拓展练习1_二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第一课时)-优质公开课-华东师大9下精品
新人教版初中数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质公开课优质课课件
讲授新课
一 二次函数y=ax2的图象
典例精析
例1 画出二次函数y=x2的图象. 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
O x
a<0 y O
x
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) ; 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
例2
的图象．
1 2 在同一直角坐标系中，画出函数 y x , y 2 x 2 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
1 2 · · · x 8 2
0.5
0
x
· · · －2 －1.5 －1 －0.5 0
· · · · · ·
y 2 x2 · · · 8
《二次函数的图象与性质》(第1课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第1课时教学设计一、教学目标1．经历探索二次函数y=x2图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.2．能用描点法画出二次函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质，说出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3．建立二次函数表达式与图象之间的练习，理解表达式中的系数对图象的影响.二、教学重点及难点重点：二次函数y=x2与y=-x2的图象特点．难点：二次函数y=x2的图象特点的探索过程．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《一次函数复习》动画，《画二次函数y=x2图象》动画，《二次函数y=x2图象》图片，《画二次函数y=-x2图象》动画，《二次函数y=-x2图象》图片.五、教学过程【复习引入】1．回忆一次函数的性质是如何研究的?一次函数的图象是什么？师生活动：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质，一次函数的图象是一条直线．2．通过研究一次函数性质，利用类比的方法来研究二次函数的性质。
先研究什么?二次函数的图象是什么呢?师生活动：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，二次函数的图象是我们这节课将要学习的内容．设计意图：复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质作铺垫．【探究新知】做一做画出二次函数y=x2的图象．师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维。
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
《第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究 探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象 y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如以下图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质 点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，那么y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，y 随x 的增大而增大，(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比拟二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比拟；②图象法；③根据函数的增减性进行比拟，但当要比拟的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比拟． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.4．5 一次函数的应用第1课时 利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？ 二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图． (1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费； (2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式； (3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？ 解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量． 解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元； (2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t. 方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：元，那么这两种水果各购进多少千克？ (2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)． 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质(公开课)
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
-3 · · ·
综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质(1、2)》教学课件
y=x2+1的图象的顶点坐标是
（0，1）． 只要将 y=x2 的图象向 上平移１个单位，就可以得 到 y=x2+1 的图象．
(2)二次函数 y=x2－2的
图象与二次函数 y=x2的图 y=x2 y= x2-2
象有什么关系？它是轴对称
图形吗？它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么？
答：二次函数 y=x2-2的
抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系
抛物线 y=ax2+c 与 y=ax2 形状相同，位置不 同．把抛物线y=ax2向上或向下平移，可以得到抛 物线 y=ax2+c. 当 c > 0 时，把抛物线 y = ax2 向上平移 c
个单位得到；当 c < 0 时，把抛物线 y = ax2 向
下平移
|c| 个单位得到． 简称“上，开口方向、对称轴也都 相同，但顶点坐标不同，
y=x2-2的图象的顶点坐标是
（0，-2）． 只要将 y=x2的图象向下 平移 2个单位，就可以得到
y=x2-2的图象．
抛物线y=ax2+c有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上 当a<0时，开口向下 （2）对称轴是 y 轴 （3）顶点坐标是（0，c)
(1)二次函数 y=x2+1的
图象与二次函数 y=x2 的图
象有什么关系？它是轴对称 图形吗？它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么？ 作图看一看．
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y= x2+1
y= x2
-3 -2 -1 O
1 2 3 x
答：二次函数 y=x2+1的
图象与 y=x2的图象形状相 同，开口方向、对称轴也都 相同，但顶点坐标不同，
九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)》
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
素养考点 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②
2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
探究新知 知识点 3Fra bibliotek22.1 二次函数的图象和性质
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数 图象的性质填空：
y
y
k1 _＜__ 0
k3 _＞__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
k2 _＞__ 0 b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
y=k3x+b3
x2
-
6x
21
y 1 (x 6)2 2
2 4 6 8x
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
【思考5】 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其
2
性质.
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
开口方向： 向上. 对称轴： x=6. 顶点： (6,3).
