2016-2017学年广东省揭阳一中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年广东省揭阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．（5分）复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33% B．49% C．62% D．88%6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．7．（5分）要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象沿x 轴（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）若A为不等式组表示的平面区域，则a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的体积为（）A．81πB．128πC．144πD．288π10．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，则关于方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（）A．f（x）在（﹣，）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x）在（，）上是减函数D．f（x）在（，）上是增函数二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．（1）求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设a n b n =，S n为数列{b n}的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n ∈N*恒成立，求实数t的取值范围．18．（12分）已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．（12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．（1）求证：GH⊥平面EFG；（2）求三棱锥G﹣ADE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1）（e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f（x1）＜且0＜f（x2）＜．请考生在第22、23题中任意选一题作答．如果多做，则按所做第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A．2．（5分）复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选：D．3．（5分）已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：根据条件，=；∴．故选：C．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．5．（5分）在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33% B．49% C．62% D．88%【解答】解：由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1=5，a30=1，设公差为d，则1=5+29d，解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．7．（5分）要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象沿x 轴（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：y=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]．故把cos[2（x﹣）]的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象，故选：A．8．（5分）若A为不等式组表示的平面区域，则a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ACD﹣S△OEC=故选：D．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的体积为（）A．81πB．128πC．144πD．288π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=，故R=6，则球O的体积为πR3=288π，故选：D．10．（5分）焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=，则关于方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数即为函数y=f（|x|）和直线y=a的交点个数．由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f（|x|）的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．故选：D．12．（5分）函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=，则（）A．f（x）在（﹣，）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x）在（，）上是减函数D．f（x）在（，）上是增函数【解答】解：∵f（x）=Asin（2x+φ），∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f（x1）=f（x2）时，有f（x1+x2）=，∴sin[2（x1+x2）+φ]=，即2（x1+x2）+φ=，且sin（2•+φ）=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）在区间[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f（x）在区间（﹣，）上是单调增函数．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．16．（5分）设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．（1）求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n ∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得，解得a1=d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n=2n +=n（n+1），（2）∵a n b n =，∴b n ==（﹣），∴S n =（1﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t ≥18．（12分）已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．【解答】解：（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…（3分）游客人数的平均数为=120（百人）．…（6分）（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，…（9分）其中游客等级均为“优”的有（1，4），（1，5），（4，5），共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为．…（12分）19．（12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．（1）求证：GH⊥平面EFG；（2）求三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：（I）连结FH，∵CD⊥CF，CD⊥BC，∴CD⊥平面BCFG，又GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH，又CD∥EF，∴EF⊥GH，∵AB=4，∴BH=1，BG=2，CF=4，CH=3，∴GH=，FG=2，FH=5，∴GH2+FG2=FH2，∴GH⊥FG．又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴GH⊥平面EFG．（2）∵四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，∴CD⊥DE，CD⊥AD，CD∥AB．又AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．=V B﹣ADE===．∴V G﹣ADE20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．【解答】解：（1）由题意即…（4分）（2）∵A（﹣2，0）设l1：x=my﹣2，由得（m2+4）y2﹣4my=0∴同理∴（6分）i）m≠±1时，过定点ii）m=±1时过点∴l MN过定点（3）由（2）知=（8分）令时取等号，∴时去等号，∴（12分）21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1）（e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f（x1）＜且0＜f（x2）＜．【解答】（Ⅰ）证明：函数的导数f′（x）=a[e x﹣a+（x﹣1）e x]=a（xe x﹣a），当a＞0时，由f′（x）=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象，则两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；不满足条件，则a＜0，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点，令h′（x）=a（x+1）e x=0，得x=﹣1，令h′（x）＞0得x＜﹣1，令h′（x）＜0得x＞﹣1，∴h（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，∵h（0）=f′（0）=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′（t）=a（te t﹣a）=0，得a=te t，此时f（t）=a（t﹣1）（e t﹣a）=te t（t﹣1）（e t﹣te t）=﹣e2t t（t﹣1）2=﹣e2t（t3﹣2t2+t），∵x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点，∴f（x1）=﹣e（x13﹣2x12+x1），f（x2）=﹣e（x23﹣2x22+x2），将代数式﹣e2t（t3﹣2t2+t）看作以t为变量的函数g（t）=﹣e2t（t3﹣2t2+t）．g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1），当t＜﹣1时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＞0，则g′（t）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，∵x1＜﹣1，∴f（x1）=g（x1）＜g（﹣1）=，∵f（x1）=﹣e x1（x1﹣1）2＞0，∴0＜f（x1）＜，当﹣1＜t＜0时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＜0，则g′（t）在（﹣1，0）上单调递减，∵﹣1＜x2＜0，∴0=g（0）=g（x2）=f（x2）＜g（﹣1）=综上，0＜f（x1）＜且0＜f（x2）＜．请考生在第22、23题中任意选一题作答．如果多做，则按所做第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，由（t为参数）消去t得：．所以直线l的普通方程为．（2）把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1，t2，则t1+t2=3，t1t2=5．所以|PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）第21页（共21页）。