一次函数的关系式

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怎样求一次函数关系式

怎样求一次函数关系式？广东林伟杰一次函数关系式)0(≠+=k b kx y 中有两个待定系数k 和b ，确定了它们就确定了一个一次函数，故一般需要两个条件才能确定一个一次函数.现结合实例介绍求一次函数关系式的方法，供同学们学习时参考.一、利用代入坐标法求一次函数关系式例1 已知一次函数的图象经过（1,5）和（3,9）两点，求此一次函数关系式. 分析：先设函数关系式为b kx y +=，然后代入坐标建立方程组，求出方程组的解后再代回所设关系式即可.解：设所求函数关系式为b kx y +=，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=,39,5b k b k 故⎩⎨⎧==.3,2b k 故所求的函数关系式是32+=x y .点评：图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对对应值，据此可通过建立二元一次方程组来求一次函数关系式.二、根据直线间的位置关系求一次函数关系式例2 某一次函数的图象过点（2,1）且与直线32+-=x y 相交于y 轴上的同一点，求此一次函数的关系式.分析：因直线32+-=x y 与y 轴的交点是（0,3），故设函数关系式为3+=kx y ，代入点（2,1）可求出k ，进而可得关系式.解：因直线32+-=x y 交y 轴于点（0,3），故某一次函数的图象也与y 轴相交于点（0,3），故设其关系式为3+=kx y ，代入点（2,1），得321+=k ，故1-=k ，故关系式为3+-=x y . 点评：由已知条件得出图象与y 轴的交点坐标，进而正确设出所求关系式是解本题的关键.三、根据表格信息求一次函数关系式例3 商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请根据表中提供的信息求出y 与x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.分析：由表可知，当1=x 时， 4.08+=y ；当2=x 时，)4.08(28.016+=+=y ；当3=x 时，)4.08(32.124+=+=y ；当4=x 时，)4.08(46.132+=+=y ；…… 故x x y 4.8)4.08(=+=.解：由表中信息可求得函数关系式是x x y 4.8)4.08(=+=（正比例函数是一次函数的特例）.当5.2=x 千克时，214.85.2=⨯=y （元）.四、根据图象信息求一次函数关系式例4 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，若超过规定，则要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示，试求出y 与x 之间的函数关系式并求出自变量x 的取值范围.分析：由图象可知，直线过点（60,6）和（80,10）两点，据此即可求出y 与x 间的函数关系式.解：设函数关系式为b kx y +=，因为图象过点（60,6）和（80,10），则有⎩⎨⎧+=+=,8010,606b k b k 故⎪⎩⎪⎨⎧-==.6,51b k 故函数关系式是 651-=x y .令0=y ，得30=x ，故自变量x 的取值范围是x ≥30点评：直线与x 轴的交点的横坐标就是可免费携带行李的最大重量.解决本题的关键是读懂题意.此外，通过本题要注意掌握实际问题中自变量取值范围的确定方法，它包括：（1）使关系式有意义；（2）符合实际问题的需要.五、根据一次函数的性质求其关系式例5 一次函数b kx y +=的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，求此一次函数的关系式.分析：对一次函数b kx y +=，若y 随x 的增大而增大，则由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求其关系式；若y 随x 的增大而减小，则由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求其关系式，故本题应分两种情况求解.略解：本题应分两种情况来解.设所求关系式为b kx y +=.（1）当y 随x 的增大而增大时，由题意知其图象过点（-3,-5）和（6,-2），由此可求得关系式是431-=x y (-3≤x ≤6)；（2）当y 随x 的增大而减小时，由题意知其图象过点（-3,-2）和（6,-5），由此可求得关系式是331--=x y (-3≤x ≤6). 点评：本题题设只给出了一次函数的自变量与函数值的取值范围，在这种情况下应根据一次函数的性质来求其关系式，否则极易造成漏解.x。

一次函数讲解

一次函数讲解一次函数是初中数学中最基础、最简单的函数之一。

它是一种线性函数，由一个常数和一个一次项组成。

在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义、图像、性质、应用以及解题技巧。

一、定义一次函数也称为线性函数，其定义为：f(x) = kx + b，其中k 和b分别是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

