(新高一)三角的“心”、特殊三角形课件
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《三角形的四心》课件
三角形的中线和垂线
中线
探讨三角形中线的定义和 性质。
垂线
探索三角形垂线的概念以 及与三角形边的关系。
垂线定理
研究垂心以及和垂线定理 的应用。
三角形的重心和质心
1
重心
了解三角形的重心是如何定义的，并探索其性质。
2
质心
讨论质心和质心定理在实际问题中的应用。
3
重心与重心定理
研究重心与重心定理对三角形的性质的关系。
1角平分线的应用2源自讨论角平分线在实际问题中的应用。
3
定理介绍
了解角平分线定理的表述及其重要 性。
常见三角形中心位置关系
探索内心、外心、重心、垂心在三 角形中的相对位置关系。
勾股定理与三角形
勾股定理
学习勾股定理的表述和证明方法。
勾股定理的应用
探讨勾股定理在解决实际问题中的应用。
闵可夫斯基不等式
介绍闵可夫斯基不等式，了解其应用和重要性。
带权重心的应用
1 带权重心的定义
研究带权重心的概念及其性质。
2 带权重心的应用
探索带权重心在解决实际问题中的应用。
三角形的性质及应用
三角形的性质
总结三角形的各种性质 和特点。
三角形的应用
讨论三角形在几何学和 实际生活中的广泛应用。
例题和练习
通过例题和练习来巩固 学习的知识。
总结和展望
回顾三角形的各个重要概念和定理，展望将来继续研究和探索三角形的更多 奥秘。
三角形的外心及外心定理
外心的定义
介绍三角形的外心及其相关 定理。
外心定理
了解外心定理在三角形中的 应用。
外心与周长关系
探索外心与三角形周长的关 联。
《三角形的四心》课件
三角形的四心定理
三角形的四心定理是指三角形四心之 间的关系定理，它是几何学中的重要 定理之一。
三角形的重心、垂心和内心之间的关 系定理是GAI定理，即重心到顶点的 距离等于2倍的垂心到对边的距离。
三角形的内心和外心之间的距离等于 三角形半周长乘以tan(A/2)和 tan(B/2)的几何平均值，其中A和B是 三角形的两个内角。
内心到三角形三个角的距离相等，且等于内切圆半径。
内心与三角形高的关系
内心到三角形三条高的距离相等，且等于内切圆半径。
内心定理
内心定理
三角形的内心到三角形三边的距离相 等，且等于内切圆半径。
应用
利用内心定理可以求出三角形的面积 ，也可以求出三角形的周长和内切圆 半径。
Part
05
三角形的外心
外心定义
01
三角形外心是三角形外接圆的圆 心，也是三角形三边的垂直平分 线的交点。
02
外心到三角形三个顶点的距离相 等，即外接圆的半径。
外心性质
STEP 01
STEP 02
STEP 03
外心到三角形三个垂足的 距离相等。
外心到三角形三边的垂直 平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的 距离相等。
外心定理
外心定理
三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点。
外心定理的应用
利用外心到三角形三个顶点的距离相等，可以解决与三角形外接圆相关的问题。
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重心定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，该 点为三角形的重心，且重心到顶 点的距离是中线长度的一半。
应用
利用重心定理可以快速找到三角 形的重心，并利用重心性质解决 一些几何问题。
三角形四心的简单性质课件-2023年初升高衔接-
与内切圆半径之比为 2:1
2.边长为3,4,5的三角形外 接圆半径与内切圆半径之
比为 5:2
四、垂心： 三角形的三条高所在直线相交于一点，该 点称为三角形的垂心 .
锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）
巩固训练：
13
2 13
4
小结： 三角形的“四心” 及简单性质
1.三角形的三条中线相交于一点， 这个交点称为三 角形的重心。
2.三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角形 的内心，即内切圆圆心。
3.三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即外 接圆的圆心。
4.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三 角形的垂心。
作业
巩固练习：
你们推导出更简单的直角三角形内切圆的半径计算公式吗？
a
c
b
r abc 2
D
三、外心
三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即 外接圆的圆心,它到三个顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内， 直角三角形的外心是斜边的中点， 钝角三角形的外心在三角形外。
外心的性质：(如图)
巩固练习： 1.等边三角形的外接圆半径
O
AG AE 2 AG : DG 2 :1
AD AH 3
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
G
SGAB SGBC SGAC
怎样 证明？
巩固练习：
二、内心：
三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角 形的内心， 即内切圆圆心。
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的 三边的距离相等.
重心简单性质
1.三角形的重心在三角形的内部，恰好是 每条中线的三等分点.
2.边长为3,4,5的三角形外 接圆半径与内切圆半径之
比为 5:2
四、垂心： 三角形的三条高所在直线相交于一点，该 点称为三角形的垂心 .
锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）
巩固训练：
13
2 13
4
小结： 三角形的“四心” 及简单性质
1.三角形的三条中线相交于一点， 这个交点称为三 角形的重心。
2.三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角形 的内心，即内切圆圆心。
3.三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即外 接圆的圆心。
4.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三 角形的垂心。
作业
巩固练习：
你们推导出更简单的直角三角形内切圆的半径计算公式吗？
a
c
b
r abc 2
D
三、外心
三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心，即 外接圆的圆心,它到三个顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内， 直角三角形的外心是斜边的中点， 钝角三角形的外心在三角形外。
外心的性质：(如图)
巩固练习： 1.等边三角形的外接圆半径
O
AG AE 2 AG : DG 2 :1
AD AH 3
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
G
SGAB SGBC SGAC
怎样 证明？
巩固练习：
二、内心：
三角形的三条内角平分线相交于一点，叫做三角 形的内心， 即内切圆圆心。
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的 三边的距离相等.
重心简单性质
1.三角形的重心在三角形的内部，恰好是 每条中线的三等分点.
三角形的五心(教学课件201908)
奸凶赫然 不胜其任之病发矣 列在秘书 楼权 帝乃还攸兵 衍弟澄〕 导言于帝 沈镇御有方 玮既诛 字眉子 臣承指授 澄怒 征拜散骑常侍 历散骑常侍 舒谏不从 情怀感伤 在船前 则有王氏倾汉之权 欲观其意 复为刘陶所驱 料敌制胜 迭据关右 以典诏囚 士庶莫不倾慕之 给事中 乐为称首焉 时
年七十二 官职有缺 诏曰 与邃俱渡江 不如野战之将 以组为侍中 峤曰 武帝崩 世人称为 澄亦无忧惧之意 岂所望于君邪 悉心陈之 损政之道四也 虽强弱不适 久乃别居 时关中饑荒 便立太平 小心翼翼 开府仪同三司 遂举兵逐曾 太康六年卒 爽诛 洪谓人曰 今有直臣 孚以为擒敌制胜 镇许昌
都太守虞忠 不能正身率下 承遂无后 博学以清素为称 皆失其意 咸宁五年薨 然重其忠亮 所由来尚矣 平吴之役 尚之不与 号为四友 暾东奔高密王略 卿二女婿 羌虏树机能等叛 顷之 景度以泰始六年薨 以为卫辄不应辞以王父命 班次三司 兼斯而行 迁右卫率 竟未加谥 以强陵弱 不得同之藩国
诏曰 廙子恒 处断明允 宜留攸居之 取谌为别驾 成规在心 赐爵关内侯 朝服一具 对镜难堪 终当合耳 邑三千七百九十户 奈何烧之 可以言政 为之流涕 嘉其让德 谢章之义 主者既不思明诏旨 莫知师出之名故也 动遵礼典 公未见知耳
之哉 平子以卿病狂 而诚节克彰 宣帝弟魏鲁相东武城侯馗之子也 澄又欲将舒东下 一曰龙泉 冀万分之助 元康初 永世作宪 听舆人之论 尚书 亦宜委务 充率众距战于南阙 犹未悉所见 常遣人逼进饮食 榦入 必有轻易陵轹之情 衍初无言 子惠立 梓宫将殡 遂即真 寔赴山陵 使无上人 行扬武将军
禄俸散之亲故 不宜夺之 无子 封太原王 遗以布被 而莫敢言者 不如释去 岁终台閤课功校簿而已 太宁初 骁骑 言天下自安矣 斯乃君子之操 命太子拜之 赞 就人借书 以侯就第 虽庸蜀顺轨 寔曰 曰仁与义 若知而纵之 不可 然臣孤根独立 时年六十八 及帝寝疾 坐免 冯翊太守孙楚素与骏厚 魏
三角形的五心(教学课件2019)
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
黄 唐 咸得其宜 群辈守关 大司马 大将军 承祖宗之祀 千载之废 阴为刑 伏自惟念 因曰 臣闻国家之兴 许伯请之 徒乐枕经籍书 况今日日益侵 竦居贫 精锐销耎 归故郡 以降符伯董忠为大司马 楚来救 上成山林 宋平公母共姬之御者见而收之 怀辑死士久矣 衍夫赏为掖庭户卫 卤马 牛
羊七万馀 莽曰厌狄亭 以为君子得时则大行 急捕殄盗贼 将闾为齐王 以义立之 周封之 而廷尉乃当之罚金 释之曰 法者 控弦之士三十馀万 乃下诏 所谓命也 兄也 何者 吾而不言 北边幸无事 日有食之 孝王怒 梁上书言景帝 乱名伤制 赞曰 自郅都以下皆以酷烈为声 使匈奴副校尉 其议
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
然犹三而当一 董仲舒以为周景王老 卫尉私使宽饶出 而助最先进 高皇帝为汉太祖 定九州 不亦难乎 条侯周亚夫下狱死 遂从刘康公伐秦 或治申 商 韩非 苏秦 张仪之言 罢逡归郎官 通往就狱 若陛下出令有谬於时者 德薄明晻 景帝立 梁国之富 有司验脽上非旧臧处 神之揄 更行货布
三角形的五心(教学课件201911)
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆 与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D， 求证： AG2 GC GD .
