江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案
【解析】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学(理)试题
临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年度高三第三次月考数学试题（理） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限.【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，4|01x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. [)2,4-B. (]1,3- C. []2,1--D. []1,3-【答案】D详细分析：因{|32},{|1A x x B x x =-<<=<-或4}x ≥，故{|14}U C B x x =-≤<，所以(){|13}U A C B x x ⋂=-≤≤，应选答案D 。
3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（ ）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B 【分析】先求出a b -r r ，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m .【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r，所以(2,2)a b m -=-rr，因为()a a b ⊥-r r r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r ，解得3m =所以答案选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4.下列判断正确的是（ ） A. “若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B. 0x ∀>，总有1sin x e x >+C. 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2a < D. 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 【答案】B 【分析】根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断 【详解】对A, 若sin cos ,x x =则,4x k k Z ππ=+∈,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；对B, 设()()()'sin 10,cos 0xx f x e x x fx e x =-->∴=->，则()sin 1,x f x e x =--单调递增，则()()sin 101xf x e x f =-->=，正确；对C, 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2=4022a a ∆-<∴-<< ,错误对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为12，错误 故选：B【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题．5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则67a a +=（ ） A. 4- B. 4C. 1-D. 8【答案】A 【分析】可设等差数列{a n }的公差为d ，从而据题意得出a 1＝9，利用前n 项和求出d 即可求解 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，9553954249595S S a ad -=-∴-==-解得d ＝-2； ∴671211a a a d +=+=4- 故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基本题型．6.已知锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则2sin α=（ ）A.9B. 9-C.9D.49【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出sin2α的值；【详解】锐角α的终边上点P 的纵坐标为13则sin 1α3=，cos α3=则sin2α＝2sin αcos α=9故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．7.若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（ ）A. 5-B. 1-C. 1D. 5【答案】B 【分析】首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数2z x y =+取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出m 的值。
江西省高三数学上学期第三次月考试题 文
江西省临川二中、临川二中实验学校2021届高三数学上学期第三次月考试题 文本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．122．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则A B=R ( )A ．(3,0)-B ． (3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-3.2sin 37522+的值为（ ）12 C. D. 12-4.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A. 29B.30C. 31D. 325.已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ）A.19B.20C.39D.406.已知双曲线()22:101x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（ ）A.95B.94D.327.在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ） A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f 的解集为（ ） A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，b OB a OA ==,，满足2||=-=⋅b a b a ,则△A0B 的面积的最大值为（ ） A.3 B.2 C. 32 D. 22 10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足 0x >时，2()ln ln2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 ( ) A. ]53,0(B.)25,21[C. ]43,21[D. ]53,21[12．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12b x x a +=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（ ）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x xd ++=；④123dx x x a=-． A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_________． 15．已知函数()()sin cos2f x x x x =⋅∈R ，则()f x 的最小值为 ．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin ),2a b A c b C B -=+-则ABC ∆面积的最大值是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足()*+∈-==N n a a a nn 44,111（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是等差数列；（2）设2211nn n a b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2απ∈，求sin 2α．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆()212222,01:F F b a b y a x E 、>>=+为其左右焦点，21B B 、为其上下顶点，四边形2211B F B F 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴21A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆1F :()3122=++y x ，则圆P 和圆1F 的公共弦MN的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln ().2a f x x x x x a R =--∈ (1) 若曲线()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，求此切线方程； (2) 若()f x 有两个极值点12,,x x 求a 的取值范围，并证明：1212.x x x x >+(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22． [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐系内异于O 的三点1(,)A ρφ，2(,)6πB ρφ+，3123(,)(,,0)6πC ρφρρρ->都在曲线M 上.（1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ， 求四边形OBAC 的面积.23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B BACBCBDACDB二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13.-5 14.1202115．1- 16.15四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17. 解：（1）14,4n n a a +=-11111422224n n n na a a a +∴-=------…………………………………………(2分)2142221424-=--=----=n n n n n a a a a a 为常数， ……………………………………(4分)又1111,1,2a a =∴=--…………………………………………(5分) 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是以1-为首项21-为公差的等差数列. …………………………………(6分) （2）由（1）知(),21211121+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-n n a n ,12122+=+-=∴n n n a n ………(8分) ()()()()()22214411112111122121212121221212n n n na n nb n a n n n n n n n-⎛⎫+∴=-=-=-==-⎪--+-+-+⎝⎭…………………………………………(10分)1231111111112335572121n n T b b b b n n ⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭…………………………………………(11分) 所以，数列{}n b 的前n 项和为n T .21nn =+…………………………………(12分) 18．（本小题满分10分）【解析】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.（3分）所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.（5分）所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（6分）（2）1()3f α=-，π1π12sin(2)1,sin(2)6363αα--=--=，因为(0,)2απ∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.（8分）所以πcos(2)6α-（10分）则ππππππsin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666αααα-+=-+-1132==（12分） 19.【试题解析】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB ⊂平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥，AD PD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ,∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ,..........6分 （2）取AD的中点H ，连接PH ，BH ，∵PA PD =，∴PH AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAD , 平面PAD ⋂平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD , ∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影.∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD所成的角,在等腰Rt PAD 中，∵2AD =，H 是AD 的中点，∴1PH =, 在Rt BAH 中，∵1AH =，2AB =, ∴BH =PB =∴sin PH PBH PB ∠===...................12分20.解：（1）依题意四边形2211B F B F 的面积为22,2=∴bc bc ，………………………(2分) (3分)(4分 (5分) 圆P 的方程为：()()022002220202020=--+⇒+=-+-y y x x y x y x y y x x ， ……(6 分)圆1F 的方程为：()022312222=-++⇒=++x y x y x ，……………………………(7分)两式作差得公共弦方程为：()01100=-++y y x x ，……………………………………(9分) 所以弦心距d ()()222212211121202002020020200=+++=-+++=+++=x x x x x x yx x …(11分)则弦长2322=-=d MN ，所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2. ……………(12分)22. (1) 由1=2cos ρϕ，2=2cos 6πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，3=2cos 6πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭，………………(3分) 则231+=2cos 2cos 23366ππρρϕϕϕρ⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(证毕)……………(5分) (2) 曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程化简得：230t t =，解得10t =，23t =132B ⎛ ⎝⎭，()2,0C .……(7分)则2=1ρ，32ρ=，6πϕ=；又得1ρ.即四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=为所求. ………………(10分) 23. [解] (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3×38＝6，............3分 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6..............5分(2)证明：法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，............8分当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2............10分法二：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1) ＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.。
【数学】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试试题(理)(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 集合 ， ，
， ，
．
故选： ．
2.在复平面内，复数 所对应的点位于（）
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A. 6升B. 8升
C. 10升D. 12升
【答案】C
【解析】因为第二次加满油箱，加了60升，
所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米），
所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升，所以选 7C. 1D. -1
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
则 ，
解得 = 7，
故选B.
