四川省资阳市高2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题(含答案解析)
四川省资阳市高考数学一诊试卷(文科)解析版
（所以函数 f（x）在
上的取值范围是
．
【解析】本题考查了三角恒等变换，三角函数的性质与应用问题，是基础题． （1）化函数 f（x）为正弦型函数，令 f（x）=0 求得 f（x）在[0，π]上的零点； （2）根据正弦函数的性质，即可求出结果.
18.【答案】解：（1）设公差为 d，由 S4=a4+a5，得
= =i，
故选：A． 利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果． 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由向量 =（-1，2）， =（m，-1），且 ∥ ，
则（-1）×（-1）-2m=0，
解得 m= ．
故选：C． 根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出 m 的值． 本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的运算问题，是基础题．
19. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知
．
（1）求角 B 的大小； （2）若 b=4，求 a+c 的最大值．
20. 已知函数 f（x）=2ax2-2x+1，且函数 f（x+1）为偶函数． （1）求 f（x）的解析式；
（2）若方程
有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．
13.【答案】1
【解析】【分析】 本题主要考查对数的运算性质，比较简单． 直接利用对数的运算性质即可求解． 【解答】
解：
故答案为 1
14.【答案】5
=log315-log35=log33=1．
【解析】解：画出不等式组表示的平面区域 ，如图中阴影部分所示， 易求得 A（3，1），B（0，4），
z=x+2y，则 y=- x+ z，
四川资阳市2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题(含答案)
资阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()(){}130M x x x =+-<，{}0,1,2,3,4N =，则M N ⋂=（ ）．A ．{}1,2,3-B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4 2．复数21i=+（ ）． A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 3．sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ）．A ．32-B ．12-C ．12D ．324．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ）．A ．32B ．3C ．92D ．95．已知()1,2A ，()3,4B ，()2,2C -，()3,5D -，则向量AB CD ⋅=（ ）．A ．4-B ．2-C ．4D ．66．执行如图所示的程序框图，若输入6N =，则输出的S =（ ）．A ．56B ．67C ．78D ．89 7．“()()3311a b +>+”是“lg lg a b >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知2log 5a =，3log 7b =，0.30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 9．函数()sin x f x e x =在区间[]π,π-的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知圆O 内切ABC △的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且23190OD OE OF ++=，则角B =（ ）．A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π611．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）．A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()f x f x '<（其中()f x '为()f x 的导函数），若()22f e =，则()x f x e >的解集为（ ）． A ．()2,2-B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题：13．221log 12log 92-=______． 14．设x ，y 满足1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为______． 15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且12273a a +=，242816a a a =⋅，则n a = ______．a 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题（1）求()f x 单调递增区间；18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 为等比数列，且22b =，516b =．（1）求n a ，n b ；19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值．20．已知函数()32g x x ax =+． （1）若函数()g x 在[]1,3上为单调函数，求a 的取值范围；（2）已知1a >-，0x >，求证：()2ln g x x x >． 21．已知函数()221x f x xe ax ax =++-． （2）当10a e--<≤时，讨论()f x 零点的个数． （二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:4cos C ρθ=．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；23．[选修4-5：不等式选讲]（1）求M ；参考答案1．B 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A9．D 10．C 11．B 12．A13．2 14．10 15．124n - 16．11,3216⎛⎫⎪⎝⎭则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以4331433sin 525210α+=⨯+⨯=． 18．（1）2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，由22n S n n =+可得113a S ==，可知13a =满足上式，于是21n a n =+．设等比数列{}n b 公比为q ，则12b q =，4116b q =，解得11b =，2q =，所以12n n b -=．（2）由（1）知1212n n n n a b -+⋅=， 则021********2n n n T -+=++++ ① 于是12313572122222n n n T +=++++ ②①－②12111122111121213232122222212n n n n n n n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦==++++-=+⨯- ⎪⎝⎭- 1111212564110222n n n n n n T ---⎡⎤++⎛⎫=+--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 19．（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=，则()2sin cos sin sin B A A C B =+=，于是1cos 2A =， 又0πA <<，故π3A =． （2）根据余弦定理222222cos 2a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭， 即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立，所以b c +的最大值为4．20．（1）由题()232g x x ax '=+，（2）由题即证：ln x a ax +>，【法1】令()ln u x x a x =+-，()11a x u x x x-'=-=， 当01x <<，()0u x '<，函数()h x 单调递减，当1x >，()0u x '>，函数()h x 单调递增．所以()()11u x u a ≥=+，因为1a >-，所以()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >．【法2】令()ln u x x a x =+-，由1a >-，则()ln 1ln u x x a x x x =+->--，令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=， 当01x <<，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当1x >，()0h x '>，函数()h x 单调递增．所以()()10h x h ≥=，即()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >．21．由()221x f x xe ax ax =++-， 得()()()()12212x x f x x e ax a x e a '=+++=++．（2）（ⅰ）当0a =时，()1xf x xe =-， 可知0x <，()0f x <，又()1xf x xe =-为()0,+∞的增函数，且()110f e =->， 所以()f x 仅有一个零点．（ⅱ）当0a <时，由()0f x '=得1x =-或()ln 2x a =-，当()ln 2x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()ln 21a x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．此时，()f x 仅有一个零点．因为()001f =-<，()3110e a f =+->， 此时()f x 仅有一个零点．当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1ln 2x a -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；()ln 2x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．结合()001f =-<知()f x 仅有1个零点．22．（1）由4cos ρθ=可得24cos ρρθ=，可得2240x y +-=．（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩带入2C 的直角坐标方程， 得()()()221cos sin 41cos 0t t t ααα++-+=，即有22cos 30t t α--=，所以122cos t t α+=，123t t ⋅=-．23．（1）当2x ≤时，253x -+<，得12x <≤；当23x <<时，13<成立，得23x <<；当3x ≥时，253x -<，得34x ≤<，所以原不等式的解集为()1,4x ∈，即()1,4M =．即证明()()2244bc c b +<+，即222216160b c b c +--<，即证明()()221610b c --<，由于,b c M ∈，所以2160b -<，210c ->，则有()()221610b c --<，。
资阳市高中第一次诊断性考试数学参考答案
资阳市高中第一次诊断性考试 数学参考答案及评分意见（理工类）一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.C9.B 10.C 11.B 12.D 二、填空题13．–6；14．32；15．10或11；16．．三、解答题17．（Ⅰ）由13log 1>-，得1133log 1log 3x >-=，得0<x <3，···································· 2分 由2680x x -+<，得2<x <4，·········································································· 4分 所以不等式组的解集为{x |2<x <3}， ·································································· 6分 （Ⅱ）因为p 是q 的充分条件，所以2<x <3使关于x 的不等式2290x x a -+<恒成立， ··········································· 8分 令2()29f x x x a =-+，则有(2)8180,(3)18270,f a f a =-+≤⎧⎨=-+≤⎩解之得a ≤9，故a 的取值范围是(－∞，9]. ··········································································· 12分18．由题：f (x )=a b cos sin )(cos sin )x x x x x x +-222sin cos sin )x x x x -=2(sin 2cos2)x x - =sin(2x －π4)． ····························································································· 4分(Ⅰ) 由πππ2π22π242k x k -≤-≤+，得π3πππ88k x k -≤≤+，其中k ∈Z ，故单调递增区间为π3π[π,π]88k k -+，其中k ∈Z ．··············································· 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x )＝sin(2x －π4)，则g (x )＝2sin(2x ＋π4)． ······································· 8分列表得经过描点、连线得················································································································ 12分 19．（I ）由2n n S a n =-，可得S 1＝2a 1－1，即a 1＝1， ·········································· 1分 又因为+1+12(1)n n S a n =-+，相减得1+1221,n n n a a a +=-- 即+121,n n a a =+······················································· 2分 所以1122211n n n n a a a a +++==++， 故{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列．······································ 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得到a n ＋1＝2n ，则21,nn a =-··················································· 5分 于是b n ＝2log (1)n n a a +=n (21n -)＝n ×2n －n ，令u n ＝n ×2n ， ·································· 6分 则 w n ＝1231122232(1)22n n n n -⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 2w n ＝2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，相减，整理得－w n ＝1231122222(1)22n n n n n ++++++-⨯=-⨯-，于是w n ＝1(1)22n n +-⨯+， ············································································· 10分 又数列{n }的前n 项和为1(1)2n n +，所以T n =11(1)2(1)22n n n n +-⨯-++． ································································ 12分 20．设销量y 与销售价x 的一次函数关系为y =kx ＋b ；弹性批发价δ与销量y 的反比例函数关系为ayδ=，由7801050k b k b =+⎧⎨=+⎩，，解得0.115k b =-⎧⎨=⎩，，于是y =15－0.1x ， ························································································ 2分由110a=，得a =10，于是10y δ=． ·································································· 4分（Ⅰ）当销售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），此时的批发价为30＋105=32（元/件），获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）. ···· 6分（Ⅱ）设每一件的利润为d ，则1010(30)(30)30150.10.115d x x x x x δ=-+=-+=+---100(150)120(150)x x =-++-． ·········································································· 8分 而由150.100x x ->⎧⎨>⎩，，可得0<x <150，于是100(150)120120100(150)d x x =-++≤-=-，当且仅当100(150)(150)x x -=-，即x =140时取“=”．所以当每件定价为140元时，每件的利润最大为100元． ···································· 12分21．由题意知h (x )＝ln x －12ax ²＋(a －1)x ＋a ，且x ＞0，则21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x h x ax a x x x-+-+---'=-+-==， ······························· 2分 （Ⅰ）当a ＞0时，(1)ax --＜0，由()0h x '>，得0<x <1；由()0h x '<，得x >1，所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． ······································ 4分 （Ⅱ）由题知f (x )＜g (x )在x ∈(0,－a )上恒成立，即h (x )= f (x )－g (x )＜0在x ∈(0,－a )上恒成立．