物理竞赛-刚体
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高中物理竞赛-刚体
速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：不妨设静摩擦力f的方向向左， 则由质心运动定理：
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
27
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
8
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
d
dt
方向:与转向成右手螺旋关系。
v v r
r
at r
an r 2
3
4、刚体的平面（平行）运动 定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些
平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面
（平行）运动。
车轮滚动
木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1B A
2 A 刚体由1→2可分为
1、刚体平面运动的基本动力学方程
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基
点轴的转动。通常选质心为基点。 惯性系
y y
F外
maC（o系，质心运动定理）
C
x M外 J（C系，转动定律）
高中物理竞赛之力学部分：刚体力学大解析(可编辑精品)
判天地之美，析万物之理—庄子高中物理竞赛之力学大解析刚体力学概述：刚体指大小和形状都不变的物体，实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。
一、刚体的状态 1．静止的刚体条件： （1）所受的合外力为零（2）所受的合力矩为零 例题：1—822．运动的刚体（刚体的平面运动）刚体运动过程中的特点：其上任意两点的连线始终保持平行。
（1）定轴转动转动：刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为刚体的转动，这条直线称为转动轴。
定轴转动：转动轴固定不动 （2）角速度、角加速度角速度是矢量，方向由右手法则确定如图所示说明；角速度与线速度的关系：r v ∙=ω 角加速度：dtd ωβ=，角加速度也是矢量，方向：对于定轴转动来说与角速度的方向相同。
（3）定轴转动定律※对转轴的力矩M =Fl ，作用效果使刚体绕轴转动，逆转取正，顺转取负※角动量L ：一质点绕某转动轴做圆周运动，则该质点绕此转动轴的角动量为L =mvr ；假如有许多质点呢？质点系绕该转动轴的角动量为L =∑m i v i r i ，对于定轴转动的刚体的角动量L =∑m i v i r i =∑m i r i 2ω ※转动惯量J ：刚体中各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，即J =∑m i r i 2，刚体中各质元是连续分布的则J =⎰dm r 2，所以L =J ω例题分析（关于转动惯量的计算） 例1．薄圆环对中心轴线的转动惯量 分析：如图所示J =mR 2 （微元法）常见的刚体的转动惯量圆柱体对柱体轴线的转动惯量：J =221mR 圆柱环对柱体轴线的转动惯量：J =)(212221R R m +（割补法）细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量：J =ml 2/12 实圆柱体对中心直径的转动惯量J= mR 2/4+ ml 2/12l分析：左右两部分对中心转轴的转动惯量是一样的，则只要算出其中一部分的转动惯量就可以了，则将左边部分分成n 等份，每分的质量为m /2n ，J /2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→22222223222222lim n l n n m n l n m n l n m n l n m n=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n l n m n 222232122lim =()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→1216122lim 2n n n n l n m n 实球体对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/5薄球壳对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/3 ※关于转动惯量的两个定理： ①平行轴定理：J =J C +md 2 ②垂直轴定理：J z = J x + J y利用上述定理分析细圆环对任意切线的转动惯量：J =3mR 2/2※定轴转动定律刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受到的合外力距成正比，与刚体的转动惯量成反比。
高中物理竞赛辅导之刚体动力学
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r 2dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO
2 mR2 5
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有： vc R
解得作纯滚动经历的时间：
t v0 2g h R
3 g
3 g
2）达到纯滚动时经历的距离：
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
J 1 ml2 3
球壳： 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体力学基础(共14张PPT)
四、角动量问题举例
例 3-5 设一质量为m的滑块在水平面(Oxy)内以初速度 u0 u0i
从原点O出发沿x轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力 f f i
恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量.
解
t=0时， u0 u0i 质点受力 f f i
滑块任意时刻t的速度
u
u0
ft m
Lrprm v
圆周运动的质点、定轴转动刚体的角动量
Lm2 rJ
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
2 角动量定理(对定轴转动刚体)
t
L
t0M dtL 0dLLL 0JJ0
3 角动量守恒定律 若系统所受合外力矩为零，则系统 角动量保持不变.
3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
第三章 刚体力学基础
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
一、角动量
1.