10.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为
， ，
．
．
故选： ．
11.已知函数 的图像向左平移 个单位长度，得到 的图像， 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 个单位长度，则函数 图像的一个对称中心为（）
⑤ ， 恒成立.
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】 ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
的增区间是 ，减区间是 ，
当 时， 有极大值 （e） ．所以①正确．
时， ； 时， ，
只有一个零点．所以②错误．
由上知 减区间是 ，
，
又 ，
2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)
2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A ．-2 B ．2C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数()()i 12i a ++，再由实部为0且虚部不为0列式求得a 值. 【详解】()()()()i 12i 221i z a a a =++=-++为纯虚数， 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得2a =，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则（ ）A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-【答案】B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤-或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=-，故选B ． 【考点】集合的运算32sin 375+的值为（ ）A ．B ．12C ．D ．12-【答案】A【解析】【详解】2223cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos3022222+=+=-==． 选A ．4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】 因为174a a =， 所以2444,0,2n a a a =>∴=.因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ） A ．19 B ．20C ．39D ．40【答案】B【解析】用246147a a a ++=减去135156a a a ++=即可得公差d ,再求得{}n a 的通项公式,再分析n S 的最值即可. 【详解】设公差为d ,则246147a a a ++=减去135156a a a ++=可得39,3d d =-=-, 又246443147,49a a a a a ++∴===,故4(4)49312613n a a n d n n =+-=-+=-, 当n S 达到最大值时有10613058610613(1)033n n a n n a n +≥-≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≤-+≤⎩⎩,故20n =.故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质以及通项公式的求解,同时也考查了首项为正公差为负的等差数列的前n 项和n S 的最值问题,属于中等题型.6．已知双曲线22:1(0)1x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．32B ．94C ．95D【答案】D【解析】求出双曲线焦点坐标，代入圆的方程，求出m ，从而得到,a c 的值，求得离心率. 【详解】由双曲线方程知：21a m =+，2b m =c ⇒=()F ⇒21150m ∴++= 4m ⇒=a ⇒=3c =c e a ∴===本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，关键是利用,,a b c 的关系，求出焦点坐标，属于基础题. 7．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ） A ．3[,)4-+∞B ．3[,0]4-C ．[1,0]-D ．[1,1]-【答案】B【解析】以D 为原点建立平面直角坐标系，设出P 点的坐标，代入AP CP ⋅，化简后求得取值范围. 【详解】画出图像如下图所示，以,DC DA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，故((),1,0A C 设()0,P t ()t ⎡∈⎣，所以(()20,1,AP CP t t t ⋅=⋅-=，根据二次函数的性质可知，对称轴t =故当0t =或t =0，当2t =时取得最小值为23224⎛-=- ⎝⎭，故AP CP ⋅的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选B.【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.8．已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（ ） A ．（-1，6） B ．（-6，1）C ．（-2，3）D ．（-3，2）【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义求出1a =，结合函数的单调性，对所求不等式化简，即可求解. 【详解】函数21()2x x f x a-=+是定义在R 上的奇函数所以212122x x x xa a----=-++，化简得1a = 即212()12121x x xf x -==-++且()f x 在R 上单调递增 ()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<<故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=2(||||)4sin |||||||a b AOB a b a b -∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=3222|||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足0x >时，2()ln ln2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】C【解析】利用导数求得函数()f x 在0x >时的最小值，得到()g x 的一个零点，根据函数为奇函数()00f =得到()g x 的另一个零点，根据函数()f x 为奇函数，图像的对称性，得到()g x 的第三个零点，由此得出正确选项. 【详解】 当0x >时，()'21πfx x =-，故函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在π2x =处有最小值为π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时πππsin 110222g f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据()f x 的单调性和sin 1x ≤可知，当0x >时，π2x =是()g x 的唯一零点.由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，故()()00sin00g f =-=，所以0x =是函数()g x 的零点.由于()f x 和sin x 都是奇函数，故πππ1,sin 1222f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且根据奇函数图像的对称性可知，()f x 在π,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上递增，在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，π2x =-时，()f x 取得在(),0-∞上的最大值，故π2x =-是()g x 在区间(),0-∞上的唯一零点.综上所述，()g x 零点个数有3个，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查函数的奇偶性，综合性较强，属于中档题.11．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22【答案】B【解析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值， 所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.12．设一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12bx x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（ ）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】B【解析】由一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ,2x ,3x ,可设32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---,再展开123()()()a x x x x x x ---对应32ax bx cx d +++的系数即可.【详解】设32212312123()()()()()ax bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x +++=---=--+- 32123121323123()()ax a x x x x a x x x x x x x ax x x =-+++++-,故123()b a x x x =-++,121323()c a x x x x x x =++,123d ax x x =-.即123b x x x a ++=-,121323c x x x x x x a++=,123dx x x a =-,121323123123111x x x x x x c x x x x x x d ++++==-.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数迁移到三次函数的性质问题,属于中等题型.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则3z x y =+的最小值为___________. 【答案】5-【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可. 【详解】解：由实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，作出可行域如图所示，联立2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得(2,1)A -，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点(2,1)A -时，目标函数取最小值，即当2,1x y =-=时，目标函数z 取最小值3(2)15⨯-+=-，故答案为：5-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_______． 