第二课时 更相减损术
《更相减损术原理》课件
更相减损术在古代数学中占有 重要地位，对后世数学的发展 产生了深远影响。
更相减损术的起源和发展
更相减损术的起源可以追溯到《九章算术》中的“衰分”章，该章详细介绍了如何 使用更相减损术求解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
随着时间的推移，更相减损术逐渐发展完善，成为中国古代数学中的一种重要算法 。
未来发展趋势
大数据处理
随着大数据技术的不断发展，更 相减损术将更多地应用于大数据
处理领域，发挥其优势。
云计算应用
借助云计算平台，实现更相减损术 的云端计算，为更多用户提供服务 。
人工智能融合
更相减损术将与人工智能技术进一 步融合，推动人工智能领域的发展 。
对更相减损术的期望
拓展应用领域
希望更相减损术能够拓展到更多领域，解决更多 实际问题。
03
历史价值
更相减损术作为我国古代数学的重要成果，对于研究古代数学思想和算
法具有很高的历史价值。
缺点分析
局限性
更相减损术在处理负数和复数时存在困难，无法直接应用 。此外，对于一些特殊数（如质数），该算法需要进行特 殊处理，增加了运算的复杂性。
对初值敏感
更相减损术对初值的选择较为敏感，初值的不同可能导致 算法在局部最优解附近徘徊，无法收敛到全局最优解。
之一。
原理的数学表达
更相减损术的数学表达通常采
用欧几里得算法，其基本步骤
如下
01
1. 任意取两个正整数，分别记
作 a 和 b。
02
2. 如果 b 为0，那么 a 就是最
大公约数。
03
3. 如果 b 不为0，那么从 a 中
减去 b，记作 a := a - b。
04
辗转相除法与更相减损术
算法案例
1．用两数中
较大
的数减去
较小
的数，再
所得差和较小数 用 构成新的一对数，再用 大数 减 小数 ，以同样的操作一直做下去，直到所
得的两数相等为止，这个数就是这两个数的最大公约 数．这个方法称作“更相减损术”，用它编写的算法称作
“等值算法”．
2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 辗转相除法 ：用 较大数 除以 较小数 所得的 余数 和 较小数 构成新的一对数，继续做上面的除法， 直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．据
1．辗转相除法 (1)辗转相除的原理： 设m， n是两个整数 (不妨设m>n)，用m除以n，若商为 q1，余数为r1(0≤r1<n)，则m＝n·q1＋r1，显然若x是m和n的 公约数，即x能整除m和n，则x也必然能整除r1，这样x也是 n 和 r1 的公约数，故求 m 和 n 的公约数就是求 n 和 r1 的公约数； 同理，用n除以r1，得n＝r1·q2＋r2(0≤r2<r1)，故求m和n的公 约 数 就 是 求 r2 和 r1 的 公 约 数 ， … ， 依 次 下 去 ， 由 于 m>n>r1>r2>…，所以到某一步必然有 ri ＝ ri ＋1·qi ＋ 2 ，即ri 恰 能被ri＋1整除，这时ri＋1是ri和ri＋1的最大公约数，它也必然 是ri－1和ri、ri－2和ri－1、…、r1与r2、n和r2、m和n的最大公 约数．
(2)辗转相除法的算法分析：
由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基 本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值 语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变 量 m 表示，把较小的数用变量 n 表示，这样式子 m ＝ n·q ＋
最大公约数的方法及其原理
最大公约数的方法及其原理
求最大公约数的方法有多种，下面介绍其中两种常用的方法及其原理：
1. 辗转相除法（又称欧几里德算法）：假设两个数为a和b，其中a>b。
通过a除以b得到余数r，再用b除以r得到余数
r1，依此类推直到余数为0为止。
此时，b即为最大公约数。
原理：根据辗转相除法，假设a=b*q+r，其中q为商，r为余数（0<=r<b）。
如果c同时是a和b的公约数，那么c也是a 和r的公约数，反之亦然。
因此，可以通过连续除法的过程，不断更新a和b的值，最终得到最大公约数。
2. 更相减损术：假设两个数为a和b，其中a>b。
通过用a-b 得到差c，然后用c和较小的数b进行同样的操作，直到a、b 相等，此时a（或b）即为最大公约数。
原理：更相减损术的思路是将较大数减去较小数，得到一个新的差值。
如果c同时是a和b的公约数，那么c也是b和差值c的公约数，反之亦然。
通过连续的减法操作，最终得到最大公约数。
这两种方法都是经典的求最大公约数的算法，但是辗转相除法相较于更相减损术的效率更高，因此在实际应用中更常使用辗转相除法计算最大公约数。
辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 课件
4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相 除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古 老而有效的算法.其算法步骤如下:
第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
9×2×2=36.
