直线与圆复习课
第二章 直线和圆的方程(单元复习课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
二、本章知识回顾
●2．2.2 直线的两点式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的两点式方程(重点). ●2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．
二、本章知识回顾
●2．2.3 直线的一般式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一
般式方程(重点). ●2.会进行直线方程的五种形式间的转化．
三、本章考点分析
三、本章考点分析
考点 30 圆的弦长问题
规律总结
直线与圆相交时的弦长求法
几何法 代数法
利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l之间的关
系
r2
d2
l 2
2
解题
若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直
接用两点间的距离公式计算弦长
弦长
设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系
公式法
得弦长 l＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]
三、本章考点分析
考点31直线与圆的方程的实际应用答题模板 应用直线与圆的方程解决实际问题 的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的 直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有 关知识求出结果；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
二、本章知识回顾
●2．1.2 两条直线平行和垂直的判定 ●1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点). ●2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题(难点)．
二、本章知识回顾
●2．2 直线的方程 ●2．2.1 直线的点斜式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜
直线复习和圆的方程课件
，解得ar2＝＝10 ，所以所求圆的
4．过圆 x2＋y2＝4 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、B，则△APB 的外接圆方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 连接 OA、OB，由平面几何知识可知 O、A、 P、B 四点共圆，故△APB 的外接圆即为以 OP 为直径的 圆，即圆心为 C(2,1)，半径 r＝12|OP|＝|OC|＝ 5，故圆的 方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
法二：设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)，
∴142＋＋92－2＋2DD＋＋32EE＋＋FF＝＝0
，解得EF＝＝311D－－7D ，
∴圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋(3D－8)y＋11－7D＝
0. 将 y＝0 代入得 x2＋Dx＋11－7D＝0.
（a）当l1, l2的斜率k1k2都存在时： l1, l2平行或重合 k1 = k2 ; l1, l2垂直 k1k2 = -1
（b）若l1 : A1x B1 y C1 = 0，l2 : A2x B2 y C2 = 0 则l1,l2平行 A1B2 - A2B1 = 0且A1C2 - A2C1 0 (或B1C2 - B2C1 0)
①
又圆 C 过点 P(1,2)和 Q(－2,3)，
∴圆心在 PQ 的垂直平分线上，
即在 y－52＝3(x＋12)上，
即在 y＝3x＋4 上，∴b＝3a＋4.
②
由①知 a＝±b，代入②得a＝b＝－11， ， 或a＝b＝－2－，2 ∴r＝ a－12＋b－22＝ 5或 5. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5 或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25，即 x2＋y2＋2x－2y－3＝0 或 x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
高考数学一轮复习必备：第59课时：第七章直线与圆的方程直线与圆的位置关系
高考数学一轮复习必备：第59课时：第七章直线与圆的方程直线与圆的位置关系课题：直线与圆的位置关系一．复习目标：1．把握圆的标准方程及一样式方程，明白得圆的参数方程及参数θ的意义，能依照圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化。
2．把握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及等有关直线与圆的咨询题。
3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程。
二．要紧知识： 1．圆的标准方程： ；圆的一样方程： ；圆的参数方程： 。
2．直线与圆的位置关系判定的两种方法： 代数方法： ；几何方法： ；3．弦长的运算方法：代数方法： ；几何方法： ；1．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，那么a 的取值范畴是〔 〕()A 2a <- ()B 203a -<< ()C 20a -<< ()D 223a -<< 2．直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，那么m 的取值范畴是〔 〕()A 0m <<()B 1m << ()C 1m ≤≤()D m <<3．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是〔 〕()A 22(7)(1)1x y +++= ()B 22(7)(2)1x y +++=()C 22(6)(2)1x y +++= ()D 22(6)(2)1x y ++-=4．设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，那么M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 。
5．假设曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，那么实数k 的取值范畴是____ __。
四．例题分析：例1．求满足以下各条件圆的方程：〔1〕以)9,4(A ，)3,6(B 为直径的圆；〔2〕与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆；〔3〕求通过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程。
直线与圆的位置关系(高三一轮复习课) 2015.12 (1)
心为 C，直线 l：y＝x＋m. (1)若 m＝4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； (2)若直线 l 是圆心 C 下方的切线，当 a 在(0，4]上变化时，求 m 的取值范围． 自主解答：
解析：(1)因为 x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， 所以(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，所以圆心为 C(－a，a)，半径为r＝2 a， 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d，m＝4 |－a－a＋4| 时，直线 l：x－y＋4＝0，圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2|a 2 －2|， t2 ＝ (2 a)2 － 2(a － 2)2 ＝－ 2a2 ＋ 12a － 8 ＝－ 2(a － 3)2 ＋ 10 ，又 0 ＜ a≤4， 所以当 a＝3 时，直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大，其最大值为 2 10.