质点的角动量
质量为 m的质点以速度
v
z
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
点的角动量：
O
Lrprm v x r
解 碰撞过程质点和刚体的系统动量、
O
能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外
力矩为零，角动量守恒。有
mlu0mluJ
M
J 1 Ml2
3
u l
解以上三式，得 3m2u0
v0
(3m M )l
l mv
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
质点以角速度 作半径为 r的圆运动，
高中物理奥林匹克竞赛专题——刚体
(FrMz)
Md z
A
M d z
——力矩的功（单位：J）
0
2.力矩的功会产生什么样的效果呢？
0M zd 0Izd dd t 0Izd ddt
下面来看
1 2
I
z
Iz d
0
12Iz2 12Iz02
2 表示什么意思？
轮轴无摩擦
T2 = m2 ( g – a ) m2 g
轻绳不伸长
轮绳不打滑
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为
（以后各例同） ( T2 – T1 ) R – Mr= I 再联立求解。
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。
转轴通过端点与棒垂直
m
L
I=
1 3
mL2
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
I=
m 12
(a 2 + b 2 )
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
I=mR2
匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m R2 2
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
I
=
m 2
(R12 +
R2 2
)
匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=
m 4
R2+
T1 a
m1 g
mA、RA T2
m1
a m2 g
A T3 T1
mB、RB
m2
T3
B
T2
T 1m 1gm 1a m 2gT 2m 2a
T 3R AT 1R A1 2m AR 2 A A T 2R BT 3R B1 2m BR B 2 B
物理竞赛辅导之刚体动力学
解: 在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩大小
rdFf
r
N πR2
dldr
0
dr r
dFf
dl
刹车片
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
rdFf
r
N πR2
dldr
Nrdr 2πr 2Nr 2dr
dM
圆盘所受摩擦力矩
rdFf
πR 2
0
dl
R2
M
dM
R 2Nr 2dr
mB B
M再求线加速度及绳的张力. f
A
mA FT1
FN
mAO
FT1
x
PA
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B FT2 O
mB PB y
解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分 析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
L
L
O
r
m
v
思考：质点对轴的角动量如何？
v
r
一 刚体的平动与转动
➢ 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
➢ 刚体的运动形式：平动、转动. ➢ 平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者 说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连 线.
Mf 2
R
三 角动量定理与角动量守恒
刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z
i
i
L J
刚体定轴转动的角动量定理
M dL d(J)
高二物理竞赛刚体课件
b
M J
1 2
mgLcosq
1 3
mL2
3g cosq
2L
b 3 g2cLosq 刚体定轴转动与质点一维运动的对比
xc
一根长为L、质量为m的均匀细直棒, 其一端
轴上的分量的大小均为：
dw dw dq d 对应的弧长为Rd 又： b 第5节 滚动与进动 dt dq dt 弧度/秒(rad ·s-1 )
Mz
M
k
dL dt
k
d Lik
dt
dm iwri zikirikk
dt
d( m i ri2w)
dt
b
m
i ri2
令: J m i ri2 ——转动惯量
将Mz改写为M，则
M Jb ——定轴转动定律
w (Z轴)转轴
刚体
O
ni i
ri
A
Ri
O
Lz Li k m i ri2w Jw
将Lz改写为L，则 L Jw ——对定轴的角动量
JC
1 12
mL2
可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同！
（3）平行轴定理
JC
1 12
mL2
ห้องสมุดไป่ตู้
JA
1 mL2 3
A
C
B
L
JC是通过质心的轴的转动惯量， JA是通过棒端的轴的转动惯量
两轴平行，相距L/2。
J
A
JC
1 3
mL2
1 12
mL2
m(
L )2 2
J
A
=
JC
+
m(
L 2
)2
上述结论可以推广：
若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体 对其转动惯量为J，则有：
高中物理竞赛课件：刚体
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi
m
ri
····C·×r·c ·rmi ·i
o
y
x
（ m mi ）
分量形式：
xC
mi xi
m
yC
mi
m
yi
zC
mi zi
m
9
质量连续分布：
rC
rd m
m
（m dm）
z r
o x
dm ×C rc m
y
分量形式：
21
五、刚体平面运动的动力学
1、刚体平面运动的基本动力学方程
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基
点轴的转动。通常选质心为基点。 惯性系
y y
F外
maC（o系，质心运动定理）
C
x M外 J（C系，转动定律）
刚体∥固定平面的截面
质心系，可以 是非惯性系
o
x
若刚体受力均在oxy面内，则有
G
7
例2、半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0时刻
开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t>0
时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最
高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。(2001第18届非
