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2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2章末质量评估3

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高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23

高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23

第二章 随机变量及其分布章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( ) A.25 B.34 C.12 D.18 考点 条件概率题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (AB )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12. 2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( ) A.310 B.112 C.12 D.1112 考点 排列与组合的应用 题点 排列、组合在概率中的应用 答案 D解析 设事件A 为“无人中奖”，即P (A )＝C 57C 510＝112，则至少有1个人中奖的概率P ＝1－P (A )＝1－112＝1112.3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立， 由已知得：P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×P (A 2)＝0.6， 解得P (A 2)＝0.60.8＝0.75.4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.1 D ．0.2 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3. 5．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <1)的值为( )A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 D解析 由正态曲线的对称性知P (X <1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X <0)＝P (X >2)，所以P (0<X <1)＝P (X <1)－P (X <0)＝P (X <1)－P (X >2)＝12－p .6．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则均值E (X )与方差D (X )分别为( ) A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44D ．0.44,0.2考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C解析 由离散型随机变量的性质知a ＋4a ＋5a ＝1，∴a ＝0.1.∴P (X ＝0)＝0.1，P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.5，∴均值E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ≤1)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112.8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为( )A.16B.13C.12D.635考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 D解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴方程x 2＋4x ＋X ＝0存在实数根， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4，∵随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132，故选D.10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12.11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A.49B.1927C.1127D.4081考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1927，故选B.12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是( ) A.19 B.29 C.13 .D.49 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 D解析 将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为12，13，16，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，则积为0的概率P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋12×13＋12×16＝34.积为1的概率P (ξ＝1)＝13×13＝19.积为2的概率P (ξ＝2)＝13×16＋13×16＝19.积为4的概率P (ξ＝4)＝16×16＝136，所以向上的面上的数之积的均值E (ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________.考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布的分布列求概率 答案32625解析 由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2，∴n ＝5，p ＝0.8，∴P (ξ＝2)＝C 25p 2(1－p )3＝32625.14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为110，则3个水龙头同时被打开的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 0.008 1解析 对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C 35×0.13×0.92＝0.008 1.15．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是12，则μ＝______.考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 2解析 由向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a ·b >0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P (ξ>2)＝12.根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X 的均值E (X )＝________. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 1.89解析 由题意知，X 的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P (X ＝2)＝0.9，P (X ＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P (X ＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01， 由此可得均值E (X )＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率． 考点 互斥、对立、独立重复试验的综合应用 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值．考点 均值与方差的综合应用题点 离散型随机变量的分布列及均值 解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝3)＝13×12＝16， P (ξ＝4)＝13×12＝16，P (ξ＝6)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1＝13，ξ的分布列为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X 为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X 的值为2，求随机变量X 的分布列及均值E (X )． 考点 均值与方差的综合应用 题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”， 则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布， ∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12， P (X ＝2)＝7C 39＝112，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝512.∴X 的分布列为∴E(X)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P(A1)＝C12P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．考点 均值与方差的应用题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n ＋m )道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值．解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝nn ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14.从而X 的分布列为所以E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量评估课时作业新人教A版选修2-1 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( )A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量【解析】选D.只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( )A.B.C.D.或【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得检验知选D.3.(2014·金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于( )A. B. C. D.【解析】选D.易得c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以解得故选D.4.(2014·银川高二检测)已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是( )A.·=0B.·=0C.·=0D.·=0【解析】选B.选项A,⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·=0;由A可知·=0,C正确;选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·=0;选项B,若·=0,则BD⊥PC,又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故B不一定成立.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,则向量a+b与a-b的夹角是( )A.90°B.60°C.30°D.0°【解析】选A.因为|a|2=2,|b|2=2,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故选A.【变式训练】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 C.=(0,3,3),=(-1,1,0).设<,>=θ,则cosθ===,所以θ=60°.6.(2014·长春高二检测)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·1()2b 等于( )A.15B.3C.-3D.5【解析】选B.(6a)·1()2b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心,若=+x+y,则x-y等于( )A.0B.1C.D.-【解析】选A.如图所示,=+,所以=x+y,所以=x+y,因为=+,=,所以x=y=,x-y=0.8.(2014·安庆高二检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.过点C作CE垂直于BD,垂足为E,连接AE,则得AC=1,故三角形ABC为正三角形.||2==++-·+·-·=×1+×1+()2-×1×1×cos∠ABC=-=.9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意知,2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即解得即C.10.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+6,z-2), =(0,4,-3),因为∥,且⊥,所以解得所以||=5.【一题多解】设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.所以=(-4,4λ+5,-3λ),又=(0,4,-3),⊥,所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,所以λ=-,所以=,所以||==5.11.(2014·绵阳高二检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E 到平面ACD1的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为d===.12.(2014·荆州高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选D.因为AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D.所以AC⊥BE,故A正确.因为B1D1∥平面ABCD,又E,F在直线D1B1上运动,所以EF∥平面ABCD,故B正确.C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故V A-BEF为定值.①当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系, 如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,所以=(0,-1,1),=,所以·=.又||=,||=,所以cos<,>===.所以此时异面直线AE与BF成30°角.②当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1).所以=,=(0,0,1),所以·=1,||==,所以cos<,>===≠,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,则<,>= .【解析】=,因为△A′BD为正三角形,所以<,>=120°,即<,>=120°.答案:120°14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=,因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角,所以∠B1BO=60°,设棱台高为h,则tan60°=,所以h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,,0),所以=,=,所以cos<,>==,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案:【变式训练】如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点,则异面直线D1E与AC 所成角的余弦值是.【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),=(-4,4,0),=(0,4,-2).cos<,>==.所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案:15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD 与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是.【解题指南】建立空间直角坐标系,求出平面AA1C1C的一个法向量n和,计算cos<n,>即可求解sin α.【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量n=(1,0,0),所以cos<n,>==,即sinα=.答案:16.给出命题:①在□ABCD中,+=;②在△ABC中,若·>0,则△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则=(+);④在空间四边形ABCD中,E,F分别是边BC,DA的中点,则=(+).以上命题中,正确命题的序号是. 【解析】①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;·=||·||·cosA>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,所以△ABC是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线的性质,正确;④如图,=+,+=++=+2=2(+)=2,则=(+),正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,用向量,,表示向量,.【解析】=-=--+.=+=+=+=+(-)=-++.18.(12分)(2014·福州高二检测)如图所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【证明】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M,N分别为AB,PC的中点,所以M,N.所以=,=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以令z2=1,则n2=(0,1,1).因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【知识拓展】用向量证明线面平行的主要方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来.19.(12分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.当的值等于多少时,能使A1C⊥平面C1BD?【解析】不妨设=x,CC1=1,A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1B,A1C⊥C1D,而=+,=++=++,由·=0,得(++)·(+)=-+·+·=0,注意到·+·=-,可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍).因此,当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.20.(12分)(2013·上海高考)如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C′(0,2,0),D′(0,0,0).则=(1,0,1),=(0,2,1),设平面D′AC的法向量n=(u,v,w),由n⊥,n⊥,所以n·=0,n·=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D′AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n·=0,所以n⊥.又BC′不在平面D′AC内,所以直线BC′与平面D′AC平行.由=(1,0,0),得点B到平面D′AC的距离d===,所以直线BC′到平面D′AC的距离为.21.(12分)(2014·广东高考)四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证AD⊥平面PCD⇒CF⊥AD,又CF⊥AF⇒CF⊥平面ADF.(2)采用向量法较为方便,以D为原点建立空间直角坐标系,设DC=2,计算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐标,注意到为平面ADF的一个法向量.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,DC∩PD=D,所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD,所以CF⊥AD,而AF⊥PC,即AF⊥FC,又AD∩AF=A,所以CF⊥平面ADF.(2)以D为原点,DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,由(1)知PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,则D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0),=,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),由得取x=4,有y=0,z=,n=(4,0,),又平面ADF的一个法向量=,所以cos<n,>===-,所以二面角D-AF-E的余弦值为.【变式训练】(2014·北京高二检测)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FG∥平面PED.(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥P E.又FG⊄平面PED,PE⊂平面PED,所以FG∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D,P,A,C,B,E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F,G,H(0,1,1).所以=,=.设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即再令y1=1,得n1=(0,1,0).=(2,2,-2),=(0,2,-2).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则即令z2=1,得n2=(0,1,1).所以所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°.依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.由=(0,2,-2),则=(0,2λ,-2λ).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2λ-1,1-2λ).因为直线FM与直线PA所成角为60°,=(2,0,-2),所以=,即=,解得λ=.所以=,=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM的长度为.22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,PA⊥底面ABCD,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.【解析】(1)设<,>=θ,则cosθ==.所以sinθ=.所以V=S□ABCD||=||||sinθ||=16.(2)=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.猜想:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的直四棱柱的体积).【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线的方向向量惟一确定.。

