2019版高中数学第一讲1.1平行线等分线段定理新人教A版选修4_1

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人教A版高中数学选修4-1同步检测第1讲1.1平行线等分线段定理

第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1 平行线等分线段定理A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的个数为()①一组平行线截两条直线，所得到的平行线间线段都相等．②一组平行线截两条平行直线，所得到的平行线间线段都相等．③三角形两边中点的连线必平行第三边．④梯形两腰中点的连线必与两底边平行．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确，它们分别是三角形、梯形的中位线．①②错，因为平行线间线段含义不明确．答案：B2．如图所示，已知l1∥l2∥l3，且AE＝ED，AB，CD相交于l2上一点O，则OC＝()A．OA B．OBC．OD D．OE解析：由平行线等分线段定理可得OC＝OD.答案：C3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE为()A．9 B．10C．11 D．12解析：过O作直线l∥AB，由AB∥l∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，知BO＝OC＝CE.又BC＝6，所以CE＝3，故BE＝9.答案：A4．如图所示，在△ABC中，DE是中位线，△ABC的周长是16 cm，其中DC＝2 cm，DE＝3 cm，则△ADE的周长是()A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．10 cm解析：因为DC＝2 cm，DE＝3 cm，DE为中位线，所以AB＝16－4－6＝6(cm)，所以AE＝3 cm.所以△ADE周长为8 cm.答案：C5．如图，AD是△ABC的高，DC＝13BD，M，N在AB上，且AM＝MN＝NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC＝()A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 解析：因为AD ⊥BC ，ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，所以NF ∥ME ∥AD ，因为AM ＝MN ＝NB ，所以BF ＝FE ＝ED . 又因为DC ＝13BD ，所以BF ＝FE ＝ED ＝DC ，所以FC ＝34BC .答案：C 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD＝20 cm ，则EF ＝________．解析：E 为AB 中点，EF ∥BD ，则AF ＝FD ＝12AD ，即AF ＝FD ＝CD .又EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以四边形EFDG 为平行四边形， FD ＝5 cm.所以AC ＝AF ＋FD ＋CD ＝15 cm.因为EF ＝12BD ，所以EF ＝10 cm.答案：15 cm 10 cm7．如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别是线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析：连接DE ，由于点E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，所以四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，点F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案：a2三、解答题8．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点．求证：AG ＝GH ＝HC .证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD 綊BC ，又因为ED ＝12AD ，BF ＝12BC ，所以ED綊BF，所以四边形EBFD是平行四边形，所以BE∥FD.在△AHD中，因为EG∥DH，E是AD的中点，所以AG＝GH，同理在△GBC中，GH＝HC，所以AG＝GH＝HC.9.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC 交梯形中位线EG于点F.若EF＝4 cm，FG＝10 cm，求梯形ABCD 的面积．解：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．因为EG是梯形ABCD的中位线，所以EG∥DC∥AB.所以点F是AC的中点．所以DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD ＝∠BNC ，所以△ADM ≌△BCN .所以AM ＝BN ＝12(20－8)＝6(cm)．所以DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝63(cm)．所以S 梯形＝EG ·DM ＝(4＋10)×63＝843(cm 2)．B 级能力提升1.如图所示，在△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，DE ∥AB 交BC 于E ，则阴影部分面积为△ABC 面积的( )A.14B.13C.15D.16 解析：因为D 为AC 的中点，DE ∥AB ，所以E 为BC 的中点．所以S △BDE ＝S △DEC ，即S △BDE ＝12S △BDC ＝14S △ABC .答案：A2.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝22cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________．解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以DF ＝FC .所以EF 为梯形ABCD 的中位线．所以EF＝12(AD＋BC)，且△EGF的高是梯形ABCD高的一半．所以S梯形ABCD＝4S△GEF＝4×22＝82(cm2)．答案：8 2 cm23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点，求证△ECD为等边三角形．证明：如图所示，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.因为AD∥BC，所以AD∥EF∥BC.又因为E是AB的中点，所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)．因为DC⊥BC，所以EF⊥DC，所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．所以△EDC为等腰三角形．因为AB＝BC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．所以∠ACB＝60°.又因为E是AB边的中点，所以CE平分∠ACB，所以∠FEC＝∠ECB＝30°，所以∠DEF＝30°，所以∠DEC＝60°.又因为ED＝EC，所以△ECD为等边三角形．。