【答案】12021【解析】根据11n n n a a a +=+,两边取倒数得出1n a 的通项公式再代入算2020a 即可.【详解】 由11n n n a a a +=+有11111n n n n a a a a ++==+,故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项,公差为1的等差数列. 故1211n n n a =+-=+,故11n a n =+,所以202012021a = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查倒数型构造数列求通项公式的问题,属于中等题型. 15．已知函数()sin cos 2()f x x x x R =⋅∈，则()f x 的最小值为____． 【答案】-1【解析】令t=sinx []1,1∈-,转为关于t 的函数，求导，判断单调性，由函数单调性求最值即可. 【详解】函数()2sin cos2(12sin f x x x sinx x =⋅=-)=sinx-23sin x ,令t=sinx []1,1,∈-则h(t)=t-23t ,h’(t)=1-62t =0,则t=±可知函数在1666⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，上单调递减，在，上单调递增，在16⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数的最小值是h()6-或h(1),h(1)=-1<h(3?26669⎛-=---=- ⎝⎭, 故函数的最小值为-1， 故答案为：-1 【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查换元法并利用导数求函数最值问题，考查计算能力. 16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】 如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立， 所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题17．设数列{}n a 满足()*1141,4n na a n N a +==∈- （1）求证：数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）设221nn n a b a -=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）详见解析；（2）21n nT n n =++. 【解析】（1）由144n n a a +=-可得21242n n a a -=--为常数，从而可得结果；（2）由（1）知2,1n na n =+则()()222142121n n n a n b a n n -==-+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，利用分组求和法与裂项相消法求和即可.【详解】（1）11411,42n n n n a a a a ++=∴--- 114224n na a =----4211242242n n n n n a a a a a --=-==----为常数又1111,1,2a a =∴=-∴-数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项12-为公差的等差数列. （2）由（1）知()11111,222n n n a +⎛⎫=-+--=- ⎪-⎝⎭ 222,11n na n n ∴=-=++ ()()()2221442122121212n n n na n nb n a n n n-+∴===--+ ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭1231111111112335572121n n T b b b b n n n ⎛⎫∴=++++=+-+-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n n n ⎛⎫=+-=+ ⎪++⎝⎭ 所以，数列{}n b 的前n 项和为21n nT n n =++. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-， 又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)63α-==，则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】(1)先证明AB ⊥平面PAD ,即证明AB 垂直平面PAD 中的两条直线,AD PD 即可.(2)取AD 的中点H ,证明直线PB 与平面ABCD 所成角为PBH ∠,再求解,PH PB 的长度求PBH ∠的正弦值即可. 【详解】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB Ì平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形,∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥,AD PD D =I ,∴AB ⊥平面PAD , ∵AB Ì平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD .（2）取AD 的中点H ,连接PH ,BH ,∵PA PD =,∴PH AD ⊥, ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,PH ⊂平面PAD , 平面PAD平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD ,∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角,在等腰Rt PAD ∆中,∵2AD =,H 是AD 的中点,∴1PH =, 在Rt BAH ∆中,∵1AH =,2AB =,∴BH =∴PB =∴sin6PH PBH PB ∠===. 【点睛】本题主要考查了线面垂直与线线垂直的运用以及性质等,同时也考查了线面角的计算方法等,属于中等题型.20．已知椭圆221222:1(0),x y E a b F F a b+=>>、为其左右焦点，12B B 、为其上下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）长轴12A A 的最小值为，此时椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）2.【解析】（1）利用四边形1122F B F B 的面积求得22bc =，利用基本不等式求得12A A 的最小值，同时求得椭圆的方程.（2）设出P 点坐标，代入椭圆方程，得到P 点两个坐标的关系式.求得圆P 的方程和圆1F 的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，由此求得弦长MN 为定值. 【详解】解：（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”此时a =故长轴12A A 的最小值为E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒ 22220x y x ++-=， 两式作差得公共弦方程为：()00110x x y y ++-=，所以弦心距d ====则弦长2MN ==，所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查基本不等式，考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，运算量较大，属于中档题. 21．已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈． （1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+． 【答案】（1）0x y +=；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,证明见解析.【解析】（1）()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，即()'1f e =-，得出2a e=，计算f(e)，即可出结论（2）①()f x 有两个极值点12,x x ，得()'ln f x x ax =-=0有两个不同的根，即ln xa x= 有两个不同的根，令()ln xg x x=，利用导数求其范围，则实数a 的范围可求； ()f x 有两个极值点12,x x ，1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩利用()g x 在(e,+∞)递减，()122122ln x +x ln x x +x x <a =()1212ln x x x +x =，即可证明 【详解】（1）∵()'ln f x x ax =-，∴()'1f e =-，解得2a e=， ∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为．（2）()'ln f x x ax =-，令()'ln f x x ax =-=0，得ln xa x=． 令()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=， 且当时，；当时，；时，． 令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以． 所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点； 当时，没有极值点．综上，的取值范围是．（方法不同，酌情给分） 因为是的两个极值点，所以1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩即1122ln x =ax ln x =ax ⎧⎨⎩…① 不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122ln x +x ln x x +x x <，即()1212ln x +x x +x a <…②．由①可得()()1212ln x x x +x a =，即()1212ln x x x +x a =，由①，②得()()12121212ln x +x ln x x x +x x +x <，所以1212x x x +x >．【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要。
江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案
