5第五节稳定性和代数稳定判据

Monday, July 28, 2014
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稳定的定义
定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果 线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后， 随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向 于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之， 若在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散， 则称系统不稳定。 该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变 化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳定 的。
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线性控制系统稳定的充分必要条件 两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。 由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初 始条件为零，输入作用为单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出便 是单位脉冲响应 y (t ) 。这相当于在扰动信号作用下，输出信号 偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳定性定 义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态 lim y (t ) 0 则线性控制系统是稳定的。下面讨论系统稳定 ，即： t 性与系统极点之间的关系: 由于系统的输入为单位脉冲信号 R(s) 1 ，则系统的输出为：
s 3 为正实数极点，位于 s 右半平面，与此相对应的时间响应 分量按 e 3t 的规律随时间无限增大。
闭环传递函数为： 1 的等幅 虚轴上的闭环极点 s1,2 j ，其零输入响应为频率 振荡，因此在工程上认为该系统不稳定。
(s)
1 s 2 1 的系统是临界稳定系统，它有一对
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稳定的定义
定义二：在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output) 意义下的稳定性定义。若线性系统在有界的输入量或干扰量的 作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的，否 则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不 稳定的。
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线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部。 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间 单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是 发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系 统的行为。
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用， 但对线性定常系统来说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输 入－有界输出的意义下，系统稳定与否完全取决于系统本身的 结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无 关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t Cl e l nl t sin nl 1 l t，t 0
2 2 l 1
n2
| y(t ) | M r M 若 y (t ) dt 无界，则不能保证输出响应 y(t ) 有界。因此得出结论 0 为：若系统的单位脉冲响应函数为 y (t ) ，则当且仅当积分： y (t ) dt
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稳定的充要条件和属性
a0 对于一阶系统， a1s a0 0, s , 只要 a0 , a1都大于零， a1 系统是稳定的。 2 a a 1 1 4 a 2 a0 2 a2 s a1s a0 0, s1, 2 对于二阶系统， 2 a2 只有 a0 , a1 , a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
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充要条件说明
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统 可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振 荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于 不稳定。
y(t ) y ( )r (t )d
0

| r (t ) | M r
| y (t ) |
0


0
y ( )r (t )d y ( )r (t ) d
0 0

y ( ) | | r (t ) d M r y ( ) d
特征方程的系数同号是系统稳定的必要条件。若特征方程 的系数不同号或有缺项，则系统不稳定。应此对于特征方程系 数同号的系统，还要通过特征根来判断系统的稳定性。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
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注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无 关。
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劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 an s n an1s n1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值；
由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。
劳思阵如右：
n 1 n 2n 3 n 4n
劳斯判据例子
[例]：特征方程为： a3s3 a2 s 2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。 [解]：劳斯阵为： s3
a3 a2 a2 a1 a3 a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s
1
s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零
s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s1 s0
f1 g1
an an 6 an 1 an 7 an 1an 6 an an 7 b3 an 1 an 1
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劳斯判据
sn s s
n 1 n2
an an 1 b1 c1 d1 f1 g1
Y ( s) k g ( s zi )
i 1 m
(s p j ) (s 2 2 lnl s nl )
2 j 1 l 1
n1
n2
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部分分式展开得： 2 n1 n2 Aj Bl ( s lnl ) Clnl 1 l Y ( s) 2 2 s p s 2 s j 1 l 1 j l nl nl 单位脉冲响应为：
y (t ) Aj e
j 1 n1 p jt
Bl e
l 1
n2
l nl t
cosnl 1 l t Cl e l nl t sin nl 1 l t，t 0
2 2 l 1
n2
可见，若 lim y (t ) 0 ，则式中 p j和 lnl 应该为负数。而 p j 和 lnl t 分别为系统的实数极点和共轭复数极点的实部，表明若要使单 位脉冲响应收敛于零，系统的极点均应有负的实部。则线性系 统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须位于 s 左半平面。

时，即该积分有界时，系统在有界输入－有界输出意义下稳定。 由单位脉冲响应式，可知有界输入－有界输出意义下稳定 的充分必要条件是系统的全部极点均位于s左半平面。 显然，在有界输入－有界输出稳定性意义下得出的稳定的充 分必要条件与在李亚普诺夫稳定性意义下得出的充分必要条件 是一致的。可将对系统稳定性的判别转化为对系统特征根大小 的判别或计算。
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系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复 根，则其脉冲响应函数就呈发散形式，系统不可能再回到原来 的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。也就是说，对于不 s 稳定系统，特征方程至少有一个根位于 右半平面，在这种情况 下，系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对 j ) s 共轭根在虚轴 ( 上，而其它根均位于 左半平面，这样的系统称 为临界稳定系统，临界稳定系统的输出根据输入的不同，或等 幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定 系统。
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劳斯判据
以下各项的计算式为：
sn s n 1
an an 1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
an an 2 an 1 an 3 an 1an 2 an an 3 b1 an 1 an 1
an an 4 an 1 an 5 an 1an 4 an an 5 b2 an 1 an 1
c3
an 1 b1 b1
an 7 b4 b1an 7 b4an 1 b1
c1b2 b1c2 d1 c1
c1b3 b1c3 d2 c1
c1b4 b1c4 d3 c1
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依次类推。可求得 ei , fi , gi ,...(i 1,2,...)
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ann 4 an 5 b3 c3 d3

c1
an 1 b1 b1
an 3 b2 b1an 3 b2an 1 b1
s n 3 sn4 s1 s0
an 1 an 5 b1 b3 ba b3an 1 c2 1 n 5 b1 b1
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例子：
( s )
闭环传递函数为： s1 1 ，s2 2 的闭环极点