专题02 指对幂函数图像及性质(检测)-2019年高考数学25个必考点(解析版)
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析
高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析高考数学中的幂函数和指数函数是非常重要的知识点。
这两种函数在数理化等学科中都有广泛的应用，因此在高考中也成为了不可忽视的重点。
掌握它们的性质，不仅可以解决一些基本的计算问题，还可以引申出很多思维难度较大的问题。
本文将对幂函数和指数函数的性质进行深入的解析。
一、幂函数的性质幂函数是一种非常基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = x^a$，其中$x$为自变量，$a$为指数。
幂函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：幂函数的定义域为$x>0$或$x<0$，即幂函数不能为负数。
2. 制图特点：当$a>1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递增；当$0<a<1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递减；当$a<0$时，幂函数的图像则关于$x$轴对称。
3. 奇偶性：当$a$为偶数时，幂函数关于$y$轴对称；当$a$为奇数时，幂函数关于原点对称。
4. 渐进线：当$a>0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$；当$a<0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$。
5. 导数规律：当$y=x^a$，则$\dfrac{dy}{dx}=ax^{a-1}$。
在幂函数的导数规律中，指数减1并乘以常数，就是导数。
以上是幂函数的几个常见性质，可以根据具体问题作出判断。
下面将重点介绍指数函数的性质。
二、指数函数的性质指数函数是另一种基础的函数类型。
它的形式可以表示为$y = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。
指数函数的性质有以下几个方面。
1. 定义域：指数函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，可以为任意实数。
2. 制图特点：当$0<a<1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递减，且关于$y$轴对称；当$a>1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递增。
3. 反函数：指数函数的反函数为对数函数，即$y = \log_{a}x$。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结高考数学知识点：幂函数知识点总结在高中数学课程中，幂函数是一个重要的知识点。
幂函数的数学表达式为f(x) = ax^n，其中a和n分别代表常数，x代表自变量。
幂函数具有许多特殊性质和应用，下面将对幂函数的相关知识点进行总结。
一、定义和性质1. 幂函数的定义：幂函数是指具有形如f(x) = ax^n的函数，其中a和n为实数常数，且a≠0。
2. 幂函数的图像：根据a和n的取值不同，幂函数的图像可以表现为增函数、减函数或恒函数。
3. 幂函数的对称性：当幂函数的幂指数n为正偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为正奇数时，函数图像关于原点对称；当n为负数时，函数图像关于x轴对称。
二、基本性质和运算法则1. 幂函数的基本性质：a) 当n>0时，幂函数是增函数；当n<0时，幂函数是减函数。
b) 当a>1时，幂函数递增速度大于直线函数y=x；当0<a<1时，幂函数递增速度小于直线函数y=x。
c) 当n=1时，幂函数是一次函数；当n=0时，幂函数是常值函数。
2. 幂函数的运算法则：a) 幂函数相乘：f(x) = ax^m * bx^n = abx^(m+n)。
b) 幂函数相除：f(x) = (ax^m) / (bx^n) = (a/b)x^(m-n)，其中b≠0。
c) 幂函数相乘的分配律：(a * b)x^n = a * bx^n，其中a和b为常数，n为指数。
d) 幂函数的复合：f(g(x)) = (ax^m)^n = a^n*x^(m*n)，其中a、g(x)和n为常数。
三、幂函数的应用1. 函数图像：通过掌握幂函数图像的特点，我们可以辨认各类函数的图像特征，帮助解题。
2. 变化率计算：由于幂函数在不同区间具有不同的递增、递减性质，可以用来计算变化率，例如速度、增长率等。
3. 经济学应用：幂函数可以描述经济学中的一些指数关系，如价格与需求量的关系等。
高考数学幂函数知识点总结
高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。
幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。
1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。
当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。
2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。
3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。
4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。
若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。
二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。
以下是幂函数在一些具体问题中的运用。
1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。
幂函数可用来描述这种过程。
例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。
同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。
2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。
例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。
数学高考知识点幂函数
数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。
在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。
一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。
2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。
当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。
3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。
4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。
二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。
这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。
2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。
这一性质在求解极限时常常会被用到。
3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。
三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。
2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。
在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结幂函数知识点总结幂函数是数学中重要的函数之一，也是高考数学中的考点内容。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结，包括定义、性质、图像和应用等内容。
一、定义幂函数是指函数y = ax^n，其中a和n均为常数，且a ≠ 0，n为正整数。
其中，a称为幂函数的底数，n称为幂函数的指数。
幂函数的定义域为全体实数，值域根据指数的奇偶性而定。
当指数n为奇数时，值域为全体实数；当指数n为偶数时，值域为非负实数。
二、性质1. 当底数a大于1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而增大；当底数a介于0和1之间时，幂函数的图像随着自变量x的增大而减小。
2. 当指数n为正整数时，幂函数的图像在第一象限上且经过点(1,a)。
3. 当指数n为奇数时，幂函数的图像关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数的图像关于原点对称。
三、图像根据幂函数的性质，我们可以画出幂函数的大致图像。
以y = 2x^2为例，我们可以按照以下步骤绘制图像：1. 计算出若干个点的坐标，取x的值为-2，-1，0，1，2，3等，并计算出对应的y值。
2. 将这些点连接起来，形成平滑的曲线。
3. 注意幂函数的对称性，根据对称轴上的点可以在其他位置上找到对应的点。
四、应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 复利计算：由于幂函数的特性，它可以很好地描述复利增长的情况。
例如，存款的本金在每年按一定的比例增长，这就可以用幂函数来表示。
2. 科学实验：在某些科学实验中，现象的变化与自变量并非线性关系，而是呈现幂函数的规律。
通过研究幂函数的图像和性质，可以更好地理解实验结果。
3. 经济增长：幂函数也可以描述经济增长的规律。
例如，某地区的GDP每年按一定的比例增长，可以用幂函数来表示。
总结：幂函数是高考数学中的重要知识点，掌握了幂函数的定义、性质、图像和应用，能够解决与幂函数相关的各种问题。
在学习过程中，我们还可以通过练习题加深对幂函数的理解和应用能力。
精编高中数学知识点专题复习及练习-指数函数、对数函数、幂函数图象与性质
精编高中数学知识点专题复习及练习必考点二指数函数、对数函数、幂函数图象与性质[高考预测]——运筹帷幄1．考查指数幂及对数式的化简与运算．2．以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的图象与性质．3．指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题．[速解必备]——决胜千里1．二次函数y＝ax2＋bx＋c为偶函数⇔b＝0.2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0＜c＜d＜1＜a＜b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系如图所示．0＜d＜c＜1＜a＜b，在第一象限顺时针方向底数变大．4．y＝log a x，当x∈(1，＋∞)且a>1时，y>0，当x∈(0,1)且0<a<1时，y>0，记忆：“真底同，对数正”．5．log a b＝1log b a，log a b·log b c·log c d＝log a d.6．y ＝a x y ＝log a x定义域R 值域R值域(0，＋∞)定义域(0，＋∞)7．对于函数，y ＝ax ＋b x ，(a >0，b >0)的单调分界点是ax ＝bx ，即x ＝±b a .[速解方略]——不拘一格类型一 比较函数值的大小[例1] (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22， ∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .答案：D方略点评：基本法是利用了每个对数值的范围的估算.,速解法是利用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象，便可容易得出大小关系. (2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜yC．z＜y＜x D．y＜z＜x解析：基本法：由已知得x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)，z＝∈(0,1)，又2＜e＜3，∴2＜e＜3，∴1e＞13＞12，得z＝＞12，而y＝log52＜log55＝12，∴y＜z＜x，故选D.答案：D方略点评：1利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来比较大小. 2对于多个数的大小比较，可插入0，分出正数与负数，正数中再插入1，分出0，1间与1，＋∞的数；也可直接利用单调性或数形结合法比较大小.1．(2016·高考全国丙卷)已知a＝，则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：利用幂函数的性质比较大小．