由()0h x '=，得11x a=-，x 2=1，(1)当11a =-，即a =－1时，()0h x '>在x ∈(0，1)上恒成立，则h (x )在(0，1)上为增函数，h (x )＜h (1)=52-＜0，所以f (x )＜g (x )恒成立． ··························································· 6分 (2)当11<-，即－1<a <0时，因为－a ＜1，在区间(0,－a )上，h (x )＜h (－a )＜h (1)=2a －1＜0．···························· 8分 (3)当11>-，即a <－1时，因为－a >1，又h (1a -)=ln(1a -)－12a ×(1a -)²1a -(a －1) ＋a = ln(1a -)12a -－1＋1a ＋a = ln(1a -)＋2212a a+－1＜0， ···································································································· 10分 于是只需考虑h (－a )＜0即可，即考虑h (－a )= ln(－a )－12a (－a )²＋(a －1)(－a )＋a = ln(－a )－12a ³－a ²＋2a ＜0，下面用特殊整数检验，若a =－2，则h (2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；若a =－3，则h (3)=ln3＋272－15= ln3－32=231(ln3ln )2e -＜0；若a =－4，则h (4)=ln4＋32－24= ln4＋8＞0，而当a ≤－4时，ln(－a )＞0，现说明当a ≤－4时，－12a ³－a ²＋2a ＞0，令u (x )＝－12x ³－x ²＋2x ，则()u x '＝－32x ²－2x ＋2，它在(－∞，－4]为增函数且(4)u '-＜0，所以u (x )在(－∞，－4]为减函数，而u (－4)＞0，则当a ≤－4时，－12a ³－a ²＋2a ＞0恒成立．所以，使f (x )＜g (x )在x ∈(0,－a )上恒成立的最小整数为－3． ·································· 12分 22．选修4－1：几何证明选讲 （Ⅰ）因为22QC QA BC QC -=， 所以2QCQC BC QA -=（）即2QC QB QA =， 于是QC QA QA QB=， 所以△QCA ∽△QAB ， 所以∠QAB =QCA ，根据弦切角定理的逆定理可得QA 为⊙O 的切线，证毕． ····································· 5分 （Ⅱ）因为QA 为⊙O 的切线， 所以∠P AC =∠ABC ，而AC 恰好为∠BAP 的平分线， 所以∠BAC =∠ABC ， 于是AC =BC =15，所以2215QC QA QC -=， ① 又由△QCA ∽△QAB 得 1510QC AC QA AB ==， ② 联合①，②消掉QC ，得QA =18． ··································································· 10分 23．选修4—4：坐标系与参数方程（Ⅰ）由题，消去直线l 的参数方程中的参数t 得直线l 的普通方程为2y x =+． 又由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，由cos ,sin x y ρθρθ⎧⎨⎩＝＝得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=． ································· 5分（Ⅱ）曲线C ：2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=， 设与直线l 平行的直线为y x b =+，当直线l 与曲线C 1=，即1b =-于是当1b =--P 为切点时，P 到直线l 的距离达到最大，最大值为两平行线的距离1=+．1，即为P 到直线l 1） ················································································································ 10分 24．选修4—5：不等式选讲（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥，当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2－2x ＋1≥16，解之得x ≤173-； 当－2＜x ≤12时，原不等式可化为x ＋2－2x ＋1≥16，解之得x ≤－13，不满足，舍去；当x ＞12时，原不等式可化为x ＋2＋2x －1≥16，解之得x ≥5；不等式的解集为17{|5}3x x x ≤-≥或． ······························································· 5分（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2， 所以10,12,a a -=⎧⎨+=⎩解得1a =，从而()1f x x =-于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证1+12x x -+≥，因为1+1=1+11+1=2x x x x x x -+-+≥-+，所以1+12x x -+≥，证毕． ·········································································· 10分。
2021年四川省资阳市、眉山市、遂宁市、广安市、自贡市、广元市高考化学一诊试卷
2021年四川省资阳市、眉山市、遂宁市、广安市、自贡市、广元市高考化学一诊试卷一、选择题：本题共7小题，每小题6分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（6分）中国景德镇瓷器精美绝伦，瓷器表面的兔毫釉主要成分为SiO2，还含有少量Al2O3和Fe2O3。
下列说法错误的是（）A．SiO2属于酸性氧化物B．景德镇瓷器不宜保存酸性或碱性太强物质C．兔毫釉极易被空气氧化，瓷器不能在空气中久置D．Al2O3中氧的质量分数高于Fe2O32．（6分）N A是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是（）A．标准状况下，2.24L水中含有0.2N A个极性键B．13g乙炔（C2H2）和13g苯均含有2N A个原子C．1mol H216O比1mol D218O少4N A个质子D．0.1L 1mol•L﹣1CH3OH溶液中含有0.1N A个分子3．（6分）下列物质的提纯方法中，不能达到目的的是（）选项物质（杂质）方法A NaHCO3溶液（Na2CO3）加足量NaOH 溶液B CO2（HCl）通过饱和NaHCO3溶液洗气C FeCl3溶液（FeCl2）通入适量氯气D KNO3（NaCl）重结晶A．A B．B C．C D．D4．（6分）麻黄碱能预防支气管哮喘发作，其结构如图。
有关该化合物的叙述正确的是（）A．分子式为C10H14NOB．能使酸性高锰酸钾溶液褪色C．既能与NaOH溶液反应，也能与盐酸反应D．在Cu做催化剂与O2反应时能生成含醛基的化合物5．（6分）2020年6月，清华大学发现了一种新型的钾离子电池正极材料，比过去使用的任何材料都更加稳定。
电池示意图如图2O4F+KC4C6+KFeC2O4F。
下列有关说法错误的是（）A．放电时，负极反应为：KC6﹣e﹣═K++C6B．充电时，阳极反应：KFeC2O4F﹣e﹣═FeC2O4F+K+C．充电时，当电路中通过的电子为0.02mol时，碳电极增加的质量为0.78gD．用该电池电解饱和食盐水，阴极产生4.48L气体时，通过隔膜的K+为0.2mol6．（6分）一种由短周期元素组成的有机化合物（如图所示），常用作分析试剂。
四川省资阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题(解析版)
资阳市高中2020级第一次诊断性考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}0M x x =>，{}22N x Z x =∈-<<，则()U M N ⋂=ð（）A.{}3 B.{}2,3 C.{}1,2,3 D.{}2,2,3-【答案】B 【解析】【分析】根据集合的补集运算、交集运算求解即可.【详解】{}{}221,0,1N x Z x =∈-<<=- ，{2,2,3}U N ∴=-ð，(){2,3}U M N ∴⋂=ð，故选：B2.已知复数z 满足1i z =+：则i3i z =+（）A.12i 55-- B.12i 55-+ C.21i 55-+ D.21i 55+【答案】D 【解析】【分析】根据共轭复数求出z ，再根据复数的除法进行计算即可.【详解】由题知1i z =+，所以1i z =-，所以i i i(12i)2i 21i 12i (12i)(12i)5553iz -+====+++-+，故选：D.3.已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P 的坐标为2π2πcos ,sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin tan αα=（）A.32-B.32C.32D.32【答案】A 【解析】【分析】计算得到13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在根据三角函数定义计算得到答案.【详解】2π2πcos,sin33P ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3sin 2α==，tan yxα==.故3sin tan 2αα=-.故选：A4.函数2x y -=-与2x y =的图象（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2x f x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2xf x =，则()2xf x ---=-()y f x = 与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.5.已知1sin cos 5αα+=，0πα<<，则cos 2=α（）A.1625B.725C.725-D.1625-【答案】C 【解析】【分析】通过平方求出sin 2α，判断α范围，再结合sin cos αα-=求值，最后联立方程求出sin ,cos αα，结合二倍角公式即可求解.【详解】由1sin cos 5αα+=①得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 25αα=-，因为0πα<<，所以sin 0,cos 0αα><，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5αα-===，即7sin cos 5αα-=②，联立①②可得：43sin ,cos 55αα==-，则227cos 2cos sin 25ααα=-=-.故选：C6.已知命题p ：“1a >”；命题q ：“函数()cos f x ax x =+单调递增”，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件【答案】A 【解析】【分析】通过导数研究()cos f x ax x =+的单调性，以此判断命题p 与q 的关系即可.【详解】当1a >时，()sin f x a x '=-，因1sin 1x -≤≤，1a >，则()0f x ¢>，得()cos f x ax x =+p q ⇒，即p 是q 的充分条件.当函数()cos f x ax x =+单调递增，有()sin f x a x '=-0≥恒成立，得()max sin 1a x ≥=，有q 不能推出p （a 可以等于1）.即p 不是q 的必要条件.综上：p 是q 的充分不必要条件.故选：A7.如图，C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为BE 的中点，设AB a=，AC b = ，则AF =（）A.5182a b + B.5142a b +C.5184a b +D.5144a b +【答案】A 【解析】【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.【详解】因为C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点则AB //CD ，且2AB CD=又E 为线段CD 的中点，F 为BE 的中点()()1111111122222242AF AE AB AE AB AC CE AB AC CD AB=+=+=++=∴++25111152828182AC AB AB AC AB a b =++==++故选：A.8.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，1a ，2a ，…，13a 这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的1a （根音），5a （三音），8a （五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列得到122q =，再计算781a q a =得到答案.【详解】根据题意得到：1213112a a q a ==，故122q =，故718a q a ==.故选：C9.执行下侧所示的程序框图，输出S 的值为（）A.30B.70C.110D.140【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得到：开始，0,0,0i a S ===；0,0,1a S i ===；2,2,2a S i ===；8,10,3a S i ===；20,30,4a S i ===；40,70a S ==，结束.故选：B10.已知a ，b 均为正数，且1212a b +=，则2a b +的最小值为（）A.8B.16C.24D.32【答案】B 【解析】【分析】根据“1”的变形技巧及均值不等式求解即可.【详解】因为a ，b 均为正数，且1212a b +=，所以12422()(2)2(4)2(4216b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b=时，即4,8a b ==时等号成立，故选：B11.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A.16 B.20 C.24D.28【答案】C 【解析】【分析】由条件可知()f x 有对称轴2x =-，对称中心(1,0)-，推出具有周期性4T =，由()24f -=求得a 的值，可分别计算(1),(2),(3),(4)f f f f ，结合周期性计算()131k f k =∑即可.【详解】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a=--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a-=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =.所以当[]2,1x ∈--时，()1()242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑,故选：C .12.已知函数()sin cos f x x x ωω=+，其中0ω>．若()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.150,,332⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】若()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，满足两条件：①区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭的长度超过2T ；②π4x ω+的整体范围在正弦函数的增区间内，取合适的整数k 求出ω的取值范围.【详解】π()sin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，∴3ππππ4242T ω-=≤=，∴4ω≤，∵π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴πππ3ππ24444x ωωω+≤+≤+，若()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则πππ2242,Z 3πππ2442k k k ωπωπ⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩解得3814233k k ω+≤≤+－，当0k =时，103ω<≤，当1k =时，532ω≤≤，当k 取其它值时不满足04ω<≤，∴ω的取值范围为150,,332⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题，共20分．13.已知实数x ，y 满足2202y x x y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则2x y +的最大值为______．【答案】8【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x y +的最大值.【详解】解：因为实数x ，y 满足2202y x x y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则不等式组对应的可行域为如下图所示：由22y x y x =⎧⎨=+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即()2,4A ，令2z x y =+，则2y x z =-+，当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的纵截距z 最大，max 2248z =⨯+=，故2x y +的最大值为8.故答案为：814.若34αβπ+=，则(tan 1)(tan 1)αβ--=________．【答案】2【解析】【分析】根据正切函数的和角公式,可知tan tan 11tan tan αβαβ+=--,再展开求解即可.【详解】因为34αβπ+=,所以,tan()1αβ+=-,即tan tan 1tan tan αβαβ+-＝－1,所以,tan tan tan tan 1αβαβ+=-,(tan 1)(tan 1)αβ--=tan tan (tan tan )αβαβ-+＋1＝2故答案为：2,属于基础题.15.已知平面向量a ，b ，c满足2a b a b ==+= ，且12a b c +-= ，则c r 的最大值为________．【答案】52##2.5【解析】【分析】由222()24a b a a b b +=+⋅+= ，可求得2a b ⋅=-，再求解2a b +== ，结合向量模长的三角不等式a b c a b c a b c --≤+-≤++，即得解.【详解】由题意，222()24a b a a b b +=+⋅+= ，又2a b == ，故2a b ⋅=-，故2a b +== ，由向量模长的三角不等式，a b c a b c a b c --≤+-≤++，即1222c c -≤≤+ ，解得：3522c ≤≤r ，则c r 的最大值为52.故答案为：5216.若2224ln x ax a x ->，则a 的取值范围是______．