2014-2015学年高二数学选修2-2、2-3综合试题(二)Word版含答案

2014-2015学年高二数学选修2-2、2-3综合试题(二)Word版含答案

2014-2015学年高二数学下期选修2-2、2-3综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）1．已知i 为虚数单位，复数1iz i=-+，则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．12i - B ．12 C ．12- D ．12i2．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定3．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 4．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图，则有（ ）A ．'()()f x g x =B ．'()()g x f x =C ．''()()f x g x =D ．()()g x f x = 5．设随机变量ξ～B (2，p )，η＝2ξ－1，若P (η≥1)＝6581，则E (ξ)＝( )A ．59B ．89C ．109D ．16816．△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( )A ．9B ．8C ．18D ．167．观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有（ ）A ．其中包含等式：152－1＝224B ．一般式是：(2n ＋3)2－1＝4(n ＋1)(n ＋2)C ．其中包含等式1012－1＝10 200D ．24的倍数加1必是某一质数的完全平方 8）ABCD9．设函数()(sin cos )(040)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 各极小值点之和为（ ）A ．380πB ．800πC ．420πD ．820π10．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种 11．已知函数()2,()ln(1)fx x ax g x b a x =-=+-，存在实数(1)a a ≥，使()yf x =的图象与()y g x =的图象无公共点，则实数b 的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．3[1,ln 2)4+ C ．3[ln 2,)4++∞ D ．3(,ln 2)4-∞+ 12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()()()f x f x xf x ''+<恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =, 1)c f =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13．()25212(1)x x +-的展开式中41x 的系数是 .14．函数21()ln 2(0)2f x x ax x a =--<存在单调递减区间，则a 的取值范围是15．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于 ． 16．给出下列命题：①用反证法证明命题“设,,a b c 为实数，且0,0,a b c ab bc ca ++>++>则0,0,0a b c >>>”时，要给出的假设是：,,a b c 都不是正数； ②若函数()()2fx x x a =+在2x =处取得极大值，则2a =-或-6；③用数学归纳法证明*1111...(1,)2321n n n n N ++++<>∈-，在验证2n =成立时，不等式的左边是11123++； ④数列{}n a 的前n 项和c S n n -=3，则1=c 是数列{}n a 成等比数列的充分必要条件；三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）若非零实数,m n 满足20m n +=，且在二项式12()m n ax bx +（a>0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项； （2）求ab的取值范围．(第4题)18．（本小题满分12分）观察下表：1，2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：（1）此表第n 行的各个数之和是多少？ （1）2012是第几行的第几个数？（2）是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分10分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：)(()(22c b a bc ad n K +-=20．（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.21．（本小题满分12分）（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；22．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()f x ax x x a R =+∈ （1）当0=a 时，求)(x f 的最小值；（2）在区间(1,2)内任取两个实数,()p q p q ≠,若不等式(1)(1)f p f q p q+-+-1>恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：333ln 2ln 3ln 4234+++...3ln n n+<1e （其中*1,, 2.71828...n n N e >∈=）.高二下期理科数学选修2-2、2-3综合试卷13. -10 14.(-1，0) 15.10 16.③④17.(1)解：设12112()()rm r n rr T C ax bx -+=为常数项，则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩ …………4分解得 r=4，所以常数项是第5项． ………………6分 （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b >>⎧⎨⎩ …………10分解得 8954b a<<…………12分18.解：∵第n ＋1行的第1个数是2n ，∴第n 行的最后一个数是2n －1.(1)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n －1)＝n －1＋2n －n －12＝3·22n －3－2n －2.(2)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(3)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n－310－4－1－2n －210－2－1＝22n ＋17－22n －3－2n＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.19.(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝3－75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 20.当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C Pξ,8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分21.函数()f x 的定义域为(0,)+∞， (Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =-(Ⅱ，)(x f 的定义域为),0(+∞。

