电动力学五一(电磁场的矢势与标势)
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第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流
(2) (D 2 A A ) c 1 2 2 A 0 2 tA 2 ( 0 J ( A 0 A t 0) c 1 t 2 ( t0) 2 A t0 J ) 0tA
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
电动力学-第五章
在原点以外空间
1 2 2 2 2 0 c t
点电荷所产生电场有球对称性
上式的解是一个球面波，考虑到 令
增大时
减小
这个方程是一维空间的波动方程,其通解为 f,g为两个任意函数
此解中第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项表示向场源汇聚的球面波。 f,g的形式由场源条件而定
1 2 1 2 2 2 Q(t ) (r ) c t 0
0 Ar , t 4
V
R j (r , t ) c dV R
R t t c (r , t ) r , t dV V 4 R 0
令
0 Ar , t 4
V
j (r , t ) dV R
由库仑规范，势方程为：
2 0 2 1 A 1 2 A 2 2 2 0 c t c t 且： A ik A 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势为0
1 A 2 A 2 2 0 c t
2
i ( kr t ) A A0e
第5章—电磁波的辐射
§1电磁场的矢势和标势 §2推迟势 §3电偶极辐射 §7电磁场的动量
Maxwell方程组不同条件下的问题形式
当
时，产生静电场条件
当
时，产生静磁场条件
当
时，电磁波的传播
变化的电磁场对于源的依赖关系 就是我们本章要解决的问题
变化的电磁场必是由电荷分布和电 流分布的变化产生的。 本章所研究的问题是电磁波的辐射。 当考虑电荷和电流分布激发电磁场的问 题时，引入势的概念来描述电磁场。
R t t c
R t t c
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
2
A
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. 真空中标势所满足的微分方程
Β Α
Ε Α t
D
D 0E
D 0 E E / 0 A t 0
A
1 c
2
t
0
得
0
c
2
( i ) 0
k A0
由此可见，只要给定了A0，就可以确定单色平面电磁波。
B A ik A
E i c
2
A t
ik iA ik (
2
c
2
k A) iA
2
c
2
t
2
0 J
2
1
2
c
2
t
2
0
注意：两种规范，方程不同，所得矢势和标势不同，但由
其所得E和B是完全相同的，即E和B波动性质和规范无关。
例：讨论单色平面电磁波的势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布的自由空间中传播
的，因而势的方程（达朗贝尔方程）变为齐次方程：
2
1
2
c A
2
2
t
2
0 0
1 A
2
5.1电磁场的失势和标势解析
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
电磁场的矢势和标势
r
4 0r
如果电荷不在原点处
Q(t) (r,t) ( r r )
(r, t )
Q(r,
t
R c
)
4 0R
其中 R r r
由叠加原理，一般电荷分布所激发标势为
r,t
V
(r, t 4
R) c dV
0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
r,t
V
(r,t R )
c dV
§1、电磁场的矢势和标势
引入矢势 的物理意义
在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量
是无旋场，引入标势
电磁势 和
和 完全由电磁势决定
a)此处的标势 与静电场中的电势不能混为一谈。 因为在非稳恒的情况下， 不再是保守力场，不存 在势能的概念.因此，在高频系统中，电压的概念 失去确切的意义
c dV
4 0R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内的变化电荷和变化电 流在空间任意点激发的标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中的时刻是t R c，而不是 t 这说明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生的场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一个传输时
线性方程 ---- 叠加原理 对于源分布在有限体积内的势，可先求出场 源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即可得出总的势
设坐标原点处有一假想变化电荷
2
1 c2
2
t 2
1
0
Q(t) (r)
在原点以外空间
2
1 c2
电动力学PPT第5章
式中 t t r
V
c
r
(x x)2
(y
y)2
(z z)2
1 2
2020-6-16
物理系
5-23
则有
A
0 4
V
j (x,t)d
r
0 4
V
(1 r
j
j
1)d
r
其中
j(
x,
