数学：2.2.1《圆的标准方程》课件(苏教版必修2)
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高中数学 2.2.1圆的方程(1)课件 苏教版必修2
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6
数学应用
思考：1．方程x－1＝ 1－ y 2 表示的曲线是什么？
y
O
2．方程y＝ 1－(x 1)2表示的曲线是什么？
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x
7
数学应用
2．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，及点M1(5，－7)，M2(－5，－1)， M3(3，1)则过此三点是否存在圆的切线？若存在有几条？ 3．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心， r为半径的圆；其中当r＝1，即x2＋y2＝1时， 称该方程表示的圆为单位圆．
y y
P(x，y)
r
O M(a，b)
x
O
x
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3
数学应用
例1．求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．
(1)经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上； (3)经过点A(3，5)和B(－3，7)，且圆心在x轴上． (4)过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的 弦长为 2 2 ．
高中数学 必修2
2.2.1 圆的方程（1）
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1
问题情境
圆是最完美的曲线．它是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合．定点就是圆心，定长就是半径 ．
r 如何建立圆的方程？ 如何利用圆的方程研究圆的性质？
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2
数学建构
圆的方程． x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 以(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程：
高中苏教版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 第2课时 圆的一般方程课件PPT
(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特 征，观察是否可以表示圆．
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1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状． [解] 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)， 半径为 a2－1的圆； 当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)； 当－1<a<1时，此方程不表示任何曲线．
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1．圆的一般方程的定义
(1)当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的
一般方程，其圆心为
－D2 ，－E2
，半径为
1 2
D2＋E2－4F ．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 __－__D2_，__－__E2__ __．
(3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示 任何图形．
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思考：圆的一般方程具有怎样的特点？
提示：(1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0.
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2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)，则其位置关系如下表：
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Hale Waihona Puke 圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)， B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方 程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．
思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求 解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
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1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状． [解] 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)， 半径为 a2－1的圆； 当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)； 当－1<a<1时，此方程不表示任何曲线．
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1．圆的一般方程的定义
(1)当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的
一般方程，其圆心为
－D2 ，－E2
，半径为
1 2
D2＋E2－4F ．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 __－__D2_，__－__E2__ __．
(3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示 任何图形．
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思考：圆的一般方程具有怎样的特点？
提示：(1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0.
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2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)，则其位置关系如下表：
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Hale Waihona Puke 圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)， B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方 程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．
思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求 解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
数学：第2章2.2.1圆的方程 课件(苏教版必修2)
备选例题
1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标
轴都相切的圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2， ∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a
－3b＝8.
a＝±b， a＝4， a＝1， 由5a－3b＝8，得b＝4，或b＝－1， r＝|a|， r＝4， r＝1. ∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－ 1)2＋(y＋1)2＝1. 法二：圆与两坐标轴都相切，那么圆心必在直 线 y＝±x 上．
3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆 的标准方程．
【思路点拨】
解答本题可以先根据所给条
件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出 方程用待定系数法求解．
【解】
法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)
名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.
①当 D2＋E2－4F＞0 为圆心，
D E － ，－ 2 2 时， 表示以____________
1 2 D ＋E2－4F 2 ____________为半径的圆； ②当 D2＋E2－4F＝0 时，方程只有实数解 x＝ D E D E － ，－ － ， y＝－ ， 即只表示一个点____________； 2 2 2 2 ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因 而它不表示任何图形．
名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必 掌握.
a＝－1 解得b＝－2，(10 分) 2 r ＝10 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. (14 分)
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时 圆的一般方程
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
第2章 平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
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第2章 平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么 关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
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第2章 平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
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第2章 平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是 否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为 大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程 不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示 圆．
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第2章 平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0， 即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0， 所以原方程表示圆，
苏教版高中数学必修二课件《解析几何初步》圆的标准方程教学.pptx
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
4
用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
据圆的定义有|MC|=r
由距离公式，得
y
C
M
．r
两边平方，得
O
x
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
5
圆的标准方程
特点：
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
y
14.52-(-2)2-10.5 ≈14.36-10.5=3.86(m)
答20：20/支4/23柱A2P2的长度约重为庆市3涪.陵8实6验m中。学
x
19
例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 ，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一 辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶 入这个隧道?
2020/4/23
(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上．
3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1 ＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
21
4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点 A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
4
4
2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件 ,即a、b、r.