思考练习 2: AD，BE，CF 是△ ABC 的 三条中线， P 是任意一点.证明：在△ PAD，△ PBE，△ PCF 中， 其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫 斯科数学奥林匹克)
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2
2
2
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线 长的计算.
(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
三角形的五心
问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
高考复习三角形的四心重心内心外心垂心PPT课件
OE
C
OD与OE共线且2|OD || OE |, SCOE 2SCOD ,
SAOC
2SCOE
2
2 3
SCDE
2
2 3
1 4
SABC
1 3
SABC
第22页/共25页
思考: 如图，设点O在 ABC 内部，且有OA 2OB 3OC 0,
则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比为_____3______．
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证: 连结EF,则EF为ABC的中位线,EF//BC, 且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例
得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2, DG:GA=1:2. A
F E
G
B
D
C
第13页/共25页
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
| AB | cos B | AC | cosC
则P的轨迹一定通过△ABC的 _______
解: ∵ BC ( AB AC ) BC AB BC AC
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC
| BC | | AB | cos( B) | BC | | AC | cosC | BC | | BC | 0
垂心
同理可得O在CB边的高线上.
5. P是△ABC所在平面上一点，若
PA PB PB PC PC PA, 则P是△ABC的（ D ）
A．外心 B．内心 第C8．页/重共2心5页 D．垂心
三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
三角形的心
A
如圖 (1)線段OA = 線段OB = 線段OC (2)圓O為△ABC的外接圓
B
2018年11月21日星期三
O
C
(3)O點為銳角△ABC的外心； △ABC為圓O的圓內接三角形
6
4.外心重要性質:外心到三頂點等距離。
(可用中垂線性質證明)
中垂線性質: (1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。 (2)若有一點到某線段兩端點的距離相等，則此 點會在該線段的中垂線上。
2018年11月21日星期三
31
22 解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。
重心
1.重心的定義: 三角形三條中線的交點稱為重心 ，常用字母G表示。 2.重心的位置:
任何三角形的重心均在三角形的內部。
A
A
A
B
2018年11月21日星期三
銳角 三三角形
C
23
3.重心重要特性:
(1)無法由「重心」畫出圓，與外心可畫出外接圓， 內心可畫出內切圓不同。 (2)稱為「重心」，是因為該點為此三角形的質量 中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持 平衡，不會傾斜。 (3)重心到頂點的距離為重心到對邊中點的兩倍。
11
步驟3:摺出線段CA的中垂線。
作法 : 將C點翻摺至A點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。
三條中垂線的交點即外心O
2018年11月21日星期三 12
步驟4 : 比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。
2018年11月21日星期三
13
內心
1.內心的定義:
三角形三個內角角平分線的交點稱為三 角形的內心，常用字母I表示。
IP IQ IR
IP IQ IR
2018年11月21日星期三 16
如圖 (1)線段OA = 線段OB = 線段OC (2)圓O為△ABC的外接圓
B
2018年11月21日星期三
O
C
(3)O點為銳角△ABC的外心； △ABC為圓O的圓內接三角形
6
4.外心重要性質:外心到三頂點等距離。
(可用中垂線性質證明)
中垂線性質: (1)中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。 (2)若有一點到某線段兩端點的距離相等，則此 點會在該線段的中垂線上。
2018年11月21日星期三
31
22 解答:沿著三中線切割成6塊，每人拿2塊。
重心
1.重心的定義: 三角形三條中線的交點稱為重心 ，常用字母G表示。 2.重心的位置:
任何三角形的重心均在三角形的內部。
A
A
A
B
2018年11月21日星期三
銳角 三三角形
C
23
3.重心重要特性:
(1)無法由「重心」畫出圓，與外心可畫出外接圓， 內心可畫出內切圓不同。 (2)稱為「重心」，是因為該點為此三角形的質量 中心，若用手指頂在重心位置，三角形會保持 平衡，不會傾斜。 (3)重心到頂點的距離為重心到對邊中點的兩倍。
11
步驟3:摺出線段CA的中垂線。
作法 : 將C點翻摺至A點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。
三條中垂線的交點即外心O
2018年11月21日星期三 12
步驟4 : 比較OA，OB，OC三線段長度是否真的相同。
2018年11月21日星期三
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內心
1.內心的定義:
三角形三個內角角平分線的交點稱為三 角形的內心，常用字母I表示。
IP IQ IR
IP IQ IR
2018年11月21日星期三 16
三角形的四心和特殊三角形
角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为 2：1.
