2018学年高一数学暑假作业：必修五第二部分不等式 不等式(2)含答案

不等式2
在约束条件下，求目标函数最值问题，通常会转化为求直线在y 轴上截距、平面上两点距离、直线斜率、区域面积等几何量取值范围问题，此类问题突出体现了数形结合数学思想。

1.已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则3z x y =+最大值为( )
()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1
3. 若,x y 满足约束条件1030330
x y x y x y -+≥⎧⎪⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-最小值为 。

5.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜产量、成本和售价如下表
为使一年种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A ．50，0
B ．30，20
C ．20，30
D ．0，50
10. 设不等式组x 1
x-2y+30y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中
任意一点A 与2Ω中任意一点B, ||AB 最小值等于( )
A.
285 B.4 C. 125
D.2 11.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2
0,
20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点距离大于2概率
是
A
4π B 22π- C 6
π D 44π-
12. 若实数x 、y 满足10,0
x y x -+≤⎧⎨
>⎩则y
x 取值范围是 （ ）
A.(0,1)
B.(]0,1
C.(1,+∞)
D.[)1,+∞
14.设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x
⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩
⎭
，则A
B 所表示平面图形面积
为
A
34π B 35π C 47π D 2
π 15.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域
{(,)|(,)B x y x y x y A =+-∈面积为 （ ）
A ．2
B ．1
C ．
12 D ．1
4
16. 若A 为不等式组0
02x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中那部分
区域面积为 .
17. 若不等式组0
3434
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示平面区域被直线43y kx =+分为面积相等两部分，则k 值是
（A ）
73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34
高 18.若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,
0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成平面区域面积等于
__________.
19.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
（α为常数）所表示平面区域内面积等于2，则a 值为
A. －5
B. 1
C. 2
D. 3
不等式2
1、选B 【解析】约束条件对应ABC ∆内区域(含边界)，其中53
(2,2),(3,2),(,)22
A B C 画出可行域，结合图形和z 几何意义易得3[8,11]z x y =+∈ 3、答案：1-
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-.]
5、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中应用，同时考查了数学建模思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为
(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+. 线性约束条件为 50,
1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 即50,
43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
作出不等式组表示可行域, 易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C . 平移直线0.9z x y =+，可知当直线0.9z x y =+，经过点()30,20B ，
即30,20x y ==时 z 取得最大值，且max 48z =（万元）. 故选B. 点评：解答线性规划应用题一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示直线与可行域边界直线斜率间关系； (4)作答——就应用题提出问题作出回答．
10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中线性规划以及两个图形间最小距离求解、基本公式（点到直线距离公式等）应用，考查了转化与化归能力。

【解析】由题意知，所求||AB 最小值，即为区域1Ω中点到直线
3490x y --=距离最小值两倍，画出已知不等式表示平面区域，如图所
示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=距离最小，故||AB 最小值为
|31419|
245
⨯-⨯-⨯
=，所以选B 。

评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称两个区域内两点距离最值问题，通常转化为求其中一点
(x ，y)到对称轴距离最值问题。

结合图形易知，可行域顶点及可行域边界线上点是求距离最值关键点. 11、选D ；【解析】题目中⎩⎨
⎧≤≤≤≤2
02
0y x 表示区域为正方形，如图所示，而动点M 可
以存在位置为正方形面积减去四分之一圆面积部分，
因此 4
422241
222
ππ-=
⨯⋅-⨯=P ，故选D.
图 3
x
图 5
12、选C ；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应平面区域，y
x
表示平面区域内动点(,)x y 与原点(0,0)O 之间连线斜率，由图易知，
y
x
()1,∈+∞，选C . 评注：在线性约束条件下，对于形如(,)y b
z a b R x a
-=
∈-目标函数取值问题，通常转化为求点(,)x y 、(,)a b 之间连线斜率取值. 结合图形易知，可行域顶点是
求解斜率取值问题关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定y
x
最小值无限
趋近于1.
14、选D ；【解析】由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x ≥≥
-+-≤围成面积与221
,,(1)(1)1y x y x y x
≤≥-+-≤围成面积相等，得：A B 所表示平面图形面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成面积既2
122
R ππ⨯=
15、选B ；【解析】令,a x y b x y =+=-，则11
(),()22
x a b y a b =
+=-合A ，易得0,0,1a b a b a +≥-≥≤域面积为
2
1
×2×1＝1，∴选B . 评注：本题涉及双重约束条件，解题关键是采用换元思想去寻求平面区域B 对应约束条件，从而准确画出相应平面区域. 16、答案
74
；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示平面区域A ， 其中： 12:,:2,:1l x y a l x y l x y +=+=-+=.
当a 从－2连续变化到1时，动直线l 扫过平面区域即为1l 与2l 之间平面区域，则动直线l 扫过A 中那部分平面区域面积即为四边形BOCD 面积，由图易知，其面积为：7
4
ABO ADC
S S
S
=-=
. 评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A 与动直线x y a +=在a 从－2连续变化到1时扫过平面区域之间公共区域，理解题意，准确画图是解题关键. 17、选A ； 【解析】不等式表示平面区域如图所示阴影部分△ABC 由
3434x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得A （1，1），又B （0，4），C （0，4
3） ∴S
△ABC
=
144
(4)1233
-⨯=，设y kx =与34x y +=交点为D ，
图6
x
则由
1223BCD S S ABC ∆=
∆=知12
D x =，∴5
2
D y =
， ∴
5147
,2233
k k =⨯+=，选A.
18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示平面区域，
1≤+by ax 成立，只须平面区域顶点,,A O B 坐标都满足不等1
≤+by ax ，易得01,01,a b ≤≤≤≤所以(,)P a b 等于
1.
评注：本题是线性规划背景下不等式恒成立问题，只须考虑可行域顶点即可. 作为该试卷客观题最后一题，熟悉题面有效避免了学生恐惧心理产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法考查，真可谓简约而不简单.
19、选D ；【解析】 作出不等式组⎧⎪
⎨⎪⎩
知，公共区域面积为2；∴a =3，故选D.
征，迅速与“直线系”此时可行域“大致”
图7
x
y。