例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ A ） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）方法点拨：把函数的一般 B．开口向下，顶点坐标为（1，4） 式化为顶点式，再由顶点 CD．．开开口口向向上下，，顶顶点点坐 坐标标为为（（1﹣，14，）﹣4）式 顶确 点定 及开其口他方性向质、. 对称轴、 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
《二次函数的图像和性质》第一课时教案 (1)
5.4二次函数的图像和性质(1)教材分析：本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计：本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质.学习目标：知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质．2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数形结合思想的应用.情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性．学习重难点：重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件教学过程：知识回顾：一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢?2．如何得到相应的性质呢?【设计意图】：通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用.合作探究一: 二次函数y=ax 2(a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图： k y x请A组同学同桌合作画函数y=x2的图象；请B组同学同桌合作画函数y= 1/2x2的图象归纳: 二次函数y=ax2 (a>0)的性质合作探究二: 二次函数y=ax2 (a<0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图：请A组的同学同桌合作在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数y=-x2的图象，并观察；请B组同学同桌合作在和抛物线y=-1/2 x2同一坐标系中画函数y=-1/2 x2的图象，并观察.归纳: 二次函数y=ax2 (a<0)的性质【设计意图】：在探索性质时，利用课件展示给学生图形，在验证学生图形画的准确的前提下，给出学生一定的提示，从那几个方面进行探索，并先让学生自己探索，然后再与同学交流，这样即锻炼了学生的自学与归纳能力，又培养了学生的合作意识.当堂检测：1．对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( )A．当x取任何实数时，y的值总是正的 B．x的值增大，y的值也随着增大C．x的值增大，y的值随着减小 D．图像关于y轴对称2．分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对称轴与顶点坐标.3．如何根据函数的图象，(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；(2)利用图象，求的√3值(精确到0.1).4．已知二次函数y=ax2的图象如图，x1<x2，则对应的y值y1,y2大小关系为y1____y25．观察上面画的图象回答：（1）在对称轴右边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的增大而______课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2的图象和性质作业:课本 P.33第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(1) 知识回顾：合作探究一:二次函数y=ax2(a>0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a>0)的性质合作探究二:二次函数y=ax2(a<0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a<0)的性质。
2022年初中数学《二次函数y=ax2的图象和性质1》精品教案》公开课教案
21．2二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运发动投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2的图象【类型一】画二次函数y＝ax2的图象在同一平面直角坐标系中，画出以下函数的图象：①y＝12x2；②y＝2x2；③y＝－12x2；④y＝－2x2.根据图象答复以下问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如以下图．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．应选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，那么a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如以下图，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象答复以下问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比拟y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比拟y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比拟，是一种比拟常用的方法．解：(1)图象如以下图，由图象可知y 1＞y 2；(2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数y ＝ax 2的最值函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】利用二次函数y ＝ax 2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm 2－m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：此题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如以下图的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否平安通过此桥？假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，那么D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ＝＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能平安通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车平安通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧图象⎩⎪⎨⎪⎧画y ＝ax 2图象y ＝ax 2图象的形状、特点性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而减小当x >0时，函数y 随x 的增大而增大当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0a <0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而增大当x >0时，函数y 随x 的增大而减小当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值＝0，且y 没有最小值，即y ≤0教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．第2课时用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数复原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2021年6月18日中商网报道，一种重量为千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人用科学记数法可表示为()A×10－4×10－5×10－5D．106×10－6解析：×10－4.应选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数复原为原数用小数表示以下各数：(1)2×10－7; ×10－5；×10－3; ×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7×10－5＝0.0000314；×10－3＝0.00708；×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n复原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活泼，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量。
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
《二次函数y=ax2+bx+c图像和性质》优质课一等奖课件
向下 Y轴 （0,2）
向上 直线x=-2 （-2，-5 ）
a>0向上， a<0向下
直线x=h
（h，k ）
预习案引入：
不画图象，你能直接说出二次函数 y=3x2+12x+7的图象性质吗？
y=3x2+12x+7
配方法
y=3 (x+2)2-5
二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（1）
y
o
x
1、能通过配方把二次函数 化成 的形 式，从而确定开口方向、对称轴和 顶点坐标。
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
2、经历推导求二次函数一般式顶点 公式 的的过程，从而确定开口方向、 对称轴和顶点坐标。
3、通过两种不同函数表达式互换， 体验探究的乐趣。
探 探究究要要求求：：
1、思考为什么要把一般式化成顶点 式？ 2、把y=ax2+bx+c化成 y a(x h)2 k 时有哪些步骤和注意事项？ 3、结合第5题思考画抛物线 y=ax2+bx+c有哪些注意事项？
2
b 2a
3 2
1
3
2
2 4ac b2
4 1 5 32 2 2
4a
4 பைடு நூலகம்1
2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
方法归纳
1
配方法
2 公式法
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时课件华东师大
1.下列关于二次函数y=-3x2+2的图象和性质的说法正确的是 ()
(A)开口方向向下,顶点坐标为(0,0) (B)开口方向向上，对称轴为y轴 (C)y随x的增大而增大 (D)当x>0时，y随x的增大而减小
【解析】选D.根据二次函数y=ax2+k的图象和性质,由-3<0可知 开口方向向下,顶点坐标为(0,2),对称轴为y轴;当x>0时,y随x的 增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大.
