柯西不等式练习题

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(完整版)柯西不等式练习题.docx柯西不等式练习题1.(09 绍兴二模 )设x, y, z R, x2y2z2 1 。

(1)求x y z的最大值;( 2)求x y 的取值范围。

2.(09 宁波十校联考)已知x, y, z (0,) ,且 x y z 11925,求y的最小值。

x z3.(09 温州二模)已知x, y, z R ,且z y z 1。

(1)若2x23y26z21,求x, y, z的值;(2)若2x23y 2tz 2 1 恒成立,求正数t 的取值范围。

4、( 09 嘉兴二模)设x, y, z R ,且 x2y 3z 1。

(1)求证:| x y z || y z || z |1;(2)求u (x1)2( y2)2( z3)2的最小值。

5.(09 诸暨模考)已知x, y, z 都是正数,且x 2 y3z 6 ;(1)求证:x2y2z218;(2)问123有最大值还是最小值?并求这个最值。

7x y z6.(093x 5 。

宁波一模)已知2求证:4x 42x 315 3x78 。

7(09 舟山一模)已知a, b, c, d 满足 a b c d 3,a22b23c26d 2x 。

(1)求证:当a 0时,x 9。

(2)当x 5时,求实数a的最值。

8.(09 稽阳联考)( 1)已知正数x, y, z 满足x y z 1,求x2y2z2的最小值。

1 z 1 x 1 yx y z,求 t 的最大值。

9.已知t2y2x24z210.(09 金丽衢十二校第一次联考)已知 3x 4y 4z 1,求 x2y2z2的最小值。

11( 09 浙江五校联考)(1)求函数f (x)38(x R)的最小值。

2sin 2 x 13cos2 x 212、( 09湖州一模)已知 a, b,c R ,且a b c 1 。

(1)求1 1 + 1的最小值;( 2)求证 :a2b2c21.a b c1a 1 b 1 c413、( 09 杭州一模)已知x, y, z是正数,且满足条件x y z3 xyz(1)求x y z的最小值;( 2)若xyz 3,且x22y 2z2 1 ,求 x 的取值范围。

柯西不等式习题教师版_含答案

柯西不等式习题教师版_含答案

新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立,时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。

比如说吧,对a^2 + b^2 + c^2,并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ,则b a⋅之最小值为________;此时=b ________。

答案:-18; )4,2,4(-- 解析:b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18,此时)4,2,4(2--=-=a b【2】 设a = (1,0,- 2),b = (x ,y ,z),若x 2 + y 2 + z 2 = 16,则a b的最大值为 。

【解】∵ a = (1,0,- 2),b = (x ,y ,z) ∴ a.b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a .b ≤ 45,故a .b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =,(,,)b x y z =,已知56b =,则(1)a b ⋅的最大值为多少?(2)此时b =? 答案:(1) 28:(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数,求4936()()a b c a b c++++的最小值。

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教

二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1.设a ,b ,c 为正数,且a +b +4c =1,则a +b +2c 的最大值为( ) A .102B .10C .210D .310解析:选A.由柯西不等式,得(a +b +2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+12+⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2+(b )2+(4c )2] =52×1=52, 所以a +b +2c ≤52=102,当且仅当a =b =22c 时,等号成立.故选A. 2.已知a 21+a 22+…+a 2n =1,x 21+x 22+…+x 2n =1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值为( ) A .1 B .2 C .-1D .不确定解析:选A.因为(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 21+a 22+…+a 2n )(x 21+x 22+…+x 2n )=1×1=1, 当且仅当a i =kx i (i =1,2,…,n )时,等号成立, 所以a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是1.故选A.3.已知x 2+3y 2+4z 2=2,则|x +3y +4z |的最大值为( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选B.由柯西不等式知(x 2+3y 2+4z 2)(1+3+4)≥(x +3y +4z )2, 又x 2+3y 2+4z 2=2所以2×8≥(x +3y +4z )2. 所以|x +3y +4z |≤4. 当且仅当x =3y 3=2z 2,即x =y =z =12时取等号.4.设a ,b ,c ∈R +,a +b +c =6,则1a +4b +9c的最小值为( )A .1B .4C .6D .9解析:选C.由柯西不等式得(a +b +c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b +9c=[(a )2+(b )2+(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2+⎝⎛⎭⎪⎫4b 2+⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a +b ·2b +c ·3c 2=36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b +9c ≥36.所以1a +4b +9c≥6.故选C.5.已知实数x ,y ,z 满足2x -y -2z -6=0,x 2+y 2+z 2≤4,则2x +y +z =( ) A .13 B .23 C .53D .2解析:选B.因为实数x ,y ,z 满足2x -y -2z -6=0,所以2x -y -2z =6. 由柯西不等式可得(x 2+y 2+z 2)[22+(-1)2+(-2)2]≥(2x -y -2z )2=36, 所以x 2+y 2+z 2≥4.再根据x 2+y 2+z 2≤4,可得x 2+y 2+z 2=4.故有x 2=y -1=z-2,所以x =-2y ,z =2y .再把x =-2y ,z =2y 代入2x -y -2z -6=0,求得y =-23,则2x +y +z =-4y +y +2y =-y =23.6.已知a ,b ,c ∈R +,a +2b +3c =6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为________. 解析:因为a +2b +3c =6,所以1×a +1×2b +1×3c =6.所以(a 2+4b 2+9c 2)(12+12+12)≥(a +2b +3c )2=36,即a 2+4b 2+9c 2≥12.当且仅当1a=12b =13c ,即a =2,b =1,c =23时取等号. 答案:127.已知2x +3y +z =8,则x 2+y 2+z 2取得最小值时,x ,y ,z 形成的点(x ,y ,z )=________. 解析:由柯西不等式(22+32+12)(x 2+y 2+z 2)≥(2x +3y +z )2,即x 2+y 2+z 2≥8214=327.当且仅当x 2=y3=z 时等号成立.又2x +3y +z =8,解得:x =87,y =127,z =47,所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87,127,47. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫87,127,47 8.已知x ,y ,z ∈R +,x +y +z =1,则1x +4y +9z的最小值为________.解析:利用柯西不等式,因为(x +y +z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y +9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x +y ·2y +z ·3z 2=36,所以1x +4y +9z ≥36,当且仅当x =y 2=z 3,即x =16,y =13,z =12时,等号成立.综上可知,1x +4y +9z的最小值为36.答案:369.设x +y +z =1,求H =2x 2+3y 2+z 2的最小值. 解:因为x +y +z =12·2x +13·3y +1·z , 所以由柯西不等式得: (x +y +z )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x +13·3y +1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12+13+1·(2x 2+3y 2+z 2),即116·H ≥1,解得H ≥611,等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z =1.2x 12=3y 13=z1,解得x = 311,y =211,z =611.此时,H =611. 综上所述,H 的最小值为611.10.已知|x +2y +3z |≥4(x ,y ,z ∈R ).(1)求x 2+y 2+z 2的最小值;(2)若|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ,y ,z 恒成立,某某数a 的取值X围.解:(1)因为(x +2y +3z )2≤(12+22+32)·(x 2+y 2+z 2),且|x +2y +3z |≥4(x ,y ,z ∈R ),所以x 2+y 2+z 2≥87,当且仅当x 1=y 2=z 3时取等号.即x 2+y 2+z 2的最小值为87.(2)因为x 2+y 2+z 2的最小值为87,所以|a +2|≤72×87=4,所以-4≤a +2≤4, 解得-6≤a ≤2,即a 的取值X 围为[-6,2].[B 能力提升]1.设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数,且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax +by +cz =20,则a +b +cx +y +z=( )A .14B .13C .12D .34解析:选C.由柯西不等式得,(a 2+b 2+c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2+14y 2+14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax +12by +12cz 2,当且仅当a 12x =b 12y =c12z 时等号成立.因为a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax +by +cz =20,所以等号成立.所以a 12x =b 12y =c12z . 所以a +b +c x +y +z =12.故选C.2.边长为a ,b ,c 的三角形ABC ,其面积为14,外接圆半径R 为1,若s =a +b +c ,t =1a +1b +1c,则s 与t 的大小关系是________. 解析:由已知得12ab sin C =14,csin C =2R =2.所以abc =1,所以1a +1b +1c=ab +bc +ca ,由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c (ab +bc +ca )≥(b +c +a )2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b +1c 2≥(a +b +c )2.即1a +1b +1c≥a +b +c .当且仅当a =b =c =1时等号成立. 当a =b =c 时,三角形ABC 的面积为34,不满足题意,所以s <t . 答案:s <t3.设x 1、x 2、…、x n ∈R +且x 1+x 2+…+x n =1,求证:x 211+x 1+x 221+x 2+…+x 2n1+x n ≥1n +1.证明:(n +1)(x 211+x 1+x 221+x 2+…+x 2n1+x n)=(1+x 1+1+x 2+…+1+x n )(x 211+x 1+x 221+x 2+…+x 2n1+x n)=[(1+x 1)2+(1+x 2)2+…+(1+x n )2]·[(x 11+x 1)2+(x 21+x 2)2+…+(x n1+x n)2]≥(1+x 1·x 11+x 1+1+x 2·x 21+x 2+…+1+x n ·x n1+x n)2=(x 1+x 2+…+x n )2=1,所以x 211+x 1+x 221+x 2+…+x 2n1+x n ≥1n +1.4.已知正数x ,y ,z 满足5x +4y +3z =10. (1)求证:25x 24y +3z +16y 23z +5x +9z 25x +4y ≥5.(2)求9x 2+9y 2+z 2的最小值.解:(1)证明:根据柯西不等式,得[(4y +3z )+(3z +5x )+(5x +4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y +3z +16y 23z +5x +9z 25x +4y ≥(5x +4y +3z )2,当且仅当4y +3z 5x =3z +5x 4y =5x +4y 3z 时,等号成立,因为5x +4y +3z =10,所以25x 24y +3z +16y 23z +5x +9z 25x +4y ≥10220=5.(2)根据基本不等式,得9x 2+9y 2+z 2≥29x 2·9y 2+z 2=2·3x 2+y 2+z 2,当且仅当x 2=y 2+z 2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(52+42+32)≥(5x +4y +3z )2=100,即x 2+y 2+z 2≥2,当且仅当x 5=y 4=z 3=15时,等号成立.综上,9x 2+9y 2+z 2≥2×32=18.。