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为
x +y =r 20220/4/223 2
重庆市涪陵实验中学
6
练习1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
2020/4/23
重庆市涪陵实验中学
4
用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
据圆的定义有|MC|=r
由距离公式，得
y
C
M
．r
两边平方，得
O
x
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5
圆的标准方程
特点：
1、是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
y
14.52-(-2)2-10.5 ≈14.36-10.5=3.86(m)
答20：20/支4/23柱A2P2的长度约重为庆市3涪.陵8实6验m中。学
x
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例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 ，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一 辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶 入这个隧道?
2020/4/23
(2)经过两点A(－1,0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上．
3、已知圆过点P(－4，3)，圆心在直线2x－y＋1 ＝0上，且半径为5，求这个圆的方程．
2020/4/23
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21
4.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点 A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
4
4
2、明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件 ,即a、b、r.
4、若圆心在坐标原点，则圆方程为
x +y =r 20220/4/223 2
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6
练习1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
苏教版2017高中数学(必修二)第2章 2.2.1 第1课时 圆的标准方程PPT课件
【解析】 由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22 ＝r2，即r2＝8. 故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.
【答案】 x2＋y2＝8
教材整理2 点与圆的位置关系 阅读教材P107～P108，完成下列问题． 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
(3)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5. 因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：
2 2 1 － a ＋ 0 － b ＝5， 2 2 5 － a ＋ 0 － b ＝5，
a＝3， 解得 b＝1
a＝3， 或 b＝－1.
所以圆心C的坐标为(－3，－2)．
∴圆的半径r＝AC＝ 0＋32＋2＋22＝5， 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
圆的方程的实际应用
如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m，当水面下降1 m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数) m时，水面宽12
图2－2－1
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( × ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ ) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( × ) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × )
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知 识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3， b)，又由AC＝ 5，得 3－12＋b2＝ 5，解得b＝1或b＝－1，
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
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高中数学 2.2.1圆的方程课件 苏教版必修2
学习
分析：设出点P的坐标，转化为求函数最值问题．
解析：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y 20＋(x0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2， 欲求d的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C上 的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的 直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．
(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2)2＋y20＝1.②
把①代入②，得(2x－2)2＋(2y)2＝1，
整理，得(x－1)2＋y2＝14.
所以，点 M 的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝14.
方法二(定义法) (1)当 O，P，C 三点不共线时，连接 PC，取
OC 的中点为 O1， ∵M 为 OP 的中点，∴MO1 是△OPC 的中位线． ∴MO1＝12PC＝21. 因 O1 是定点，其坐标为(1，0)．
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
2．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于A、
B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，
求动点P的轨迹方程．
学习
栏
解析：方法一
设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，
目 链 接
预习
y2)．
典例
因为A、B在圆上，所以x21＋y21＝4，x22＋y22＝4.两式
典例
△POM 为直角三角形，其中∠OPM＝90°，故点 P 的轨迹方程为：
x2＋y－122＝41.
与圆有关的最值问题
学习
若实数
x，y
满足(x－2)2＋y2＝3，则xy的最大值为________，最
数学苏教版必修2 第2章2.2.1第一课时 圆的标准方程 课件(35张)
3．点与圆的位置关系 如图，点 A 与圆 C 有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点 在圆外．
判断方法如下： 点 A(x0，y0)到圆心 C(a，b)的距离为 d＝ x0－a2＋y0－b2： (1)当 d＝r，即 x0－a2＋y0－b2＝r， 即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 时，点 A(x0，y0)在____圆__上_______；
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:49:49 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
[解] 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为线段 P1P2 的中 点得 a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 4＝6，即圆心坐标为 C(4,6)，又由两 点间的距离公式得 r＝CP1＝ 4－32＋6－82＝ 5，故所求 圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M，N，P 到圆心 C 的距离： CM＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， CN＝ 4－32＋6－42＝ 5， CP＝ 4－32＋6－52＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
(2)过 A、B 两点面积最小的圆就是以线段 AB 为直径的圆， ∴圆心坐标为(0,2)，半径 r＝12|AB|. ∵AB＝ 1＋12＋1－32＝ 8， ∴r＝12· 8＝ 2. ∴所求的圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝2.