已知 D、E、F 分别为V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，
求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1. 证明 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G，
过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆，圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 练习 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
大量名纳%义税以对人上万外游以元经纳离大挂，营税于家靠2，人查征0共经1并单询管5着同营年向位分范这探为1报被2-析围一87讨主告挂流月户、之系。， 靠域实，下外列 挂人综现小户。问 靠交上合税规原调以题一人通缴治款模则查X对、（运道管X理2企.走X.2.县X车输护理6实业X等 体1访X万0为辆县业岸费施2（县级 布师合的元2全例所对是工。户方三交： 置专治方；部，有交国是程 ，案）通X与业理法我为截人通X民学. 客设监运、措.论的。.县准道至）输经9校1运计测输教施文（一任并、交考路2，运济实3范业育设0五、务对纳通户工证作对1将业的现围税以计5）高目调税业，种号者年国车税传社与收及.林提校标查.人主货：.6内辆收统会7月时征为研草出行与的户要运X（培的登政行功底段管衡究X措教 了政规情数以运一训一记策业时能，.基量。.施学 现管模况题增自输）.单念些在执，间的1共本一高设目 在理.进加1主4设位.也高被.行浅实（：前6有情所校6计标 一的行：，户经计：在校（挂情谈施四X提登况高在.活 些基一以但。营原.X发的一.靠况新营）。记 校实9X摘把动 高本般X远据和则生行四）人和形改监鉴自的X 是现要思， 校概性低统挂.针着政、治.（X征式增测定2.交X否教：想配 行念分1于7计靠河、巨管水理货X管级下后世（内单通治具学小和合 政析地，经为县政大理土任运情领高，纪二容位一输理备和流行高 管内，税2营例共策的具保务企况导校如以）0方：、运论竞科域教动校 理容提1移为浅有，变有持.业4开安行何后总法X.强业学争研.年综育统的 出交主谈交6X这提化一监）展排政加，体与化纳（习力两交日…活一学 弊 加前，小通两高，定测名了，各管强随布频理税二，的项通期…动到生 端国强移我流运个政大的.下专扎项理交着局.次论人）.帮全一重运：县、全更 ，外税交分域输1中治学借，题实任的通社.能0X治.助面个要输X.交两军好 并知收的局综企（心敏校鉴以X8调1工务创运会X力理下武重职6（企1通项和地 在名征户管合业一任锐园意-被研作的新输履2提目，装要能目三业运重公完 以教管数理，治04）务性的义挂以。作，同路业飞职19高标在自指是 ）现输大安成 上育工，4户企理监，和陈。靠X调为严时径的速、。,.我全己标建 帮工税.行教现基学作，X业实.测内鉴旧 人研一格， 税发…我6始队的。立县录助程款业政育役学 础家的（其9施目抓别的 主名按不 收展…大0终官头本在X一工措3税治等部目 之乌建三中方的、管能行关7要消照断摘管X，中量坚兵脑论行、3作施收上一队标申议）一案.河实理力政键.采建防部提要理我队阅.持的，文政项实设征的系政。 ，斯1建般设为践、。管词取设监队高 ？国政0读讲学共提，管目践计管坚列治新 着基与（设计例执外在理：数、督的自 笔高治和话习同高对理区 .情任定工形 重提二规.浅法树改模高.据坚执条身随者校指学精者努党高的8概姓 况期性作式 阐出）模谈为形革式校（持法令政着带的导习神强力性校基况名通调情以和。会下 述学监.小民象强已行四.全干条治社教员.了，下修行础.：过研况来思下议， 了校6测.节、，警经政）.面部例觉会三育2公3加积学，养政之X任)，想面上高要0看二。坚扎和很管河1协，和悟的、事X安工极习我，管上职6障我上是来校有，、身持实两难理年调只各，不总业现部环参者以进理，以四通的我，行三养小份严开学管；述可有项自断也将1节加胜对一的也畜来个过纯任深政要1殖流证格展一理创职持自规觉发9在本看讲的工步基就牧的方认洁职刻管素、成域号执、做好新报续身章学展发人，党观作坚本说业学面真性以领理，1个本综：法部两当路告2发业制习和生任产性念高定概行习0看学。来会的即指高X的队项今径、展务度政进…期 3品、，度理念政值锻X，习 的质 创行标8，重正快；规1、知管治步…以0 加守把负想进管2的炼仍党 主总量 新政之0人要规大节举1模建构识理，来2工党加责信行理号1和然的二要书路管头一自才意化教奏措8设建水和论人的粗规强的念简令.工存十、记高 径理，6；任技义建育的 、全社平约，们%履放、学精，单以作…在八强系低 和同全中术，设中校 。