【答案】341e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】令22()24ln f x x ax a x =--，求导得到导函数，讨论0a =，0a >，a<0三种情况，分别确定函数的单调区间，计算函数的最小值，通过最小值大于0得到不等式，解得答案.【详解】令22()24ln f x x ax a x =--，依题意()0f x >对0x ∀>恒成立，242(2)()()22(0)a x a x a f x x a x x x-+'=--=>，若0a =，则2()0f x x =>对0x ∀>恒成立，符合题意；若0a >，则当02x a <<时，()0f x '<，()f x 为减函数，当2x a >时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以2min[()](2)4ln(2)0f x f a a a ==->，所以0ln(2)0a a >⎧⎨<⎩，解得102a <<.若a<0，则当0x a <<-时，()0f x '<，()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，()f x 为增函数，故2min [()]()[34ln()]0f x f a a a =-=-->.所以34ln()0a -->，所以3ln()4a -<，所以340e a <-<，所以34e 0a -<<.综上所述：a 的取值范围为341e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：341e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数将题目转化为函数的最小值是解题的关键，忽略0a =的情况是容易犯的错误.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等比数列{}n a ，的前n 项和为n S ，且3S ，9S ，6S 成等差数列．问：5a ﹐11a ，8a 是否成等差数列?并说明理由．【答案】5a ，11a ，8a 成等差数列，理由见解析【解析】【分析】设出等差数列和等比数列通项公式所需的基本量，列方程，化简得到58112a a a +=，题目得证.【详解】5a ，11a ，8a 成等差数列．理由如下：设等比数列{}n a 的公比为q ，由于3S ，9S ，6S 成等差数列，所以3692S S S +=，若1q =，则有1113629a a a +=⨯，显然不成立，故公比1q ≠．于是有()()()3691111112111a q a q a q qqq---+=⨯---，即有()3691121q q q-+-=-，即3692qq q +=，故有3612q q +=．则()4743581111a a a q a q a q q+=+=46101111222a q q a q a =⨯==，则化简得，58112a a a +=所以5a ，11a ，8a 成等差数列18.记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．知()2cos sin b A B -=．（1）求角A 的大小；（2）若点D 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，2AD =，且2b c =，求a ．【答案】（1）π3A =；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理、辅助角公式、角的范围可得πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可进一步求解；（2）由角平分线及三角形面积公式得12BD AB CD AC ==，则2133AD AB AC =+ ，结合模运算数量积运算可得c =b =，即可进一步由余弦定理解出3a =【小问1详解】由()2cos sin b A B -=，根据正弦定理得()sin 2cos sin B A A B -=，由于0πB <<，则sin 0B ≠cos 2A A +=，即π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，则ππ7π666A <+<，故有ππ62A +=，所以π3A =．【小问2详解】由题，ABD △的面积为1π1sin 262AB AD BD h ⋅=⋅（h 为ABC 中BC 边上的高），又ACD 的面积为1π1sin 262AC AD CD h ⋅=⋅，由AD 平分BAC ∠，所以12BD AB CD AC ==，则2133AD AB AC =+ ，所以222414999AD AB AC AB AC =++⋅，即222414π12442cos 99939c c c c c =+⨯+⋅=，解得c =b =，又)(22222π2cos 93a b c bc =+-=+=，所以，3a =．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3132a a =+，且12n n a S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11231232n nna b b b b ++++⋅⋅⋅+=-，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =（2）222n nn T +=-【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可；（2）先求出n b ，然后利用错位相减法求出n T 即可.【小问1详解】由已知，12n n a S a =+，则2n ≥时，1112n n a S a --=+，两式相减，得122n n n a a a --=，即()122n n a a n -=≥，所以，{}n a 为公比为2的等比数列．由3132a a =+，得11432a a =+，则12a =．所以{}n a 的通项公式2n n a =．【小问2详解】由已知，得112312322n nn b b b b ++++⋅⋅⋅+=-，①则1n =时，112b =，得112b =﹔2n ≥时，1231123122n n n b b b b --+++⋅⋅⋅+=-，②①–②得，()()122222n n n n nb +=---=，即2n n n b =，又112b =符合该式，所以()*2n n nb n =∈N ．所以，231232222n n nT =+++⋅⋅⋅+，同乘以12，得231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++，两式相减，得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-==--，所以，222n nn T +=-20.已知函数()31f x x ax =-+．（1）当1a =时，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；（2）当0a ≤时，对于任意0x >，证明：()cos f x x >．【答案】（1）1y x =-+或()2314y x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）易知()1,0不在()f x 上，设切点()3000,1x x x -+，由导数的几何意义求出切线方程，将()1,0代入求出对应0x ，即可求解对应切线方程；（2）构造()()31cos 0g x x ax x x =-+->，求得()23sin g x x a x '=-+，再令()()u x g x '=，通过研究()u x '正负确定()g x '单调性，再由()g x '正负研究()g x 最值，进而得证.【小问1详解】由题，1a =时，()31f x x x =-+，()231f x x '=-，设切点()3000,1x x x -+，则切线方程为()()()320000131y x x x x x --+=--，该切线过点()1,0，则()()3200001311x x x x -+-=--，即3200230x x -=，所以00x =或032x =．又()01f =；()01f '=-；32328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32324f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．所以，切线方程为1y x =-+或()2314y x =-；【小问2详解】设()()31cos 0g x x ax x x =-+->，则()23sin g x x a x '=-+，令()()()23sin 0u x g x x a x x '==-+>，则()6cos u x x x '=+，可知π02x <<，时，()0u x '>；π2x ≥时，()0u x '>，故0x >时均有()0u x '>，则()u x 即()g x '在()0,∞+上单调递增，()0g a '=-，因为0a ≤时，则()00g a '=-≥，()()00g x g ''>≥，故()g x 在()0,∞+上单调递增，此时，()()00g x g >=．所以，当0a ≤时，对于任意0x >，均有()cos f x x >．21.已知函数()22e xx f x ax +=++．（1）若()f x 单调递增，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求证：2133x x a ->-．【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求到得()1e x x f x a +'=-+，令()0f x '≥分离参数得1e x a x +≥，设()1exx g x +=，利用导数求得()max g x ，即可求解a 的取值范围；（2）()f x 有两个极值点，即1ex x a +=有两个不相等实数根，由（1）画出()g x 大致图象，确定01a <<且1210x x -<<<，构造函数()()()1102h x g x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，利用导数证明()0h x >，同理构造()()()110t x g x x x =---<<，利用导数证明()0t x >（此两步意为“搭桥”），设方程112x a -+=根为4x ，则422x a =-，同理设方程1x a +=解为3x ，则31x a =-，可得134210x x x x -<<<<<，由214333x x x x a ->-=-即可求证.【小问1详解】由()22e x x f x ax +=++得()1exx f x a +'=-+，由()f x 单调递增，则()0f x '≥，得1e xa x +≥，设()1e xx g x +=，则()e x x g x '=-，可知0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；0x >时，()0g x '<﹐()g x 单调递减，则0x =时，()g x 取得极大值()01g =，也即为最大值，则1a ≥．所以，a 的取值范围是[)1,+∞．【小问2详解】由题，函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=即1ex x a +=有两个不相等实数根，由（1），可知0x =时，()g x 取得极大值()01g =，且1x >-时()0g x >，x →+∞时()0g x →，故()g x a =有两个不等实根时，01a <<且1210x x -<<<．过点()0,1与()2,0的直线方程为112y x =-+，构造函数()()()1111102e2x x h x g x x x x +⎛⎫=--+=+-> ⎪⎝⎭，()1e 2x x h x '=-+，令()()()10e 2x x u x h x x '==-+>，则()()10ex x u x x -'=>，则01x <<时，()0u x '<，()u x 即()h x '单调递减；1x >时，()0u x '>，()u x 即()h x '单调递增，所以0x >时，()u x 极小值为()()11110e 2u h '==-+>，所以0x >时，()()0u x h x '=≥，则()()00h x h >=，即()()1102h x g x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，故当0x >时，()112g x x >-+，设方程112x a -+=根为4x ，则422x a =-．构造函数1y x =+，设()()()()11111110e e x x x t x g x x x x x +⎛⎫=--=--=+--<< ⎪⎝⎭，可知10x -<<时0e 1x <<，则()()10t x g x x =-->，所以10x -<<时，()1g x x >+，设方程1x a +=解为3x ，则31x a =-．于是有134210x x x x -<<<<<，如图，所以214333x x x x a ->-=-，证毕．【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，由极值点分布证明不等式恒成立.利用单调性求参数范围常采用分离参数法，证明不等式恒成立常采用构造函数法、此题中搭建112y x =-+和1y x =+思维难度大，有化曲为直的妙处.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos 2ρθ=．（1）若射线l ：6πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，G 与极轴的交点为Q ，求PQ ；（2）若A ，B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值．【答案】（1（2）334【解析】【分析】（1）根据已知得到P 、Q 两点的极坐标，代入距离公式即可；（2）设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据极坐标方程求出A ρ、B ρ，将三角形面积表示为θ的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.【小问1详解】将6πθ=代入方程2cos 2ρθ=，得，2cos13P πρ==，则P 的极坐标为1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.又G 与极轴的交点为Q 的极坐标为()2,0.则PQ ==.【小问2详解】不妨设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2cos 2A ρθ=，42cos 23B πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭所以，AOB 的面积12sin 23A B A B S πρρρ==34134cos 2cos 222sin 24322πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()233cos 2sin 2cos 21cos 4sin 42244θθθθθ=-+=-++41cos 4416πθθθ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭所以，当3462ππθ-=，即512πθ=时，max 334S =.所以，AOB 面积S最大值为4.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.设函数()2221f x x x =-++．（1）解不等式()4f x x ≤+；（2）令()f x 的最小值为T ，正数a ，b ，c 满足a b c T ++=2≤．【答案】（1）35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解；（2）由（1）可得函数图象，即可求出函数的最小值，再利用基本不等式证明即可.【小问1详解】解：因为()41,1122213,12114,2x x f x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以不等式()4f x x ≤+，即1414x x x >⎧⎨-≤+⎩或11234x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤+⎩或12144x x x⎧<-⎪⎨⎪-≤+⎩，解得513x <≤或112x -≤≤或3152x -≤<-，综上可得原不等式的解集为35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】解：由（1）可得函数()f x 的图象如下所示：所以()min 3f x =，即3T =，所以3a b c ++=，又0a >，0b >，0c >，()21123222222a b a c a b c ⎛⎫=≤+++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当1324b c a ===时取等号，322≤.第21页/共21页。
四川省资阳市2024届高三第一次诊断性考试文科数学试题(含答案解析)
四川省资阳市2024届高三第一次诊断性考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．P=C．P=6．若函数yA．(0,+．．．．．已知0x >，0y >，且241x y+=，则的最小值为（）．16B ．842+12D ．64+．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当时，()f x 单调递增，且()4f =二、填空题三、解答题参考答案：对于A ，当1n =时，由图可知1π02x <<，不满足11ππ22n n x n ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，由图可知，当n 为奇数时，1πn n x x +-<，当n 为偶数时，1πn n x x +->，故B 错误；对于C ，由图可知，结合()sin h x x =的对称性知，12πx x +>，233πx x +<，不满足()121πn n x x n ++>-，故C 错误；对于D ，()1πn x n --在x 轴上表示n x 与()1πn -的距离，由于函数()1m x =在()0,∞+上单调递减，函数()sin h x x =是以2π为周期的函数，当213e xx a =有三个实数根时，得21403e a <<，即2e 12a >，综上所述，()f x 有3个零点时，a 的取值范围是2e ,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（2）令()()()3321e 31x h x f x ax x ax ax x =-++=----，则有()2e 361x h x ax ax =---'，且()00h '=，()00h =，设()()2e 361x u x h x ax ax ==---'，则()e 66x u x ax a =--'，又令()()e 66x v x u x ax a -'==-，则()e 6xv x a =-'，因为16a ≤时，所以()0160v a =-≥'，由于()v x '为单调递增函数，可知()()00v x v '≥≥'，则()v x 即()u x '单调递增，故()()0160u x u a ≥=-'≥'，()u x ()h x '。
2021年资阳市高三第一次诊断性考试文科数学试题及答案解析