其中，k称为函数的斜率，b称为截距。

二、图像一次函数的图像是一条直线。

其中，斜率k表示这条直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

截距b表示直线与y轴的交点。

三、性质1.一次函数是一种线性函数，其图像是一条直线。

2.斜率k表示直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

3.截距b表示直线与y轴的交点。

4.一次函数的自变量和因变量成正比例关系。

5.一次函数的定义域为实数集，值域为实数集。

四、应用1.物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化规律。

2.经济学中，一次函数可以用来描述商品价格、销售量等经济变量的关系。

3.工程学中，一次函数可以用来描述电压、电流等工程量的变化规律。

4.统计学中，一次函数可以用来描述数据的线性趋势。

五、解题技巧1.求斜率k：斜率k可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来求得。

2.求截距b：截距b可以通过直线与y轴的交点来求得。

3.求函数解析式：可以通过已知的两个点的坐标来求得函数解析式。

4.求函数值：可以直接代入自变量的值来求得函数值。

六、例题解析1.已知一次函数y = 2x + 3，求当x = 5时的函数值。

解：将x = 5代入函数中，得到y = 2 × 5 + 3 = 13。

因此，当x = 5时，函数值为13。

2.已知一次函数y = kx + 2，当x = 3时，y = 5；当x = 4时，y = 8。

求函数解析式。

解：根据已知条件，可以列出如下方程组：k × 3 + 2 = 5k × 4 + 2 = 8解得k = 1。

根据图象求一次函数关系式

第 1 页共 2 页根据图象求一次函数关系式一次函数的图象可以直观地表示出一次函数的特征，利用一次函数的图象上的信息，可以求出一次函数的关系式．请看以下几例．例1 图1，1l ，2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y （费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间x （小时）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（1）根据图象分别求出1l ，2l 的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）．解：（1）设直线1l 的关系式为112y k x =+，由图象得：1175002k =+，解得10.03k =，所以10.032y x =+(02000x ≤≤)；设2220y k x =+，由图象得2650020x =+，解20.012k =．所以20.01220y x =+(02000x ≤≤)．（2）当12y y =时，两种灯的费用一样，则0.0320.01220x x +=+，解得1000x =．所以当照明时间为1000小时时，．两种灯的费用相等．（3）节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时．例2 某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量 y （升）与工作时间x （小时）之间为一次函数关系，如图2所示．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？分析：从图象可以看到函数的图象过点（2，30）和（6，10），可以利用待定系数法求解：图1图2第 1 页共 2 页解：（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，将条件代入，得230610.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得540.k b =-⎧⎨=⎩，所以此函数的关系式为540y x =-+．（2）当0y =时，即5400x -+=，所以8x =．即一箱油可供拖拉机工作8小时．例3某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需要购买行李票．且行李费y (元)是行李质量x (千克)的一次函数，如图3所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）最多可免费携带多少质量的行李．解：（1）观察图象可知一次函数的图象经过（60，6），（80，10）两点，可设y kx b =+，将条件代入，得6068010.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得156k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．所以函数的关系式为165y x =-．（2）当0y =时，30x =．即最多可免费携带30千克的行李．图3。

一次函数关系式

一次函数关系式
一次函数，也称为线性函数，其关系式为y=ax+b，其中a和b都是常数，且a不等于0。

其中，a被称为斜率，表示函数图像在x轴的变化率；b被称为截距，表示函数图像与y轴的交点。

一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率相等，截距不同。

当斜率为正数时，函数图像是向上的直线；斜率为负数时，函数图像是向下的直线。

一次函数在数学中应用广泛，例如在物理学中表示速度、加速度等；在经济学中表示成本、收益等；在金融学中表示股票的涨跌幅度等。

一次函数知识点大全

一次函数知识点大全一、一次函数和正比例函数的概念1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.二、函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.三、一次函数性质1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．y=kx (k>0)y=kx (k<0)3.点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P 必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．四、一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．（3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．5. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值；（4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。

一次函数1

2.（2006河北中考25题）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，甲队比乙
队多挖了______米；
（2）请你求出：
4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函
数是特殊的一次函数.
5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直；
图像性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤：
（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表，（2）描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理；（3）连线：可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴
走平路到达学校，所用的时间与路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( A.14分钟 ) B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：
(1)汽车共行驶了___________ km； (2)汽车在行驶途中停留了___________ h； (3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；
(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.
6、图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。 7、（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后

知识点191 根据实际问题列一次函数关系式(解答题)

一、解答题1、已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式；等腰三角形的性质。

专题：几何图形问题。

分析：（1）底边长=周长﹣2×腰长；（2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答．解答：解：（1）依题意有：y=12﹣2x，故y与x的函数关系式为：y=12﹣2x；（2）依题意有：，即，解得：3＜x＜6．故自变量x的取值范围为3＜x＜6．点评：本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。

专题：应用题。

分析：当摄氏温度每次增加10℃，华氏温度每次就增加18℉，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解．解答：解：根据表格可知，y与x是一次函数关系，设y=kx+b，把x=0，y=32和x=10，y=50代入函数关系式得：，解得：．所以：y=1.8x+32．点评：本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式．3、某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围．考点：根据实际问题列一次函数关系式。

专题：应用题。

分析：直接根据题意可求得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：储油量=45000﹣1500×加油天数．自变量根据1500x≤45000和天数是非负整数列不等式组即可求解．解答：解：根据题意得储油量y（升）与加油x（天）之间的关系式是：y=45000﹣1500x，∵1500x≤45000，x≥0，∴0≤x≤30，即y=45000﹣1500x（0≤x≤30）．点评：读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值范围要结合实际意义列不等式求解．4、某商人进货时，进价已按原价a扣去了25%．他打算对此货订一新价销售，以便按新价让利20%销售后，还可获得售价的25%的利润．试写出此商人经销这种货物时按新价让利总额与货物售出件数之间的函数关系式．考点：根据实际问题列一次函数关系式。