高中数学 第二章 随机变量及其分布 章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

高中数学 第二章 随机变量及其分布 章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}， 事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340， 所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数， 则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积， 则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。

高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念

高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念

课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。

人教A版选修2-2高二期末调研考试理科数学试题.docx

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高中数学学习材料唐玲出品湖北省黄冈市2015-2016学年秋高二期末调研考试理科数学试题2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<． ...............................2分 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分 19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共15个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分因为43cos sin 55C C =∴=则1=56sin 9,2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分 满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵ ()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A ..........2分 则16,162121-==+x x x x ， ...............................3分 ∴ =++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80； ...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P ),2,2(p p Q ...................................................8分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分 p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分方法二：由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分 即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴ 0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分 代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为SB BC ⊥，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分（2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，，124,(0)333SE SD E =∴，，................8分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ====则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分 ,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分 方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO 因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。

【同步测控 优化设计】高二人教A版数学选修2-2练习：3章测评A Word版含答案[ 高考]

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第三章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由已知,得z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i,则z1-z2在复平面内对应的点为(5,-7),故选D.答案:D2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,∴z=i.故z的虚部为,选D.答案:D3.设a是实数,且是实数,则a等于()A. B.1 C. D.2解析:i,由题意可知=0,即a=1.答案:B4.复数=a+b i(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为()A.-1B.0C.1D.2解析:=-i=a+b i,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.答案:A5.已知=2+i,则复数z=()A.-1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i解析:∵=2+i,∴=(1+i)(2+i)=1+3i,∴z=1-3i.答案:B6.复数z1=,z2=2-i3分别对应复平面内的点P,Q,则向量对应的复数是()A.B.-3-i C.1+i D.3+i解析:∵z1=(-i)2=-1,z2=2+i,∴对应的复数是z2-z1=2+i-(-1)=3+i.故选D.答案:D7.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:m=1时,z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分条件.由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1.故选A.答案:A8.已知方程x2+(4+i)x+4+a i=0(a∈R)有实根b,且z=a+b i,则复数z等于()A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i解析:∵b2+(4+i)b+4+a i=0,∴b2+4b+4+(a+b)i=0,∴∴z=2-2i.答案:A9.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1解析:因为1+i是实系数方程的一个复数根,所以1-i也是方程的根,则1+i+1-i=2=-b,(1+i)(1-i)=3=c,解得b=-2,c=3.答案:B10.定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为()A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i解析:由定义知=z i+z,得z i+z=4+2i,即z==3-i.答案:A第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.复数z=(m-1)+(m+2)i对应的点在直线y=2x上,则实数m的值是.解析:复数z对应的点的坐标为(m-1,m+2),又该点在直线y=2x上,故m+2=2(m-1),解得m=4.答案:412.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)·(1+i)=b i,则a+b i=.解析:由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=b i,得解方程组,得a=1,b=2,则a+b i=1+2i.答案:1+2i13.已知复数z1=3-i,z2是复数-1+2i的共轭复数,则复数的虚部等于.解析:,其虚部为.答案:14.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=.解析:设m=b i(b∈R,且b≠0),方程的实根为x0,则+(2-i)x0+(2b i-4)i=0,即(+2x0-2b)-(x0+4)i=0,即解得x0=-4,b=4.故m=4i.答案:4i15.下面四个命题:①0比-i大;②两个复数当且仅当其和为实数时,互为共轭复数;③x+y i=1+i 的充要条件为x=y=1;④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是. 解析:①实数与虚数不能比较大小;②两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数时,这两个复数不一定是共轭复数;③x+y i=1+i的充要条件为x=y=1是错误的,因为没有表明x,y是否是实数;④若z=b i(b≠0)为纯虚数,则z2=-b2<0,故①②③均是错误命题,④是正确的.答案:①②③三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.解:因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.17.(本小题6分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.解:设z=a+b i(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,∴-1-3i+a+b i=0,即解得∴z=-4+3i,∴=3+4i.18.(本小题8分)已知z=1+i,a,b为实数.(1)若ω=z2+3-4,求|ω|;(2)若=1-i,求a,b的值.解:(1)因为ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以|ω|=.(2)由条件=1-i,得=1-i,即=1-i.所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以解得19.(本小题10分)已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数;(1)求m对应点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.解:(1)设m=x+y i(x,y∈R),则,∵为纯虚数,∴即∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,由已知m=z-(3+3i),∴|z-(3+3i)|=3.∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,以3为半径的圆上.由图形可知|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.20.(本小题10分)设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围;(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.(1)解:设z1=a+b i(a,b∈R,且b≠0),则z2=z1+=a+b i+i.因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,还可得z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.(2)证明:ω==-i.因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.。

步步高高中数学 步步高选修2-2 章末检测(三)

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章末检测一、选择题1.i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A.i ∈S B.i 2∈S C.i 3∈S D.2i ∈S答案 B2.z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件.3.设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A.若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B.|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C.z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D.z 1－z 1是纯虚数或零 答案 D解析 举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数.故D 正确. 4.已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n im －n i等于( ) A.－1 B.1 C.－i D.i 答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i.5.已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A.1B.－1C. 2D.－ 2 答案 A 解析a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.6.若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A.－2＋i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i答案 B解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.7.已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A.p ＝－4，q ＝5 B.p ＝4，q ＝5 C.p ＝4，q ＝－5 D.p ＝－4，q ＝－5 答案 A解析 由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.8.i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( )A.2－1B.2－ 2C.2＋1D.2＋ 2答案 C解析 |z 2－2z ＋2z －1＋i |＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2.9.实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( ) A.30 B.15 C.25 D.100 答案 D解析 由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ，则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角). ∴x 2＋y 2的最大值为100.10.设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.12 答案 D解析 因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12. 11.如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( ) A.不存在 B.有一个 C.有三个 D.有四个 答案 C解析 (1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求.(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去).故共有三个. 12.已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A.2B.3C.4D.无数个 答案 B解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i. 二、填空题13.复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 . 答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝ . 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.15.已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝ .答案 16±156i解析 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6，即z 1z 2＝16±15i 6. 16.复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝ . 答案1－52解析 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数.设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2.又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52.三、解答题17.计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3.解 (1)i1＋i÷(1＋3i)2＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i)＝1＋i 2÷(－2＋23i)＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i ) ＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i.(2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i ＝－2＋2i －8＝1－i 4. 18.设z 是虚数，m ＝z ＋1z 是实数，且－1＜m ＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围. (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数.(3)结合(2)求m －u 2的最小值.(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， ∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.∵m 是实数，且y ≠0， ∴y －yx 2＋y2＝0，∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x . ∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y(1＋x )i.又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y1＋x≠0，∴u 为纯虚数.(3)解 m －u 2＝2x －⎝⎛⎭⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝⎛⎭⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3.∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0，∴2(x ＋1)＋21＋x－3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立.故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。

