不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质导学案新人教B版

1.1.1 不等式的基本性质
1.了解不等关系与不等式.
2.掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质解决一些简单问题.
自学导引
1.对于任何两个实数a ，b ，
a >
b ⇔a －b >0； a <b ⇔a －b <0； a ＝b ⇔a －b ＝0.
2.不等式有如下8条性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)加(减)：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； (4)乘(除)：a >b ，c >0⇒ac >bc ；
a >
b ，
c <0⇒ac <bc ；
(5)乘方：a >b >0⇒a n
>b n
，n ∈N *
且n ≥2；
(6)开方：a >b >0n ∈N *且n ≥2；
(7)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (8)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .
基础自测
1.如果a ∈R ，且a 2
＋a <0，那么a ，a 2
，－a ，－a 2
的大小关系是( ) A.a 2
>a >－a 2
>－a B.－a >a 2>－a 2
>a C.－a >a 2
>a >－a 2
D.a 2
>－a >a >－a 2
解析 由a 2
＋a <0知a ≠0，故有a <－a 2
<0，0<a 2
<－a .故选B. 答案 B
2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c
B.a d <b c
C.a c >b d
D.a c <b d
解析 思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证. 思路二：根据不等式的性质直接推导. 方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d
＝－1，排除选项C ，D ；
又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b
c
，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0， 所以1－d >1
－c
>0.
又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <b
c ，故选B.
答案 B
3.设x ∈R ，则x 2
1＋x 4
与1
2的大小关系是________. 解析 当x ＝0时，
x 2
1＋x 4
＝0<12
， 当x ≠0时，x 2
1＋x 4＝
11
x 2
＋x
2
，
∴1
x 2＋x 2
≥2，∴x 2
1＋x 4≤1
2(当x ＝±1时取等号)， 综上所述x 2
1＋x 4≤12.
答案
x 2
1＋x 4
≤12
知识点1 不等式的性质及应用 【例1】 判断下列各题的对错 (1)c a <c b
且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b 且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0且c >d >0⇒ a d > b
c
( ) (4)a c 2>b c
2⇒a >b ( )
解析 (1)
⎭
⎪⎬⎪
⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，
当a <0，b >0时，此式成立， 推不出a >b ，∴(1)错.
(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立.∴(2)错. (3)
⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b
c
>0⇒ a
d
> b
c
成立.∴(3)对. (4)显然c 2
>0，∴两边同乘以c 2
得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
●反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，
可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.
1.有以下四个条件：
①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a <1
b
成立的有________个条件.
解析 ①b >0>a ，∴1a <0<1
b
，结论成立；
②0>a >b ，∴1a <1
b ，结论成立；
③a >0>b ，∴1a >1
b ，结论不成立； ④a >b >0，∴1a <1
b
，结论成立. 答案 3
知识点2 实数大小的比较
【例2】 实数x ，y ，z 满足x 2
－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2
＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2
－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2
≥0⇒z ≥y ；
x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122
＋3
4
>0⇒y >x ，故z ≥y >x . ●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是： (1)作差.
(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法. (3)定号，即确定差的符号. (4)下结论.
2.已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2
，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，试比较A ，B ，C ，D 的大小.
解 ∵－12<a <0，∴1＋a 2>1－a 2
，即A >B ，
11＋a >11－a
，即C >D ， 又∵A －C ＝1＋a 2
－11＋a ＝a （1＋a ＋a 2
）
1＋a
<0，∴A <C ，
∵B －D ＝1－a 2
－11－a ＝a （a 2
－a －1）
1－a
>0，
∴C >A >B >D .
知识点3 不等式的证明
【例3】 如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：f
a －c >
f
b －d
.
证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.
不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1
a －c >0，
又∵f <0，∴
f
b －d <
f
a －c
，即
f
a －c >
f
b －d
.
●反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.
3.已知a <b <c ，x <y <z ，则ax ＋by ＋cz ，ax ＋cy ＋bz ，bx ＋ay ＋cz ，cx ＋by ＋az 中哪一个最大？请予以证明.
解 最大的一个是ax ＋by ＋cz
∵ax ＋by ＋cz －(ax ＋cy ＋bz )＝(b －c )(y －z )>0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz
ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az 故结论成立.
课堂小结
1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”
表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a <b ”、“a ≠b ”、“a ≥b ”或“a ≤b ”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的.
2.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步变形，都应有根有据.记准适用条件是关键.
3.关于传递性要正确处理带等号的情况：由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，
b ≥
c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .
随堂演练
1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1
b
成立的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1
b
，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错
误，故选C. 答案 C
2.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b
c >d
，但a －c >b －d 不成立，
所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件，选B. 答案 B
3.已知不等式：①x 2
＋3>2x ；②a 5
＋b 5
>a 3b 2
＋a 2b 3
；③a 2
＋b 2
≥2(a －b －1)，其中正确的不等式有__________.(填上正确的序号) 答案 ①③
4.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c ，则将a ，b ，
c ，
d 按照从小到大的次序排列为________.
解析 ∵d >c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，
∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ， 即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b
基础达标
1.若1a <1
b
<0，则下列不等式中正确的有( )
①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ac >bc . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 A
2.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b
B.a 2>b 2
C.
a
c 2
＋1>b
c 2＋1
D.a |c |>b |c |
解析 本题只提供了“a ，b ，c ∈R ，a >b ”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A ，还需有ab >0这个前提条件；选项B ，当a ，b 都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2>－3，但22
>(－3)2
不正确；选项C ，1
c 2
＋1
>0，因而正确；选项D ，当c ＝0时不正确. 答案 C
3.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3
>0 C.a 2
－b 2
<0
D.b ＋a >0
解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D
4.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y
的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；
x y ＝x ×1y ，所以需先求出1
y
的范围. ∵28<y <33，
∴－33<－y <－28，133<1y <128
.
又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <84
28，
即2011<x y
<3.
答案 27<x －y <56
2011<x y
<3 5.设x ＝a 2b 2
＋5，y ＝2ab －a 2
－4a ，若x >y ，则实数a 、b 满足的条件是________________. 答案 ab ≠1或a ≠－2
6.已知a 、b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2
a 与a ＋
b 的大小.
解 ∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
b ＋b 2
a －(a ＋
b )＝a 2
b －b ＋b 2
a －a ＝a 2－
b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1
b －1a
＝（a 2
－b 2）（a －b ）ab
，
∴当a >b >0时，a 2
>b 2
，∴（a 2－b 2
）（a －b ）ab
>0.
当0<a <b 时，a 2
<b 2
，∴（a 2－b 2
）（a －b ）ab
>0.
∴只要a ≠b ，总有a 2b ＋b 2
a
>a ＋b .
综合提高
7.已知实数x ，y 满足a x <a y
(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.
1x 2
＋1>1y 2＋1
B.ln(x 2＋1)>ln(y 2
＋1) C.sin x >sin y
D.x 3
>y 3
解析 先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x
<a y
，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，1
2<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－
1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y ＝x 3
在R 上是增函数，故选D. 答案 D
8.若a ，b ，x ，y ∈R ，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0是⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，
y >b 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，
y >b 可得⎩⎪
⎨⎪⎧x －a >0，
y －b >0，x ＋y >a ＋b ，
即有⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0
可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a >0，y －b >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，x －a <0，y －b <0，
即有⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y >a ＋b ，（x －a ）（y －b ）>0，所以应选C.
答案 C
9.设角α，β满足－π2＜α＜β＜π
2，则α－β的范围是________.
解析 ∵－π2＜α＜β＜π
2
，
∴－π2＜－β＜－α＜π
2.∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β
＜0.
答案 －π＜α＜－β＜0 10.有以下四个条件：
①b ＞0＞a ；②0＞a ＞b ；③a ＞0＞b ；④a ＞b ＞0. 其中能使1a ＜1
b
成立的有________个条件.
解析 ①∵b ＞0，∴1b ＞0.∵a ＜0，∴1a ＜0.∴1a ＜1
b
.
②∵b ＜a ＜0，∴1b ＞1
a .
③∵a ＞0＞b ，∴1a
＞0，1b ＜0.∴1a ＞1
b
.
④∵a ＞b ＞0，∴1a ＜1
b
.
综上知，①②④均能使1a ＜1
b
成立.
答案 3
11.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2
b ≥a ＋b .
证明 ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b －b a ＝（a －b ）2
（a ＋b ）
ab
，
(a －b )2
≥0恒成立，且已知a >0，b >0，
∴a ＋b >0，ab >0. ∴（a －b ）2
（a ＋b ）ab
≥0.
∴b 2a ＋a 2
b
≥a ＋b . 12.已知α、β满足⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1 ①
1≤α＋2β≤3 ②
试求α＋3β的取值范围.
解 设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.
比较α、β的系数，得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，
λ＋2v ＝3，
从而解出λ＝－1，v ＝2.
分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 另解 由①，∴－1≤－(α＋β)≤1 ③
由③②可得，0≤β≤4④
由④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3， 即：1≤α＋3β≤7.。