2020-2021学年新教材数学人教B版必修第四册课件：阶段复习课 第十章 复 数
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十章 复数 精品教学课件(共259页)
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为________． 1，－1 [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx＋ －1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4．已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚 数，则 a＝________.
1 [∵z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚数， ∴aa＋2－11≠＝00，， 解得 a＝1.]
【例 3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数 x，y 的值； (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
x＋y＝0， 得y＝x＋1，
解得x＝－12， y＝21.
复数的概念
【例 1】 (1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 的虚部是 2i；③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(一题两空)已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是 a＝________，b＝________.
(2)对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它， 把复数 z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认 识它．
(3)形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时， 形如 bi 的数才是纯虚数．
复数相等的充要条件 [探究问题] 1．a＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的充分条件吗？ [提示] 因为当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 才是纯虚数，所以 a ＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的必要不充分条件． 2．3＋2i＞3＋i 正确吗？ [提示] 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比 较大小．
新教材 人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题
人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ， 可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2， 所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中， 因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437， 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49， 所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理， 得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ， 由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1，∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35， 故B 为锐角，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝sin B cos π4＋cos B sin π4 ＝7210. 由正弦定理， 得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里． 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos 60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，整理得cos(C＋60°)＝－2 2.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5 C．4 D．3A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.]第十章 复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解． [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．[跟进训练]1．(1)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.故选D ．(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝2.故选C ．(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2．(1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.(1)C (2)4＋2i [(1)依题意知，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i. (2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ， 所以a ＝4. 所以z 2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数i1－i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B (2)A [(1)复数i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴复数i1－i在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ． (2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A ．]1．复数的几何表示法复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z －z 1|＝r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆．(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．[跟进训练]3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A ．(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．]函数与方程思想【例4】 已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z .[思路探究] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由复数相等列方程组求解即可．[解] ∵f (z )＝|1＋z |－z －，∴f (－z )＝|1－z |＋z －. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由f (－z )＝10＋3i ，得|1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，∴复数z ＝5－3i.一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．[跟进训练]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝(x ＋3)＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】 设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2iD [∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.] 【例2】 设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0Da 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1．设z ＝3－i1＋2i，则|z |＝( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1C [∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.] 2．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．13 [∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.]第十一章 立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V ＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( )A ．π4∶π6∶1B ．π6∶π4∶2C ．1∶3∶12πD ．1∶32∶6πD [球中，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23＝π6D 3＝k 1D 3，所以k 1＝π6；等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4；正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1， 所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．142π平方尺B ．140π平方尺C ．138π平方尺D ．128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为72＋52＋82＝138尺，所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822＝138π平方尺．] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合，则内切球的半径为点O 到各面的距离，外接球的半径为点O 到各顶点的距离，棱切球的半径为点O 到各棱的距离．[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A -BCD 的高为AG ，O 为正四面体的中心，连接CG 并延长交BD 于点E ，连接OC ，OE ，则外接球的半径R ＝OA ＝OC ．由题意可得CE ＝3a 2，则CG ＝23CE ＝3a 3，EG ＝13CE ＝3a 6，所以AG ＝AC 2－CG 2＝6a 3.所以OG ＝6a 3－R .在Rt △OCG 中，OC 2＝OG 2＋CG 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3－R 2＋a 23，解得R ＝6a 4. 所以内切球的半径r ＝OG ＝6a 3－6a 4＝6a 12.棱切球的半径为OE ＝EG 2＋OG 2＝a 212＋a 224＝2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练]2．(1)已知正方体的外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长是( )A ．2 2B ．233C ．423D ．433(2)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．543(1)D(2)B[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝12PB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA 12PB，∴PF MA．∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，又因为MO⊂平面BDM，P A⊄平面BDM，所以P A∥平面BDM，又因为P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BDM＝GH，所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．[解](1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C．所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥侧面BB1C1C．因为C1N⊂截面MBC1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练]4．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ，C 重合)，E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明：BP ⊥平面DCP ；(2)若BC ＝2，当三棱锥D -BPC 的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离．[解] (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形，平面ABCD ∩平面BPC ＝BC ，所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ．又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D -BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1＝12，所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2＝13.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP＝(22)2－(2)2＝6，△BDP的面积为12×2×6＝ 3.设E到平面BDP的距离为d，由于V D-BEP＝V E-BDP，则13×3×d＝13，得d＝33，即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝23，SC ＝1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥S-ABC的体积．[解](1)取AB中点D，连接SD，CD，因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－(3)2＝1，在直角三角形CDA中，CD ＝CA 2－AD 2＝22－(3)2＝1，所以SD ＝CD ＝SC ＝1，所以△SDC 是等边三角形，所以∠SDC ＝60°.(2)法一：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDC ，且平面ABC ∩平面SDC ＝CD ，在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即SO 是三棱锥S -ABC 的高．在等边△SDC 中，SO ＝32，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝13S △ABC ·SO ＝13×12×23×1×32＝12.法二：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ．在等边△SDC 中，S △SDC ＝34SD 2＝34，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝V A -SDC ＋V B -SDC ＝13S △SDC ·AB ＝13×34×23＝12.1．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．[跟进训练]5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A [如图，分别取BC ，CD ，AD ，BD 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，MP ，PQ ，MQ ，则MN ∥BD ，NP ∥AC ，所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角)．又由题意得PQ ⊥MQ ，PQ ＝12AB ，MQ ＝12CD ．设AB ＝BC ＝CD ＝2，则PM ＝ 2.又MN ＝12BD ＝2，NP ＝12AC ＝2，所以△PNM 为等边三角形，所以∠PNM ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角为60°，其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】 如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[思路探究](1)连接B1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．[解](1)证明：如图所示，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．。
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算
3
3
6
6
A.3i
B.-3i
π
π
C.3 cos 18 + isin 18
π
π
D.3 cos 6 + isin 6
答案:A
1
π π
π π
π
π
解析:z1z2= ×6[cos + +isin( + )]=3 cos + isin =3i.
2
3 6
3 6
2
2
)
三、复数三角形式的除法
1.若非零复数z=r(cos θ+isin θ)(r>0),则 的三角形式是什么?
(2) 2 cos
(3)3 cos
2π
3
7π
4
+ isin
+ isin
解:(1)原式= 2 × 3
(2)原式=2 cos
4π
3
+ isin
7π
6
;
;
÷
1
3π
3π
(cos 2 +isin 2 ).
2
π
×[cos(
3
7π
π
+ )+isin
6
3
=- 6i.
2
3 cos
7π
6
2
2π
3
7π
4
π
π
+isin 3 )×
探究一
将已知复数化为三角形式
【例1】 将下列复数化为三角形式.
3
3
(1) 3+i;(2)2 sin π + icos π .
4
4
分析:化复数为三角形式的关键是求模和辐角.
人教B版高中数学必修第四册教学课件：第十章10.3复数的三角形式及其运算
3 又可得tan（arg ω）＝ 2 ，所以arg ω＝π+arctan .
小结
1.复数的三角情势
z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的 三角情势，其中的θ称为z的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.
为了求出一个非零复数的三角情势，只要求出这个复数的 模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.
＝-1+
3 i.
训练题
1.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β，则α+β等于 （ C ）
A.135°
B.315° C.675°
D.585°
2.设复数z1＝2sin
θ+icos
θ
4
2
在复平面上对应向量
OZ1
，
将向量 oz1
绕原点O按顺时针方向旋转
3 4
后得到向量 OZ2
， OZ2
对应复数z2＝r（cos φ+isin φ），则tan φ＝ （ A ）
2.复数三角情势的乘法法则
r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝ r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.
模相乘，辐角相加.
3.复数三角情势的除法法则
模相除，辐角相减.
2
cos
3
isin
3
4
＝
2
cos
3
1 isin
3
1
4
＝
24
cos
4 3
isin
4 3
＝
16
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十章 10.2.1 复数的加法与减法
(3)由于四边形 ABCD 是平行四边形,所以 = .
由(1)知 =-2+2i,而 = − ,
所以 对应的复数为(-2+2i)+(4+3i)=2+5i,
这就是点 C 对应的复数.
规律方法 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数
= 6,
∴
解得
= 11.
+ = 3-1,
4.如果一个复数与它的模的和为5+ √3 i,那么这个复数是
答案
11
+ √3i
5
解析 设这个复数为 x+yi(x,y∈R),
∴x+yi+ 2 + 2 =5+√3i,
∴
+
2
= √3,
+
2
= 5,
∴
=
11
,
5 ∴x+yi=11 + √3i.