可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)柯西不等式()(a+b )c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当cd ab=取=号 1.已知a >0,b >0,a+b=2,则的最小值是( ) A .B .4C .D .5 2.若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2,则2a b +的最小值是( ) A .8 B .9 C .10 D .123.已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ,点A 也在直线10mx ny ++=上,其中mn 、均为正数,则12m n +的最小值为( ) A .2B .4C .6D .8 4.已知正数,x y 满足811x y +=,则2x y +的最小值是( ) A .18 B .16 C .8 D .105.如图,在ABC 中,23BD BC =,E 为线段AD 上的动点,且CE xCA yCB =+,则13x y+的最小值为( )A .16B .15C .12D .106.若对0x >、0y >,有()212x y m x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .8m ≤ B .8m > C .0m < D .4m ≤ 7.圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称,则13a b+的最小值是( )A .B .263C .4D .153 8.若直线1x y a b +=(0a >,0b >)过点()1,2,则2+a b 的最小值等于( )A.9B .8C .3+D .4+ 9.若直线1(00)x y a b a b+=>,>过点(1,2),则2a+b 的最小值为______. 10.若直线1(00)x y a b a b +=>,>过点(1,2),则2a b +的最小值为________. 11.已知x ,y 是正数,且141x y+=,则x y +的最小值是______. 12.已知()222log log log x y x y +=+,则 11x y+=______2x y +的最小值为 ______.参考答案1.C【解析】试题分析:利用题设中的等式,把y 的表达式转化成()()展开后,利用基本不等式求得y 的最小值.解:∵a+b=2,∴=1 ∴=()()=++≥+2=(当且仅当b=2a 时等号成立) 故选C点评:本题主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一定,二正,三相等的原则.2.A【解析】【分析】由直线过点()1,2,可得121a b+=,利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,2, 所以121a b+=,所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=, 当且仅当4b a a b =,即2,4a b ==时等号成立. 故选:A【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用,考查了运算推理能力,属于中档题.3.D【解析】试题分析:210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+,所以过定点()2,1--,代入直线得21m n +=()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当4n m m n=时等号成立,取得最小值8考点:1.直线方程;2.均值不等式求最值4.A【解析】【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值 【详解】 811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y x x y=,即12x =,3y =时,2x y +取得最小值18 故选A【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,本题运用了均值不等式,属于基础题 5.A【解析】【分析】由已知可得A ,D ,E 三点共线,结合平面向量基本定理可得31x y +=,0x >,0y >,再利用基本不等式即可求解.【详解】 解:∵23BD BC =, ∴3CB CD =,3CE xCA yCB xCA yCD =+=+,因为A ,D ,E 共线,所以31x y +=,则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号, 故选:A.【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.A【解析】【分析】利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭的最小值,即可得解. 【详解】解:0x 、0y >()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当2x y =时, 等号成立,∴8m ≤,故选:A .【点睛】本题考查基本不等式的应用,属于基础题.7.D【解析】【分析】求出圆的圆心代入直线方程,然后利用基本不等式求解最值即可.【详解】 解:圆222610x y x y ++-+=,22(1)(3)9x y ∴++-=圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称, ∴该直线经过圆心(1,3)-,把圆心(1,3)-代入直线30(0,0)ax by a b -+=>>,得:330a b --+=33a b ∴+=,0a >,0b >∴1311313311(3)101053333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当33b a a b=时取得最小值为153 故选:D .【点睛】本题考查代数和的最小值的求法,是中档题,解题时要注意圆的性质和均值定理的合理运用. 8.A 【解析】【分析】把(1,2)代入直线方程得,a b 满足的等量关系,用“1”的代换把2za b +凑配出基本不等式中的定值,然后用基本不等式求最小值.【详解】∵直线1x y a b +=(0a >,0b >)过点()1,2,∴121a b+=,∴12222(2)()559a b a b a b a b b a +=++=++≥+=,当且仅当22a b b a =,即3a b ==时等号成立,∴2+a b 的最小值为9.故选:A .【点睛】本题考查基本不等式求最值,解题时要注意基本不等式求最值的条件:一正二定三相等,常常需要凑配出定值,“1”的代换是常用凑配方法.9.8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ,当且仅当2b a = 时取等号.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 10.8【解析】【分析】由直线1(00)x y a b a b+=>,>过点(1,2),可得121a b +=,从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解:因为直线1(00)x y a b a b+=>,>过点(1,2),所以121a b +=, 因为00a b >,>所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭, 当且仅当4a b b a=,即2,4a b ==时取等号, 所以2a b +的最小值为8故答案为:8【点睛】此题考查基本不等式的应用,利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件,属于基础题11.9【解析】【分析】利用 “1”的代换,将x y +化为45x y y x++,进而利用基本不等式求最小值即可; 【详解】∵x ,y 是正数,且141x y+=∴()144559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当4y x x y =即2y x =(此时3x =,6y =)时取等号;故x y +的最小值为9.故答案为:9【点睛】本题考查了利用基本不等式中“1”的代换求最值,注意不等式中等号成立的条件,属于简单题;12.1,3+【解析】试题分析:由()222log log log x y x y +=+得且,所以,2x y +=(2x y +),当且仅当时取得等号考点:基本不等式。

柯西不等式的练习题

柯西不等式的练习题

柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理,它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。

练习题一:设a、b、c、d为实数,求证:(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答:根据柯西不等式,有:(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得:4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得:4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得:3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得:3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数,所以左边大于等于0,右边也大于等于0,因此不等式成立。

练习题二:设a、b、c为正实数,求证:(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式,有:(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得:3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得:3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得:2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得:a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质,所以不等式成立。

练习题三:设a、b、c为正实数,求证:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答:根据柯西不等式,有:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得:(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质,所以不等式成立。

专题3 柯西不等式(原卷+解析)-高考数学二轮复习

专题3 柯西不等式(原卷+解析)-高考数学二轮复习

第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】 实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是【例2】 已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是【例3】 函数y =,此时x =【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r ++.2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.25. 设,,a b c 为互不相等的正整数,求证:221112323b c a ++++.第3讲 柯西不等式知识与方法在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中,巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维形式:()()22222()a b c d ac bd +++,等号成立条件:a c ad bc b d ⎛⎫== ⎪⎝⎭.扩展:()()()222222222123123112233n nn n aa a ab b b b a b a ba b a b ++++++++++++等号成立条件:1122:::n n a b a b a b ===(当0i a =或0i b =时,i a 和i b 都等于0,不考虑:,1,2,3,,)i i a b i n =二维形式的证明:()()()2222,,,ab c d a b c d ++∈R22222222a c b d a d b c =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++- 2()ac bd +等号在且仅在0ad bc -=,即ad bc =时成立. 向量形式的证明: 令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b ==m n112233cos ,n n a b a b a b a b ⋅=++++=m n m n m n2221cos ,n n a b b =++++m ncos ,1m n ,22222222112233123123n nn na b a b a b a b a a a a b b b b ∴++++++++++++. 典型例题【例1】实数x y 、满足22326x y +=,则2x y +的最大值是 . 【解析】【解法1】由柯西不等式得()2224132(2)32x yx y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭故211(2)6116x y +⨯= 211,x y ∴+2x y ∴+【解法2】万能k 法222,2,32(2)6x y k y k x x k x +==-+-=令()2222232446,118260x k kx x x kx k +-+=-+-=Δ0,1111.k -【解法3】2222326,1,23x y x y +=+= 令2x y z +=,直线20x y z +-=与椭圆相切时有最值由硬解定理(见圆锥曲线)得22430z ⨯+-=,z =【解法4】三角换元221,,,23x y x y αα+===令辅助角公式()αααϕ=+【例2】已知实数,x y 4=,则x y +的最小值是 . 【解析】【解法1】实数,x y 4=,由柯西不等式可得,()()2212311(2111),x y x +++++⨯+即44816x y ++,求得2x y +,2==时,取等号, 故x y +的最小值是2.【解法2】4=,2213,,22a b a b x y --====, 题目转换为4a b +=,求()22221312222a b a b --+=+-的最小值, 地位等价法,()22221312,2 2.222a b a b a b --==+=+-=【解法3】4=,2213,,,422a b a b x y a b --====+=,()22222131()2162222622222a b a b ab ab a b ab --+--+=+-=-=-=- 26 2.2a b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】2.【例3】函数y =,此时x = .【解析】由柯西不等式得2222251(5211x ⎡⎤⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦2269∴⨯,326x ∴,当且仅当1=,取等号,即25152x =时,取等号.【答案】25152. 【例4】(1)证明柯西不等式:()()22222()a b cd ac bd +++;(2)若,a b +∈R 且1a b +=,的最大值. 【解析】(1)证明:()()222222()()0,a b cd ac bd ad bc ++-+=-()()22222()a b c d ac bd ∴+++.(2)由柯西不等式可得()2222211(31a ⎡⎤++++⎣⎦.21,10,3a b a +=∴∴.【例5】设,,x y z ∈R ,且1x y z ++=. (1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值;(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立,证明:3a -或1a -. 【解析】(1),,x y z ∈R ,且1x y z ++=,由柯西不等式可得()222222111(1)(1)(1)x y z ⎡⎤++-++++⎣⎦2(111)4x y z -++++=,可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++, 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)证明:由1x y z ++=,柯西不等式可得()22222222111(2)(1)()(21)(2)x y z a x y z a a ⎡⎤++-+-+--+-+-=+⎣⎦,可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-, 即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +,由题意可得2(2)133a +,解得1a -或3a -.强化训练1.已知定义域在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若,,p q r 为正实数,且p q r a ++=,求证:2223p q r++.【解析】(1)解:()()12123x x x x ++-+--=,当且仅当12x -时,等号成立,()f x ∴的最小值为3,即3a =.(2)证明:由(1)知,3p q r ++=,又,,p q r 为正实数,∴由柯西不等式得,()()2222222111(111)pq r p q r ++++⨯+⨯+⨯22()39p q r =++==,即22p q +23r +2.设正数,,a b c 满足abc a b c =++,求证:4936ab bc ac ++,并给出等号成立条件.【解析】证明:正数,,a b c 满足111,1abc a b c ab bc ac =++∴++=,再由柯西不等式可得()211149(123)36ab bc ac ab bc ac ⎛⎫++++++=⎪⎝⎭,当且仅当231a b c ===、、时,取等号,故4936ab bc ac ++成立.3.设,,,a b m n ∈R ,且225,5a b ma nb +=+=,的最小值为.【解析】由柯西不等式得,()()22222()ma nb mn a b +++,()222225,5,5,ab ma nb m n m +=+=∴+∴4.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )C.3D.2【解析】设椭圆的长半轴为a ,双曲线的实半轴为11,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()222121242cos3c r r r r π=+-,(1)在椭圆中,(1)化简为即2212443c a r r =-,即122213114r r c e =-,(2)在双曲线中,(1)化简为即2211244c a r r =+,即12222114r r c e =-+,(3)联立(2)(3)得,2212134e e +=,由柯西不等式得22212121131113e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即21211443e e ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭163=,即12111643e e +=,当且仅当12e e ==时取等号.故1211e e +最大值为. 【解法2】设椭圆的长半轴为1a ,双曲线的实半轴为112,a a a >,半焦距为c ,由椭圆和双曲线的定义可知,设112212,,2PF r PF r F F c===,椭圆和双曲线的离心率分别为1212,,3e e F PF π∠=,∴由余弦定理可得()()()()222221212121242cos3c r r r r r r r r π=+-=+-,由12112222r r a r r a +=⎧⎨-=⎩,得1121212121211,r a a a a r r a a e e c c =+⎧+∴+==⎨=-⎩,令221122222121222211144413124r r m c r r r r r rr r r r ====+-⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当2112r r =时,1max?max?16,3r m c ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭, 即1211e e +的最大值为. 【解法3】设12,PF m PF n ==,则1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩,则12a a m+=,则121211a a m e e c c ++==,由正弦定理得()2sin60sin 120m c θ=-即()()2sin 12044120sin6033m c θθ-==-=. 【答案】A.5.设,,a bc 为互不相等的正整数,求证:221112323b ca ++++.【解析】证明:由柯西不等式可得211149b c a a b c ⎛⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,即为21111112349b c a a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当且仅当222149ab c ==,即有1,2,3a b c ===时,上式取得等号. 故不等式221112323b c a ++++成立.。

高二数学柯西不等式试题

高二数学柯西不等式试题

高二数学柯西不等式试题1.设正数,(1)满足,求证:;(2)若,求的最小值。

【答案】(1)不等式的证明,可以运用均值不等式来得到证明。

(2)根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。

【解析】⑴证明:(利用柯西不等式)⑵根据题意,由于,那么,在可以根据均值不等式同时取得等号得到其最小值为【考点】均值不等式点评:主要是考查了不等式的证明以及最值的求解,属于中档题。

2.若0<x1<x2, 0<y1<y2,且x1+x2=y1+y2=1,则下列代数式中值最大的是()A.x1y1+x2y2B.x1x2+y1y2C.x1y2+x2y1D.【答案】A【解析】依题意取x1=,x2=,y1=,y2=。