物理类专业大学生物理竞赛试题)
质心参考系：圆环上任一点 at R an R 2 R(t )2 R 2t 2
（平行）运动。
车轮滚动
木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1B A
2 A 刚体由1→2可分为
高中物理奥林匹克竞赛专题---刚体习题(共47张PPT)
角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正 比，即M＝－kω (k为正的常数)，求：圆盘的角速
度从ω0变为
1 2
0
时所需的时间．
解：根据转动定律： Jd / dt = -k
∴
d k dt
J
两边积分： 0/21dt kdt
0
0J
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ln2 = kt / J
∴ t＝(J ln2) / k
4、 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮挂一 质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B两滑轮的 角加速度分别为βA和bB，不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) βA＝βB． (B) βA＞βB． (C) βA＜βB． (D) 无法确定．
A M
B
答案：C
F
5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上， 平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕 通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（18）
角动量守恒m：v0l (mM)l0V
角动量守恒：m（ M)l0V (mM)(l0 l)usin
机械能守恒 1(： mM)V2 1kl2 1(Mm)u2
2
2
2
解得：u
(mv)2 kl2 (Mm)2 mM
5、质量为M＝0.03 kg，长为l＝0.2 m的均匀细棒，在一水 平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动．
Ml 2 1 ml 2
－－－刚体习题
刚体的定轴转动
1、基本物理量 （1）、角速度与角加速度
d
dt
d
dt
d2
dt2
高二物理竞赛第章刚体定轴转动课件(共41张PPT)
Jo＝Jc＋md2
平行轴定理
例1中 JA ＝ JC ＋ m L 2 21 1 2m L 21 4m L 21 3m L 2
z
A
C
B
x
L/2
L/2
od C
四、刚体定轴转动的转动定律
刚体 → 质点系（连续体） 质点系的角动量定理：
dL
M 外 dt
表示：作用于刚体的合外力矩等于刚体角动量对时 间的变化率。
R2 R1
l
r dm
记住几个常见的转动惯量： •圆环、薄圆筒（通过中心轴）……… J = mR2
•圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR 2 2
•细棒（端点垂直轴）…………………
JA
1 3
mL2
•细棒（质心垂直轴）…………………
Jc
1 12
mL2
3. 平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为 d，刚体 对其转动惯量为 J，则有：
2 43
O
6mv0L
刚体定轴转动的角动量定律：
M外
dL dt
t1 t2M 外 dtt1 t2dLL2L1
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
若 M 外 0 ， 则 L 0 , L J 常 矢 量 。
刚体对轴的转动惯量为：
当有多个力作用于刚体的某点 练习：P132 5. [例题3] 如图所示，主动轮A半径为R1，转动惯量为J1，绕定轴O1转动，从动轮B半径为R2，转动惯量为J2，绕定轴O2转动，两轮之间无相对滑动，若知主动轮受 到的驱动力矩为M，求两个轮的角加速度
F
(质点)
Frdcos
Frsind
Md
o
d r
dr
经过一段角位移：A dA Md
物理竞赛1-35届真题分类04刚体力学(无答案)
真题分类—刚体力学（21届复赛）六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为 ，< /2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．二、（23届复赛）（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长2L ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定的速度Vo 沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞求刚碰后小球A 、B 、C 、D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
由杆的刚性条件有 D C C B ''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解 C 0'=v （22）和 C0456MM m'=+v v （23）C（27届复赛）三、（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m ，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO ′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO ′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．（29届复赛）三、（25分）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
2020年高中物理竞赛—普通物理学A版-刚体的转动(共32张PPT) 课件
N
Mf
T
有动力学方程:
对m : mg T ma (1)
对飞轮 : TR M f J (2)
· GT
am mg
例续
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由运动学关系 a R (3) 联立上述四个方程有:
h 1 at 2 (4) 2
对第一次测量
其中
a1
2h t12
J (T1R 0.0156m / s2
Mf
T1
)R a1
m1
(5)
(g
a1
)
78.3N
对第二次测量
J
(T2 R
M
f
)
R a2
(6)
其中 a2
2h t22
6.4 103 m
/
s2
T2 m2 ( g a2 ) 39.2N
联立(5)(6)式得 J R2 (T1 T2 ) 1.06 103 kg m2
a1 a2
4-3 角动量 角动量守恒定律
描述点P转动的物理量为:
1. 角坐标 (t)
一般规定逆时针转动为正.
2.角速度
定义: d
dt
单位: rad/s
o
r •P
x
一般规定逆时针转动时 > 0
顺时针转动时 < 0
角速度矢量 方向用右手法则确定.
