′(a )，
这说明f (－x )在x ＝a 处的导数与f (x )在x ＝－a 处的导数互为相反数．
B 级 素养提升
一、选择题
1．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2
，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( C ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4
D ．4t 0＋4t 2
[解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2
＋4Δt ＋8t 0Δt ， Δs
Δt ＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0． 2．(2018·××区校级月考)若f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0
Δx
＝( D )
A ．2
B ．4
C ．18
D ．8
[解析]lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0
Δx
＝2lim Λx →0
f x 0＋2Δx －f x 0
2Δx
＝2f ′(x 0)＝8，
故选D ． 二、填空题
3．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝110
[解析] 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4 ＝5＋Δx －5， ∴
Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx
． ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →05＋Δx －5
Δx
＝lim Δx →0
Δx Δx 5＋Δx ＋5
＝510
．。