计算x1y1+x2y2=,x1x2+y1y2=,x 1y2+x2y1=,故选A。

【考点】本题主要考查不等式的性质,选择题的灵活解法。

点评:简单题,本题可利用“特殊值法”解答,体现选择题解法的灵活性。

3.(本题12分)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求证:(Ⅰ);(Ⅱ).【答案】(Ⅰ)应用柯西不等式,。

(Ⅱ)由(Ⅰ)得(3-a)2<5-a2,推出。

【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)得(3-a)2<5-a2【考点】本题主要考查柯西不等式的应用,不等式的证明。

点评:中档题,关键是根据已知条件,构造柯西不等式,对考查考生创新思维,有较好的作用。

4.(本小题满分13分)已知实数满足,且的最大值是7,求的值.【答案】.【解析】本题是考查柯西不等式的应用.根据柯西不等式:,可得出的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.解:由柯西不等式:. …………………6分因为所以,即. ……………………9分因为的最大值是7,所以,得,……………………10分当时,取最大值,所以.…………………13分5.观察下列式子, ….则可归纳出.【答案】(n∈N*)【解析】解:因为观察下列式子, ….则可归纳出(n∈N*)成立。

02柯西不等式与平均值不等式训练题(含经典例题+答案)

02柯西不等式与平均值不等式训练题(含经典例题+答案)

柯西不等式与平均值不等式训练题1一.选择题(共20小题)1.(2015•湖南)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A.B.2 C.2D.42.(2015•福建)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.53.若实数x、y满足=1,则x2+2y2有()A.最大值3+2 B.最小值3+2C.最大值6 D.最小值64.(2015•上海)已知a>0,b>0,若a+b=4,则()A.a2+b2有最小值B.有最小值C.有最大值 D.有最大值5.(2015•浙江)设正实数a,b满足a+λb=2(其中λ为正常数).若ab的最大值为3,则λ=()A.3 B.C.D.6.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是()A.2 B.2C.4 D.27.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n使得,则的最小值为()A.B.C.D.不存在8.若a>0,b>0,且a+2b﹣2=0,则ab的最大值为()A.B.1 C.2 D.49.已知正项等比数列{a n}满足:a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n,使得a m a n=16a12,则+的最小值为()A.B.C.D.不存在10.若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.511.已知正实数m,n满足m+n=1,且使取得最小值.若曲线y=x a过点P(,),则a的值为()A.﹣1 B.C.2 D.312.设a>b>0,则a++的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.3+213.若x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.B.3 C.D.414.若4x+4y=1,则x+y的取值范围是()A.[0,1] B.[﹣1,0] C.[﹣1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]15.已知a>0,b>0,c>0,且ab=1,a2+b2+c2=4,则ab+bc+ac的最大值为()A.B.C.3 D.416.若正数x,y满足x2+6xy﹣1=0,则x+2y的最小值是()A .B .C .D .17.已知a >0,b >0且a≠1,若函数y=log a x 过点(a+2b ,0),则的最小值为( )A .B .C .D .218.已知a >0,b >1且2a+b=4,则+的最小值为( )A .8B .4C .2D .19.若正数a ,b 满足+=1,则+的最小值为( )A .16B .25C .36D .4920.已知x ,y ∈(﹣∞,0),且x+y=﹣1,则xy+有( )A .最大值B .最小值C .最小值﹣D .最大值﹣二.解答题(共10小题) 21.已知正实数a 、b 满足:a 2+b 2=2.(1)求的最小值m ;(2)设函数f (x )=|x ﹣t|+|x+|(t≠0),对于(1)中求得的m ,是否存在实数x ,使得f (x )=2m成立,说明理由. 22.已知不等式x 2﹣5ax+b >0的解集为{x|x >4或x <1}(1)求实数a ,b 的值;(2)若0<x <1,f (x )=,求f (x )的最小值.23.已知函数f (x )=的定义域为R .(Ⅰ)求实数m 的取值范围.(Ⅱ)若m 的最大值为n ,当正数a 、b 满足+=n 时,求7a+4b 的最小值.24.已知a ,b 都是正实数,且a+b=1(Ⅰ)求证:≥4;(Ⅱ)求的最小值.25.已知实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=3.(Ⅰ)求证a+b+c≤3;(Ⅱ)求证.26.已知关于x 的不等式:|2x ﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1.(1)求整数m 的值;(2)已知a ,b ,c 均为正数,若2a+2b+2c=m ,求++的最小值.27.已知正数x ,y ,z 满足2x+2y+z=1,求3xy+yz+zx 的最大值. 28.已知a ,b ,c ∈R ,a 2+b 2+c 2=1.(1)若a+b+c=0,求a 的最大值.(2)若ab+bc+ca 的最大值为M ,解不等式|x+1|+|x ﹣1|≥3M .29.已知正实数a ,b ,c 满足a+b+c=3,求证:++≥3.30.已知a >0,b >0,且a+b=2.(1)求+的最小值及其取得最小值时a ,b 的值;(2)求证:a 2+b 2≥2.一.选择题(共20小题)1.C;2.C;3.B;4.A;5.D;6.C;7.A;8.A;9.A;10.D; 11.B;12.C; 13.D; 14.D; 15.A; 16.A; 17.A; 18.D; 19.A; 20.B;二.解答题(共10小题)21.解:(1)∵2=a2+b2≥2ab,即,∴.又∴≥2,当且仅当a=b时取等号.∴m=2.(2)函数f(x)=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1,∴满足条件的实数x不存在.22.解:(1)由题意可得,解得,∴实数a,b的值分别为1,4;(2)由(1)知f(x)=+∵0<x<1,∴0<1﹣x<1,∴>0,>0,∴f(x)=+=(+)[x+(1﹣x)]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时,等号成立.∴f(x)的最小值为9.23.解:(1)∵函数定义域为R,∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立,设函数g(x)=|x+1|+|x﹣3|,则m不大于函数g(x)的最小值,又|x+1|+|x﹣3|≥|(x+1)﹣(x﹣3)|=4,即g(x)的最小值为4,∴m≤4.(2)由(1)知n=4,∴7a+4b===,当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=时取等号.∴7a+4b的最小值为.24.证明:.(Ⅱ)解:≥,即,又∵得,即,∴.∴当且仅当上式等号成立.25.证明:(I)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)=3(a2+b2+c2)=9.∴a+b+c≤3;(II)∵(a2+b2+c2)=3+++++=3+++≥+2+2=9.当且仅当a2=b2=c2=1时取等号.∴≥326.解:(1)由关于x的不等式:|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1,解得≤x≤.由于整数解有且仅有一个值为1,∴,∴1<m<3.故整数m的值为2.(2)由2a+2b+2c=m得a+b+c=1.∵,,,∴,即∴,当且仅当a=b=c 时取等号故的最小值为1.27.解:∵正数x,y,z满足2x+2y+z=1,可得z=1﹣2(x+y)>0,解得.∴3xy+yz+zx=3xy+[1﹣2(x+y)](x+y)≤﹣2(x+y)2+(x+y)==+,当x+y=,x=y=时,取等号.∴3xy+yz+zx的最大值为.28.解:(1)∵a2=(﹣b﹣c)2=b2+c2+2bc≤2(b2+c2)∴a2≤2(1﹣a2),∴3a2≤2,即,∴a 的最大值为.(2)∵,∴M=1.若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M对一切实数a,b,c 恒成立,则|x+1|+|x﹣1|≥3,当x≥1时,化为2x≥3,解得,满足x≥1,∴;当﹣1≤x<1时,化为x+1﹣x+1≥3,即2≥3,此时x∈∅;当x<﹣1时,化为﹣2x≥3,解得x≤﹣,满足x≤﹣1,∴x≤﹣.综上可得:不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集为∪.29.证明:∵正实数a,b,c满足a+b+c=3,∴,∴abc≤1,∴.30.解:(1)∵a>0,b>0,且a+b=2.∴+===5++≥=9,当且仅当,b=时等号成立.∴+的最小值为9.(2)∵a>0,b>0,且a+b=2.∴2(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时取等号.。

1,二维形式的柯西不等式

1,二维形式的柯西不等式

二维形式的柯西不等式题型一。

利用柯西不等式证明不等式例1已知θ为锐角,a ,b ∈R +,求证:a 2cos 2θ+b 2sin 2θ≥(a +b )2.练习1.已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,求证:|ax +by |≤1.2.已知a 1,a 2,b 1,b 2为正实数.求证:(a 1b 1+a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1+a 2b 2≥(a 1+a 2)2. 3.设a ,b ,c 为正数,求证:a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2≥ 2(a +b +c ). 题型二。

利用二维形式的柯西不等式求最值例2 求函数y =3sin α+4cos α的最大值练习4.已知2x 2+y 2=1,求2x +y 的最大值. 5.已知2x +3y =1,求4x 2+9y 2的最小值.6.求函数f (x )=x -6+12-x 的最大值及此时x 的值.本节练习1.已知a ,b ∈R +且a +b =1,则P =(ax +by )2与Q =ax 2+by 2的关系是( ) A .P ≤Q B .P <Q C .P ≥QD .P >Q2.若a ,b ∈R ,且a 2+b 2=10,则a -b 的取值范围是( ) A .[-25,2 5 ] B .[-210,210 ] C .[-10,10 ]D .(-5,5)3.已知x +y =1,那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A.56 B.65C.2536D.36254.函数y =x -5+26-x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C .3D .55.设xy >0,则⎝⎛⎭⎫x 2+4y 2·⎝⎛⎭⎫y 2+1x 2的最小值为________. 6.设a =(-2,1,2),|b |=6,则a ·b 的最小值为________,此时b =________. 7.设实数x ,y 满足3x 2+2y 2≤6,则P =2x +y 的最大值为________. 8.已知x ,y ∈R +,且x +y =2.求证:1x +1y ≥2.9.解方程4x +3+2 1-2x =15.10.试求函数f (x )=3cos x +4 1+sin 2x 的最大值,并求出相应的x 的值.三维形式的柯西不等式利用柯西不等式求最值例1 (1)已知x ,y ,z ∈R +,且x +y +z =1.求 1x + 4y + 9z的最小值.(2)设2x +3y +5z =29. 求函数μ=2x +1+3y +4+5z +6的最大值.练习1.已知a ,b ,c ,d ∈R +,且a +b +c =1,求证:3a +1+3b +1+3c +1≤3 2.2.设a ,b ,c ,d 均为正实数,则(a +b +c +d )·⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c +1d 的最小值为________. 3.已知:x ,y ,z ∈R +且x +y +z =2,则x +2y +3z 的最大值为( ) A .27 B .2 3 C .4D .54.把一根长为12 m 的细绳截成三段,各围成三个正方形.问:怎样截法,才能使围成的三个正方形面积之和S 最小,并求此最小值.应用练习1.若a ,b ,c ∈R +,且1a +12b +13c =1,则a +2b +3c 的最小值为( )A .9B .3 C. 3D .62.已知a 21+a 22+…+a 2n =1,x 21+x 22+…+x 2n =1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是( )A .1B .2C .3D .43.已知a 2+b 2+c 2+d 2=5,则ab +bc +cd +ad 的最小值为( ) A .5 B .-5 C .25D .-254.设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数,且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax +by +cz =20,则a +b +c x +y +z=( )A.14B.13C.12D.345.已知:2x +3y +z =8,则x 2+y 2+z 2取得最小值时,x ,y ,z 形成的点(x ,y ,z )=________.6.设a ,b ,c 为正数,则(a +b +c )⎝⎛⎭⎫4a +9b +36c 的最小值是________.7.已知a ,b ,c ∈R +且a +b +c =6,则2a +2b +1+2c +3的最大值为________. 8.在△ABC 中,设其各边长为a ,b ,c ,外接圆半径为R ,求证:(a 2+b 2+c 2)⎝⎛⎭⎫1sin 2A +1sin 2B +1sin 2C ≥36R 2.9.求实数x ,y 的值使得(y -1)2+(x +y -3)2+(2x +y -6)2取到最小值.10.已知实数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =3,a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,求a 的最值.。