一次函数关系式的确定

一次函数关系式的确定
※知识要点
1．确定一次函数关系式
(1)基本方法：；源自(2)具体步骤：①设：；
②代：
；
③解：
；
④定：
；
2．确定直线交点
(1)理解交点：两条直线的交点坐标同时
两直线解析式；
(2)求解交点：解联立两直线解析式所形成的
；
※题型讲练【例 1】已知一次函数的图像经过点（3，5）与(－4，－9)， (1)求这个一次函数的解析式； (2)判断点（2，4）是否在该函数图像上？请说明理由．
(2)求当挂 5kg 重物时，弹簧的总长度是多少？
A．(0，－3) B．(－3，0) C．(0，3) D．(0，－3)
3．已知点(－4，y1)，(2，y2)都在直线 y 1 x 2 上，则 y1
和 y2 大小关系是(
)
2
A． y1＞y2
B． y1＝y2
C．y1＜y2 D．不确定
4．如果直线 y＝ax＋2 与直线 y＝bx＋3 的交点在 x 轴上，则
(3)已知直线与 y＝－x+7 交于 y 轴上一点 A，且过一次函数 y＝
14．直线 y＝kx＋b 过 A(－1，5)点且平行于 y＝－x．
(1)求这条直线的解析式；
(2)若点 B(m，2)在这条直线上，O 为坐标原点，求 m 及△AOB 的面积．
【例 4】两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答问题：
(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度 y(cm)与饭碗数 x (个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；
(2 )若桌面上有 12 个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．
※课后练习 1．下列四个点中在 y＝3x＋2 的图象上的是( )

一次函数与一次不等式的关系

一次函数与一次不等式的关系
一次函数是一类特殊的函数，其性质是变量和函数值之间满足一次关系，即函数根据定义一元一次函数的定义可以表示为：f(x)=ax+b。

其中a和b为常数，x为变量。

一次函数在函数图像上对应的是一条直线，而一次不等式也是一次函数的特殊形式，用来表示变量与函数值之间满足的一次关系的不等式式子。

一次不等式与一次函数在形式上关系密切，而且他们的解也有一定的关系。

事实上，一次函数可以由一次不等式来表示。

任何一次不等式都可以表示为f(x)=ax+b≤0或f(x)=ax+b≥0的形式，其中a和b为常数，x为变量。

而一次不等式的解，只要满足一次函数f(x)=ax+b ≤0或f(x)=ax+b≥0，即可以确定一次不等式的解。

因此，一次函数与一次不等式之间存在一定的关联关系，一次函数可以由一次不等式来表示，而一次不等式的解，只要满足一次函数f(x)=ax+b≤0或f(x)=ax+b≥0，即可以确定一次不等式的解。

- 1 -。

17.3.4求一次函数的关系式

1.如下图，两摞相同规格的碗整齐地放在桌面上，请根据图中的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上的碗的高度y(cm)与碗的个数x(个 )之间的函关系式；（y与x成一次函数关系）
（2）把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的高度是多少？
11cm
14cm
2.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出 y 与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式, 称y 是x的一次函数
一次函数的图象是直线
我们在画函数y=2x,y=3x-1时，至少应选取几个点？为什么？
给定一次函数解析式，可以说出它的性质给出有关的信息，能否求出解析式呢？
1、求右图中直线的解析式：
2
1
y
如图所示，已知直线 AB和x轴交于点B,和y 轴交于点A 求直线AB的表达式
5 4 3 2 1
A B
0 1 2 3 4
-3
-2
-1 -1 -2 -3
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
求函数解关系的一般步骤是怎样的呢？
可归纳为：“一设、二列、三解、四写” 一设：设出函数关系式为y=kx+b; 二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k、b的值；四写：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函数关系式.
t (时间) y(余油量) 0 100 1 84 2 68 3 52 … …

4.4.1一次函数的表达式

（２，５）
x/ 秒
练习
y=kx经过(4,2)这点则函数的表达式为
1 y= x 2
例：
已知一次函数的图象经过（0，-2）和（2，0）两点，求这个一次函数的表达式设这个一次函数的表达式：y=kx+b
∵这个一次函数图象过（0，-2）和（2，0）两点，
∴ -2=b 0=2k+b
① ② ∴k=1
∴b=2
∴原直线为y=-2x+2
4 直击中考
（1）、(陕西)若正比例函数的图象经过点 (-1, 2),则这个函数图象必经过点( D ) A.(1, 2) B.(-1, -2) C.(2, -1) D.(1, -2) （2）、(河南)图象经过点（2，6）的正比例函数的表达式是 y=3x ．（3）、已知函数y=(k-2)x+2k+1，若它是正比例函数, 求k的值. 若它是一次函数, 求k 值.
(3)当y=30时，x=______ 42 。
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
３. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y 轴交于点(0,2)，求直线l的解析式。
解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2 又直线过点（０，２）， ∴２＝－２×0+b,
解: (1) 把P(3, -6)代入正比例函数y=k1x得， -6=3k1，k1=-2，代入一次函数y=k2x-9得 k2=1，故两函数表达式分别为：y=-2x，y=x-9． (2) 由图象可知，S△OAP =1/2×9×6=27．
1.5
-3
0
x
2．（2010·清远中考）正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图象都经过点A（1,2），