2021年资阳市高三第一次诊断性考试文科数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()3213z i i ⋅-=，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．3iC ．1D ．32．若,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，则λ=（ ） A ．3B ．3-C ．1D ．1-3．已知集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x ====，则AB 中元素的个数为（ ）A ．必有1个B ．1个或2个C ．至多1个D ．可能2个以上4．已知120.5343log (244)a b c b x x -=-=++，，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>5．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个．A ．40B ．36C ．44D ．526．下列四个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”； ②若“p ⌝或q ”是假命题，则“p 且q ⌝”是真命题； ③若p ：(2)0x x -≤，q ：2log 1x ≤，则p 是q 的充要条件；④已知命题p ：存在x ∈R ，使得22x x <成立，则p ⌝：任意x ∈R ，均有22x x ≥成立； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．13-D ．138．在等腰直角ABC 中，1,3,2AB AC BD DC CE CA CD ====+，则AD BE ⋅=( ) A ．116B ．716C ．2132-D ．78-9．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-10．函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞11．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos πα-=（ ）A B ．-C D ．二、填空题13．设0a >，0b >，若a 与2b 的等差中项是2，则22log 2log a b +的最大值是________． 14．若3030a b -<<<，则2a b-范围为______. 15．已知()()11f x x x =+⋅-，若关于x 的方程()f x x m =+有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围__________．16．在等比数列{}n a 中，13a =，且对任意的n ∈+N ，点1()n n a a +，在直线32y x =-上，则n a =________三、解答题17．已知圆1C 的参数方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)圆1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦长；若不相交，请说明理由．18．已知函数2()(1)1()x f x e k x k R =---∈.（1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数k 的最小值；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上无零点，求实数k 的取值范围.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+. （1）求角B 的大小；（2）若2c =，a 的值.20．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x <的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[1-，1]，求实数a 的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a =+,求122320172018111b b b b b b +++的值.22．已知函数1()(cos )()x f x e a x a R -=-+∈.(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若0a =，证明： 1[1,]2x ∀∈-，总有0,0a b >>因为：. 23．已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线1l 平行于直线 4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限, ⑴求P 0的坐标;⑵若直线1l l ⊥, 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.【答案与解析】1．D由复数的除法运算化简，即可得z 的虚部. 由复数除法运算化简可得()133213233213i i i z i i +===-+-， 由复数的概念可知z 的虚部为3. 故选：D.本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题. 2．B由()(3)a b a b λ+⊥+，可得()(3)a b a b λ+⋅+0=，再求解即可. 解：由,a b 是互相垂直的单位向量， 则0a b ⋅=且1a b ==， 又()(3)a b a b λ+⊥+，则()(3)a b a b λ+⋅+223(13)300a b a b λλλ=+++⋅=++=， ∴3λ=-， 故选：B.本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题. 3．C集合A={（x ，y ）|y=f （x ），x ∈D}，B={（x ，y ）|x=1}， 当1∈D 时，直线x=1与函数y=f （x ），有一个交点， 当1∉D 时，直线x=1与函数y=f （x ），没有交点， 所以A∩B 中元素的个数为1或0． 故答案为：C. 4．C将第一个等式两边同时除以13b -，然后比较a ，b 大小，对第二个等式进行整理，比较出c ，b 的大小，可得三者大小关系．由题得1133433aa b b -+-==>，可得11a b -+>，则a b >；因为222442[(1)1]2x x x ++=++≥，则22log 2[(1)1]1c b x -=-++≤-，可得10c b -+≤，因此c b <，所以有a b c >>，故选C ．本题考查比较实数大小，此类题的整体思路是做差或者做商，再根据函数特点进行化简判断大小． 5．A根据图1-3可判断从第二个图开始，图中圆点 的个数比上一个图多4个，即成等差数列，首项为4，公差为4，所以101949440a a d =+=+⨯=，故填：40. 6．C①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”，故①正确； ②若“p ⌝或q ”是假命题，则p ⌝，q 均为假命题，所以p 和q ⌝是真命题，故②正确； ③若p ：()20x x -≤，得02x ≤≤；由q ：2log 1x ≤，得02x <≤，则p 是q 的必要不充分条件，故③错误；④因为特称命题的否定为特称命题，所以命题p ：存在x R ∈，使得22x x <成立，则p ⌝：任意x R ∈，均有22x x ≥成立，正确，故④正确.所以正确的命题由3个. 故选C 7．C 由712122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求值. 因为712122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 所以由三角函数的诱导公式可知：71cos cos sin 12122123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：C本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是发现角之间的关系，再选择诱导公式求值. 8．A以BC 中点O 为坐标原点，BC 所在直线x 轴建立直角坐标系，得到,,,A B C D 坐标，由已知E 为AD 中点，确定E 点坐标，进而求出,AD BE ，即可求出结论.设BC 的中点为O ，连接AO ，以BC 所在直线x 轴，AO 所在直线y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，所以12AO BO CO BC ====，又3BD DC =，所以OD ，则(A B D ，2(AD =,由2CE CA CD =+可得E 为AD 的中点，所以5(E BE =，所以21482416AD BE ⋅=-=. 故选：A.本题考查向量数量积的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 9．D易知当1024y =时，循环结束；再寻找x 的规律求解. 计算过程如下：当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D .本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律. 10．B构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解.依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B.本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．D画出图象如图所示,由于平面1//B AC 平面11A DC ,故三角形1AB C 即M 点的运行轨迹.以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,故()()111,0,1,0,1,1A C .当M 在11,1,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时,02l =,当M 在()11,1,1B 时,102l l =>,由此排除,A C 两个选项. 当M 在P,Q 以及AC 中档时2l =,故排除B 选项.所以选D.12．B根据角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求得cos α==，再利用诱导公式求()cos πα-.因为角α的终边经过点()1,2P -，所以cos 5α==，所以()cos cos παα-=-=. 故选：B本题主要考查三角函数的定义及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．2根据题意，先得到24b a +=，再由对数运算，以及基本不等式，即可求出结果. 因为a 与2b 的等差中项是2， 所以24b a +=， 又0a >，0b >，则()2222222log 2log log log 22a b a b ab ⎛⎫++== ⎪⎝⎭≤，当且仅当2a b =，即2,a b ==.故答案为：2.本题主要考查由基本不等式求最值问题，涉及等差数列，以及对数运算，属于常考题型. 14．()30,0-先根据条件计算出-a b 的取值范围，然后即可计算出2a b-的取值范围，注意临界值的计算. 因为3030a b -<<<，所以()30300a b --<-<， 所以600a b -<-<，所以3002a b--<< ， 所以()30,02a b-∈-. 故答案为：()30,0-.本题考查根据不等式的性质求解范围，难度较易.已知()()()12341234,,,,a x x b x x x x x x ∈∈<<，则有1423x x a b x x -<-<-.15．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭因为221(1)()(1)11(1)x x f x x x x x ⎧-≥=+-=⎨-<⎩，在同一坐标系作(),y f x y x m ==+的图象如图：当直线与抛物线相切时，联立方程组得210x x m ---=，14(1)540m m ∆=+-=-=，解得54m =，方程()f x x m =+有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知514m -<<，故填51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.点睛：涉及方程根的个数问题，经常需要转化为两个函数图象交点问题，因此需要作出函数图象，通过观察分析函数图象得到交点个数，特别要注意相切等特殊位置,从而数形结合的方式得到结果. 16．1231n -⋅+由已知得到递推关系132n n a a +=-，两边同时减去1，得到113(1)n n a a +-=-，利用等比数列的定义判定数列{1}na -是等比数列，进而求解即可.∵点1()n n a a +，在直线32y x =-上，∴132n n a a +=-， 则113(1)n n a a +-=-，1131n n a a +-=-，又∵112a -=， ∴数列{1}na -是等比数列，首项为2，公比为3，∴1123n n a --=⋅，。
四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析
四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“，有成立”，则为A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立参考答案：C略2. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．3. 若函数y＝log2(x2－2x－3)的定义域、值域分别是M、N，则（）A．[－1, 3] B．(－1, 3) C．(0, 3] D．[3, ＋∞)参考答案：A略4. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.参考答案：C5. 的值是A. B.C. D.参考答案：C6. 若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )A．B．C．D．2参考答案：C【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的模．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，考查计算能力．7. 不等式的解集是（）A． B．C．（1，2） D．参考答案：答案：B8. 已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（ ） A ．当时，， B ．当时，，C ．当时，，D ．当时，，参考答案：B略9. 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（ ）A ．2B ．2+C ．3+D ．3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形， 且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示； 根据图中数据，计算其表面积为 S=S 正方形ABCD +S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD =12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B ．10. 已知命题p ：?x∈R，x 2﹣3x+2=0，则?p 为（ ） A ．?x ?R ，x 2﹣3x+2=0 B ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0 C ．?x∈R，x 2﹣3x+2=0 D ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0参考答案：D【考点】四种命题；命题的否定．【分析】根据命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题 ∴?p：?x∈R，x 2﹣3x+2≠0故选D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是______。
四川省资阳市2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题(解析版)
资阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}130M x x x =+-<，{}0,1,2,3,4N =，则M N =（ ）A. {}1,2,3-B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B【分析】先求出M ，进而求出M N ⋂即可【详解】()(){}{}13013M x x x x x =+-<=-<<，{}0,1,2,3,4N =，所以，MN ={}0,1,2故选B2. 复数21i=+（ ）. A. 1i -- B. 1i -+C. 1i -D. 1i +【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简即可求解. 【详解】()()()22122222111112i i i i i i i i ---====-++--， 故选：C3. sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】C【分析】利用诱导公式将160化为20，再根据两角和的正弦公式可得结果.【详解】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。