柯西不等式练习

柯西不等式练习

柯西不等式练习一、单选题1.已知:221a b +=,221x y +=,则ax by +的取值范围是()A .[]0,2B .[]1,1-C .[]22-,D .[]0,12.实数x 、y 满足223412x y +=,则2z x =+的最小值是()A .5-B .6-C .3D .43.已知a ,0b >,5a b +=的最大值为()A .18B .9C .D .4.设,,a b c R +∈,1a b c ++=,则下列选项中是假命题的是().A .13ab bc ca ++≤B .22213a b c ++≥C .33313a b c ++≥D .1119a b c++≥5.实数m ,n ,x ,y 满足22m n a +=,22()x y b a b +=≠,那么mx ny +的最大值为().A .2a b +B C D .26.若实数231x y z ++=,则222x y z ++的最小值为()A .14B .114C .29D .1297.若222494x y z ++=,则3x y z ++的最大值()A .9B .3C .1D .68.已知a ,b R ∈,224a b +=,求32a b +的取值范围为()A .324a b +≤B .32a b -≤+≤C .324a b +≥D .不确定9.已知222121n a a a +++= ,222121n x x x +++= ,则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是()A .1B .2C .3D .410.函数y =的最大值是()ABC .3D .5二、填空题11.已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.12.已知1F 、2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点,P 为1C 和2C 的一个公共点,且1213F PF π∠=,椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ,2e ,则1211e e +的最大值为________________.13.已知x ,y ∈R ,且3x y +=,则______.14.在平面直角坐标系中,A (2,0-),B (0,1),C 为221x y +=上的动点,则AC BC +的取值范围为_______.三、解答题15.设x ,y ,z 均为正实数,且24x y z ++=.(1)证明:22224x y z ++≥.(2)求+.16.设函数()2|1||3|f x x x =++-的最小值为t .(1)求t 的值;(2)若正数,a b 满足a b t +=4.17.已知a ,b ,c 是非负实数,满足1a b c ++=.求()2323b c a b c a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值.18.已知0a >,0b >,0c >.(1)若2a b +=,求212a b a b +++的最大值M ;(2)若4a b c ++=,求22249a b c ++的最小值.19.设正数a ,b ,c 满足3a +2b +c =1,求1a +1a b ++1b c+的最小值.20.(1)已知函数 ()|1||2|f x x x =-+-,解不等式()2f x ;(2)已知正数x ,y ,z 满足231x y z ++=,求321x y z++的最小值.。

柯西不等式练习题

柯西不等式练习题

柯西不等式练习题1.(09绍兴二模)设222,,,1x y z R x y z ∈++=。

(1)求x y z ++的最大值;(2)求x y +的取值范围。

2.(09宁波十校联考)已知,,(0,)x y z ∈+∞,且1x y z ++=,求1925x y z++的最小值。

3.(09温州二模)已知,,x y z R +∈,且1z y z ++=。

(1)若2222361x y z ++=,求,,x y z 的值;(2)若222231x y tz ++≥恒成立,求正数t 的取值范围。

4、(09嘉兴二模)设,,x y z R ∈,且231x y z ++=。

(1)求证:||||||1x y z y z z +++++≥; (2)求222(1)(2)(3)u x y z =-+-+-的最小值。

5.(09诸暨模考)已知,,x y z 都是正数,且236x y z ++=; (1)求证:222187x y z ++≥;(2)问123x y z++有最大值还是最小值?并求这个最值。

6.(09宁波一模)已知352x ≤≤。

<7(09舟山一模)已知,,,a b c d 满足22223,236a b c d a b c d x +++=+++=。

(1)求证:当0a =时,9x ≥。

(2)当5x =时,求实数a 的最值。

8.(09稽阳联考)(1)已知正数,,x y z 满足1x y z ++=,求222111x y z z x y++---的最小值。

9.已知t =,求t 的最大值。

10.(09金丽衢十二校第一次联考)已知3441x y z ++=,求222x y z ++的最小值。

11(09浙江五校联考)(1)求函数2238()()2sin 13cos 2f x x R x x =+∈++的最小值。

12、(09湖州一模)已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=。

(1)求111+a b c +的最小值;(2)求证:22211114a b c a b c ++≥+++.13、(09杭州一模)已知,,x y z 是正数,且满足条件3x y z xyz++= (1)求x y z ++的最小值;(2)若3xyz =,且22221x y z ++=,求x 的取值范围。

柯西不等式及应用含答案

柯西不等式及应用含答案

一、柯西不等式:211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式:))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明:(用作差法)0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式:))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明:(构造空间向量法) 设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ,所以:222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++,两边平方即可!n 维柯西不等式:211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明:(用构造函数法)(1).当021==⋅⋅⋅==n b b b 时,不等式显然成立; (2)当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时,构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立,因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故:211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式:2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a (在柯西不等式中令b k =1,两边同时除以n 2即得) ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习:1.已知z y x ,,>0,且1=++z y x ,求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值; 2.已知b a ,>0,求证:b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0,求证:x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ,求证:c b a ---++2793≥31;8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24;9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ; 10.若a >b>c ,求证:ca cb b a -≥-+-411答案:1.证明:由1=++z y x 得:zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(,所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-=zx xy z yz zx y yz xy x +++++222,由柯西不等式得:2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有:zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即:zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥,又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有:zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥,当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明:由柯西不等式可得:22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++(放缩))71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=(裂项相消))711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有:b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明:由柯西不等式得:9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ,又2=++z y x所以有:x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明:与第3题的证法相同,最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号;5.证明:由1=abc 得:1222=c b a ,所以:2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即:232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ,所以:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明:由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以:222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以:3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故:222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明:c b a ---++2793=3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式:])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即:)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++,结合632222=++c b a 所以有:632≤++c b a即:313333363)32(=≥-++-c b a 所以:c b a---++2793≥318.证明:由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出,与第7题一样; 9.证明:]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了!10.证明:由条件a >b>c 得:b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a =4 所以:c a c b b a -≥-+-411 点评: 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为:222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++;2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明,其实这 三种方法也可以相互迁移,尤其是向量法简洁明了,值得借鉴;3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙;4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件,请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

完整版柯西不等式单元测试题1

完整版柯西不等式单元测试题1

《柯西不等式》单元测试题(1)班级_______________ 姓名_________________一、选择题:1.已知a, beR, a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为()A. 4 B・2皈.8 D・9m n2•设x, y, m , n>0,且x+y = l,则u=x+y 的最小值是()A .④$ B. y/in -bjn C . m + n D . (m + n)23.若a, beR ,且a2+ b2= 10,则a— b的取值范围是()A.[-恥,矯]B . [- C • [ — *s/~^0,V^]D .[-点迁4.已知4x?+5y2=l,则2x + p 5y的最大值是()B . 1C . 3D . 9+ 1+- 1+一15.已知x, ye R,且xy= 1,贝ij x y的最小值为()1A. 4 B ・ 2 C ・ 1 D. 742 2a b6.设a、b£R+,且aHb, P=b +a,Q = a+b,则()A. P>Q B ・ P$Q C ・ P〈Q D・ PW Q二、填空题:1 17.已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b的最小值为_____________________ ;8.函数y= (x— 5+ — x的最大值是__________ :9•设,,,,, 都是正实数,— +J —, 珂—干a b c d m n P aocd 、Q m*a nc的大小 ________10.函数y=2cos x + 3 pl — cos 2 x的最大值为________________11.函数y= 1—x+Q 2x+ 1的最大值为 _________________ .三、解答题:12.若2x+3y=l,求4x24- 9y2的最小值,并求出最小值点.1 113.设&, be R+ ,若a+b=2,求a+ b的最小值.14.已知a^Jl— b2+b^Jl— a2 = l,求证:a2+ b2= 1.1 8 8 115.设a+b= 2,求证:a +bM2「参考答案:一、选择题:1.已知d, beR , a2+b2= 4,则3a+ 2b的最大值为( )A. 4 B . 2 . 8 D . 9答案:Bm n2.设x, y, m , n>0,且x+y = l,则u=x+y 的最小值是( )A .価 +申 $ B. yjm ~hjn C . m + n D . (m + n)2答案:A3•若, WR,且2+ 2=10,则一的取值范围是( )a b a b a bA.[一亦,2^5]B . [- 2^/10, 2^/10]C .[一厂0,厂10]D .苛5,护]9 9 0 9 9■ ■ ■M M解析:V(a + b)[l + (-l)]>(a-b),| a — b W-^20 = 2-^5, /. a — b w [ —2^5, 2寸.答案: A4.已知4x?+5护=1,则2x+两y的最大值是( )A.才B . 1 C . 3 D . 9解析:V2x+ V 5y= 2x • 1#" 5y • 12+^f A• l2 + l/=斗2孑2.2x+ 的最大值为答案: A1 15.已知x, ye R +,且=1,则 1 + 一1 + 一的最小值为0X y1A. 4 B ■2C . ID.41 1 1 9T解析:1+ X 1+y A 1 + xy =4, 故选A.答案: A+ ¥6.设a、beR ,且dH b, P=b + a,Q = &+b,则( )A. P>Q B ・ P$Q C. P<Q D・ PW Qa2 b2解析:•・• b+ a (a+ b)a b=Vb 2+ 石[(乂 + ( b)^]a +b }2>0,・•・a + >0.・・・ 亠+b —a hua 2b 2即 a= b, b + a >a+ b.即 P>Q . 答案: A 二、填空题:7. 已知a, b>0,且a+ b= 1 ,则2a+ b 的最小值为解析:・・・1 +1= ( + )1+1 2a b2a 寸T )/0,又••• a^b,而等号成立的条件是=[(2+ ( b)2]2=2 +b123 =+ -石 3 答案:对弋2.8.函数 y= x — 5+ 2 6 — x 的最大值是解析:根据尊面不等式,知y=lX x'^5 + 2 X 6—xW 124- 22X x — 5答案:都是正实数,= +P abed= +Q m a nc答案: PWQ厂m nam + nc • d m n+ =Q ・m na b4ncmn10.函数y=2cos x + 3\/ 1— cos 2 x 的最大值为 y= 2cos x+ 3 寸 1— cos 2 斗 cos 2 x + sin 2 x [2 2+ 3 2 2] = 22.解析:=2cos x+ 3 2sin 2xWcos x 2 3^2 _当且仅当即x=土卫一时,函数有最大值厂Vsh2 x S/ 2 1an 2 22 答案:^2211・函数=2寸+ 的最大值为_________ .yx x_____ ____________解析:y= 2\ll-x+ \] 2x+ \=^寸2-2x+l • p2x+ 1W 2. 寸2 — 2x 2+ 寸2x+ 1 =©•萨3.当且仅当<2—2x • 1 = ^/2 • Qx+ 1取等号.即2- 2x=4x+ 2,・•・x= 0时取等号.答案:3三、解答题:12.若2x+3y=l,求4x2+ 9y2的最小值,并求出最小值点.解:由柯西不等式@/+9y2)(l 2 + ]2)鼻仪x + 3y) 2=1,2 2 1A4x + 9y 三2当且仅当2x • 1= 3y • 1,即2x=3y时取等号.rh 2x= 3y,力2x+ 3y= 1y=-6A4x2 + 9y2的最小值为乩最小值点为13.设a, bWR+,若a+b= 2,求1+ 1的最小值.a b(a+ b) a+ b・:2 a+ b 24,即a + b 22.・••当a= b= 1时,a+ b的最小值为2.当且仅当时取等号,14.已知a^yi— b2+b-^l— a2 = 1,求证:a2+ b2= 1.证明:由柯西不等式,得(a 1—b 2+ b 1 —^2)[a 2(1 _ a 2)][b 2 + (1 —b 2)]= b -/l — b 2当且仅、"l / _ =、 i 寸,上式取等号,y 1 — 3,2 3/. ab=^/— a 2 • ft/- b 2, a 2b 2= (1 - a 2)(l — b 2)・于是 a 2+b 2= 1.1 8 8 115・设 a+b= 2,求证:a + b 2 2? •11 2 2 2I=23 2 1 +1 a + b2 1— — —1 12sX 22(a+b) = 2仁 .••原不得式成立.证明:芒+异已1(12 + "F 2)[(2a 4) 2 + (b 4)2]14 4 2^2(1X a +1X b )1=(-4+4 2_1 1)—_ — ' r2 i a b 2 211222 9 ■4 421 + 1a+b2 2 2 2 2= 2X41(1 + 1)[( a)+ (b)]}2。