函数变化
当x＞0时,y随x的增大 而_增__大__；当x＜0时,y 随x的增大而_减__小__
当x＞0时,y随x的增大 而_减__小__；当x＜0时,y 随x的增大而_增__大___
最值
当x=_0_时,y最小值=_k_
当x=_0_时,y最大值=_k_
【点拨】k的符号决定抛物线的顶点在x轴的上方还是下方．
y 1 x2 13 ,一辆车高3 m,宽4 m,该车______(填写“能”
84
或“不能”)通过隧道.
【解析】在 y 1 x中2 ,13
84
当y=3时, 1 x2 1,解3＝得3 ：
84
x=± 2,所以宽是 2 ＜24mm,即不能通过．
答案：不能
6.如图,某大学校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度 为8 m,两侧距地面4 m高处各挂一个牌匾,且两牌匾顶部的水平 距离为6 m,则该大学校门的高度约是多少?(精确到 0.1,建筑厚 度不计)
【跟踪训练】
1.(2012·兰州中考)抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )
(A)直线 x 1
2
(C)y轴
(B)直线 x 1
2
(D)直线x=2
【解析】选C.根据二次函数y=ax2+k的性质可知y=-2x2+1的对称
北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质》公开课教案_1
2.2.4二次函数的图象和性质教学设计学情分析：本节课在前面学习二次函数y=a(x-h)2+k图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质进行学习。
主要的学习方法是通过配方将y=ax2+bx+c 向y=a(x-h)2+k转化。
前面学过用配方法解一元二次方程，了解方程配方的基本过程，但是把y=ax2+bx+c配方成y=a(x-h)2+k，学生理解和掌握还需要一个过程。
前面多节课都采用画函数图象的方法来研究函数性质，学生已经基本具备这种学习函数图像和性质的思路和方法，这些都为本节课的进一步学习打下了基础。
设计理念：本节课遵循“探索—学习—运用”即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，由旧知识类比得新知识，进一步学习一般形式的二次函数图象及其性质。
教学方法与学习指导策略建议贯彻从特殊到一般的思想：整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，激励学生主动学习，在独立练习中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．特殊到一般引入充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．学习目标根据新课程目标要求、本单元的教学目标和学生已有的知识经验，联系本节课的内容，本节课的教学目标确定为：1、能用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式。
2、会根据配方式熟练地说出二次函数的顶点坐标、对称轴及函数值的增减性。
3、利用二次函数y=ax2+bx+c 的图像及性质解决实际问题。
学习重难点以及分析学习重点：会用配方法把二次函数一般形式化成顶点式，并熟练地指出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性。
配方法在前面学习解一元二次方程的时候，学生已有所认识，但不是要求重点掌握的内容，本堂课让学生通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式仍有一定的难度，特别是面对一般形式要想到把它化为顶点式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的。
在转化过程中学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。
同课异构《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》公开课教案 (省一等奖)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时配方法求二次函数解析式1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.3.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.【重点难点】1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.【新课导入】1.学习了二次函数的几种特殊形式(1)y=ax2;(2)y=ax2+k;(3)y=a(x-h)2;(4)y=a(x-h)2+k.2.我们能否将y=ax2+bx+c变形为上述特殊形式,再研究此函数的特征?【课堂探究】一、利用配方法把y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式1.将二次函数y=-x2-2x-2配方后得( D )(A)y=-(x-1)2-3 (B)y=-(x+1)2-3(C)y=-(x-1)2-1 (D)y=-(x+1)2-12.假设二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,那么b、k 的值分别为( D )(A)0,5 (B)0,1 (C)-4,5 (D)-4,1二、y=ax2+bx+c的图象的画法及性质3.(2021河南)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,假设y随x的增大而增大,那么x的取值范围是( A )(A)x<1 (B)x>1(C)x<-1 (D)x>-14.二次函数y=-x2+6x-10.(1)用配方法将它改写成y=a(x-h)2+k的形式;(2)说出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)画出其图象;(4)说出其图象与二次函数y=-x2的图象的关系.解:(1)y=-x2+6x-10=-(x2-12x+20)=-(x2-12x+36-36+20)=-[(x-6)2-16]=-(x-6)2+8.(2)∵a=-<0,∴其图象的开口向下;∵h=6,k=8,∴其图象的对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,8).(3)列表:x … 4 5 6 7 8 …y … 6 8 6 …描点、连线得到该函数的图象,如以下图.(4)将二次函数y=-x2的图象向右平移6个单位,再向上平移8个单位即得到二次函数y=-x 2+6x-10的图象;反之,也可以说成将二次函数y=-x2+6x-10的图象向左平移6个单位,再向下平移8个单位即得到二次函数y=-x2的图象.1.y=ax2+bx+c=a x+2+ 对称轴是直线x=-;顶点坐标为-,. 2.y=ax2+bx+c(1)当a>0时,y有最小值, 当x=-时,y最小值=.(2)当a<0时,y有最大值, 当x=-时,y最大值=.1.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是( A )(A)(- 1,8) (B)(1,8)(C)(-1,2) (D)(1,-4)2.抛物线y=-2x2+12x-13,那么此抛物线( D )(A)开口向下,对称轴为直线x=-3(B)顶点坐标为(-3,5)(C)最小值为5(D)当x>3时,y随x的增大而减小3.