2014-2015学年高二下学期数学选修2-2综合 Word版含答案

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2014－2015学年下期选修2-2综合试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数212ii+-的共轭复数是( )． A ．35i - B .35i C ．i - D ．i2. 在用反证法证明命题“已知(),,0,2a b c ∈，求证()2a b -，()2b c -，()2c a -不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都小于1B ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都大于1C ．假设()2a b -，()2b c -，()2c a -都不大于1D ．以上都不对3.如图，由函数()xf x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．22e e - B ．221e e -+ C ．22e e - D ．221e e --4.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）A .(),2-∞B .()0,3C .()1,4D .()2,+∞5. 观察()2'2x x =，()43'4x x =，()cos 'sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -等于( )A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A ．16种B ．36种C ．42种D ．60种7. 定义域R 的奇函数()f x ，当(),0x ∈-∞时()()'0f x xf x +<恒成立，若()33a f =，()1b f =，()22c f =--，则( )A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a b c >>8. 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b R ∈，则0a b -=⇒a b =”类比推出“若a ，b C ∈，则0a b -=⇒a b =”；②“若a ，b ，c ，d R ∈，则复数a bi c di +=+⇒a c =，b d =”类比推出“若a ，b ，c ，d Q ∈，则a c +=+⇒a c =，b d =”；③“若a ，b R ∈，则0a b ->⇒a b >”类比推出“若a ，b C ∈，则0a b ->⇒a b >”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39.如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n (1n >，n N ∈)个点，每个图形总的点数记为n a344520142015999a a a a a a ++++= ( )“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A .130B .120C .90D . 60 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）11. 如果复数()()21m i mi ++(其中i 是虚数单位)是实数，则实数m =________.12. ()120xe x dx +=⎰________.13. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答) 14. 观察下列等式11= 2349++= 3456725++++= 4567891049++++++=…照此规律，第n 个等式为_________________________________________________．15. 下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）①若实数a ，b ，c 满足3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且1z =，则z i -的最大值等于2。

期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)

期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)

高二数学选修2-2、2-3期末检测试题命题：伊宏斌 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．1 3．定义运算a cad bc b d=-，则ii 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。

”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。

( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x fy =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（ ）7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( )A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以 的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条9、等比数列{a }n 中，120143,9a a ==，122014(x)(x a )(x a )....(x )f x a =---，'(x)f 为函数(x)f 的导函数，则'(0)f =（ ）A 0B 10073C 20163D 3021310.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A .120B .240C .710 D .360B第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共25分） 11（15）如果5025001250(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，那么1349a a a +++= ．12．设复数z 满足条件1z =，那么z i +取最大值时的复数z 为 ． 13．已知数列{}a n 为等差数列，则有，02321=+-a a a 0334321=-+-a a a aa a a a a 123454640-+-+=类似上三行,第四行的结论为__________________________。

人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx

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高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

人教A版选修2-3-(下)高二第二次考试.docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2014-2015学年度（下）高二第二次考试数学试题（文科）2015.05一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合=⋂B A C u )(（ ） A.{13}x x -≤< B.{13}x x -<<C.{1}x x <-D.{3}x x >2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于 （ ） A ．1 B ．35C ．2-D ．3 3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠C （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y5.已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >的离心率为2，则a 的值为 A.22B.12C.13D.336. 设定义在R 上的奇函数)(x f 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为A ．(4,0)(2,)-+∞B ．(0,2)(4,)+∞C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(4,4)-7. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为A ．43π B ．4π C ．0 D ．4π- 8. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ① 若α⊂m ，A l =⋂α，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l =⋂，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是 A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③ 9. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2C.21D.32 10. 已知()(),5,3,6,4==OB OA 且OB AC OA OC //,⊥，则向量OC 等于（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 D.⎪⎭⎫⎝⎛-214,72 11.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF = A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 12. 设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A. lg 2lg ,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．lg 20,2⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为____________.14. 正项等比数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于 ．15. 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ________________．16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 __________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中,13,a =481a =*()n ∈N .(Ⅰ)若{}n b 为等差数列,且满足2152,b a b a ==,求数列{}n b 的通项公式;Ⅱ)若数列{}n b 满足3log n n b a =,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（本题12分）某校卫生所成立了调查小组，调查 “ 按时刷牙与患龋齿的关系” ，对该校某年级700 名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有60 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有 140 名. (1) 能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下，认为该年级学生的按时刷牙与患龋齿有关系？ (2) 4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集， 另一组负责数据处理，求工作人员甲分到“ 负责收集数据组” 并且工作人员乙分到“ 负责数据处理组”的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ,2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上。

高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本：人教A版高中数学选修2-2

高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末复习讲义-版本：人教A版高中数学选修2-2

第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax ＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为 y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x 的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1. (2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b>b a.[证明] 因为b >a >e ，所以要证a b>b a，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －a x. 因为x >a >e ，所以ln a >1，且a x<1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0， 所以b ln a >a ln b ，故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：y ＝k x 2＋k ·820－x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′＝－2k x3＋16k 20－x3＝2k 9x 3－60x 2＋1200x －8000x 320－x 3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0； 又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0，∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A 到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。