苏教版高中数学必修2圆的方程课件
D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
D E , )为圆心， 2 2
当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 1 ）表示以（1，1）、M2（4， 2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。
方程的意义 例1
例2
练习
展开圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
D 2 E 2 D E 4F 将（ 1 ）配方得（x ) ( y ) ( 2) 2 2 D 4E 2 2 1.当D E 4 F 0时，方程（1 ）表示以（ , )为圆心， 2 2 1
反过来，形如（1）的方程的曲线是不是圆呢？ 可见任何圆的方程都可以写成（1）式， 2 2
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）
D E 2.当D E 4 F 0时，方程（1 ）表示点（ , )， 2 2
2 2
2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
3.当D 2 E 2 4F 0时，方程（ 1 ）不表示点任何图形。
切线方程为： ( x0 a )( x a ) ( y0 b)( y b) r
2.求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程 。 常用求法简介：
（2）圆C的方程为： ( x a)
切线方程为：x0 x y0 y r 2
2
( y b) r
2
2
2
法1：设直线为y y0 k ( x x0 ), 化为一般式，由 圆心到该直线的距离等于半径求k . 法2：设直线为y y0 k ( x x0 ), 化为一般式，
CQ 3 10
D E , )为圆心， 2 2
当D 2 E 2 4 F 0时，方程（ 1 ）表示以（1，1）、M2（4， 2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。
方程的意义 例1
例2
练习
展开圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
D 2 E 2 D E 4F 将（ 1 ）配方得（x ) ( y ) ( 2) 2 2 D 4E 2 2 1.当D E 4 F 0时，方程（1 ）表示以（ , )为圆心， 2 2 1
反过来，形如（1）的方程的曲线是不是圆呢？ 可见任何圆的方程都可以写成（1）式， 2 2
即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）
D E 2.当D E 4 F 0时，方程（1 ）表示点（ , )， 2 2
2 2
2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆。
3.当D 2 E 2 4F 0时，方程（ 1 ）不表示点任何图形。
切线方程为： ( x0 a )( x a ) ( y0 b)( y b) r
2.求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程 。 常用求法简介：
（2）圆C的方程为： ( x a)
切线方程为：x0 x y0 y r 2
2
( y b) r
2
2
2
法1：设直线为y y0 k ( x x0 ), 化为一般式，由 圆心到该直线的距离等于半径求k . 法2：设直线为y y0 k ( x x0 ), 化为一般式，
CQ 3 10
高中数学 第二章 2.2.1圆的方程(二)配套课件 苏教版必修2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1（二）
1．对于二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.当 D2＋E2－4F
＝0 时，方程表示 一个点 ，该点的坐标为(－D2 ，－E2)；当 D2＋E2－4F<0 时，方程不表示任何 图形；当 D2＋E2－4F>0
时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为 (－D2 ，－E2) ，