(2021嘉兴)假设一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),那么抛物线y=ax2+bx的对称轴为( C )(A)直线x=1 (B)直线x=-2(C)直线x=-1 (D)直线x=-44.二次函数y=ax2+bx+c的图象如以下图,那么以下关于a,b,c间的关系判断正确的选项是( D )(A)ab<0(B)bc<0(C)a+b+c>0(D)a-b+c<05.二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).(1)求二次函数的关系式;(2)要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移多少个单位? 解:(1)由,有即解得∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-1-3=(x-1)2-4.∴y=x2-2x-3的图象向上平移4个单位后得y=(x-1)2,开口向上,顶点(1,0),与x轴只有一个交点.第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1.理解并掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法.2.会利用不同的条件,得出二次函数关系式.【重点难点】掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法.【新课导入】1.求一次函数解析式y=kx+b需要两点坐标,求反比例函数解析式y=只需一个点坐标.2.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,需要什么条件呢?【课堂探究】一、用待定系数法求顶点式解析式1.某二次函数的图象如以下图,那么这个二次函数的解析式为( D )(A)y=2(x+1)2+8 (B)y=18(x+1)2-8(C)y=(x-1)2+8 (D)y=2(x-1)2-82.(2021安徽)二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式. 解:设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a≠0),∵二次函数的图象经过原点(0,0),∴a·(0-1)2-1=0,∴a=1,∴该函数的解析式为y=(x-1)2-1(或y=x2-2x).二、用待定系数法求一般式解析式3.二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2),求此二次函数解析式.解:设二次函数关系式为y=ax2+bx+c,由,可得解这个方程组,得a=2,b=-1,c=-1.所求二次函数的关系式是y=2x2-x-1.4.当x=1时,y=0;x=0时,y=-2;x=2 时,y=3.求此二次函数解析式.解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,根据题意得,解得∴二次函数解析式为y=x2+x-2.1.求顶点式y=a(x-h)2+k的解析式(1)顶点坐标,可知h,k的值,只需再有一个点的坐标求a值即可.(2)对称轴或函数的最值时,可选用顶点式,还需其他两个点坐标(或两个条件)求解. 2.求一般式y=ax2+bx+c的解析式(1)图象上三个点的坐标,代入解三元一次方程组即可.(2)列表或三组x,y的对应值,代入解三元一次方程组即可.1.(2021上海)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( C )(A)y=(x-1)2+2 (B)y=(x+1)2+2(C)y=x2+1 (D)y=x2+32.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,那么( A )(A)b=3,c=7 (B)b=6,c=3(C)b=-9,c=-5 (D)b=-9,c=213.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于( D )(A)4 (B)8 (C)-4 (D)164.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)与(-1,4),那么a+c的值是 3 .5.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),那么二次函数的解析式是y=x2-4x+3 .6.:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.求这个函数关系式.≠0时,Δ=1-4a=0,a=,此时,图象与x轴只有一个公共点.∴函数的解析式为y=x+1或y=x2+x+1.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
人教版九年级上册(新)数学同步教案22.1.4二次函数y=ax2bxc的图像和性质(第1课时)
22.1二次函数的图象和性质(第5课时)一、内容和内容解析1．内容二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质．2．内容解析本节课在讨论了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的基础上对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质进行研究．主要的研究方法是通过配方将y＝ax2＋bx＋c向y＝a(x－h)2＋k转化，体会知识之间内在联系．在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a＞0和a＜0的情况，再从特殊到一般得出y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过配方将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．二、目标和目标解析1．目标(1)理解二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k之间的联系，体会转化思想．(2)通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：会通过配方将数字系数的二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，经历画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一般过程，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，进一步体会转化思想．达成目标(2)的标志是：经历通过观察二次函数图象得出二次函数性质的研究过程，进一步体会数形结合思想．三、教学问题诊断分析在本节课前，学生已经探究过二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．面对形如y＝ax2＋bx＋c的二次函数，要想到将其转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的．在将y＝ax2＋bx＋c通过配方化为y＝a(x－h)2＋k时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆．基于以上分析，本节课的教学难点是：如何想到将y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k的形式来研究它的图象和性质．