>0
刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.
3.角加速度 定义角加速度为:
单位: rad·s-2
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三.转动惯量
由转动惯量的定义 J Δ miri2 知:
刚体中各质元的质量与其到转轴距离平方的乘积和
对分立质量系统: J Δ m1r12 Δ m2r22
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选⊙为正
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑 水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后 系系 统统 以质心 将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触
时，相对于支撑面的瞬时速度为0. B
B点：vB vC rBC
vB 2vC
A点：vA vC rAC
r
rBC
A rACC rGC
r
r vC
M
解:(1) 对（圆盘+质点）系统，合 M
rO
x
外力为0，故动量守恒：
OC M
Mv0 2MvC vC v0 / 2
(2)碰后系统的运动可看作随质心C的平动和绕质心 轴的转动。易知，xC R / 2.
系统对C轴的合外力矩为0，故角动量守恒。
碰撞前瞬间，系统对C轴的角动量即圆盘对C轴的
角动量：LC
刚体竞赛内容
一、刚体运动的描述
1、刚体的平动 可以用任一点（通常选质心）的运动来代表。
2、刚体的定轴转动 （1） 角量描述
角坐标 ： = (t)
角位移：
角速度： d
dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt 2
（2）匀变速转动的规律
0 t
0
0
t
1 2
t2
2
2 0
2
(
0 )
3、角速度矢量
大小：
2、刚体的动量和质心运动定理
质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：
p mvC
F外
maC
——质心运动定理（适用于惯性系）
若F外 0 刚体的动量守恒
例3、如图所示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。
均质圆盘 y
令 为质量的面密度，则
R
质心坐标为：
· O″ C O′
初垂始 直时 的杆 速静度止v飞，来有，一与质杆量端与点杆碰相撞同的，小并球粘沿附与于杆杆
端点上，如图所示。
（1）定量分析系统碰撞后的运动状态； ml
（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，
再求碰后系统的运动状态。
(1999第16届非物理类专业大 学生物理竞赛)
O m v
ml 解：（1）
对（杆+小球）系统，对O轴合外力
若M外 0 L守恒
4、刚体定轴转动的转动定律
M外 J
角动量定理、角动 量守恒定律和转动 定律适用于惯性系 和质心系！
四、刚体定轴转动的动能定理
2
1、力矩的功 A Md
1
2
对刚体，内力矩不作功： A外 M外d
1
2、刚体定轴转动的动能定理 （1）刚体定轴转动的转动动能
（2）刚体定轴转动的动能定理
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
y
x轴平行于x轴 x
例5、均匀薄圆环：求J x , J x
由对称性， J x J y
o
x
R
由垂直轴定理，Jx J y Jz mR2 m
Jx
1 2
m R2
由平行轴定理，J x
Jx
m R2
3 2
m R2
3、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
（1）刚体定轴转动对轴的角动量定理 z
dL M外 dt
aC F
例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触， 求转动状态稳定后两轮的角速度。
10
m1 R1
f
20
m2
设两轮间摩擦力大小为f， 稳定后两轮角速度分别为
R2 1和2 . 由角动量定理，有
f
(1990第7届非物理类
t 0
fR1dt
1 2
m1
R12
(1
10 ) — —（1）
专业大学生物理竞赛)
F
C
对刚体，力的三要素： 大小、方向、作用线。
F
F作用，一般
使质心有加速度 使刚体有角加速度（若力过质
心，则无此项）
（2）力偶和力偶矩 力偶——大小相等方向相反的一对力。 力偶矩——力偶对某轴的力矩之和。
▲力偶对质心运动无影响。
F
d1 C
d2
F
FF对对CC轴轴力力矩矩大大小小：：MM1
Fd1，方向： 2 Fd2，方向：
技巧：统一积分变量
ydl
m