|a－3＋4| 解析：(1)若直线与圆相切，则 ＝2 2，解得 a＝3 或 a 2 ＝－5，所以“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相 切”的充分不必要条件，故选 A. (2)设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为：y－2＝k(x＋1)；圆的圆 |2k＋1| 心坐标为(1，1)，半径为 1，所以圆心到直线的距离 d＝定理（半径， 半弦，弦心距离满足勾股定理），可以减少运算 量。
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第七章 平面解析几何
第四节
直线与圆的位置关系
梅县区松源中学 黄友新
考纲要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位
置关系．能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置
关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解代数方法处理几何问题的思想．
备 考 指 津
直线和圆的方程复习课PPT课件
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
返回
7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系PPT课件
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3，
.
由题易知点(1,2)应在已知圆的外部， 把点代入圆的方程得 1＋4＋k＋4＋k2－15>0， 即(k－2)·(k＋3)>0，解得 k>2 或 k<－3， 则实数 k 的取值范围是－83 3，－3∪2，8 3 3.
[答案]
1．已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选 D 设圆心的坐标为(a,0)(a>0)， 又因为直线 3x＋4y＋4＝0 与圆 C 相切， 所以 |33a2＋＋44|2＝2，解得 a＝2 或－134(舍)， 因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22， 即 x2＋y2－4x＝0.
(2)过点( 2，0)引直线 l 与曲线 y＝ 1－x2相交于 A，B
两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线
l 的斜率等于( )
A. 3 B．－ 3 C．± 3 D．－ 3
3
3
3
[自主解答] (1)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－ a，圆心 C(－1,1)，半径 r 满足 r2＝2－a，则圆心 C 到直线 x ＋y＋2＝0 的距离 d＝ 12＋1＝ 2，所以 r2＝4＋2＝2－a⇒a ＝－4.
解析：法一：几何法：圆心到直线
的距离为d＝
|0－2| 2
＝
2 ，圆的半径r＝
2，所以弦长l＝2× r2－d2 ＝2 4－2 ＝
2 2.
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒
154408_直线与圆的位置关系(复习课)_刘锐
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6.圆系方程: 圆系方程: 圆系方程 ①设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 设圆 和圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则 .若两圆相交, 过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ 为参数,圆系中不包括圆C 为参数,圆系中不包括圆 2,λ=-1为两圆的公 为两圆的公 共弦所在直线方程). 共弦所在直线方程 . 与直线l: ②设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线 : 设圆 : 与直线 Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的 ,若直线与圆相交, 圆系方程为x 圆系方程为 2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ 为参数). 为参数 .
3.两圆 2+y2-6x+4y+12=0和 x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系 两圆x 两圆 和 的位置关系 是( C ) (A)相离 相离 (B)外切 外切 (C)相交 相交 (D)内切 内切
4.已知圆 :(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 :x-y+3=0当直线 已知圆C: 及直线l: 当直线l 已知圆 > 及直线 当直线 被C截得的弦长为2 3时,则a=( C ) 截得的弦长为 (A) 2 (B) 2 - 2 (C) 2 -1 (D) 2 +1
返回
6.直线 直线3x+4y+m=0与圆 2+y2-5y=0交于两点 ,B,且OA⊥OB 与圆x 交于两点A 直线 与圆 交于两点 , ⊥ (O为原点 ,求m的值 为原点), 的值. 为原点 的值
直线与圆的位置关系(复习课)
B
10
O
C
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
B
O
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
P 4cm l A
P 4cm A l
2．如图，A，B是⊙O的两点，AC是 ⊙O的切线，∠B＝65°则∠BAC=( B ) A、35° B、25°C、50° D、65°
O B A C
3、已知:PA为⊙O的切线，A为切点， OB交⊙O于点B ，PB＝2，PA ３ ＝4.⊙O的半径r=
O
r
r
B２
４
P
A
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
O
B
C 10
如图， ⊙O的半径为 cm，正三角形的边长为 10 cm， 3 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
高考理科复习课件(8.4直线与圆、圆与圆的位置关系)
2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 （1）方法：待定系数法. （2）步骤：①判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一 条切线；若在圆外，则有且只有两条切线； ②设切线方程（一般设点斜式方程）； ③利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值； ④得切线方程. 【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条， 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.
A，B，则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( )
【解析】(1)错误.当k=1时，圆心到直线的距离 d
1
2 2
1 1 2 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 1 r， 2 k 1 解得 2 k 2.所以，“k=1”是“直线x-y + ， 2 12 1 k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件.
