数学必修一7一次函数与二次函数
二次函数与一次函数的关系知识点
二次函数与一次函数的关系知识点概述:二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在图像、性质和应用等方面都有着一定的联系和区别。
本文将从几个关键的知识点展开，来详细介绍二次函数与一次函数之间的关系。
知识点一：基本定义与特征1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，通常表示为y = mx + c的形式，其中m为斜率，c为y轴截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数是一个以x为自变量，y为因变量的函数，通常表示为y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负决定，a为正时抛物线开口向上，a为负时开口向下。
知识点二：图像比较1. 一次函数的图像是一条直线，直线的特点是方向固定，斜率不变。
斜率为正时直线向上倾斜，斜率为负时直线向下倾斜。
直线与x轴和y轴的交点分别为x轴截距和y轴截距。
2. 二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的特点是开口方向和形状不固定。
a的正负决定了抛物线的开口方向，a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。
抛物线的顶点坐标即为最值点，对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线。
知识点三：性质比较1. 一次函数的性质：(1) 一次函数的导数恒为常数，代表了直线的斜率。
(2) 一次函数的增减性由斜率的正负决定，斜率为正则函数递增，斜率为负则函数递减。
(3) 一次函数的零点即为方程y = mx + c的解，也即直线与x轴的交点。
2. 二次函数的性质：(1) 二次函数的导数恒为一次函数，代表了抛物线在不同点的斜率。
(2) 二次函数的增减性由导数的正负决定，导数为正则函数在该区间递增，导数为负则函数在该区间递减。
(3) 二次函数的零点即为方程y = ax^2 + bx + c的解，也即抛物线与x轴的交点。
知识点四：应用比较1. 一次函数的应用：一次函数常用于描述线性的关系或者恒定的速率问题，比如速度与时间的关系、货币兑换等。
二次函数与一次函数的关系知识点
二次函数与一次函数的关系知识点1. 介绍：二次函数和一次函数是高中数学学习中经常涉及的两种函数类型。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0；而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数且k≠0。
本文将探讨二次函数与一次函数之间的关系及其相关知识点。
2. 二次函数的特点：2.1 函数图像：二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，可以是开口向上或开口向下的。
开口向上的二次函数在最低点取得最小值，而开口向下的二次函数在最高点取得最大值。
2.2 零点和顶点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在二次函数中可以使用求根公式或配方法求得。
函数的顶点是指函数图像的最低点或最高点，在二次函数中可以通过计算x坐标的中点来找到顶点。
2.3 对称性：二次函数的图像具有关于顶点的对称性，即关于x=a的直线对称于关于y=b的直线。
3. 一次函数的特点：3.1 函数图像：一次函数的图像通常呈现直线的形状，具有斜率的概念。
斜率为正值时，函数图像呈现上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈现下降趋势。
3.2 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在一次函数中可以通过令y=0来求解，得到x的值。
3.3 截距：一次函数的截距是指函数图像与y轴相交的点，在一次函数中可以通过令x=0来求解，得到截距的值。
4. 二次函数与一次函数的关系：4.1 平移：二次函数与一次函数可以通过平移进行相互转换。
平移是指将函数图像沿x轴或y轴进行上下左右的移动。
通过改变二次函数或一次函数的系数或常数，可以实现平移操作。
4.2 对应点：对于二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=kx+b，当二次函数的顶点(x, y)和一次函数的某一点(x, y')对应时，有如下关系： y = y' + (c - y')其中，y表示二次函数的值，y'表示一次函数的值。
4.3 一次函数的特殊情况：当二次函数的系数a=0时，二次函数就变成了一次函数。
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
二次函数和一次函数的关系
二次函数和一次函数的关系函数是数学中的一个重要概念，描述了数值之间的关系。
二次函数和一次函数是常见的函数类型，它们之间存在着一定的关系。
本文将探讨二次函数和一次函数的关系，以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指函数的表达式中含有二次项的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由a的正负决定，开口向上时a>0，开口向下时a<0。
特点：1. 二次函数的对称轴垂直于y轴，表达式为x = -b/2a。
2. 二次函数的顶点即抛物线的最值点，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
二、一次函数的定义和特点一次函数是指函数的表达式中只含有一次项，形式为f(x) = kx + d，其中k 和 d为常数，k表示直线的斜率，d表示直线的截距。
特点：1. 一次函数的图像为一条直线。
2. 直线的斜率k表示了直线的倾斜程度，斜率大于0表示向上倾斜，斜率小于0表示向下倾斜，斜率为0时表示水平直线。
3. 直线的截距d表示了直线与y轴的交点，也就是当x=0时的函数值。
三、二次函数和一次函数的关系在二次函数和一次函数之间存在着紧密的关系。
实际上，当二次函数的a=0时，二次函数退化为一次函数。
具体而言，当a=0且b≠0，二次函数f(x) = bx + c退化为一次函数；当a=0，b=0，c≠0时，f(x) = c成为常数函数；当a=b=0时，f(x)为零函数。
另外，二次函数和一次函数在实际应用中也有联系。
例如，在物理学中，抛物线运动的轨迹可以用二次函数来描述；而直线运动可以用一次函数来描述。
在经济学中，成本和收益等关系也可以通过二次函数和一次函数来进行建模和分析。
四、二次函数和一次函数在实际生活中的应用举例1. 投射运动：当我们抛出一个物体时，物体的轨迹是一个抛物线，可以用二次函数来描述。
二次函数和一次函数的概念和性质
二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学领域具有重要的概念和性质。
本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。
一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。
对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。