Rsin Rd
yC 0
m
2R
三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量
1、刚体定轴L转动J的角动或量（动L量矩J）
2、刚体对定轴的转动惯量
若质量分立分布： J miri2
i
若质量连续分布： J r 2dm
m
J取决于刚体的质量及其分布以及转轴的位置。
▲ 常ห้องสมุดไป่ตู้几种匀质刚体的转动惯量： 薄圆环（筒） 对中心轴
rO Mv0
LO
LO
LC
1 2
MR2
0
LC
[ J C盘
M ( R )2 ]
2
J C盘
J O盘
M( R)2 2
3 4
MR2
0 / 2
（3）以水平桌面为参考系，系统碰撞前的动能为
E1
1 2
Mv02
矩为0，故角动量守恒：
O
m v l [m( l )2 1 m l2 ]
m v
2
3v
2
12
2l
碰后系统将以
3v
转动。
2l
y
ml
（2）碰后，系统质心位置为
l
yC
m
m0 2
2m
l 4
系统的运动可看作随质心的平动和
绕质心轴的转动。
C vC
m O
对（杆+小球）系统，合外力为0，故动量守恒：
mv
2mv C
匀质圆盘，圆心O沿水平x轴以速度v0匀速运动，
同时圆盘绕其圆心O以匀角速0转动，运动过程中
与一静止在x轴上质量也是M的质点相碰，并粘在
圆盘的边缘上。求：（1）碰后系统质心速度；
（2）碰后系统绕质心转动角速度；（3）碰撞过
程中系统损失的机械能。(2010“托普杯”天津市
大学生物理竞赛)
0
R
x
O v0
M
B
A
1
1 1（ 平动） 1 2（转动）
y
y A
rrB
r
B
刚体∥固定平面的截面
x B——基点（任取）
对刚体上A点：r rB r
o
x r — — A点相对基点B的位矢
dr dt
drB dt
dr dt
v vB
v
v r
— —刚体绕过基点轴的角速度矢量
v vB r ——平面运动刚体上任一点的速度
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
r xCO r
x
xC
0 （ d r 2） R2 r 2
挖空
d
dd
R / r 2 1
系统可看作虚线圆盘＋剩下部分
例4、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆，求其质心。
解：由对称性，xC 0
y
yC
yd m m
思路：先取微元，再积分
C dl
R d y
x
o
任取线段元dl,其质量dm=dl,
为质量线密度。 yC
圆盘（柱） 对中心轴
细杆
对过端点⊥杆的轴 对过中点⊥杆的轴
t
0
fR2dt
1 2
m2 R22 (2
20
)
—
—（2）
稳定后两轮边缘线速度大小相等：1R1 2R2 — —（3）
1
m1R110 m2 R220
(m1 m2 )R1
,2
m2 R220 m1R110
(m1 m2 )R2
例、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑 水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支 撑面接触的瞬时，与支撑面 无相对滑动，则称车轮作无 滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与
转过的角度的关系：
x r dx r d
dt dt
则
vC
r
dvC dt
r d
dt
或 aC r
——无滑滚动的条件
C vC
r
x
车轮上任一点的速度： v vC r
vC
v 2
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
mv
l 4
( J C杆
J C球
)
y
J C杆
1 12
ml2
m( l )2 4
7 48
m l（2 平行轴定理）
ml
J C球
m( l )2 4
6v
5l
碰且后 系系 统统 以质心 将6v以绕v质C 心v2轴向转右动运。动，
5l
C vC
m O
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的
（r— —该点相对质心C的位矢）
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
G点：vG vC rGC 0
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触
时，相对于支撑面的瞬时速度为0. B
B点：vB vC rBC
vB 2vC
A点：vA vC rAC
r
rBC
A rACC rGC
r
r vC
M
解:(1) 对（圆盘+质点）系统，合 M
rO
x
外力为0，故动量守恒：
OC M
Mv0 2MvC vC v0 / 2
(2)碰后系统的运动可看作随质心C的平动和绕质心 轴的转动。易知，xC R / 2.