∵y＝在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.答案：A2．设a＝，b＝2，c＝3，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞a＞b解析：基本法：∵b＝－log32∈(－1,0)，c＝－log23＜－1，a＝＞0，∴a＞b＞c，选A.答案：A类型二指数函数、对数函数图象的变换与应用[例2] (1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4解析：基本法：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图象上任意一点，它关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，由y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可知(－y ，－x )在y ＝2x ＋a 的图象上，即－x ＝2－y ＋a ，解得y ＝－log 2(－x )＋a ，所以f (－2)＋f (－4)＝－log 22＋a －log 24＋a ＝1，解得a ＝2，选C.速解法：设y 1＝f (－2)，则(－2，y 1)关于y ＝－x 的对称点为(－y 1,2)在y ＝2x ＋a 上， ∴2＝2－y 1＋a ，∴－y 1＋a ＝1，即y 1＝a －1 同理设y 2＝f (－4)，∴4＝2－y 2＋a ，即y 2＝a －2. ∴y 1＋y 2＝1，∴a －1＋a －2＝1，∴a ＝2 答案：C方略点评：两种方法都采用了关于y ＝－x 对称点的特征.基本法是具体求出对称函数，速解法是间接求出f－2及f－4.(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞22， ∴22＜a ＜1，故选B.速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1.若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x ＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B. 答案：B方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验．2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到即“形似”又“神似”．1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断． ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C. 答案：D2．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：基本法：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2x ＋1， x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54 C ．－34 D ．－14解析：基本法：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，∴a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.速解法：当x ≤1时，f (x )＝2x －1－2∈(－2，－1]，不可能f (x )＝－3. 故－log 2(a ＋1)＝－3，∴a ＋1＝23，a ＝7. ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，选A. 答案：A方略点评：基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是分析第一段的值域来确定fa＝－3的可能性.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：基本法：f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，e x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x 13≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．速解法：当x ＜1时，f (x )＝e x －1为增函数，当x ≥1时，f (x )＝x 13为增函数． ∴f (x )在R 上为增函数，且e x －1＜1. ∴令x 13≤2，∴x ≤8. 答案：(－∞，8] 方略点评：1基本法是分段讨论fx ≤2的解，速解法是利用了整个函数fx 的单调性. 2对数函数、指数函数性质的应用，首先明确底数的取值来确认单调性及图象特征. 3分段函数要分段讨论处理，同时注意整体性和分段点.1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋3x ＞0，x 2＋1x ≤0，若f (a )＝5，则a ＝________.解析：基本法：利用分段函数求解．由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＋3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋1＝5，解得a ＝4或－2. 答案：4或－22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：基本法：|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≤0，ln x ＋1， x ＞0，其图象如图．由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|， 则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x ≤0)，即a ≥x －2对x ≤0恒成立，所以a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——估算法方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．应用方向估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用此种方法确定选项.限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知a ＝50.5，b ＝0.55，c ＝log 50.5，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a解析：选A.因为a ＝50.5＞50＝1,0＜b ＝0.55＜0.50＝1， c ＝log 50.5＜log 51＝0，所以a ＞b ＞c .故选A.2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.3．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以排除A 、D ；当x ＞10时，x －1x 一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 大于0，故选B.4．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1解析：选D.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y ＝e －x ，于是f (x )的图象相当于曲线y ＝e －x 向左平移1个单位长度的结果，∴f (x )＝e －x －1，故选D.5．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4解析：选B.f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －6，x ＞0，则f (2 019)＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2 解析：选D.∵2 019＝6×337－3，∴f (2 019)＝f (－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选D.7．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，那么( ) A ．a a ＜a b ＜b a B ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以a b ＜a a ，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a ＜b a ，选C.8．下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0；②∃x 0∈(0,1)，③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜x . 其中真命题是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C.9．若a ＝2x ，b ＝x ，c ＝x ，则“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B.如图，可知“x ＞1”⇒“a ＞b ＞c ”，但“a ＞b ＞c ”⇒“x ＞1”，即“a ＞b ＞c ”是“x ＞1”的必要不充分条件．故选B.10．若不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256解析：选A.∵不等式4x 2－log a x ＜0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，函数y ＝4x 2的图象在函数y ＝log a x 的图象的下方．如图，∴0＜a ＜1.再根据它们的单调性可得4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142≤log a 14，即log a ≤log a 14，∴≥14， ∴a ≥1256.综上可得1256≤a ＜1，故选A.11．已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0解析：选C.在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(如图)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)＞0，f (x 2)＜0，故选C.12．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{1}解析：选B.f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x ＞0，∴1＋2x ＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2x＜0， ∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12， ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg(ab )＝2.答案：214．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1. 答案：115．已知函数f (x )＝则不等式f (x )＞1的解集为________． 解析：若x ≤0，则不等式f (x )＞1可转化为3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0⇒x ＞－1，∴－1＜x ≤0；若x ＞0，则不等式f (x )＞1可转化为log 13x ＞1⇒x ＜13，∴0＜x ＜13.综上，不等式f (x )＞1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 16．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －1|的图象如图(1)，此时y ＝2a ＞2，只有一个交点，不成立．当0＜a ＜1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图(2)，此时0＜2a ＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12。
专题02 指对幂函数图像及性质(课件)-2019年高考数学25个必考点
性
(2)值域：(0,+∞) (3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1 质 (4) a>1时, 在R上是增 函数； 0<a<1时,在R上是
(2)值域：R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) a>1时,在(0,+∞)是 增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是
指、对数 函数 第一象限中,指数函数底数与图象的关系 第一象限中,对数函数底数与图象
3
2
解后（1）熟悉幂函数的图像和性 反思质.