t
)
j(
x,
t
)
t常数
j ( x, t )
x 常数
|| 0
这是因为微分只对x进行的
则
j(
x,
1
4 0 V
1 r
t
t t
d
1
4
0
V
1 r
t
d
由此得到：
A
1 c2
t
0 4
V
1 r
j
t常 d
1 c2
1
4 0
V
1 r
t
d
0 4
V
1 r
j
t常
t
d
2020-6-16
物理系
5-28
由电荷守恒定律
j
t常
t
0
A
1 c2
t
0 4
V
1 r
j
t常
t
d
0
即得
A
和
的解满足Lorentz条件。
5.1.1．用势描述电磁场 真空中,麦克斯韦方程组为
2020-6-16
物理系
5-3
引入矢势A 代入式
电磁场的矢势和标势
可得
由此可见，
是无旋场，因此它可以用标势 φ 描述。
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
电动力学五一(电磁场的矢势与标势)
Α Ε t
此两式把电磁场用矢势和标势表示出来。注 意现在的电场E不再是保守力场，一般不存在 势能的概念，标势失去作为电场中的势能 的意义。因此，在高频系统中，电压的概念
也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电
场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势 作为一个整体来描述电磁场。
着同一的E和B，因此如果用势来描述电磁场，
客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。
规范不变性:当势作规范变换时，所有物理量 和物理规律都应该保持不变的一种不变性。
13
在量子力学中，E和B不能完全描述电磁 场的所有物理效应。例如在A-B效应中，在 非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波 函数相位差，就由回路积分描述，它不能 用B的局域作用来描述。
Α Ε ik iωΑ t 2 ic [k(k Α) k 2 Α] ω ic 2 k ( k Α) ω 2 c k Β cn Β 32 ω
和第四章§1结 果一致。
2
天线电流和空间电磁场是相互 作用的两方面，需要应用天线表面 上的边界条件，同时确定空间中的 电磁波的形式和天线上的电流分布。
这种问题的求解一般比较复杂。仅局限于讨论： 给定天线上电流分布,计算辐射电磁波
3
主要内容
把势的概念并推广到一般变化 电磁场
通过势求解电磁辐射
高频交变电流辐射电磁波的规 律
36
(2)洛伦兹规范的最大优点是它使矢势 和标势的方程具有对称性，在相对论中 显示出协变性，因而对于理论探讨和实 际计算都提供很大的方便，本书后面都 采用洛伦兹规范，尽管在采用洛伦兹规 范时，A的纵向部分和标势的选择还可 以有任意性。
37
5.1 电磁场的矢势和标势(2)
A
0
若采用库仑规范
Α
2
Α 0
μ0 J
1 Α
2
c
2
t
2
1 c t
2
2
0
特点：
标势所满足的方程与静电场情形相同，解为库仑势。
解出后代入可解出A，因而可以确定辐射电磁场。
§5.1.3 达朗贝尔(d’Alembert)方程
A A A B
t t A A t
E
A , 和 A , 描述同一电磁场
A和描述电磁场不是唯一的，给定的E和B并不对应于唯一的A和
l 库仑规范 规范条件： A 0
E A t
E A
结论： 在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述， 横场部分完全由 A 描述。
t 2 E
在库仑规范下，所满足的方程
/
51变化电磁场的矢势和标势直接解电磁场方程往往比较困难直接解电磁场方程往往比较困难时变电磁场的处理方法给变化电磁场引入势给变化电磁场引入势导出势满足的微分方程导出势满足的微分方程求出势方程的解求出势方程的解利用场与势的关系定量地确定场量利用场与势的关系定量地确定场量51变化电磁场的矢势和标势512规范变换和规范不变性引入势描述时变电磁场问题
辅助条件
研究用于确定势的两种
§5.1.2 规范变换和规范不变性
为什么引入辅助条件？ 使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。 l 库仑规范
规范条件： A 0
A 为无散场
电动力学第五章
电动力学A 刘克新第五章电磁波的辐射本章主要内容§1、电磁场的矢势和标势§2、推迟势§3、谐振电荷体系的电磁场§4、磁偶极辐射和电四极辐射§5、天线辐射§6、电磁场的动量§1. 电磁场的矢势与标势¾1. 矢势与标势定义¾2. 规范变换§2. 推迟势¾1. 点电荷在原点¾2. 更普遍情形§3. 谐振电荷体系的电磁场¾1. 谐振电荷体系的矢势¾2. 谐振电荷体系矢势展开¾3. 电偶极辐射电偶极辐射在不同时刻的E线分布03232d c cπεπΩ∴辐射功率随频率增加急剧增大。
0(2sin )d dP P d ππθθ=Ω∫42012p cμπω=220,12p c p μπ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠在电场的高次项中，仍有径向分量，但磁场只有横向分量，因此电偶极辐射是TM 波。
近似为TEM 波。
振荡电偶极子产生纯电偶极辐射。
近场区为电偶极子和电流元的似稳场（见上图）。
讨论：§4. 磁偶极和电四极辐射¾1. 磁偶极辐射的矢势¾2. 磁偶极辐射的电磁场和功率¾3. 电四极辐射的矢势¾4. 电四极辐射电磁场和辐射功率¾5. 辐射场的多极展开小结设一电流圈半径为a,电流振幅为I 0，角频率为ω,则系统的磁偶极矩振幅m=I 0πa 2, 辐射功率 磁偶极辐射功率比电偶极辐射功率小量级。