系统对C轴的合外力矩为0，故角动量守恒。
碰撞前瞬间，系统对C轴的角动量即圆盘对C轴的
角动量：LC
刚体竞赛内容
一、刚体运动的描述
1、刚体的平动 可以用任一点（通常选质心）的运动来代表。
2、刚体的定轴转动 （1） 角量描述
角坐标 ： = (t)
角位移：
角速度： d
dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt 2
（2）匀变速转动的规律
0 t
0
0
t
1 2
t2
2
2 0
2
(
0 )
3、角速度矢量
大小：
2、刚体的动量和质心运动定理
质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：
p mvC
F外
maC
——质心运动定理（适用于惯性系）
若F外 0 刚体的动量守恒
例3、如图所示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在x轴上。
均质圆盘 y
令 为质量的面密度，则
R
质心坐标为：
· O″ C O′
初垂始 直时 的杆 速静度止v飞，来有，一与质杆量端与点杆碰相撞同的，小并球粘沿附与于杆杆
端点上，如图所示。
（1）定量分析系统碰撞后的运动状态； ml
（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，
再求碰后系统的运动状态。
(1999第16届非物理类专业大 学生物理竞赛)
O m v
ml 解：（1）
对（杆+小球）系统，对O轴合外力
若M外 0 L守恒
4、刚体定轴转动的转动定律
M外 J
角动量定理、角动 量守恒定律和转动 定律适用于惯性系 和质心系！
四、刚体定轴转动的动能定理
2
1、力矩的功 A Md
1
2
对刚体，内力矩不作功： A外 M外d
1
2、刚体定轴转动的动能定理 （1）刚体定轴转动的转动动能
（2）刚体定轴转动的动能定理
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
y
x轴平行于x轴 x
例5、均匀薄圆环：求J x , J x
由对称性， J x J y
o
x
R
由垂直轴定理，Jx J y Jz mR2 m
Jx
1 2
m R2
由平行轴定理，J x
Jx
m R2
3 2
m R2
3、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
（1）刚体定轴转动对轴的角动量定理 z
dL M外 dt
aC F
例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触， 求转动状态稳定后两轮的角速度。
10
m1 R1
f
20
m2
设两轮间摩擦力大小为f， 稳定后两轮角速度分别为
R2 1和2 . 由角动量定理，有
f
(1990第7届非物理类
t 0
fR1dt
1 2
m1
R12
(1
10 ) — —（1）
专业大学生物理竞赛)
F
C
对刚体，力的三要素： 大小、方向、作用线。
F
F作用，一般
使质心有加速度 使刚体有角加速度（若力过质
心，则无此项）
（2）力偶和力偶矩 力偶——大小相等方向相反的一对力。 力偶矩——力偶对某轴的力矩之和。
▲力偶对质心运动无影响。
F
d1 C
d2
F
FF对对CC轴轴力力矩矩大大小小：：MM1
Fd1，方向： 2 Fd2，方向：
技巧：统一积分变量
ydl
m
Rsin Rd
yC 0
m
2R
三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量
1、刚体定轴L转动J的角动或量（动L量矩J）
2、刚体对定轴的转动惯量
若质量分立分布： J miri2
i
若质量连续分布： J r 2dm
m
J取决于刚体的质量及其分布以及转轴的位置。
▲ 常ห้องสมุดไป่ตู้几种匀质刚体的转动惯量： 薄圆环（筒） 对中心轴
rO Mv0
LO
LO
LC
1 2
MR2
0
LC
[ J C盘
M ( R )2 ]
2
J C盘
J O盘
M( R)2 2
3 4
MR2
0 / 2
（3）以水平桌面为参考系，系统碰撞前的动能为
E1
1 2
Mv02
矩为0，故角动量守恒：
O
m v l [m( l )2 1 m l2 ]
m v
2
3v
2
12
2l
碰后系统将以
3v
转动。
2l
y
ml
（2）碰后，系统质心位置为
l
yC
m
m0 2
2m
l 4
系统的运动可看作随质心的平动和
绕质心轴的转动。
C vC
m O
对（杆+小球）系统，合外力为0，故动量守恒：
mv
2mv C
匀质圆盘，圆心O沿水平x轴以速度v0匀速运动，
同时圆盘绕其圆心O以匀角速0转动，运动过程中
与一静止在x轴上质量也是M的质点相碰，并粘在
圆盘的边缘上。求：（1）碰后系统质心速度；
（2）碰后系统绕质心转动角速度；（3）碰撞过
程中系统损失的机械能。(2010“托普杯”天津市
大学生物理竞赛)
0
R
x
O v0
M
B
A
1
1 1（ 平动） 1 2（转动）
y
y A
rrB
r
B
刚体∥固定平面的截面
x B——基点（任取）
对刚体上A点：r rB r
o
x r — — A点相对基点B的位矢
dr dt
drB dt
dr dt
v vB
v
v r
— —刚体绕过基点轴的角速度矢量
v vB r ——平面运动刚体上任一点的速度
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
r xCO r
x
xC
0 （ d r 2） R2 r 2
挖空
d
dd
R / r 2 1
系统可看作虚线圆盘＋剩下部分
例4、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆，求其质心。
解：由对称性，xC 0
y
yC
yd m m
思路：先取微元，再积分
C dl
R d y
x
o
任取线段元dl,其质量dm=dl,
为质量线密度。 yC
圆盘（柱） 对中心轴
细杆
对过端点⊥杆的轴 对过中点⊥杆的轴