此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。
二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。
一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。
一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。
一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。
一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。
三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。
2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。
3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。
四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。
2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。
人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记
(每日一练)人教版高中数学必修一一次函数与二次函数重点归纳笔记单选题1、二次函数f(x)=−x2+2tx在[1,+∞）上最大值为3,则实数t=（）A．±√3B．√3C．2D．2或√3答案：B解析：f(x)=−x2+2tx对称轴x=t,开口向下,比较对称轴与区间端点的关系,进而求解．f(x)=−x2+2tx对称轴x=t，开口向下,①t≤1，则f(1)=−12+2t=3⇒t=2,无解，②t＞1，则f(t)=−t2+2t⋅t=3⇒t=√3．故选B小提示：本题考查了二次函数在区间上的最值求参数问题,分类讨论是解题的关键.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ， f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、已知直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)与两坐标轴分别交于A 、B 两点．当△OAB 的面积取最小值时（O 为坐标原点），则m 的值为（ ）A ．13B ．−13C ．−15D ．15答案：C解析：由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)，可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，代入三角形面积计算公式，再令1+m =t ∈(12,32)，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．由直线(2m +1)x +(1−m )y −3(1+m )=0，m ∈(−12,1)， 可得A (3(1+m )2m+1,0)，B (0,3(1+m )1−m )，所以当△OAB 的面积S =12×3(1+m)2m+1×3(1+m)1−m =92×(m+1)2−2m 2+m+1，令1+m=t∈(12,32)，所以S=92×t2−2t2+5t−2=92×1−2(1t−54)2+98，所以当t=45，即m=−15时，S取得最小值．故选：C小提示：求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．填空题4、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.答案：④.解析：此题为路程S与时间t的图像，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，有图可得答案.对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；对②，甲、乙的路程S取值范围相同，故②错误；对③，速度v=St，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；所以答案是：④.【点晴】此类题型要注意横纵坐标代表的几何意义.5、设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是__________.答案：[0,1)解析：先得出函数g(x)的解析式，再运用二次函数的单调性可得答案.因为f(x)={1,x>0 0,x=0−1,x<0,g(x)=x2f(x−1)，所以g(x)={x2，x>10,x=1−x2,x<1，所以函数g(x)的递减区间是[0,1).所以答案是：[0,1).小提示：本题考查分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.。
高一必修一数学第二单元知识点一次函数和二次函数
高一必修一数学第二单元知识点一次函数和二次函数一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的投影——一条直线。
因此，作以一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数人脸与x 轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数之上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的表达式影像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k;0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k;0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b;0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b;0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)直言的是正比例函数的图像。
这时，当k;0时，直线只通过一、三象限;当k;0时，直线只通过二、四象限。
四、指明一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数之上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)接著得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
教学知识点二次函数与一次函数的比较
教学知识点二次函数与一次函数的比较二次函数与一次函数是高中数学中的重要知识点之一。
它们在数学以及实际问题中的应用广泛而又深远。
本文将就二次函数与一次函数的定义、性质、图像以及应用等方面进行比较和分析。
一、定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
2. 一次函数的定义：一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a、b为实数且a≠0。
3. 关系式：可以看出，二次函数和一次函数的定义中都有类似的构造。