高二数学人教A版选修4-1课件：1.2 平行线分线段成比例定理

(3)比例的有关概念:已知四条线段
a,b,c,d,如果ba
=
c或
d
a∶ b=c∶ d,
那么线段 a,d 叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项,线段 d 叫做线段
a,b,c
的第四比例项.若ba
=
b或
c
b2=ac,那么线段
b
叫做线段
a,c
的比例
中项.
(4)比例的性质:①基本性质:a∶ b=c∶ d⇔ad=bc. ②合比性质:如果ba = dc,那么a+b b = c+dd. ③等比性质:如果ba = dc=…=mn (b+d+…+n≠0),那么ab++cd++… …++mn = ba.
题型四计算线段长度的比值【例题 4】如图,M 是▱ ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过 M 分别交 AD,AC 于 E,F,交 CB 的延长线于 N,若 AE=2,AD=6.求 AF∶ AC 的值.
分析:AD∥BC,AM=MB⇒ AE=BN⇒ AF∶ AC 的值
解:∵AD∥BC,∴AFCF = NAEC,
BC=
.
解析:如图,取 AB,CD 的中点 G,H,连接 GH,
则 GH 为梯形 ABCD 的中位线,EF 为梯形 AGHD 的中位线, 故 GH=2EF-AD=2×4-3=5,BC=2GH-AD=2×5-3=7. 答案:7
2.如图,DE∥BC,EF∥DC,求证:AD2=AF·AB. 分析:要证 AD2=AF·AB,只要证AADF = AADB,由于 AF,AD,AB 在同一直线上,需借助中间量AAEC进行转化. 证明:∵DE∥BC,∴AADB = AAEC.

人教A版高中数学选修4-1课件平行线平分线段定理课件

请同学们独立完成证明过程
A
E
B
达标检测
1、已知梯形ABCD中，AB//DC，E为AD中点，EF//BC，求证：BC＝2EF.
2、已知梯形ABCD 中，AD//BC，∠ ABC＝90°，M是 CD的中点，求证：A M＝BM.
3、已知AC⊥ AB，DB⊥ AB，O是CD的中点，求证：OA＝OB.
4、在ABC中，D为AB的中点， DE//BC.求证：DE＝BC.
11
11
11
A
l1
l2
B
l3
C
l4
D
A1 ？ B1 ？ C1
？
D1
小组讨论，完成证明
分析：
∵ 如图 ,l ∥l ∥l 且 AB =BC
1
2
3
∴ A B =B C
11
11
∵ 如图，直线l ∥l ∥l 且 BC = CD
2
3
4
∴B C =C D
11
11
A
定理辨析
D
E
1、如图ΔABC中点 D、E三等分AB，D F//EG//BC， DF、EG分别交AC 于点F、G，
从特殊到一般
1、已知：直线l //l //l ,AC//A C 且AB =BC 求证 : A B =B C
1
2
3
11
11
11
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
问题：从图形中我们能够找到哪些平行四边形吗？
预设：
四边形ABA B 为平行四边形 11
四边形BCC B 为平行四边形 11
问题：我们能否利用平行四边形性质得到 A B B C ?

1.2平行线分线段成比例定理(人教A版选修4-1)

反思感悟证明空间几何中的比例式问题 (1)认真读图，作出辅助线，将空间问题转化为平面问题； (2)通过中间比证明； (3)化为平面问题后，同一平面内，平面几何中的相关定理都适用．
P9. 2.在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于 D,交AC于E.如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F,AO的延长线和BC相交于G。证明：
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
三条平行线截两条直线会有什么结果?
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
A B C
D E
l1
l2 l3
上上 = 下下
F
下下 = 全全
形象记忆
. . . .
左左 = 右右 . . . .
∴DE与BC不平行
B
C
小结一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C
2015/9/21
D E F C
D B
A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
2015/9/21
方法技巧探索并证明空间形式的“平行面分线段成比例定理” 【示例】如图，α∥β∥γ，l1、l2 是异面直线，l1 交 α、β、γ 分别为点 A、 B、C，l2 交 α、β、γ 分别为点 D、 AB DE E、F.求证：BC＝ EF . [思维启迪] 由于 A、B、C 与 D、E、 F 分别在异面直线 l1 与 l2 上，因此要证明这一比例成立，就需要作出一直线，使它与 l1、l2 都共面，建立一个中间比．