一次函数的关系式

练习1：已知正比例函数y=kx,(k≠0)的图象经过点（-2，4）.求这个正比例函数的解析式．解：∵y=k x的图象过点（-2，4），∴4=-2k解得k=-2∴这个一次函数的解析式为y=-2x11.一次函数的一般形式是什么变式1：已知正比例函数y=kx,(k≠0),当x=-2时，y=4.求这个正比例函数的解析式．变式2：已知正比例函数y=kx,(k≠0),当x=-2时，y=4.求当x=5时的函数值．练习2：已知一次函数y=2x+b的图象过点(2,-1).求这个一次函数的解析式．解：∵y=2x+b的图象过点（2，-1）.∴-1=2×2 +b解得b=-5∴这个一次函数的解析式为y=2x-5确定正比例函数的表达式类型一：已知两点坐标求函数表达式1.已知一次函数的图象经过点(3,5)与（－4，－9）.求这个一次函数的解析式．类型二：根据定义求函数表达式1、已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=-6，求y与x之间的函数关系式解：由题意可设y=kx(k≠0)∵当x=-1时，y=-6，∴-k=-6∴k=6∴y=6x2、已知y-2与x成正比例，当x=-2时，y=8，（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）求当x＝－1时，y的值；（3）求当y＝0时，x的值。

解：根据题意设：y-2=kx(k≠0)∴-2k=8-2∴k=-3∴y-2=-3x∴y=-3x+21、已知直线l 与直线y=-2x 平行，且与y 轴交于点(0,2)，求直线l 的解析式。

类型五：根据图象之间的平行关系求解析式2.将函数y=x+2的图象平移，使它经过点(1，-3)，求平移后的直线所对应的函数表达式解：设y=kx+b （k ≠0）根据题意得：解得k=1k+b=-3k=1b=-4∴y=x-4写出一个一次函数，使它的图象过点（-1，2）解：设函数解析式为y=kx+b(k ≠0)由题意，得: -k+b=2∴b=2+k取k=1，则b=3，有y=x+3类型八：根据缺少的条件求表达式一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5 ≤y ≤-2，求这个函数的解析式类型九：根据取值范围求表达式解：①若x=-3时，y=-5，x=6时，y=-2则-3k+b=-5；解得k=6k+b=-2，b=-413②若x=-3时，y=-2,有；x=6时，y=-5,则-3k+b=-2解得k=-6k+b=-5，b=-3故所求函数的解析式为：y= x-4或y=-x-3一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5 ≤y ≤-2，求这个函数的解析式1313131.直线l 与直线y=1+2x 交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线l 的解析式。