变式训练50与70的最大公约数为
.
解析:因为50和70均为偶数,所以用2约分化简,得25和35.
35-25=10,25-10=5,10-5=5,
所以25和35的最大公约数为5.
从而50与70的最大公约数为2×5=10.
答案:10
3.求多个正整数的最大公约数,可以将所求的整数分成两两一组, 然后分别求每组的最大公约数,再求解由各组的最大公约数构成的 新的数组的最大公约数即可.
互动探究1【例1】中的(1)若添加一个数133,即求228、2 223与 133的最大公约数.
分析由【例1】已经求出228与2 223的最大公约数m,则只需求出 m与133的最大公约数即可.
时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4. ( )
答案:(1)√ (2)√
5.做一做7:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值
v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
v1=2×3+0=6; v2=6×3+1=19.
答案Hale Waihona Puke 19求两个正整数的最大公约数
例1 求下列两数的最大公约数: (1)228与2 223; (2)612与468. 分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468 相差较小,用更相减损术求最大公约数. 解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
高中数学_算法案例
算法案例知识图谱算法案例知识精讲一．更相减损术应用：求两个整数的最大公约数的算法更相减损术的步骤：1.任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．2.以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数为止，则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．说明：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：，，，，，，，，(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．二．辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．辗转相除法的步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．以求117和182的最大公约数为例：，，，，，,故13即为所求．→→→→(117182)(11765)(6552)(5213)(130)三．秦九韶算法—求多项式的值的算法应用：快速的求解对于任意一个n次的多项式在某点所取到的值.秦九韶算法：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下．对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=+++++ = 1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++ ，求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+．这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值．令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++ ，则递推公式为01n kk n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中12k n = ，，，．到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1.直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++= ，加法次数n ；2.逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．3.秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．<备注>秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现．利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n ．三点剖析一．注意事项1.辗转相除法与更相减损术联系（1）都是求最大公约数的方法，计算上，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数大小差距较大时，计算次数的区别比较明显；（2）从结果的体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为零而得到，而更相减损术则是以减数与差相等而得到；（3）辗转相除法与更相减损术是统一的，因为做一次除法与做若干次减法的效果相同.二．方法点拨1.两个整数的最大公约数是两个整数的公约数中最大的数，与此类似，两个整数的最小公倍数是两个整数的公倍数中最小的数.2.穷举法是将集合中的元素进行一一列举，逐个条件进行验证，知道找出满足条件的元素为止，穷举法可以解决所有问题看，但是一般来说常常可以用来解决一些无规律可循的问题，例如求不定方程的解或者不定方程组的解，运用穷举法思想设计算法时，常常采用循环结构，将验证条件为循环结构的判断条件，将每一个元素作为循环体.求两个正整数的最大公约数例题1、8251与6105的最大公约数是____．例题2、用更相减损来求80和36的最大公约数？例题3、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练1、两个数153和119的最大公约数是______________．随练2、用更相减损术求294与84的最大公约数．随练3、有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？秦九韶算法例题1、用秦九韶算法求多项式f（x）=x4+2x3+x2-3x-1，当x=2时的值，则v3=______例题2、使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x6+4x5-2x4+5x3-7x2-2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为________随练1、用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x2-3x3+2x4在x=-1时的值，v2的结果是______随练2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3-2x2-x-1在x=-4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是_______拓展1、用更相减损术求78和36的最大公约数_________．2、三个数208，351，429的最大公约数是（）A.65B.91C.26D.133、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A.3B.9C.17D.514、用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，其中V1的值=_______5、用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是。
最新人教版高中数学必修3第一章《更相减损术》教案
《更相减损术》教案
教学目标：
1．理解更相减损术原理；能用自然语言、程序语言表达更相减损术；能利用更相减损术准确求出任意两数的最大公约数；
2．在更相减损术求最大公约数的学习过程中对比辗转相除法求最大公约数的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式；
3．在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．
教学重点难点：
1．重点：理解更相减损术，准确求出任意两数的最大公约数；
2．难点：理解更相减损术原理，用自然语言、程序语言表达更相减损术．
教法与学法：
1．教法选择：在上一节课已经学习辗转相除法的基础上，以类比的模式，引导学生从不同角度理解、掌握更相减损术；
2．学法指导：对比辗转相除法，寻找两者之间的联系与区别，进而更有效的理解与掌握．
教学过程：
一、设置情境，引出课题
二、深入拓展，共同探究
三、当堂练习，深化知识
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析：本节课是使学生在已经学习辗转相除法的基础上，进一步探究求最大公约数的方法—更相减损术，学习过程中应理解其中所包含的算法思想，继续巩固算法三种表示方法．
2．学生现实分析：在上一节课的基础上，学生已经有了一定基础，并能有效的模仿辗转相除法的程序框图与算法语句设计，进而自行设计出更相减损术的程序框图与算法程序．
3.通过让学生经历分析算法步骤、画出程序框图、编制程序的基本过程，给学生提供探索与交流的活动时间和思维空间，真正使学生经历问题的提出过程、感受知识的形成与发展过程、暴露问题解决的思维过程、体验成功的喜悦过程，培养学生发现问题、解决问题的能力．。
小升初奥数辗转相除法
辗转相除法与更相减损术辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公因数的古老有效的算法。
更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数算法。
一.辗转相除法例1 。
求两个正数8251和6105的最大公因数。
（分析：辗转相除→余数为零→得到结果）解：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。
6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公因数。
以上我们求最大公因数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