而不同之处在于二次函数多了一个x²的项。
4. 推广性质：二次函数是一次函数的推广，即一次函数是二次函数当a=0时的特殊情况。
这也就意味着，一次函数是二次函数的一种特例。
二、图像比较1. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是二次函数的最值点。
2. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率k。
当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜。
直线和x轴的交点为一次函数的零点。
三、性质比较1. 增减性：一次函数的增减性一直保持一致，即要么递增，要么递减。
而二次函数由于开口方向的不同，其增减性在顶点处有转折，即开口向上时，顶点为最小值点，增减性转折为递增；开口向下时，顶点为最大值点，增减性转折为递减。
2. 最值点：一次函数没有最值点，因为它没有曲线。
而二次函数有顶点，顶点即为其最值点。
当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。
3. 零点：一次函数和二次函数都有零点，即函数与x轴相交的点。
不同的是，一次函数只有一个零点，而二次函数可以有两个或零个零点。
二次函数的零点个数取决于其判别式，即b²-4ac的正负。
四、应用比较1. 一次函数的应用：一次函数在现实生活中有许多应用，如速度和时间的关系、直线运动问题等。
高中数学二次函数与一次函数的性质及比较
高中数学二次函数与一次函数的性质及比较一、引言数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，而二次函数和一次函数是数学中的两个重要概念。
二次函数和一次函数都是数学中常见的函数类型，它们在解决实际问题和数学建模中起着重要的作用。
本文将重点介绍二次函数和一次函数的性质，并比较二者的异同，帮助高中学生更好地理解和应用这两种函数。
二、二次函数的性质1. 定义二次函数是指函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程为x = -b / (2a)，顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
3. 开口方向和最值当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标。
当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为顶点的纵坐标。
4. 零点和交点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过求解方程ax^2 + bx + c =0得到。
二次函数与y轴的交点为(0, c)。
5. 范围和值域对于开口向上的二次函数，其范围为(-∞, f(-b / (2a)])；对于开口向下的二次函数，其范围为[f(-b / (2a)), +∞)。
值域为(-∞, +∞)。
三、一次函数的性质1. 定义一次函数是指函数的表达式为f(x) = ax + b，其中a、b为常数且a ≠ 0。
一次函数的图像为一条直线，斜率由a决定。
2. 斜率和截距一次函数的斜率为直线的倾斜程度，斜率的定义为a。
截距为直线与y轴的交点，截距的定义为b。
3. 零点和交点一次函数的零点是函数图像与x轴的交点，可以通过求解方程ax + b = 0得到。
一次函数与y轴的交点为(0, b)。
4. 范围和值域一次函数的范围和值域都为(-∞, +∞)。
四、二次函数与一次函数的比较1. 图像形状二次函数的图像为抛物线，可以开口向上或向下；一次函数的图像为直线。
一次函数与二次函数的认识知识点总结
一次函数与二次函数的认识知识点总结一、一次函数的定义和特点：一次函数亦称为线性函数，在数学中表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数。
1. 定义：一次函数是一种变量之间的线性关系，其中x为自变量，y为因变量，k为斜率，b为截距。
2. 斜率：斜率k代表函数曲线的倾斜程度，其定义为曲线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率越大，曲线越陡峭，斜率为正表示曲线上升，斜率为负表示曲线下降。
3. 截距：截距b表示函数曲线与y轴的交点，即当x=0时，对应的y值。
4. 图像特点：一次函数的图像是一条直线，特点是直线上的所有点都满足y = kx + b的方程。
二、二次函数的定义和特点：二次函数是一类非线性函数，其中数学表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 定义：二次函数是变量之间的二次关系，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数。
2. 平移：二次函数可以通过将一般形式y = ax^2 + bx + c表示为标准形式y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
此变换称为平移，它可以使得二次函数图像在坐标平面上上下左右移动。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和开口方向确定的，对称轴与平移后顶点的横坐标相等。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
5. 最值点：当二次函数开口向上时，二次函数的最小值为顶点坐标；开口向下时，二次函数的最大值为顶点坐标。
三、一次函数与二次函数的比较：1. 变化速率：一次函数的斜率是恒定的，代表了以恒定速率变化；而二次函数的斜率是不断变化的，代表了以不同速率变化。
2. 图像形状：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
3. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数有极值点（最大值或最小值）。
4. 开口方向：一次函数没有开口方向的区别，而二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
人教版高数必修一第7讲：一次函数与二次函数(教师版)
高中数学·· 教师版 page 1 of 8一次函数与二次函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征．2、 运用一次函数与二次函数的性质解决有关问题。
一、 一次函数函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R 1、 一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；2、 一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时， 函数是增函数，0<k 时，函数是减函数；3、 0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不 是偶函数；二、 二次函数函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线； 1、当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；2、当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2开口向上，二次函数的单调减区间为(⎥⎦⎤-∞-a b 2,，单调增区间为)∞+⎢⎣⎡-,2a b，值域为)∞+⎢⎣⎡-,442ab ac ；高中数学·· 教师版 page 2 of 83、当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2开口向下，二次函数的单调增区间为(⎥⎦⎤-∞-a b 2,，单调减区间为)∞+⎢⎣⎡-,2a b，值域为 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b ac 44,2； 特别提醒：1.二次函数的三种表示形式（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a h m x a y ，其中 ),(h m 为抛物线的顶点坐标．（3）两根式：)0())((21≠--=a x x x x a y ，其中1x 、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2.利用配方法求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴方程为：x ＝－ab2． 3.若二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 对应方程)(x f ＝0的两根为1x 、2x ，那么函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 图象的对称轴方程为：x ＝221x x +＝－ab2． 4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．类型一 一次函数的性质例1：已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，求当m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数？ (2)这个函数为奇函数？(3)函数值y 随x 的增大而减小？解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝02m －1≠0，高中数学·· 教师版 page 3 of 8解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13m ≠12.∴m ＝13.(2)∵函数为奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝02m －1≠0∴m ＝13.(3)由题意，得2m －1<0，∴m <12.答案：（1）m ＝13. （2）m ＝13. (3) m <12.练习1：已知一次函数y ＝2x ＋1， (1)当y ≤3时，求x 的范围； (2)当y ∈[－3,3]时，求x 的范围； (3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．答案：(1)x ≤1. (2)－2≤x ≤1 (3)S ＝12×12×1＝14.练习2：求直线y ＝－3x ＋1和直线y ＝2x ＋6以及x 轴围成的三角形的面积． 答案：203类型二 求一次函数的解析式例2：已知一次函数的图象经过点A (1,1)、B (－2,7)，求这个一次函数的解析式．解析：设y 关于x 的函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，把A (1,1)、B (－2,7)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋b 7＝－2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3.∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－2x ＋3.答案：y ＝－2x ＋3.练习1：已知函数f (x )为一次函数，其图象如图，求f (x )的解析式．高中数学·· 教师版 page 4 of 8练习2：已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(52，0)，且与坐标轴围成的三角形面积为254，求该一次函数的解析式．答案：y ＝2x －5或y ＝－2x ＋5.类型三 二次函数的值域问题例3：(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x 2＋x －2，则函数f (x ) 在区间[－1,1)上( )A ．最大值为0，最小值为－94B ．最大值为0，最小值为－2C ．最大值为0，无最小值D ．无最大值，最小值为－94解析：f (x )＝x 2＋x －2＝(x ＋12)2－94，∴当x ＝－12∈[－1,1)时，f (x )min ＝－94，∵f (1)>f (－1)，又x ≠1， ∴函数f (x )无最大值，故选D ．答案：D练习1：(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋4，x ∈[－2,2]，则f (x )的值域是________．答案：[3,12]练习2：(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是( ) A ．{y |y <－2} B ．{y |y >－2} C ．{y |y ≥－2} D ．{y |y ≤－2}答案：C类型四 含参数的二次函数在闭区间上最值的讨论例4：求f (x )＝x 2－2ax －1在[0,2]上的最大值M (a )和最小值m (a )的表达式．解析：f (x )＝(x －a )2－a 2－1，x ∈[0,2]，顶点是(a ，－a 2－1)，二次项系数为正，图象开口向上，对称轴x ＝a .由f (x )在顶点左边(即x ≤a )单调递减，在顶点右边(即x ≥a )单调递增，所以f (x )图象的对称轴x ＝a 与闭区间[0,2]的位置关系(求两种最值)分4种情况求解．如图①～④中抛物线的实线部分．高中数学·· 教师版 page 5 of 8在图①中，当a <0时，f (x )在[0,2]上单调递增，所以M (a )＝f (2)＝－4a ＋3，m (a )＝f (0)＝－1.在图②中，当0≤a <2，且f (0)≤f (2)， 即0≤a ≤1时，f (x )在[a,2]上单调递增， 所以M (a )＝f (2)＝－4a ＋3，m (a )＝f (a )＝－a 2－1.在图③中，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2f 0>f 2，即1<a ≤2时，f (x )在[0，a ]上单调递减，最大值M (a )＝f (0)＝－1，最小值m (a )＝f (a )＝－a 2－1.在图④中，当a >2时，f (x )在[0,2]上单调递减，所以M (a )＝f (0)＝－1，m (a )＝f (2)＝－4a ＋3.综上可知，f (x )在[0,2]上的最大值与最小值分别为M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3a ≤1－1 a >1，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 a <0－a 2－10≤a ≤2－4a ＋3a >2.答案：M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3 a ≤1－1a >1，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 a <0－a 2－10≤a ≤2－4a ＋3a >2练习1：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上有最大值2，求实数a 的值．答案：a ＝－1，或a ＝2高中数学·· 教师版 page 6 of 8答案：61、一次函数y ＝kx (k ≠0)的图象上有一点坐标为(m ，n )，当m >0，n <0时，则直线经过( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第一、四象限答案：A2、已知一次函数y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2，它的图象在y 轴上的截距为－4，则m 的值为( )A ．－4B ．2C ．1D ．2或1答案:C3、(2014～2015学年度河南洛阳市高一上学期期中测试)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( )A ．(0,5]B ．[0,5]C ．[5,9]D ．(0,9]答案：D4、若函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．[1,3]D ．[0,4]答案:C5、已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．符号与a 有关答案：A_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数y ＝(2m －3)x ＋(3n ＋1)的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值是()高中数学·· 教师版 page 7 of 8A ．m >2，n >－3B ．m >3，n >－3C ．m <32，n <－13D ．m >32，n <13答案： A2．如果ab >0，bc <0，那么一次函数ax ＋by ＋c ＝0的图象的大致形状是( )答案： A3．(2014～2015学年度德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，则( )A ．f (0)<f (1)<f (3)B ．f (3)<f (1)<f (0)C ．f (3)<f (1)＝f (0)D ．f (0)<f (1)＝f (3)答案： D4．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]答案： D5．已知二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．0B ．3C ．6D ．不确定 答案： C能力提升6．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是____________．答案：(2，73)7．若函数y ＝(2m －9)·xm 2－9m ＋15是正比例函数，其图象经过第二、四象限，则m ＝______. 答案：2高中数学·· 教师版 page 8 of 88．若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－4，－4]，则m 的取值范围是________．答案： [32，3]9. 已知函数f (x )＝12(x －1)2＋n 的定义域和值域都是区间[1，m ]，求m 、n 的值．答案：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝110. 已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[t ，t ＋2]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．答案：g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2 t ≤0－20<t <2t 2－4t ＋2t ≥2.。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数形式。
它们在数学模型的建立和分析中扮演着重要的角色。
本文将对二次函数和一次函数进行比较，从函数的定义、图像、性质和应用等方面进行综合分析。
一、函数的定义1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数是二次函数的特例，其二次项系数为零。
一次函数的定义域和值域都是整个实数集，没有任何限制。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线。
二次函数的定义域是整个实数集，因为平方项的平方根没有定义问题。
二次函数的值域取决于二次项系数a的正负情况，若a大于零，则值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数；若a小于零，则值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。
二、图像的比较1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
直线具有明显的斜率和方向，斜率决定了直线的陡峭程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。
截距决定了直线与y轴的交点位置，通过截距可以确定直线与y轴的交点坐标。
2. 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，若a大于零，则抛物线开口向上，若a小于零，则抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的最值点，对于开口向上的情况，顶点是函数的最小值点；对于开口向下的情况，顶点是函数的最大值点。
三、性质的比较1. 一次函数：一次函数是一阶多项式函数，其函数图像是直线。
一次函数的增减性与斜率的正负有关，若斜率为正，则函数递增；若斜率为负，则函数递减。
一次函数的解析式中只有一项是x的幂次项，因此其次数为一。
2. 二次函数：二次函数是二阶多项式函数，其函数图像是抛物线。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是数学中两种常见的函数形式。
在解决实际问题和数学建模中，我们常常需要比较这两种函数的性质和特点。
本文将从函数的定义、图像、导数和应用等方面来比较二次函数和一次函数。
一、函数的定义函数是一种将自变量和因变量联系起来的关系。
一次函数可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数。
二次函数可以表示为y = ax^2 + bx+ c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二、图像1. 一次函数的图像为一条直线。
当k大于0时，直线呈正斜率，斜率的绝对值越大，直线越陡；当k小于0时，直线呈负斜率，斜率的绝对值越大，直线越陡。
2. 二次函数的图像为一条抛物线。
抛物线的开口方向由a的正负确定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为x = -b / (2a)。
三、导数导数是函数在某一点的变化率。
对于一次函数，导数恒为常数k，表示函数的斜率。