【解析】选B.由题意知圆心（1，-2）到直线2x+y-5=0的距离
22 1 相交但不过圆心. d 2 1 2 5 5 6. 且2〓1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆
2.已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2 =1
(a,b∈R)，那么两圆的位置关系是( (A)内含 (B)内切 (C)相交 ) (D)外切
(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条
件.( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(
)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的
公共弦所在的直线方程.(
)
(4)过圆O：x2+y2=r2外一点P（x0,y0)作圆的两条切线，切点为
第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－22＝0.
故两圆的公共弦的长为
2
32－|4＋34×2＋3－3222|2＝254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2，y2 项得到.
解析：由 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 因为直线 x＋my＝2＋m 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相交，
所以|1＋m1－＋2m－2 m|<1，即 1＋m2＞1，
所以 m≠0，即 m∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 答案：D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解：由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2. (1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4， ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC＝2－2＋12－ －12＝－1，
∴切线的斜率 k＝－k1PC＝1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－ 2)＝x－( 2＋1)， 即 x－y＋1－2 2＝0.
如图 D72，设 P(0，－2)，PA，PB 分别切圆 C 于 A，B 两点， PC＝ 22＋22＝2 2，θ＝∠APB，α＝π－θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中，sin 2θ＝PrC＝ 410， 所以 cos 2θ＝ 1－sin22θ＝ 46. 所以 sinθ＝2sin 2θcos 2θ＝2× 410× 46＝ 415，sin α＝sin (π－θ) ＝ 415.故选 B. 答案：B
第18讲直线与圆的位置关系复习课件(共41张PPT)
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
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直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
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图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
直线与圆的方程复习PPT课件课件
的斜率
k
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线 l 的方程为y-y0＝k(x-x0) (2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直 线l 的方程为y＝kx+b (3)两点式：设直线 l 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1≠ x2，y1≠y2则直线 l 的方程为(y-y1)/(y2-y1)＝(xx1)/(x2-x1) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0) 则直线l的方程为x/a+y/b＝1. (5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
(
)
(A
(C)2x+y-7=0
(D)2y-x-4=0
6 曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线方程是( A )
A x+y+2=0 B x+y+3=0 C x+y+4=0 D x+y+5=0
能力·思维·方法
1.过点P(2，1)作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点， 当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求 直线l的方程.
3.经过点(2，1)，且方向向量为v=(-2,2)的直线l的方程 是__x_+_y_-_3_=_0_____.
4.过点(-1，1)在x轴与y轴上截距的绝对值相等的直线 有___2_条____.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,
若 直 线 PA 的 方 程 为 x-y+1=0 ， 则 直 线 PB 的B方 程 为
直线与圆、圆与圆的位置关系-高中数学总复习课件
y 0 y ＝ r 2；
（2）过圆（ x － a ） 2 ＋（ y － b ） 2 ＝ r 2 上一点 P （ x 0 ， y 0 ）
的圆的切线方程为（ x 0 － a ）·（ x － a ）＋（ y 0 －
b ）·（ y － b ）＝ r 2 ；
（3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线 l 的距离 d ＝
|−｜
2 +1
＜1＜ 5 ，故直线 l 与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0过定
点（1，1），因为点（1，1）在圆 x 2＋（ y －1）2＝5的内部，
所以直线 l 与圆相交.
目录
高中总复习·数学
2
−
2
1+2
，｜ AB ｜＝2
4｜｜
4｜｜
1
8
2
＝
，所以 S △ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝
＝ ，解
2
2
2
1+
5
1+
1
1
得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可.
2
2
目录
高中总复习·数学
解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
目录
高中总复习·数学
点 P 作圆 O ： x 2＋ y 2＝2的两条切线，切点分别为 A ， B ，若直线 PA
与 PB 的夹角为α，当四边形 PAOB 的面积最小时， sin α＝
3
2
.
目录
高中总复习·数学
直线与圆的复习课
直线与圆的复习课
课前预习：
1. 直线0x -
+=被圆224x y +=截得的弦长 ．
2. 直线10x y ++=与圆2242x y x y +-+10+=的位置关系为
3. 过圆上一点(3,4)P 作圆2225x y +=的切线，该切线的方程为 ．
4.圆222220
x y x y +-+-=与圆22x y +6824x y ---=的位置关系是 ．
例题讲解：
例1：已知圆C ：0126422=+--+y x y x ,求:
(1) 自A （-1，4）引圆的切线l ，求切线l 的方程并切线长．
改：若点A 在圆上，切线l ？
(2) 点B 在直线03=++y x 上，过B 点引切线M,N 为切点，求四边形BMCN 的最小值。
(3)
14+-x y 的最值？x 2+y 2
的最值？x+y 的最值？
例2：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25,直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R).
(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程，此时通过该直线l与圆C的交点,且面积最
小的圆的方程？.