临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．122．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则A B =Rð( )A ．(3,0)-B ． (3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-3.2sin 37522+的值为（ ）12 C. D. 12-4.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A. 29B.30C. 31D. 325.已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ）A.19B.20C.39D.406.已知双曲线()22:101x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（ ）A.95B.94C.5D.327.在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ） A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f 的解集为（ ） A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，==,，满足2||=-=⋅,则△A0B 的面积的最大值为（ ） A.3 B.2 C. 32 D. 22 10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足 0x >时，2()l n l n 2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 ( ) A. ]53,0(B.)25,21[C. ]43,21[D. ]53,21[12．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12b x x a +=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（ ）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_________． 15．已知函数()()sin cos2f x x x x =⋅∈R ，则()f x 的最小值为 ．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin ),2a b A c b C B -=+-则ABC ∆面积的最大值是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足()*+∈-==N n a a a nn 44,111（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是等差数列；（2）设2211nn n a b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2απ∈，求sin 2α．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）2211B F B F 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴21A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆1F :()3122=++y x ，则圆P 和圆1F 的公共弦MN21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln ().2a f x x x x x a R =--∈ (1) 若曲线()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，求此切线方程； (2) 若()f x 有两个极值点12,,x x 求a 的取值范围，并证明：1212.x x x x >+(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22． [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐系内异于O 的三点1(,)A ρφ，2(,)6πB ρφ+，3123(,)(,,0)6πC ρφρρρ->都在曲线M 上.（1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ， 求四边形OBAC 的面积.23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13.-5 14.1202115．1-四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17. 解：（1）14,4n n a a +=-Q 11111422224n n n na a a a +∴-=------…………………………………………(2分)2142221424-=--=----=n n n n n a a a a a 为常数， ……………………………………(4分)又1111,1,2a a =∴=--Q…………………………………………(5分) 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是以1-为首项21-为公差的等差数列. …………………………………(6分) （2）由（1）知(),21211121+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-n n a n ,12122+=+-=∴n n n a n ………(8分) ()()()()()22214411112111122121212121221212n n n na n nb n a n n n n n n n-⎛⎫+∴=-=-=-==-⎪--+-+-+⎝⎭…………………………………………(10分)1231111111112335572121n n T b b b b n n ⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭…………………………………………(11分) 所以，数列{}n b 的前n 项和为n T .21nn =+…………………………………(12分) 18．（本小题满分10分）【解析】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.（3分）所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.（5分）所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（6分）（2）1()3f α=-，π1π12sin(2)1,sin(2)6363αα--=--=，因为(0,)2απ∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.（8分）所以πcos(2)6α-（10分）则ππππππsin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666αααα-+=-+-1132==（12分） 19.【试题解析】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB ⊂平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥，AD PD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ,∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ,..........6分 （2）取AD的中点H ，连接PH ，BH ，∵PA PD =，∴PH AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAD , 平面PAD ⋂平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD , ∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影.∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD所成的角,在等腰Rt PAD 中，∵2AD =，H 是AD 的中点，∴1PH =, 在Rt BAH 中，∵1AH =，2AB =, ∴BH =PB =∴sin PH PBH PB ∠===...................12分20.解：（1）依题意四边形2211B F B F 的面积为22,2=∴bc bc ，………………………(2分) (3分)(4分 (5分) 圆P 的方程为：()()022002220202020=--+⇒+=-+-y y x x y x y x y y x x ， ……(6 分)圆1F 的方程为：()022312222=-++⇒=++x y x y x ，……………………………(7分)两式作差得公共弦方程为：()01100=-++y y x x ，……………………………………(9分)(11分)……………(12分)22. (1) 由1=2cos ρϕ，2=2cos 6πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，3=2cos 6πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭，………………(3分) 则231+=2cos 2cos 66ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(证毕)……………(5分) (2) 曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程化简得：20t =，解得10t =，2t =12B ⎛ ⎝⎭，()2,0C .……(7分)则2=1ρ，32ρ=，6πϕ=；又得1ρ.即四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=为所求. ………………(10分) 23. [解] (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ＝3×38＝6，............3分 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6..............5分(2)证明：法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，............8分 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2............10分法二：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21)≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.。
【数学】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试试卷(文)(解析版)
故答案为10
14.已知 ， 均为锐角且 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ .
又 ， ，
∴ ，则 ．
故答案为
15.设 为 所在平面内一点， ，若 ，则 __________．
【答案】-3
【解析】∵ 为 所在平面内一点, ，
∴B，C，D三点共线.若 ∴ ，
化为： = + ，与 =− + ，比较可得： ，解得 .
对于③， ，∴ ， 不一定，∴所以③不正确；
对于④，f（x）在 单调递减，在 单调递增，
∴有极小值点 ，且 ，所以④正确．
综上，正确的命题序号是④．
故选D
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量 ， ，若 ，则向量 的模为______．
【答案】10
【解析】∵ ，∴ ，解得 ，
而基本事件 总数为 ，
所以 ，
故选C．
10.函数 的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于 ， ，且 ，
故此函数是非奇非偶函数，排除 ；又当 时，满足 ，即 的图象与直线 的交点中有一个点的横坐标为 ，排除 ，故选B．
11. 中， ， ，点 在双曲线 上，则 （ ）
A. B. C. D.
（2）证明：先证 ，
令 ，
则 ，
由 ， 与 的图象易知，存在 ，使得 ，
故 时， ； 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以 的最大值为 ，
而 ， .
又由 ， ，所以 ，
当且仅当 ，取“=”成立，即 .