x＝－ 2x
x＝－ lnx
B
解析
y
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 1 2 3
y＝x
4 x
y＝－lnx y＝－2x
高考数学25个必考点— 数 习策略指导
函
—专题复
指对幂函数图像及其 性质
y y=nx y=m
x
y=q
x
y=p
x
y
y=logdx y=logcx
y y=x2 y=x3 y=x 1 y=x 2 1 y=x-1 O 1 x
1 O x
O 1
y=logax
x
y=logbx
பைடு நூலகம்、对数 函数
指数函数y=ax (a>0,a≠1) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y x y y=lo 图 y=a y=ax (0<a< gax 1 o x 1) (a>1 1 (a>1) 象 ) ax o y=log x (0< a<1) (1)定义域：R (1)定义域： (0,+∞)
新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题02函数及其应用指对幂函数学生版
专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若()f x 是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知(())()f h x g x ，求()f x 的问题，往往把右边的()g x 整理或配凑成只含()h x 的式子，然后用x 将()h x 代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数()f x 可设为2()(0)f x ax bx c a ，其中,,a b c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出,,a b c 即可.法3：换元法：已知(())()f h x g x ，求()f x 时，往往可设()h x t ，从中解出x ，代入()g x 进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知 f x 满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如1f x(或()f x -)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f x ．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现 f f a 的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：一般地，对于两个函数()y f u 和()u g x ，如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u 和()u g x 的复合函数，记作(())y f g x ，其中()y f u 叫做复合函数(())y f g x 的外层函数，()u g x 叫做(())y f g x 的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则复合函数(())f g x 的家义域由()a g x b 求出.(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b 时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x y f x ，②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为()y f x ，x D ④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①(0)y kx b k 的值域是R .④(0x y a a 且1)a 的值域是(0) ，.⑤log (0a y x a 且1)a 的值域是R.分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
高中幂函数知识点总结
高中幂函数知识点总结在高中数学中，学生们需要掌握幂函数的基本性质、图像特征、变化规律以及应用等知识点。
下面就幂函数的这些知识点进行总结。
一、幂函数的基本性质1.定义域和值域幂函数的定义域为全体实数集R，当a>0时，幂函数的值域为(0,+∞)；当a<0时，幂函数的值域为(-∞,0)。
当b为实数时，定义域不变，值域也不变。
2.奇函数和偶函数当b为奇数时，幂函数为奇函数，其图像关于原点对称；当b为偶数时，幂函数为偶函数，其图像关于y轴对称。
3.增减性当b>0时，a^b是单调递增函数；当b<0时，a^b是单调递减函数；当a>1时，a^x是单调递增函数；当0<a<1时，a^x是单调递减函数。
4.奇偶性当b为偶数时，幂函数的值域为(0,+∞)，其奇函数；当b为奇数时，幂函数的值域为(-∞,+∞)，其为奇函数。
5.图像特征当a>1时，幂函数的图像开口向上，且与y轴有交点(0,1)；当0<a<1时，幂函数的图像开口向下，且与y轴有交点(0,1)。
二、幂函数的变化规律1.当a>1时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。
2.当b>0时，随着x的增大，幂函数的值也增大；当b<0时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小。
3.在定义域内，当a大于1时，幂函数呈现增长趋势，a小于1时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数的图像是在a的基础上上升或下降，实际上是在描绘x的指数函数。
4.幂函数的图像经常在一轴上浮躺，显示出一种不平滑的弧度，变化没有一元二次函数的平稳。
随着a的变大或者减小，幂函数的图像与x轴的夹角越来越小。
5.当b不为整数，是一个更加复杂的形式；而指数函数是幂函数的一种特殊情况，b为整数时。
三、幂函数的应用1.在现实生活中，幂函数的变化规律被应用在各个方面，比如物理学中的指数增长和衰减模型、生物学中的人口增长模型、经济学中的利润增长模型等。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理
1专题02函数的图象与性质1 •下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是 ( )A • y = 2xB • y = 2|x|_x — xx — xC. y = 2 — 2 D • y = 2 + 2解析：因为y = 2x 为增函数，y = 2—x 为减函数，所以y = 2x — 2—x 为增函数，又y = 2x — 2—x 为奇函数，所以选C. 答案：C 2 •函数y =笔 的定义域是( )x — 2A . ( — 1 ,+^)B • [ — 1 ,+^)C. ( — 1,2) U (2 ,+^) D • [ — 1,2) U (2 ,+^)x — 2工 0,解析：由题意知，要使函数有意义，需 <即一1<x <2或x >2,所以函数的定义域为(一1,2) U (2 ,x + 1>0+ m ).故选C. 答案：Cx __C. y = 2 D . y = log 2| x |解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除 在(0 ,+^)上单调递增，所以排除 D.故选B.答案：B了 1 + log 2 2 — x , x <1,4 •设函数 f (x ) =5 x —1f ( — 2) + f (log 212)=( )I 2 , x 》1,A . 3B . 6 C. 9 D . 