柯西不等式6个基本公式和例题

柯西不等式6个基本公式和例题

柯西不等式6个基本公式和例题柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,主要用于研究向量空间中的内积和范数。

在不等式的形式上,柯西不等式可以表示为:\[ \left| \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right|^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]其中 \(a_i\) 和 \(b_i\) 分别为向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的分量。

下面是柯西不等式的六个基本公式和相应的例题:1. \textbf{基本公式1:} 如果 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 是向量空间中的任意两个向量,那么柯西不等式可以表示为:\[ \left| \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right|^2 \leq \left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot\left\| \mathbf{b} \right\|^2 \]其中 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) 表示 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的内积,\(\left\| \mathbf{a} \right\|\) 表示 \(\mathbf{a}\) 的范数。

\textbf{例题1:} 给定向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)和 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\),求 \(\left| \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} \right|^2\) 和 \(\left\| \mathbf{a} \right\|^2 \cdot \left\| \mathbf{b} \right\|^2\)。

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题1.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bz B.bx+ay+czC.bx+cy+az D.ax+by+cz【答案】D【解析】根据条件:a<b<c,x<y<z,结合排序不等式:反序和≤乱序和≤同序和,即可得出同序和ax+by+cz最大.解:∵a<b<c,x<y<z,排序不等式:反序和≤乱序和≤同序和,得:同序和ax+by+cz最大.故选D.点评:本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识,解答关键是利用不等关系与不等式的性质:反序和≤乱序和≤同序和.2.已知n个正整数的和是1000,求这些正整数的乘积的最大值.【答案】22×3332.【解析】n个正整数x1,x2,x3,…,xn中,不可能有大于或等于5的数,也不可能有三个或三个以上的2,因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成.解:n个正整数x1,x2,x3,…,xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000,x 1,x2,x3,…,xn中,不可能有大于或等于5的数,这是因为5<2×3,6<3×3,…也不可能有三个或三个以上的2,这是因为三个2的积小于两个3的积,因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成,最大值为22×3332.点评:本题考查正整数的乘积的最大值的求法,是中档题,解题时要注意排序不等式的合理运用.3.设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.【答案】见解析【解析】由排序原理:顺序和≥反序和,结合基本不等式,即可得到结论.证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理:顺序和≥反序和,得:a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2(a3+b3+c3)≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.当且仅当a=b=c时,等号成立.点评:本题考查排序原理:顺序和≥反序和,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.4.函数()A.6B.2C.5D.2【答案】D【解析】函数可化为=,利用柯西不等式,即可求得最大值.解:由柯西不等式可得=≤=2当且仅当,即x=时,函数取得最大值2故选D.点评:本题考查函数的最值,考查柯西不等式的运用,考查计算能力,属于中档题.5.(2014•湖北模拟)设x、y、z是正数,且x2+4y2+9z2=4,2x+4y+3z=6,则x+y+z等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】运用柯西不等式:(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2,当且仅当等号成立.解:∵x、y、z是正数,x2+4y2+9z2=4,2x+4y+3z=6,∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36,∴可设,(k为常数),代入2x+4y+3z=6,得k=,∴x+y+z==.故选A.点评:本题考查三元柯西不等式及应用,考查基本的运算能力,是一道基础题.6.二维形式的柯西不等式可用()表示.A.a2+b2≥2ab(a,b∈R)B.(a2+b2)(c2+d2)≥(ab+cd)2(a,b,c,d∈R)C.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)D.(a2+b2)(c2+d2)≤(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)【答案】C【解析】二维形式的柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d∈R 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2其中等号当且仅当ad=bc时成立.解:根据二维形式的柯西不等式的代数形式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2故选C点评:本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识.属于基础题.7.设a,b∈R+,a+b=1,则+的最小值为()A.2+B.2C.3D.【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10,可得+的最小值.解:∵a,b∈R+,a+b=1,∴a2+b2=1﹣2ab,又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2(ab+2)=10,∴+≥,当且仅当=时,等号成立,故+的最小值为,故选:D.点评:本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值,属于基础题.8.(2014•长安区三模)己知x,y∈(0,+∞),若+3<k恒成立,利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是.【答案】k>.【解析】由柯西不等式可得(+3)2≤(x+y)(1+9),即+3<10结合条件,即可得出结论.解:由柯西不等式可得(+3)2≤(x+y)(1+9),∴+3<10∵+3<k恒成立,∴k>.故答案为:k>.点评:本题考查柯西不等式,考查学生的计算能力,正确运用柯西不等式是关键.9.(2014•陕西模拟)函数的最大值是.【答案】10.【解析】由函数的特点,利用柯西不等式,即可得到结论.解:由于.当且仅当即时等号成立.故函数的最大值是 10.故答案为:10.点评:本题考查了柯西不等式求函数最值,关键是对所给函数解析式灵活变形,再应用柯西不等式,此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数(互为相反数时可用基本不等式),但是符号相反,注意先求函数的定义域,验证等号成立的条件.10.(2014•黄冈模拟)设a、b、c为正数,a+b+9c2=1,则++c的最大值是,此时a+b+c= .【答案】.【解析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值.解:∵a、b、c为正数,a+b+9c2=1,由柯西不等式可得≤[++(3c)2]•[12+12+]=1×=,∴++c的最大值是=,此时,且a+b+9c2=1,即 a=b=,c=时,取等号,故此时,a+b+c=++=,故答案为:.点评:本题考查了柯西不等式的应用,考查了变形能力和计算能力,属于中档题。