2014—2015学年高二下期数学(理)选修2-2、2-3综合试题Word版含答案

2014—2015学年高二下期数学(理)选修2-2、2-3综合试题Word版含答案

2014～2015学年度下学期期中考试高二数学试卷（理）一、选择题（共12题，每小题5分，计60分）1．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 为 （ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-2．已知复数12,3iz i i+=-是虚数单位，则复数z 的虚部是 （ ） A ．110i B ．110 C ．710i D ．7103．曲线x x y 43-=在点)3,1(-处的切线倾斜角为 （ ）A ．43πB ．4πC ．32π D ．65π4．二项式)()12(4N n xx n ∈+的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．下列函数中，在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．)1ln(++-=x x y6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（ ） A ．33105C CB ．25410AAC ．515CD ． 42105C C7．设)(212111)(+∈+⋅⋅⋅++++=N n n n n n f ，那么)()1(n f n f -+等于 （ ） A ．121+n B ．221+n C ．++121n 221+n D ．221121+-+n n8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=241)(x x f )23()3(≤<≤x x ，则⎰-21)(dx x f 的值为( )A．3π+ B．2π+ C．6π+ D ．132π++9．甲乙丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排另外2位的前面，则不同的安排方法共有 （ ）A ．30种B ．40种C ．20种D ．50种10．设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图像可以为（ ）11．定义在R 上的函数()y f x =，满足1212(4)(),(2)()0f x f x x f x x x x x '-=-<<+若且>4，则有 ( ) A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x > C ．12()()f x f x = D ．不确定12．若函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，则函数)0)(1()(<-=a ax f x g 的单调减区间是 ( ) A ．)0,1(a B ．),0()1,(+∞⋃-∞a C ．)1,2(a a D ．),1()2,(+∞⋃-∞aa 二、填空题（共4小题，每题5分，计20分）13．将由直线2x y =与直线1=x 以及x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周形成的几何体的体积为 . 14．公共汽车上有4位乘客，其中任意两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个车站，那这4位乘客不同的下车方式共有 种. 15===，若=（,a b 均为实数），请推测a =____，b =____。

高中数学 第二章 随机变量及其分布学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

高中数学 第二章 随机变量及其分布学业质量标准检测练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

第二章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( C )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5X ，其中梅花的X 数服从超几何分布[解析] 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C ．2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( C )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[解析] 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111．3．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( A )A ．35 B ．815 C ．1415D ．1[解析] 由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×15＝15＝5．4．(2018·全国卷Ⅱ理，8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A ．112B ．114C ．115 D ．118[解析] 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115．故选C ．5．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04[解析] 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( C )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的[解析]X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1、2、3、4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310， P (X ＝3)＝12， P (X ＝4)＝16，∴选C ．7．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1,10x 2，…，10x n 的方差为( C )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10[解析] 因为数据ax i ＋b i (i ＝1,2，…，n )的方差是数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差的a 2倍，所以所求数据方差为102×0.01＝1.故选C ．8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3[解析] 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6.又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4·(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．指出下列随机变量是离散型随机变量的是( AB ) A ．小明回答20道选择题，答对的题数 B ．某超市5月份每天的销售额C ．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差XD ．某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X 围内变化，该水位站所测水位X [解析] A 项，小明回答的题数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量；B 项，某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量；C 项，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，D 项，不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X 围内变化，不能按次序一一列举．故选AB ．10．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C 2，下列说法中正确的是( ABC )A ．曲线C 2仍然是正态曲线B ．曲线C 1和曲线C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的期望大2D ．以曲线C 2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C 1为概率密度曲线的总体的方差大2 [解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标(即正态密⎭⎪⎫度函数的最大值12πσ不变，方差σ2也没有变化．设曲线C 1的对称轴为x ＝μ，那么曲线C 2的对称轴为x ＝μ＋2，说明期望从μ变到了μ＋2，增大了2．11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ACD )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12[解析] 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2， 则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2独立；在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为16，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；在D中，2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选ACD ．12．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( AD )A ．P (B )＝2330B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．事件B 与A 2事件相互独立D ．A 1，A 2互斥[解析] 由题意知P (A 1)＝35，P (A 2)＝25，P (B )＝P (B |A 1)＋P (B |A 2)＝35×56＋25×46＝＝2330，A 正确；又P (A 1B )＝12，因此P (A 1B )≠P (A 1)P (B )，B 错误；同理，C 错误；A 1，A 2不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则a ＝__0.2__，E (ξ)＝__1.8__.[解析] ；E (ξ)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．14．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B |A )＝__23__．[解析] 由条件知，P (A )＝34，P (AB )＝C 23C 24＝12，∴P (B |A )＝P AB P A ＝23．15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是__②④__(写出所有正确结论的序号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐，则A 1、A 2、A 3中任意两个事件不可能同时发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故④正确，易知P (A 1)＝12，P (A 2)＝15，P (A 3)＝310，又P (B |A 1)＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，故②对③错；∴P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④．16．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__625__.(用数字作答)[解析] 由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)．{a n }的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23(25)2(12)1＝625．四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23． P (B )＝1－P (B )＝13．(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49．(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127． 18．(本题满分12分)(2019·全国Ⅱ卷理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．[解析] (1)X ＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5．(2)X ＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1．19．(本题满分12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.[解析]E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81．工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61．由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．(本题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )． [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518．(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4， 则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142．因此X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2． 21．(本题满分12分)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考查得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为X ，Y ． (1)写出X 的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (X )，E (Y )；(2)求D (X )，D (Y )．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛． [解析] (1)X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×5＝2．由题意得，Y ～B (3，23)，E (Y )＝3×23＝2．(2)由(1)得E (X )＝E (Y )．D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25．∵Y ～B (3，23)，∴D (Y )＝3×23×13＝23．∴D (X )<D (Y )．因此，建议该单位派甲参加竞赛．22．(本题满分12分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．[解析] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的可能取值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115综上知，X 的分布列为：故E (X )＝0×715＋1×15＋2×15＝5．。