12 解析：T — 2<1 ,•••f( — 2) = 1 + log 2[2 — ( — 2)] = 3;•••log 212>1 ,• f (log 212) = 2log 212— 1 = 2log 26 = 6. • f ( — 2) + f (log 212) = 9.优解 由 f ( — 2) = 3,「. f ( — 2) + f (log 212)>3 排除 A.3.下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，+m )上单调递减的是(22 一A . y = -B • y =— x + 1 x由于 log 212>1，要用 f (x ) = 2xT 计算，则 f (log 212)为偶数，••• f ( — 2) + f (log 212)为奇数，只能选 C. 答案：C5 .已知函数f (x )的定义域为(一1,0)，则函数f (2x + 1)的定义域为( )A . ( — 1,1) B. i - 1，— 2 C. ( — 1,0) D. 2，11 f 1 \解析：由已知得一1<2x + 1<0,解得一1<x < — 2所以函数f (2x + 1)的定义域为 一1，— 2，故选B. 答案：B6 .已知f (x )是定义在［—2b, 1 + b ］上的偶函数，且在［—2b,0］上为增函数，则 f (x — 1) < f (2 x )的解集为( )A !-1，3'B . ］-1,3］ C. ［ — 1,1］ D. g, 1 I解析：；函数皿虚定义在［-边1十可上的偶函数…A+1十0=1,函数/W 的定义域为Lm 又的数血)在［-2:0］±单调递増…1的数金)在叩］上单调递减，二仪-1)虫2环1 02x|), \ — — 1<2^ | 一 >［x- 1 > 2x j L|x — 1 > j答案：BA C,又y = —•函数cos x>0,• f (x)<0，可排除选项D,故选B.答案：B8. 已知f(x)是R上的奇函数，且y= f(x + 1)为偶函数，当一K x W0时，f(x) = 2x2,贝U f1 1A. 2 B .—2C. 1 D . —1解析：因为函数f (x)为奇函数，所以f ( —x) =—f (x)，又y = f (x +1)为偶函数，所以f(x+1) = f ( —x+1)，贝y f (x) = f( —x+ 2) =—f (x —2) =—f( —x+ 4) = f(x —4)，所以函数f (x)的周期为4,所以f£；= f 4—2 =f —2 = 2X —1 2= 2 故选A.答案：A9. 现有四个函数：① y = x • sin x，②y = x • cos x，③y = x • |cos x|，④y=x・2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A.①④②③ B .①④③②C.④①②③ D .③④②①解析：函数①y = x • sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C, D;对于函数④y = x・2x, y z= 2x(1 + x ln2) , x>0时，y' >0,函数单调递增，所以函数④ y = x ^2'对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y= x • |cos x| >0,对应的是第四个函数图象，从而排除选项B,故选A.答案：A10. 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) ? x € R,都有f( —x) + f(x) = 0;r +亠f X1 —f X23⑵？X1, X2€ R,且X1^X2,都有<0.X1—X2①f (x) = sin x；② f( x) =—2x3:③ f (x) = 1 —x:④f (x) = ln( x2+ 1 + x).以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A. 0 B . 1C. 2 D . 3解析：由条件(1)，得f(X)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.对于①，f(x) = sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x) = —2X3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x) = 1 —x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选 B.45答案：B11 •下列函数中既是奇函数，又在区间(0 ,+s )上是减 函数的为(A . y = xB .叫xC. y = 2D . y = x +1x答案 Blog-, x2都是非奇非偶函数，排除A, C.解析 由题意得，对于函数 y = x 和函数y =1又函数y = x + -在区间(0,1)上单调递减，在区间(1 ,+^)上单调递增，排除 D,故选B.x12.已知函数 f (x ) = a ^^是奇函数，则f (a )的值等于()A .B . 3 C.1 D.§或 3答素解析 函数兀门为奇函数』则笊一 A-)= -Ax), 命在定义域內恒趁/Jr J*— I — 7*整理可得奈石占即川=1恒成立…：尸±1, 当尸1时，函数貝◎的解析式为当片—1时'函数卫工)的解析式为—1 —聲—1 —貞.^=<-1)=^7+3^=3 综上可得血的值为-殳it父(6a ,b 满足不等式f (2 a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,贝U 下列不等式恒成立的是 ()A . b — a <2B . a + 2b >2 C. b — a >2 D . a + 2b <2 答案 C1 —2解析由题意得f (— x ) = 1^2丁+1 —2 2x = — 1 + x , 1 + 2 1+ 2' 故函数f (x )在R 上单调递减.•/ f (2a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,••• f (2a + b )> — f (4 — 3b ) = f (3b — 4),2a + b <3b — 4,• b — a >2.故选 C.f(log 13)15.已知f (x )是定义在(—a, +s )上的偶函数，且在(—g,0］上单调递增，若a =5,b = f (log 35),c = f (0.2 0.5)，贝U a , b , c 的大小关系为()A . a <b <cB . c <a <bC. b <a <cD. c <b <a答案 C解析 T f (x )是定义在(—g,+a )上的偶函数,f(log 13)•- a =5= f ( 一 log 53) = f (log 53),解析 f (x )lOg a | x || x + 1| y 1 1—x , x < —1,「— log a =」lOg a ( — x ) , — 1<x <0,故选C.log a x , x >0. 14.已知函数f (x )=帛,实数-x= 2—1 =— 幷 =—f (x )，故函数f (x )为奇函数.x .2 — 1 又 f ( x ) =一 x =1 +2 答案 C••• 1= log 5 5<log 53<1,1 = log 33<log 35,78答案 A1 — ln| x |解析设 f (x ) = 1 + 呵 x | • sin x , , 1/• 0.2 0.5<log 53<log s 5,••• f (x )在(—g,0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，••• f (x )在[0，+g )上为减函数， 则 f (0.2 0.5)>f (log 53) >f (log 35), 即b <a <c ，故选C.2x + 1, x > 1,16 .