而对于二次函数，导函数为y' = 2ax + b，表示函数的变化率随着x的不同而变化。
四、特点与应用1. 一次函数的特点：- 一次函数的性质较为简单，容易研究和应用。
- 一次函数的图像线性增长或线性递减，变化趋势较为直观。
- 一次函数广泛应用于线性规划、经济学中的需求曲线等领域。
2. 二次函数的特点：- 二次函数呈现出抛物线的形状，变化曲线较为平滑。
- 二次函数的图像有开口向上和开口向下两种情况，抛物线开口的变化表现出不同的特点。
- 二次函数的极值点是图像的顶点，也是导数等于0的点。
通过求解极值，可以帮助我们解决最优化问题。
二次函数与一次函数的比较可从以下几个方面考虑：- 变化趋势：一次函数的变化是线性的，而二次函数的变化呈现出曲线的特点。
- 斜率变化：一次函数的斜率为常数，二次函数的斜率随着x的变化而变化。
- 极值点：二次函数具有极值点，一次函数没有极值点。
- 应用范围：二次函数更适用于描述曲线变化以及最优化问题的求解。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型，在数学中起到了重要的作用。
它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将就一次函数与二次函数的关系展开讨论。
一、定义和特点1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的图像呈现线性关系，随着x的变化，y的值也会按一定比例的变化。
2. 二次函数：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
二次函数的图像一般呈现非线性关系，具有曲线的特点。
二、图像关系一次函数和二次函数的图像具有不同的形态，但它们之间存在着一些关系。
1. 平移关系：一次函数和二次函数可以通过平移来相互转换。
通过对一次函数的图像进行水平、垂直方向的平移，可以得到二次函数的图像，反之亦然。
这种平移关系体现了一次函数和二次函数之间的相似性和联系。
2. 变换关系：一次函数和二次函数的图像在作一些变换时也存在关系。
例如，通过改变二次函数的二次项系数a的大小和正负可以改变抛物线的开口方向，使其与直线的趋势更接近，从而与一次函数的图像相似。
三、求解方法1. 交点求解：一次函数和二次函数的图像在某些情况下会相交，求解它们的交点有着重要的意义。
通过联立一次函数和二次函数的表达式，可以得到方程 ax + b = cx^2 + dx + f。
通过解这个方程，可以求得一次函数和二次函数的交点坐标，进而研究它们之间的关系。
2. 最值求解：一次函数和二次函数都有其定义域范围内的最值。
通过求解一次函数的最值和二次函数的最值，比较它们的大小关系，可以进一步研究二者之间的关系。
四、应用场景1. 经济学：一次函数和二次函数可以用来描述经济学中的一些现象。
例如，成本函数和收入函数可以分别为一次函数和二次函数，通过研究它们之间的关系，可以得到经济学中的重要结论，如均衡价格、利润最大化等。
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳高中数学必修一主要包括了代数、函数、三角函数、解析几何、概率论等多个知识点，这些知识点是建立在初中数学基础之上的，具有一定的难度和复杂性。
通过对这些知识点的归纳整理，可以更好地掌握高中数学必修一的内容，为学习和掌握数学打下良好的基础。
1. 代数部分在高中数学必修一中，代数部分主要包括了一次函数、二次函数、不等式、指数函数、对数函数等内容。
一次函数是最基础的函数形式，表达形式为y=kx+b，在平面直角坐标系中为一条直线，可以用来描述直线运动、比例关系等情况。
二次函数的标准形式为y=ax²+bx+c，可以描述抛物线的形状，有顶点、对称轴等特点，对于解析几何中的抛物线方程也有着重要的应用。
不等式是数学中常见的问题形式，通过不等式可以描述数值之间的大小关系，解决实际生活中的一些约束条件问题。
指数函数和对数函数是代数中的重要内容，指数函数描述了数值的增长或减少规律，而对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数函数的逆运算问题。
2. 函数部分函数是高中数学必修一中最重要的内容之一，函数是自变量与因变量之间的对应关系，可以帮助我们描述实际问题中的变化规律。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，通过对这些性质的分析可以更好地理解函数的特点和性质。
在高中数学必修一中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等都是常见的函数形式，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
三. 三角函数部分三角函数是高中数学必修一中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在解析几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用，通过对三角函数的研究可以解决三角形的各种问题，如求角的大小、边长的关系等。
三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性等，通过这些性质可以更好地理解三角函数的特点。
四. 解析几何部分解析几何是高中数学必修一中的一大重点，主要包括平面直角坐标系、曲线方程、直线方程等内容。
一次函数与二次函数的基本性质
一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。
它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。
一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线。
2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。
斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。
3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。
当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。
当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。
4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。
二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。
对称轴的方程为x = -b / 2a。
5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。
当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。
二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。
本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。
一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。
k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。