高中数学 1.1平分线等分线段定理课件新人教A版选修41

证明：在△ABC中，
∵D是AC的中点，DE∥BC，
∴E是AB的中点(推论1)．
栏
目
又∵EF∥AC且交BC于点F，
Байду номын сангаас
链
接
∴F是BC的中点(推论1)．
∴BF＝FC.
点评：应用定理证明线段间关系，常与三角形中位线、梯形中位线有关．
题型三求线段的长
例 3 如右图所示，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点，
题型二证明线段间的问题
例2 如图所示，已知在△ABC中，CD平分∠ACB， AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F，求证AF＝BF.
栏目链接
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC，所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE，即AE＝ME.
【正解】如图所示，延长线ME交BC的延长线于点P，
栏
由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.
目链
又∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN.
接
由题意知点C是BP的中点，∴点N是MB的中点，∴MN＝ NB.
【疑难点辨析】定理中的“一组平行线”是每相邻两条直线间的距离都相等的平行线，若不满足这一条件，则不能使用该定理．
证明：延长AE交BC于M.
∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，
∴在△ACE和△MCE中，
∠AEC＝∠CEM，CE＝CE，
栏
∠ACD＝∠MCD，
目
链
∴△ACE≌△MCE，
接
∴AE＝EM，即E是AM的中点．
又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM，

人教A版高中数学选修4-1全册课件

● 在三角形ABF中， ● ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ● ∴E为BF的中点，故BE＝EF. ● 同理，在三角形CDE中， ● ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ● ∴F为DE的中点，故DF＝EF. ● ∴BE＝EF＝FD．
●
平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有
线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．
● A．AE＝CE ● B．BE＝DE ● C．CE＝DE ● D．CE >DE ● 【答案】C
● 4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于( )
● A．9
B．10
● C．11
D．12
● 【答案】A
•平行线等分线段定理
● 【例1】如图所示，已知M，N分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，CM 交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明．
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●第2课时平行线分线段成比例定理
● 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
________．
成比例
● 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对
应线段________．
成比例
3．比例的性质：
(1)比例的基本性质：若 bd≠0，则ab＝dc⇔_a_d_＝__bc___.特殊
1．如图所示，a∥b∥c，那么下列结论中错误的是( ) A．由 AB＝BC 可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC D．由 GH＝12FH 可得 CD＝DE 【答案】B
•经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边

人教A版2019高中数学选修4-1教学案：第一讲一平行线等分线段定理_含答案

一平行线等分线段定理[对应学生用书P1]1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.[说明](1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论[对应学生用书P1][例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，AB ＝BC ＝CD .求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．已知：如图，l1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段．答案：B2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．作法：如图，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；(3)连接HB ；(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，A 2，A 3，A 4.则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点．证明：过点A 作MN ∥HB ，则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．[例2] 交AD 的延长线于E .求证：AG ＝2DE .[思路点拨] AF ＝FC ，GF ∥EC →AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE [证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ，因此AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ，所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD的中点，求证： AM ＝BM .[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∴M 为CD 的中点．6．已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点A ，B ，C ，D ，O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，D ′，O ′；求证：A ′D ′＝B ′C ′.证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵AA ′⊥a ，OO ′⊥a ，CC ′⊥a ， ∴AA ′∥OO ′∥CC ′.∴O ′A ′＝O ′C ′. 同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.[对应学生用书P3]一、选择题1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm解析：由梯形中位线定理知EF ＝12(AB ＋CD )，∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .答案：A3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE＝12×5×24＝60 (cm 2)．答案：D 二、填空题5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析：直接利用平行线等分线段定理．答案：326.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC ＝3EG ＝6(cm)．由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm)．答案：6 cm 5 cm7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝2 2 cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________cm 2.解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以EF 为梯形ABCD 的中位线，所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半，所以S 梯形ABCD ＝4S △EGF ＝4×2 2 ＝82(cm 2)．答案：8 2 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE 、CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点．证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF .即F 是CD 的中点．9．如图，先把矩形纸片ABCD 对折后展开，并设折痕为MN ；再把点B 叠在折痕线上，得到Rt △AB 1E .沿着EB 1线折叠，得到△EAF .求证：△EAF 是等边三角形．证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，所以B1E＝B1F.又因为∠AB1E＝∠B＝90°，所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO＝OE.又∵AF∥BC，∴EF＝FC.法二：如图，延长ED交BC于点H，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB∥DH，AB＝ED.又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE. ∴EF＝FC.。