经计算得 ， ，
临川二中高三月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(2) = 3，则x = （）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 27，则S9 = （）A. 36B. 45C. 54D. 633. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 2，b3 = 8，则q = （）A. 2B. 4C. 8D. 164. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x) = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 66. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 11，则a= （）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知数列{an}满足an = an-1 + 3，若a1 = 2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n - 1B. an = 3n + 1C. an = 3nD. an = 3n - 29. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，若f(x) > 1，则x的取值范围为（）A. (2, +∞)B. (3, +∞)C. (4, +∞)D. (5, +∞)10. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1，若a1 = 3，则数列{an}的前10项和S10 = （）A. 590B. 610C. 620D. 630二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若复数z满足|z - 1| = 2，则|z + 1| = _______。
2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期期中考试数学试题(理)(解析版)
江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.设集合{}|3,xA y y x ==∈R ，{}|B x y x ==∈R ，则A B =（ ）A. ∅B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦『答案』D 『解析』集合{|3x A y y ==，}{|0}x y y ∈=>R ，{|B x y ==1}{|}2x x x∈=R ， 11|00,22AB x x ⎧⎫⎛⎤∴=<≤=⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦．故选：D ．2.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．3.已知函数()1,0sin ,0x f x x x π>=≤⎪⎩，则49f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A.12B. 12-C.2D. 『答案』D『解析』函数1,0()sin ,0x f x x x π>=⎪⎩，41193f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，41sin sin 9333f f f ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：D ．4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A. 3()f x x x =+ B. ()31x f x =- C. 1()f x x=-D. 3()log f x x =『答案』A『解析』对于选项A ，()()f x f x =--恒成立，且'2()310f x x =+>，即函数()f x 为奇函数且为增函数，对于选项B ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 对于选项C ，'21()0f x x=>，函数()f x 的增区间为()(),0,0,-∞+∞，函数在()(),00,-∞⋃+∞不为增函数，对于选项D ，()()f x f x ≠--，则函数()f x 不为奇函数， 故选A. 5.已知4cos 5θ=且322πθπ<<，则sin tan θθ+=（ ） A. 2720-B.2720C. 320-D.320『答案』A 『解析』由4cos 5θ=且322πθπ<<，得3sin 5θ=-，sin 3tan cos 4θθθ∴==-． 3327sin tan 5420θθ∴+=--=-．故选：A ．6.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A. 6升 B. 8升 C. 10升D. 12升『答案』C『解析』因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶600公里（等于6千米）， 所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为60106=升，所以选C. 7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .命题甲：A C B +=，且a c +=，命题乙：ABC ∆是等腰直角三角形，且B 为直角.则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』C『解析』由A C B +=，180A B C ++=︒，得90B ∠=︒，222a c b +=，又a c +=，平方得22222a c ac b ++=，222a c ac ∴+=即a c =，ABC ∆∴是等腰直角三角形，即命题甲是命题乙的充要条件．故选：C ．8.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A. B.C. D.『答案』B『解析』根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 9.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ）A. -7B. 7C. 1D. -1『答案』B 『解析』因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.10.已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则（ ） A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<『答案』A『解析』因为666log 1log 2log <<61log 20,2a ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，0.60.6log 0.2log 0.61b =>=，0.2100.60.60.6<<0.20.6,135c ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭．a cb ∴<<．故选：A ．11.已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移2πω个单位长度，得到()g x的图像，()g x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4ωπ个单位长度，则函数()g x 图像的一个对称中心为（ ） A. ,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D. 2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭『答案』C『解析』由已知，函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()326g x x x ωππωωπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()g x 的最小正周期为2πω，则224πωπω=⨯，解得2ω=，所以()26g x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令2()62x k k Z πππ+=+∈，解得()26k x k Z ππ=+∈，所以函数()g x 图象的对称中心为,0()26k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭． 显然当1k =-时，()g x 图象的一个对称中心为,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ． 12.对于函数()ln xf x x=，下列结论中正确结论的个数为（ ） ①()f x 在x e =处取得极大值1e；②()f x 有两个不同的零点； ③()()()23ff f π<<；④若()1f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则1k >；⑤0x ∀>，()2ln f x x x e<+恒成立. A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个『答案』B『解析』21(),(0)lnxf x x x -'=>， 令()0f x '=，得x e =，当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<，()f x ∴的增区间是(0,)e ，减区间是(,)e +∞， ∴当x e =时，()f x 有极大值f （e ）1e=．所以①正确． 0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →，()f x ∴只有一个零点．所以②错误．由上知()f x 减区间是(,)e +∞，()()3()4f f f π∴>>， 又()()42f f =，()()2()3f f f π∴<<．所以③错误． 若1()f x k x<-在(0,)+∞上恒成立， 则1lnx k x x >+， 令1()lnx G x x x=+， 2()lnxG x x -'=， 可得(0,1)x ∈时，()0G x '>，(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()()11max G x G ∴==，1k ∴>．所以④正确．令22()()lnx g x f x xlnx xlnx e x e=--=-- (0)x >， 222211()1(0)lnx lnx x lnx x g x lnx x x x ----'=--=>，令22()1(0)h x lnx x lnx x x =--->，22123()132133()320x x x h x x x x x++++'=---=-=-<， ()h x ∴在(0,)+∞ 单调递减，又()10h =，∴在(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增，在(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减， 当1x =时，()2()10max g x g e ==-<．0x ∴∀>，()0<g x ，0x ∴∀>，2()f x xlnx e<+恒成立．所以⑤正确．∴正确结论为①④⑤．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.