故选：C【点睛】关键点点睛：利用诱导公式将160化为20是解题关键. 4. 等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ）. A.32B. 3C.92D. 9【答案】A【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A5. 已知()1,2A ，()3,4B ，()2,2C -，()3,5D -，则向量AB CD ⋅=（ ）. A. 4- B. 2-C. 4D. 6【答案】C【分析】首先求向量AB 和CD ，再根据数量积的坐标表示求解. 【详解】()2,2AB =，()1,3CD =-， 所有()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=.故选：C6. 执行如图所示的程序框图，若输入6N =，则输出的S =（ ）A.56B.67C.78D.89【答案】B【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】初始值6,0,1N S k ===， 第一步：1101,6122S k =+=-<⨯，进入循环；第二步：111111112,(1)11,262232233k S k =+==-+=-+-=-=<⨯，进入循环；第三步：111213,(1)1,363344k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环； 第四步：111314,(1)1,464455k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环； 第五步：111415,(1)1,565566k S k =+==-+=-=<⨯，进入循环； 第六步：1116516,(1)1,666777k S k =+==-+=-==⨯，结束循环，输出67S =.故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查程序框图，只需分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型. 7. “()()3311a b +>+”是“lg lg a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【分析】分别证明充分性和必要性即可判断选项【详解】充分性证明：取()()33011a b >+>+，明显地有，0a b >>，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()331111a b a b +>+⇒+>+，所以，必要性成立； 故选B8. 已知2log 5a =，3log 7b =，0.30.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A【分析】找中间量1和2进行比较可得答案.【详解】22log 54log 2a ==>,33log 7log 31b =>=,33log 7log 92b =<=,0.300.50.51c =<=, 所以c b a <<.故选：A【点睛】思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较.9. 函数()sin xf x e x =在区间[]π,π-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据函数值的符号可排除,A B ，由函数的极值点可排除C ，从而得到正确结果. 【详解】因为当(,0)x π∈-时，sin 0x <，所以()sin 0xf x e x =<，图象落在第三象限，所以排除,A B ， 因为'()(sin cos )x f x e x x =+，分析其单调性，可知其极大值点应为34π，在2π的右侧，故排除C ，故选：D.【点睛】方法点睛：该题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：（1）函数的定义域、奇偶性；（2）特殊位置的符号、单调性； （3）利用导数研究其单调性和极值点.10. 已知圆O 内切ABC 的三边AB ，BC ，AC 分别于D ，E ，F ，且23190OD OE OF ++=，则角B =（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【分析】先设出内切圆的半径，结合题中所给的条件，利用向量数量积的运算性质，求得126OD OE ⋅=，利用向量夹角运算公式求得3DOE π∠=，进而求得B 的大小.【详解】因为圆O 是ABC 的内切圆，设其半径为1，又23190OD OE OF ++=，所以2319OD OE OF +=-，所以22(23)19OD OE OF +=，即222412919OD OD OE OE OF +⋅+=， 因为1OD OE OF ===，所以可求得126OD OE ⋅=， 所以1cos 2OD OE DOE OD OE⋅∠==， 所以3DOE π∠=，所以233B πππ=-=，故选：C .【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关角的求解问题，在解题的过程中，关键点是利用向量的运算性质，以及向量夹角运算公式，求得3DOE π∠=，再利用四边形的内角和求得结果.11. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A. ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D. π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x xϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得a b =，整理得()sin 4f xx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠， 利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+=⎝⎪⎭，即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确；对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=---⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x的最值，π4f ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题. 12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()f x f x '<（其中()f x '为()f x 的导函数），若()22e f =，则()e x f x >的解集为（ ）A. ()2,2-B. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由()()()[]x x f x f x f x e e '-'=，结合已知条件有偶函数||()x f x e 在[0,)+∞上单调减，(,0)-∞上单调增，再由 ||2()(2)1x f x f e e>=，即可求解集. 【详解】由()()()[]x x f x f x f x e e '-'=，而()()f x f x '<知：()xf x e在[0,)+∞上单调减， 而()2f e =，即(2)1f e=，又()xf x e >知：||2()(2)1x f x f e e >=，∴在[0,)+∞上有02x ≤<，又()f x 是定义在R 上的偶函数，则||()x f x e在R 上为偶函数， ∴||()x f x e 在(,0)-∞上单调增，即||2()(2)x f x f e e ->，可得20x -<<，综上，有22x -<<， 故选：A【点睛】思路点睛：由()f x 与()f x '组成的复合型函数式，一般可以将其作为某函数导函数的一部分，构造出原函数，再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.二、填空题：13. 221log 12log 92-=______. 【答案】2；【分析】根据对数的运算性质求值即可. 【详解】222222211log 12log 9log 34)log 32log 3log 3222(-=⨯-=+-=， 故答案为：214. 设x 、y 满足1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为______.【答案】10【分析】由已知得出()23x y x x y +=--，利用不等式的基本性质可求得2x y +的最大值. 【详解】()23x y x x y +=--，由于13x ≤≤，10x y -≤-≤，可得()01x y ≤--≤，339x ≤≤，由不等式的基本性质可得()3310x x y ≤--≤，即3210x y ≤+≤， 因此，2x y +的最大值为10. 故答案为：10.15. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12327a a +=，242816a a a =⋅，则n a =______.【答案】124n -【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，可得n a . 【详解】设公比为q (0)q >，则1126281132716a a q a q a q +=⎧⎨=⎩，即112327116a a q q +=⎧⎨=⎩，解得14q =（负值已舍），12a =， 所以111124n n n a a q --⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭124n -=.故答案为：124n -【点睛】关键点点睛：熟练掌握等比数列的通项公式是解题关键.16. 已知函数()()2,1,12,1,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若关于x 的方程()()1f x a x =-有且仅有4个不等实数根，则a的取值范围是______. 【答案】11,3216⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数解析式，作出函数图象，将方程有4个不等实数根，转化为函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-有四个不同的交点，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】因为()()2,1,12,1,2x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，作出其图象如下：因为关于x 的方程()()1f x a x =-有且仅有4个不等实数根， 所以函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-有四个不同的交点， 由图象可知，当0a ≤时，显然不满足题意； 当0a >时，因为()()()111311244f f f ==-=，()()115328f f ==， 横坐标为5对应的空心点的坐标为15,4⎛⎫ ⎪⎝⎭由图象可得，当直线()1y a x =-过点15,8⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有五个不同的交点，此时10185132a -==-； 当直线()1y a x =-过点15,4⎛⎫⎪⎝⎭时，直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，此时10145116a -==-；因此，为使直线()1y a x =-与函数()y f x =的图象有四个不同的交点， 只需113216a <<. 故答案为：11,3216⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 已知函数()ππ2sin cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 单调递增区间；（2）若825f α⎛⎫=⎪⎝⎭，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin α的值. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）310. 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，再根据正弦函数的递增区间可得结果； （2）由825f α⎛⎫=⎪⎝⎭得到π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再根据ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得结果.【详解】（1）()πsin 22cos 222s 6πin 22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ， 则函数单调递增区间()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由825f α⎛⎫=⎪⎝⎭得π82sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以4313sin 525210α=⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：第（2）问将α拆为已知角6πα+和特殊角6π是本题解题关键. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 为等比数列，且22b =，516b =. （1）求n a ，n b ；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；12n n b -=；（2）125102n n n T -+=-. 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求n a ，利用等比数列的通项公式求1b ，q ，写出通项公式即可.（2）由（1）结合错位相减法求n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，113a S ==当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+， 可知13a =满足上式， 于是21n a n =+.设等比数列{}n b 公比为q ， 则12b q =，4116b q =， 解得11b =，2q ，所以12n nb -=.（2）由（1）知1212n n n n a b -+⋅=， 则021357212222n n n T -+=+++⋅⋅⋅+，①于是12313572122222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，② ①-②得：12111122111121213232122222212n n n n nn n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+⨯-⎪⎝⎭-，则1111212564110222n n n n n n T ---⎡⎤++⎛⎫=+--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和125102n n n T -+=-.【点睛】方法点睛：1、由,n n S a 的递推关系式，结合11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩确定n a 或得到{}n a 中项的关系，进而确定是否为等差或等比数列.2、若已知公差、公比、项等条件，直接应用等差、等比的通项公式求基本量，写出通项公式即可.3、由等差、等比数列组成的混合数列：一般考虑应用错位相减法求数列前n 项和.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A -=. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值. 【答案】（1）π3A =；（2）4. 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合两角和公式化简三角函数式即可求cos A ，得到角A 的大小； （2）由（1）中角A 的大小，应用余弦定理及基本不等式求b c +的最大值即可. 【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=， 则()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，0B π<<，则sin 0B >，于是1cos 2A =，又0πA <<，故3A π=；（2）根据余弦定理222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭，即()216b c +≤，当且仅当b c =时等号成立. 所以b c +的最大值为4.【点睛】关键点点睛：由已知边角关系，应用正弦定理边角互化及三角形内角和性质求角，综合应用余弦定理、基本不等式求三角形边长和的最值. 20. 已知函数()32g x x ax =+.（1）若函数()g x 在[]1,3上为单调函数，求a 的取值范围； （2）已知1a >-，0x >，求证：()2ln g x x x >.【答案】（1）93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）求得()232g x x ax '=+，根据()g x 在[]1,3上为单调函数，分类讨论，即可求解.（2）要证()2ln ,0g x x x x >>，转化为证明ln x a x +>，构造函数()ln u x x a x =+-，利用导数求得函数()u x 的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()32g x x ax =+，则()232g x x ax '=+，若()g x 为单调递增，则()2320g x x ax '=+≥在[]1,3上恒成立，则32a ≥-； 若()g x 为单调递减，则()2320g x x ax '=+≤在[]1,3上恒成立，则92a ≤-.所以，a 的取值范围是93,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由题意，要证()2ln ,0g x x x x >>，即证322ln x ax x x >+，即证ln x a x +>，令()ln ,0u x x a x x +->=，可得()111,0x u x x x x-=-=>'， 当01x <<，()0u x '<，函数()u x 单调递减， 当1x >，()0u x '>，函数()u x 单调递增. 所以()()11u x u a ≥=+， 因为1a >-，所以()0u x >，故当1a >-时，对于任意0x >，()ln g x x >.【点睛】利用导数的方法证明不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立的基本方法是构造新函数()()()h x f x g x =>，然后根据函数()h x 的单调性，或者函数的最值证明()0h x >，其中一种重要的技巧就是找到函数()h x 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口. 21. 已知函数()2e 21xf x x ax ax =++-.（1）当212ea =时，求()f x 在2x =-处的切线方程；. （2）当110ea --<≤时，讨论()f x 零点的个数. 【答案】（1）22261e e y x =---；（2）当110ea --<≤时，()f x 有1个零点.【分析】（1）先求出()f x 的导数，再利用切线公式写出切线方程即可（2）先讨论0a =时，()f x 零点的个数；再讨论当0a >时，因为()()()()1e 221e 2xxf x x ax a x a '=+++=++，得到11x =-和2ln(2)x a =-，进而通过对1-和ln(2)a -进行比较，进而讨论此时()f x 的零点个数【详解】由()2e 21xf x x ax ax =++-，得()()()()1e 221e 2x x f x x ax a x a '=+++=++.（1）212ea =时，可得()222e f '-=-，()2221e f -=--， 则切线方程为()222221e e y x =-+--，即22261e ey x =---.（2）（ⅰ）当0a =时，()e 1xf x x =-，可知0x <，()0f x <，又()e 1xf x x =-为()0,∞+的增函数，且()1e 10f =->，所以()f x 仅有一个零点.（ⅱ）当0a <时，由()0f x '=得1x =-或()ln 2x a =-， ①若()ln 21a -<-，即102a e-<<，则 当()ln 2x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()ln 21a x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()()()()2ln 2ln 210f a a a -=--<，()31e 31e 102ef a =+->-->， 此时，()f x 仅有一个零点②若()ln 21a -=-，即12ea =-，则()0f x '≥，()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()1e 310f a =+->，此时()f x 仅有一个零点. ③若()ln 21a ->-，即12ea <-，则 当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1ln 2x a -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； ()ln 2x a >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.