若函数 f (x ) = * 2—x + ax + 1, x <1 在R 上是增函数,a 的取值范围为(A . [2,3]B . [2 ,+g )C . [1,3]D . [1 ,+g) 答案 A解析由题意得庐1，—1 + a +K 2+ 1,• a € [2,3]，故选 A.1 — l n | x l17.函数y = 十 • sin x 的部分图象大致为()1 + ln| x |由1+ ln| x| 丰0,得X M土一，e则函数f (x)的定义域为910则实数a 的值可以是( ) 11 B・ 6119u o, e u e.1 — ln| — x |f( — x) =1 + ln| — x | sin( — x)=—；-件 x| • sin x =— f (x ),1 + ln| x |•••函数f (x )为奇函数，排除D.1又1> ,且f (1) = sin 1>0，故可排除 e1 — —2 1 1 匸厂•sin 尹―3・sin 尹°,2x = log 3y = log 5z = k ( k <0),3 1 — k 5 1 — k厂3 ， z =5 ，又 1— k >0.2 3 5< < .故选A.x y z1 + x19.已知奇函数 f (x )满足 f (x + 1) = f (1 — x )，若当 x € ( — 1,1)时，f (x ) = lg ，且 f (2 018 — a ) = 1, i x•函数f (x ) =x 1—k 在(0,+^)上单调递增, 1 ——OO—— 一B.1— ln 1-2e 1 1+ ln re故可排除 C.故选A.18已知 log _ 3 52x = log 3y = log 5Z <0，则一，一，一的大小排序为(2 3 5 A. << x y z5 2 3 C. <3 2 5 B. <一<一y x z5 3 2答案解析 x ,z 为正实数，且 log 2x = log 刮=log 5z <0,令log k ，A 3k — 1 z k — 1 '，5= 52 1—k可得x =2 1 1 0<眾，且f-sin解析：：7U+1)=7U —d 心)三心―◎又的数金)为奇的数二g, 二贝一 Q 二一 yp —◎二用+町二一贝环. . [+ X Q「._心+4)=—加+丄)=血)，二|2^盘)为周期函数，周期为4一当x€ I, - 1J)时，令％x}=lgj7T^=l 』得”=TP 又R2 018-应)=贝2 — 6=夬4),二。
高一数学知识点幂函数知识点知识点总结
高一数学知识点幂函数知识点知识点总结高一数学知识点-幂函数知识点总结幂函数是高中数学中一种重要的函数类型，它在各种实际问题中的应用十分广泛。
本文将对高一数学中的幂函数知识点进行总结，包括幂函数的定义、性质、图像和应用等方面。
一、幂函数的定义幂函数是指形如y = a^x的函数，其中a是一个正实数且a≠1，x是自变量，y是因变量。
其中，a被称为底数，x是指数。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：对于底数为正实数且不为1的幂函数，它的定义域是全体实数，值域是(0, +∞)。
当底数为负实数时，定义域为奇数次幂的负实数和偶数次幂的非负实数，值域与正实数的幂函数相同。
2. 单调性：当底数a>1时，幂函数递增；当0<a<1时，幂函数递减。
3. 奇偶性：当底数a>0时，幂函数是奇函数；当底数a<0时，幂函数是偶函数。
4. 零点与解集：当底数a>0时，幂函数在x=0处有零点；当底数a<0时，对于偶数次幂的幂函数在x=0处有零点。
5. 渐近线：当底数a>1时，幂函数的图像有一个水平渐近线y=0；当0<a<1时，幂函数的图像有一个正轴渐近线y=0。
三、幂函数的图像幂函数在平面直角坐标系中的图像特点如下：1. 当底数a>1时，随着x的增大，幂函数的值也逐渐增大，当x趋近于无穷大时，y趋近于无穷大。
2. 当0<a<1时，随着x的增大，幂函数的值逐渐减小，当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
3. 当底数a<0时，幂函数的图像会根据指数的奇偶性以及底数的正负性产生不同的变化，需要具体分析。
四、幂函数的应用幂函数在各个领域中都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 成长问题：幂函数可以用来描述人口、资源、财富等随时间呈指数增长或指数衰减的情况。
2. 科学实验：幂函数可以用来描述某些物理量随着条件变化的规律，例如温度随着时间的变化、放射性物质的衰减等。
专题02 指对幂函数图像及性质(检测)-2019年高考数学25个必考点(原卷版)
(2)若函数f(x)的图象经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
二、能力提高题
1．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
5．幂函数 (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()
A．0 B．1 C．2 D．3
6．(2016·烟台模拟)已知幂函数 ，若f(a＋1)<f(10－2知函数
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
8．已知幂函数 (m∈N*)．
(1)若λ＝ ，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
5.(2017·厦门月考)已知函数f(x)＝ln .
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围．
一、基础过关题
1. (2018全国卷II)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （）
A. B.0C.2D.50
2．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．b>c>a
3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()
4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()
2．若函数f(x)＝loga(x2＋ x)(a>0，a≠1)在区间( ，＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破文
专题函数的图象与性质．下列函数中既是奇函数，又在区间(，＋∞)上是减函数的为( )
．＝．＝－
．＝．＝＋
答案
解析由题意得，对于函数＝和函数＝都是非奇非偶函数，排除，.
又函数＝＋在区间()上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，排除，故选.
．已知函数()＝是奇函数，则()的值等于( )
．－．
．－或或
答案
解析函数()为奇函数，则(－)＝－()，
即＝－在定义域内恒成立，
整理可得＝，
即＝恒成立，∴＝±，
当＝时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝－，
当＝－时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝.
综上可得的值为－或.
．函数()＝(<<)的图象的大致形状是( )
答案
解析()＝
＝
错误!故选.
．设函数()＝(＋)＋，则使得()≤(－)成立的的取值范围是( )
．(－∞，] ．[，＋∞)
∪
答案
．已知函数()＝＋，若＝()，＝()，＝，则，，的大小关系为( )
．<< ．<<
．<< ．<<
答案
解析由于(－)＝－()，且定义域为，
故函数()为奇函数，
由于′()＝＋≥，
故函数()为定义域上的增函数，
而<<，所以<<，故选.
．若函数()＝(\\(＋，≥，,－＋＋，<))在上是增函数，则的取值范围为( ) ．[] ．[，＋∞)
．[] ．[，＋∞)
答案
解析由题意得(\\(()≥，,－＋＋≤＋，))
∴∈[]，故选.