3.若在复平面上的▱ABCD 中, 对应的复数为 6+8i, 对应的复数为-4+6i,
则 对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析 由复数加、减法的几何意义可得 =
1
(-6-8i+4-6i)=-1-7i.
2
1
(
−
),其对应的复数为
2
重难探究•能力素养全提升
探究点一 复数的加法、减法运算
2.在复平面内,复数 1+i 与 1+3i 分别对应向量 和 ,其中 O 为坐标原点,
则| |等于(
A.√2
)
B.2
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.1.1 复数的概念
故当 m≠5,且 m≠-3 时,z 是虚数.
2 --6
= 0,
+3
(3)
解得 m=3 或 m=-2.
2 -2-15 ≠ 0,
故当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.
随堂练习
1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
解:根据复数相等的定义,
由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
5
2-1 = ,
= 2,
得
解得
1 = -(3-),
= 4.
5
所以 x=2,y=4.
延伸探究
本例变为:已知复数z1=(2x-1)+mi,z2=y-(3-n)i,其中x,y,m,n∈R,若z1>z2,求
x,y,m,n满足的条件.
1.在实数范围内,是否存在平方后为负数的数?
提示:不存在.
2.方程2x2-x+3=0(x∈R)在实数范围内有解吗?
提示:无解.
3.(1)规定 i 的平方等于-1,即 i2 =-1,并称 i 为虚数单位.
(2)一般地,当a与b都是实数时,称 a+bi 为复数.复数一般用小写字母z表示,
即z= a+bi(a,b∈R) ,其中 a 称为z的实部, b 称为z的虚部,分别记作Re(z)=
反思感悟
在求解复数z的实部和虚部时,先将z化为a+bi(a,b∈R)的形式,再确定z的实
部和虚部.
【变式训练1】 (1)若复数z的实部为8,虚部为-3,则z=
(2)复数isin 17°的实部为
答案:(1)8-3i (2)0
sin 17°
,虚部为
人教B版高中数学必修第四册10
解析：设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i| ＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z ＋i＋1|min＝1.
解析：(1)①(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. ②(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)＝(－1＋1)＋( 2 + 2)i＝2 2i. ③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(2)若复数z满足3z＋zത＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝__14_+__12_i __.
(2) 已 知 复 数 |z| ＝ 1 ， i 为 虚 数 单 位 ， 则 |z － 3 ＋ 4i| 的 最 小 值 是 ____4____．
【解析】 复数z满足|z|＝1(i是虚数单位)，复数z表示的点的轨迹为复平面上的 点到(0，0)的距离为1的圆．
|z － 3 ＋ 4i| 的 几 何 意 义 是 圆 上 的 点 与 (3 ， － 4) 的 距 离 ， 所 以 最 小 值 为 ： 32 + −4 2－1＝4.
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则3(a＋bi)＋a－bi ＝1＋i⇒4a＝1且2b＝1⇒z＝14 + 12i.
题型2 复数加减运算的几何意义 例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A， C分别表示0, 3＋2i，－2＋4i.求： (1)AO表示的复数； (2)对角线CA表示的复数； (3)对角线OB表示的复数．
10．2.1 复数的加法与减法
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
2020-2021学年新教材数学人教B版必修第四册课件：10.1.1 复数的概念
新课程标准
素养风向标
1.在问题情境中了解数系的扩充 过程,体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程求根) 在数系扩充过程中的作用,感受人 类理性思维的作用以及数与现实 世界的联系. 2.理解复数的基本概念以及复数 相等的充要条件.
1.通过数系的扩充引入复数的有关概 念.(数学抽象) 2.通过数系的扩充构建数系表,形成 知识网络.(数学建模) 3.利用复数的实部虚部的关系建立复 数相等的意义.(逻辑推理)
基础预习初探
1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类 (1)方程x2-2x-3=0的正整数解是________,有理数解是________,实数解是 ________. (2)方程x2-2x-1=0的无理数解是________,实数解是________.
探究点二 复数的分类与参数问题
【典例2】1.已知复数z=(x2-1)+(x+1)i(x∈R)为纯虚数,则z=________; 2.已知m∈R,复数z= m(m 2) （m2 2m 3)i ,
m 1
当m为何值时,z分别满足下列条件:
(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.