1．为什么用这个算法能得到两个数的最大公因数？利用辗转相除法求最大公因数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公因数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公因数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公因数。
我国早期也有解决求最大公因数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公因数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数因之。
翻译成现代汉语为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，就除以2；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
1.3.2 更相减损术ppt
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副 置分 母、 子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以 等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2不断约简，使他们不同时是偶 数；若不是，则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或者这 个数与约简数的乘积就是所求的最大公约数。
理论迁移
例1 分别用辗转相除法和更相减损 术求168与72的最大公约数. 辗转相除法：168=72×2+24
72=24×3+0 即：168和72的最大公约数是24
更相减损术:
168-72=96 96-72=24 72-24=48 48-24=24 即：168和72的最大公约数是24
1．用更相减损术求153与119的最大公约数.
例3 用更减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减: 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习： 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
解：17 2．用更相减损术求2 004与4 509的最大公约数. 解：501
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
更相减损术新课标教案(精)
高一数学序号09 课题：算法案例————更相减损术一、教学目标(一知识与能力目标1.理解更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（2）过程与方法目标更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它与辗转相除法在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（3）情感态度和价值观目标1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
二、学习重点理解更相减损术求最大公约数的方法。
三、教学难点把更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
四、教学过程（一）知识回顾利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.（2）探究新知知识探究（一）:更相减损术思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？思考2: 上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(m>n.第二步，第三步，第四步，第五步，思考3: 该算法的程序框图如何表示？思考4:该程序框图对应的程序如何表述？知识探究（二）:辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以相等而得到（三）实践感知例1：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数例2．分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.辗转相除法：更相减损术:练习．分别用辗转相除法和更相减损术求325，130，270三个数的最大公约数.（四）学后反思1.本节课你学到了哪些知识？2.辗转相除法与更相减损术的区别在哪里？（五）实战演练1、分别用辗转相除法和更相减损术求下列两数的最大公约数（1）328 ，2096（2）4380 ，132552、设计一个算法，输出1000以内（包括1000）能被3和5整除的所有正整数，并画出算法的程序框图以及编程.3. 全班一共40个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100分数85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.（6）教后反思：更相减损术是我们求最大公约数的另一种方法，比较它与辗转相除法在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，使学生初步领会数学算法计算机处理的结合方式，并且能初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
更相减损术
求最大公约数的算法
01 思想
03 实例
目录
02 使用步骤 04 证明
目录
05 比较
07 “可半者半之”
06 Stein算法 08 电脑
更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需 要求最大公约数的场合。
思想
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原=k1d，y=k2d，易得k1与k2互质。 情况1：x=y。显然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。 情况2：不妨令x 用反证法。 假设k1,(k2 - k1)不互质， 令gcd(k1.k2-k1) = m(m为正整数且m>1); k1 = ma,k2 - k1 = mb k2 = (a+b)m 即k1,k2有公约数m，与k1,k2互质矛盾 所以假设不成立 即k1,(k2 - k1)互质
比较
辗转相除法也可以用来求两个数的最大公约数。
更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两 者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次 减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。 相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。
实例
例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减： 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7。 例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。 解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
辗转相除法、更相减损术课件——思维导学
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转 相减，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98与63的最大公约数是7。
（答案：53）
2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简； 若不是，执行第二步。
3.秦九韶计算多项式的方法
思考：（1）计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？ （2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当x=x0时需要多少次乘法计算和
多少次加法计算？
二、拓展训练答案（完成拓展性练习，并组内/组间讨论解决疑 难问题，记录均解决不了的问题，准备提问）
1、13693.5
2 - 7：CCCAAD
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。
（答案：12）
Hale Waihona Puke 辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为 主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相 对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余 数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的 约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
更相减损术原理
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笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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更相减损术是出自《九章算术》的一 种求最大公约数的算法，它原本是为 约分而设计的，但它适用于任何需要 求最大公约数的场合。
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更相减损术的原理： (a,b)=(a-b,b) 这里将gcd (a,b)简记为(a,b).