磁偶极辐射的电场分量正好与电偶极辐射场相反, 即偏振方向正好交换位置。
2)(λa42()0312m m Pc μωπ=0iaI p Qa ω==相应电偶极子振幅42()012E p Pcμωπ=22()()22m E m P a P c p λ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠辐射功率之比：如右图所示的振荡电四极子，其电磁场和辐射功率如下：26D ql kk′= 22(2)D ql kk ii jj =−− 32(02sin cos 4i kr t i q B e e c r ωφωμθθπ−= ）32(0sin cos 4i kr t r i q E cB e e e c rωθωμθθπ−=×= ）624*2202321Re()sin cos 232rq l S E H e c rμωθθπ=×= 624222023sin cos 32r q l dP S e r d c μωθθπ=⋅=Ω62403sin 60q dPP d d d cμωθθφπ==Ω∫(2) 由于计算辐射场的势和场的运算都是线性的，因此可以把单独计算的各类辐射的结果简单相加得出最后的结果。
5-1电磁场的矢势和标势
第五章
电磁波的辐射
1-1
本章重点
1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性； 2、达朗伯方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
本章难点： 本章难点： 矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 电磁场动量密度张量的引入和意义。 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
1-12
r 1 ∂ϕ 规范条件： 规范条件： ∇⋅ A + 2 =0 洛仑兹规范 c ∂t r 后面将看到洛仑兹规范下， 后面将看到洛仑兹规范下，A, ϕ 所满足的方程具 有高度的对称性， 有高度的对称性 ， 这种对称性将满足相对论的协 变性，有很重要的理论意义。 变性，有很重要的理论意义。 1 ∂2ψ 2 满足的方程： ∇ ψ − 2 2 = 0 洛仑兹规范下 ψ 满足的方程
1-2
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化 。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动， 这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐 射，并简要讨论电磁场的动量。
1-3
二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题
与静电场引入电势、静磁场引入标势相似， 为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然 可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为 零，这里引入的矢势、标势与静电场情况有很大 的不同。
求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到， 洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需 要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用 洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。
1-15
三．达朗贝尔方程
r r 1∂ A r 1 ∂ϕ r 2 1． 真空中的 ∇ A− c2 ∂t2 −∇(∇⋅ A+ c2 ∂t ) = −µ0J ． 达朗贝尔方程 r ∂ ρ 2 ∇ ϕ + (∇⋅ A) = − ε0 ∂t r r r r 证明： 证明：将 B = ∇× A ， E = −∇ϕ − ∂A 代入麦克 ∂t r r r r ∂E ρ 斯韦方程： 斯韦方程： ∇× B = ε 0 µ0 + µ0 J , ∇⋅ E = ∂t ε0
电磁波的辐射
1-1
本章重点
1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性； 2、达朗伯方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
本章难点： 本章难点： 矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 电磁场动量密度张量的引入和意义。 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
1-12
r 1 ∂ϕ 规范条件： 规范条件： ∇⋅ A + 2 =0 洛仑兹规范 c ∂t r 后面将看到洛仑兹规范下， 后面将看到洛仑兹规范下，A, ϕ 所满足的方程具 有高度的对称性， 有高度的对称性 ， 这种对称性将满足相对论的协 变性，有很重要的理论意义。 变性，有很重要的理论意义。 1 ∂2ψ 2 满足的方程： ∇ ψ − 2 2 = 0 洛仑兹规范下 ψ 满足的方程
1-2