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________ 1. 设a,b,c为正数,a+b+9c2=1,则√a+√b+√3c的最大值是()A.7 3B.53C.√213D.√1532. 设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+ cz=20,则a+b+cx+y+z=()A.1 4B.13C.12D.343. 已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,则(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是()A.12B.20C.28D.364. 函数y=5√x−1+√9−3x()A.6√3B.2√3C.5√2D.2√145. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n6. 已知x,y,z均为正数,且x+y+z=1,则x21+x +y21+y+z21+z的最小值为________.7. (不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.8. 若正数a,b,c满足a+b+4c=1,则√a+√b+√2c的最大值为________.9. 已知实数a,b,c满足a+2b−c=1,则a2+b2+c2的最小值是________.10. 函数y=√x−4+√25−5x的最大值为________.11. 已知x+2y+3z=1,则2x2+2y2+z2的最小值为________.12. 已知空间的点P(x, y, z)(x, y, z∈R)到原点O(0, 0, 0)的距离为3,则式子x+2y+ 2z的最大值与最小值的差是________.13. 已知:x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,则x−2y−3z的最大值为________√14.14. 设a,b,c均为正数,且a+b+c=12,则1a +9b+25c的最小值为________.15. 已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的取值范围是________.16. (1)a、b为非负数,a+b=1,x1,x2∈R+,求证:(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2; 16.(2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值.17. (I)在极坐标系内,已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0,以极点为原点,极轴方向为x正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程;(2)设点P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的切线,求这条切线长的最小值. 17.(II)已知f(x)=m−|x−2|,且不等式f(x+2)≥0解集为[−1, 1].(1)求正实数m的大小;(2)已知a,b,c∈R,且1a +12b+13c=m,求a+2b+3c的最小值.18. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R)(1)求x2+y2+z2的最小值;(2)若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.19. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R).(1)求x2+y2+z2的最小值;(2)若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.20. 已知f(x)=|2x+1|+|x+5|.(1)解不等式f(x)<9;(2)若a,b,c均为正数,且f(a)+f(b)+f(c)=24,证明:b2a +c2b+a2c≥2.21. 已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m.(1)求m的值;(2)若实数a,b满足a2+b2=m,求11+a2+12+b2的最小值.22. 已知关于x的不等式|x−1|−|x+2|≥|m+1|有解,记实数m的最大值为M.(1)求实数m的取值范围;(2)正数a,b,c满足a+2b+2c=M,求证:1a+b +3b+c+4c+a≥9.23. 已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3√3.(1)求证:x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32.(2)求1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值.24. 已知a,b,c是正实数,且满足a+b2+c3=1.(1)是否存在满足已知条件的a,b,使得ab=12,试说明理由;(2)求√a+√b+√c的最大值.25. 已知函数f (x )=|x −2|−2|x| . (1)求不等式f (x )>1的解集;(2)若正数a ,b ,c 满足a +4b +9c =f (13)+2,求1a +4b +9c 的最小值.26. 已知函数f (x )=|x −4|+|1−x|,x ∈R . (1)解不等式:f (x )≤5;(2)记f (x )的最小值为M ,若正实数a ,b 满足a +b =M ,试求:1a+2+1b+1的最小值.27. 已知a ,b ,c >0,a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2=1,证明.αbc ≤√24.28. a 2+b 2+c 2+x 2+y 2=16√21,求证:(ax +by)2+(bx +cy)2≤2016.29. (选做题)已知x 2+3y 2+4z 2=2,求证:|x +3y +4z|≤4.30. 设x ,y ,z ∈R ,且x +y +z =1. (1)求(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值;(2)若(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥13成立,证明:a ≤−3或a ≥−1.31. 已知x +y +z =1,求证x 2+y 2+z 2≥13.32. 不等式选讲:已知x ,y ,z ∈R ,且x −2y −3z =4,求x 2+y 2+z 2的最小值.33. 已知实数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =3,a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,求a 的取值范围.34. (选做题)已知a ,b ,c ∈(0, +∞),且1a +2b +3c =2,求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ,b ,c 的值.35. 已知:x,y,x是正实数,且x+2y+3z=1,(1)求1x +1y+1z的最小值;(2)求证:x2+y2+z2≥114.参考答案与试题解析高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 (本题共计 5 小题 ,每题 3 分 ,共计15分 ) 1.【答案】 C【考点】 柯西不等式一般形式的柯西不等式 【解析】由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2]≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2,代入数据变形可得. 【解答】解:由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2] ≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2,∴ 代入数据变形可得√a +√b +√3c ≤√2+13=√213, 当且仅当√a 1=√b 1=√33且a +b +9c 2=1,即a =b =37,c =√721时取等号, ∴ √a +√b +√3c 的最大值是√213. 故选C .2.【答案】 C【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)=10×40≥(ax +by +cz)2=202. 取等条件是ax =by =cz =12, 所以a+b+cx+y+z =12. 3. 【答案】 C【考点】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,可以将(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2,用x2+y2+z2和(xy+yz+xz)表示出来,然后根据完全平方式的基本性质进行求解.【解答】解:∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4,∴(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2=5(x2+y2+z2)−4(xy+yz+xz)=20−2[(x+y+z)2−(x2+y2+z2)]=28−2(x+y+z)2≤28∴当x+y+z=0时(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是28.故选C.4.【答案】D【考点】一般形式的柯西不等式【解析】函数可化为y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x,利用柯西不等式,即可求得最大值.【解答】由柯西不等式可得y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x≤√(25+3)(x−1+3−x))=2√14当且仅当√3=√x−1√3−x,即x=3914时,函数取得最大值2√145.【答案】C【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】解:由柯西不等式,得(x1+x2+⋯+x n)(1x1+1x2+⋯+1x n)≥(√x11√x√x2×1√x⋯+√x n1x n)2=(1+1+⋯+1)2=n2,当且仅当x1=x2=⋯=x n时取等号.故选C.二、填空题(本题共计 10 小题,每题 3 分,共计30分)6.【答案】14【考点】此题暂无解析 【解答】解:∵ x ,y ,z 均为正数,∴ (x 21+x +y 21+y +z 21+z )(1+x +1+y +1+z)≥(x +y +z)2, ∵ x +y +z =1, ∴x 21+x+y 21+y+z 21+z≥14,当且仅当x =y =z =13时,取等号, ∴x 21+x+y 21+y +z 21+z的最小值为 14.故答案为:14. 7.【答案】 2【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式:设a ,b ,c ,d ∈R 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2其中等号当且仅当ac =bd 时成立,即可求出(am +bn)(bm +an)的最小值. 【解答】解:根据二维形式的柯西不等式的代数形式:(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2可得(am +bn)(bm +an)≥(√am ⋅√an +√bn ⋅√bm)2=mn(a +b)2=2×1=2,当且仅当aman =bnbm 即m =n 时,取得最小值2. 故答案为:2. 8. 【答案】√102【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】直接利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+p 2)≥(am +bn +cp)2进行求解即可. 【解答】解:由柯西不等式可知((√a)2+(√b)2+(√4c)2)(12+12+(√22)2)≥(√a ×1+√b ×1+√4c ×√22)2∴ 52(a +b +4c)≥(√a +√b +√2c)2即√a +√b +√2c ≤√102故答案为:√1029.【答案】16【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+2b−c=1,构造柯西不等式(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+ c2)进行解题即可.【解答】解:由柯西不等式得(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+c2),∵a+2b−c=1,∴1≤(12+22+12)(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2≥16,当且仅当a1=b2=c1取等号,则a2+b2+c2的最小值是16故答案为:16.10.【答案】√6【考点】一般形式的柯西不等式【解析】先将函数变为y=1×√x−4+√5×√5−x,再利用柯西不等式,即可得到结论.【解答】解:∵y=√x−4+√25−5x∴y=1×√x−4+√5×√5−x≤√(1+5)(x−4+5−x)=√6故答案为:√611.【答案】223【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用题中条件:“x+2y+3z=1”构造柯西不等式:(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2进行计算即可.【解答】解:构造柯西不等式:(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2已知x+2y+3z=1,∴2x2+2y2+z2≥223,则2x2+2y2+z2的最小值为223,故答案为:223.12.【答案】18【考点】一般形式的柯西不等式【解析】根据可得|x+2y+2z|≤9,从而得到x+2y+2z的最大值为9,最小值为−9.由此可得最大值与最小值的差.【解答】解:∵|OP|2=x2+y2+z2=9,∴根据柯西不等式,得|x+2y+2z|≤√(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,由|x+2y+2z|≤9,得−9≤x+2y+2z≤9当且仅当x=1,y=z=2时,x+2y+2z有最大值9,当x=−1,y=z=−2时,x+2y+2z有最小值−9.最大最小值的差为18故答案为:1813.【答案】√14【考点】一般形式的柯西不等式【解析】首先分析题目已知x2+y2+z2=1,求x−2y−3z的最大值,可以联想到柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2的应用,构造出柯西不等式即可得到答案.【解答】由已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2则构造出[12+(−2)2+(−3)2](x2+y2+z2)≥(x−2y−3z)2.即:(x−2y−3z)2≤14即:x−2y−3z的最大值为√14.14.【答案】27【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+b+c=12,构造柯西不等式(1+3+5)2≤(a+b+c)(1a +9b+25c)进行解题即可. 【解答】解:由柯西不等式得(1+3+5)2≤(a +b +c)(1a +9b +25c),∵ a +b +c =12, ∴ (1+3+5)2≤12(1a +9b +25c),∴ 1a +9b +25c≥274,当且仅当1aa=9bb=25cc取等号,则1a +9b +25c的最小值为274. 故答案为:274. 15.【答案】[1, 2] 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2,从而得到关于a 的不等关系:5−a 2≥(3−a)2,解之即a 的取值范围. 【解答】解:由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2,解得1≤a ≤2. 当且仅当√2b√2=√3b√3=√6d√6时等号成立,可知b =12,c =13,d =16时a 最大=2, b =1,c =23,d =13时,a 最小=1,所以:a 的取值范围是[1, 2]. 故答案为:[1, 2].三、 解答题 (本题共计 20 小题 ,每题 10 分 ,共计200分 ) 16.【答案】 解:(1)∵ (ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)=(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥(a √x 1x 2+b √x 1x 2)2=(a +b)2x 1x 2=x 1x 2 (∵ a +b =1).(2)解:由柯西不等式得,有(2b 2+3c 2+6d 2)(12+13+16)≥(b +c +d)2; 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2 由条件可得,5−a 2≥(3−a)2;解得,1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立,代入b=1,c=13,d=16时,a max=2b=1,c=23,d=13时a min=1.【考点】一般形式的柯西不等式【解析】(1)将y1、y2代入乘积y1y2展开,化简出x1x2的表达式,判断其大小,即可.(2)由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2;结合条件可得,5−a2≥(3−a)2;从而求得a的最值.【解答】解:(1)∵(ax1+bx2)(bx1+ax2)=(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a√x1x2+b√x1x2)2=(a+b)2x1x2=x1x2 (∵a+b=1).(2)解:由柯西不等式得,有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2;即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2由条件可得,5−a2≥(3−a)2;解得,1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立,代入b=1,c=13,d=16时,a max=2b=1,c=23,d=13时a min=1.17.【答案】解:(I)(1)对于曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0,可化为直角坐标方程x2+y2−2x+4y+4=0,即(x−1)2+(y+2)2=1;对于曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t(t为参数),可化为普通方程3x+4y−15=0.(2)过圆心(1, −2)点作直线3x+4y−15=0的垂线,此时切线长最小,则由点到直线的距离公式可知,d=√32+42=4,则切线长为√16−1=√15.(II)(1)因为f(x+2)=m−|x|≥0,所以|x|≤m,所以m≥0,−m≤x≤m.又f(x+2)≥0的解集是[−1, 1],故m=1.(2)由(1)知1a +12b+13c=1,a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)≥(1+1+1)2=9.∴a+2b+3c的最小值为9.【考点】一般形式的柯西不等式参数方程与普通方程的互化【解析】(I)(1)参数方程、极坐标化为直角坐标方程,可得结论.(2)根据圆的切线性质、点到直线的距离公式求得这条切线长的最小值.(II)(1)由条件可得|x|≤m ,求得−m ≤x ≤m .再根据f(x +2)≥0的解集是[−1, 1],求得m 的值. (2)由(1)知1a +12b+13c=1,a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式求得a +2b +3c 的最小值.【解答】解:(I)(1)对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cos θ−2sin θ)+4=0,可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0,即(x −1)2+(y +2)2=1;对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t (t 为参数),可化为普通方程3x +4y −15=0.(2)过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线,此时切线长最小, 则由点到直线的距离公式可知,d =√32+42=4,则切线长为√16−1=√15.(II)(1)因为f(x +2)=m −|x|≥0,所以|x|≤m ,所以m ≥0,−m ≤x ≤m . 又f(x +2)≥0的解集是[−1, 1],故m =1. (2)由(1)知1a +12b+13c=1,a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a+12b+13c)≥(1+1+1)2=9.∴ a +2b +3c 的最小值为9. 18.【答案】 解:(1)∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2),且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R).∴ x 2+y 2+z 2≥87,当且仅当x1=y2=z3时取等号. 即x 2+y 2+z 2的最小值为87.(2)∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87. ∴ |a +2|≤72×87=4, ∴ −4≤a +2≤4, 解得−6≤a ≤2,即a 的取值范围为[−6, 2]. 【考点】一般形式的柯西不等式 基本不等式【解析】(1)利用柯西不等式即可得出;(2)由(1)可得x 2+y 2+z 2的最小值为87.因此|a +2|≤4,解出即可.【解答】 解:(1)∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2),且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R).∴ x 2+y 2+z 2≥87,当且仅当x1=y2=z3时取等号. 即x 2+y 2+z 2的最小值为87. (2)∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87.∴ |a +2|≤72×87=4, ∴ −4≤a +2≤4, 解得−6≤a ≤2,即a 的取值范围为[−6, 2]. 19.【答案】 解:(1)由柯西不等式可得,(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2), 由|x +2y +3z|≥4, 则x 2+y 2+z 2≥87, 即x 2+y 2+z 2的最小值为87;(2)由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ,y ,z 恒成立,且x 2+y 2+z 2的最小值为87,则|a +2|≤4, 则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2,即a 的取值范围为[−6, 2]. 【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】(1)由柯西不等式可得,(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2),结合条件即可得到最小值;(2)由恒成立思想,结合(1)可得|a +2|≤4,解不等式即可得到. 【解答】 解:(1)由柯西不等式可得,(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2), 由|x +2y +3z|≥4,则x 2+y 2+z 2≥87,即x 2+y 2+z 2的最小值为87;(2)由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ,y ,z 恒成立,且x 2+y 2+z 2的最小值为87, 则|a +2|≤4, 则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2,即a 的取值范围为[−6, 2]. 20. 【答案】解:(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12, 解得:x 无解,或−5<x <−12,或−12≤x <1, 综上可得:不等式f (x )<9 的解集为(−5,1).(2)∵ a ,b ,c 均为正数, ∴ 3a +3b +3c +18=24, 即:a +b +c =2, ∴ 由柯西不等式可得:(b 2a+c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2, ∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.【考点】绝对值不等式的解法与证明 柯西不等式一般形式的柯西不等式【解析】(1)分情况讨论去掉绝对值,再分别解不等式即可;(2)由于化简得到a +b +c =2,与要证的结论能构成柯西不等式模型,故直接用柯西不等式证明即可. 【解答】解:(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12,解得:x 无解,或−5<x <−12,或−12≤x <1,综上可得:不等式f (x )<9 的解集为(−5,1). (2)∵ a ,b ,c 均为正数, ∴ 3a +3b +3c +18=24, 即:a +b +c =2, ∴ 由柯西不等式可得:(b 2a +c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2,∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.21.【答案】解:(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2,当且仅当x =0时等号成立, 故m =2 .(2)由(1)知 ,a 2+b 2=2,由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 ,当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立, ∴ 11+a +12+b ≥4a +b +3=45, 故11+a 2+12+b 2的最小值为45. 【考点】一般形式的柯西不等式 绝对值三角不等式 【解析】【解答】解:(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2, 当且仅当x =0时等号成立, 故m =2 .(2)由(1)知 ,a 2+b 2=2,由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 , 当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立, ∴ 11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45,故11+a2+12+b2的最小值为45.22.【答案】解:(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3, "=”当x =−2时成立.若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解, 则满足|m +1|≤3,解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]. (2)由(1)知M =2,故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2, ∴ 1a+b +3b+c +4c+a =(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a)≥(√1+√9+√4)24=9.【考点】 绝对值不等式一般形式的柯西不等式 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3, "=”当x =−2时成立.若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解, 则满足|m +1|≤3,解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]. (2)由(1)知M =2,故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2, ∴1a+b+3b+c+4c+a=(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a )≥(√1+√9+√4)24=9.23.【答案】解:(1)由柯西不等式得,(x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3z +z 2z +2x +3y )[(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2=27 得:x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥√32;(2)∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3.∴xyz≤3√3.∴log3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时,等号成立.故所求的最小值是3.【考点】一般形式的柯西不等式平均值不等式在函数极值中的应用【解析】(1)可以将不等式左边乘以)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]然后利用柯西不等式进行放缩求解;(2)根据对数函数的性质,然后再利用柯西不等式进行放缩,注意不等式取等号的条件进行证明;【解答】解:(1)由柯西不等式得,(x2+y2+z2)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得:x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32;(2)∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3.∴xyz≤3√3.∴log3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时,等号成立.故所求的最小值是3.24.【答案】解:(1)由条件0<a+b2<1,从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12,∴不存在满足已知条件的a,b,使得ab=12.(2)由柯西不等式可得:(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2,≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6,∴√a+√b+√c≤√6,等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3,结合a+b2+a3=1,可知a=16,b=23,c=32,∴√a+√b+√c的最大值为√6.【考点】基本不等式一般形式的柯西不等式【解析】【解答】解:(1)由条件0<a+b2<1,从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12,∴不存在满足已知条件的a,b,使得ab=12.(2)由柯西不等式可得:(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2,≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6,∴√a+√b+√c≤√6,等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3,结合a+b2+a3=1,可知a =16,b =23,c =32,∴ √a +√b +√c 的最大值为√6. 25.【答案】解:(1)①当x ≤0时,f(x)=2−x −(−2x)=x +2, 由f(x)>1,即x +2>1, 解得x >−1,又x ≤0, 所以−1<x ≤0;②当0<x <2时,f(x)=2−3x , 由f(x)>1,即2−3x >1, 解得x <13,又0<x <2,所以0<x <13;③当x ≥2时,f(x)=−x −2, 由f(x)>1,得x ∈⌀,综上,不等式f(x)>1的解集为(−1,13). (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1,故a +4b +9c =3,所以1a +4b +9c =13(a +4b +9c)(1a +4b +9c ) 因为a, b, c >0,所以由柯西不等式:上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a)2+(2√1b)2+(3√1c)2]≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2 =1963,当且仅当a =b =c =314时,等号成立.【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)①当x ≤0时,f(x)=2−x −(−2x)=x +2, 由f(x)>1,即x +2>1, 解得x >−1,又x ≤0, 所以−1<x ≤0;②当0<x <2时,f(x)=2−3x , 由f(x)>1,即2−3x >1, 解得x <13,又0<x <2, 所以0<x <13;③当x ≥2时,f(x)=−x −2, 由f(x)>1,得x ∈⌀,综上,不等式f(x)>1的解集为(−1,13). (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1, 故a +4b +9c =3,所以1a+4b+9c=13(a +4b +9c)(1a+4b+9c)因为a, b, c >0,所以由柯西不等式:上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a )2+(2√1b )2+(3√1c )2] ≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2=1963,当且仅当a =b =c =314时,等号成立.26. 【答案】解:(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5,∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ,∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知,f (x )在(−∞,1)上单调递减, (4,+∞)上单调递增, ∴ f (x )min =3, ∴ M =3.解法1:a +b =3 ,∴ (a +2)+(b +1)=6, ∴ 1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)]=16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23. 解法2:由柯西不等式得,1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23,当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时,即 a =1,b =2时,1a+2+1b+1的最小值为23. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用 一般形式的柯西不等式 【解析】 无 无 【解答】解:(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5,∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ,∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知,f (x )在(−∞,1)上单调递减, (4,+∞)上单调递增, ∴ f (x )min =3, ∴ M =3.解法1:a +b =3 ,∴ (a +2)+(b +1)=6, ∴1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] =16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23. 解法2:由柯西不等式得,1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23,当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时,即 a =1,b =2时,1a+2+1b+1的最小值为23.27.【答案】证明:根据柯西不等式(n =3)得,[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a +b 21+b +c 21+c )≥(a +b +c)2, 即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2, 整理得,ab +bc +ac ≤32,再由基本不等式:ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3, 两边立方得,a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18,所以,abc ≤√18=√24, 即abc ≤√24,证毕. 【考点】一般形式的柯西不等式 不等式的证明 【解析】先用柯西不等式得出ab +bc +ac ≤32,再用基本不等式ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3,得出abc ≤√24. 【解答】证明:根据柯西不等式(n =3)得,[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2)≥(a +b +c)2, 即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2, 整理得,ab +bc +ac ≤32,再由基本不等式:ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3, 两边立方得,a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18,所以,abc ≤√18=√24, 即abc ≤√24,证毕. 28.【答案】证明:只需考虑a ,b ,c ,x ,y ≥0的情况即可,由对称性,不妨设x ≥y ,当a ≥c 时,[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0,此时前者更大,故又只需考虑a ≥c 的情况. 此时,由柯西不等式及均值不等式,可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016.故不等式得证.【考点】 不等式的证明一般形式的柯西不等式【解析】只需考虑a ,b ,c ,x ,y ≥0的情况即可,由对称性,不妨设x ≥y ,当a ≥c 时,[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2]=(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0,此时前者更大,故又只需考虑a ≥c 的情况.此时,由柯西不等式及均值不等式,化简整理,即可得证. 【解答】证明:只需考虑a ,b ,c ,x ,y ≥0的情况即可,由对称性,不妨设x ≥y , 当a ≥c 时,[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0,此时前者更大,故又只需考虑a ≥c 的情况. 此时,由柯西不等式及均值不等式,可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤3(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016.故不等式得证. 29.【答案】证明:因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得:即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故:|x +3y +4z|≤4.【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】分析题目已知x 2+3y 2+4z 2=2,求证:|x +3y +4z|≤4.考虑到应用柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2),首先构造出柯西不等式求出(x +3y +4z)2的最大值,开平方根即可得到答案. 【解答】证明:因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得:即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故:|x +3y +4z|≤4. 30.【答案】(1)解:由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43,当且仅当x =53,y =−13,z =−13时等号成立;(2)证明:由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3,y =1−a 3,z =2a−23时等号成立,因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1.【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】(1)运用柯西不等式可得(12+12+12)[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]≥(x −1+y +1+z +1)2=4,可得所求最小值;(2)运用柯西不等式求得(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值,由题意可得13不大于最小值,解不等式可得所求范围. 【解答】(1)解:由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43, 当且仅当x =53,y =−13,z =−13时等号成立; (2)证明:由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3,y =1−a 3,z =2a−23时等号成立,因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1. 31.【答案】解:∵ x 2+y 2≥2xy ,x 2+z 2≥2xz ,y 2+z 2≥2yz , ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz .∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13.原不等式得证. 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】先利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,同时变形利用x +y +z =1,即(x +y +z)2=1即可证得结论. 【解答】解:∵ x 2+y 2≥2xy ,x 2+z 2≥2xz ,y 2+z 2≥2yz , ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz .∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13. 原不等式得证. 32.【答案】解:由柯西不等式,得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2), 即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2),… 即16≤14(x 2+y 2+z 2).所以x 2+y 2+z 2≥87,即x 2+y 2+z 2的最小值为87.…【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用题中条件:“x −2y −3z =4”构造柯西不等式:[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2),利用这个条件进行计算即可. 【解答】解:由柯西不等式,得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2), 即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2),… 即16≤14(x 2+y 2+z 2).所以x 2+y 2+z 2≥87,即x 2+y 2+z 2的最小值为87.… 33. 【答案】解:由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2,解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立,可知b =12,c =13,d =16时a 最大=2, b =1,c =23,d =13时,a 最小=1,所以:a 的取值范围是[1, 2]. 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】先由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2从而得到关于a 的不等关系:5−a 2≥(3−a)2,解之即a 的取值范围. 【解答】解:由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2,解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立,可知b =12,c =13,d =16时a 最大=2, b =1,c =23,d =13时,a 最小=1,所以:a 的取值范围是[1, 2]. 34. 【答案】解:由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c)=[(√1a )2+(√2b )2+(√3c )2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2,∴ a +2b +3c ≥18,当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时,a +2b +3c 取得最小值18 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式,即可求得a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ,b ,c 的值. 【解答】解:由于(1a+2b+3c)(a +2b +3c)=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2,∴ a +2b +3c ≥18,当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时,a +2b +3c 取得最小值18 35.【答案】(1)解:∵ x ,y ,x 是正实数,且x +2y +3z =1, ∴ 1x +1y +1z =(1x +1y +1z )(x +2y +3z) =6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6,当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2), ∴ x 2+y 2+z 2≥114,当且仅当x =2y =3z 时, 即x =13,y =16,z =19时取等号. 故x 2+y 2+z 2≥114.【考点】一般形式的柯西不等式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】(1)由题意整体代入可得1x +1y +1z =6+(2yx +xy )+(3zx +xz )+(3zy +2y z),由基本不等式可得;(2)由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2),由不等式的性质可得.【解答】(1)解:∵ x ,y ,x 是正实数,且x +2y +3z =1, ∴ 1x+1y+1z=(1x+1y+1z)(x +2y +3z)=6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6,当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明:由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2), ∴ x 2+y 2+z 2≥114,当且仅当x =2y =3z 时,即x =13,y =16,z =19时取等号. 故x 2+y 2+z 2≥114.。

