§11.2多元连续函数

§11.2 多元连续函数一、多元函数定义11.2.1 设D 是n R 上的点集，D 到R 的映射:f D R →称为n 元函数，记为(),z f x x D =∈。

这时D 称为函数f 的定义域，()(){},f D z R z f x x D =∈=∈称为函数f 的值域。

(),z f x x D =∈也可以写为()12,,,n z f x x x = ，()12,,,n x x x D ∈ 。

通常，二元函数写为(),z f x y =，三元函数写为(),,u f x y z =。

设2D R ⊂，D 上的二元函数(),z f x y =的图象被定义为3R 中的集合()()(){}3,,,,,x y z Rz f x y x y D ∈=∈。

一般来说，一个二元函数的图象是3R 中的曲面。

例如，二元函数22z x y =+的图象是旋转抛物面；二元函数231z x y =++的图象是一张平面（它是曲面的特殊情况）；二元函数z =的图象是上半椭球面（见图11.2.1）。

二、多元函数的极限定义11.2.2 设D 是n R 上的开集，()000012,,,n x x x x D =∈ 为一定点，()z f x =是定义在{}0\D x 上的n 元函数，A 是实常数。

如果对任意给定的0ε>，总存在0δ>，使得当(){}00,\x o x x δ∈时，成立()f x A ε-<，则称当x 趋于0x 时f 收敛，称A 为f 当x 趋于0x 时的（n 重）极限，记为()0lim x x f x A →=，或()()0f x A x x →→，或()011022012lim ,,,n nn x x x x x x f x x x A →→→=。

注：在上面的定义中，“对于任意给定的0ε>，存在0δ>，当(){}00,\x o x x δ∈（就是()00,x x ρδ<<）时，有()f x A ε-<” 等价于“对于任意给定的0ε>，存在0δ>，当0001122,,,,n n x x x x x x δδδ-<-<-< 0x x ≠时，有()f x A ε-<。

事实上，若存在0δ>，当()00,x x ρδ<<，即0δ<<时，有()f xA ε-<，则存在10δ=>，当0001112211,,,,n n x x x x x x δδδ-<-<-< 0x x ≠时，有10δ<<==，从而有()f x A ε-<。

反之，若对于任意给定的0ε>，存在0δ>，当0001122,,,,n n x x x x x x δδδ-<-<-< 0x x ≠时，有()f x A ε-<。

那么，当0δ<时，必然有0001122,,,,n n x x x x x x δδδ-<-<-< 0x x ≠，从而有()f x A ε-<。

#例11.2.2 设()()22,sinyf x y x y x y =++，证明()()(),0,0lim ,0x y f x y →=。

证：由于()()22,0sinyf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++， 所以，对于任意给定的0ε>，只要取2εδ=，那么当0x δ-<，0y δ-<，且()(),0,0x y ≠时，都有(),0f x y x y δδε-≤+<+=。

即()()(),0,0lim ,0x y f x y →=。

注意：对一元函数而言，只要在一点0x 的左、右极限都存在而且相等，那么该函数在0x 的极限就存在。

但对多元函数来说，情况就复杂了。

按多元函数极限的定义，若()00lim(,)n x xf x A x x R →=∈，即对任给的0ε>，存在0δ>，当()00,x x ρδ<<时，恒有()f x A ε-<，换句话说，不论x 以什么方式趋于0x ，都应有()f x A →。

于是我们有以下结论：若x 以某种方式趋于0x 时，()f x 不存在极限，则()f x 在点0x 的极限必不存在。

若x 分别以某两种不同的方式趋于0x 时，()f x 的极限不相同，则()f x 在点0x 的极限也不存在。

例11.2.3 证明函数()22,xyf x y x y =+在()0,0点的极限不存在。

证：当点(),x y 沿直线y kx =趋于()0,0时，()2222200lim ,lim 1x x y kxkx k f x y x k x k →→===++， 上式对不同的k 却有不同的极限值21k k+，这说明当点(),x y 沿不同的方向趋于()0,0时，函数(),f x y 的极限不相同，因此函数(),f x y 在点()0,0不存在极限。

例11.2.4 证明函数()()2242,y x f x y y x-=+在点()0,0的极限不存在。

证：当点(),x y 沿直线y kx =趋于()0,0时，()()()22222442421lim ,limlim11x x x y kxk x x k x f x y k x xk x →→→=--===++；而当点(),x y 沿抛物线2y x =趋于()0,0时，()()22224440000lim ,limlim 02y y x y y y yf x y y y y→→=→-===+。