【思维导引】当a,b都是实数时,
【类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi, 而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构 成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时, 可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10.1.1复数的概念含解析
第十章复数10．1复数及其几何意义10．1.1复数的概念[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及分类[填一填](1)复数的概念①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．②当a与b都是实数时，称a＋b i为复数，复数一般用小写字母z 表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋b i，a，b∈R}．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．[答一答]1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R 是复数集C 的真子集，即RC .至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).知识点二 复数相等 [填一填]两个复数z 1与z 2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z 1＝z 2.如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .特别地，当a ，b 都是实数时，a ＋b i ＝0的充要条件是a ＝0且b ＝0.[答一答]2．怎样理解两复数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i 和3－i,2和i 之间就无大小可言．(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．两个不全为实数的复数不能比较大小．(1)根据复数a＋b i与c＋d i相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：①若a<b，b<c，则a<c；②若a<b，则对任意实数c，满足a＋c<b＋c；③若a<b，c>0，则ac<bc.如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质，但是，在复数之间具有上述性质的关系却是不存在的.类型一复数的概念[例1]判断下列说法是否正确．(1)当z∈C时，z2≥0；(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(3)若a>b，则a＋i>b＋i.[分析]本题考查复数的基本概念和基本性质．[解](1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．1.虚数单位i 具有i 2＝－1的性质.2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.3.复数z 的平方未必为非负数.[变式训练1] 下列命题正确的是(1)．(1)复数－i ＋1的虚部为－1.(2)若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2.(3)任意两个复数都不能比较大小．解析：(1)复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1.正确．(2)若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小．错误．(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．类型二 复数的分类[例2] 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[分析] 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a 的值．[解] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧ a 2－1≠0，a 2－5a －6＝0，∴⎩⎨⎧ a ≠±1，a ＝－1或a ＝6.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z为虚数时，⎩⎨⎧a2－5a－6≠0，a2－1≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a≠－1且a≠6，a≠±1.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，⎩⎨⎧a2－7a＋6a2－1＝0，a2－5a－6≠0，∴⎩⎨⎧a＝6，a≠－1且a≠6.∴不存在实数a，使得z为纯虚数．本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.[变式训练2]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有⎩⎨⎧m2－3m≠0，m2－5m＋6＝0.∴⎩⎨⎧ m ≠3且m ≠0，m ＝3或m ＝2.∴m ＝2.∴m ＝2时，z 为纯虚数．(4)要使z ＝0时，依复数相等的充要条件有：⎩⎨⎧ m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ＝0⇒⎩⎨⎧ m ＝2或m ＝3，m ＝0或m ＝3⇒m ＝3，∴当m ＝3时，复数z 为零．类型三 复数相等的应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[分析] (1)复数a ＋b i ＝c ＋d i 的充要条件是什么？(⎩⎨⎧ a ＝c ，b ＝d )(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a ，b ，c ，d ∈R )[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R .忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．[变式训练3] 已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值．解：设方程的实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0、m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等得⎩⎨⎧ x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12m ＝112，故m ＝112.1．复数1－i 的虚部是( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上全不对解析：由题意得⎩⎨⎧ x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：由题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2.4．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为－1.解析：由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎨⎧ m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.。
【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第四册单元综合测试 第十章 复数