新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）

新人教A版高中数学教材目录（必修+选修）必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。

平行线分线段成比例定理课件(新人教版A选修4-1)

猜想：
3 AB 3 DE 若，那么, ？ BC 4 EF 4
2 AB 2 DE 若 ,那么，？ BC 3 EF 3
Fl
3
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
AB 2 取的特殊情况进行探讨： BC 3
方法:将上述问题化归为平行线间距离相等的情形设线段AB的中点为P1，线段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
平行线等分线段定理的条件：
相邻的两条平行线间的距离相等
如图：三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果? 我们发现 AB BC，DE EF ，根据以往学习平面几何的经验，当几何图形不全等时，我们可以研究被一组平行线截得的线段是否有 “对应边成比例”
A B C
l
l D E
l1
l2
若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC的边 AE BC的直线,那么可得: AD 推论
AB = AC .
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例.
l D B
A
l
l1
E
l A
D
l
l1 l2
Байду номын сангаас

高中数学选修4-1第一讲学案及答案

D B E F 平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理一．学习目标：一．学习目标：1. 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；探索并理解平行线分线段定理的证明过程；2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2； 3.3.平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别平行线分线段成比例定理与推论的区别4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题二．知识梳理：二．知识梳理：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段截得的线段推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线2.2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段三条平行线截两条直线，所得的对应线段推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。

所截得的三角形的三边与原三角形的三边角形的三边三．基本技能：判断下列命题是否正确1.1. 如图△如图△ABC ABC 中点D 、E 三等分AB AB，，DF DF∥∥EG EG∥∥BC BC，，DF DF、、EG 分别交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC AC（（））2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。

一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组平行线能等分线段。

（）4.4.如图，如图，如图，DE DE DE∥∥BC BC，分别交，分别交AB AB、、AC 于点D 、E 则：BC DEAC AE AB AD ==（）A C G 四．典型例题例1.已知：如图所示，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F 求证：AF ＝ AC . 例2在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，E 为AB 的中点．求证：EC ＝ED . . 例3.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于点D ，与AC 边交于点E ，与BA 的延长线交于点F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A . 例4.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 为底边BC 上的任意一点，过E 点作与AD 平行的直线，分别交直线AB 、CA 于点F 、G .求证：求证：＝ . 13BE BF CE CG当堂检测：当堂检测：1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有() A．AE＝CE B．BE＝DEC．CE＝DE D．CE＞DE3.顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是__________ 4.如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝____. 5.如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，点H是______的中的中点．点，点F是______的中点．6.如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若PM＝1 cm，则PC＝______. 7.如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( ) A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1 8.在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8 9.如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．的值．10.如图所示，在梯形ABCD 中，A D ∥BC BC，，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF EF∥∥AD（（1）求证：）求证：OE=OF OE=OF OE=OF；；（2）求OE OE AD BC + （（3）求证：112=AD BC EF+平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理答案例1.证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G. 在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，∴F是AG的中点，即AF＝FG∴AF＝1/3 AC. 点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法：构造基本图形法是重要的数学思想方法例2.证明：过点E作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC. ∵E是AB的中点，的中点，∴F是DC的中点．的中点．∵∠BCD＝90°，°，∴∠DFE＝90°. ∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，的中点，∴EF是线段DC的垂直平分线．的垂直平分线．∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 例3. 证明：过点A作AG∥BC交DF于点G. ∵AG∥BD，∴FAFB=AGBD. 又∵BD=DC，∴FAFB =AG DC. ∵AG∥BD，AG AE例4. ＝证明：∵∥∴=. ∵∴=∴=2229. 10. 解析：过D作DG∥CA交BF于G，则BGGF＝BDDC＝53. ∵E为AD的中点，DG∥AF，∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴BGEF＝BG12GF＝2BGGF＝2×53＝103. 故BEEF＝BG＋EFEF＝10＋33＝133. (1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC. ∴AEAB=DFDC，OEBC=AEAB，OFBC=DFDC. ∴OEBC=OFBC，∴OE=OF. (2)解析：∵OE∥AD，∴OEAD=BEAB. 由(1)知OEBC=AEAB，∴OEAD+OEBC=BEAB+AEAB=BE AEAB+=1 (3)证明：由(2)知OEAD+OEBC=1，∴2OEAD+2OEBC=2. 又EF=2OE，∴EFAD+EFBC=2，∴1AD+1BC=2EF. 。

