2020年高三理科数学一轮复习课件：空间中的垂直关系

解：由正方体的性质，得 A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1， 所以 BC1⊥平面 A1B1CD，又 A1E⊂平面 A1B1CD，所 以 A1E⊥BC1，故选 C.
若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α， 则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．
解：若 l⊥m，m⊥平面 α，则 l∥α 或 l⊂α； 若 l∥α，m⊥平面 α，则 l⊥m，所以 “l⊥m”是 “l∥α”的必要而不充分条件．故填必要不充分．
3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所 成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平 面内， 我们说它们所成的角是 0° 的角． 任一直线与平面所成角 θ 的范围是____________． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角． (2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点 ，在两个半平面内分别作 ______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围 是__________． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这 两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)性质定理： 两个平面垂直， 则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．
解： 对于选项 A， 可在 α 内作直线平行于交线即可， A 正确；对于选项 B，假设在 α 内存在直线垂直于平面 β，则 α⊥β，这与已知矛盾，所以原命题成立，B 正确； 对于选项 C， 因为平面α⊥平面 γ， 所以在平面 γ 内存在 一条直线 m⊥α.所以 m⊥l.同理可知在平面 γ 内存在直线 n⊥β，n⊥l.若直线 m，n 重合，则面 α 与 β 重合或平行， 这与已知矛盾，所以直线 m，n 相交，又 l⊥m，l⊥n， 所以 l⊥面 γ，C 正确；对于选项 D，易知 α 与 β 的交线 l 并不垂直于面 β，D 错误．故选 D.
【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过 平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角 形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线 垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在 证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几 何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理， 通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法 之一．
2 又 A1C＝ 6，则 A1C2＝OC2＋OA1 ，故 OA1⊥OC.
因为 OC∩AB＝O， 所以 OA1⊥平面 ABC， OA1 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高． 又△ABC 的面积 S△ABC＝ 3， 故三棱柱 ABCA1B1C1 的体 积为 V＝S△ABC×OA1＝3.
类型二
线面垂直问题
【点拨】证明线面垂直的基本思路是证 明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦 可利用面面垂直的性质定理来证明；第(2)问 的难点在于求底面四边形 ABCD 的面积，注 意充分利用题设条件，先证明底面 ABCD 是 直角梯形， 从而求出底面面积， 最后求体积．
(2017 锦州市第二高级中学月考 )如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱 AB，AD，DD1， BB1，A1B1，A1D1 的中点．求证： (1)直线 BC1∥平面 EFPQ； (2)直线 AC1⊥平面 PQMN.
如图，四棱锥 PABCD 中，PA ⊥底面 ABCD， AB⊥AD， 点 E 在线段 AD 上， 且 CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面 PAD； (2)若 PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝ 2， ∠CDA＝45° ，求四棱锥 PABCD 的体积．
解：(1)证明：因为 PA⊥底面 ABCD，CE⊂平面 ABCD，所 以 PA⊥CE. 因为 AB⊥AD，CE∥AB，所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD＝A，所以 CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中，CE＝CD· sin45° ＝1，DE＝CD· cos45° ＝1， 又因为 AB＝1，则 AB＝CE.又 CE∥AB，AB⊥AD， 所以四边形 ABCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形． 因为 AD＝3，所以 BC＝AE＝AD－DE＝2， 1 1 5 SABCD＝ (BC＋AD)· AB＝ (2＋3)×1＝ ， 2 2 2 1 1 5 5 VP­ABCD＝ SABCD·PA＝ × ×1＝ . 3 3 2 6 5 于是四棱锥 PABCD 的体积为 . 6
(2017 甘肃马营中学月考)若 m、 n 是两条不同的直线， α 、 β、 γ 是三个不同的平面， 则下列命题中的真命题是( A．若 m⊂β ，α ⊥β ，则 m⊥α B．若 α∩γ＝m，β ∩γ ＝n，m∥n，则 α∥β C．若 m⊥β，m∥α ，则 α⊥β D．若 α⊥γ，α ⊥β ，则 β⊥γ )
解：若 m⊂β，α⊥β，则 m 与α的关系可能平行也 可能相交或 m⊂α，则 A 为假命题；选项 B 中，α与 β 可 能平行也可能相交，则 B 为假命题；选项 D 中 β 与 γ 也可 能平行或相交(不一定垂直)，则 D 为假命题．故选 C.
(2017· 全国卷Ⅲ)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则( A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1 ) B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
(2017 重庆八中适应性考试)在正四面体 PABC 中，D， E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中正确的是 ________． ①BC∥平面 PDF； ③平面 PDF⊥平面 ABC； ②DF⊥平面 PAE； ④平面 PAE⊥平面 ABC.
解： 由 DF∥BC 可得 BC∥平面 PDF， 故①正确； 若 PO⊥ 平面 ABC， 垂足为 O， 则 O 在 AE 上， 则 DF⊥PO， 又 DF⊥AE， 故 DF⊥平面 PAE，故②正确；由 PO⊥平面 ABC，PO⊂平 面 PAE，可得平面 PAE⊥平面 ABC，故④正确，平面 PDF 不过 PO，故③不正确．故填①②④.
自查自纠
1．直角 2．(1)直线 l 与平面 α 互相垂直 直线 l 的垂面 垂足 距离 (2)两条相交直线 3．锐角 [0° ，90° ] 4．(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0° ，180° ] 5．(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线 (3)平行 l⊥α 平面 α 的垂线
(2017 江西宜春四校联考)下列命题中错误的是( 平面 β
证明：(1)如图，连接 AD1，由 ABCD­A1B1C1D1 是正方体，知 AD1∥BC1， 因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点， 所以 FP∥AD1，从而 BC1∥FP. 而 FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ， 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)如图，连接 AC，BD，则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1＝C，所以 BD⊥平面 ACC1A1. 而 AC1⊂平面 ACC1A1，所以 BD⊥AC1. 因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点，所以 MN∥BD，从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN＝N，所以直线 AC1⊥平面 PQMN.
第八章 第一章
集合与常用逻辑用语 立体几何
8．5 空间中的垂直关系
1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相 垂直． 2．直线与平面垂直 (1) 定 义 ： 如 果 直 线 l 与 平 面 α 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 ， 我 们 就 说 ______________________ ，记作 ______ ．直线 l 叫做 ______________ ，平面 α 叫做 ______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点 P 叫做______．垂线上任意一 点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面 的________． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面 垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个 平面．用符号表示：a∥b，a⊥α ⇒b⊥α . (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．
2 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C1 ＋MC2 1＝ 2， B 1M 故 tan∠MA1B1＝ ＝ 2. A 1B 1
(2)证明：由 A1B1⊥平面 BCC1B1，BM⊂平面 BCC1B1， 得 A1B1⊥BM.① 由(1)知，B1M＝ 2，又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， B1M2＋BM2＝B1B2，从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M＝B1，由①②得 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM⊂平面 ABM，所以平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【点拨】本题主要考查线线、线面位置关 系．第(1)问证明线线垂直，其实质是通过证明 线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线 面平行， 需转化为证明线线平行， 由于面 A1BD 中没有与 CC1 平行的直线，故需作辅助线．
(2017 武汉市武钢第三子弟中学月考) 如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1， ∠BAA1＝60° . (1)证明：AB⊥A1C； (2) 若 AB ＝ CB ＝ 2 ， A1C ＝ 6 ， 求 三 棱 柱 ABCA1B1C1 的体积．
类型三
面面垂直问题
如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AD＝1， AA1＝2，M 是棱 CC1 的中点．
(1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值； (2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
解： (1)因为 C1D1∥B1A1， 所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角，因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90° .