单元综合测试二(第十章)时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．|21＋i |＝( C )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1解析：∵21＋i ＝1－i ，∴|21＋i |＝|1－i|＝2，故选C.2．若(x －2i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( B ) A ．－2＋i B ．2＋2i C ．1－2iD ．1＋2i解析：(x －2i)i ＝y ＋2i ，即x i ＋2＝y ＋2i ，故y ＝2，x ＝2，所以复数x ＋y i ＝2＋2i.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内向量OA →，OB →(O 为坐标原点)，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则向量OA→与OB →的关系有( C ) A.OA →＝OB → B ．|OA →|＝|OB →| C.OA→⊥OB → D.OA→，OB →共线 解析：由向量的加法及减法可知，在平行四边形OACB 内，OC →＝OA →＋OB →，AB →＝OB→－OA →. 非零复数z 1，z 2分别对应复平面内向量OA→，OB →，由复数加减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应OC →的模，|z 1－z 2|对应AB →的模，又由于|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则|OC →|＝|AB →|，所以四边形OACB 是矩形，因此OA→⊥OB →，故选C. 4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( A )A ．6B ．－6C ．0D.16解析：∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝(3＋2b )＋(6－b )i5是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6. 5．复数z ＝1－i 1＋i ，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：z 2＝(1－i1＋i )2＝－1，∴w ＝－1＋1－1＋1－1＝－1.6．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z 等于( D )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴a 2＋b 2－(a －b i)＝(a 2＋b 2－a )＋b i ＝101－2i＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝4，∴z ＝3＋4i.7．已知z 是复数，且p ：z ＝12＋32i ；q ：z ＋1z ∈R .则p 是q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：明显，当z ＝12＋32i 时，z ＋1z ＝12＋32i ＋112＋32i＝12＋32i ＋12－32i1＝1∈R ，但当z ＋1z ∈R 时，若令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，所以有b ＝0或a 2＋b 2＝1，不肯定有z ＝12＋32i.故p 是q 的充分不必要条件，选A.8．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：z 1⊗z 2＝⎩⎨⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)，z 1－z 2(|z 1|≤|z 2|)，当z 1＝3－i ，z 2＝－2－3i 时，z 1⊗z 2＝( A )A ．5＋2iB ．1＋2iC ．9＋7iD ．1－4i解析：由|z 1|＝32＋(－1)2＝10，|z 2|＝(－2)2＋(－3)2＝13，知|z 1|<|z 2|，故由新“运算”法则，得z 1⊗z 2＝z 1－z 2＝(3－i)－(－2－3i)＝5＋2i ，选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a ∈R ，z ＝(a ＋i)(1＋a i)，下列a 的取值中，能使|z |＝5的为( BD ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：由于z ＝(a ＋i)(1＋a i)＝(a 2＋1)i ， 又|z |＝5，所以a 2＋1＝5，解得a ＝±2，故选BD.10．若a 、b 为非零实数，则以下四个命题都成立：①a ＋1a ≠0；②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b ，则对于任意非零复数a 、b ，上述命题中仍为真命题的为( BD )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：对于①，当a ＝i 时，a ＋1a ＝0，即①不成立；对于②，依据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②正确； 对于③，在复数C 中，|1|＝|i|，则a ＝1，b ＝i 时，a ≠±b ，即③错误； 对于④，依据复数代数形式的运算法则可得，若a 2＝ab ，则a ＝b ，即④正确； 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选BD.11．复数z 满足：(z －2)·i ＝z (i 为虚数单位)，z 为复数z 的共轭复数，则下列说法不正确的是( ACD )A ．z 2＝2iB ．z ·z ＝2C ．|z |＝2D ．z ＋z ＝0解析：由(z －2)·i ＝z ，得z i －2i ＝z ， ∴z ＝－2i 1－i ＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝－2i ，z ·z ＝|z |2＝2，|z |＝2，z ＋z ＝2，故选ACD. 12．复数z 满足|z －1|＝|z ＋3|，则|z |( AD ) A ．最小值为1B ．最大值为1C ．无最小值D ．无最大值解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由于|z －1|＝|z ＋3|，所以|a －1＋b i|＝|a ＋3＋b i|， 即(a －1)2＋b 2＝(a ＋3)2＋b 2，解得a ＝－1， 所以|z |＝1＋b 2≥1，所以|z |有最小值1，无最大值．故选AD. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z ＝(1－i)(2－i)，则|z |解析：z ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ， ∴|z |＝12＋32＝10.14．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i>0，则实数x ＝－2. 解析：由(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i>0，∴⎩⎨⎧x 2－1>0x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.15．已知x 2＋i x ＋6＝2i ＋5x ，若x ∈R ，则x ＝2；若x ∈C ，则x ＝3－i 或2. 解析：当x ∈R 时，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＝0，x ＝2，解得x ＝2；当x ∈C 时，令x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有⎩⎨⎧a 2－b 2－b ＋6＝5a ，2ab ＋a ＝2＋5b .