2020年高考数学柯西不等式经典猜题20道(含详解答案)

2020年高考数学柯西不等式经典猜题20道(含详解答案)
13.设a,b是正实数,求:
(1)若 ,求 的最小值;
(2)若 ,求 的最大值.
14.已知 , , ,且 .
证明:(1) ;(2) .
15.已知
(1)求 的最小值 ;
(2)若 , ,求证:
16.设a,b,c都是正数,满足 .
(1)求 的最小值;
(2)证明 .
17.已知 ,且 .
(1)求 的最大值;
(2)证明: .
则 ,又因为 ,
所以 ,即
当且仅当 时取等号.
(2)由于

所以
即 ,当且仅当 , , 时取等号
的最小值为 .
11.证明:由 .
因为 ,所以 ,
当且仅当 时,不等式取等号,此时 ,
故 的最小值为4.
12.由于 都为正数,且 ,根据柯西不等式得,

当且仅当 时等号成立,即 的最小值为3.
13.(1)法一:由 得, ,
柯西不等式经典猜题20道
1.已知 ,求 的最小值.
2.已知正实数 , , 满足 .
证明:(1) ;
(2) .
3.已知正数 , , 满足 .
(1)求证: ;
(2)求 的最小值.
4.已知 , , , ,证明:
(1) ;
(2) .
5.已知 ,且 ,求 的最小值.
6.已知实数 , , ,均大于零,且满足 .
故 的最小值为 .
7.由

故 .
等号当且仅当 ,即 时成立.
即 的最大值为 .
8.(1)因为 , , 为正数且各不相等,


故 .
(2)根据柯西不等式可得




的最大值为 .