因111e 2e a --<<-，则()1110ef a -=---<，()222e 810f a =+->，结合()010f =-<知()f x 仅有1个零点， 综上，当110ea --<≤时，()f x 有1个零点. 【点睛】关键点睛：对a 进行讨论时，要先讨论0a =时，()f x 零点的个数； 再讨论当0a >时，()f x 的导数为0时，两根的大小情况来求解，属于中档题（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：4cos ρθ=. （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点1,0A ，且1C 和2C 的交点分别为点M ，N ，求11AM AN +的取值范围. 【答案】（1）2240x y x +-=；（2）43⎤⎥⎣⎦. 【分析】（1）由直角坐标与极坐标关系将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）由（1）将1C 参数方程代入2C 的直角坐标方程得22cos 30t t α--=，由根与系数关系即可得点M ，N 对应参数的数量关系，又1,0A 对应参数0t =，即可得11AM AN+关于cos α的函数式，求其值域即可.【详解】（1）由4cos ρθ=可得24cos ρρθ=，可得2240x y x +-=.（2）将1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩带入2C 的直角坐标方程，得()()()221cos sin 41cos 0t t t ααα++-+=，即有22cos 30t t α--=，所以122cos t t α+=，123t t ⋅=-.则121212121133AM AN t t t t t t AM AN AM AN t t +++-+=====⋅43333⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：1、直角坐标与极坐标关系222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，与已知方程结合求直角坐标方程或极坐标方程.2、由参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩知：极点为1,0A ，即可令12||,||t AM t AN ==，结合已知求范围即可.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知不等式233x x -+-<解集为M . （1）求M ；（2）若b ，c M ∈，证明：44bc c b +<+. 【答案】（1）(1,4)；（2）证明见解析. 【分析】（1）分类讨论去绝对值可解得结果；（2）利用分析法转化为证()()221610b c --<，再根据b ，c M ∈，可证()()221610b c --<成立. 【详解】（1）当2x ≤时，253x -+<，得12x <≤； 当23x <<时，13<成立，得23x <<； 当3x ≥时，253x -<，得34x ≤<， 所以原不等式的解集为()1,4，即(1,4)M =. （2）要证明44bc c b +<+，即证明()()2244bc c b +<+，即222216160b c b c +--<， 即证明()()221610b c --<，由于b ，c M ∈，所以2160b -<，210c ->，则有()()221610b c --<， 所以44bc c b +<+.【点睛】关键点点睛：利用分析法将不等式化为()()221610b c --<来证是解题关键.。
专题03 复数必刷100题(解析版)
专题03 复数必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知复数2i 1i-=-（ ）A ．3i 22+ B ．13i 22- C ．33i 22- D ．1i 22+ 【答案】A 【分析】根据复数除法运算法则计算即可. 【详解】()()()()2i 1i 2i 3i 3i1i 1i 1i 222-+-+===+--+. 故选：A.2．（广东省清远市博爱学校2022届高三上学期11月月考数学试题）在复平面内，复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果. 【详解】 因为3i (3i)(1i)24i=12i 1i (1i)(1i)2z ++++===+--+， 所以复数z 对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限. 故选：A.3．（山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试题）已知复数z 满足i 2z z +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．i -C ．iD ．1-【答案】D【分析】先由i 2z z +=求出复数z ，然后可求出其虚部 【详解】 由i 2z z +=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-， 所以复数z 的虚部为1-， 故选：D.4．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）复数43i2iz -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】 解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+， 所以复数z 的虚部为2-， 故选：A.5．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）复数i(,)a b a b +∈R 与1i +之积为实数的充要条件是（ ） A ．0a b == B ．0ab = C ．0a b += D ．0a b -=【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算结合复数分类的概念即可得到答案. 【详解】因为(i)(1i)()i a b a b a b ++=-++是实数，所以0a b +=， 故选：C ．6．（四川省南充市2022届高考适应性考试（零诊）理科数学试题）已知2(1i)34i z -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】B 【分析】由2(1i)34i z -=+求出复数z ，即可求得答案． 【详解】由2(1i)34i z -=+，得()234i34i 3i22i 21i z ++===-+--， 则复数z 在复平面内对应的点为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限，故选：B.7．（黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高三上学期10月质量检测数学（文）试题）设复数1z =（i 是虚数单位），则z z +的值为（ ） A ．B ．C ．1D ．2【答案】D 【分析】根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解. 【详解】由复数1z =，可得1z =，所以112z z +=++=， 所以2z z +=. 故选：D.8．（江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）设4-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．32 B ．3i 2C ．32-D ．3i 2-【答案】C 【分析】先对复数4-化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部【详解】因为()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222z++++====+--+，所以13i22z=-，所以z的虚部为32-，故选：C.9．（西南四省名校2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学（理）试题）已知复数2,2,dq=⎧⎨=⎩，则z的虚部为（）A．1-B．i-C．1D．2i-【答案】A【分析】先利用复数的除法法则化简，再利用共轭复数和虚部的概念进行求解. 【详解】因为22(1i)1i 1i2z+===+-，所以1iz=-，则z的虚部为1-．故选：A．10．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I卷）数学试题）若复数1iiiza+=-+为纯虚数，则实数a的值为（）A．1-B．12-C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.【详解】化简原式可得：()()()22212i1i i1ii ii11a a aaza a a++--+-+=-=-=+++z 为纯虚数时，221021a a a a +=--+，≠0即 1a =-，选项A 正确，选项BCD 错误. 故选A ．11．（广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知复数1(2)i z a a=+-（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y x =上，若a ∈R ，则z =（ ） AB ．2C D ．10【答案】A 【分析】先利用实部等于虚部，求出参数，即可求出模. 【详解】解：由题意得：1(2)a a=-，解得1a =，z 故选：A.12．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测文科数学（老高考）试题）复数112i1iz +=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】112433i ii i ⨯+===-，则()()()()112i 1i 2i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 2221i z +++++=====+--++，因此，复数z 对应的点位于第一象限. 故选：A.13．（神州智达省级联测2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）在复平面内，点A 和C 对应的复数分别为42i -和24i -+，若四边形OABC 为平行四边形，O （为坐标原点），则点B 对应的复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．22i -D ．22i +【分析】由复数的几何意义，可得OA 与OC 的坐标，再根据向量加法的平行四边形法则即可求解OB 的坐标，从而可得点B 对应的复数. 【详解】解：由题意，4,2,2)4(,()OA OC =--=， 又OB OA OC =+， 所以()2,2OB =，所以点B 对应的复数为22i +. 故选：D.14．（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考数学试题）已知复数()()1i 12i z =--，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数虚部为（ ） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数13i --，再根据共轭复数的概念，即可得答案； 【详解】()()1i 12i 13i z =--=--，∴13i z =-+，∴z 的共轭复数虚部为3，故选：B.15．（广东省深圳市龙岗布吉中学2020-2021学年高一下学期中数学试题）已知i 是虚数单位，则复数202120212i 2i z -=+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】利用复数的乘方、除法运算化简z ，进而判断其所在的象限.由4i 1=，则20215054122021505412i 2i 2i (2i)34i2i (2i)(2i)52i 2i z ⨯+⨯+-----=====++-++， ∴z 对应的点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭所在的象限是第四象限.故选：D.16．（湖南省岳阳市岳阳县第一中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题）已知复数122,i(R)1iz z a a ==+∈+，若12,z z 在复平面内对应的向量分别为12,OZ OZ （O 为直角坐标系的坐标原点），且12||2OZ OZ +=，则a =（ ） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．-1或3【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简1z ，然后求得12OZ OZ +，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 122(1i)1i 1+i (1i)(1i)z -===-+-， 2i z a =+，则12|||(1,1)(,1)||(1,0)||1|2OZ OZ a a a +=-+=+=+=，解得1a =或3-． 故选：C.17．（甘肃省天水市秦州区2020-2021学年高二下学期第一阶段检测数学（文）试题）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】B 【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案. 【详解】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，所以关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.18．（江苏省无锡市辅仁高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：i cos isin e θθθ=+，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数i412i 1i z π-=++在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用欧拉公式代入直接进行复数的运算即可求解. 【详解】i412i 12i cos isin 1i 1=i 44z e πππ--⎫=++⎪++⎭12i 12ii 11i 1i =⎫--++=++⎪⎪++⎝⎭()()()()12i 1i 13i 11i 1i 1=i 1i 1i 222----=++=++-+-,所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限，故选：D.19．（福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）． A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】B 【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可.根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故选:B.20．（福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题）复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（ ） A ．1 BC ．3D 【答案】C 【分析】由复数模的几何意义可得复数z 对应点Z 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得z 的最大值. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，21z -=，∴复数z 对应点(,)Z x y 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点Z 位于点(3,0)B 处时，点Z 到原点的距离最大，最大值为3. 故选：C.【点睛】两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.21．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（三））系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i -D ．12i +【答案】C利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】 解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=-,故选：C.22．（福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期期中联考数学试题）下面是关于复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．Z 的共轭复数为1i --D ．z 的虚部为1-【答案】C 【分析】由复数除法化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项． 【详解】22i 2i(1i)2(i i )1i 1i (1i)(1i)2z ++====-+--+，所以z =A 错；对应点坐标为(1,1)-不在直线y x =上，B 错； 共轭复数为1i --，C 正确； 虚部为1，D 错． 故选：C ．23．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题）已知复数z 满足1i z z -=-，则在复平面上z 对应点的轨迹为（ ） A ．直线 B ．线段C ．圆D ．等腰三角形【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，结合1i z z -=-，得到点P 在线段,A B 的垂直平分线上，即可求解. 【详解】设复数i(,)z x y x y =+∈R ，根据复数的几何意义知：1z -表示复平面内点(,)P x y 与点(1,0)A 的距离，i z -表示复平面内点(,)P x y 与点(0,1)B 的距离，因为1i z z -=-，即点(,)P x y 到,A B 两点间的距离相等，所以点(,)P x y 在线段,A B 的垂直平分线上，所以在复平面上z 对应点的轨迹为直线. 故选：A.24．（北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题）已知复数z 满足z ＋z ＝0，且z ·z ＝4，则z ＝（ ） A ．±2 B ．2C ．2i ±D ．2i【答案】C 【分析】不妨设i z a b =+，代入0z z +=，4z z ⋅=，运算即得解 【详解】由题意，不妨设i z a b =+，则i z a b =-由0z z +=，可得i i 20a b a b a ++-==，故0,i a z b == 且2i (i)42z z b b b b ⋅=⨯-==∴=±2i z ∴=±故选：C.25．（第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.2复数的几何意义）向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ ＋2OZ 对应的复数是（ ）A ．