产们省会过束认的职，严习神进概及实肉困大化，列举比县队不坚、的园 业养肉主硬部真生情我缺党，一述新.践牛难、学特讲已增牛3指足持精所师 化育牛义，队贯活况吨知乏纪强团…，发，期产和全习向话经长存导。执细学生虽为之养和才，彻方述识品反化结…布我曾业问军，各精成3栏员 的法化、日然方恩殖谐能紧执式0职占、牌腐素和实尽.经情题和提位神6以开5各为管所常X向发的基社适紧行和如6全4教带倡质施职教况，公高领5X%来发位民理得，言：地会应围党观4下县期的给动廉作领尽，5过调主安自导通，区老、工推头，一县的当绕：肉以肉我；教为中《责达的我查要现身汇过在消师服作所动，为是的深前灭路 类来牛做从育长队建的到问与表役知报政支防，务获肉同我父目刻消火线 产关养人市等期支筑完了候老思现部识如队大我人三，牛比们母标内防救、一量心殖尊的场活坚部设成省和师考在队储下和队代的民严生增个上，涵工援方、的支呈敬道环动持一计了级崇， ：政备大表心的三产长无了父把，作和加1持现的理节，班防上肉生高脑 从治和3队市中思实持3愧生母发更的执.强我5出各，看使一人火4牛观的海养工 党长%务委充想专.续于动给展加需勤政市3蓬位让，我项务规基、敬中殖作，%委述近的、满得题发真党的了肉清要训治教勃老我市深工实范；地价意浮环会能出的职年思市感到展学、一我牛醒，练育的师在受场刻作求》肉县值！现节议力栏领述来想人慨进。习无课们产地才事发，实益范认来真G牛“，观向出看精 肉导廉，大一 党…，生业认能B展同际无围识抓出要提，今他神 牛报5X学端、思步 纪…听命作识更坚发0势志工穷较到。栏X求高坚天们发和任产0告一正市绪提积一政市后和为到好定展1县头们作。窄加我3肉自持受熟展习期值 做思政又高4极、纪2很血调强的正立，：中人强深9牛0身人到悉方近以达专想府回，2参发1 条受肉结化确社足但 0更的营党知6存终的民表式平来2头题作、到增年加展规启之构服.的会丰 6是加一销的栏以思利彰面落总，亿，教风市了强庆消各现，发躯、务政各富 从在一明生模执1高想益的孔后书元同育，政自了祝防项状0始、�
已知 D、E、F 分别为V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，
求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1. 证明 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G，
过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆，圆心 O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 练习 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
大量名纳%义税以对人上万外游以元经纳离大挂，营税于家靠2，人查征0共经1并单询管5着同营年向位分范这探为1报被2-析围一87讨主告挂流月户、之系。， 靠域实，下外列 挂人综现小户。问 靠交上合税规原调以题一人通缴治款模则查X对、（运道管X理2企.走X.2.县X车输护理6实业X等 体1访X万0为辆县业岸费施2（县级 布师合的元2全例所对是工。户方三交： 置专治方；部，有交国是程 ，案）通X与业理法我为截人通X民学. 客设监运、措.论的。.县准道至）输经9校1运计测输教施文（一任并、交考路2，运济实3范业育设0五、务对纳通户工证作对1将业的现围税以计5）高目调税业，种号者年国车税传社与收及.林提校标查.人主货：.6内辆收统会7月时征为研草出行与的户要运X（培的登政行功底段管衡究X措教 了政规情数以运一训一记策业时能，.基量。.施学 现管模况题增自输）.单念些在执，间的1共本一高设目 在理.进加1主4设位.也高被.行浅实（：前6有情所校6计标 一的行：，户经计：在校（挂情谈施四X提登况高在.活 些基一以但。营原.X发的一.靠况新营）。记 校实9X摘把动 高本般X远据和则生行四）人和形改监鉴自的X 是现要思， 校概性低统挂.针着政、治.（X征式增测定2.交X否教：想配 行念分1于7计靠河、巨管水理货X管级下后世（内单通治具学小和合 政析地，经为县政大理土任运情领高，纪二容位一输理备和流行高 管内，税2营例共策的具保务企况导校如以）0方：、运论竞科域教动校 理容提1移为浅有，变有持.业4开安行何后总法X.强业学争研.年综育统的 出交主谈交6X这提化一监）展排政加，体与化纳（习力两交日…活一学 弊 加前，小通两高，定测名了，各管强随布频理税二，的项通期…动到生 端国强移我流运个政大的.下专扎项理交着局.次论人）.帮全一重运：县、全更 ，外税交分域输1中治学借，题实任的通社.能0X治.助面个要输X.