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化 。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动， 这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐 射，并简要讨论电磁场的动量。
1-3
二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题
与静电场引入电势、静磁场引入标势相似， 为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然 可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为 零，这里引入的矢势、标势与静电场情况有很大 的不同。
求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到， 洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需 要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用 洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。
1-15
三．达朗贝尔方程
r r 1∂ A r 1 ∂ϕ r 2 1． 真空中的 ∇ A− c2 ∂t2 −∇(∇⋅ A+ c2 ∂t ) = −µ0J ． 达朗贝尔方程 r ∂ ρ 2 ∇ ϕ + (∇⋅ A) = − ε0 ∂t r r r r 证明： 证明：将 B = ∇× A ， E = −∇ϕ − ∂A 代入麦克 ∂t r r r r ∂E ρ 斯韦方程： 斯韦方程： ∇× B = ε 0 µ0 + µ0 J , ∇⋅ E = ∂t ε0
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
2 1 2 A 1 A ( A ) 0 J c 2 t 2 c 2 t 2 A t 0
标势 φ满足泊松方程，与静电场方程相同，其解为库仑势 标势与矢势的方程不对称 例：以单色平面电磁波为例，讨论两种规范的特点
解： 1. 如果采用洛伦兹规范条件，当单色平面电磁波在没有电荷、 电流分布的自由空间中传播时，势方程变为如下的齐次波动方程：
2 1 2 c 2 A 1 c2 2 0 2 t 2 A 0 2 t
i ( k x t ) e 0 其解为： i ( k x t ) A A e 0
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势φ=0，有
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1 2 A A 2 0 2 c t
2
其解的形式为 A A0 ei ( k x t )
由库仑规范条件 A ik A 0 可知 库仑规范条件已经保证了A 只有横向分量，从而得到电磁场为
B A ik A A A E i A t t
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
ik
k 0 0
c
k
c2
k B cek BB Biblioteka A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
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(1) 库仑规范 (2) 洛伦兹规范
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(1) 库仑规范 辅助条件
0
A为无源场
无旋场(纵场)--库仑场
Α Ε t
无源场(横场)--感应电场
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(2) 洛伦兹规范
辅助条件
1 Α 2 0 c t
采用这种规范时,势的基本方程化为特 别简单的对称形式,对其物理意义也特 别明显。 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问 题中是特别方便的
Β Α
Α Ε t
因此，还不足以确定这 矢量场。为了确定它还必须 给定它的散度。
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电磁场E和B本身对A的散 度没有任何限制。因此，作 为确定势的辅助条件，我们 可以取A为任意的值。
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每一种选择对应一种规范。采用适当 的辅助条件可以使基本方程和计算简化， 而且物理意义也较明显。从计算方便考虑， 在不同问题中可以采用不同的辅助条件。 应用最广泛的是以下两种规范条件。
4
§5.1 电磁场的矢势 和标势
5
1. 势的引入
考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组
Β Ε t D Η J t
其中
D
B 0
6
D ε0 Ε, Β μ0 H
恒定场：
由B的无源性引入矢势A
Β Α
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在经典电动力学中，势A和的引 入是作为描述电磁场的一种方法， 规范不变性是对这种描述方法所加 的要求。 在近代物理中，规范变换是由
量子力学的基本原理引入的，规范
不变性是一条重要的物理原理。