解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－1.∴x ＝2或x ＝3－i.16．在复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝1－i 或－1＋i.解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎨⎧(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知复数z 1＝(a 2－a )＋3a i ，z 2＝－2－a 2i ，问：当a 为何实数时： (1)z ＝z 1－z 2为虚数；(2)z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上； (3)z 1>z 2.解：(1)z ＝z 1－z 2＝(a 2－a ＋2)＋(3a ＋a 2)i.由于z 为虚数，所以3a ＋a 2≠0，所以a ≠0且a ≠－3. (2)z ＝z 1＋z 2＝(a 2－a －2)＋(3a －a 2)i ，依题意：⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，3a －a 2<0，所以⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝2，a >3或a <0，所以a ＝－1.(3)由于z 1>z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝0，－a 2＝0，a 2－a >－2.解得⎩⎨⎧a ＝0，a ∈R ，所以a ＝0.18．(12分)已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c ∈R )． (1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根．解：(1)由于1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，所以(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.所以⎩⎨⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0，解得b ＝－2，c ＝2.(2)由(1)知，方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边，得x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， 明显方程成立，所以1－i 也是方程的一个根． 19．(12分)已知复数z ＝3＋i2－i ，z 1＝2＋m i.(1)若|z ＋z 1|＝5，求实数m 的值；(2)若复数az ＋2i 在复平面上对应的点在其次象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于z ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5＋5i5＝1＋i.由于|z ＋z 1|＝|1＋i ＋2＋m i|＝|3＋(m ＋1)i|＝32＋(m ＋1)2＝5，所以9＋(m ＋1)2＝25.解得m ＝－5或3.(2)由于az ＋2i ＝a (1＋i)＋2i ＝a ＋(a ＋2)i ，又复数a ＋(a ＋2)i 在复平面上对应的点在其次象限，所以⎩⎨⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0.故实数a 的取值范围是(－2,0)．20．(12分)设关于x 的方程是x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意θ∈R 且θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 解：(1)设实数根是a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0，则a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0，∵a ，tan θ∈R ，∴⎩⎨⎧a 2－a tan θ－2＝0，a ＋1＝0，∴a ＝－1且tan θ＝1.又∵0<θ<π2，∴θ＝π4.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为b i(b ∈R ，b ≠0)， 则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，即⎩⎨⎧－b 2＋b －2＝0，b tan θ＋1＝0，∵此方程组无实数解，∴对任意θ∈R 且θ≠k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 21．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2， (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知可得：⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2ab ＝2即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，ab ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， ∴A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， 故△ABC 的面积S ＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， ∴A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)．故△ABC 的面积S ＝12×2×1＝1. ∴△ABC 的面积为1.22．(12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．解：存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)． 则z ＋3＝(x ＋3)＋y i ，z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件．。
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第十章 复数 复数的三角形式及其运算 分层作业册
15.在复平面内,复数 z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量(O 为坐标原点),设
||=r,以射线 Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为 θ,则 z=r(cos θ+isin θ),法国
数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则
5.[探究点三]9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]=( B )
A.3
B.-3
C. 3i
D.- 3i
解析 9(cos 3π+isin 3π)÷[3(cos 2π+isin 2π)]
=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]
=3(cos π+isin π)
3.[探究点一·2023 广东荔湾校级期中]复数
2π
2π
z=cos(- 5 )+isin(- 5 )的辐角主值为
( A )
8π
A.
5
解析
8π
B.5
2π
2π
∵z=cos(- )+isin(- ),∴复数
5
5
主值为
2π
2π5
=
8π
.故选
5
2π
C.