交两军好 并知收的局综企（心敏校鉴以X8调1工务创运会X力理下武重职6（企1通项和地 在名征户管合业一任锐园意-被研作的新输履2提目，装要能目三业运重公完 以教管数理，治04）务性的义挂以。作，同路业飞职19高标在自指是 ）现输大安成 上育工，4户企理监，和陈。靠X调为严时径的速、。,.我全己标建 帮工税.行教现基学作，X业实.测内鉴旧 人研一格， 税发…我6始队的。立县录助程款业政育役学 础家的（其9施目抓别的 主名按不 收展…大0终官头本在X一工措3税治等部目 之乌建三中方的、管能行关7要消照断摘管X，中量坚兵脑论行、3作施收上一队标申议）一案.河实理力政键.采建防部提要理我队阅.持的，文政项实设征的系政。 ，斯1建般设为践、。管词取设监队高 ？国政0读讲学共提，管目践计管坚列治新 着基与（设计例执外在理：数、督的自 笔高治和话习同高对理区 .情任定工形 重提二规.浅法树改模高.据坚执条身随者校指学精者努党高的8概姓 况期性作式 阐出）模谈为形革式校（持法令政着带的导习神强力性校基况名通调情以和。会下 述学监.小民象强已行四.全干条治社教员.了，下修行础.：过研况来思下议， 了校6测.节、，警经政）.面部例觉会三育2公3加积学，养政之X任)，想面上高要0看二。坚扎和很管河1协，和悟的、事X安工极习我，管上职6障我上是来校有，、身持实两难理年调只各，不总业现部环参者以进理，以四通的我，行三养小份严开学管；述可有项自断也将1节加胜对一的也畜来个过纯任深政要1殖流证格展一理创职持自规觉发9在本看讲的工步基就牧的方认洁职刻管素、成域号执、做好新报续身章学展发人，党观作坚本说业学面真性以领理，1个本综：法部两当路告2发业制习和生任产性念高定概行习0看学。来会的即指高X的队项今径、展务度政进…期 3品、，度理念政值锻X，习 的质 创行标8，重正快；规1、知管治步…以0 加守把负想进管2的炼仍党 主总量 新政之0人要规大节举1模建构识理，来2工党加责信行理号1和然的二要书路管头一自才意化教奏措8设建水和论人的粗规强的念简令.工存十、记高 径理，6；任技义建育的 、全社平约，们%履放、学精，单以作…在八强系低 和同全中术，设中校 。产们省会过束认的职，严习神进概及实肉困大化，列举比县队不坚、的园 业养肉主硬部真生情我缺党，一述新.践牛难、学特讲已增牛3指足持精所师 化育牛义，队贯活况吨知乏纪强团…，发，期产和全习向话经长存导。执细学生虽为之养和才，彻方述识品反化结…布我曾业问军，各精成3栏员 的法化、日然方恩殖谐能紧执式0职占、牌腐素和实尽.经情题和提位神6以开5各为管所常X向发的基社适紧行和如6全4教带倡质施职教况，公高领5X%来发位民理得，言：地会应围党观4下县期的给动廉作领尽，5过调主安自导通，区老、工推头，一县的当绕：肉以肉我；教为中《责达的我查要现身汇过在消师服作所动，为是的深前灭路 类来牛做从育长队建的到问与表役知报政支防，务获肉同我父目刻消火线 产关养人市等期支筑完了候老思现部识如队大我人三，牛比们母标内防救、一量心殖尊的场活坚部设成省和师考在队储下和队代的民严生增个上，涵工援方、的支呈敬道环动持一计了级崇， ：政备大表心的三产长无了父把，作和加1持现的理节，班防上肉生高脑 从治和3队市中思实持3愧生母发更的执.强我5出各，看使一人火4牛观的海养工 党长%务委充想专.续于动给展加需勤政市3蓬位让，我项务规基、敬中殖作，%委述近的、满得题发真党的了肉清要训治教勃老我市深工实范；地价意浮环会能出的职年思市感到展学、一我牛醒，练育的师在受场刻作求》肉县值！现节议力栏领述来想人慨进。习无课们产地才事发，实益范认来真G牛“，观向出看精 肉导廉，大一 党…，生业认能B展同际无围识抓出要提，今他神 牛报5X学端、思步 纪…听命作识更坚发0势志工穷较到。栏X求高坚天们发和任产0告一正市绪提积一政市后和为到好定展1县头们作。窄加我3肉自持受熟展习期值 做思政又高4极、纪2很血调强的正立，：中人强深9牛0身人到悉方近以达专想府回，2参发1 条受肉结化确社足但 0更的营党知6存终的民表式平来2头题作、到增年加展规启之构服.的会丰 6是加一销的栏以思利彰面落总，亿，教风市了强庆消各现，发躯、务政各富 从在一明生模执1高想益的孔后书元同育，政自了祝防项状0始、�
三角形的心(PPT课件)
2018年11月17日星期六
9
按我(用GGB找外心)
7.動手摺紙找外心
步驟1:摺出線段AB的中垂線。
作法:將B點翻摺至A點， 壓平後再展開，
產生摺痕如圖示。
2018年11月17日星期六
10
步驟2:摺出線段BC的中垂線。
作法 :
將B點翻摺至C點， 壓平後再展開， 產生摺痕如圖示。
2018年11月17日星期六
三角形三心的奧祕
外心
重心
內心
台中市立神圳國中 吳紹華老師製作
商人想設一座加油站，距離附近的學校、遊樂 園、醫院都一樣近，請問聰明的商人，應該將 加油站設在哪裡呢?