2019_2020学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理课件新人教A版选修4_1

答疑解惑
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【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,AD=6,求BE的长.
分析由于OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得出 E是BC的中点,所以BE=EC =12BC=12AD.
A.AE=CE B.BE=DE
C.CE=DE D.CE>DE 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案C
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123
2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
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() (4)梯形的中位线平行于两底,并且等于两底差的一半. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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答疑解惑
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探究一
探究二
探究三
探究一作已知线段的等分点
【例1】已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明. 分析根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意取
DG=
,H是
的中点,F是
的中点.
解析由平行线等分线段定理、推论1和2以及AE=EB可得答案,故填BG,AC,CD.
答案BG AC CD
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答疑解惑
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人教A版高中数学选修4-1-1.1 平行线等分线段定理-课件(共17张PPT)

求证；A1B1=B1C1
2、已知：直线，l1∥l2∥l3，AB=BC 求证；A1B=BC1
AB BC
A
l1
B
l2
l3
C
A1
？B1 ？C1
图1
l1
A1
A
？
3 1
l2
B
l3
2 4
？
C
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3，AB=BC。l1
A1 A E
3
求证； A1B1=B1C1
l2
形是平行四边形。
分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
A
M
B
？？F ？ E
D
N
C
练习已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=90。M是CD的中点。
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB
于点E
A
B
又∵在梯形ABCD中，MD=有M线C 段中点E时，常过
∴AE=EB
该点作平行线，构造
易证ME是AB的垂直平分线平及行推线论等的分基线本段图定形理。
如图：有块直角三角形菜地，分配给张，王，
李三家农民耕种，已知张，王，李三家人口分
别为2人，4人，6人，菜地分配方法按人口比
例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，
P处是三家合用的肥料仓库，所以点P必须是三
l
A1 A2 A3
图1
l
B1 l1 B2 l2
B3 l3
l
A1 A2 A3
l
B1 B2
l1 l2
B3 l3

人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲一平行线等分线段定理

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2 图1-1-32.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图1-1-5误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1–6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′，图1-1-7求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.问题·探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图1-1-8:图1-1-8问题2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图1-1-9探究:证明:如图1-1-9，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC ，则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合.所以DE ∥BC.同理，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ，则BF=FC.因为DE ∥FC ，DF ∥EC ，所以四边形DFCE 是平行四边形.所以DE=FC.又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.（1）(1)延长中位线DE 到F,使EF=DE.（2）(2)延长中位线DE 到F,使EF=DE 得ADCF.(3)作CF ∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1-1-11如图1-1-11，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E(梯形的这种辅助线也经常用到)，就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式MN=21(BC ＋AD)，可知当AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为MN=21BC.这就是三角形的中位线公式,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了它们之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题·热题例1如图11-1-2，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F.求证:BF=CF.图1-1-12思路分析：根据D 是AC 的中点，利用平行，得到E 是AB 的中点，再利用平行即可得到F 是BC 的中点.证明：在△ABC 中，∵D 是AC 的中点，DE ∥BC ，∴E 是AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF ∥AC 交BC 于F ，∴F 是BC 的中点，即BF=FC.深化升华在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例2求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图11-1-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC.求证:ED=EC.图1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又F是DC中点，∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例3在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点，求证:AP=PQ=QC.图1-1-14思路分析：在△ADQ中，F是AD的中点，只要证明FP∥DQ，即可由推论1得AP=PQ；同理在△CPB中，根据E是BC的中点，EQ∥BP，由推论1得CQ=PQ，由此得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点.∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.深化升华本题两次利用了E、F是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证:AF=BF.图1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用,所以延长AE使它与BC相交就势在必行了.证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E,∴在△AEC与△MEC中,EC=CE,∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD.∴△AEC ≌△MEC.∴AE=ME.∴E 是AM 的中点.又在△ABM 中FE ∥BC,∴点F 是AB 边的中点.∴AF=BF.方法归纳作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例5如图11-1-6,以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作ACED ，DC 的延长线交BE 于F,求证:EF=BF.图1-1-16思路分析：在△EAB 中，OF ∥AB.要说明EF=BF ，只要说明O 是AE 的中点，而O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道O 是AE 的中点，于是问题得证.证明：连结AE 交DC 于O,∵四边形ACED 是平行四边形,∴O 是AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD 是梯形,∴DC ∥AB. 在△EAB 中，OF ∥AB,又O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点.∴EF=BF.深化升华证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC ，在梯形ABCD 内构造平行四边形，或以AB 、BE 、AD 的延长线为边构造梯形也可以得证. 例6如图1-1-17，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.图1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到O 是AC 的中点，利用平行得E 是BC 的中点，于是BE 应等于BC 的一半，BC 的长度可以由AD 获得.解：∵ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BC ＝AD.∵AB ∥DC ，OE ∥AB ，∴DC ∥OE ∥AB.又∵AD ＝12，∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6.。

