最值宝典第十四讲瓜豆原理类问题

第十四讲：瓜豆原理类问题古人云：“种瓜得瓜，种豆得豆”。

讲述的是哲学中的因果原理。

即：种什么因就得什么果。

所谓“瓜豆原理”，讲述的是两个动点的轨迹之间的关系。

也就是说主动点的轨迹与从动点的轨迹一样的。

【方法指导】主动点的轨迹是圆，从动点的轨迹也是圆；主动点的轨迹是线，从动点的轨迹也是线。

【核心提炼】此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量．解决问题的策略：1、两动：一个主动点，一个从动点2、一定：瓜豆原理的前提是必须存在定点来充当旋转中心或者位似中心，使主动点经过相应的变换得到从动点。

可谓“无定点，不瓜豆”。

旋转篇之轨迹是圆引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是什么？【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是圆．只需要确定圆心与半径． ∵AP ⊥AQ ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；∵AP =AQ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM =AO ，且半径MQ =PO ． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．OP QA引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：∵∠PAQ=60°，∴Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；∵AP=AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【基本模型】瓜豆原理初体验如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2 C．2﹣2 D．5【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．∵DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，∴F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．方法策略模式：利用全等找出圆心和半径即可。

如图，PA ＝，PB ＝2，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧，当P 与D 的距离最大时，正方形ABCD 的面积为 ．【解析】∵PA ＝，PB ＝2，∴AB 长度可变，故以AB 为一边作正方形ABCD大小位置可变把PA 的位置确定，则点B 的轨迹是圆P ，半径为32，P 为定点，D 为动点，先确定点D 的轨迹。

点D 因B 动而动，故点B 是主动点，点D 是从动点。

∵AB =AD ，故将圆P 绕A 逆时针选装90°得到圆O ，及时点D 的轨迹。

圆O 的半径也是32，当点P ,O ,D 三点共线时PD 最大。

当然，反过来旋转也是一样的。

将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，PD 的最大值即为P 'B 的最大值，过A 作AH ⊥P ′B 于H ，根据等腰三角形的性质得到AH ＝PH ＝21'PP ＝，根据勾股定理得到AB ＝＝，于是得到结论．【解答】解：如图所示， 将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，PD 的最大值即为P 'B 的最大值， ∵△P 'PB 中，P 'B ＜PP '+PB ，PP ′＝PA ＝2，PB ＝2，且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P 'B 取得最大值（如图） 此时P 'B ＝PP '+PB ＝4，即P 'B 的最大值为4，．过A 作AH ⊥P ′B 于H ， ∴AH ＝PH ＝P ′P ＝，∴BH ＝3，∴AB ＝＝， ∴正方形ABCD 的面积为30， 故答案为：30．瓜豆原理可简单概括为：一条折线段，固定其折点，邻边定比例，夹角不改变．有三点：主动点、固定点和从动点，若主动点在直线上动，则从动点在直线上动；若主动点在圆上动，则从动点在圆上动．【基本模型】旋转篇之轨迹是线段引例3：如图，P 是直线l 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．当点P 在直线l 上运动时，Q 点轨迹是什么？【分析】Q 点轨迹是一条直线，可理解为将AP 绕点A 顺时针旋转90°得AQ ，故Q 点轨迹与P 点轨迹都是一条直线．而两点确定一条直线，只需要确定两个点即可．Q 是其中一个点了，再确定一个点即可。

任选直线l 上一点B ，则'AB AB =且'AB AB ⊥，则任意时刻均有APB ∆≌△'AQB ．直线Q B '即为所求直线。

如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．【分析】求OP ABP 是等边三角形且B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B 与点O 重合时，作出P 点位置P 1；（2）当点B 在x 轴上方且AB 与x 轴夹角为60°时，作出P 点位置P 2．连接P 1P 2，即为P 点轨迹．根据∠ABP =60°可知：与y 轴夹角为60°，作OP ⊥，所得OP 长度即为最小值，OP 2=OA =3，所以OP =．如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________．【分析】根据△DPF 是等边三角形，所以可知F 点运动路径长与P 点相同，P 从E 点运动到A 点路径长为8，故此题答案为8．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹。