x－x23＋2y＋2 y2＝12，
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0.
将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
所以所求曲线是圆心为 C(－1,0)，半径为 2 的圆(如图)．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1（二）
例 3 某圆拱梁的示意图如图，该圆拱的跨度 AB 是 36 米， 拱高 OP 是 6 米，在建造时，每隔 3 米需用一个支柱支撑， 求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01 米)．
2.2.1（二）
118822＋－1188DD＋＋FF＝＝00， 62＋6E＋F＝0
解之得ED＝＝408
，
F＝－324
∴圆拱所在的圆的方程为：x2＋y2＋48y－324＝0；
将点 P2 的横坐标 x＝6 代入圆方程， 解得 y＝－24＋12 6≈5.39(舍去负值)．
答 支柱 A2P2 的长约为 5.39 米． 小结 本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在 圆的方程，用代数的方法研究几何．
2．圆 2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0 的圆心坐标1_9____．
解析 由一般方程的圆心－D2 ，－E2， 半径 r＝12 D2＋E2－4F两公式易得答案．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.1（二）
3．圆 x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 的圆心到直线 x－y＝1 的距离为 ____2____． 解析 因为圆心坐标为(1，－2)，
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气の,尤其是在浮岛之上,还有十一些像迷雾壹样の地方,闪着阵阵仙光,却楚里面有什么东西."恩,这个老头不简单,和老铁有得壹拼."根汉和南天冰云,现在交流都换成了传音了,不再说话了,怕被人家给听了去了."以他这样の水平,或许在这天府应该有点地位."南天冰云猜想道.根汉却咧嘴 笑了："那可未必,这天府の实力,或许远超出咱们の想像了.""哦?你怎么知道の?"南天冰云问他.根汉也不好和她说,是因为自己の天眼,能够人の壹些脑海中の信息,刚刚自己扫描了这个灰袍青年の元灵,所以获得了壹些信息.虽说这个灰袍青年在这天府の地位可以说是极低の,仅仅算是初入 门の弟子,算不得核心弟子,但是这天府の人本来就不多,而且这家伙在这里呆了也有近百年了,所以还是知道不少东西の."你者穿の也不怎么样,身上也没有多少秘宝,穿の戴の都比较普通,应该不是什么高地位の人."根汉说,南天冰云也觉得有道理："穿の还真是有些普通呢,难道这天府有壹 大票の绝强者?""完全有可能,咱们过去听听会说些什么."根汉说,带着南天冰云又往那边飞了近百里,直到能听到他们两人の谈话后便停了下来."不错,这の确就是九龙珠,想不到你竟然真の带回来了,这回你真是大功壹件."老者接过这灰袍青年の宝袋子,啧啧叹道,"咱们天府寻这东西寻了十 几万年了,到现在也不过只寻到过几颗而已.""都是师父庇护弟子,才能侥幸找到它."灰袍青年说.老者微笑着说："你这回立了大功,为师便破例传你暗袭之法.""多谢师父."灰袍青年连忙跪下,老者右手放在他眉心按了按,壹阵白光钻进了他の元灵之中,灰袍青年大喜道："多谢师父成全,弟子 壹定努力修行.""恩,等为师将此物献给府主,府主壹定会赏你进入仙池の,到时你百年の心愿就可以完成了."老者说.灰袍青年道："多谢师父,弟子壹定谨记壹生,不辜负师父の期望.""恩,你能找到这东西,也说明你与此物有缘."老者欣慰の说道："说明你の天赋还有提升の机会,等为师去和 府主说壹下能赐你仙丹壹枚.""仙,仙丹?"灰袍青年内心颤抖,不敢相信自己听到の.老者微笑着说："为师只是替你去试壹下,毕竟仙丹只有立了大功の人,才有资格服用,咱们天府の仙丹の数量也不多,只有府主身上有壹些而已.""多谢师父."灰袍青年心中壹阵狂喜,没想到自己这回捡到了这 颗宝珠,竟然会是这么大の壹件功劳."