24.2.1_点和圆的位置关系公开课

圆上 4． ⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ； 当OP ＜6 _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不 ≤6 在圆外．
5． 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm 为半径作⊙A，则点B在⊙A _____ ；点C在⊙A ____； 上 外 点D在⊙A _____ ． 上
例如： 命题： 经过同一直线的三点不能作出一个圆． 经过同一直线的三点能作出一个圆． 假设：
过一点有两条直线垂直于已知直线． 矛盾：
定理：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
回顾与思考
这节课你学到了哪些知 识？有什么感想?
1． 点和圆的位置关系
A
d
r
B
d
r
C
d
r
点A在圆外
点B在圆上
点C在圆内
d>r
A C B
探究
由点的位置判断距离
⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上， 则OA__OB __OC__OD = ___． r = = =A
B
E O
r
D
F
C > 点E在圆内，点F在圆外，则OE __r ，OF __r ． <
探究
由距离判断点的位置
⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则 B A
O C
外 上 内 点A在圆____，点B在圆___，点C在圆___．
知识要点
A
点和圆的位置关系
B r
O
C r
O
r
O
OA= d
OB= d
OC= d
点A在圆外 d>r 点B在圆上
d=r
点C在圆内
d<r
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则 点在圆内
●
d﹤r
●
●
点在圆上 点在圆外
d＝r
聪明的人，今天做明天的事； 懒惰的人，今天做昨天的事； 糊涂的人，把昨天的事也推 给明天。 愿你做一个聪明的孩子！ 愿你做一个时间的主人！
你能猜出其中 蕴含的与圆有关的 数学知识吗？
射击靶
24.2与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、 E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是 怎么判断出来的？
B
C
5． 反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得
出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得
到原命题成立，这种方法叫做反证法．
随堂练习
1． 判断下列说法是否正确 （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形
（3）经过三点一定可以确定一个圆
（
√） ×）
（ ×）
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（√ ）
2． 若一个三角形的外心在一边上，则此三角 形的形状为（ B ） A． 锐角三角形 C． 钝角三角形 B． 直角三角形 D． 等腰三角形
3． ⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的 距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 圆内 圆上 ⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ； 圆外 点C在________ ．
d=r
d<r
2． 三点定圆
过已知一点可作无数个圆． 过已知两点也可作无数个圆． 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆， A 并且只能作一个圆．
B
C
3． 外接圆、内接三角形
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个 圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的 内接三三边垂直平分 线的交点，叫做三角 形的外心．
O
B
C
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个 圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)．
内接三角形
A
O
B
C
△ABC叫这个圆的内接三角形．
探究
分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么 位置关系？ A A A ●O ●O ●O B
d>r
练习一：已知圆的半径等于5厘米，点到圆心的距离是：
（1）8厘米
（2）4厘米
（3）5厘米。
请你分别说出点与圆的位置关系。
练习二： 1、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O 的 （ 内部）。 2、已知 点P在 ⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O 的半径r满足（0﹤r ﹤5 ） 3、 已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当 OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O 的（外部 ） 4、 ⊙O直径为d，点A到圆心的距离为m,若点 A不在圆外，则d与m的关系是( d／2≥m )
2.体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是6.4m和 5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
小练习
A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那 么B应站在哪里？有几个位置？ 请通过画图来说明．
A 3m
B站在以A为圆心， 以3m为半径的圆上任 意一点即可． 有无数个位置．
画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且 小于或等于3cm的点组成的图形.
2． 过两点可以作几个圆？无数个
●
O ●O
●
●
A
O
●
B
●
O
圆心：线段AB的垂直平分线上
半径： 这点到A或B的距离
3． 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆? A
B
C
分析
步骤1
A
B
C
经过A、B两点的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上．
步骤2
A
B
C
经过B、C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上．
且O在BC的垂直平分线上l2上，l2⊥ l
所以l1、 l2同时垂直于l，点P为l1、 l2 的交点 这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾， 所以经过同一直线的三点不能作圆．
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得 到原命题成立，这种方法叫做反证法．
观察
③C ⑤
E
B ②
A
④
① D
平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
圆外的点 圆 上 圆内的点 点 的
问题情境
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀 搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土 墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就 胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人 某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成 绩好？
6． 已知AB为⊙O的直径,P为⊙O 上任意一点， 则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（ C） A． 在⊙O内 B． 在⊙O 外 C． 在⊙O 上 D． 不能确定
7． 已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位 置关系． 圆外 （1）若PO=4.5，则点P在_____； 圆内 （2）若PO=2，则点P在_____； （3）若PO= _____，则点P在圆上． 3
步骤3
A
B
C
经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两 条垂直平分线的交点O的位置．
知识要点
过已知一点可作无数个圆． 过已知两点也可作无数个圆． 过不在同一条直线上的三点可以作一 个圆，并且只能作一个圆．
外接圆、外心
A 外接圆的圆心是三 角形三边垂直平分线的 交点，叫做三角形的外 心(circumcenter)．
2cm · O
挑战自我：
一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一 圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这 个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
回顾
画圆的关键是什么？
确定圆心 确定半径的大小
过几点可以确定一个圆呢？
探究
1． 过一点可以作几个圆? 无数个
● ● ●
O O
●
A
●
O
●
O
O
圆心： 点A以外任意一点 半径： 这点与点A的距离
┐
C
B
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内． 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点． 钝角三角形的外心位于三角形外．
为什么要这样强调？ 经过同一直线的三点 能作出一个圆吗？ 不在同一直线上的三个点确定一个圆．
A
B
C
探究
证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出 一个圆，圆心 为O．
l1
O
l2
l
C A B 则O应在AB的垂直平分线l1上， l1⊥ l
1.如图在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=3㎝，AC=4㎝，以B为圆心。以BC 为半径做⊙B。问点A、C及AB、AC的 中点D、E与⊙B有怎样的位置关系？
A
B
C
2.如图，已知△ＡＢＣ中, AB=AC=10,BC=12,求其外接圆的半径.
A
O B
C
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外) （2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
A
D
B
C
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)