因为F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在H 位置，只需再任意找一点G 的位置，两点确定一条直线，直线GH 即为G 点运动轨迹．再12P P 12P P 32A利用垂线段最短，点C 到直线GH 的距离最小即为CM ⊥HG 时取最小值解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG 从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上 作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值 作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形， 则CM ＝MP +CP ＝HE +EC ＝1+＝故答案为．【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．方法策略模式：利用旋转和全等，找出两点，确定一条直线即可。

1.两动：一个主动点，一个从动点。

一定：瓜豆原理的前提是必须存在定点来充当旋转中心使主动点经过相应的变换得到从动点。

可谓“无定点，不瓜豆”2.种瓜得瓜种豆得豆。

主动点轨迹是圆，从动点轨迹就是圆。

主动点轨迹是直线，从动点轨迹是直线。

3.当主动点轨迹是圆时，只需要找到圆心和半径即可。

如果只是旋转，旋转前后半径不变。

4.当主动点轨迹是直线时，只需要任意找两点就可，两点确定一条直线。

有时找两个端点或者极限点最好。

5.当从动点轨迹是圆时，定点M 到从动点Q 的最大值等于定点M 到Q 的轨迹圆圆心O 的距离MO 加上半径Q r ,即Q r MO MQ +=max ，定点M 到从动点Q 的最小值等于定点M 到Q 的轨迹圆圆心O 的距离MO 减去半径Q r ,即Q r MO MQ -=min6.当从动点轨迹是直线时，定点M 到从动点Q 的最小值等于点M 到轨迹只是的垂线段的长度。

1．如图，已知AB =2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边AC 上的一动点，以BD 为一边向右下方作等边△BDE ，当动点D 由点A 运动到点C 时，则动点E 运动的轨迹长为____.1.如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°，BD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，且BD 、CE 交于点F ，直接写出CF 的长 ．（2）如图，△ABD 是等边三角形，以线段BC 为边在第一象限内作等边△BCQ ，连接QD 并延长，交y 轴于点P ，当点C 运动到什么位置时，满足PD ＝DC ？请求出点C 的坐标；（3）如图，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B 在y 轴上运动时，求OP 的最小值．xxx走向中考答案：【分析】由等边△BDE可将从动点E看成是由主动点D绕着定点B按顺时针方向旋转60°得到，因而从动点E的轨迹也可看成是由主动点D的轨迹绕着定点B按顺时针方向旋转60度而来，即所求目标动点E的轨迹就是斜边AC绕着定点B按顺时针方向旋转60度而来；要求动点E的轨迹长，不需要采取“极限法”找到此轨迹的起点和终点，也不需要画图，根据“旋转不变性”，即旋转之后的图形与旋转之前的图形全等知，要求的动点E的轨迹长就是2。

斜边AC的长，即为2综合素质拓展答案：1.【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．证明点P 在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝则OP的最小值为．瓜 豆 原 理 之 旋 转 位 似 篇【基本模型】位似篇之轨迹是圆引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是什么？【分析】由于点P 的轨迹是圆O ，点Q 为AP 中点．可知点Q 轨迹是个圆，那么此圆与圆O 有什么关系呢？由于Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2．【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A 、Q 、P 三点共线可得：A 、M 、O 三点共线，由Q 为AP 中点可得：AM =21AO ．Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放．[典例呈现]: 如图，点P 为函数y ＝（x ＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （3，0），B （6，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．4D ．2【分析】Q 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点．由于点C 是BQ 中点，可知CA OPQQPOAM点轨迹是以BP 中点D 为圆心，DC 为半径作圆，即为点C 轨迹．当A 、C 、D 三点共线且点C 在线段DA 上时，AC 取到最小值，根据B 、P 坐标求D ，利用两点间距离公式求得OA ，则OC OA AC -=min ．还有另一种方法不用画图，利用三角形的中位线。