更相减损术原理 —研究性学习
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求98与63的最大公约数
方法一：
7 98 63 14 9
方法二：
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
更相减损术是辗转相除法（欧几里德算法， Euclid algorithm）的一个特例，
它的原理是(a,b)=(a-nb,b)
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下面我们来证明：(a,b)=(a-nb,b) 证：不妨设d是a,b的最大公因子。 即a=rd,b=sd,并且 其中(r,s)=1,即存在x,y,使得xr+ys=1. 从而 a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(rns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1 于是:d=(a-nb,b) 于是得证。
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九章算术
可半者半之，不可
翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整
半者，副置分母、 数；判断它们是否都是偶数。
2.从更相减损术到转辗相除法
从“更相减损术”到“辗转相除法”可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
——《九章算术》一、更相减损术第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的减数与差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
举例：求1921和2712的最大公约数。
第一步：1921不是偶数，不能约2，执行第二步第二步：2712−1921=7911921−791=11301130−791=339791−339=452452−339=113339−113=226226−113=113则1921和2712的最大公约数是113二、辗转相除法第一步：以较大的数除以较小的数得到余数第二步：比较除数与余数的大小，以较大的数除以较小的数得到新的余数。
第三步：重复第二步直到余数等于零，即出现整除，此时的除数即为最大公约数。
举例：求1921和2712的最大公约数。
第一步：2712÷1921=1 (791)第二步：1921÷791=2 (339)第三步：791÷339=2 (113)第四步：339÷113=3 0则1921和2712的最大公约数是113三、更相减损术与辗转相除法比较（图解法）更相减损术：辗转相除法：结论1.用线段长度表示两个正整数的大小，更相减损术相当于将较短的线段在较长的线段上对折，比较长短之后，再用小线段在长线段上对折，直到两条线段相等为止。
2.而辗转相除法则相当于用较短的线段直接对折到长线段不能对折，再从另一端对折到长线段不能对折，重复操作直到两条线段重合为止。
3.从上面两幅图对比可以知道，更相减损术和辗转相除法的原理是相同的，即对折法。
而更相减损术仅仅是辗转相除法的具体过程而已。
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第2课时更相减损术
课型: 新课执笔人: 刘丽华授课时间：年月日
【学习目标】
1. 理解更相减损术的算法思想。
2. 掌握用更相减损术求几个数的最大公约数。
3，培养学生类比的数学思想方法。
【重点难点】
学习重点：理解更相减损术的算法思想。
学习难点：更相减损术的算法步骤。
【学习过程】
一.学习引导:
回忆辗转相除法
二.学习交流:
1. 用辗转相除法求168和231的最大公约数__________。
2. 类比辗转相除法,用更相减损术求168和231的最大公约数___________________.。
三.随堂练习:
1. 用辗转相除法求下列两数的的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：
（1）228，1995 （2）5280，12155
2. 用类比法写出用更相减损术求a和b(a＞b)的最大公约数的算法步骤。
四.能力提升:
根据更相减损术设计程序，求两个正整数a,b(a＞b)的最大公约数。
【小结反思】
【自我测评】
1.用更相减损术求567和405的最大公约数,需要做减法的次数是( )
A 1
B 2
C 3
D 4
2.求98和63的最大公约数( )
A 6
B 7
C 8
D 9
3.用更相减损术求2008和502的最大公约数________________。
4. 用更相减损术求168,56,231的最大公约数_____________________。
5. 画出用更相减损术求两个正整数a与b(a＞b)最大公约数的程序框图。
6. 分别用辗转相除法和更相减损术求81和135的最大公约数。
7. 用当型循环结构构造算法,求两个正整数最大公约数.写出算法步骤、程序框图和程序。
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