．函数＝的图象大致为( )。
高考数学专题复习：幂函数的图像和性质
高考数学专题复习：幂函数的图像和性质一、单选题1．已知幂函数()f x k x α=⋅的图象经过点，则k α+等于（ ）A ．32B ．12C ．2D ．3 2．对于幂函数45()f x x =，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x +大小关系是（ ） A ．1212()()()22x x f x f x f ++> B ．12()2x x f +12()()2f x f x + C ．12()2x x f +12()()2f x f x + D ．无法确定3．幂函数()f x x α=的图象过点(9,3)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞- 4．函数()12f x x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知幂函数()221()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或1 6．已知幂函数()f x x α=的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()()()1g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1B ．12C ．1-D ．12-7．有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()f x ④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．函数2()(1)f x a x =-是幂函数，则a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 9．函数1()f x x =在[]2,3上的最大值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．1410．设1a ＞，则函数()x f x a =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若函数()3,0,2,0,x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩则()()1f f -=（ ）A ．-1B ．1C ．-27D ．2712．已知幂函数()()22222a a f x a a x +=--，满足()f x 在()0,x ∈+∞为减函数，则a 的值为（ ）A ．3或1-B ．3C ．1-D ．3-二、填空题13．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）＝x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝________．14．已知幂函数()233m y m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =________.15．幂函数()f x 的图像过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16．函数()()110y x αα=-+<恒过定点________．三、解答题17．已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.18．已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若f f <，求4a y =的最大值.19．已知幂函数()f x 的图象经过点()2,4P ．（1）求()f x 的解析式．（2）证明：函数()()2g x f x x =+在区间()0,1上单调递减．20．已知幂函数223()mm y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.21．已知幂函数223()(22,)m m f x x m m z --+=-<<∈满足：（1）在区间()0,∞+上为增函数（2）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=，求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域．22．已知幂函数()()215m f x m m x -=--是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()log (0,1)a g x x a a =>≠的图象过点21,9A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]1,9上的值域.参考答案1．A【分析】由于函数为幂函数，所以1k =，再将点代入解析式中可求出α的值，从而可求出k α+【详解】解：因为()f x k x α=⋅为幂函数，所以1k =，所以()f x x α=，因为幂函数的图像过点，3α=，解得12α=， 所以13122k α+=+=， 故选：A2．A 【分析】根据45()f x x =在[0,)+∞上市增函数，图象是上凸的，则当120x x <<时，应有1212()()()22x x f x f x f ++>，由此可得结论. 【详解】因为幂函数45()f x x =在[0,)+∞上是增函数，且图象是上凸的，所以当120x x <<时，应有1212()()()22x x f x f x f ++>，故选：A.3．C【分析】首先根据函数过点(9,3)求出函数解析式，结合幂函数的性质判断可得；【详解】解：因为幂函数过点(9,3)，所以()993f α==，解得12α=，所以()f x =数的增区间为[0,)+∞．故选：C4．A【分析】根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．【详解】由题意得，()12f x x-=={}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数，故选：A ．5．A【分析】由()f x 是幂函数结合函数单调性得出实数m 的值．【详解】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A6．C【分析】由代入法可得1a =-，求出1()1g x x =-在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， 即可得到最小值.【详解】由幂函数()a f x x 的图像过点1(2)2，， 可得122a =，解得1a =-，所以1()f x x=， 函数11()(1)()1x g x x f x x x-=-==-，则21()10g x x '=+>， 所以()g x 在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， 所以()g x 的最小值1()1212g =-=-. 故选：C7．A【分析】分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在(),0-∞上的单调性，结合题意可得出合适的选项.【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x xf x -==为奇函数，且()10f x x =≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()f x R ，且()()f x f x -==-，该函数为奇函数，当0x ≥时，()0f x ；当0x <时，()0f x =<，则函数()f x 的值域为R ，函数()f x ()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件.故选：A.8．D【分析】根据幂函数的系数为1即可得答案.【详解】解：因为函数2()(1)f x a x =-是幂函数，所以11a -=，解得2a =故选：D9．B【分析】 根据幂函数的性质得到函数1()f x x=在[]2,3上的单调性，接着根据单调性求出函数1()f x x =在[]2,3上的最大值即可. 【详解】 因为幂函数1()f x x=可知： 函数()f x 在[]2,3上的单调递减，所以函数()f x 在[]2,3上的最大值为1(2)2f =， 故选：B.10．A【分析】对x 分类讨论，求得函数的解析式，判断出单调性，即可判断图象.【详解】 解：当0x ≥时，()x f x a =递增，当0x <时，()1xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，单调递减，函数定义域为实数集故选：A.11．B【分析】根据分段函数，先求得()1f -，再求()()1f f -即可.【详解】因为函数()3,0,2,0,x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩ 所以()1121f -=-+=，所以()()()31111f f f -===，故选：B12．C【分析】根据幂函数的单调性与定义可得出实数a 满足的等式与不等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由于幂函数()()22222a a f x a a x +=--在()0,x ∈+∞为减函数，所以，2222120a a a a ⎧--=⎨+<⎩，解得1a =-. 故选：C.13．﹣1【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】因为幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，所以α为负数， 因为112,1,,1,,2,3,422α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭， 所以1α=-，故答案为：1-14．1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =，若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意．若1m =-，则函数为1y x=，满足题意．故答案为：1-．15．3【分析】 由幂函数()f x 的图像过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得1()f x x -=，即可得解. 【详解】设幂函数()f x x α=，由()f x 的图像过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1(2)22f α==， 所以1α=-，1()f x x -=，111()333f -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：3.16．()2,2【分析】令11x -=即可求得定点坐标.【详解】当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2.故答案为：()2,2.17．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±.【分析】（1）根据函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <，求出实数a ，即可求出函数()f x 的解析式；（2）化简得()()223g x x b b =--++，求出对称轴，分1b ≤-，1b ≥，11b -<<三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数b 的值.【详解】解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数， 所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++，函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意；当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得b = 综上所述，存在实数2b =±满足题意.18．（1）3()f x x =；（2）最大值为16.【分析】(1)根据题意可知2221m m +-=且 210m +>，求出m 即可得到()f x 的解析式；(2)根据()f x 的解析式与f f <，求出a 的范围，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】(1)因为()()22122m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=， 即32m =-或1m =， 因为()f x 在()0,∞+上是增函数，所以210m +>，即12m >-，则1m =，故3()f x x =. (2)因为()f x 为R 上的增函数，所以201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，解得322a <≤. 故4a y =的取值范围为(]8,16，所以y 的最大值为16.19．（1）()2f x x =；（2）证明见解析．【分析】（1）设()a f x x =，根据()f x 的图象经过点()2,4P 求解；（2）由（1）得到()22g x x x=+，然后利用单调性的定义证明； 【详解】（1）设()a f x x =，因为()f x 的图象经过点()2,4P ，所以()224a f ==，解得2a =，所以()2f x x =．（2）由（1）可知()22g x x x=+， 任取()12,0,1x x ∈，令12x x >，则()()()()1212221212121212222x x x x g x g x x x x x x x x x +--=+--=-． 因为()12,0,1x x ∈，所以()120,1x x ∈，()120,2x x +∈，所以()121220x x x x +-<．又12x x >，所以()()1212121220x x x x x x x x +--<， 即()()12g x g x <，故()g x 在区间()0,1上单调递减．20．（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析.【分析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解.