高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 章末检测题

高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 章末检测题

高中数学选修2-3第二章 随机变量及其分布 章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表格可以作为ξ的分布列的是( )【解析】根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D 正确． 【答案】D2．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227【解析】213124339P C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】A3．某射手射击所得的环数X 的分布列如下：如果命中8～10环为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6【解析】从分布列中不难看出该射手命中环数不小于8环的概率是0.3＋0.25＋0.05＝0.6.【答案】D4．某镇互不认识的甲、乙两个体老板准备在同一天在同一车站乘车进城进货，甲乘座第一班车的概率为0.7，乙乘座第一班车的概率为0.8，则其中至少有一人乘座第一班车的概率为( )A ．0.06B ．0.15C ．0.56D ．0.94【解析】P ＝1－0.3×0.2＝0.94. 【答案】D5．已知随机变量ξ的分布列为：又变量η＝4ξ＋3，则η的期望是( ) A.72 B.52 C ．－1D ．1【解析】E (ξ)＝－1×12＋0×18＋1×38＝－18E (η)＝4E (ξ)＋3＝4×18⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3＝52.【答案】B6．设X 是随机变量，且D (10X )＝90，则D (X )等于( ) A ．0.9 B ．9 C ．90D ．900 【解析】D (10X )＝100D (X )，∴90＝100D (X )，则D (X )＝0.9. 【答案】A7．若随机变量ξ的分布列为，其中m ∈(0,1)，则下列结果中正确的是( ) A ．E (ξ)＝m ，D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝n ，D (ξ)＝n 2 C ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ，D (ξ)＝m 2 【解析】∵m ＋n ＝1，∴E (ξ)＝n ＝1－m ，D (ξ)＝m (0－n )2＋n (1－n )2＝m －m 2. 【答案】C8．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]【解析】∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，∴5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝P (100＜X ≤120)． 【答案】C9．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15 【解析】由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n ，k ＝1,2,3，…，n ，∴P (1≤X ≤3)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，∴n ＝15.【答案】D10．已知某产品的次品率为0.04，现要抽取这种产品进行检验，则要使检查到次品的概率达到95%以上，至少要选的产品个数为( )A ．24B ．25C ．74D ．75【解析】由题意得1－(1－0.04)n ≥0.95，解得n ≥74. 【答案】C11．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫⎪⎝⎭B ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1056⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．C 11016⎛⎫⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．以上都不对【解析】P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010016⎛⎫ ⎪⎝⎭×1056⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 11016⎛⎫ ⎪⎝⎭×956⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 210216⎛⎫ ⎪⎝⎭×856⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】D12．有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是( )A.145B.110C.19D.25【解析】记“第一次抽到次品”为事件A ，第二次抽到次品为事件B .P (A )＝C 12C 19C 110C 19＝15，P (AB )＝C 12C 11C 110C 19＝145 ，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝19.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p ＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p ，所以不能通过考试的概率为1－p ， 易知ξ～B (6,1－p )，所以E (ξ)＝6(1－p )＝2.解得p ＝23.【答案】2314．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．【解析】P (B |A )＝P (AB )P (A ) ，∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝31012＝35.【答案】3515．中国乒乓球队可谓高手如云，在某届世乒乓赛中，有3名世界排名前10位的运动员，据专家分析每位运动员进入前四名的概率为45，那么这三名运动员恰有2名进入前4名的概率是________．【解析】P ＝C 23245⎛⎫⋅⎪⎝⎭15＝48125. 【答案】4812516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【解析】由题意得：p ＝12，P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，P (X ＝1)＝13×12×12×2＋23×12×12＝13，P (X ＝2)＝13×12×12＋23×12×12×2＝512，P (X ＝3)＝23×12×12＝16，∴ E (X )＝13×1＋512×2＋16×3＝53.【答案】53三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【解析】记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A )＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48， P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2 P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.18．(本小题满分12分)设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求随机变量X 的期望E (X )与方差D (X ).【解析】由0.5＋2a ＋3a ＝1，得a ＝0.1， 故X 的分布列为：∴E (X )＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.D (X )＝(－1＋0.2)2×0.5＋(0＋0.2)2×0.2＋(1＋0.2)2×0.3＝0.76.19．(本小题满分12分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X 的概率分布列及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X 的均值． 【解析】(1)X 的可能取值为1、2、3，P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝2×35×4＝310，P (X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110，故抽取次数X 的分布列为：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.(2)每次检验取到新球的概率均为35，故X ～B 35,5⎛⎫⎪⎝⎭，∴E (X )＝5×35＝3.20．(本小题满分12分)已知随机变量X 的正态曲线如下图所示，(1)求E (2X －1)，D 14X ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)试求随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率．【解析】由正态曲线知，随机变量X 的均值为120，标准差为5，即μ＝120，σ＝5. 因此E (2X －1)＝2E (X )－1＝239， D 14X ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝116D (X )＝2516.(2)由于μ＝120，σ＝5，μ－2σ＝110，μ＋2σ＝130，且随机变量在(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，所以随机变量X 在(110,130]范围内取值的概率是0.954 4.21．(本小题满分13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为：X 的数学期望为：E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”， X i (i ＝1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1) ＝320×320＋320×310＋310×320＝980. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 22．(本小题满分13分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 【解析】(1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35 ，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为：(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝25.。

【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：第三章章末检测卷(含答案解析)

【创新设计】高中数学人教版选修2-2配套练习：第三章章末检测卷(含答案解析)