若()12053a x dx -=⎰，则a =______. 『答案』2『解析』若1205()3a x dx -=⎰，则31015|33ax x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1533a -=，所以2a =．故『答案』为：2．14.已知向量()2,3a =，()1,b m =-，且()a ab ⊥+，则实数m 的值为______.『答案』113- 『解析』向量()2,3a =，()1,b m =-，∴(1,3)a b m +=+．()a ab ⊥+，∴()23(3)0a a b m =+++=，解得113m =-， 故『答案』为：113-． 15.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则实数a 的值为______.『答案』1『解析』由2()(1)x f x ax e -=-，得22()(1)x x f x ae ax e --'=+-，∴()22131f a a a '=+-=-，又()221f a =-，∴曲线2()(1)x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线方程为21(31)(2)y a a x -+=--，代入(3,3)，得4231a a -=-，解得1a =． 故『答案』为：1．16.ABC ∆中，角,,A B C的对边分别为,,,2a b c c a =+，当C ∠最大时，22ABCS a b ∆=+__________．『答案』320+『解析』22222231cosC 228444a b a b c a b ab ab b a +-+-⎝⎭===⨯+⨯-≥,当且仅当a 3b =，取等号，∴∠C 的最大值为75°，此时sinC=4,，∴22222211absinC 2342ABC b S a b a b b ∆⨯===++⎫+⎪⎝⎭. 故『答案』为320+ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若()12f B =，且5a =，8c =，求b 的值.解：（1）由于1()sin()cos cos cos 62f x x x x x x π=+-+-1cos sin()26x x x π=-=-， ()sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令22262k x k πππππ--+，k Z ∈，可得：22233k xk ππππ-++，k Z ∈， 可得()f x 的单调递增区间为22,2,33ππk πk πk Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）1()2f B =， ∴可得1sin()62B π-=，(0,)B π∈，5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 66B ππ∴-=，可得3B π=，5a =，8c =，∴由余弦定理可得7b ==． 18.已知如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是边长为4的正方形，3AC =，AB AC ⊥，1A C 与1AC 相交于点D .（1）在1AB 上作一点E ，使得//DE 面ABC ，并证明； （2）求直线1B D 与平面BDE 所成角的正弦值.解：（1）连结1A B ，交1AB 于E ，连结DE ，则1AE EB =，E 是1A B 的中点，1A C 与1AC 相交于点D ．D ∴是1A C 中点，//DE BC ∴．AB ⊂平面ABC ，DE ⊂/平面ABC ， //DE ∴面ABC ．（2）以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， ()3,0,0C ， ()0,4,0B ， ()10,0,4A ， 3,2,02D ⎛⎫⎪⎝⎭， ()0,2,2E ， ()10,4,4B ，13,2,42B D ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,2,02BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2BE =-，设面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则3·202·220n BD x y n BE y z ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩，取4x =，得(4,3,3)n =， ()()1342343122B D n ∴=⨯+-⨯+-⨯=，243n =+2132B D ⎛⎫== 11112cos ,1513B D n B D n B D n-∴<>==．∴直线1B D 与平面BDE ．19.已知数列{}n a 满足11a =，223a =，()111122,n n n n n a a n n N a a a -++-++=≥∈. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，112b =，()142,n n n b a a n n N -+=≥∈，求证1n T <. 解：（1）数列{}n a 满足11a =，223a =，11112n n n n n a a a a a -+-++=． 整理得11211n n n a a a +-=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，211112d a a =-=， 所以1111(1)222n n n a =+-=+ 整理得21n a n =+． （2）由于112b =，14n n n b a a -=，所以41144(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，当2n 时，111n b n n =-+， 故当1n =时，112n T =<； 当2n 时，11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++． 因此1n T <．20.过点()0,2P 的直线l 与抛物线C ：24x y =交于A 、B 两点，以A 、B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点()00,Q x y . （1）求0y 的值；（2）设过点P 、Q 的直线交抛物线C 于M 、N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值.解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且2114x y =，2224x y =，由24x y =的导数为12y x '=，可得在A 处的切线方程为1111()2y y x x x -=-，①即为211124x y x x =-，同理可得在B 处的切线方程为222124x y x x =-，②由①②可得1202x x x +=，1204x xy =，设直线:2l y kx =+，联立抛物线方程24x y =， 可得2480x kx --=， 则124x x k +=，128x x =-， 可得(2,2)Q k -，即02y =-；（2）由（1）可得2222121212||||1()411632AB x x k x x x x k k =-=++-=++222k =+，③，由(0,2)P ，(2,2)Q k -，可得2:2MN y x k=-+，将③中的k 换为2k -可得2424||k MN +=， 设AB 与MN 的夹角为θ，可得22tan 21k k k k k kθ+==+-，由sin tan cos θθθ=，22sin cos 1θθ+=，可得2sin θ=， 故四边形AMBN 的面积222221(2)4||||sin 8248242k S AB MNk k k θ⎛⎫+⎫===++⨯= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭当且仅当k =“=”．则四边形AMBN 面积的最小值为21.已知函数()()ln 1xf x ae x a R =++∈.（1）讨论()f x 零点的个数；（2）若()ln 1f x x x =++有两个解()1212,x x x x <，且121nx x n +>+恒成立，求正整数n 的最大值.解：（1）()10x f x ae lnx =++=， 1(0)xlnx a x e +∴-=> 设1()x lnx g x e +=，11()xlnx x g x e --'=，由11y lnx x =--，210x y x+'=-<，又()10y =， 所以(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 递减，1()(1)max g x g e==， 且当x →+∞，()0>g x ，故：当1a e <-时，()f x 零点的个数为0； 当1a e =-时，()f x 零点的个数为1；当10a e-<<时，()f x 零点的个数为2；当0a 时，()f x 零点的个数为1．（2）()1f x x lnx =++，得x xa e=，()1f x x lnx =++有两个解1x 、2x ，相当于y a =与()xxh x e =有两个交点的横坐标1x 、2x ，12x x < 首先证明当1n =时，122x x +>成立，由于()(1)x h x e x -'=-，(0,1)x ∈，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()h x 递减，且x →+∞，()0h x >，所以()h x 的最大值为()11h e=，易知10a e<<，要证122x x +>，即证212x x >-，因为1201x x <<<，101x <<，所以121x ->，因为(1,)x ∈+∞，()h x 递减，只需21()(2)h x h x <-，又12()()a h x h x ==， 即证11()(2)h x h x <-，只需(0,1)x ∈，()(2)h x h x <-成立， 设22()()(2)x x x xF x h x h x e e--=--=-，2()(1)(3)0x x F x e x e x --'=--->， 所以()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，又()10F =，所以()0F x <， 即()(2)h x h x <-成立，所以122x x +>成立， 当2n 时，121nx x n +>+不恒成立， 下证2n =时，上式不恒成立； 因为1212x x x x e e =，所以2121(1)x x x e t t x -==>， 则2211x x x ln x -=，则11lntx t =-，21tlnt x t =-， 122211lnt tlnt x x t t +=+--， 设(2)()(1)1lnx x m x x x +=>-，2213()(1)x lnx x m x x +--'=-，213y x lnx x =+--，2223(1)(2)1x x y x x x --'=+-= 故在(1,2)x ∈，()m x 递减，(2,)x ∈+∞，()h x 递增， ()m x 最小值为()2423m ln =<，故不恒成立．综上，1max n =．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,1M -，若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求MP MQ ⋅的值.解：（1）直线l 的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数），整理得直线l的普通方程为1y -，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+．cos cos sin sin 44ππρθθ⎫∴=-⎪⎭4cos 4sin ρθθ∴=-24cos 4sin ρρθρθ∴=-整理得曲线C 的直角坐标方程为22440x x y y -++=．（2）把直线l的参数方程为1(1x t t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数），转换为112(1x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数），代入圆的直角坐标方程22440x x y y -++=．整理得211)60(t t t +-=和2t 为P 、Q 对应的参数）， 所以126t t =-由圆幂定理得12||||||6MP MQ t t ==．23.已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.的（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f xg x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=.当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2.∴2a ≥.,。