二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。
若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。
一次函数的斜率k决定了其增减性。
若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。
2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。
二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。
3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。
二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。
4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。
若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。
而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。
三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。
例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。
一次函数与二次函数
一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。
本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。
二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。
2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。
截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。
（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。
（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。
3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。
（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。
（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。
3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。
（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。
四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。
（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。
（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
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一次函数
时，直线下降，函数为减函数
；求
A 、
B 、
C 、
D 、
例7、【广东省六校2012届高三第二次联考试题理】如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，
记位于直线左侧阴影部分的面积为
，则函数()s f t =的图象大致是（ ）
例8（2012年朝阳二模理13）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每 生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总 收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这 种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工 厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）
例9、(2011·山东省实验中学月考)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． (3)设f(x)在给定区间上的最小值为g(a),求g(a)的表达式。
例10. 函数=x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为
，求
的表达式及其最值.
练习题：
1、【2012粤西北九校联考理2】奇函数在上的解析式是，则在
上的函数解析式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1(,]2-∞(,1)-∞13[,]223[,)
2+∞ABCD 2(0,
)2
A 2
(
,0)2
B C D 、:(02)l x t t =≤≤ABCD l ()f t ()f x (0,)+∞()(1)f x x x =-(,0)-∞()f x ()(1)f x x x =--()(1)f x x x =+()(1)f x x x =-+()(1)f x x x =-
9．(2011·湖北重点中学二联)（13分）
某商场预计2010年1月份起前x 个月，顾客对某商品的需求总量p （x ）（单位：件）
与x 的关系近似地满足。
该商品第x 月的进货单价q （x ）（单位：元）与x 的近似关系是
（I ）写出2010年第x 月的需求量（单位：件）与x 的函数关系式；
（II ）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场
2010年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
10、在同一坐标系内，函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 的图象只可能是： （ ）
11. 函数的图象与x 轴有交点的充要条件是（ ） A. a =0且b ≠0 B. a ≠0 C D.
12. 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 和一次函数g （x ）=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ，a +b +c =0，（a ，b ，c ∈R ）。
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ；
（2）求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围。
*1
()(1)(392),(,12)2
p x x x x x N x =
+⋅-∈≤且**
1502(,16)
()160185(,712)x x N x q x x N x x ⎧+∈≤≤⎪=⎨-∈≤≤⎪⎩
且且()f x。