108i -+B ．108i -C ．0D ．108i +【答案】C 【分析】由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求1OZ ＋2OZ ，即可知其对应的复数. 【详解】由题意可知：1(5,4)OZ =-，2(5,4)OZ =-， ∴1OZ ＋2OZ ＝(5,4)-＋(5,4)-=(0,0)． ∴1OZ ＋2OZ 对应的复数是0. 故选：C.26．（广东省肇庆市2022届高三上学期一模考前训练（二）数学试题）已知i 为虚数单位，复数112i z =-，22i z =+，则复数12z z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由已知条件求出12z z ，然后求出12z z ，从而可求出复数12z z 在复平面上对应的点所在的象限 【详解】因为112i z =-，22i z =+，所以212(12i)(2i)2i 4i 2i 43i z z =-+=+--=-， 所以1243i z z =+，所以复数12z z 在复平面上对应的点位于第一象限， 故选：A.27．（福建省泉州科技中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）若1i Z =+，则20202021()()Z Z ZZ --+的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】D 【分析】根据1i Z =+，结合共轭复数，利用复数的除法和乘方运算求解. 【详解】因为1i Z =+，所以()()()()()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i,i 1i 1i 1i 1i 1i 1i Z Z Z Z--++--+-======---+++-， 所以2020202120202021()()i (i)1i Z Z ZZ --+=+-=-， 故其虚部为-1， 故选：D.28．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知i 为虚数单位，复数z 满足1i 1iz +＝+，则|z |等于（ ） A ．12BCD【答案】C 【分析】结合复数的减法和除法运算求出复数z ，进而利用复数的模长公式即可求出结果. 【详解】 因为11i 13i i i 1i 222z -=-=-=-++，所以z ==故选：C.29．（河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试题）已知复数z 满足12(1i)iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】设i z a b =+，,a b ∈R ，利用复数乘法化简(1i)z +并求出12i+，根据复数相等判断,a b 的符号，即可知复数z 对应的象限. 【详解】令i z a b =+，,a b ∈R ，则(1i)()(1i)(i )i z a b a a b b +=+=-+++，又122i i+=-，则12i +=∴()i a b a b -++0a b a b ⎧-=>⎪⎨+=⎪⎩，∴0a b >>，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限. 故选：D.30．（广西南宁市2022届高三高中毕业班上学期摸底测试数学（理）试题）已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（ ） A ．34i + B ．43i + C ．36i + D ．63i +【答案】B 【分析】利用复数的四则运算法则，求解即可 【详解】 由题意， 11212221z z z z z z z ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 11i 3+i (3i)1i (3i)1i (3i)1i (1i)(1)2i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3i)(3i)86i 43i 22+++===+ 故选：B二、多选题31．（河北省石家庄市藁城新冀明中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）设()1i 2i z -=+，则下列叙述中正确的是（ ） A ．z 的虚部为32-B ．13i 22z =- C ．∣z ∣D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第四象限【答案】BC 【分析】先根据复数的除法法则求得z值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何意义判定选项D错误.【详解】由()1i2iz-=+，得2i(2i)(1i)13i13i 1i(1i)(1i)222z++++====+--+，则：z的虚部为32，即选项A错误；13i22z=-，即选项B正确；z==C正确；复数z对应的点13(,)22位于第一象限，即选项D错误.故选：BC.32．（广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）若复数35i1iz-=-，则（）A．z=B．z的实部与虚部之差为3C．4iz=+D．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【分析】由已知复数相等，应用复数的除法化简得4iz=-，即可判断各选项的正误.【详解】∵()()()()35i1i35i4i 1i1i1iz-+-===---+，∴z的实部与虚部分别为4，1-，z A正确；z的实部与虚部之差为5，B错误；4iz=+，C正确；z在复平面内对应的点为()41-,，位于第四象限，D正确．故选：ACD．33．（重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题）已知复数20211i 11iz +=+-（i 为虚数单位）、则下列说法正确的是（ ） A ．z 的实部为1 B ．z 的虚部为1-C ．z =D ．1i z =+【答案】AC 【分析】先对20211i 11i z +=+-化简求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：202145051221i 1i 1i (1i)12i i 111111i 1i 1i 1i (1i)(1i)2z ⨯+++++++=+=+=+=+=+=+----+，所以复数z 的实部为1，虚部为1，所以A 正确，B 错误，z C 正确， 1i z =-，所以D 错误，故选：AC.34．（湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次大练习数学试题）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．2340i i i i +++= B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到()1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确. 故选：AD.35．（2021届新高考同一套题信息原创卷（四））已知,a b ∈R ，()1i 32i a b --=-，()1i a b z -=+，则（ ） A ．z 的虚部是2i B ．2z =C ．2i z =-D ．z 对应的点在第二象限【答案】BC 【分析】由复数相等，求出,a b 的值，然后求出2i z =，根据复数的相关概念判断选项. 【详解】由复数相等可得3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩解得1,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以()()21i 1i 2i a b z -=+=+=，z 的虚部是2，所以A 选项错误；2i 2z ==，所以B 选项正确； 2i z =-，所以C 选项正确；z 对应的点在虚轴上，所以D 选项不正确.故选：BC.36．（在线数学135高一下）下面关于复数()1z i i =-+（i 是虚数单位）的叙述中正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．z =C ．22z i = D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BC 【分析】先求出复数z ，然后根据复数的相关概念及运算法则对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：因为复数()11z i i i =-+=--，所以z 的虚部为1-，故A 选项错误；z B 选项正确；()2212z i i =--=，故C 选项正确；z 的共轭复数为1i -+，故D 选项错误；故选：BC.37．（云南省曲靖市罗平县第二中学2020-2021学年高一下期期末测试数学试题）已知复数21iz =+，则正确的是（ ） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 C ．z 的虚部为﹣i D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BD 【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 【详解】 因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-， 所以z 的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限， 共轭复数为1i z =+， 故AC 错误，BD 正确. 故选：BD.38．（河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题）复数1i z =-，则（ ） A ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1- B ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1 C ．2z = D ．z =【答案】AD 【分析】利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为()1,1-，即可得答案； 【详解】1i z =-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，z =故选：AD.39．（2021·湖北·高三月考）设1z ，2z 是复数，则（ ） A ．1212z z z z -=-B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若120z z -=，则12z z =D ．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC 【分析】结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】设1i z a b =+，2i z x y =+，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立； ()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B ，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D ，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC.40．（2021·山东临沂·高三月考）已知m ，n R ∈，复数2i z m =+，()235i i z z n +=+，则（ ） A ．1m =- B ．1n =C ．i m n +=D ．m ni +在复平面内对应的点所在象限是第二象限【答案】ACD 【分析】由题意得()()23225mi mi ni i +++=+，即()2655m mi n i -+=-，由复数相等求出,m n ，然后逐个选项分析判断. 【详解】因为复数2i z m =+，()235i i z z n +=+ 所以()()23225mi mi ni i +++=+()2655m mi n i -+=-所以2655m n m ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即51n m =⎧⎨=-⎩，所以A 正确，B 错误；m ni +C 正确；m ni +在复平面内对应的点为()1,5-，所在象限是第二象限，故D 正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题41．（山西省新绛中学2022届高三上学期10月月考数学（文）试题）已知1?21z i +=，则z 的最大值为_______.【答案】1 【分析】根据复数的几何含义，求解出z 的实部和虚部满足的关系式，再结合复数模的几何含义即可得出结果. 【详解】设()i ,z x y x y R =+∈， ()12i 12i 1z x y ∴+-=++-=即()()22121x y ++-=，所以点 (),x y 在以()1,2-为圆心，1为半径的圆上z z 表示点(),x y 到原点的距离， 所以原点与圆上的一点距离的最大值即表示z 的最大值所以11MAXz =1.42．（北京市第十三中学2022届高三上学期期中考试数学试题）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=_____________.【答案】2 【分析】由已知求得z ，进一步得到z ，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得． 【详解】解：由题意，1i z =-，∴1i z =+，2(1i)(1i)1i 2z z ∴⋅=-+=-=．故答案为：2．43．（安徽省合肥市庐阳高级中学2020-2021学年高三上学期10月第一次质检理科数学试题）复数z 满足22i z z =++，则1i z -+的最小值为___________.【分析】设复数i z a b =+，代入题干条件后求出a 与b 的关系，再代入到1i z -+的关系式中，求出最小值. 【详解】设复数i z a b =+，则z ，()22i 22i z a b ++=+++，22i z ++，因为22i z z =++2a b =--，则()()1i=11i z a b -+-++，1i z -+①，把2a b =--代入①式中，得：i 1z +-当2b =-1i z -+44．（广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考数学试题）已知复数3i 1iz +=+，则z =__________．【分析】根据复数除法运算化简求出z ，即可求出模. 【详解】 ()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，z ∴==.45．（天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若复数z 满足ii i1z +=（i 为虚数单位），则z =_____．【分析】根据复数的运算直接求出z 的代入形式，进而可得模. 【详解】 解：由已知21i1i iz +==--，z ∴==.46．（上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题）若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________.【分析】利用复数的除法化简复数z ，可得出z ，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】()223i i 3i 3i i 3i 113i i i i 1iz +++-=====-⋅-，所以，13i z =+，因此，z =47．（上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题）已知复数()()()13i 1i 12i z +-=-，则z=___________. 【答案】2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】 解：()()()()()()13i 1i 42i 12i 42i 10i2i 12i12i 12i 12i 5z +-+++=====---+， 则2z z ==. 故答案为：2.48．（双师301高一下）若复数()i z a a =+∈R 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =_______． 【答案】±1 【分析】利用数量积为0列方程，解方程求得a . 【详解】z a i =+对应坐标为(),1a ，z a i =-对应坐标为(),1a -，依题意()()2,1,110a a a ⋅-=-=， 解得1a =±. 故答案为：±1.49．（2021·上海·格致中学高三期中）定义运算()(),,a b c d ad bc =-，则满足()(),1,232i z z =+的复数z =______.【答案】23i 3+【分析】设i z a b =+，然后根据定义直接化简计算即可. 【详解】设i z a b =+，所以i z a b =- 由()(),,a b c d ad bc =-所以()(),1,223i=32i z z z z a b =-=++所以23,3a b ==所以23i 3z =+故答案为：23i 3+.50．（2021·全国·高三月考（理））已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______． 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，得到||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上，结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义，可得||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上， 而z 表示椭圆上的点到椭圆对称中心()0,0的距离，当且仅当复数z 位于椭圆短轴端点(1,0)±时，z 取得最小值，z 的最小值为1． 故答案为：1．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第三次双基检测数学（理）试题）已知i 为虚数单位，则232021i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-1【答案】A 【分析】根据虚数的运算性质，得到4414243i i i i 0n n n n ++++++=，得到2320212021i i i i i +++⋅⋅⋅+=，即可求解. 【详解】根据虚数的性质知4414243i i i i 1i 1i 0n n n n ++++++=+--=， 所以2320212021i i i i 5050i i +++⋅⋅⋅+=⨯+=. 故选：A.2．（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期10月联合考试数学试题）已知复数202120221111i i i i z -+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】C 【分析】先利用复数的乘方化简复数z ，再求其共轭复数. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，所以20212022=(i)+i =i 1=1i z -----， 则1i z =-+，3．