一次函数关系式的常见类型(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题4.22一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）一次函数关系式常见类型目录：【类型1】定义型【类型2】一点型【类型3】两点型【类型4】图象型【类型5】斜截型【类型6】应用型【类型7】面积型【类型8】平移型【类型9】对称型【考点一】定义型【例1】（2023秋·八年级课时练习）已知函数()2324my m x n -=-++．（1）当,m n 为何值时，y 是x 的一次函数，并写出关系式；（2）当,m n 为何值时，y 是x 的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x=-【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．解：（1）由题意可得23120m m ⎧-=⎨-≠⎩，n 可以取任意实数解得：m=-2∴44y x n=-++∴当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）由题意可得2312040m m n ⎧-=⎪-≠⎨⎪+=⎩，解得：24m n =-⎧⎨=-⎩∴4y x=-∴当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x =-．【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A （5，b ），B （a ，4）两点，则a ，b 一定满足的关系式为（）A ．a ﹣b ＝1B ．a ＋b ＝9C ．a •b ＝20D ．a b ＝34【答案】C【分析】设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），将A 、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得a ，b 一定满足的关系式．解：设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），则b ＝5k ，4＝ak ．∴4b ＝5a ，∴ab ＝20.故选：C ．【点拨】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考阶段练习）已知2y -与3x +成正比,且当1x =时,y =-6，则y 与x 的关系式是.【答案】y=-2x-4【分析】由2y -与3x +成正比例可设2y -=k （3x +）（k≠0），代入1x =时,y =-6即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵2y -与3x +成正比，∴设2y -=k 3x +（）（k≠0）．∵当1x =时,y =-6，∴-6-2=k （1+3），解得：2k =-，∴22(3)y x -=-+∴y 与x 的关系式为y=-2x-4故答案为y=-2x-4.【点拨】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．【考点二】一点型【例2】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l ：1y kx =-经过点()2,3A ．（1）求直线l 的解析式；（2）判断点(1,23)P m m --是否在直线l 上，请说明理由．【答案】（1）21y x =-；（2）在直线l 上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把1x m =-代入（1）中解析式进行求解即可．（1）解：把点()2,3A 代入解析式1y kx =-得：213k -=，解得：2k =，∴直线l 的解析式为21y x =-；（2）解：由题意可把1x m =-代入21y x =-得：()21123m m --=-，∴点(1,23)P m m --在直线l 上．【点拨】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021秋·广西梧州·八年级统考期中）已知一次函数5y kx =+的图象经过()12M -，，则k 的值是（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-【答案】A【分析】把()12M -，代入一次函数5y kx =+求出k 的值即可．解：把()12M -，代入一次函数5y kx =+得：25k =-+，解得：3k =，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式2】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，且与y 轴分别交于B ，C ，则ABC 的面积为．【答案】6【分析】利用待定系数法求得a 、b 的值，求得点B ，C 的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．解：∵一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，把()2,0A 代入2y x a =+得，40a +=，∴4a =-，∴一次函数解析式为24y x =-，∴()0,4B -，把()2,0A y x b =-+得，20b -+=，∴2b =，∴一次函数解析式为2y x =-+，∴()0,2C ，∴=42=6BC --，∴12662ABC S =⨯⨯= ，故答案为：6．【点拨】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．【考点三】两点型【例3】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数y kx b =+的图像经过点(1,3)，(1,7)-，求这个一次函数的解析式．【答案】25y x =-+【分析】将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+求出k 、b 的值，再将k 、b 的值反回代入y kx b =+中，即可得到一次函数的解析式．解：将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+，得37k b k b=+⎧⎨=-+⎩，解得25k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为25y x =-+．【点拨】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）若弹簧的总长度()cm y 是所挂重物x （千克）的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是（）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】B 【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，再令0x =，进行求解即可．解：设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，∵点()4,10、点()20,18在一次函数图象上，∴4102018k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得128k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为182y x =+，当0x =时，1=08=82y ⨯+，∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm ，故选：B ．【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式、求函数值，熟练利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽宿州·八年级校考开学考试）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，则PM PN +的最小值为，此时点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，由PM PN PM PN '+=+，可知当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，由M 、N 分别是AB 、OA 的中点，可得M ()1,2-，N ()1,0-，M '()1,2，即M N ='，进而可得PM PN +的最小值，待定系数法求得直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，即点P 的坐标为()0,1．解：如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，∵PM PN PM PN '+=+，∴当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴M ()1,2-，N ()1,0-，∴M '()1,2，∴MN ='∴PM PN +的最小值为设直线M N '的表达式为()0y kx b k =+≠，将()1,2M '，()1,0N -代入得20k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，∴点P 的坐标为()0,1，故答案为：()0,1．【点拨】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．【考点四】图像型【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求ADC △的面积；（2）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）92；（2）()6,3【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可求出()1,0D ，设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值，即可得直线2l 的解析表达式为362y x =-；联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S △；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到AD 的距离．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，∴1x =，∴()1,0D ；设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：403x y x ===，；，32y =-，代入表达式y kx b =+，∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-；由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，∴()2,3C -，∵3AD =，∴193322ADC S =⨯⨯-=△；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值33=-=，则P 到AD 距离3=，∴P 纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵ 1.563y x y =-=，，，1.563x ∴-=，6x =，即()6,3P ．