章末检测卷（三）一、选择题 (本大题共12小题，每题 5 分，共60 分)1． i 是虚数单位，若会合S＝ { － 1,0,1} ，则 ()A ． i ∈ SB ．i 2∈ SC． i 3∈ S D.2∈ Si答案B2． z1＝ (m2＋ m＋ 1)＋ (m2＋ m－ 4)i， m∈ R， z2＝3－ 2i，则“m＝ 1”是“z1＝ z2”的 () A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件答案A由于 z1＝ z2，因此m2＋ m＋ 1＝ 3分析，m2＋ m－ 4＝－ 2解得 m＝ 1 或 m＝－ 2，因此 m＝ 1 是 z1＝ z2的充足不用要条件．3＋ i 等于()3． i 是虚数单位，复数1－iA ． 1＋ 2iB ．2＋ 4iC．－ 1－ 2i D． 2－ i答案A分析3＋i ＝(3 ＋i)(1 ＋ i) ＝2＋ 4i＝1＋2i.应选A.1－ i (1－ i)(1 ＋ i)2a－ i是纯虚数，则 a 等于 () 4．已知 a 是实数，1＋iA ． 1B．－ 1C. 2D．－ 2答案A分析a－i ＝(a－i)(1 － i) ＝(a－ 1)－ (a＋ 1)i是纯虚数，1＋ i (1＋ i)(1 － i)2则 a－ 1＝0， a＋ 1≠0，解得 a＝ 1.5．若 (x－ i)i ＝ y＋2i， x， y∈ R，则复数 x＋ yi 等于 () A ．－ 2＋ i B ．2＋ iC． 1－2i D． 1＋ 2i答案B分析∵ (x － i)i ＝ y ＋ 2i ， xi － i 2＝ y ＋2i ，∴ y ＝ 1， x ＝ 2，∴ x ＋yi ＝ 2＋ i.→ → →→6．在复平面内， O 是原点， OA ，OC ，AB 对应的复数分别为－ 2＋ i ，3＋ 2i,1 ＋ 5i ，那么 BC对应的复数为 ( )A ． 4＋ 7iB ．1＋ 3iC ． 4－4iD ．－ 1＋ 6i答案C分析→ → →由于 OA ， OC ， AB 对应的复数分别为－ 2＋ i,3＋ 2i ， 1＋ 5i ， → → → → → → BC ＝OC － OB ＝ OC － (OA ＋ AB)，→因此 BC 对应的复数为 3＋ 2i －[( －2＋ i) ＋ (1＋ 5i)] ＝ 4－ 4i. 7．若复数 z 知足 (3－ 4i)z ＝ |4＋ 3i|，则 z 的虚部为 ()44A ．－4B ．－5C ．4 D.5答案 D分析 设 z ＝ a ＋ bi ，故 (3－ 4i)(a ＋ bi) ＝ 3a ＋ 3bi － 4ai ＋ 4b ＝ |4＋ 3i|，因此3b － 4a ＝ 043a ＋ 4b ＝ 5；解得 b ＝ .58． i 是虚数单位，若1＋7i＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R)，则 ab 的值是 ()2－ iA ．－15B ． 3C ．－ 3D ．15答案 C分析1＋7i ＝(1＋ 7i)(2 ＋ i) ＝－ 1＋ 3i ，2－i5∴ a ＝－ 1，b ＝ 3， ab ＝－ 3.9．若 z 1＝ (x － 2)＋ yi 与 z 2＝ 3x ＋ i(x ， y ∈ R)互为共轭复数，则 z 1 对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案Cx － 2＝3x分析由 z 1， z 2 互为共轭复数，得，y ＝－ 1x ＝－ 1解得，因此 z 1＝ (x － 2)＋ yi ＝－ 3－ i.y ＝－ 1由复数的几何意义知z 1 对应的点在第三象限．10．已知 f(n)＝ i n －i － n的元素个数是 ()(n ∈ N * ) ，则会合 { f(n)}A ．2 B．3 C．4 D．无数个答案B分析f(n)有三个值0,2i，－ 2i.11．已知复数 z＝3＋i2， z 是 z 的共轭复数，则z·z 等于 () (1－ 3i)11A. 4B. 2C． 1D． 2答案A12．设 f(z) ＝z， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2)＝ ()A ． 1－ 3iB ．11i － 2C． i － 2D． 5＋ 5i答案D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．复平面内，若z＝m2(1＋ i)－ m(4＋ i) － 6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 ________．答案(3,4)分析∵ z＝m2－ 4m＋ (m2－ m－6)i 所对应的点在第二象限，m2－4m<0∴，解得 3<m<4.m2－m－ 6>014．给出下边四个命题：① 0 比－ i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋ yi＝ 1＋ i 的充要条件为 x＝ y＝ 1；④假如让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．此中真命题的个数是 ________．答案015．已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 ______．答案(1， 5)分析由题意得 z＝ a＋ i ，依据复数模的定义可知 |z|＝ a2＋ 1.由于 0< a<2，因此 1<a2＋ 1<5，故 1<a2＋ 1< 5.16．以下说法中正确的序号是________．2x－ 1＝ y①若 (2x－ 1)＋ i ＝ y－ (3－ y)i ，此中 x∈ R， y∈ ?C R，则必有；1＝－ (3－ y)② 2＋ i>1 ＋ i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；13⑤若 z＝，则 z ＋ 1 对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤2x－ 1＝ y分析由 y∈ ?C R，知 y 是虚数，则不建立，故①错误；两个不全为实数的复1＝－ (3－ y)数不可以比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，31故④错误；⑤中 z ＋1＝i3＋ 1＝i＋ 1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分)22，当 m 为什么值时，17． (10 分 )设复数 z＝ lg( m － 2m－ 2)＋ (m ＋3m＋ 2)i(1) z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需知足m2－ 2m－ 2>0，解得 m＝－ 2 或－ 1.即当 m＝－ 2 或－m2＋ 3m＋ 2＝ 01 时， z 是实数．m2－ 2m－ 2＝ 1(2)要使复数z为纯虚数，需知足2＋3m＋2≠0，m解得 m＝ 3.即当 m＝ 3 时， z 是纯虚数．18． (12 分 )已知复数z1＝ 1－ i， z1·z2＋ z 1＝ 2＋2i ，求复数z2.解由于 z1＝1－ i ，因此z 1＝ 1＋ i ，因此 z1·z2＝ 2＋ 2i － z 1＝2＋ 2i－ (1＋ i) ＝ 1＋ i.设 z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由 z1·z2＝ 1＋i ，得 (1－ i)( a＋ bi) ＝ 1＋ i，因此 (a＋ b)＋ (b－ a)i＝ 1＋ i，a＋ b＝ 1，解得 a＝0， b＝ 1，因此 z2＝ i.因此b－ a＝ 1(2＋ 2i) 419． (12 分 )计算： (1)－ 3i)5；(1 (2)(2 － i)( － 1＋ 5i)(3 － 4i) ＋2i.解(1)原式＝16(1＋ i) 44(1－ 3i)(1 － 3i)＝16(2i) 2(－ 2－ 2 3i)2 (1－ 3i)＝－64－ 16＝4(1＋ 3i) 2(1－ 3i)(1＋ 3i) ×4－4＝＝－ 1＋3i.(2) 原式＝ (3＋ 11i)(3 － 4i)＋ 2i＝53＋ 21i＋ 2i＝ 53＋ 23i.20． (12 分 )实数 m 为什么值时，复数z＝ (m2＋5m＋ 6)＋(m2－ 2m－ 15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线 x＋ y＋ 5＝0 上．解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方，则 m2－ 2m－ 15>0，解得 m<－3 或 m>5.(2)复数 z 对应的点为 (m2＋ 5m＋ 6，m2－ 2m－ 15)，∵ z 对应的点在直线x＋ y＋ 5＝ 0 上，∴(m2＋ 5m＋ 6)＋ (m2－ 2m－ 15)＋ 5＝ 0，整理得 2m2＋ 3m－ 4＝ 0，－3± 41解得 m＝4.21． (12 分 )已知复数z 知足 |z|＝2， z2的虚部是 2.(1)求复数 z；(2) 设 z，z2， z－z2在复平面上的对应点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．222 22 解 (1)设 z＝ a＋ bi( a， b∈R) ，则 z ＝ a －b ＋2abi，由题意得 a ＋ b ＝ 2 且 2ab＝2，解得 a＝ b＝ 1 或 a＝b＝－ 1，(2)当 z＝1＋ i 时， z2＝ 2i， z－ z2＝ 1－ i，因此 A(1,1)，B(0,2)， C(1，－ 1)，因此 S△ABC＝ 1.当 z＝－ 1－ i 时， z2＝2i ，z－ z2＝－ 1－ 3i，因此 A(－ 1，－ 1)， B(0,2)， C(－ 1，－ 3)，因此 S△ABC＝ 1.122． (12 分 )设 z1是虚数， z2＝ z1＋z1是实数，且－1≤z2≤ 1.(1)求 |z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z1，求证：ω为纯虚数．1＋ z1(1) 解设 z1＝ a＋ bi(a，b∈ R 且 b≠0)，则 z2＝ z1＋1＝a＋ bi＋1＝ (a＋2a2)＋( b－ 2b2)i. z1a＋ bi a＋ b a＋ b由于 z2是实数， b≠0，于是有 a2＋ b2＝ 1，即 |z1|＝ 1，还可得 z2＝ 2a.11[ －11由－ 1≤z2≤1，得－ 1≤2a≤1，解得－≤a≤，即 z1的实部的取值范围是，]．2222(2) 证明1－ z1＝1－ a－ bi ω＝1＋ z11＋a＋ bi1－ a2－ b2－ 2bi b＝2＋ b 2 ＝－i.(1＋ a)a＋ 111由于 a∈ [－， ] ， b≠0，因此ω为纯虚数．22。