（上海市曹杨第二中学2022届高三上学期10月月考数学试题）设b 、c ∈R ，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（ ） A ．4b =，5c = B ．4b =，3c = C ．4b =-，5c = D ．4b =-，3c =【答案】C 【分析】分析可知实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为2i -、2i +，利用韦达定理可求得b 、c 的值，即可得解. 【详解】因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则该方程的另一个虚根为2i +， 由韦达定理可得()()()()2i 2i 2i 2i b c -++=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以45b c =-⎧⎨=⎩.故选：C.4．（第3章本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A 版选修2-2））若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=【答案】D 【分析】把1x =代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=∴2(1(10b c +++=，即()1i 0b c -+++= ∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩.5．（专题1.3集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，|1N x =<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]【答案】C 【分析】M 集合表示cos2y x =的值域，N 集合表示不等式1<的解集，先分别求出来再求其交集即可【详解】22|cos sin |cos 2y x x x =-=，其值域为[]0,1，所以[]0,1M =.因为1<，所以1x <，解得11x -<<，即()1,1N =-.所以M ∩N=[)0,1 故选：C.6．（考点38复数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用））若2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ，且1xy >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)+∞B ．(,)-∞-⋃+∞C ．()-⋃+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出,x y ，再根据1xy >，得出2414a ->，从而可求出a 的取值范围. 【详解】 解：因为2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ， 所以2i ()i a x y x y +=-++， 所以2x y x y a -=⎧⎨+=⎩，解得：22,22a a x y +-==，因为1xy >，所以2414a ->，解得：a <-a >， 则实数a 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞. 故选：B.7．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知复数()2231i z a a a =-+-，R a ∈，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出a 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】若复数()2231i z a a a =-+-为纯虚数， 则223010a a a ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0a =或3a =，所以由0a =可得出()2231i z a a a =-+-为纯虚数， 但由()2231i z a a a =-+-为纯虚数，得不出0a =， 所以“0a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件， 故选：A.8．（第25讲数系的扩充与复数的引入（练）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））设复数1i1iz -=+，()202020191f x x x x =++++，则()f z =（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【分析】利用复数的除法化简得出i z =-，然后利用复数的乘方法则可求得结果. 【详解】()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-， 又因为()4i 1-=，对任意的k 、n Z ∈，()()()()44i i i i n k n k k +-=-⋅-=-， 而()()()()234i i i i i 1i 10-+-+-+-=--++=， 因此，()()()()()20202019i i i i 1505011f z f =-=-+-++-+=⨯+=.故选：C.9．（河北正中实验中学2021届高三上学期第二次月考数学试题）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos isin z z θθθθ⋅=+++，已知1i2a +，2021b a =，则a b +的值为（ ）A ．i - B ．i C ．D 【答案】B 【分析】推导出()111cos isin nz n n n N θθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2isin 2cos3isin 3z z z θθθθθθ==+++=+，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin n z n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+， 所以，202120212021cos isin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cosisini 662ππ=-+=， 因此，i a b +=. 故选：B.10．（第25讲数系的扩充与复数的引入（讲）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））欧拉公式i co sin s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得i312e π=+，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i co sin s i x e x x +=，故i3isin 1cos 332e πππ==+，对应点12⎛ ⎝⎭，在第一象限.故选:A.11．（山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）定义运算a bad bc c d=-，若复数z 满足i 11i 1z z -=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．i -D ．i【答案】D 【分析】直接利用新定义，化简求解即可. 【详解】 由a bad bc c d=-， 则i 1i 1i 1z z z z -=+=-， ()()()2i 11i 2ii i 1i 1i 12z ---∴====-++--，则i z =.故选：D.12．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（ ） A ．2-或52B ．2-C ．52 D ．52-【答案】C 【分析】由于是,αβ虚根，所以方程判别式小于0，且,αβ是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定理代入条件解出参数 【详解】由已知方程有两个虚根,αβ，因此方程判别式小于0，即.1140,4m m -<>, 设=i,i a b a b αβ+=-由韦达定理可知1m αβαβ+=-=， 所以2221,a a b m =-+=, 即214m b =+3αβ-=, 即2i 3b =, 所以239,24b b ==所以915442m =+= 故答案为：C.13．（专题12.3复数的几何意义（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第二册））若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（ ） AB ．C ．2D ．4【答案】D 【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R)，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆， |z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和， 而|CO |＝|CA |易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时， 且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝4， 故选：D ．14．（专题07复数-备战2022年高考数学一轮复习核心知识全覆盖（新高考地区专用））如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是（ ） A ．1 B ．12C ．2D【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用数形结合求解即可． 【详解】解：|i ||i |2Z Z ++-=∴点Z 到点(0,1)A -与到点(0,1)B 的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|i 1|Z ++表示为点Z 到点C (1,1)--的距离． 数形结合，得最小距离为1 所以|z ＋i ＋1|min ＝1. 故选：A.15．（百师联盟2021届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 【答案】D 【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证. 【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误； 对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a b b a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误； 对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ==，D 正确故选：D.16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三第四次模拟数学（理）试题）设z 为复数，则下列命题中错误的是（ ） A ．2z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．22z z =D ．若11z -=，则02z ≤≤【答案】C 【分析】根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222222(i)(i)i z z a b a b a b a b z =+-=-=+=⋅，故A 正确；由1z =，得221(11)a b b +=-≤≤，则i z += 当1b =时，i z +的最大值为2，故B 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，2z 与2z 不一定相等，故C 错误；满足11z -=的z 的轨迹是以()1,0为圆心，以1为半径的圆，如图所示， 则02z ≤≤，故D 正确． 故选：C ．17．（陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第一次校际联考文科数学试题）设复数1z ，2z 满足121z z ==，1212z z -=-+，则12z z +=（ ）A ．1B ．12CD 【答案】D 【分析】利用性质2||z zz =，结合已知求出2112z z z z +，再由2121212()()z z z z z z ++=+即可求12z z +. 【详解】由题设，121212112122122|()()|1z z z z z z z z z z z z z z -=-+-=--=，又121z z ==，。
资阳市高中2021级第一次诊断性考试试题 附答案
资阳市高中2021级第一次诊断性考试英语注意事项：1.本试卷共150分。
考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分听力（共两节，满分 30 分）第一节（共5 小题；每小题 1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What is the weather like now?A. Rainy.B. Bright.C. Grey.2.When will the man arrive at the party?A. At 8:30.B. At 9:00.C. At 9:30.3.What does the man plan to do?A. Take a lift.B. Buy a pair of shoes.C. Go to a shopping center.4.What was Tom doing just now?A. Cleaning the floor.B. Washing the dishes.C. Clearing the table.5.Where does the conversation probably take place?A. At a restaurant.B. At a gas station.C. At a theater.第二节（共15 小题；每小题 1.5 分，满分22.5 分）听下面5 段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
四川省资阳中学2021届高三上学期第一次诊断性考试文科综合试卷
四川省资阳中学2021届高三上学期第一次诊断性考试文科综合试卷文科综合本卷须知：1．本试卷分选择题和非选择题两局部。
答题前，考生务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应标题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上有效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上有效。
4．考试完毕，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共35小题。
每题4分，共140分。
在每个小题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的。
多肉植物指植物的根、茎、叶营养器官中至少有一个器官肥厚多汁、贮存着少量水分，在土壤中水量增加时满足植植物生活需求。
非洲某地散布着1000多种外地特有的多肉植物，一年中一些时间植物在休眠，但只需持久的雨季或几场大雾，就万物复苏、百花齐放。
以下图为非洲表示图和小明家方位图，据资料完成1～3小题。
１．据资料推测该地为图中A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地２．该地持久雨季的构成缘由是A．西南风B．西北风C．赤道低气压D．西北风３．不思索天气要素状况下，小明家〔105°02´E，30°17´N〕阳台上引种的多肉植物在春分日接受第一缕阳光的时间是A．7点B．8点C．9点D．10点随着城市化的快速开展，许多农业用地将被征用。
«中华人民共和疆土地管理法»规则：征收土地的，依照被征收土地的原用途给予补偿，土地补偿费为该耕地被征用前三年平均年产值六至十倍。
下表为我国某小城镇郊区四种农作物局部经济数据。
据此完成４～６小题。
单位面积产量〔千克·年〕500 4000 800 1500A．气候条件B．消费市场C．科技水平D．城市空间结构５．因城市化进程需求，表中四种农业用地都有被征用。
土地补偿规范最低的农业用地是A．花卉地B．蔬菜地C．稻米地D．甘蔗地６．表格中四种农作物产品单位运费存在一定差异，其主要影响要素是A．农产品性质B．平均收卖价钱C．单位面积产量D．消费本钱2021年8月21日，投资约5亿元的鸿星尔克〔安岳〕鞋服消费项目正式在资阳市安岳县城区边缘的经济开发区投产。
四川省资阳市2024届高三第一次诊断性考试文科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（ ）A．B．C．D．2. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分3.若圆过点，，且被直线截得的弦长为，则圆的方程是（ ）A．或B ．或C．或D．或4. 已知(是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，且侧棱平面，若，，，则球的表面积为( )A．B．C．D．7.已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A．若，则B ．若，则C．的最小值为2D ．的最大值为48. 已知数列的通项，则（ ）A ．数列的最大项为B ．数列的最小项为C ．数列的最大项为2.7D ．数列的最小项为9. 直线过定点___________，原点到直线l 的距离的最大值为___________.10. 已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{1，2，3，4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f （1）)，B (2，f （2）)，C (3，f （3）)，△ABC 的外接圆圆心为D ，且＋＝λ(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有________种．11. 已知是定义在R上的奇函数，且．若，则________．12.已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为________．13. 四棱锥P ﹣ABCD 中，面PAD ⊥面ABCD ，AB ∥CD 且AB ⊥AD ，PA ＝CD ＝2AB ＝2，AD ＝PD＝．E 为PB 中点．四川省资阳市2024届高三第一次诊断性考试文科数学试题(高频考点版)四川省资阳市2024届高三第一次诊断性考试文科数学试题(高频考点版)（1）求证：PA⊥面CDE；（2）求点E到面PCD的距离．14. 已知椭圆的右焦点为F.（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.15. 已知函数(1)求的单调递增区间；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.16. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在横线上，回答下面问题.在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若___________.(1)求A的值；(2)若边长，求面积的最大值.。