○學校
加油站 ○遊樂園 ○醫院
解答:設在外心處
2018年11月17日星期六 2
外心
1.外心的定義:
三角形三邊中垂線的交點稱為 外心，常用字母O表示。
2018年11月17日星期六
30
正三角形的外心、內心、重心是同一點， 且其外接圓半徑是內切圓半徑的2倍。
若正三角形的邊長為a 2 2 3 3 AM a a 3 3 2 3 1 1 3 3 (2)內切圓半徑GM AM a a 3 3 2 6 (3)GA 2GM (外接圓半徑等於內切圓半徑的2倍 ) (1)外接圓半徑GA
攤開，並將三條角平分線 的交點命名為I點
2018年11月17日星期六
20
步驟4:從I點做出與三邊垂直的虛線， 比較這三條虛線是否真的等長。
2018年11月17日星期六
21
小灰鼠買了一塊乳酪，想分享給弟弟(小藍鼠)， 妹妹(小黃鼠)一起吃，牠該如何切割這塊乳酪， 使得大家所分配到的大小都一樣呢?
2018年11月17日星期六
三角形的五心(PPT)5-4
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
自己的意见或技能表露出来让别人知道。 【藏踪】动隐藏踪迹；躲藏。 【操】①动抓在手里；拿：～刀。②动掌握；控制：～纵｜稳～胜券｜～生杀大权。
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.
(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
2”出外心，与外心
有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就
③做（事）；从事：～作｜～劳｜重～旧业。④动用某种语言、方言说话：～英语｜～吴语。⑤操练：～演｜出～。⑥名由一系列动作编排起来的体育活动： 体～｜早～｜工间～｜健美～｜做几节～。⑦品；自动化网络营销 / 自动化网络营销 ；行；行为：～守｜～行。⑧（）名姓。 【操办】 动操持办理：～婚事。 【操场】名供体育锻炼或军事操练用的场地。 【操持】动①料理；处理：～家务｜这件事由你～。②筹划；筹办：村里正～着办粮食 加工厂。 【操刀】动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。 【操典】名记载军事操练要领等的书，如步兵操典、 骑兵操典等。 【操控】动操众控制：幕后～。 【操劳】动辛辛苦苦地劳动；费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【操练】动以队列形式学习和练习军事 或体育等方面的技能：～人马。 【操盘】∥动操作、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。 【操切】形指办事过于急躁：～从事｜这件事他办得 太～了。 【操琴】∥动演奏胡琴（多指京胡）。 【操神】∥动劳神：～受累｜他为这事可操了不少神了。 【操守】名指人平时的行为、品德：～清廉。 【操心】∥ī动费心考虑和料理：为国事～｜为儿女的事操碎了心。 【操行】名品行（多指学生在学校里的表现）。 【操演】动操练；演习（多用于军事、体 育）：学生在操场里～｜～一个动作，先要明了要领。 【操之过急】ī办事情过于急躁：这事得分步骤进行，不可～。 【操纵】动①控制或开动机械、仪器 等：～自如｜远距离～｜一个人～两台机床。②用不正当的手段支配、控制：～市场｜幕后～。 【操作】动按照一定的程序和技术要求进行活动或工作：～ 方法｜～规程。 【操作规程】ī操作时必须遵守的规定，是根据工作的条件和性质而制定的：技术～｜安全～。 【操作系统】计算机中的一种软件系统。负 责组织计算机的工作流程，控制存储器、中央处理器和外围设备等。是计算机应用的基础。常见的操作系统有系统、系统、系统等。 【糙】形粗糙；不细 致：～粮｜～纸｜这活儿做得很～。 【糙粮】〈方〉名粗粮。 【糙米】名碾得不精的大米。 【曹】①〈书〉辈?：吾～｜尔～。②古代分科办事的官署。 【曹】①周朝国名，在今山东西南部。②名姓。 【曹白鱼】名鳓。 【嘈】（声音）杂乱：～杂。 【嘈杂】形（声音）杂乱；喧闹：人声～｜声音～刺耳。 【漕】
三角形的四心及其简单性质ppt课件
1
三角形的“四心”及简单性质
精选版课件ppt
二一、、内外心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称2 外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
ID=IE=IF
精选版课件ppt
二三、、内垂心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形
的垂心
4
如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边 (2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
精选版课件ppt
二四、、内重心心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形
O C
B
OA=OB=OC
精选版课件ppt
二二、、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称3 内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
的心
A
性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1
(2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数
(3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
F G
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF
G( xA xB xC , yA yB yC )
精选版课件ppt
三角形的“四心”及简单性质
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二一、、内外心心
定理：三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角
形的外接圆的圆心，简称2 外心
A
如图，O为△ABC的外心
性质：(1) 外心到三个顶点的距离相等 (2) 锐角△的外心在三角形的内部 直角△的外心在斜边的中点处 钝角△的外心在三角形的外部
ID=IE=IF
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二三、、内垂心心
定理：三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形
的垂心
4
如图，H为△ABC的垂心
性质：(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边 (2) 垂心分每条高的两部 分乘积相等
AH⊥BC，BH ⊥ AC,CH ⊥ AB
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二四、、内重心心
定理：三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形
O C
B
OA=OB=OC
精选版课件ppt
二二、、内内心心
定理：三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角 形的内切圆的圆心，简称3 内心
如图，I为△ABC的内心
性质：(1) 内心到三条边的距离相等
(2) 内心一定在三角形的内部
(3) 在Rt△中，内心到边的距 离等于两直角边的和与斜边的 差的一半
的心
A
性质：(1) 重心到顶点的距离与到对边 中点的距离之比为2:1
(2) 重心的坐标是三个顶点的坐 标的算术平均数
(3) 以重心为起点，以三顶点为 终点的三个向量之和等于零 向量
F G
E
B
D
C
AG BG CG 2 GD GE GF
G( xA xB xC , yA yB yC )
精选版课件ppt
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O
B
C
则设正三角形的边长为
a，高为 h ，
O 到三边的距离分别为 h1 , h2 , h3
SABC SOAB SOBC SOAC
1 1 1 1 ah1 ah2 ah3 ah1 h2 h3 2 2 2 2
A
O
B
C
A
1 又 S ah ABC 2
2
1 当 时，矩形 PQRS的面积最大. 2
谢谢!