江西省抚州临川市第二中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题
绝密★启用前江西省抚州临川市第二中学2020届高三上学期10月月考数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}12,1A x x B x x =-<<=>，则A B =（）A ．()1,1-B ．()1,2C ．()1,-+∞D ．()1,+∞2．已知i 为虚数单位，若复数31iz i-=+,则||z =（） A ．1B ．2CD 3．设,m n R ∈，则“m n >”是“21m n ->”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()2,+∞B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()1,+∞D ．()0,25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<6．已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则cos α=()………装…………○…………订请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内………装…………○…………订A B C D ．157．已知函数2(sin 2cos ()+∈f x x x x x R ，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为（） A ．3B ．2C ．1D ．08．若函数()sin ln(f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（） A ．3B ．3±C ．9D ．9±9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()1exf x x=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)11．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，(0)2021f =，则不等式()22019xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A ．()0,∞+ B ．()2018,+∞ C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞12．已知函数()221,0{121,02x x f x x x x +<=-+≥ ，方程()()()200f x af x b b -+=≠有六个不同的实数解，则3a b +的取值范围是（ ）A ．[]6,11B ．[]3,11C ．()6,11D ．()3,11第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数22,1()log(1),1xaxf xx x⎧+≤=⎨->⎩，若[(1)]2f f=，则实数a的值是_______．14．若函数()ln2f x x ax=-的图象存在与直线31x y+=垂直的切线，则实数a的取值范围是____．15．已知2cos1αα-=，则cos23πα⎛⎫-⎪⎝⎭=__________．16．已知函数12cos3,0()2,()2,0xa x xf xg xx a x-+≥⎧==⎨+<⎩，若对任意11)[x∈+∞，，总存在2x R∈，使12()()f xg x=，则实数a的取值范围是__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a满足3577,26a a a=+=，{}na的前n项和为nS.（1）求na及nS；（2）记12111...nnTS S S=+++，求nT18．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；………○……__________………○……（i ）求日需求量为18个时的当日利润； （ii ）求这30天的日均利润.相关公式：()()()1122211ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =- 19．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD ==AC BD F ⋂=，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心．（Ⅰ）求证：//GF 平面PDC ； （Ⅱ）求点G 到平面PCD 的距离.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，且过点⎛ ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆221x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()sin x f x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：对[0,),()1x f x ∀∈+∞…； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围。
2020届江西省临川高三10月月考数学（文）试题
临川 二中、临川二中实验学校2020届高三年级10 月联合考试数 学（文科） 试 题全卷满分150分，考试时间120分钟.答题均在答题卡上作答一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}12,1A x x B x x =-<<=>，则=⋂B A （ ） A ．()1,1- B ．()1,2 C ．()1,-+∞ D ．()1,+∞ 2. 已知i 为虚数单位，若复数iiz +-=13,则=||z （ ） A. 1B. 2C. 2D. 53．设,m n R ∈，则“n m >”是“12>-n m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．()2,+∞B ． ()()1,02,-+∞C ．()1,+∞D ． ()0,25. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<6．已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则=αcos ( )A ．255B ．55 C ．33D ．157. 已知函数2()=23cos sin 2cos ()+∈f x x x x x R ，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08. 若函数)91ln(sin )(2x ax x x f ++⋅=的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．3± C ．9 D ．9± 9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数21)(x exx f -=的图象大致是（ ）10. 已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数9)()(-+=x x f x g 的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)11.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，2021)0(=f ，则不等式20192)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=0,12210,12)(2x x x x x f x ，方程()()()200f x af x b b -+=≠有6个不同的实数解，则3a b +的取值范围是（ ） A ．[]6,11B ．[]3,11C ．()6,11D ．()3,11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，若[]2)1(=f f ，则实数a 的值是 ．14. 若函数()ln 2f x x ax =-的图象存在与直线13=+y x 垂直的切线，则 实数a 的取值范围是____．15. 已知ααsin 321cos 2=-，则)23cos(απ-= ．16. 已知函数⎩⎨⎧<+≥+==-0,20,3cos )(,2)(21x a x x x a x g x f x ，若对任意11)[x ∈+∞，，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 及n S ； ⑵记12111...n nT S S S =+++，求n T18．(本小题满分12分）某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉（一炉至少个，至多个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近天的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量频数（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程； （2）若该店这款新面包每日出炉数设定为个 （i ）求日需求量为8个时的当日利润； （ii ）求这天的日均利润. 相关公式：，19．(本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离. 20．(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程； （2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分） 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对[)1)(,,0≥+∞∈∀x f x ； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．122．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则A B =Rð( )A ．(3,0)-B ． (3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-3.2sin 37522+的值为（ ）12 C. D. 12-4.