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第三章一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析： z 1－z 2＝5－7i. 答案： D2．复数1－7i1＋i 的虚部为( )A ．0B ． 2C ．4D ．－4 解析： ∵1－7i 1＋i ＝(1－7i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案： D3．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3； ③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析： 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是不正确的； 假设z 1＝i ，z 2＝0，z 3＝1，若(i －0)2＋(0－1)2＝0，则i ＝1，显然是错误的，故②是不正确的；假设x ＝－1，则x 2＋3x ＋2＝0，故③是不正确的；假设a ＝b ＝0，则(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故④是不正确的． 综上可知：①②③④均不正确，故选A. 答案： A4．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析： 由题意知z ＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ， 从而z ＝1－3i ，选B. 答案： B5．在复平面内，复数z ＝i 2(1＋2i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 复数z ＝i 2＋2i 3＝－1－2i ，复数对应的点为(－1，－2)，则复数z 对应的点在第三象限，选C.答案： C6．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－1或3解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3，选B.答案： B7．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －i 等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析： z 2－2z z －i ＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －i ＝2i －2－2i1＝－2，选D.答案： D8．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i(a ∈R )对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析： 由点Z 在虚轴上可知，点Z 对应的复数是纯虚数和0，故a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.故选D.答案： D9．已知a ，b ∈R ，命题甲：a ＋b i 是纯虚数；命题乙：a ＝0，则甲是乙成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，于是甲是乙的充分但不必要条件，选A.答案： A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1. 答案： A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x ＋4y |的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析： 由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x ＋4y ≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.答案： C12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个解析： f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________． 解析： 由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案： 414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案： 115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析： ∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案： 2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．解析： 先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10 ＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方？解析： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1.(3)由题意知，m 2－2m －15>0，解得m >5，或m <－3.19．(本小题满分12分)在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C ，D 对应的复数．解析： 设D (x ，y )，A ，B ，C ，D 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，则z 4－z 1＝x －1＋(y －2)i ，z 2－z 1＝2－7i.在正方形ABCD 中，AD ⊥AB ，且|AD |＝|AB |，z 4－z 1表示AD →，z 2－z 1表示AB →，∴|z 4－z 1|＝|z 2－z 1|，即 x 2＋y 2－2x －4y －48＝0. ①(x －1)·2－7(y －2)＝0， 即2x －7y ＋12＝0.②①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4.又BC →＝AD →， 则z 3－z 2＝z 4－z 1，z 3＝z 4＋z 2－z 1＝(x ＋2)＋(y －7)i.综上可得⎩⎪⎨⎪⎧ z 3＝－4－7i ，z 4＝－6，或⎩⎪⎨⎪⎧z 3＝10－3i ，z 4＝8＋4i.20．(本小题满分12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，对于复数w＝(z ＋a i)2，当a 为何值时，w 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解析： 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2，z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i.由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵w ＝(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， (1)w 为实数，则a －2＝0，∴a ＝2， 即w ＝12＋4×2－22＝16.(2)w 为虚数，只要a －2≠0，∴a ≠2.(3)w 为纯虚数，只要12＋4a －a 2＝0且a －2≠0， ∴a ＝－2或a ＝6.21．(本小题满分13分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.解析： (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i.(2)ω＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )·(2－i )(2＋i )·(2－i )＝7－i 5＝75－15i ∴|ω|＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152＝ 2.22．(本小题满分13分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2，z 所对应的点A 在第一象限．(1)求z ；(2)若 z ，z 2，z －z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC . 解析： (1)令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． ∵|z |＝2， ∴x 2＋y 2＝2.①又∵z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ， ∴2xy ＝2， ∴xy ＝1.②由①②可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.∴z ＝1＋i ，或z ＝－1－i. 又∵x ＞0，y ＞0，∴z ＝1＋i. (2)z 2＝(1＋i)2＝2i ， z －z 2＝1＋i －2i ＝1－i. 如图所示，∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴BA →＝(1，－1)，BC →＝(1，－3)， ∴cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝1＋32·10＝425＝255.。

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