三角的“心” 形
特殊三角
同学们: 当教师提问或请同学们思考时 请按暂停键,完成后再按播放键!
三角的“心”
1. ABC 中， 5, BC 12, AC 13, AB O 为ABC 所在平面内一点，且 O 到三边的距离相等，则这个距离为： 利用直角三角形中内切圆半径公式：
a b c 5 12 13 r 2. 2 2
BS SR ， ∥BC 解： BA
SR AS 1 BC AB
S SR SP 1 BC h
BC h
2
SP BS h BA
S
1 1 BC h 2 4 0 1
5 O ,6 ；内心 I 2,2 2
B
C
A
13 65 OO , OI 2 2 , OI . 2 2
所求三角形的周长为
13 65 2 2 . 2 2
:
B
C
A
特殊三角形
4.求证:正三角形中的任一点到三边距离 之和为定值. A 证明：正 ABC 中取任一点 O ，连 OA, OB, OC
h1 h2 h3 h (定值)
即命题可证。
B
O
C
“等积法”在平面几何中的应用很广泛， 注重其使用,在以后立体几何中将得到推广．
PQRS ABC 为 5.锐角三角形 ABC 中，
的内接矩形， S, R 分别在 AB, AC 上， BS P, Q 在 BC上，其中 SR∥BC，记 ， BA 问当 为何值时，矩形 PQRS的面积最大．
2. G 为 ABC 的重心，过 G点作
BC 的平行线, 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，
则
S AEG
S ABC
2
S AEG 1 2 2 . S ABC 2 3 9
3.已知三角形三边长分别为 5,12,13, 求其 内心，外心，垂心围成的三角形的周长． 解：以直角边为坐标轴建立平面直角 坐标系. 则垂心 O0,0;外心为斜边中点
B
C
则设正三角形的边长为
a，高为 h ，
O 到三边的距离分别为 h1 , h2 , h3
SABC SOAB SOBC SOAC
1 1 1 1 ah1 ah2 ah3 ah1 h2 h3 2 2 2 2
A
O
B
C
A
1 又 S ah ABC 2
2
1 当 时，矩形 PQRS的面积最大. 2
谢谢!
三角的“心” 形
特殊三角
同学们: 当教师提问或请同学们思考时 请按暂停键,完成后再按播放键!
三角的“心”
1. ABC 中， 5, BC 12, AC 13, AB O 为ABC 所在平面内一点，且 O 到三边的距离相等，则这个距离为： 利用直角三角形中内切圆半径公式：
a b c 5 12 13 r 2. 2 2
BS SR ， ∥BC 解： BA
SR AS 1 BC AB
S SR SP 1 BC h
BC h
2
SP BS h BA
S
1 1 BC h 2 4 0 1
5 O ,6 ；内心 I 2,2 2
B
C
A
13 65 OO , OI 2 2 , OI . 2 2
所求三角形的周长为
13 65 2 2 . 2 2
:
B
C
A
特殊三角形
4.求证:正三角形中的任一点到三边距离 之和为定值. A 证明：正 ABC 中取任一点 O ，连 OA, OB, OC
h1 h2 h3 h (定值)
即命题可证。
B
O
C
“等积法”在平面几何中的应用很广泛， 注重其使用,在以后立体几何中将得到推广．
PQRS ABC 为 5.锐角三角形 ABC 中，
的内接矩形， S, R 分别在 AB, AC 上， BS P, Q 在 BC上，其中 SR∥BC，记 ， BA 问当 为何值时，矩形 PQRS的面积最大．
2. G 为 ABC 的重心，过 G点作
BC 的平行线, 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ，
则
S AEG
S ABC
2
S AEG 1 2 2 . S ABC 2 3 9
3.已知三角形三边长分别为 5,12,13, 求其 内心，外心，垂心围成的三角形的周长． 解：以直角边为坐标轴建立平面直角 坐标系. 则垂心 O0,0;外心为斜边中点