已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A. 29B.30C. 31D. 325.已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ）A.19B.20C.39D.406.已知双曲线()22:101x y C m m m-=>+的左焦点F 在圆2226150x y x y +---=上，则双曲线C 的离心率为（ ）A.95B.94C.5D.327.在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围是（ ） A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-8.已知定义在R 上的奇函数ax f x x +-=212)(，则不等式0<)4()2(2-+-x f x f 的解集为（ ） A.(-1,6)B.(-6,1)C.(-2,3)D.(-3,2)9.△AOB 中，==,，满足2||=-=⋅,则△A0B 的面积的最大值为（ ） A.3 B.2 C. 32 D. 22 10. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足 0x >时，2()l n l n 2f x x x ππ=-+，则函数()()sin g x f x x =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 11.已知函数0)>(sin )42(cos sin 2)(22ωωπωωx x x x f --⋅=在区间]65,52[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是 ( ) A. ]53,0(B.)25,21[C. ]43,21[D. ]53,21[12．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x ，2x ，则方程可写成12()()0a x x x x --=，即21212()0ax a x x x ax x -++=．容易发现：12b x x a +=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实根分别为1x ，2x ，3x ，以下正确命题的序号是（ ）①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20203x y x y x ,则y x z +=3最小值为 .14．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2020a =_________． 15．已知函数()()sin cos2f x x x x =⋅∈R ，则()f x 的最小值为 ．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin ),2a b A c b C B -=+-则ABC ∆面积的最大值是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足()*+∈-==N n a a a nn 44,111（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是等差数列；（2）设2211nn n a b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2απ∈，求sin 2α．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PA PD =，PA PD ⊥，F 为PB 上的点，且AF ⊥平面PBD .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）2211B F B F 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O .（1）求椭圆E 的长轴21A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆1F :()3122=++y x ，则圆P 和圆1F 的公共弦MN21. （本小题满分12分） 已知函数2()ln ().2a f x x x x x a R =--∈ (1) 若曲线()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，求此切线方程； (2) 若()f x 有两个极值点12,,x x 求a 的取值范围，并证明：1212.x x x x >+(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22． [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐系内异于O 的三点1(,)A ρφ，2(,)6πB ρφ+，3123(,)(,,0)6πC ρφρρρ->都在曲线M 上.（1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ， 求四边形OBAC 的面积.23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13.-5 14.1202115．1-四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17. 解：（1）14,4n n a a +=-Q 11111422224n n n na a a a +∴-=------…………………………………………(2分)2142221424-=--=----=n n n n n a a a a a 为常数， ……………………………………(4分)又1111,1,2a a =∴=--Q…………………………………………(5分) 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是以1-为首项21-为公差的等差数列. …………………………………(6分) （2）由（1）知(),21211121+-=⎪⎭⎫⎝⎛--+-=-n n a n ,12122+=+-=∴n n n a n ………(8分) ()()()()()22214411112111122121212121221212n n n na n nb n a n n n n n n n-⎛⎫+∴=-=-=-==-⎪--+-+-+⎝⎭…………………………………………(10分)1231111111112335572121n n T b b b b n n ⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭…………………………………………(11分) 所以，数列{}n b 的前n 项和为n T .21nn =+…………………………………(12分) 18．（本小题满分10分）【解析】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.（3分）所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.（5分）所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（6分）（2）1()3f α=-，π1π12sin(2)1,sin(2)6363αα--=--=，因为(0,)2απ∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.（8分）所以πcos(2)6α-（10分）则ππππππsin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666αααα-+=-+-1132==（12分） 19.【试题解析】证明：（1）∵AF ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，∴PD AF ⊥,∵PA PD ⊥ PA AF A ⋂=,∴PD ⊥平面PAB , ∵AB ⊂平面PAB ∴PD AB ⊥.∵ABCD 是正方形，∴AB AD ⊥, ∵PD AB ⊥，AD PD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ,∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ,..........6分 （2）取AD的中点H ，连接PH ，BH ，∵PA PD =，∴PH AD ⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面PAD , 平面PAD ⋂平面ABCD AD =,∴PH ⊥平面ABCD , ∴BH 是PB 在平面ABCD 内的射影.∴PBH ∠就是PB 与平面ABCD所成的角,在等腰Rt PAD 中，∵2AD =，H 是AD 的中点，∴1PH =, 在Rt BAH 中，∵1AH =，2AB =, ∴BH =PB =∴sin PH PBH PB ∠===...................12分20.解：（1）依题意四边形2211B F B F 的面积为22,2=∴bc bc ，………………………(2分) (3分)(4分 (5分) 圆P 的方程为：()()022002220202020=--+⇒+=-+-y y x x y x y x y y x x ， ……(6 分)圆1F 的方程为：()022312222=-++⇒=++x y x y x ，……………………………(7分)两式作差得公共弦方程为：()01100=-++y y x x ，……………………………………(9分)(11分)……………(12分)22. (1) 由1=2cos ρϕ，2=2cos 6πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，3=2cos 6πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭，………………(3分) 则231+=2cos 2cos 66ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(证毕)……………(5分) (2) 曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程化简得：20t =，解得10t =，2t =12B ⎛ ⎝⎭，()2,0C .……(7分)则2=1ρ，32ρ=，6πϕ=；又得1ρ.即四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=为所求. ………………(10分) 23. [解] (1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3·32⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ＝3×38＝6，............3分 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6..............5分(2)证明：法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，............8分 当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2............10分法二：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 21)≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.- 11 -。