起来吧,不必这么客气."老者笑道："说不定用不了多久,以后你就能和师父平起平坐了.""弟子不敢,无论何时,您都是小鹰の师父,永远都是小鹰最敬仰の人."灰袍青年嘴倒是挺甜.老者也感觉比较欣慰,然后对灰袍青年道："你先下去吧,好好修行暗袭功, 府主现在不在这里,等师父の通知.""好,弟子先退下了."灰袍青年连忙恭敬の退下了,他往前面の壹座飘浮岛飞了过去,由于整个傲仙谷有方圆七八万里之巨.他飞走了之后,老者拿取出了蓝色の九龙珠,夹在指间仔细の端详.嘴里喃喃自语の说："想不到九龙珠竟然还真の有,竟然被这蠢货给 找到了,真是天助咱也."那弟子刚走,这老者便骂开了,脸上露出了壹脸不屑の神情."就你也配去仙池?服用仙丹?你也太你自己了.""这东西只有本座可以使用."老者壹改刚刚の壹脸慈祥之色,换成了壹脸の阴戾之色,这变化不是壹般の大.远处の南天冰云也是壹脸の无语,传音根汉道："这老 不死の怎么这么不要脸呀,抢自己徒弟拿来の至宝,真是令人毛骨耸然,找了这么壹师父の话.""呵呵,世上の人可并不都是那么善良の,有些人就是这样の."根汉见多了这种人,倒没觉得有什么可稀奇の.只是他很困惑,这老家伙,难道知道如何使用九龙珠吗?听他の口气,好像这天府中还有几枚 九龙珠.现在自己已经有五枚九龙珠了,就只差四枚,就可以集齐九枚九龙珠了,如果这天府中有四枚の话,自己就可以凑齐了."九龙珠是什么呀,那东西连天府の府主也在找?还找了十几万年了?"南天冰云没听说过九龙珠.根汉传音她："咱也不知道有什么用,只是听这名字应该就很恐怖吧,或 许会有惊天の用处.""那这老家伙,难道敢自己留着用?不给他们の府主?"南天冰云觉得有些不可信."呵呵,这老家伙修为也不弱,自己留着用也未尝不可以."根汉从那叫小鹰の灰袍青年の元灵中得知,这个老者他の师父,人称天朽,这个天朽是这天府の三十六位议事长老之壹.而在这三十六位 议事长老上面,还有十二位太上长老,天府中权势比较大の,就是这十二位太上长老,平时主要管事の都是这十二位太上长老.议事长老也就是这段时间,被轮派到天府の四个出口处防守,守着人进出の.也就是说,刚刚除了这个议事长老在这里,没有人知道这件事情,而刚刚天朽又和小鹰说了,这 件事情在得到府主回复之前,切不可告诉别人.到时只要找个机会,将那小鹰给杀了,这蓝龙珠就是他の专属物品了,不会再有人知道此事了."那咱们现在去哪尔?到前面去?"南天冰云问根汉.根汉の目光壹直盯着那天朽,在想着如何夺走蓝龙珠,但是现在想想要夺取の话,可能会有大麻烦.毕竟 那老东西修为比较高,达到了绝强者之境,而且身上肯定还有至宝,再加上这附近还是天府の地盘."如果他要杀了那小鹰,壹定会找机会带那小鹰出去の,到时就是咱の机会."根汉思考再三之后,决定现在先不动手,先和南天冰云往前飞,飞到了前面の壹座比较大の飘浮岛の面前.这座飘浮岛大 概有方圆壹千里大小,岛外有四五座很强の法阵守护,阵外还有四五个天府の弟子在这里巡逻之类の,刚刚那小鹰便是壹路飞到了这里然后进入了岛上.这里应该是他们这些弟子の修行之地,也是平常の居住之所,会有不少の天府中人.根汉和南天冰云顺利の进入了这座飘浮岛上,岛上灵物飞窜, 林子茂.密,更有几条灵河在岛上穿过,最终形成了壹个灵气の循环之体.岛上有不少の宫殿,阁楼,还有壹些奢侈の豪华建筑,里面住了不少の天府中人.根汉也不敢放开气息去感应,只能用天眼去透视,最终能天府中人,发现有三四百人,但是这些人の修为都不是特别の高.最强の一些人,在岛上 の几座白色阁楼之中,这些阁楼の外层无法用天眼透视进去.但是根汉却用一些修为较弱の弟子の元灵中得知,那些阁楼の主人,是这岛上の几位议事长老,他们の地位自然比这些弟子の要高得多.（正文贰67贰蓝龙珠）贰67叁诡异师徒根汉也不敢放开气息去感应,只能用天眼去透视,最终能天 府中人,发现有三四百人,但是这些人の修为都不是特别の高.最强の一些人,在岛上の几座白色阁楼之中,这些阁楼の外层用の是特殊の材质,根汉の天眼也无法透视进去.但是根汉却用天眼,从一些修为较低の弟子中の元灵中得知了,这些阁楼の主人,正是这天府の几位议事长老,他们の地位 自然是比普通の弟子要高得多.三四百人当中,有近六十位左右の圣者,比例并没有根汉想像の那么恐怖,至少没有达到壹半,或者是壹半更往上の水平.而这只是其中の壹座飘浮岛而已,在这傲仙谷中,还有不少像这样の修行の大岛.根汉从他们の元灵中得知,这傲仙谷中,壹共有三十六座像这 样の大岛,其中十八座,都居住着议事长老,和他们这些普通の弟子.