这说明当点(),x y 沿不同路径趋于()0,0时，函数(),f x y 的极限不相同，因此函数(),f x y 在点()0,0不存在极限。

一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性以及极限的四则运算法则，对多元函数依然成立。

（见P129习题5，6）三、二元函数的累次极限 1. 累次极限的定义定义11.2.3 设D 是2R 上的开集，()00,x y D ∈为一定点，(),z f x y =为定义在(){}00\,D x y 上的二元函数。

如果当0x x →（0y y ≠看作常数）时，极限()0lim,x xf x y →存在，设 ()()0lim ,x x f x y y ϕ→=，且当0y y →时()y ϕ也存在极限，设()0lim y y y B ϕ→=，则称数B 是(),f x y 在点()00,x y 先对x 后对y 的累次极限（或二次极限），记为()00lim lim ,y y x x f x y →→，即()()()()00lim lim ,lim lim ,lim y y x x y y x x y y f x y f x y y B ϕ→→→→→===。

同样可定义先对y 后对x 的累次极限()00lim lim ,x x y y f x y →→。

2.极限与累次极限的关系极限与累次极限之间在存在性上没有必然的关系。

1）极限存在不能保证累次极限也存在。

例11.2.5（极限存在，但两个累次极限都不存在的例）设()()2211sin cos ,00,,0,00.x y x y f x y x yx y ⎧+≠≠⎪=⎨==⎪⎩且或由于()22,f x y x y ≤+，所以()0lim ,0x y f x y →→=。

但由于 ()()220011lim ,lim sin cos x x f x y x y x y→→=+ 与()()220011lim ,lim sin cos y y f x y x y →→=+ 都不存在，所以函数(),f x y 在()0,0点的两个累次极限却都不存在。

例11.2.6（极限存在，两个累次极限中有一个不存在的例）设()1sin ,0 0,,0,0 0.y x y f x y xx y ⎧⎪≠≠=⎨==⎪⎩且或由(),f x y y ≤，可知()0lim,0x y f x y →→=，即极限存在，且先对y 后对x 的累次极限也存在()()000001lim lim ,lim lim sin lim 00x y x y x f x y y x→→→→→===。

但由于01limsinx x→不存在，所以先对x 后对y 的累次极限 ()()00001limlim ,lim lim sin y x y x f x y y x→→→→= 不存在。

2）两个累次极限都存在且相等也不能保证极限存在。

如上面的例11.2.4 所设的函数()()()()2242,,,0,0y x f x y x y y x -=≠+，显然有()()()()2244240000022242200000lim lim ,lim limlim 1,lim lim ,lim limlim1.y x y x y x y x y y y x y f x y y x yyx x f x y y x x →→→→→→→→→→-===+-===+即两个累次极限都存在且相等。

但当点(),x y 沿抛物线22y x =趋于()0,0时()()22222021lim ,lim45y x x x x x f x y x x =→→-==+， 所以(),f x y 在()0,0点的极限()0lim,x y f x y →→不存在。

由此可见，我们不能贸然地用累次极限来计算极限。

不过下面的定理11.2.1告诉我们，如果函数(),f x y 在点()00,x y 的极限与累次极限都存在时，它们必相等。

定理11.2.1 若函数(),f x y 在点()00,x y 存在极限()0lim ,x x y y f x y A →→=，且当0x x ≠时存在极限()()0lim ,y y f x y x ϕ→=，则(),f x y 在点()00,x y 的先对y 后对x 的累次极限()()0lim lim ,lim x x y y x xf x y x ϕ→→→=存在且等于A 。

证：只要证明()0limx xx A ϕ→=即可。

0ε∀>，由于()00lim ,x x y y f x y A →→=，所以存在0δ>，使得当()()0000,,,,x x y y x y x y δδ-<-<≠时，恒有(),22A f x y A εε-<<+。

又已知，当0x x ≠时存在极限()()0lim ,y yf x y x ϕ→=，于是对上式两边（令0y y →）取极限，得到()0lim ,22y y A f x y A εε→-≤≤+， 即 ()22A x A εεϕ-≤≤+或()2x A εϕε-≤<，亦即()0lim x xx A ϕ→=。