高中不等式的基本知识点和练习题(供参考)

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a <⇔>

(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)

(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)

(5)倒数法则：b a ab b a 110,<⇒

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：

2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

2

a b +≤

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

2

S . 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，

正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型

（一） 不等式与不等关系

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

1. 设2a >，12

p a a =+

-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （二） 解不等式

题型三：解不等式 2.解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

3 .25123

x x x -<--- 4.不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______

2222211a b a b ab a b

++≥≥≥+∈222a b c ab bc ca ++≥++a b c ==0,0a b m >>>b b m a a m

+<+

5.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02

>-+x b ax 的解集为 题型四：恒成立问题 6.关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________

7.若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

8.已知0,0x y >>且

191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

2

a b +≤ 题型五：求最值

9.求函数 y ＝3x 2＋12x 2 的值域。 10.求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。 11.求函数2

y =的值域。

12.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .

13.已知0,0x y >>，且191x y

+=，求x y +的最小值。 14.已知x ，y 为正实数，且

x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 15.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab

的最小值. 题型六：利用基本不等式证明不等式

16已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222

17.（1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc