自动控制原理第三章3.1-3.2

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自动控制原理 第三章答案

自动控制原理  第三章答案

3-1 解 该线圈的微分方程为 u =+diiR L dt对上式两边取拉氏变换,并令初始条件为零,可得传递函数为()1=()(+)+1I s RU s L R 时间常数+0.005T L R s ==,过渡时间=30.015s t T s =。

3-2 解 如图2-3-2所示系统的闭环传递函数为010()=(s)0.2+1+10+1H K C s KR S K Ts =其中0101+10H K K K =,0.21+10HT K =原系统的时间常数为0.2s ,放大系数为10,为了满足题目的要求,令0.02T s =和10K =,有0.9H K =和010K =。

3-3 解 设为温度计的输入,表示实际水温,设为温度计的输出,表示温度计的指示值,若实际水温为R (常值),则输入为幅值为R 的阶跃函数,输出为(t)=R(1-e )T c τ根据所给条件,有则时间常数。

3-4 解:所给传递函数的闭环极点为21,2=-1-n n s j ζωωζ±根据上式表达式,可以确定图2-3-3中的阴影部分为闭环极点可能位于的区域(考虑到对称性,只绘出s 平面的上半平面)。

图2-3-3 闭环极点可能位于的区域3-5解:典型二阶系统的传递函数为由如图2-3-4所示的响应曲线,可知峰值时间,超调量,根据二阶系统的性能指标计算公式和可以确定和,根据如图2-3-4所示曲线的终值,可以确定。

3-6 解:如图2-3-5所示系统的传递函数为是一个典型的二阶系统,其自然振荡频率为,令阻尼比可以确定,性能指标及分别为3-7 解:系统为典型二阶系统,自然振荡频率,阻尼比。

单位阶跃响应的表达式为(t>0)单位斜坡响应的表达式为3-8 解:当时,系统的闭环传递函数为其中,无阻尼自然振荡频率,阻尼比,单位阶跃响应的超调量峰值时间和过度过程时间分别为16.3%、0,36s和0.7s当,时系统的闭环传递函数为其中,无阻尼自然振荡频率,阻尼比,单位阶跃响应的超调量、峰值时间和过渡过程时间分别为30.9%、0.24s和0.7s。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

➢ 0 1 特征根: s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应:
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中:T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数:
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时,特征方程有一对相等的负实根,称为临界阻尼
系统,系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时,
阶跃响应曲线为:
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)

第三章自动控制原理

第三章自动控制原理

K0
K
T02s2 2 0T0s (1 K0 ) T 2s2 2Ts 1
自己做!
T T0 1 K0
K K0 1 K0
0
1 K0
R(s) + -
K 01 T01s 1
K02 C(s)
T02s 1
(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2 n s
n2
n
1 T
C(s)
(s)
1 s
s2
n2 2 n s
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
系统的响应为C(s)的拉氏反变换
c(t)
L1
N(s) D(s)
R(s)
L1
1 D(s)
Nr0
(s)
Nc0
(s)
由输入信号引起
由初始状态引起
C(s) N(s) R(s) N(s) P(s)
D(s)
D(s) Q(s)
R(s) P(s) Q(s)
n
展成部分分式: C(s)
Ai
l
Bk
i1 s si k1 s sk
si—D(s)=0的根,即系统传递函数的极点。
sk—Q(s)=0的根,和系统输入信号的形式有关。
得到系统的零状态响应为:
n
l
C(s) Aiesit Bkeskt
i1
k 1
零状态响应的暂态分量 零状态响应的稳态分量
给定输入是单位阶跃函数,系统输出即为单位阶跃响应
t
1 L[t] s2 0
1
t
三、抛物线函数(加速度阶跃函数)
r
(t
)
1 2
t
2

自动控制原理——第3章

自动控制原理——第3章

第三章 时域分析法
系统的特征方程
Js + Fs + K = 0
2
F 称为实际阻尼系数。 称为实际阻尼系数。 当
F = 4JK
2
特征方程有一对相等的负实根, 时 , 特征方程有一对相等的负实根 , 系统 处于临界阻尼状态。 处于临界阻尼状态。 为临界阻尼系数, 令Fc为临界阻尼系数,则
Fc = 2 JK
解: (1) 由结构图写出闭环传递函数
100 / s 10 C ( s) Φ( s ) = = = R( s ) 1 + 100 × 0.1 0.1s + 1 s
自动控制原理
第三章 时域分析法
的分母多项式看出时间常数T=0.1 s, 从Φ(s)的分母多项式看出时间常数 的分母多项式看出时间常数 , 故调节时间 ts = 3T = 3 × 0.1 s = 0.3 s (2) 计算 s=0.1 s的反馈系数值 计算t 的反馈系数值 设反馈系数为Kh,则系统闭环传递函数 设反馈系数为
1/K h 100 / s Φ( s ) = = 100 0.01 1+ s +1 × Kh s Kh 0.01 T= Kh

自动控制原理
第三章 时域分析法
调节时间
0.03 ts =3T = Kh
要求t 要求 s=0.1 s,代入上式得 ,
0.03 0.1= Kh
所以
K h =0.3
自动控制原理
第三章 时域分析法
实际阻尼系数 临界阻尼系数
ξ=
F F = = Fc 2 JK
闭环传递函数写成如下一般形式
2 ωn Φ( s ) = 2 2 s + 2ξωn s + ωn

自动控制原理 第三章课后答案

自动控制原理 第三章课后答案

3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%,并且假设温度计为一阶系统,求时间常数T 。

如果将温度计放在澡盆内,澡盆的温度以10C/min 的速度线性变化。

求温度计的误差。

解:c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10te(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e )-t/T =10T =2.5T=0.253-2电路系统如图所示,其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。

设系统初始状态为零,试求:系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值;解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)KTs +1=T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10=10(1–e -2t )8=10(1–e -2t)0.8=1–e-2te -2t =0.2 t=0.8g(t)=e -t/T T Kt 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T+T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12t 2u c (t)=10(3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。

解:C(s)=s 2+5s+4R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s1s+41+1/3s =4/3s +1-c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3-e3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。

、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。

1s(s+1)G(s)=t p =d ωπ 3.140.866= =3.63t s = ζ3ωn=6t s = ζ4ωn =8解:C(s)=s 2+s+1R(s)12= 1ωn 2ωn ζ=1ζ=0.5=1ωn =0.866d ω= ωn 2 ζ1-=60o -1ζ=tg β21-ζt r =d ωπβ-= 3.14-3.14/30.866=2.42σ%=100%e -ζζπ1-2=16%e -1.83-6已知系统的单位阶跃响应为t te et c 10602.12.01)(---+= ,试求:(1)系统的闭环传递函数;(2)系统的阻尼比ζ和无阻尼自然震荡频率n ω;解:s+60+C(s)=0.21s 1.2s +10-s(s+60)(s+10)=600=s 2+70s+600C(s)R(s)600R(s)=s 12=600ωn2ωn ζ=70ζ=1.43=24.5ωn3-7设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示,如果该系统为单位负反馈系统,试确定其开环传递函数。

自动控制原理及应用课件(第三章)

自动控制原理及应用课件(第三章)

即 s1,2=- n 临界阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 (s n )2 s
设部分分式为
C(s) A1 A2 A3
s s n (s n )2
式中,待定系数分别为A1=1,A2=-1,A3=-n
于是有
C(s) 1 1 n s s n (s n )2
取C(s)的拉普拉斯逆变换,则有
R(s) A0 s2
3.抛物线信号 抛物线信号的数学表达式为
0
r(t)
1 2
A0t
2
(t 0) (t ≥ 0)
式中,A0为常数。
当A0=1时,称为单位抛物线信 号,也称为单位加速度信号。
抛物线信号如图所示,它表示
随时间以等加速度增长的信号。
图3-3 抛物线信号
抛物线信号在零初始条件下的拉普拉斯变换为
R(s) A0 s3
4.脉冲信号 脉冲信号是一个脉宽极短的信号,其数学表达式为
0 t < 0;t >
r
(t
)
A0
0<t <
脉冲信号如图3-4(a)所示,
当A0=1时,若令脉宽 →0,则
称为单位理想脉冲函数,记作
(t),单位脉冲函数如图3-4(
b)所示, (t)函数满足
(t)
0
(t 0) (t 0)
闭环传递函数为 系统特征根为
(s) n2 s2 n2
s1,2 jn
无阻尼情况的单位阶跃响应为
C(s) n2 1 1 s s2 n2 s s s2 n2
取C(s)的拉普拉斯逆变换,则有
c(t) 1 cosnt (t ≥ 0)
系统阶跃响应曲线为等幅振荡,超调量为100%,振荡频率为 自然振荡角频率 n 。由于曲线不收敛,系统处于临界稳定状 态。

自动控制原理第3章

自动控制原理第3章

arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置:力学系统中,当系统外的作 D
用力为零时,位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置, B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置:若在外力作用下,系统偏离了平衡位置,但 当外力去掉后,系统仍能回到原来的平衡位置,则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置,而D点不是稳定的平衡位置。
注意:输入信号为非单位阶跃信号时,依齐次性,响应 只是沿纵轴拉伸或压缩,基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时,称系统处于动态;当t > ts时,称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统(惯性环节)
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态,y(0)=0 r (t)=1(t)时,y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym:单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞):单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts:调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr:上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

(1)延迟时间 t d :曲线第一次达到终值一半 所需的时间。 (2)上升时间 t :响应曲线从终值10%上 升到90%所需的时间;对于欠阻尼系统 可定义为响应从零第一次上升到终值所 需的时间。 (3)峰值时间 t p :响应超过终值到达第一个 峰值所需的时间。 ) (4)超调量M :响应的最大偏离量c(t 与终值 c (∞ ) 之差的百分比,即
图3-10
0 < ζ < 1 时的单位阶跃响应
0 < ζ < 1情况下二阶系统单位阶跃响应的暂态
性能的各项指标。 ①上升时间 tr :是指在暂态过程中第一次达 到稳态值的时间。
π − arctan
tr = 1−ζ 2
ζ
2
ωn 1 − ζ
=
1
ωd
(π − arctan
1− ζ 2
ζ
)
tp
②峰值时间t p :是指响应由零上升到第一个峰 值所需的时间。
3.3.2 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入r(t)=1(t),R(s)=1/s,得到系统 的输出为
2 ωn s + 2ζωn 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = = − 2 2 2 2 s ( s + 2ζωn s + ωn ) s s + 2ζωn s + ωn
当 ζ 为不同值时,所对应的响应具有不同 的形式。 (1)当 ζ = 0时,为零阻尼情况,系统的输出 为 ω 1 s
(t ≥ 0)
1 − t T
e(t ) = r (t ) − c(t ) = Tt − T (1 − e
2
)
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应
传递函数 输入信号 输出响应

方晓柯自动控制原理电子教案第三章时域分析法

方晓柯自动控制原理电子教案第三章时域分析法

12 n
若取=2%得ts: ≥
12 n
当阻尼比 <0.8时,近似取为:
ts
3
n
ts
4
n
(=5 %)
( =2%)
当 一定时,以为自变量,对 求极值,可得当 =0.707时,
取得极小值,即系统的响应速度最快。
设计二阶系统时,一般取=0.707作为最佳阻尼比。
5.振荡次数 N
振荡次数N是在0≤t≤ts时间间隔内,系统的单位阶跃曲线c(t)
(5)控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能产生变化。
因此,对于一个实际系统,只知道系统是稳定的还不够,还要了 了解系统的稳定程度,即系统必须具有稳定性储备。系统离开临 界稳定状态的程度,反映了系统稳定的程度。
3.4.2 稳定的条件
线性定常系统的微分方程:
a0
d nct
dt n
a1
d n1c t
d
1 2 (s n )2 d 2
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
系 统 的 响 应 由 稳 C(t) 态分量和动态分 量两部分组成, 稳态分量的值等 于1,动态分量是
一个随时间t的增
长而衰减的振荡 过程。
c(t) 1 ent
1
1 2
s in(d t
arctg
1 2
)
2.临界阻尼状态(=1)
Cs
n 2
n 2
s(s 2 2n s n 2 ) s(s 2 2n s n 2 )
n 2 s(s n )2
A1 s
A2
s n
(s
A3
n
)2

自动控制原理-第3章

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4<ζ<0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法

自动控制原理第三章

自动控制原理第三章

A=1,称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
3. 抛物线函数(等加速度函数)
1 2 At t0 r (t ) 2 t0 0
f(t)
A=1,称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时,这时系 统的输出则为原来输出的导数。 C ( s) GB ( s) R( s) dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt dc( t ) c1 (t ) dt 2. 在零初始条件下,当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时,系统的输出则为原来输出对时间的积分, 积分常数由零初始条件决定。 R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s y2 ( t ) y( t )dt
单位脉冲响应 [R(s)=1] h(t) 1 1/T C ( s) Ts 1 它恰是系统的闭环传函,这 0.368/T 时输出称为脉冲(冲激)响应 0.135/T 0.05/T 函数,以h(t)标志。 t 1 T 0 T 2T 3T h( t ) C脉冲 ( t ) e T 3.2.3
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述,都是用这两个参数表示的。
例如: RLC电路 R
L
r ( t)
C
c(t)
微分方程式为: d 2 c( t ) dc( t ) LC RC c( t ) r ( t ) 2 dt dt 2 n C ( s) 1 Φ( s ) 2 零初条件 2 2 2 R( s ) T s 2Ts 1 s 2n s n

自动控制原理 第三章

自动控制原理 第三章


1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1

, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大,一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大,一个小。绝对 值大的离虚轴远,衰减速度快, 值大的离虚轴远,衰减速度快,绝对值小的离虚 轴近, 轴近,衰减速度慢 衰减项前的系数一个大, 衰减项前的系数一个大,一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性, 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性,没有振 荡和超调, 荡和超调,但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大,离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小,有时甚至可以忽略不计。 影响小,有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出: 输出:
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率: dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%: 非周期、无振荡, 非周期、无振荡, σ% =0 2. 快速性ts:
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根,位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 (负阻尼)
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根, 两个正实根, 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为: 其数学表达式为: t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为: 其拉氏变换为:

自动控制原理胡寿松 第3章

自动控制原理胡寿松  第3章

r(t)
c(t)
实际
1
2 1
理想的
1
调节过程
0
t
0
t
整个调节过程分为两个阶段: 动态过程 输出量激烈变化,用动态性能描述 稳态过程 输出量稳定在新的平衡状态,用稳态性能描述
c(t ) c()
0
动态过程
稳态过程
t
三、动态性能指标 注意tr的另一种定义。
• 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下,动态过程 随时间的变化状况的指标。
2、斜坡函数Ramp
At t 0
r(t)
0
t0
当A=1时,称为单位斜坡函数,其拉氏 变换为:
R(s)
L(t)
1 s2
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数,则斜坡 时间函数是比较合适的,它等于单位阶跃函数对时间的积分。
3、抛物线函数
r(t)
1 2
At2
t0
0 t 0
当A=1时,称为单位抛物线函数, 其拉氏变换为:
R(s)=1 c(s) (s) 1 Ts 1
c(t ) 1 T
0.368 1 T
0
g (t )
c(t)
L1[(s)]
1
t
eT
(t
0)
T
1 斜率T 2
c(t)
1
t
eT
T
T 2T 3T
t
T越小, 惯性越小, 响应越快
单位脉冲响应
• 在零初始条件下,当系统的输入信号是单位冲激函数(t)时, 系统的输出信号称为系统的单位脉冲响应(单位冲激响应)。
输出起点 的斜率为
1/T
T : 惯性时间常数
令期望输出等于输入 量,则误差为:

自动控制原理(第3章new)讲解

自动控制原理(第3章new)讲解
g(t) 25 e3t sin 4t 4
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制(PD)
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s

2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中: arctg(
1 2
)


1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt

e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te

nt
当t=0时,响应过程的变化率为零;当t>0时,响
应过程的变化率为正,响应过程单调上升;当 t
时,响应过程的变化率趋于零,响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出,此时,系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时,则特征方程 有两个不相等的负实根 , 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为:
G(s)


2 n
(1

Td
s)

K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中: K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)

自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析(w)

自 动 控 制 原 理 第 三 章
42
因此,怎样选择适中的阻尼比,以兼 顾系统的稳定性和快速性,便成了研究自 动控制系统的一个重要的课题。
控制工程中一般希望具有适度的阻尼, 较快的响应速度和较短的调节时间.二阶系 统一般取0.4~0.8,最佳阻尼0.707
欠阻尼二阶系统的动态过程分析
自 动 控 制 原 理 第 三 章
26
自 动 控 制 原 理 第 三 章
27
自 动 控 制 原 理 第 三 章
28
自 动 控 制 原 理 第 三 章
系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。
29
自 动 控 制 原 理 第 三 章
30
自 动 控 制 原 理 第 三 章
31
自 动 控 制 原 理 第 三 章
32
自 动 控 制 原 理 第 三 章
40
et / T1 et / T2 h(t ) 1 ,t 0 T2 / T1 1 T2 / T1 1
自 动 控 制 原 理 第 三 章
41
由以上的分析可见,典型二阶系统在不 同的阻尼比的情况下,它们的阶跃响应输出 特性的差异是很大的。 若阻尼比过小,则系统的振荡加剧,超 调量大幅度增加; 若阻尼比过大,则系统的响应过慢,又 大大增加了调整时间。
t

第 三 章
44
% e
1 2
(5) 调节时间ts:
100% 3 . 5 3 .5 ts
n

欠阻尼二阶系统的动态分析小结
自 动 控 制 原 理
n G(S ) 2 2 S 2 n S n
2
R(S)
0 1
C(S)
n 2 s(s 2n )

自动控制原理第三章课后习题答案解析(最新)

自动控制原理第三章课后习题答案解析(最新)

3-1(1) )(2)(2.0t r t c= (2) )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。

已知全部初始条件为零。

解:(1) 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应:s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c(2))()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应:124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ,用其测量容器内的水温,1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升,问温度计的稳态指示误差有多大?解法一 依题意,温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知:o o T c 98)4(=,因此有 min 14=T ,得出 min 25.0=T 。

视温度计为单位反馈系统,则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法,当t t r ⋅=10)( 时,C T Ke ss ︒===5.21010。

解法二 依题意,系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=,应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts 。

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)

自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (3)

(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
(3-13)
第3章 时域分析法 图3-5 一阶系统的动态结构图
第3章 时域分析法
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应
设输入
R(s) 1 s
则输出量的拉氏变换为
C(s) (s) 1 1 1 1 1
s Ts 1 s s s 1/T
单位阶跃响应为
1t
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 2ns
n2
1 s
其中, 由
s2 2 ns n2 0
可求得两个特征根
s1,2 n n 2 1
(3-22)
第3章 时域分析法
1) ξ>1, 过阻尼
ξ>1

, 2 1 s1,2=-ξωn±ωn
为两个不相等的负实数根, 即有
C(s)
n2
A1 A2 A3
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns
n2
(3-21)
其中, ξ为阻尼比, ωn为无阻尼自然振荡频率, 它们 均为系统参数。
第3章 时域分析法
由式(3-21)可以看出, 二阶系统的动态特性 可以用ξ和ωn这两个参数的形式加以描述。 如果0<ξ<1, 则闭环极点为共轭复数, 并且位于左半s平面, 这时系统 叫做欠阻尼系统, 其瞬态响应是振荡的。 如果ξ=1, 那 么就叫做临界阻尼系统。 而当ξ>1时, 就叫做过阻尼系 统。 临界阻尼系统和过阻尼系统的瞬态响应都不振荡。 如果ξ=0, 那么瞬态响应变为等幅振荡。
此时系统输出响应的拉氏变换为
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
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(s)
C (s) R (s)

75 s 7 s 75
2
r ( t ) 1( t )
R (s)
1 s
75
C ( s ) R ( s ) ( s )
s ( s 7 s 75 )
2
c ( t ) 1 1 . 1e
3 .5 t
sin( 7 . 9 t 66 )
r(t)

t=0
R ( s ) L [ r ( t )] 1
0
t
正弦信号
0 r(t)=
A sin t
2
t<0 t≥0
A s
2
r(t)
0
t
R ( s ) L [ r ( t )]
二、控制系统的性能指标
系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性 能指标。 阶跃输入对系统来说
1、动态性能指标 是描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下, 动态过程随时间变化的指标。 控制系统
0
v0t
t<0
t≥0
v0 s
2
r(t)
v0
R ( s ) L [ r ( t )]
0
1
t
抛物线信号 当a0=1 时,称为单位抛物线信号。
r(t)= 0 t<0 1 a t2 t≥0 2 0
a0 s
3
r(t)
a0/2 0
1
R ( s ) L [ r ( t )]
t
单位脉冲信号
δ(t) = 0 t≠0
单位脉冲响应
,T
时间常数
k (t )
1 T

t T
e
(画图时取T=0.5)
2
k (0) 1 T
k ( 0 )
1 T
2
0.5
单位阶跃响应
无零点的一阶系统 ( s)
1 Ts 1
r(t)=1
1 0.5
h(t)=1-e-t/T
时间 常数 T越 小, 调节 时间 越短
0.632
h(T ) 0.632h() h(2T ) 0.865h() h(3T ) 0.95h() h(4T ) 0.982h()
反应系统反应输入信号的准确性。
第二节 一阶系统性能分析
一、一阶系统的数学模型
微分方程
令 RC T
R + + i ur uc -
RC
du c
T
du
dt
c
uc ur
C
dt
uc ur
用一阶微分方程描述的系统 闭环传递函数分母 s最高次为1次的系统
闭环传递函数
( s) C ( s) R( s ) 1 Ts 1
当t趋于无穷时输出的表现方式。表征输出量复 现输入量的程度。
3.1
阶跃信号
r(t)=
系统性能指标
r(t)
一、典型输入信号
R0
0
R0
t<0
t≥0
R0 s
0
t
R ( s ) L [ r ( t )]
当 R0 =1 时,单位阶跃信号:ε(t)或者1(t)
斜坡信号
r(t)=
当 v0=1 时,称为单位斜坡信号。0Biblioteka 0.511.5
单位斜坡响应
(s) 1 Ts 1
T
t / T
r (t ) t
c(t ) t T Te
0
0.5
达到稳态时,c(t)和r(t)具有相同的斜率,在时间上滞后 T,存在稳态误差 ess T
结论
一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时,输入和输 出信号的变化率完全相同;
k
H H
R (s)
K s
k
C (s)
KH
r (t ) t
e
c(t ) t T Te
t / T
1 、3个图各如何求T? 3 、r(t)=vt时,ess=?
2 、调节时间ts=? 5 、k≠1时
4、求导关系
K 例 一阶系统的结构如图, 100 ,K 0 . 1,试求 系统的调节时间 t s ( 5 %) ;如果要求 t s 0 . 1 s , 求反馈系数 K 。
但是,稳态时输出信号在数值上要滞后于输入信号 一个时间常数T,即稳态误差。 减小时间常数T,不仅可以提高响应速度,而且还 可以减少稳态误差。
小 结
(s)
1 Ts 1
r (t ) (t )
k (t ) 1 T
t T
r (t ) 1(t )
h(t ) 1 e
t T
T——时间常数
“尾一”
闭环传递函数
R(s)
( s) C ( s) R( s ) 1 Ts 1
E(s)
_
1 2s+3
C(s)
开环传递函数
G ( s) 1 Ts
闭环传递函数为
( s) C ( s) R( s ) 1 2s 4
R(s)
_
1 Ts
C(s)
时间常数T 闭环极点

响应表达式
c(t )
r (t ) 1(t )
响应曲线
t
时间响应反映了在典型输入信号作用 下,系统从初态到终态的响应过程。
典型信号作用下,任何一个控制系统的时间响应都应 由动态过程和稳态过程两部分组成。
(1)动态过程(过渡过程、瞬态过程)
输出量从初态到终态的响应过程。可能衰减、发 散或等幅震荡。只有衰减的系统才是稳定的。 (2)稳态过程
tt
(1)上升时间 (2)峰值时间 (3)调节时间
tr
t r , t p , t s 反应系统的快速性
输出响应从零第一次上升到稳态值 h ( ) 所用的时间。
tp
输出响应第一次到达最大值所用的时间。
ts
在稳态值附近取一误差带,响应曲线开始进入并保持在 误差带内所需的最小时间。 5 % h ( ) 或 2 % h ( )
(4)超调量
%
% 反应系统的平稳性
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。
%
h (t p ) h ( ) h ( ) 100 %
动态性能指标定义2
h(t)
0.95 0.05
调节时间 ts 上升时间tr
t
2、稳态性能指标
e 稳态误差( ):输出的终值与输入终值之差。
ss
通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下 进行测量,若时间趋于无穷时,系统不等于输入 或者输入的确定函数,则系统存在稳态误差。
例:已知如图所示的一阶系统结构图,求系 统的调节时间ts.
R (s)
2
C (s)
2
-
s
求时间常数T 时,把闭环传 递函数的分母 写成“尾一” 形式
例:已知某一阶系统的极点分布图如图所示, 试求时间常数T
j
-4
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统 ( s )
r (t ) (t )
1 Ts 1
具有阻尼振荡的阶跃响应的系统 (多数实际系统为此类)
是最严峻的工作状态
没有阻尼振荡的阶跃响应的系统
动态性能指标定义1
h(t) h(t)
A A 超调量σ% = 超调量σ% = A 100% A 100% B B
+0.05 -0.05
峰值时间tpp B 峰值时间t B 上 升 上 升 时间tr r 时间t 调节时间t 调节时间ts s
第三章 时域分析法
3.1 系统性能指标 3.2 一阶系统性能分析 3.3 二阶系统性能分析 3.5 控制系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差分析
时域分析法——在时间域内研究系统控制性能 的方法。
通过拉氏变换,直接求解系统的微分方程,得到系统
的时间响应,然后根据响应表达式和响应曲线分析系
统动态性能和稳态性能。 时间响应反应了在典型输入信号作用下,系统从初态 到终态的响应过程。
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