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图是y 关于x 的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（）A ．该函数的最小值为3-B ．当0x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．当0x =时，对应的函数值12y =D ．当12x =和32x =时，对应的函数值相等【答案】C 【分析】分别求出1x ≥和1x ≤时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．解：A 、由图象可知，函数的最小值为2-；故该选项错误；B 、当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故该选项错误；C 、设1x ≤时，函数的解析式为y kx b =+，由图可知，点()()1,3,1,2--，在直线上，∴32k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：5212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴5122y x =-+，∴当0x =时，12y =，故该选项正确；D 、当12x =时，51132224y =-⨯+=-，设1x ≥时，函数的解析式为y mx n =+，由图可知，点()()3,1,1,2-在直线上，∴132m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：3272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3722y x =-，∴当32x =时，975424y =-=-；∴当12x =和32x =时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C ．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．【变式2】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b =+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【考点五】斜截型【例5】（2019秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象平行于y ＝﹣13x ，且截距为1．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点P （﹣2，13）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y ＝﹣13x +1；（2）不在．【分析】（1）根据两平行直线的解析式的k 值相等可求出k ，再由截距为1求出b 值，即可得解；（2）把点1(2,3P -代入函数解析式检验即可.解：（1）设这个函数的解析式为y kx b =+，∵一次函数的图象平行于13y x =-，且截距为1，1,13k b ∴=-=∴这个函数的解析式为113y x =-+；（2）当2x =-时，151((2)1333y =-⨯-+=≠，故点1(2,)3P -不在这个函数的图象上.【点拨】本题考查了一次函数的定义和性质，如果两条直线平行，则他们的函数解析式的k 值相等，这条性质常常用来解题，需熟记.【举一反三】【变式1】（2021秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）若y 关于x 的一次函数y =（2m +1）x -m +3，y 随x 的增大而增大，且截距不大于1，则m 的取值范围是（）A ．m >-12B ．m ≥4C ．-12＜m ≤2D ．m ≥2【答案】D 【分析】根据题意，可得一次函数的0k >，1b ≤，据此列出不等式组，即可求得m 的取值范围．解：依题意，21031m m +>⎧⎨-+≤⎩解得2m ≥故选D ．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式2】（2023春·上海闵行·八年级统考期末）直线y kx b =+在y 轴上的截距为3-，且平行于l ：y x =-，那么直线的表达式为．【答案】3y x =--/3y x=--【分析】根据互相平行的直线的解析式k 的值相等确定出k ，根据“在y 轴上的截距是3-”求出b 值，即可得解．解：∵直线y kx b =+平行于直线y x =-，∴1k =-．又∵直线y kx b =+在y 轴上的截距是3-，∴3b =-，∴这条直线的解析式是3y x =--．故答案为：3y x =--．【点拨】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．【考点六】应用型【例6】（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一辆轿车在高速公路上匀速行驶，油箱存油量Q （升）与行驶的路程S （km ）成一次函数关系．若行驶100km 时，油箱存油43.5升，当行驶300km 时，油箱存油30.5升，请求出这个一次函数关系式，并写出自变量S 的取值范围．【答案】1350200Q S =-+，自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤【分析】根据题目意思设出函数关系式，根据已知条件用待定系数法解出函数关系式中的参数，可得函数关系式，当0Q =时，此时的S 为最大值，最小值为0，即可写出S 的取值范围．解：设：Q mS n =+，根据题意的方程组43.510030.5300m n m n=⨯+⎧⎨=⨯+⎩，解得1320050m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则该一次函数解析式为：1350200Q S =-+，当0Q =时，13500200S -+=，∴3769km 13S =，∴自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，注意函数自变量的取值范围应符合实际问题有意义是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（）A ．y ＝54x （x ＞2）B ．y ＝54x ＋10（x ＞2）C ．y ＝54x ＋90（x ＞2）D ．y ＝54x ＋100（x ＞2）【答案】B【分析】由题意得2x >，则销售价超过100元，超过的部分为60x −100，即可得．解：∵2x >，∴销售价超过100元，超过部分为60x ﹣100，∴y ＝100+（60x ﹣100）×0.9＝54x +10（2x >，且x 为整数），故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y （米）与时间x （分钟）之间的变化关系如右图所示，根据图像中的数据，写出y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式．【答案】()1000306y x x =≤≤【分析】根据待定系数法求解析式即可求解．解：设y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为y kx =，将点()6,2000代入得，20006k =，解得：10003k =，∴y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为()1000306y x x =≤≤，故答案为：()1000306y x x =≤≤．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．【考点七】面积型【例7】（2023春·八年级单元测试）如图1，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，AD BC ∥，4AB =，6AD =．若动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿着BC CD DA →→的路线向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，图2是点P 出发t 秒后，ABP 的面积S 与t 的函数图像．（1）a =______，b =______；（2）求MN 所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，ABP 的面积为14？【答案】（1）92，7；（2）1214455S t =-+；（3）72秒或376秒【分析】（1）结合四边形ABCD 的形状、S 与t 的函数图像，判断出t a =，t b =，10t =时，点P 的位置，利用时间、速度、路程的关系即可求解；（2）求出点M ，N 的坐标，利用待定系数法求解；（3）ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，将14S =代入对应直线的函数解析式即可求解．（1）解：由图可知，当t a =时，点P 运动到点C ，当t b =时，点P 运动到点D ，当10t =时，点P 运动到点A ，∴2BC a =，()210CD DA a +=-由图可知，点P 运动到点C 时，18ABP S = ，∴1141822BC AB BC ⋅=⋅=，解得9BC =，∴922BC a ==，∴9210112CD DA ⎛⎫+=⨯-= ⎪⎝⎭，∴111165CD DA =-=-=，∴957222CD b a =+=+=，故答案为：92，7；（2）解：由（1）知点M 的坐标为9,182⎛⎫ ⎪⎝⎭，当t b =时，点P 运动到点D ，∴当t b =时，11461222ABP S AB AD =⋅=⨯⨯= ，∴点M 的坐标为()7,12，设MN 所在直线对应的函数表达式为S mt n =+，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()7,12N 代入，得：9182127m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得1251445m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214455S t =-+；（3）解：由题意知，ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，当对应的点在线段OM 上时，设OM 的函数解析式为=S kt ，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：9182k =，解得4k =，∴OM 的函数解析式为4S t =，当14S =时，14742t ==；当对应的点在线段MN 上时，当14S =时，121441455t =-+，解得376t =，综上可知，运动72秒或376秒后，ABP 的面积为14．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，涉及三角形面积公式、求一次函数解析式及自变量的值等，解题的关键是根据图形判断出不同时间段内点P 的位置．