【详解】（1）因为幂函数223()m m y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x xx --=-==-，此时是偶函数， 当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.21．()4f x x =；值域是[]0,256．【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定()f x 表达式，进而确定其在指定区间上的值域.【详解】因为函数在()0,∞+上递增，所以2230m m --+>，解得31m -<<，因为22m -<<，m Z ∈，所以，1m =-，或0m =．又因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以223m m --+为偶数．当1m =-时，2234m m --+=满足题意；当0m =时，2233m m --+=不满足题意，所以()4f x x =,又因为()4f x x =在[]0,4上递增．所以()()min 00f x f ==，()()max 4256f x f ==，故函数的值域是[]0,256 ．【点睛】此题考查幂函数的性质，属于基础题.22．（1）()2f x x =；（2）[]1,83.【分析】（1）根据幂函数的概念，先求出m 的值，再根据幂函数的奇偶性，即可求出结果；（2）根据对数函数所过点的坐标，求出3a =，得到23()log h x x x =+，再由其在给定区间的单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为()21()5m f x m m x -=--是幂函数，所以251m m --=，解得3m =或2m =-，当2m =-时，3()-=f x x 显然是奇函数，不满足题意；当3m =时，2()f x x =显然是偶函数，满足题意；所以()2f x x =.（2）因为函数()log (0,1)a g x x a a =>≠的图象过点21,9A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1log 29a =-， 即219a -=，解得3a =，所以23()log h x x x =+，因为2y x 和3log y x =在区间[]1,9上都是单调递增，所以23()log h x x x =+在区间[]1,9上单调递增，所以()()()91h h x h ≤≤，即()183h x ≤≤， 即()h x 在区间[]1,9上的值域为[]1,83.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理
专题02 函数的图象与性质1．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2 B ．y ＝2||C ．y ＝2－2－D ．y ＝2＋2－解析：因为y ＝2为增函数，y ＝2－为减函数，所以y ＝2－2－为增函数，又y ＝2－2－为奇函数，所以选C. 答案：C2．函数y ＝lg x ＋1x －2的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎨⎧ x －2≠0，x ＋1>0即－1<<2或>2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.答案：C3．下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝－2＋1C ．y ＝2D ．y ＝log 2||解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除A ，C ，又y ＝－2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2||在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.答案：B4．设函数f ()＝⎩⎨⎧ 1＋log 22－x x <1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.优解 由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)>3排除A.由于log 212>1，要用f ()＝2－1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.答案：C5．已知函数f ()的定义域为(－1,0)，则函数f (2＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由已知得－1<2＋1<0，解得－1<<－12，所以函数f (2＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B. 答案：B6．已知f ()是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (－1)≤f (2)的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 7．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos 的图象的大致形状是( )解析：∵f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ，∴f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·cos(－)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e>e 0＝1，21＋e x －1<0，cos>0，∴f ()<0，可排除选项D ，故选B.答案：B8．已知f ()是R 上的奇函数，且y ＝f (＋1)为偶函数，当－1≤≤0时，f ()＝22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：因为函数f ()为奇函数，所以f (－)＝－f ()，又y ＝f (＋1)为偶函数，所以f (＋1)＝f (－＋1)，则f ()＝f (－＋2)＝－f (－2)＝－f (－＋4)＝f (－4)，所以函数f ()的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝12，故选A.答案：A9．现有四个函数：①y ＝·sin ，②y ＝·cos ，③y ＝·|cos|，④y ＝·2的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①解析：函数①y ＝·sin 为偶函数，图象关于y 轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C ，D ；对于函数④y ＝·2，y ′＝2(1＋ln2)，>0时，y ′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝·2对应的是第二个函数图象；又>0时，函数③y ＝·|cos|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B ，故选A. 答案：A10．若函数f ()同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀∈R ，都有f (－)＋f ()＝0；(2)∀1，2∈R ，且1≠2，都有f x 1f x 2x 1－x 2<0. ①f ()＝sin ；②f ()＝－23；③f ()＝1－；④f ()＝ln(x 2＋1＋)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由条件(1)，得f ()是奇函数，由条件(2)，得f ()是R 上的单调减函数．对于①，f ()＝sin 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f ()＝－23既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f ()＝1－不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f ()在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.答案：B11．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( )A ．y ＝xB ．y ＝－3C ．y ＝12log xD ．y ＝＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B. 12．已知函数f ()＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( ) A ．－13 B ．3C ．－13或3 D.13或313．函数f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x (0<a <1)的图象的大致形状是()答案 C解析 f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x＝⎩⎪⎨⎪⎧ －log a x x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.14．已知函数f ()＝1－2x1＋2x，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2B ．a ＋2b >2C ．b －a >2D ．a ＋2b <2 答案 C解析 由题意得f (－)＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f ()，故函数f ()为奇函数． 又f ()＝－2x －11＋2x ＝－2x ＋121＋2x＝－1＋21＋2x ， 故函数f ()在R 上单调递减．∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)，∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.15．已知f ()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15(log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 C解析 ∵f ()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35，0<0.20.5＝55<12，∴0.20.5<log 53<log 35，∵f ()在(－∞，0]上是增函数，f ()是定义在R 上的偶函数，∴f ()在[0，＋∞)上为减函数，则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c ，故选C.16．若函数f ()＝⎩⎨⎧ 2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为() A ．[2,3] B ．[2，＋∞) C ．[1,3] D ．[1，＋∞)答案 A解析 由题意得⎩⎨⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.17．函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f ()＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin ，由1＋ln||≠0，得≠±1e ，则函数f ()的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.∵f (－)＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－)＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，排除D.又1>1e ，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝121－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e 2<0，故可排除C.故选A.18．已知log 2＝log 3y ＝log 5<0，则2x ，3y ，5z 的大小排序为() A.2x <3y <5z B.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 ，y ， 为正实数，且log 2＝log 3y ＝log 5<0，令log 2＝log 3y ＝log 5＝(<0)，∴x 2＝2－1，y 3＝3－1，z 5＝5－1， 可得2x ＝21－，3y ＝31－，5z＝51－， 又1－>0，∴函数f ()＝1－在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A. 19．已知奇函数f ()满足f (＋1)＝f (1－)，若当∈(－1,1)时，f ()＝lg 1＋x 1－x，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.911B.119C ．－911D ．－119 20．函数f ()＝2－2ln 的单调递减区间是________．解析：函数f ()＝2－2ln 的定义域为(0，＋∞)，令f ′()＝2－2x ＝2x ＋1x －1x <0，得0<<1，∴f ()的单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)21．已知f ()是定义在R 上的函数，且满足f (＋2)＝－1f x ，当2≤≤3时，f ()＝，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 解析：∵f (＋2)＝－1f x，∴f (＋4)＝f ()， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤≤3时，f ()＝，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 答案：52B 组 能力提高9．(2017·全国Ⅲ)设函数f ()＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f ()＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的的取值范围是______________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，对不等式分≤0,0<≤12，>12三段讨论． 