5
z 的辐角为
2π
D.5
2π
2kπ- ,k∈Z,∴复数
5
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公
式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+ 3i)10=( D )
新教材高中数学第十章一元二次方程在复数范围内的解集教师用书教案新人教B版必修第四册
新教材高中数学教师用书：第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一 复数的除法[填一填](1)复数的除法如果复数z 2≠0，则满足zz 2＝z 1的复数z 称为z 1除以z 2的商，并记作z ＝z 1z 2(或z ＝z 1÷z 2)，z 1称为被除数，z 2称为除数．(2)复数的倒数给定复数z ≠0，称1z 为z 的倒数，z 1除以z 2的商z 1z 2也可以看成z 1与z 2的倒数之积．(3)运算法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(1c ＋d i )＝(a ＋b i)·c －d ic 2＋d2＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i.[答一答]怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算． (2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商a ＋b ic ＋d i看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果． 知识点二 实系数一元二次方程[填一填]当a ，b ，c 都是实数且a ≠0时，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac <0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2， (1)|z |＝|z －|；(2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(3)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|(z 2≠0)；(4)|z n|＝|z |n； (5)|z |＝1⇔z ·z －＝1；(6)|z |2＝|z －|2＝|z 2|＝|z －2|＝z ·z －.类型一 复数的除法运算[例1] 计算下列各式： (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i3＋4i ；(2)i －2i －11＋ii －1＋i.[分析] 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解] (1)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i＝1＋4＋－4＋1i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝21＋4＋3－28i 25＝25－25i25＝1－i. (2)i －2i －11＋ii －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i＝1－3i －2－i －2＋i －2－i ＝－2－3＋6－1i5＝－5＋5i5＝－1＋i.复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减.如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.[变式训练1] 计算：(1)2－i 3－4i 1＋i2＋(1－i)2；(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6.解：(1)2－i3－4i 1＋i2＋(1－i)2＝2－i 3－4i ·2i －2i ＝2－i 8＋6i －2i ＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i 100－2i ＝110－115i.(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6＝1＋23ii 1＋23i ＋(5＋i 2·i)－[(1＋i 2)2]3＝i ＋5－i －i 3＝5＋i.类型二 实系数一元二次方程的解集[例2] 求下列一元二次方程的解： (1)3x 2＋5x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋3＝0； (3)4x 2－5x ＋2＝0.[分析] 求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解.[解] (1)Δ＝52－4×3×1＝13， 故x ＝－5±132×3＝－5±136.(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x ＝3±15i 2×2＝3±15i 4.(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7， 故x ＝5±7i 2×4＝5±7i8.在解一元二次方程的解时，要注意Δ的符号.[变式训练2] 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＋4＝0(a ∈R )的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a 的值．解：由已知有Δ＝(－2a )2－4(a 2－4a ＋4)＝16a －16. ①当Δ≥0即a ≥1时，由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2a >0，αβ＝a －22≥0可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a ⇒a ＝32；②当Δ<0即a <1时，此时方程两根为共轭虚根， 设α＝m ＋n i ，则β＝m －n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ＝2a ，αβ＝m 2＋n 2＝a －22.∴|α|＋|β|＝2m 2＋n 2＝2|a －2|＝3⇒a ＝12；综上，a ＝32或12.类型三 复数运算的综合应用[例3] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝ω)(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为0且虚部不为0，或u ＝－u )[解] (1)∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋(y －yx 2＋y 2)i. ∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x . ∵－1<ω<2，∴－1<2x <2，从而有－12<x <1.即z 的实部的取值范围是(－12，1)．(2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i1＋x ＋y i＝1－x －y i1＋x －y i 1＋x2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi.∵x ∈(－12，1)，y ≠0，∴y1＋x ≠0.∴u 为纯虚数．(3)ω－u 2＝2x －(－y1＋x i)2＝2x ＋(y1＋x )2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12<x <1，∴1＋x >0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x－3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0时等号成立．∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i.该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.[变式训练3] 设z 2＝8＋6i ，求z 3－16z －100z.解：z 3－16z －100z ＝z 4－16z 2－100z＝z 2－82－164z＝6i2－164z ＝－200z ＝－200zz ·z＝－200z |z |2.∵|z |2＝|z 2|＝|8＋6i|＝10，又由z 2＝8＋6i ，得z ＝±(3＋i)，∴z ＝±(3－i)， ∴原式＝－200z|z |2＝－60＋20i 或60－20i.1．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：因为a ＋ii＝1－a i ，所以1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝3，故选B.2．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( A )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：本题考查复数的乘法与除法． 10i3＋i＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10＋30i10＝1＋3i.∴复数10i3＋i对应的点的坐标为(1,3)．3．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( D ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2iD ．2＋2i解析：由题意可得，z －i ＝52－i ＝52＋i2－i 2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2＋2i. 4．若x ，y ∈R ，且x1－i －y 1－2i ＝51－3i，则x ＝－1，y ＝－5. 解析：∵x 1－i －y 1－2i ＝51－3i，∴x 1－2i －y 1－i1－i1－2i＝51＋3i 1－3i 1＋3i ，∴x －y ＋y －2x i －1－3i＝1＋3i2，∴(x －y )＋(y －2x )i ＝－1＋3i22＝4－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.。
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【答案速填】 ①a=c且b=d ②___a_2 __b_2 _ ③(a+c)+(b+d)i ④(a-c)+(b-d)i ⑤(ac-bd)+(ad+bc)i ⑥__ac_c2 __bd_d2 __bc_c2__da_d2_i_
易错案例警示
易错一 忽视复数的概念
【错因探究】(1)当得到z- =z 2bi时就认为是纯虚数,忽略了b可以为0的条件. (2)类比任何一个实数的平方大于等于0,于是认为可以推广到复数中. (3)认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中. (4)把等式的性质错误地推广到复数中. 【避错警示】实数没有方向,只有大小:即实数可以是0,正数大于0,负数小于0, 实数可以比较大小,复数具有向量的两个要素:即大小和方向,所以虚数不能比 较大小.如果忽视了实数和虚数的差异,就会出现错误.