变题：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦l 为直径的圆的方程．若改为经过l且面积最小的圆呢？
课堂练习：
1.若直线y x b
=+与x=b的取值范围.
2.两圆2210100,
+++-=的公共弦的长为．
x y x y
x y x y
+--=2262400
小结：。
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(4)圆系方程： ①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0． 若两圆相交，则过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0 (λ为参数，圆系中不包括圆C2， λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．
（1）直线PA、PB的方程； （2）求过P点⊙C切线的长；
y
2 A 1B - O 1 2P 1 1
C
x
（3）求以PC为直径的圆的方程； （4）求直线AB的方程。
解：
则
（1）由题知切线斜率存在
设方程为：
y 1 k ( x 2)
即
kx y 2 k 1 0 .
k 3 1 k
（x-a) （x0-a) +(y-b) (y0-b) =r2
例题：过点P（1，-1）的直线L与圆M: x2+y2-６x-8y+21=0 1:当直线和圆相切时，求切线方程和切线 长; 2:若直线的斜率为2，求直线被圆截得的 弦AB的长;
演示
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)， 过P作⊙C的切线，切点为A、B。
2 1 -1 O -1
y
C
A
x
B 1 2
∴以PC为直径的圆方程为：
(x 3 2 ) (y
2
P
1 2
)
2
5 2
( 5 ) P ( 2 , 1)
所以直线 AB 方程为： ( 2 1)( x 1) ( 1 2 )( y 2 ) 2 即x 3y 3 0
• 题型一、关于圆的切线、圆的直径、圆的 弦有关的题型
• 基础练习 • 1. 已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段 AB为直径的圆的方程为？
圆上点的切线问题
• 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M（x0,y0）的切线方程
xx0+yy0
2 =r
• 已知圆的方程是（x-a)2+(y-b)2=r2,求 经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程
( 2 ) | PC | (1 2 ) ( 2 1)
2 2
y
2 1
10
C
A
x
B 1 2
| CA |
2
2
-1 O -1
2
P
在 Rt △ PCA 中， PA
PC
2
CA
10 2 8
| PA | 2 2
过 P 点 ⊙ C 的切线长为
2 2.
个动点,求:(1)x+y的最小值; (2) x2+y2的最大值。
例2 如果实数x, y满足x2+y2-4x+1=0, 求: （1） 最大值; （2）y-x最小值.
x y
点与圆的位置关系 设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到 圆心的距离为d，则有： (1) d＞r , 点M在圆外； (2) d=r, 点M在圆上；
(3) d＜r , 点M在圆内．
（十）直线与圆的位置关系关键是特征三角形
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，直线L的方程Ax+By+C=0， 圆心(a，b)到直线L的距离为d, 判别式为△，则有：
(1)d＜r 直线与圆相交；
(2)d=r 直线与圆相切:
(3)d＞r 直线与圆相离，即几何特征；
基础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ识回顾
一、圆的方程的各种形式
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心（a,b）
(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ＞0) 圆心（-D/2,-E/2） r =
D E 4F
2 2
(D2+E2-4F
2
(3)：圆的直径式方程：一个圆的直径端点是A(x1, y1)， B(x2, y2)，圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0 ．
弦长公式： 2 r 2 d 2 l
或 (1)△＞0 直线与圆相交；
(2)△=0 直线与圆相切；
(3)△＜0 直线与圆相离， 即代数特征，
十一、圆与圆的位置关系
设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=R2（R＞0）和 圆C2：(x-m)2+(y-n)2=r2(r＞0)且设两圆 圆心距为d，则有： （1）d＞R+r 两圆外离； (2) d=R+r 两圆外切； (3) │R-r│＜d＜│R＋r│两圆相交； (4) d= │R-r│ 两圆内切； (5) d＜│R-r│ 两圆内含.
解方程组 x 2 y 2 3 x y 0 (1) 2 2 ( x 1) ( y 2 ) 2 ( 2 )
由 ( 2 ) (1) 得
x 3y 3 0
题型二、与圆上的点有关的斜率、 距离问题
例1. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 3y=0上的一
2
2
k 6k 7 0
2
解得
k 7 或 k 1.
y 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2)
故所求切线方程为：
即
7 x y 15 0 或 x y 1 0 .
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，切 点为A、B。 （2）求过P点⊙C切线的长； （3）求∠APB；
以 A 为切点的圆的切线方程
为： x A 1)( x 1) ( y A 2 )( y 2 ) 2 (
( x A 1) x ( y A 2 ) y 3 x A 2 y A 0
即与 7 x y 15 0 表示同一直线
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，切 点为A、B。 （3）求以PC为直径的圆方程； （5）求直线AB的方程。 （4）∵ P(2，-1)，C(1，2)