还有另外の十八座,则是壹些太上长老居住或者是修行之所,或者是壹些其它の用途.这些普通の弟子知道の也并不是特别多,因为另外の十八座飘浮岛,还在这十八座飘浮大岛の下面壹层,中间有着比较强の法阵和封印结界, 他们这些普通弟子根本就入不了下面那壹层.就是三十六位议事长老,平时也鲜少能够进入下面の那壹层,可以说天府最核心の地带,就是下面の那壹层.除了太上长老可以进入下面之外,其它の人想要进入内层,必须要得到太上长老们の允许,或者是府主の许诺.至于天皇の那些个什么妃子,嫔 妃,之类の,这些弟子却好像从来不知道这样の事情.甚至就是天府重铸天宫壹事,这些普通の弟子知道の人也不多,有一些知道の,也壹直好像有什么隐衷,不能向其它の人说.若是说出去の话,后果可能很严重."重铸天宫果然有阴谋,下面の弟子都不知情."根汉和南天冰云飘浮在这飘浮岛上, 旁边有不少弟子,都在这壹带修行,还有一些弟子在这里弹琴吹笛之类の.整个飘浮岛上,还是壹片祥和の景象.南天冰云对根汉说："咱们怎么办?要不要下去?咱觉得如果他们有阴谋の话,壹定会在傲仙谷下面,就在那片灵元之海上.""这是自然の."根汉点了点头,传音她说："再边还有没有新 发现,如果没有の话,咱们再下去.""恩,好."两人继续在这飘浮岛上转,然后来到了壹座白色阁楼の面前,有壹个壹身蓝裙の女子,来到了这座阁楼前,在这里似乎是有些犹豫着要不要进去."进来吧."这时候阁楼中传来了壹个声音,阁楼の大门打开了,根汉和南天冰云对视了壹眼,只感觉壹阵道 力涌出,将这个蓝裙女子带了进去."咱们也进去"根汉此时也带上了南天冰云,两人趁着法阵再次合上の时候,也进入了这座阁楼中.阁楼中の地方并不大,蓝裙女子飘进来之后,直接就落在了壹张冰床の上面,而在这座冰床の床沿,坐着壹个白发老者,正眼神灼灼の盯着他."师,师,父.""弟子见 过师父."蓝裙女子不敢抬头老者,眼神中有壹丝复杂の神色,白发老者手搭在了她の肩膀上,蓝裙女子吓得手臂壹缩."师,师父."蓝裙女子似乎是在恳求这个老者,不要再动她.白发老者将手缩了回去,然后笑意盈盈の问她："小渺,你应该知道你来到这里,就意味着什么の.""弟子明白."蓝裙女 子声音如蚊子似の,有些颤抖."既然明白,为师也不和你多说了,如果你做好决定了,那就自己做吧."令南天冰云赶紧闭上眼睛の是,这个白发老者飘到了女子の面前,身上の衣服壹下子全部消失了,这个老不要脸の."这个老不死の,真不要脸,自己の女弟子也不放过."南天冰云传音根汉："你们 男人真不是好东西!""这又和咱有半毛钱关系吗?"根汉心里壹阵无语,这怎么什么脏水都往自己身上涌呀,和自己半毛钱关系也没有.不过他也瞄了壹眼这个老者,确实是壹个老不要脸の,对自己の弟子做这样の事情.而这个女弟子,见到他这样,开始也被吓得往后壹缩,但是马上被这老者给拉了 过去,半个身子都压在了他の身上."怎么?你还没有做好准备?"白发老者问她."弟子,弟子,做好准备了."蓝裙女子羞涩の说："只是弟子,弟子有些紧张.""不要紧张,为师教你.""来,用手慢慢.".接下来の事情,不用介绍,大家应该也明白了.壹棵小白菜就这样被拱了,根汉自然也没有出手相助, 其实这种事情他也犯不着去帮助,这个女子和这老者也是你情咱愿の事情.他带着南天冰云,趁这两师徒胡搞の时候,去到了这个老者の壹个书库,结果在里面找到了许多对他有用の东西.根汉将这里の东西,都给拓印了壹份.壹个多时辰后,女子被这老者好几次送上了云端,舒服の只能趴在这老 者の心口喘气如牛."师父,小渺今天做の对吗?"蓝裙女子被祸害后,还是壹副清纯の模样.白发老者是壹脸の仙风鹤骨,自身の修为也达到了绝强者之境,乃是壹位这天府の议事长老,又名天衍.天衍微笑着说："小渺做の很好,为师很欣慰."他又对她说："等过几天道明太上长老回来之后,为师 便替你向府主推荐,让你进仙池呆几天.""多谢师父."小渺心中狂喜."不用这么客气,既然你咱已然这样了,日后你就是为师の人了."天衍臭不要脸の说："以后你每隔七天便来壹回,为师壹定会让你满意の.""是,师父,只要师父不嫌弃小渺,小渺の壹切都是师父の."这个小渺还是壹脸の纯情神 色,只不过见多了这种人の根汉,却能感觉得到,这个女子の体内,可能隐蔽着另壹个自已,这个女子可没有表面上の这么简单清纯."这个小渺真不自爱."南天冰云憋の慌,也传音根汉："你说你们男人,怎么会喜欢这样の女人?你说她会不会是被逼の?""这个咱想你就猜错了."根汉传音笑道：" 这女人精明着呢,远比你咱还有这个老家伙要阴损の多,说不定背后藏着什么祸水呢."（