易错三 忽视复数相等的充要条件
【案例3】已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x+1)+i=y+(y-1)i,求x与y的值.
【解析】依题意,设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x+1)+i=y+(y-1)i,整理得
(2x+1)+i=-b+(b-1)i,
根据复数相等的充要条件,可得
2x 1 －b， 1 b－1，
i 1 2 3i
1－i
1 i2 019
1 i1 010
i i2 020
i1
1
008
i2
i i4505
－1 i4252
=i-1,所以 z=-1-i.
【错因探究】本题在复数的除法运算中,对分母实数化过程中容易出错,虚数单 位in,n∈N+的周期性也是易错点. 【避错警示】1.在复数的乘法和除法运算中,力争少口算,不跳步计算,这样可 以避免计算错误. 2.注意观察分析复数运算中分子分母的差异和联系,通过“技巧性变换”简化 计算.
【案例1】若复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,则m的值为( )
A.3 B.3或-1
C.-1
D.2
【解析】选A.由复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,
得
lg(m m2
2－2m－2) 0，
3m 2 0，
mm22－23mm－2210，，
解得Βιβλιοθήκη m m【解析】(1)错,设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi及 z=a-bi(a,b∈R), 则z- z=2bi或 z-z=-2bi, 当b≠0时,z- ,z -zz是纯虚数, 当b=0时,z-z =0,z-z=0; (2)错,举反例:设z=i,则z2=i2=-1<0;(3)错,举反例:设z1=3+i,z2=2+i, 满足z1-z2=1>0,但z1,z2不能比较大小; (4)错,若a∈C,则|a|2是实数,但a2未必是实数,所以|a|2与a2不一定相等. 答案:0
解得
x
－则32有，
x －3， 2
b 2，
y 2i.
【错因探究】本题若忽视了y是纯虚数,就会根据复数相等的充要条件得
2x 1 y， 1 y－1，
解得
x
出12，现错误.
y 2，
【避错警示】两个复数相等,首先要明确其代数形式,即必须是
z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,于是有z1=z2⇔a=c,b=d,如果a,b,c,d中有虚 数,不能把等式两边看成复数的标准的代数形式,否则求解就会出错.
－1或m⇒m3，=3.
－1且m －2，
【错因探究】如果忽视了纯虚数的概念,本题会出现如下错解:
由lg(m2-2m-2)=0,得m2-2m-2=1,则m=3或m=-1,易错选B.
【避错警示】复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件为ab
0两， 者缺一不可.
0，
易错二 忽视“实”与“虚”的差异 【案例2】以下有四个命题: (1)互为共轭复数的两个复数的差是纯虚数; (2)若z∈C,则z2≥0; (3)若z1,z2∈C,且z1-z2>0,则z1>z2; (4)若a∈C,则|a|2=a2. 其中正确的有________个.
易错四 忽视复数的运算以及周期性出错
【案例4】已知i为虚数单位,z= ( 2 3－i )2 019 ( 2 )2 ,02求0
1 2 3i
1－i
.z
【解析】因为z=（ 2 3－i )2 019 ( 2 )2 020
1 2 3i
1－i
(1 2 3i－i2 )2 019 [( 2 )2 ]1 010
3.in,n∈N+的周期性: (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. (2)in+in+1+in+2+in+3=0. (3)in·in+1·in+2·in+3=-1.