「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1

��
=
��
=
��
=
23.
又 DF=1,∴AF=2,AD=3.
又��
��
=
��
=
23,故
AB=92.
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
求线段的长度及其比值
【例3】如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.若BC=3,DE=2, DF=1,求AB的长度.
分析:先根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结
合已知线段长度求出AB的长度.
解:∵DE∥BC,EF∥CD,BC=3,DE=2,
∴��
=
��
B.BD∥CE⇒��
=
��
C.BD∥CE⇒��
=
��
D.BD∥CE⇒��
=
52,即��
=
52.
答案:52
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
1.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则B1C1的长为 ()
A.6 cm

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

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四、小结:
1、本节课介绍了平行线分线段成比例定理及应用；
2、在运用平行线分线段成比例定理时要注意弄清三条平行线截两条直线，所得哪条线段与哪条线段是对应线段，同时要根据需要写出正确的比例式。
五、布置作业
课外作业：如图7，已知L1∥L2 ∥ L3 ∥ L4，求X，Y的值
L1
3 5 3.5 y 4 L3 L4 x L2
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注：“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段。而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与他们对应的另一条直线上的两条线段的比
例题解析：
例1、已知：如图L1∥L2∥L3，AB=3，DE=2， EF=4，求BC A 分析：图形已具备什么定理的基本图形？平行线分线段成比例定理那么如何求线段BC的长呢？（建立比例） C 解： ∵ L1∥L2∥L3 ∴
BD FH 左下右下 ( ) AB EF 左上右上
H L4 （2）
练一练：如图（3） L1∥L2 ∥ L3 ，试根据图形写出 b a 成比例线段。 D A
AB DE BC EF BC EF AB DE AB DE AC DF
L1
L2
E B
AC DF AB DE
BC EF AC DF
E B
AB m ， DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
（图5） (平行线分线段成比例定理)
证明：
∵ L1∥L2∥L3
EF n , ∴ DE m

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4

(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.
又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所
得的对应线段成比例.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,
2
与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则
比例中项.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例3如图所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC
上,点E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC.
证明
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
则DE∥AH∥GF.
知识网络
专题一
专题二
专题三

=
,
= .

1

= 4 , = .

1
所以 16 = 4,即 BM=4.取 BC 的中点 P,
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,

人教A版高中数学选修4-1-第一讲--一-平行线等分线段定理-课件(共27张PPT)

过程与方法
1．通过初中学习平行线的性质和判定定理，进一步学习一组平行线等分线段定理以及两个推论.
2．培养化归思想，从特殊到一般，再到特殊.
情感态度与价值观
1．通过平行线等分线段定理证明，体会数学证明的必要性.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
求证:B1B2=B2B3
分析
l l’
A1 A2 A3
B1
C2
B2 B3
C3
l1 l2
l3
“角角边”
B1C2//B2C3
△B1C2B2≌△B2C3B3
B1B2=B2B3
知识要点
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
小练习
已知：ΔABC,D是AB的中点，DE//BC
求证: AE=EC 证明：因为AD=BD,DE//BC
A DE
根据平行线等分线段定理，得：
B
C
AE=EC.
能推出
思
什么结论？
考
知识要点
平行线等分线段定理
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
小练习
已知：梯形ABCD,E是AB的中点，
求证:CF=DF.
A
C
证明：因为AE=BE,AC//BD E
3、平行线等分线段定理和推论的应用
（1）把线段n等分. （2）证明在同一直线上的线段相等.
A AD
？
EF
？
E
F
？
B B
CB
？ C
随堂练习
1.判断题