【举一反三】【变式1】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（）A ．y x=B ．2y x =C ．3y x =D ． 1.5y x=【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到A 、B 两点坐标，再由AOB 的面积被中线平分得到AB 中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式．解：直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，4y =，即()0,4B ；当0y =时，024x =-+，解得2x =，即()2,0A ；由三角形中线平分三角形面积可知，过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 过AB 中点，∴AB 中点为0240,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,2，设直线2l 的解析式为2:l y kx =，将()1,2代入2:l y kx =得到2k =，则2y x =，故选：B ．【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式2】（2023春·上海·八年级专题练习）已知直线()0y kx b k =+≠与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过()2,0，则这条直线的表达式是．【答案】36y x =-+或36y x =-【分析】先根据面积求出三角形在y 轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．解：根据题意，设与y 轴交点坐标为()0b ，则1262b ⨯⨯=，解得6b =，6b ∴=±，①当6b =时，与y 轴交点为()06，∴206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴函数解析式为36y x =-+；②当6b =-时，与y 轴的交点为()06-，∴206k b b +=⎧⎨=-⎩解得36k b =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为36y x =-．∴这个一次函数的解析式是36y x =-+或36y x =-．故答案为：36y x =-+或36y x =-．【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y 轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．【考点八】平移型【例8】（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线1l 经过()0,3A -、()2,0B ．（1）求直线1l 的解析式及1l 与坐标轴围成的图形的面积；（2）将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到直线2l ，直接写出2l 的解析式______．【答案】（1）332y x =-；3；（2）3922y x =-【分析】（1）用待定系数法求出直线1l 的解析式，根据三角形面积公式求出与坐标轴围成的图形的面积即可；（2）根据平移的规律求出直线2l 的解析式即可．（1）解：设直线1l 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3A -、()2,0B 代入得：320b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线1l 的解析式为332y x =-；直线1l 与坐标轴围成的图形的面积为13232S =创=．（2）解：将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度后得出的直线2l 的解析式为：()31332y x =+--，即3922y x =-，故答案为：3922y x =-．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形面积，一次函数的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平移规律．【举一反三】【变式1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）把直线6y x =向上平移后得到直线AB ，若直线AB 经过点(),m n ，且64n m -=，则直线AB 的表达式为（）A ．64y x =-+B ．64y x =--C ．64y x =-D ．64y x =+【答案】D【分析】设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，根据题意直线AB 经过点(),m n ，得出6d n m =-，结合已知条件，即可求解．解：设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，∵直线AB 经过点(),m n ，∴6n m d =+，即6d n m =-，又64n m -=，∴4d =，∴直线AB 的解析式为64y x =+，故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．【变式2】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，已知()1,6A 为直线:2l y x b =-+上一点，先将点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ．若点C 恰好落在直线l 上，则a 的值为．【答案】4【分析】先将点A 代入y =-2x +b 求得b 的值，得到直线的解析式，然后用含有a 的式子表示点C ，再将点C 的坐标代入直线的解析式求得a 的值．解：点A （1，6）代入y =-2x +b 得，-2×1+b =6，解得：b =8，∴直线l 的解析式为y =-2x +8，∵点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ，∴点C 的坐标为（5，6-2a ），将点C 的坐标代入直线的解析式y =-2x +8得，-2×5+8=6-2a ，解得：a =4，故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．【考点九】对称型【例9】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是(68)，，ABD △与EBD △关于直线BF 对称，且点E 在对角线OB 上．（1）求线段OB 的长；（2）求点D 的坐标及直线BF 的函数表达式．【答案】（1）10；；（2）13(0,3，1113183y x =+．【分析】（1）根据点B 的坐标，利用勾股定理直接计算出OB 长；（2）设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE =，利用勾股定理可求出OD 长，点的坐标可求，根据B 、D 坐标，待定系数法可求直线BF 解析式．解：（1）∵点B 的坐标是(68)，，∴6OC =，8BC =，在Rt BOC 中，由勾股定理得：10OB ===；（2）∵ABD △与EBD △关于直线BF 对称，∴90DEO DEB BAO ∠=∠=∠=︒，AD DE =，6AB BE ==，在Rt DEO △中，设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE OB BE =-=，由勾股定理得222DE OE OD +=得，()22246x x +=-，解得53x =，∴513633OD =-=，∴1303D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设BF 的解析式为133y kx =+，∵(68)B ，在直线BF 上，∴13863k =+，∴1118k =，∴BF 的解析式为1113183y x =+．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线3y x b =-+与直线1y kx =-关于直线2x =对称，则k ，b 的值分别为（）A ．3k =-，11b =B ．3k =，11b =C ．13k =，1b =D ．13k =-，1b =【答案】B【分析】根据直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，可知这两条直线上的点也关于直线x =2对称，然后根据直线y =kx －1上的定点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）可以求出b 的值，然后根据直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5）也在直线y =kx －1，即可求出k 的值．解：∵直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，∴这两条直线上的点也关于直线x =2对称，∵直线y =kx －1必过点（0，－1），∴点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）在直线y =－3x ＋b 上，∴－1=－3×4＋b ，解得：b =11，∴直线y =－3x ＋b 即为：y =－3x ＋11，∵直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5），∴点（2，5）一定在直线y =kx －1上，∴5=2k －1，解得：k =3．故选：B ．【点拨】本题主要考查用待定系数法一次函数的解析式和轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图像、轴对称的性质以及利用数形结合思想是解题关键．【变式2】（2021·山东临沂·统考一模）定义：若两个函数的图象关于直线y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y =-2x +1的反函数的解析式．【答案】y =-12x +12【分析】首先可求得函数y =-2x +1与x 轴和y 轴的交点坐标，再求得它们关于直线y =x 对称点的坐标，据此即可求得函数y =-2x +1的反函数的解析式．解：在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，当y =0时，x =12，即函数和x 轴的交点为（12,0），和y 轴的交点坐标为（0,1），所以两点关于直线y =x 对称的点的坐标分别为（0,12）和（1,0），设函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =kx +b （k ≠0），把（0,12）和（1,0）代入，可得：120b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =-12x +12，故答案为：y =-12x +12．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义，求出已知点关于直线y =x 对称点的坐标是解决本题的关键．。