当≤0时，原不等式为＋1＋＋12>1， 解得>－14， ∴－14<≤0. 当0<≤12时，原不等式为2＋＋12>1，显然成立． 当>12时，原不等式为2＋122x ->1，显然成立． 综上可知，的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 10．已知定义在R 上的函数f ()满足：①函数f ()的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为＝－1；②当∈[－1,1]时，f ()＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案 －32 解析 由题意作出f ()的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32. 11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f ()＝ln(1＋x 2－)＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 ∵f ()＋f (－)＝ln(1＋x 2－)＋1＋ln(1＋x 2＋)＋1＝ln(1＋2－2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f ()是奇函数，当<0时，f ()＝－2＋.若不等式f ()－≤2log a (a >0且a ≠1)对∀∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f ()＝22 019x ＋1＋sin ，其中f ′()为函数f ()的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0答案 A解析 由题意得f ()＋f (－)＝2，∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f ()＋f (－)＝2可得f ()－1＋f (－)－1＝0，∴y ＝f ()－1为奇函数，∴y ＝f ()－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′()为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f ()，∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af ()＝f (＋T )恒成立，此时T 为f ()的类周期，函数y ＝f ()是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当∈[0,2)，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2， 函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)使g (2)－f (1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f ()，当∈[0,2)时，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2，分析可得：当0≤≤1时，f ()＝12－22， 此时f ()的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32， 当1<<2时，f ()＝f (2－)，函数f ()的图象关于直线＝1对称，则此时有－32<f ()<12， 又由函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2，则在∈[6,8)上，f ()＝33·f (－6)，则有－812≤f ()≤272， 则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812， 则函数f ()在区间[6,8]上的最大值为812， 最小值为－812； 对于函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，g ′()＝x －1x ＋2x .分析可得：在(0,1)上，g ′()<0，函数g ()为减函数，在(1，＋∞)上，g ′()>0，函数g ()为增函数，则函数g ()在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ， 若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)，使g (2)－f (1)≤0成立，必有g ()min ≤f ()ma ，即32＋m ≤812， 得m 的取值范围为(－∞，39]15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f ()和偶函数g ()满足12f ()－g ()＝x －1x 2＋1，若g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则的取值范围是____________________． 答案 {|>－2且≠0且≠1}解析 因为12f ()－g ()＝x －1x 2＋1， 所以12f (－)－g (－)＝－x －1x 2＋1， 即－12f ()－g ()＝－x －1x 2＋1， 因此g ()＝1x 2＋1. 因为g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1， 所以由g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 得1x ＋52＋1＋x －121x －12<1， 即1x ＋52＋1<11x －12，解得>－2，结合分母不为零得的取值范围是{|>－2且≠0且≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f ()＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意∈[－3，＋∞)，f ()≤||恒成立，则a 的取值范围是_______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 解析 如图所示，若对任意∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f ()的图象恒在y ＝||图象的下方，则必有⎩⎨⎧ f 33， ①f 00， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝与y ＝－2＋2－2a 相切或相离，所以＝－2＋2－2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程2－＋2a ＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2.综上，18≤a ≤2.。
高考数学：幂函数定义与性质知识点归纳
2019高考数学：幂函数定义与性质知识点归纳2019高考各科复习资料2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
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一、基础过关题
1. (2018全国卷II)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
（）
A. B. 0 C. 2 D. 50
【答案】C
【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知【解析】式的函数定义域内求解．
2．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】 A
【解析】由0.2<0. 8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，
所以a>b.综上，a>b>c.
3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()
【答案】 B
【解析】∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.
又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.
故选B.
4．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )
【答案】 A
【解析】 函数f (x )＝ln(x 2＋1)是偶函数，排除C ；当x ＝0时，f (x )＝0，排除B 、D ， 故选A. 5．幂函数24m m
y x
－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】 C
6．(2016·烟台模拟)已知幂函数()12
f x x －＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．
【答案】 (3,5)
【解析】 ∵幂函数()1
2
f x x
－＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，
∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1>0，10－2a >0，
a ＋1>10－2a ，
解得3<a <5.
7．已知函数243
1()()
.3
ax x f x -+=
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
【答案】 (1)单调递减区间是 (－∞，－2)．
(2) a 的值为1.
8．已知幂函数()21
()m m f x x
－＋＝(m ∈N *)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 【答案】 (1) 函数()2
1
()m m f x x －＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2) 实数a 的取值范围为[1，3
2
)．
【解析】(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数()21
()m m f x x
－＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
二、能力提高题
1．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】 (0，1
2)
【解析】 (数形结合法) 由图象可知0<2a <1，∴0<a <1
2
.
2．若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(1
2， ＋∞)内恒有f (x ) >0，则f (x )的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(1
2
，＋∞)
【答案】 A
【解析】 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(1
2，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函
数，
又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－3
4
，＋∞)．
又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－3
2，
所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，2
3]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】 (1
3
，1)
4.已知函数f (x )＝14x －λ
2x －1＋3(－1≤x ≤2)．
(1)若λ＝3
2
，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． 【答案】 (1) 函数f (x )的值域为[34，37
16
]．
(2) 实数λ的值为 2.
【解析】( 1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(1
2)x ＋3(－1≤x ≤2)．
设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(1
4≤t ≤2)．
当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(1
4≤t ≤2)．
所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.
所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝3
4，
故函数f (x )的值域为[34，37
16
]．
5.(2017·厦门月考)已知函数f (x )＝ln
x ＋1
x －1
. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m
(x －1)(7－x )
恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】 (1) f (x )＝ln
x ＋1
x －1
是奇函数． (2) 实数m 的取值范围是：0<m <7.
【解析】(1)由x ＋1
x －1>0，解得x <－1或x >1，
∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1＝－ln x ＋1
x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝ln
x ＋1
x －1
是奇函数． (2)由于x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m
(x －1)(7－x )
恒成立， ∴
x ＋1x －1>m
(x －1)(7－x )
>0， ∵x ∈[2,6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]， 由二次函数的性质可知，x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，
x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，
即x∈[2,6]时，g (x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。