柯西不等式试题

柯西不等式试题

柯西不等式试题一、选择题(本大题共 4 小题 )1. 设 a , b , c ∈ R +,且 a + b + c = 1,则 a + b + c 的最大值是 ()A . 1B . 3C .3D . 92 2 2 2 2 22.已知 a 12+a 22+⋯+ a n 2= 1, x 21+ x 22+⋯+ x 2n = 1,则 a 1x 1+a 2x 2+⋯+ a n x n 的最大值为 ( )A .1B .2C .- 1D .不确定3. 若实数 a ,b , c 均大于 0,且 a + b +c = 3,则 a 2+b 2+c 2的最小值为( ) A . 3B . 1C . 33D . 31 4 94. 已知 x ,y , z 均大于 0,且 x +y +z =1. 则 + + 的最小值为 ( ) xyzA . 24B . 30C .36D . 48二、填空题(本大题共 2 小题 )2 2 25. (2013·湖南高考 ) 已知 a ,b ,c ∈R ,a +2b +3c =6,则 a 2+4b 2+9c 2的最小值为.2 2 2 2 2 2a +b + c6.设 a ,b ,c ,x ,y ,z 都是正数, 且 a 2+b 2+c 2=25,x 2+y 2+z 2=36,ax +by +cz =30,则x +y +z x + y + z三、解答题(本大题共 4 小题 )7. 已知实数 x ,y ,z 满足 x +2y + z =1,求 t =x 2+4y 2+z 2的最小值.8.已知 f (x )=ax 2+bx +c 的所有系数均为正数,且 a + b + c = 1,求证:对于任何正数 x 1, x 2, 当 x 1·x 2=1 时,必有 f (x 1)·f (x 2)≥1.9.求实数 x ,y 的值使得 (y -1)2+(x +y -2)2+(2x +y -6) 2取到最小值.10. △ABC 的三边长 a ,b , c ,其外接圆半径为 R .求证: 222(a 2+ b 2+ c 2)(111 sin 2A + sin 2B + sin 2C )≥36R 2.0.柯西不等式试题答案解析一、选择题1.【解析】 由柯西不等式得 [( a ) 2+( b )2+( c ) 2](1 2+12+12)≥( a + b +c )2,∴( a + b + c )2≤3×1= 3.1 当且仅当 a =b =c = 3时等号成立. 3∴ a + b + c 的最大值为 3. 故选 B. 【答案】 B2 2 2 2 2 2 22.【解析】 ∵( a 1x 1+a 2x 2+⋯+ a n x n )2≤(a 21+a 22+⋯+ a 2n )( x 12+x 22+⋯+x n 2)=1×1=1.当且仅当 a i =x i = n n ( i =1,2 ,⋯, n )时等号成立.∴ a 1x 1+ a 2 x 2+⋯+ a n x n 的最大值是 1. 故选 A . 【答案】 A3. 【解析】 ∵a +b +c =1·a +1·b +1·c ,且 a ,b ,c 大于 0.由柯西不等式,(1 · a +1· b +1· c ) 2≤(12+12+12)( a 2+b 2+c 2) ∴a 2+b 2+c 2≥3,当且仅当 a =b =c =1 时等号成立. ∴ a 2+ b 2+ c 2的最小值为 3. 【答案】 D1494. 【解析】 (x + y + z )( + + ) xyz≥( x · 1x + y ·149 ∴ + + ≥36.x y z【答案】 C二、填空题5. 【解析】 ∵ a +2b + 3c =6,∴ 1× a +1×2b +1×3c =6.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ∴(a 2+4b 2+9c 2)(1 2+ 12+ 12) ≥(a +2b + 3c ) 2,即 a 2+4b 2+9c 2≥12.当且仅当 = = ,即 a 2b 3c2a =2,b =1,c =3时取等号.【答案】 126. 【解析】 由柯西不等式知: 25×36= (a 2+b 2+c 2)( x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz ) 2=302=25×36,2 3 2 y + z · z ) =36.abc当且仅当 = = =k 时取“=”. xyz2 2 2 2 25由 k 2( x 2+y 2+ z 2) 2=25×36,解得 k =6.答案】 56三、解答题7. 【解】 由柯西不等式得(x 2+4y 2+z 2)(1 + 1+1)≥(x +2y +z ) 2,∵x +2y +z = 1,2 2 2 2 2 21∴ 3( x 2+ 4y 2+ z 2) ≥1,即 x 2+4y 2+z 2≥3.31 1 1 1 当且仅当 x =2y =z =3,即 x =3,y = 6, z = 3时等 号成立.1故 x 2+4y 2+ z 2 的最小值为 3.28.【证明】 由于 f (x ) = ax 2+bx + c . 且 a ,b , c 大于 0.22∴ f ( x 1) · f ( x 2) = ( ax 12+ bx 1+ c )( ax 22+ bx 2+ c )≥( ax 1· ax 2+ bx 1· bx 2+c ) 2 = ( ax 1x 2+ b x 1x 2+c ) 2 =[f ( x 1x 2)] 2=[f (1)] 2. 又 f (1) = a + b + c , 且 a +b + c =1, ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.9.【解】 由柯西不等式,得2 2 2 2 2 2(12+22+12)×[( y -1)2+(2-x -y )2+(2x +y -6) 2]2 ≥[1×(y -1)+2×(2-x -y )+1×(2 x +y -6)] 2=9,32 2 2即(y -1) 2+(x +y -2) 2+(2x +y -6)2≥2, 当且仅当 y -11=2-x 2-y =2x +1y -6, 即 x =25, y =12时,上式取等号所以a + b+ cx + y +z10.5 12 2 2∴当x=2,y=2时(y-1)2+(x+y-2)2+(2 x+证明】由三角形中的正弦定理得:a 1 4R2sin A=,所以 2 = 2 ,2R sin A a1 4R2 1 4R2同理 2 = 2 , 2 = 2 ,sin B b sin C c于是由柯西不等式可得4R2 4R2 4R22 +2)左边=(a2+b2+c2)(a2+ 2 +bc2R 2Ra· a+b· b+c·2R 2 2c) 2=∴原不等式得证.。

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题1. x、y>0, x+y="1," 且≤a恒成立, 则a的最小值为A.B. 2C.2D.【答案】D【解析】解:因为x、y>0, x+y=1,要使≤a恒成立,则a大于等于的最大值即可。

而2.已知n个正整数的和是1000,求这些正整数的乘积的最大值.【答案】22×3332.【解析】n个正整数x1,x2,x3,…,xn中,不可能有大于或等于5的数,也不可能有三个或三个以上的2,因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成.解:n个正整数x1,x2,x3,…,xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000,x 1,x2,x3,…,xn中,不可能有大于或等于5的数,这是因为5<2×3,6<3×3,…也不可能有三个或三个以上的2,这是因为三个2的积小于两个3的积,因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成,最大值为22×3332.点评:本题考查正整数的乘积的最大值的求法,是中档题,解题时要注意排序不等式的合理运用.3.已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).【答案】见解析【解析】由(a3+b3)﹣(a2b+ab2)=(a+b)(a﹣b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2,∵(a3+b3)﹣(a2b+ab2)=a2(a﹣b)﹣b2(a﹣b)=(a2﹣b2)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b)2≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,同理,a3+b3≥a2b+ab2,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,得:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),取等号的条件是a=b=c,∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).点评:本题考查不等式的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意作差法的合理运用.4.设a1,a2,…,an为实数,证明:≤.【答案】见解析【解析】利用排序原理,n个式子相加,可得n(a12+a22+…+an2)≤(a1+a2+…+an)2,上式两边除以n2,并开方可得结论.证明:不妨设a1≤a2≤…≤an,则由排序原理得:a 12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana 12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a 12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an﹣1a1+a n a2…a 12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan﹣1.将上述n个式子相加,得:n(a12+a22+…+an2)≤(a1+a2+…+an)2,上式两边除以n2,并开方可得:≤.点评:本题考查排序原理,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.5.设a1,a2,…,an为正数,求证:++…++≥a1+a2+…+an.【答案】见解析【解析】不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,,由排序原理:乱序和≥反序和,可得结论.证明:不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,由排序原理:乱序和≥反序和,可得:++…++≥=a1+a2+…+an.点评:本题考查不等式的证明,考查排序原理:乱序和≥反序和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.6.(2012•湖北)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=()A.B.C.D.【答案】C【解析】根据所给条件,利用柯西不等式求解,利用等号成立的条件即可.解:由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,∴等号成立∴∴=故选C.点评:柯西不等式的特点:一边是平方和的积,而另一边为积的和的平方,因此,当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”,再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造.7.设a,b∈R+,a+b=1,则+的最小值为()A.2+B.2C.3D.【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10,可得+的最小值.解:∵a,b∈R+,a+b=1,∴a2+b2=1﹣2ab,又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2(ab+2)=10,∴+≥,当且仅当=时,等号成立,故+的最小值为,故选:D.点评:本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值,属于基础题.8.已知2x+3y+4z=1,则x2+y2+z2的最小值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由条件利用柯西不等式可得(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=1,由此求得x2+y2+z2的最小值.解:∵2x+3y+4z=1,利用柯西不等式可得(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=1,故x2+y2+z2≥,当且仅当时,取等号,故x2+y2+z2的最小值为,故选:D.点评:本题主要考查柯西不等式应用,属于基础题.9.已知x,y均为正数,θ∈(,),且满足=,+=,则的值为()A.2B.1C.D.【答案】C【解析】由题意可得tanθ=>1,再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0.解得 tan2θ 的值,可得tanθ=的值.解:∵x,y均为正数,θ∈(,),且满足=,∴tanθ=>1.再由,+=,可得=,化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0.解得 tan2θ=3,或 tan2θ=(舍去),∴tanθ==,故选:C.点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,一元二次方程的解法,属于基础题.10.(2014•黄浦区一模)设向量=(a,b),=(m,n),其中a,b,m,n∈R,由不等式||•||恒成立,可以证明(柯西)不等式(am+bn)2≤(a2+b2)(m2+n2)(当且仅当,即an=bm时等号成立),己知x,y∈R+,若恒成立,利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是.【答案】k>.【解析】由(am+bn)2≤(a2+b2)(m2+n2),可得≤(1+9)(x+y),结合x,y∈R+,恒成立,即可求得实数k的取值范围.解:∵(am+bn)2≤(a2+b2)(m2+n2),∴≤(1+9)(x+y),∴≤,∵x,y∈R +,恒成立,∴k>.故答案为:k>.点评:本题考查柯西不等式,考查学生运用数学知识解决问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。

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1.(09绍兴二模)设222,,,1x y z R x y z ∈++=。

(1)求x y z ++的最大值;(2)求x y +的取值范围。

2.(09宁波十校联考)已知,,(0,)x y z ∈+∞,且1x y z ++=,求
1925x y z
++的最小值。

3.(09温州二模)已知,,x y z R +∈,且1z y z ++=。

(1)若2222361x y z ++=,求,,x y z 的值;
(2)若222231x y tz ++≥恒成立,求正数t 的取值范围。

4、(09嘉兴二模)设,,x y z R ∈,且231x y z ++=。

(1)求证:||||||1x y z y z z +++++≥;
(2)求222(1)(2)(3)u x y z =-+-+-的最小值。

5.(09诸暨模考)已知,,x y z 都是正数,且236x y z ++=;
(1)求证:222187x y z ++≥
;(2)问123x y z ++有最大值还是最小值?并求这个最值。

6.(09宁波一模)已知352
x ≤≤。

7(09舟山一模)已知,,,a b c d 满足2222
3,236a b c d a b c d x +++=+++=。

(1)求证:当0a =时,9x ≥。

(2)当5x =时,求实数a 的最值。

8.(09稽阳联考)(1)已知正数,,x y z 满足1x y z ++=,求222
111x y z z x y
++---的最小值。

9.已知
t =
,求t 的最大值。

10.(09金丽衢十二校第一次联考)
已知3441x y z ++=,求222x y z ++的最小值。

11(09浙江五校联考)(1)求函数2238()()2sin 13cos 2f x x R x x =
+∈++的最小值。

12、(09湖州一模)已知,,a b c R +
∈,且1a b c ++=。

(1)求111+a b c
+的最小值;(2)求证:22211114a b c a b c ++≥+++.
13、(09杭州一模)已知,,x y z 是正数,且满足条件3x y z xyz
++= (1)求x y z ++的最小值;(2)若3xyz =,且22221x y z ++=,求x 的取值范围。

14、(09绍兴一模)已知222,,0,439a b c a b c >++=。

(1)求abc 的最大值;(2)记222113t a b c
=
++,求t 的最小值。

15.已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,
(1)求证:19
abc bc ca ab ≤++; (2)求222
()()()222a b b c c a b c c a a b
++++++++的最小值.
16.(09浙江高考)已知,,x y z 满足1x y z ++=。

(1)求证:22212223
x y z y z z x x y ++≥+++; (2)求2444x y z ++的最小值。

17:已知正数c b a ,,满足,1=++c b a
(1) 求2
2294c b a ++的最小值; (2) 求证:
2
33111≥-+-+-c c b b a a
18:已知c b a ,,为正实数,且
1111=++c
b a (1) 求
c b a ++的最小值; (2) 求证:4
27111222≥+++++c c b b a a。

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