四、教学过程设计1．探索二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质 问题1 如何研究二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质？ 师生活动：教师出示问题，引导学生先讨论方法，暂不具体操作．学生可能会根据已有知识经验回答先描点画图象，再观察图象研究性质．此时，教师可以利用几何画板带着学生一起取点画画看，目的是让学生体会不能盲目操作．研究过程中学生若无思路，教师可给出提示．教师追问1：你研究过哪种形式的二次函数的图象和性质？教师追问2：你打算如何研究二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象和性质？ 师生活动：关注学生能否想到将y ＝21x 2－6x ＋21转化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式． 教师追问3：如何将y ＝21x 2－6x ＋21转化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式？ 师生活动：教师引导学生观察：两个等式右边的多项式结构各有什么特点？之前学过的什么方法能达到这个目的？教师与学生一起进行配方变形，教师展示配方的具体过程：y ＝21x 2－6x ＋21 ＝21(x 2－12x ＋42) ＝21(x 2－12x ＋36－36＋42) ＝21(x －6)2＋3． 追问4：你能画出二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的图象了吗？ 师生活动：关注学生能否从平移y ＝21x 2图象的角度解决此问题． 将y ＝21x 2的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度． 设计意图：构建y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的探究思路，明确通过配方进行转化的方法及具体过程．问题2 如何直接画y ＝21x 2－6x ＋21的图象？ 师生活动：教师出示问题，若学生回答描点可提出以下问题.教师追问：如何描点更有针对性？师生活动：教师关注学生是否知道：在配方转化的基础上，确定顶点，利用图象的对称性画出图象．设计意图：感受画y ＝21x 2－6x ＋21的图象的一般过程：首先通过配方将解析式化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，然后确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，最后利用对称性描点连线．问题3 观察图象，二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的性质是什么？ 师生活动： 教师关注学生能否正确描述这个二次函数的性质，是否能够准确地分段说明．设计意图：体会数形结合的研究函数性质的方法，提高学生观察、分析、概括的能力．2．探索二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的图象和性质问题4 你能用上面的方法讨论二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1的图象和性质吗？师生活动：学生独立完成，教师关注学生能否正确进行配方，并展示配方的详细过程．y ＝－2x 2－4x ＋1＝－22122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－ ＝－2212112x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋－－ ＝－2()2312x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋－ ＝－2(x ＋1)2＋3．若学生在探究过程出现问题，引导学生类比二次函数y ＝21x 2－6x ＋21的探究过程和方法寻找解决策略．设计意图：研究a ＜0的一个具体函数的图象和性质，体会研究函数图象和性质的一般方法．3．探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质问题5 你能说说二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质吗？师生活动：师生共同将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，确定图象的对称轴和顶点．观察图象得出：对于一般的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞0，当 x ＜－2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－2b a时，y 随x 的增大而增大．如果a ＜0，当x ＜－2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－2b a时，y 随x 的增大而减小． 设计意图：由特殊到一般地体验，观察、分析出二次函数的图象和性质．4．巩固练习(1)教科书第39页练习．(2)二次函数y ＝－2x 2＋4x －1，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小．师生活动：在第(1)题中，根据a 的正负确定抛物线的开口方向，直接根据系数确定对称轴和顶点．在第(2)题中，先确定顶点的横坐标，再考虑a 为负数填空．设计意图：通过练习加深对所学知识的理解．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课研究的主要内容是什么？(2)我们是怎么研究的(过程和方法是什么)？(3)在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结理清二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的研究内容和研究方法．让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法．6．布置作业教科书习题22.1第6，7题．五、目标检测设计1．已知二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5，用配方法将其化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为 ． 设计意图：考查学生将数字系数的二次函数配方化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式的掌握情况．2．写出二次函数y ＝－21x 2－2x ＋1图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，并画出图象． 设计意图：考查学生对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象特征的理解． 3．已知二次函数y ＝－21x 2－2x ＋1，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小．设计意图：考查学生对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质的掌握情况．。