一次函数知识点

一次函数基础知识点知识点1：一次函数的意义1、概念：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数。

正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数2、说明：（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数；当b=0，k=0时，它不是一次函数. (4)注意自变量的取值范围3、练习1、下列函数（1）y=3πx ；（2）y=8x-6；（3）1y x =；（4）1y 8x 2=-；（5）2y 541x x =-+中，是一次函数的有（） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个2、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；当k_____________时，()212k y k x=-+是一次函数知识点2：求一次函数的解析式1、待定系数法的含义：要确定变量间的函数关系式，设出某些未知系数，然后根据所给条件利用方程或者是方程组来确定这些未知系数的方法。

2、用待定系数法确定一次函数表达式（1）规律：①确定正比例函数y=kx 的解析式：只须一个条件，求出待定系数k 即可．②确定一次函数b kx y +=的解析式：只须二个条件，求出待定系数k 、b 即可．（2）步骤： A 、设：设出一次函数解析式，即b kx y +=；B 、代：把已知条件代入b kx y +=中，得到关于k 、b 的方程（组）；C 、求：解方程（组），求k 、b ；D 、写：写出一次函数解析式．3、例1：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．例2. 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．知识点3：一次函数的图象及其性质1、知识点(1)函数图象的画法：列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；描点：以表中每对对应值描点；连线：按自变量由小到大连接起来。

一次函数知识点

自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为任意不为零实数）定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；若与实际相反，。

一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0) （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)形。

取。

象。

交。

减一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

一次函数的关系式

解：（1）由题意知v是t 的正比例函数，设v=kt
V /(米/秒)
8 ∵（2，5）在函数图象 7 上， 6 ∴ 2t=5 ∴ t=2.5： 5 ∴v与t 的函数关系式为： 4 v= 2.5 t 3 (2)下滑3秒时物体的速度是 2 1 v=2.5×3=7.5(米/秒)
·
0
1 2 3
4
5
6 7 8
t /秒
八年级下册数学
18.3 一次函数
4.求一次函数的关系式
回顾与思考
1
1.什么叫一次函数?
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式,则称y 是x的一次函数x为自变量,y为因变量. 特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒）与其下滑时间t(秒)的关系如图6—5所示。（1）写出v与t 之间的关系式；（2）下滑3秒时物体的速度是多少？
泪,眼睛已经哭肿了,她从没想到,自己壹个堂堂の妃子,会经历这样の事情.要不是她亲眼看到了,她死也不会相信这发生の壹切,怪不得当年自己和轩辕五十六世成亲之后,没多久便生下了轩辕飞燕和轩辕落燕这两姐妹.而打那以后,轩辕五十六世再也没有和她同过房,她就这样子过了几十年の独守空房の生活.以前她还怀疑轩辕五十六世可能有别の女人,可是时近了二三十年,也没见他再成亲.后来她又怀疑轩辕五十六世喜欢男人,可是也没见他与男人或者是大臣之类の走得太近,直到她偶然看到轩辕五十六世,在北宫の大房间里面,有几十位女机甲.乱の时候,她整个人都崩溃了.明妃の声音有些颤抖："咱打算和他离婚...""离婚!"轩辕飞燕心中壹震,连忙说道："母亲这万万不可呀!"（正文贰肆00轩辕五十六世の秘密）贰肆01明妃の苦恼皇帝の妃子要