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在量子力学中A和 的地位也比在经典电动 力学中重要得多。因此 要熟悉用势描述电磁场 的方法。
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现在已经清楚，不仅在电磁相互作 用中，而且在其他基本相互作用，包括 弱相互作用和强相互作用中，规范不变 性是决定相互作用形式的一条基本原理。
传递这些相互作用的场称为规范场 电磁场是最熟知的一种规范场
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从数学上来说， 规范变换自由度的存 在是由于在势的定义 式中，只给出A的旋 度，而没有给出A的 散度。
Α Ε t
此两式把电磁场用矢势和标势表示出来。注 意现在的电场E不再是保守力场，一般不存在 势能的概念，标势失去作为电场中的势能 的意义。因此，在高频系统中，电压的概念
也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电
场是相互作用着的整体，必须把矢势和标势 作为一个整体来描述电磁场。
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2. 规范变换和规范不变性
用矢势A和标势 描述电磁场不是 唯一的，即给定的 E和B并不对应于 唯一的A和。 对矢势A可以加上一个 任意函数的梯度，结果不 影响B，而这加在A上的梯 度部分又可以从中除去， 结果也不影响B。设为任 意时空函数，做变换
A A' A ' t
B 0
一般情况下，仍然保持无源性，所以上 式是普遍成立的。 A的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭 合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁 通量。
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一般的情况下，电场E既受到电 荷的激发，也受到变化磁场的激发， 而变化磁场激发的是有旋的电场。
因此，一般情况电场是有源和 有旋的，不可能用一个单独的标势 来描述。在变化情况下电场与磁场 发生直接联系，则电场的表示式必 然包含矢势A在内。
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3. 达朗贝尔(d’Alembert)方程
由麦克斯韦方程组推导A和所满足的基本方程
Β Α
D Η J t
( ) 0 J 0 0 0 0 2 t t
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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有
' Α Α Β
Α' Α ' Ε t t
' ' ( Α , ) ( Α, )
描述同一 电磁场
' Α Α Α φ
t
'
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势的规范变换
一种规范
在经典电动力学中，由于表示电磁场客观属性 的可测量的物理量为E和B，而不同规范又对应
着同一的E和B，因此如果用势来描述电磁场，
客观规律应该和势的特殊的规范选择无关。
规范不变性:当势作规范变换时，所有物理量 和物理规律都应该保持不变的一种不变性。
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在量子力学中，E和B不能完全描述电磁 场的所有物理效应。例如在A-B效应中，在 非单连通区域内绕闭合路径一周的电子波 函数相位差，就由回路积分描述，它不能 用B的局域作用来描述。
电磁波是由运动电荷辐 射出来的。本章研究高频交变 电流辐射电磁波的规律。例如： 无线电波是由发射天线上的高 频交变电流辐射出来的。
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严格来说，天线上的电流和它 激发的电磁场是相互作用的。天线 电流激发电磁场，而电磁场又反过； 来作用到天线电流上，影响着天线 电流的分布。所以辐射问题本质上 也是一个边值问题。
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Α (Ε )0 t
上式表明矢量 E+A/t是无旋 场，因此可以用 标势描述， 一般情况下 电场的表示 式为
Β Ε t
Β Α
Α Ε t
Α Ε t
9
Β Α
d l
C
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但是，此回路积分仍然是规范不变的。 因为对A做规范变换后
' d l ( ) d l dl d dl
表明在量子力学中，所有可测量的物 理量仍然保持规范不变性。
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天线电流和空间电磁场是相互 作用的两方面，需要应用天线表面 上的边界条件，同时确定空间中的 电磁波的形式和天线上的电流分布。
这种问题的求解一般比较复杂。仅局限于讨论： 给定天线上电流分布,计算辐射电磁波
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主要内容
把势的概念并推广到一般变化 电磁场
通过势求解电磁辐射
高频交变电流辐射电磁波的规 律